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2026年高一5月题库
数学 试题
考生注意：
1. 本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若集合，，则为
A. B.
C. D.
2.
A. B.
C. D.
3. 已知复数，则
A. B.
C. D.
4. 已知平面向量，，若，则实数
A.2 B..
D.
5. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则
A.1 B.
C. D.
6. 在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，，则
A. B.
C. D.
7. 在棱长均相等的正四棱锥中，点为棱的中点，则异面直线，所成角的余弦值为
A. B.
C. D.
8. 若函数的定义域为，且满足为偶函数，为奇函数，，则
A.0 B.2
C..
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 已知复数 ，下列说法正确的是
A. 的实部为1
B. 的虚部为
C.
D.
10. 已知正实数 ， 满足 ，则
A.
B. 的最大值为16
C. 的最小值为9
D. 的最小值为3
11. 在棱长均为1的直三棱柱 中，点 满足 ，其中 ，，点 为线段 的中点，点 为线段 上的动点，则
A. 当 时，三棱锥 的体积为定值
B. 存在点 ，使得
C. 当 时，存在两个点 ，使得
D. 当 时， 的周长的最小值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 若平面向量 ，，则 在 上的投影向量为 。（用 表示）
13. 已知复数 ， 满足 ，，则 的最大值为 。
14. 在四棱锥 中，四边形 为正方形， 平面 ，，，过 ，， 的平面将四棱锥 分成两部分，较小部分与较大部分的几何体体积分别为 ，，则 。
四、解答题：本题共5个小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）
已知函数 ，
1. 求函数 的最小正周期和单调递增区间；
2. 求函数 在 上的值域。
16.(15分)
如图，在长方体 中，，， 为线段 上的动点，
（1）求三棱锥 的体积；
（2）若 ，求点 到平面 的距离.
17.(15分)
在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，，，
（1）求 ；
（2）已知 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，求 的面积.
条件①；条件②；条件③.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
18.(17分)
如图，已知三棱锥 ， ， ， ，， ，
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 外接球的表面积；
（3）若点 为三棱锥 外接球的球心，求平面 与平面 所成角的余弦值.
19.(17分)
已知函数 ，
（1）若 ，当 时，求 的最小值；
（2）若 ，当 时，
（ⅰ）若函数 的最小值为 ，求 的取值范围；
（ⅱ）对于任意的 ， 恒成立，求 的取值范围.
2026年高一5月题库
数学试题参考答案与评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D A D C A D
1.B ，故选B。
2.C ，故选C。
3.D ，故选D。
4.A ，，故选A。
5.D由余弦定理，故选D。
6.C ，故选C。
7.A不妨设棱长为1，取PC中点为F，由EF为的中位线知，，在中，，，，故选A。
8.D由为偶函数知关于轴对称，由为奇函数知关于中心对称，且。所以为周期函数且，故，故选D。
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
题号 9 10 11
答案 ACD AC ACD
9.ACD复数，其虚部为，故B错误，其余正确，故选ACD。
10.AC由，所以，故A正确；当，时，，故B错误；由知，故C正确；由，且知，故D错误，故选AC。
11.ACD当时，取中点E，中点F，则点P在线段EF上运动，由知平面，则三棱锥的体积为定值，故A正确；过点D向平面作投影，投影点为M，则平面，若，则点P满足，这与点P在正方形中相矛盾，故B错误；当时，取中点G，AB中点H，则点P在线段GH上运动，当点P位于点G或者点H时，，故C正确；当时，点P在线段上运动，如图将和翻折到与在同一平面，
可知的周长的最小值在、、、共线时取到，此时，，，所以，，所以，所以的周长的最小值为，故正确，故选。
三、填空题：本大题共\（3\）小题，每小题\（5\）分，共\（15\）分。
12. 根据投影向量定义知：在上的投影向量为。
13. 在复平面中，复数对应的点在单位圆上，复数对应点，且，所以的最大值为。
14. 作交于点，且，
记，四棱锥体积为，三棱锥体积为，三棱锥体积为，易知，则，，，故上下两部分体积比为。
四、解答题：本大题共\（5\）小题，共\（77\）分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 解：(1)的最小正周期。 \(\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots$$\\pi}{2} = \pi$$
所以 ，…………………………………………………………………… 12分
由（1）知 ， ………………………………………………………… 15分
17. 解：（1） ，…………………………………………………………… 3分
即 ， …………………………………………………………………………………… 6分
解得 或 （舍），……………………………………………………………………………… 8分
由 ，则 ． …………………………………………………………………………………… 9分
（2） 若选①得 ， 不存在，学生不得本小题分数．
若选②由余弦定理知 ，…………………………………………………………… 11分
得 ， ……………………………………………………………………………………………… 13分
故 ， …………………………………………………………………………………… 15分
若选③由正弦定理知 ，得 ，………………………………………………… 11分
余弦定理 ， ……………………………………………………………………… 13分
故 ． …………………………………………………………………………………… 15分
18. 解： 由题意算得 ，，且 ，得 ， …………………………………………………… 2分
则 ， …………………………………………………………………………………… 3分
因为 ，， 平面 ，
所以 平面 ． …………………………………………………………………………………………… 5分
（2） 如图所示 为 外接圆圆心， 为三棱锥 外接球的球心，记 ，
可得 平面 ，， ……………………………………………………………………………… 7分
则 ， …………………………………………………… 9分
所以三棱锥 外接球的表面积为 ． ……………………………………………………………… 10分
（3） 法一： 由（2）可知 在平面 的投影三角形为 ，……………………………………………… 12分
， ………………………………………………………………………… 14分
因为 ，， …………………………………………… 16分
故 ． ……………………………………………………………………………… 17分
法二： 如图延长 与 相交于点 ，则两平面交线为 ，………………………………………
由（2）可知，则，则
，……………………………………………………………………… 14分
则平面与平面所成角的正切值，………………………………………………… 16分
则平面与平面所成角的余弦值，…………………………………………………………… 17分
19.（1）当时，，
当时，当且仅当时取等，
故当时，最小值为2. ……………………………………………………………………………………… 3分
（2）（Ⅰ）由题意得：，
为使函数的最小值为2，只需，有解，…………………………………………… 5分
即，或有解，所以. ………………………………………………… 7分
（Ⅱ）由题意得当时，，，………………………… 8分
①当时，在上单调递增，
，即，
解得，；……………………………………………………………………… 10分
②当时，在上单调递减，单调递增.
，，且，；……… 12分
③当时，在上单调递增，
，即，；……………………………………… 14分
④当时，，符合题意；……………………………………………………………………… 15分
⑤当时，在上单调递增，
，即，. ………………………………………… 16分
综上所述：. ……………………………………………………………………… 17分

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