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2026届高三考前指导卷
数学试题
注意事项：
1. 本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分.
2. 本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.
3. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡上.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，，则
A. 　　 B. 　　　
C. 　　 D.
2. 若复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为
A. 　　　　　 B. 　　　　　
C. 　　　　　 D.
3. 的展开式中含项的系数为
A. 　　　　　 B. 　　　　
C. 　　　　　 D.
4. 已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是，空气的温度是，则后物体的温度满足公式（其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）。某天小明同学将温度是的牛奶放在的空气中，冷却后牛奶的温度是，则
A. 　　　 B. 　　　
C. 　　 D.
5. 已知函数（）在处取得最小值，则的最小值为
A. 　　　　　 B. 　　　　　
C. 　　　　　 D.
6. 已知函数，若恒成立，则的取值范围为
A. 　 B. 　
C. 　 D.
7. 已知点，，若直线：（）上存在点，使得，则正实数的取值范围为
A. 　　　 B. 　　　
C. 　　　 D.
8. 在中，，分别为线段，上的点，直线，交于点，且满足，则
A. 　　　 B. 　　　
C. 　　　 D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 平行六面体 中，，，则下列说法正确的是
A.
B. 若 ，则
C.
D. ，
10. 设 为双曲线 ：（，）的左焦点，经过原点且斜率大于0的直线 交 于 ， 两点， 与 轴垂直，，则
A.
B. 双曲线 的渐近线方程为
C. 双曲线 的离心率为
D. 直线 的斜率为2
11. 设函数 ， 满足：，恒有 ，则下列结论可能成立的有
A. ， 均为 上的增函数
B. 为 上的减函数且 为 上的增函数
C. 的极小值点与 的极大值点相同
D. 存在最小值且 存在最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 在平面直角坐标系 中，点 在曲线 ： 上且在第三象限内。若曲线 在点 处的切线为 ，则实数 。
13. 甲、乙两个盒子中分别装有大小及形状完全相同的三个小球，且均各自标号为1、2、3。现分别从这两个盒子中随机取一个球，用 表示两球上的数字之和，设 的期望为 ，则 。
14. 已知正四棱锥 的棱长为1，平面 满足 ，且棱 ，， 与 的交点分别为 ，，，则四面体 体积的最大值为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
在中，，.
（1）求；
（2）若为的中点，且，求的面积.
16.（15分）
如图，在四棱锥中，，，点在上，且，，.
（1）设平面与，分别交于点，，且平面，证明：为线段的中点；
（2）若平面，与平面所成角的余弦值为，求的长度.
17.（15分）
已知正项等比数列满足且，，成等差数列.
（1）求及其的前项和；
（2）从，，，，中任取三项，求这三项按照原顺序排列依然构成等比数列的概率；
（3）设每项均不为的数列满足、均为等比数列. 证明：为等比数列.
18.（17分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的焦距为，离心率为。
（1）求的方程；
（2）设为的上焦点，点在上且位于第一象限，关于轴的对称点为。
（ⅰ）若直线与轴、的交点分别为、，且，求；
（ⅱ）直线、分别交于另一点、，求面积的最大值。
19.（17分）
定义函数（）为的“伴生函数”，其中为的导函数。若区间满足，都有成立，则称在上具有“伴生性质”且为的“伴生区间”。已知（），设的“伴生函数”为。
（1）请求出的一个“伴生区间”；
（2）若方程有两个不同的实数解，（）。
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）证明：。（参考数据：，）
2026届高三考前指导卷
数学试题参考答案
一、选择题：
1.D　　　　　2.B　　　　　3.A　　　　　4.C
5.C　　　　　6.D　　　　　7.B　　　　　8.C
二、选择题：
9.AD　　　　10.ACD　　　　11.BCD
三、填空题：
12.17　　　　13.13　　　　14.
四、解答题：
15. 解：（1）因为，，
　　　　所以．　　　　　………3分
　　　　因为，
　　　　所以．　　　　………5分
　　（2）因为，，，且，
　　　　所以，，．　　　　………7分
　　　　由正弦定理可得．　………9分
　　　　因为为的中点，且，
　　　　所以
　　　　　　．
　　　　设，，，则解得．　　　………11分
　　　　所以，，，
　　　　所以．　　　………13分
16. 解：（1）因为平面，平面
　　　　平面平面，
　　　　所以．
　　　　因为，
　　　　平面，
　　　　平面，
　　　　所以平面．　　　　　　　　　　　　………3分
因为平面，平面平面，
所以．
故四边形为平行四边形，即，分
因为，所以．
因为，，
所以为线段的中点．分
（2）连接．
因为，，
所以四边形是平行四边形，
所以．
因为平面，平面，平面，
所以，，
所以，．
又因为，以为正交基底，建立如图所示的空间直角
坐标系．分
设，，，，，，
，，．
设平面的法向量为，则有
，即，
令，，所以，
所以，．分
因为与平面所成的角的余弦值为，
所以与平面所成的角的正弦值为，
即．分
所以，化简可得：，
解得或，即或，分
所以或．分
17．解：（1）设的公比为，且．
依题意得{2a1q=a1q2 3a1,a1q2 5a1=12，解得{q=3a1=3。 2分
所以an=3n，Sn=3(1-3n)1-3=3n+1-32。 4分
（2）记事件，则事件包含如下基本事件：，，；，，；……；，，；
，，；，，；……；，，；
，，；，，；，，；，，；
，，；，，；
则n(A)=8+6+4+2=20， 7分
于是P(A)=20C103=20120=16。 9分
（3）因为、均为等比数列，
所以{(3n+1+bn+1)2=(3n+bn) (3n+2+bn+2)(3n+1 bn+1)2=(3n bn) (3n+2 bn+2)， 13分
整理得，
上述两式相加得，
又数列{bn}的每项均不为0，所以{bn}为等比数列。 15分
18. 解：（1）设椭圆的半焦距为，依题意得，解得，
所以，
所以椭圆G的方程为y22+x2=1。 4分
（2）（ⅰ）依题意设，则，其中，。
由，可得直线的方程为，
令，得。
又直线的方程为，
联立方程y=1+n-mx+1及y=nmx，解得xD=m2n+1。 6分
因为及，，，共线，
所以，
所以，解得，
所以|AB|=2。 9分
（ⅱ）联立直线与椭圆的方程得，消去，得
。
因为在椭圆上，所以，
所以。
由根与系数的关系得，解得。分
同理可得。
因为，
所以。
又，
所以。分
因为，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立。
综上，面积的最大值为。分
19. 解：（1）当时，
的“伴生函数”为，
分
，
当时，，，具有“伴生性质”。
故的一个“伴生区间”为。分
提醒： 的子区间都对，答案不唯一
（2）（ⅰ）
故，………4分
设，
令，解得；令，解得，
故当时，单调递减；时，单调递增．
因为方程有两个不同的实数解、．
所以在上有两个零点，
故，即………7分
当时，
因为，所以．
若，，所以，
因为在上恒成立，
所以，则在上单调递增，
则，即当时，．
若，，
所以，则在上单调递减，
则，所以当时，．
当时，
．
当时，，即．
因为所以………10分
综上，的取值范围．………11分
（ⅱ）由，为方程的两个解可知：，
要证，
即证，…………12分
令，，
令，，
则在单调递增，故，
所以时，，故在上单调递增，
则．…………13分
设，，
令，，
，
令，，
则．
因为，所以，则，所以．
则在上单调递增，，即，
则在上单调递增，所以，
即，…………15分
因为，则，
又，，在单调递减，则，即，
故，所以，
所以．…………17分

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