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2026普通高等学校招生全国统一考试·冲刺压轴卷（五）
数 学
全卷满分150分 考试时间120分钟
★祝考试顺利★
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上。
2. 作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合 ，，则
A. B.
C. D.
2. 若平面 平面 ，直线 ，直线 ，那么直线 ， 的位置关系一定是
A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 无公共点
3. “样本数据 ，，， 的平均数为 ”是“”的
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知函数 ，则 的单调递增区间为
A. B.
C. D.
5. 已知 为锐角，且 ，则
A. B.
C. D.
6. 已知抛物线 恰好经过圆 的圆心，则抛物线 的焦点坐标为
A. B.
C. D.
7. 将数字 ，，，，， 填入如图的6个方格中，每个方格填一个数字，每个方格中的数字均不相同，若每行中任意两个相邻数字之和为偶数，则不同的填法共有
A.36种 B.48种 C.72种 D.108种
8. 在锐角中，已知，则的最小值为
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 已知复数（其中是虚数单位），为的共轭复数，则
A. 的虚部为1
B.
C. 在复平面内对应的点位于第四象限
D. 是方程的一个复数根
10. 已知函数，则
A. 有一个极值点
B. 有两个零点
C. 的最小值为
D. 有两个极值点
11. 给定椭圆（）上有一动点（不在坐标轴上），，分别是椭圆的左、右焦点，的内切圆与，分别切于，两点，则
A. 若，则椭圆的离心率为
B. 动点的轨迹是一个椭圆
C. 直线，的斜率之积为常数
D. 内切圆的面积无最大值也无最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 若函数为奇函数，则 。
13. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值为 。
14. 如图，200道处于关闭状态的门从左到右依次贴有“1，2，3，…，200”的标签号，某人从第一道门出发，从左向右行进，每路过一道关闭的门就从1开始依次报一个数，报到奇数时把门打开。数完一轮后回到起点，再重复此过程，则最后一道关闭的门标签号为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
16.(15分)
拔河比赛起源于我国春秋时期，比赛采用三局两胜制，即每场比赛两支队伍最多比3局，率先胜2局比赛的队伍获得本场比赛胜利，比赛随即结束.甲、乙两队进行一场拔河比赛，已知每局比赛甲队胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立.
（1）求甲队获得本场比赛胜利的概率；
（2）记为本场比赛结束时比赛的局数，求的分布列及数学期望.
17.(15分)
如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，平面，是的中点，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，求证：；
（3）在（2）的条件下，且平面与平面夹角的余弦值为，求四棱锥的体积.
18.(17分)
如图，设双曲线 的左顶点为 ，直线 与双曲线 相交于 ， 两点，且 ， 两点均异于点 。
（1） 求点 的坐标，及双曲线 的离心率；
（2） 若线段 的中点为 ，求直线 的方程；
（3） 若以线段 为直径的圆恒过点 ，试判断直线 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由。
19.(17分)
已知函数 的定义域为 ，其导函数 ， 为点 处的切线。
（1） 求 的最大值；
（2） 证明：当 时，除点 外，曲线 均在 上方；
（3） 若 ，证明：对任意的 ，有 。
学校招生全国统一考试·冲刺压轴卷（五）
数学·参考答案
1.A因为，，所以.故选A.
2.D由平面平面，得平面，无公共点，而直线，直线，所以直线，无公共点.故选D.
3.B由样本数据，，，的平均数为，得，解得，当时，；由，知必有成立，不等式，因此，所以“样本数据，，，的平均数为”是“”的充分不必要条件.故选B.
4.A函数的定义域为，则，因为，由，可得，故函数的单调递增区间为.故选A.
5.A由，又为锐角，则，故.故选A.
6.B由已知，圆的圆心为，因为点在抛物线上，所以，解得，所以抛物线的方程为，焦点在轴正半轴上，且，所以焦点坐标为.故选B.
7.C由每行中任意两个相邻数字之和为偶数，即一个数为奇数，则另一个数需为奇数，或一个数为偶数，则另一个数需为偶数，因为共有个数字，其中个奇数、个偶数，所以分两种情况：①第一行为奇数，第二行为偶数，②第一行为偶数，第二行为奇数，所以共有（种）不同的填法.故选C.
8.B由，可得，由正弦定理可得，如图，作于，设，，，因为，所以，化简得，解得，易知，，所以，因此，当且仅当时取得最小值.故选B.
9.ACD ，因此，，其共轭复数.选项A：，虚部为，故A正确；选项B：，故B错误；选项C：，对应点位于第四象限，故C正确；选项D：代入得：.满足方程，故D正确.故选ACD.
