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2026年高三年级试题
数 学
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 在复平面内，位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知集合，，若，则
A.2 B.1
C.0 D.
3. 已知，则“”是“数据，，，，的极差为”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 在中，若，则
A. B.
C. D.
5. 若函数是奇函数，则
A. B.1
C.3 D.9
6. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为，直线与交于第一象限内的点。若四边形的面积是的面积的倍，则的方程不可能为
A. B.
C. D.
7. 如图，在正方形中，，是的两个三等分点，将该正方形折成一个正三棱柱与重合，则直线与平面所成角的正弦值为
A. B.
C. D.
8. 已知函数，集合。若对任意，都有，则的取值范围为
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 已知函数和的部分图象如图所示，则
A.
B.
C. 是函数的一条对称轴
D. 当时，
10. 若数列的前项和为，且，从其前项中任取两项，记这两项都是正数的概率为，则
A. B.
C. D.
11. 在正四棱台中，，为和的交点，平面内的点到平面与平面的距离之积为，则
A. 该棱台的侧面积为
B. 直线与所成的角为
C. 该棱台的外接球的体积为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 的展开式中含项的系数为 。
13. 将某数学博主1—4月份的粉丝量整理成如下表格，根据表中数据求出关于的经验回归方程为，则预测该数学博主6月末的粉丝量约为 。
14. 若存在4条不同的直线既是曲线的切线，也是圆的切线，则半径的取值范围是 。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
记的内角，，的对边分别为，，。已知，，的平分线交于点。
（1）求的值；
（2）从下列条件中选择一个作为已知，使存在，并求的长。
条件①：边上的高为；条件②：的面积为。
16.(15分)
箱内有3个除编号外都相同的小球，编号为1，2，3。游戏规则如下：从箱中取出一个小球，记下编号并放回，重复这个过程，直至某次取到小球的编号小于或等于上一次取到小球的编号时，游戏停止。记游戏停止时，取球次数为。
（1）求第一次取到2号球的条件下，第二次取球后游戏停止的概率；
（2）求的分布列和数学期望。
17.(15分)
已知函数 .
（1） 若 ，
（i） 求 的极值点；
（ii） 证明：当 时，；
（2） 若 ，，求 的取值范围.
18.(17分)
已知数列 共有 项，且各项均为正整数，设集合 ，记 的元素个数为 .
（1） 若数列 为1，3，5，7，求 ；
（2） 若 是等比数列，且 ，.
（i） 求 ；
（ii） 令 ，若 ，求 的最大值.
19.(17分)
已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交 于点 ，（ 在 轴上方），交 轴于点 ， 为 的中点， 上的点 满足 .
（1） 证明：
（i） 直线 与 相切；
（ii） 直线 过定点；
（2） 若直线 的斜率为 ，直线 交 轴于点 ，将坐标平面沿 轴折起，设二面角 的大小为 ，平面 与直线 交于点 ，求三棱锥 的体积的最大值.
2026年高三年级试题
数学参考答案与评分标准
一、选择题：
1.B2.B3.A 4.A 5.D 6.C 7.D8.A
二、选择题：
9.BCD 10.ACD 11.ABD
三、填空题：
12. －12 13. 14.（0，1）
四、解答题：
15.（1） 因为，所以， …………………………………………………2分
又，由正弦定理，可得，
所以，……………………………………………………………6分
（2）若选①：因为边上的高为，，，
所以的面积，
无解，所以三角形不存在；（给0分）
若选②：的面积，解得……………9分
所以，所以为等腰三角形， ……………………………………………10分
又为的平分线，所以， …………………………………………11分
所以．……………………………………………13分
16.（1） 记第一次取到2号球为事件，第二次取球后游戏停止为事件，
则，， …………………………………………4分
所以．………………………………………………………6分
（2）的可能取值为2，3，4．……………………………………………………………7分
，，．
所以的分布列为
2 3 4
13分
E(X)=2×23+3×827+4×127=6427 15分
17.（1） 当a=2时，f(x)=x-2lnx，则f'(x)=1-2x=x-2x 1分
令，则，列表有
2
0
减 极小值 增
所以f(x)的极小值点为2，无极大值点 4分
（2） 令，由（1）知，
则g'(x)=f'(x)-f'(4-x)=x-2x+2-x4-x=-2(x-2)2x(4-x)， 6分
当x∈(2,4)时，g′(x)<0，所以g(x)为减函数， 7分
所以，从而当时，.........8分
（3） 令，则。
因为，所以，
从而当时，，单调递减；
当x∈(-a,+∞)时，h'(x)>0，h(x)单调递增， 12分
所以h(x)的最小值为h(-a)=-a(5+ln(-a)) 13分
因为，所以，即，从而，
故a的取值范围为(-∞,-e-5) 15分
18.（1） 因为数列为1，3，5，7，所以，，，
则T={2,4,6} 3分
（2）（i） 设等比数列的公比为，
由题意可知a1=4，4a2+a3=4a1q+a1q2=16q+4q2=48， 4分
即，解得或（舍去），
所以an=a1qn-1=2n+1 6分
因为，所以集合中元素最多为个，即....8分
对于数列，，，，，此时，
若存在，即，其中，，
故。
若，不妨设，则，而，，
故为偶数，为奇数，矛盾，故，，
故由22，23，24， ，2n+1得到aj-ai彼此互异，所以P(T)=n(n-1)2 10分
（ii）由（i）知，bn=(3n-2)an2P(T)=(3n-2)2n+1(n-1)n2×2=(3n-2)2n+1(n-1)n=2n+1n-1+2n+2n(n≥2)， 12分
所以，
则
=8+(-1)n2n+2n 14分
①当为奇数时，，从而.......15分
②当为偶数时，。
令，则，
当时，单调递增。
又因为，，
所以m的最大值为7 17分
19.（1）由题意，直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为，令，得，即，
因此直线DP的方程为y=-mx-1m， 1分
联立，得，
则Δ=(4m)2-4m2×4=0，又m≠0，所以直线DP与C相切 3分
（2）联立{y= mx 1my2=4x，解得{x=1m2y= 2m，则D1m2,-2m， 4分
联立，得，设，，
则，，所以，........5分
①当，即时，直线的斜率为，
所以直线DM方程为y=2m2m2-1(x-2m2-1)+2m 6分
=2m2m2-1(x-2)，故直线DM恒过定点(2,0)； 7分
②当时，即，此时直线方程为，恒过点.
综上可知，直线DM过定点(2,0) 8分
（3） 由（2）知，当时，，.
折起后，以的顶点为原点，为轴正方向，为轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系.
因为二面角的大小为，
则，，
，
……………………9分
所以，，，
.
因为，，，四点共面，所以存在，使得
.
设
，………………11分
所以，，解得.
设，则.………………12分
所以三角形的面积.……13分
因为轴的方向向量为，且，，所以轴，
轴，又，平面，，所以轴平面.
故点到平面的距离为，………………15分
故三棱锥的体积
，当且仅当，即时，取等号.
综上可知，三棱锥的体积的最大值为.………………17分

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