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高二年级学年度第二学期五月学情调研
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合是自然数集，，则（）
A. B.
C. D.
2. 若，是两条直线，，是两个平面，且，. 设，，则是的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知一组数据为：123，117，117，121，122，120，116，114，120，119，则这组数据的上四分位数是（）
A.114 B.115 C.120.5 D.121
4. 展开式的二项式系数和64，则展开式中的有理项个数为（）
A.0 B.1 C.2 D.3
5. 已知线性相关的两个变量，的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（）
3 4 6 7
20 40 60
A.2 B.
C.3 D.
6.淮安有很多优美的旅游景点.现有甲、乙两位游客慕名来到淮安，都准备从，，，4个旅游景点中随机选择一个游玩.设事件为“甲和乙至少一人选择”，事件为“甲和乙选择的景点不同”，则条件概率（）
A. B.
C. D.
7. 三棱锥中，，，，分别为，的中点，点在线段上，且，则（）
A. B.
C. D.
8. 异面直线，所成的角为，，，，垂直于，垂直于，且，，.则（）
A.1 B.
C. D.2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 关于线性回归的描述，下列表述正确的是（ ）
A. 回归直线一定经过样本中心点
B. 相关系数越大，相关性越强
C. 残差图的带状区域越窄，拟合效果越好
D. 决定系数越接近0，拟合效果越好
10. 点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ）
A. 当为的中点时，
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 当在面上，且直线与所成的角为时，点的轨迹长度为
D. 当平面时，线段长度最大值为
11. 随着高三毕业日期的逐渐临近，有个同学组成的学习小组，每人写了一个祝福的卡片准备送给其他同学，小组长收齐所有卡片后让每个人从中随机抽一张作为祝福卡片，则（ ）
A. 当时，每个人抽到的卡片都不是自己的概率为
B. 当时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为
C. 甲和乙恰好互换了卡片的概率为
D. 记个同学都拿到其他同学的卡片的抽法数为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量，若，则实数的取值范围 .
13. 流感期间，班长拿了18个口罩发给5名感冒的学生，每位学生至少发3个口罩，则不同的发放方法有 种
14. 已知正方体的棱长为2，为线段上的动点，则三棱锥外接球半径的取值范围为
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知展开式中前三项的二项式系数和为22.
（1）求的值； （2）求展开式中的常数项.
16. 如图，在三棱柱中，所有棱长均为2，，.
（1）证明：平面平面
（2）求直线与所成角的余弦值.
（3）求二面角的正弦值.
17.2026年春节期间，电影《飞驰人生3》、《镖人》持续火爆，现对电影《镖人》从正月初一到正月初六的单日票房统计如下表：（由于统计原因，本题的数据与实际情形可能存在误差，以题目给出的数据为准）.
日期 初一 初二 初三 初四 初五 初六
上映第天 1 2 3 4 5 6
票房（单位：亿元） 0.9 1.2 1.3 1.5 1.3 1.6
（1）根据数据建立单日票房关于上映天数的线性回归方程，并预测第七日的票房收入（计算结果均保留一位小数）；
（2）在某天放映结束后，随机抽取6名观众，发现其中有4人看过《镖人》，3人看过《飞驰人生3》，只有1人两部电影均没看过. 现从这6人中随机抽取3人，记为抽取的3人中两部电影都看过的人数，求的分布列及数学期望.
参考数据：. 公式：
18.2026年3月12日植树节，老师安排同学们去种植桃树和梨树，小明选择种植第一颗树是桃树的概率为，选择种植第一颗树是梨树的概率为，如果小明第一颗选择种植桃树，那么第二颗选择种植桃树的概率为，如果小明第一颗选择种植梨树，那么第二颗选择种植桃树的概率为，设小明第颗选择种植桃树的概率为.
（1）求、的值
（2）已知小明第2颗选择种植桃树，求他第1颗也选择种植桃树的概率.
（3）求的通项公式.
19. 如图，在四棱锥中，平面面，，，底面为等腰梯形，且，，为的中点.
（1）求直线与平面的夹角；
（2）若，，平面与交于点，求线段的长度.
高二年级学年度第二学期五月学情调研
数学试卷参考答案
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D D A D D C
二、多项选择题
题号 9 10 11
答案 AC ABD ACD
三、填空题：
12.
13.35，
14.
15. 解：（1）因为展开式中前三项的二项式系数和为22.
所以，……………………………………3分
解得：或（舍去）.
所以的值为6. …………………………………………………………………………6分
（2）由通项公式， ……………………9分
令，可得：， ……………………………………………………11分
所以展开式中的常数项为. ………………………………13分
16. 解：（1）取中点，连接，，，
∵在三棱柱中，所有棱长均为2，
∴、都为边长为2的等边三角形，
∴，，
∵
∴BO⊥A1O 3分
， ，，平面 ，
平面，
平面，
∴平面ABC⊥平面AA1C1C 5分
（2） 以为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
，，，
∵A1B→=(3,0,-3)，B1C1→=BC→=(-3,1,0) 7分
，.
∴求直线A1B与B1C1所成角的余弦值64 9分
（3） 设平面的法向量为，
，
即，
取m→=(1,-3,1)， 11分
取平面的一个法向量，
∴COS m→，n→ =m→·n→|m→||n→|=15 13分
，
∴二面角B-A1B1-C1的正弦值为255 15分
注：综合法可参照打分。
17.解（1）：因为x =∑i=16xi6=216=3.5，y =0.9+1.2+1.3+1.5+1.3+1.66=1.3， 1分
所以b^=∑i=16xiyi-nx y ∑i=16xi2-nx 2=29.3-6×3.5×1.391-6×3.52=217.5≈0.1， 4分
，
所以回归方程为：y=0.9+0.1x， 6分
当x=7时，y=1.6亿元，正月初七，预计《镖人》的票房为1.6亿元 8分
解：（2）由题意可知，6人中同时看过两部电影的只有人，…10分
所以的可能取值为，，，则，，
，
所以的分布列为：
13分
数学期望为E(X)=0×15+1×35+2×15=1 15分
18.（1）设：第颗种植桃树，：第颗种植桃树， …2分
P2=P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=35×14+25×12=720 5分
（2）P(A1|A2)=P(A1)P(A2|A1)P(A2)=35×14720=37 8分
（3）Pn+1=Pn·14+(1-Pn)·12=-14Pn+12， 11分
Pn+1-25=-14Pn-25 15分
∴Pn-25=15-14n-1，即Pn=25+15-14n-1 17分
19.解（1）方法一：连接，，因为，所以，
又因为平面平面，平面平面，
所以 平面 ，
所以 ∠PBE 即为直线 PB 与平面 ABCD 的夹角， 3分
因为 ，，，所以 ．
又因为底面 为等腰梯形，且 ，，
所以 ，，所以四边形 为平行四边形，所以 ．
则 ，所以 ，
所以直线 PB 与底面 ABCD 的夹角为 π4 6分
（2）取 的中点 ，连接 ，因为底面 为等腰梯形，所以 ，
由（1）得 面 ，建立空间直角坐标系如图所示，
所以 ，，，，
所以 AF→=(-2,0,2)，BP→=(-1,-3,2)，CF→=(1,-3,2)， 8分
因为 ，所以 ，则 ，
同理 EG→=EC→+CG→=-23,233,23， 10分
设面 的法向量为 ，所以 ，则
不妨令 x=1，所以 y=3，z=-2，则 m→=(1,3,-2)． 13分
令 ，所以
因为点 在面 中，所以 ，所以 ，......15分
所以 ，所以 ．
综上，线段 BM 的长度为 2． 17分

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