10.AC因为的定义域为，，令得，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，故当时，取
得极小值，A正确；因为，且，所以当时，，只有一个零点，B错误；因为在内单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极小值，也是最小值，故的最小值为，C正确；令，则，易得在上单调递增，又，，故在内有唯一零点，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故只有一个极值点，D错误.故选AC.
11.ACD若是内切圆与轴的切点，，，，，又，则，即，所以离心率，A对；若为延长线与轴的交点，，且，，则，故，由角平分线的性质可得，则，所以，则，又，则，故，所以，故，则且，，所以动点的轨迹是一个不含，轴交点的椭圆曲线，不是完整椭圆轨迹，B错；由上分析，，，则为定值，C对；由图，由于不在坐标轴上，而内切圆的半径在靠近轴时趋向于0，靠近轴时趋向于，即内切圆的半径，故其面积不存在最值，D对.故选ACD.
12. 的定义域为，因为为奇函数，则，即，此时，，则此时为奇函数，满足题意，则.
13. 将函数的图象向左平移个单位长度，可得，因为为偶函数，故，可得，时，时，可得的最小值为.
14.128第一轮报数，标签号中剔除奇数，剩余偶数，即2的倍数；第二轮报数，标签号2，4，6，，200的报数结果分别为1，2，3，，100，剔除标签号2，6，10，，198，剩余的标签号为4的倍数；第三轮报数，标签号4，8，12，，200的报数结果分别为1，2，3，，50，剔除标签号4，12，20，，196，剩余的标签号为8的倍数；重复以上步骤可得，当门数时，最后留下的一道门的标签号为，故标签号为128.
15.解：（1）设等差数列的公差为，
则由等差数列求和公式得：， 2分
又因为，所以可得， 4分
即数列的通项公式为。 6分
（2）由， 9分
所以。
13分
16.解：（1）甲队获得本场比赛胜利分：①甲队胜第一、二局，②甲队胜第一、三局，③甲队胜第二、三局， 2分
则甲队获得本场比赛胜利的概率。 6分
(2)由题意知可取:，， 7分
当时，甲队胜的概率为：，乙队胜的概率为，则，
9分
当时，， 11分
所以的分布列为：
13分
数学期望。 15分
17.解：（1）取的中点，连接，，
在中，且，又，，，
所以，，所以四边形是平行四边形，所以。 2分
又平面，平面，
所以平面。 3分
（2）过点作的垂线，垂足为，
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，又平面，所以。
因为平面，平面，所以。 5分
因为，平面，平面，
所以 平面 。
又 平面 ，所以 。………………………………………………………… 7分
（3）设 ，过 点作 ，以 点为坐标原点，，， 为坐标轴建立空间直角坐标系，
因为 ， 为 的中点，所以 ，
设 ，，所以 ，
，，，，，，， ……………………………………………………………………………… 9分
设平面 的一个法向量
取 ，；………………………………………………………… 10分
同理设平面 的法向量
取 ，，………………………………………………………… 11分
设平面 与平面 的夹角为 ，，，
所以 ， ……………………………………………………………………………… 13分
，
。………………………………………………………… 15分
18. 解：（1）由题可得：，，，
所以双曲线 的左顶点为 ， ……………………………………………………………………………… 2分
双曲线的离心率为 。 ……………………………………………………………………………… 4分
（2）由 消去 整理得 ，
则 ，且 ，
设，，则， 6分
由为的中点，可得 7分
解得，，满足， 9分
所以直线的方程为，即。 10分
（3）由（2）知，，，，， 11分
则
， 13分
因为以为直径的圆恒过点，则有，
即，解得或， 15分
当时，直线过，不符合题意； 16分
当时，直线过定点，
所以直线过定点，该定点坐标为。 17分
9. 解：(1) ，令，则，\(f'(x) = >\\ln t}{t}>，
设，，，解得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减， 2分
在时取得最大值，最大值，的最大值为 4分
（2） 为处的切线，切线的方程为：，
令，则，
求导得， 6分
由（1）知，，在上单调递增，
当时，，则在上单调递增， 7分
若，即，则，单调递增；
若，即，则，单调递减；
若，即，则，而，故，单调递增，
在处取得最小值， 9分
当时，，即曲线在切线上方（除点外），命题得证. 分
（3），
求导得，
令，则，
令，
求导得，
，，
在上单调递增，，
在上恒成立，故在上单调递增， 分
，
原不等式等价于， 分
令，
， 分
在上单调递增，，
，，在上单调递增，
对任意的即，
对任意的有，命题得证. 分

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