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2026年浙江杭州市萧山区九年级中考数学模考练习试卷（解析版）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
第一部 分选择题
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．中国古代数学著作《九章算术》就最早提到了负数，的相反数是（ ）
A．2026 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了相反数的定义．根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可求解．
【详解】解：的相反数是，
故选：A．
创新驱动发展，也使人们的生活更加便捷．如图是一款手机支撑架，
我们可以通过改变面板张角的大小来调节视角舒适度．小明将该支撑架放置在水平桌面上，
并调节面板的张角至视角舒适，若张角，支撑杆与桌面夹角，
那么此时面板与水平方向夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，将实际问题转化成数学问题成为解题的关键．
由题意可得：，则；然后根据三角形内角和定理即可解答．
【详解】解：由题意可得：，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
根据萧山区政府2026年1月发布的《政府工作报告》获悉，2025年萧山区总值为2506亿元，
同比增长．则2506亿用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：亿．
4．如图为出现在杭州街头的新型无线充电石墩，关于石墩的三视图的描述，正确的是（ ）
A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同
C．左视图和俯视图相同 D．三个视图都相同
【答案】A
【分析】本题考查了三种视图，熟知三视图的观察方向是解题的关键．在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到由左向右观察物体的视图，叫做左视图．仔细观察图中几何体摆放的位置，根据三种视角观察到的图形判定则可．
【详解】解：根据三视图的定义，可知该几何主视图和左视图相同．
故选：A．
5. 对于反比例函数，下列说法错误的是（ ）
A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限
C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，中，图象位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，由此逐项判断即可．
【详解】解：当时，，故图象经过点，故选项A说法正确，不合题意；
由可得图象位于第二、四象限，故选项B说法正确，不合题意；
当时，y随x的增大而增大，故选项C说法错误，符合题意；
当时，y随x的增大而增大，故选项D说法正确，不合题意；
故选C．
如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是以原点O为位似中心的位似图形．
若点的对应点为，则点的对应点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵点的对应点为，
∴，，
∵点B的对应点为，
∴，，
∴点B的坐标为．
《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？
译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，
则最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有辆车，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程．设共有x辆车，根据人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设共有x辆车，根据人数不变列出等量关系，
每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则人数为：，
每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则人数为：，
∴列出方程为：，故A正确．
故选：A．
随着初中学业水平考试的临近，我校连续四个月开展了学科知识模拟测试，
并将测试成绩整理，绘制了如图所示的统计图（四次参加模拟考试的学生人数不变），
下列四个结论不正确的是（ ）
A．共有500名学生参加模拟测试
B．从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
C．第4月增长的“优秀”人数比第3月增长的“优秀”人数多
D．第4月测试成绩“优秀”的学生人数达到100人
【答案】D
【分析】本题考查了条形统计图和折线统计图，根据条形统计图和折线统计图逐项判断即可求解，看懂统计图是解题的关键．
【详解】解：、∵，
∴共有名学生参加模拟测试，该选项结论正确，不符合题意；
、由折线统计图可知，从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长，该选项结论正确，不符合题意；
、由折线统计图可得，第3月增长的“优秀”人数为人，第4月增长的“优秀”人数为人，
∵，
∴第4月增长的“优秀”人数比第3月增长的“优秀”人数多，该选项结论正确，不符合题意；
、∵，
∴第4月测试成绩“优秀”的学生人数没有达到100人，该选项结论错误，符合题意；
故选：．
9. 如图，在扇形中，，，点C在弧上，
连接，垂直平分交于点D，则弧的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据垂直平分线的性质和半径相等证明为等边三角形，则，求出，再根据弧长公式即可求解．
【详解】解：∵垂直平分，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴弧的长度．
10. 如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，
点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，
它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．
已知y与t的函数关系图像如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：
①AD=BE=5； ②；
③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；
其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④
【答案】C
【详解】解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，
∴BC=BE=5，
∴AD=BE=5，故①小题正确；
又∵从M到N的变化是2，
∴ED=2，
∴AE=AD-ED=5-2=3，
在Rt△ABE中，AB=，
∴cos∠ABE=，故②小题错误；
过点P作PF⊥BC于点F，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠PBF，
∴sin∠PBF=sin∠AEB=，
∴PF=PBsin∠PBF=t，
∴当0＜t≤5时，y=BQ PF=t t=t2，故③小题正确；
当秒时，点P在CD上，此时，PD=-BE-ED=-5-2=，
PQ=CD-PD=4-=，
∵，，
∴，
又∵∠A=∠Q=90°，
∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．
综上所述，正确的有①③④．
故选：C．
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．计算：=_______
【答案】7
【详解】解：原式
12．不等式组的解是 __________．
【答案】/
【分析】本题考查解一元一次不等式组，解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
13．代数式和代数式的值相等，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了代数式值相等问题，熟练掌握相等关系，列出方程，解方程，分式方程检验，是解决本题的关键．通过题目中的等量关系列方程，解方程，检验，即可．
【详解】解：由题可得：，
去分母得，，
解得，，
检验：当时，，
∴是所列方程的根，
故答案为：1．
电路图中有3个开关，A、B、C和两个小灯泡、，同时闭合两个开关，
能形成闭合电路的概率____________．
【答案】
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关，能形成闭合电路的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关，能形成闭合电路的结果有4种，
∴同时闭合两个开关，能形成闭合电路的概率是，
15．【文化欣赏】
勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，
创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图2由弦图变化得到，
它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形、正方形、
正方形的面积分别为，，，若正方形的边长为6，则________．
【答案】108
【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式，设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且，则，，，先证明，再证明，即可得到答案．
【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b，且，
由题意可知：，，，
∵正方形的边长为6，
∴，
∴
，
故答案为：108．
16．如图，正方形中，E为上一点，于点F，已知，，
过C、D、F的与边交于点G，则的值为_______
【答案】
【分析】交于M点，连接、，如图，根据正方形的性质得到，，，再利用圆周角定理得到，则可判断点A、F、M共线，接着证明，则利用相似比可求出，于是利用勾股定理可计算出，然后证明得到，最后证明，则利用相似比可求出的长．
【详解】解：交于M点，连接、，如图，
∵四边形为正方形，
∴，，，
∴为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴点A、F、M共线，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得．
故答案为：
三、解答题（本大题共8题，第17-21题每题8分，22-23题每题10分，第24题12分，满分72分）
17．计算：.
【答案】
【分析】先根据完全平方公式、平方差公式进行计算，再去括号后合并同类项即可求解.
【详解】原式=，
=，
=．
小汪解答解分式方程：“”的过程如下：
解：去分母得：…① 去括号得：…②， 移项得：…③． 合并同类项得：…④， 系数化为1得：…⑤ 经检验，是原分式方程的解．
你认为他的解题过程正确吗？若正确，请检验；若不正确，请指出错误（从第几步开始错），
并写出正确的解答过程．
【答案】不正确，从第①步开始错，，解答过程见解析
【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程的步骤进行判断并改正即可．
【详解】解：不正确，从第①步开始错，正确步骤如下：
原方程去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
检验：当时，，
故原方程的解为．
如图，在中，连接，分别以点A，C为圆心，大于的相同长度为半径作弧，
弧交于点M，N，连接分别交于点E、F、O，连接，．
求证：四边形是菱形；
若F为中点，，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)48
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，，，再证明，继而得到四边相等，即可求证；
（2）先求得，利用正弦函数的定义得到，再利用勾股定理求得，然后利用平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，
，，，．
四边形为平行四边形，
，
，，
，
，
，
四边形为菱形；
（2）解：∵F为中点，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴设，则，
∵，
∴，
解得（负值已舍去），
∴，
∴的面积．
为营造书香校园，了解同学们的课外阅读习惯，某校文学社随机抽取300名同学进行问卷调查，
所有问卷全部收回且有效．调查问卷如下：
亲爱的同学： 你好！为优化校园阅读环境，诚邀你参与本次匿名调查（均为单选）： 1．你每天的课外阅读时长是（ ） A．30分钟以内 B．30分钟~1小时 C．1小时~2小时 D．2小时及以上 2．你通常进行课外阅读的时间段是（ ） A．早读前 B．午休时段 C．放学后 D．其他时间 （注：问题1中的阅读时长含前一个边界值，不含后一个边界值．）
调查结果绘制成了如下不完整的扇形统计图
以及阅读时长为“1小时~2小时”的同学在各阅读时间段的人数的条形统计图．
扇形统计图中“30分钟以内”所在扇形的圆心角度数为________度．
本次调查的同学中，每天阅读时长为“1小时~2小时”的同学有多少人？并补全条形统计图．
若该校共有1500名学生，请估计每天课外阅读时长在1小时及以上的学生人数．
【答案】(1)
(2)人，见解析
(3)675人
【分析】（1）用360度乘以所占百分比计算即可；
（2）先计算该项目的人数，再补图即可；
（3）用样本估计总体的思想计算即可；
【详解】（1）解： ．
（2）解：（人），
阅读时长为“1小时~2小时”的同学人数为（人），
补全图形如下：
（3）解：（人）
答：该校每天课外阅读时长在1小时及以上的学生人数为675人．
21. 图1是我国古代提水的器具桔槔（）；创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿；
大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物；前端连接小竹竿
（小竹竿始终与地面垂直）；小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力；从而提水出井．当放松大竹竿时；小竹竿下降；水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图；
大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，．
如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）；
如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置；
此时；求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．
（参考数据：）
【答案】(1)1.7米
(2)0.6米
【分析】（1）作于点，则，由题意得：，，求得，米，根据，即可求解；
（2）由（1）知，，，可求得米，作于点，则，同理可得，，，根据，可求得，即可求解．
【详解】（1）解：如图，作于点，则，
由题意得：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵O为的中点，米，
∴米，
在中，，
，，
∴支点到小竹竿的距离（米）；
（2）解：由（1）知，，，
∴米，
如图，作于点，则，
同理可得，，
∴，
在中，，
，
∴，
∴米，
∴水桶在竖直方向上升的距离约为0.6米．
22. 如图，在中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，
以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若点E为的中点，，求阴影部分的面积；
(3)连接，若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，切线的判定，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键．
（1）连接，由角平分线的定义得到，再由等边对等角得到，则，据此可证明，得到，由此可证明是的切线；
（2）根据线段之间的关系证明，解直角三角形可得，则可求出，再根据列式计算即可；
（3）由直径所对的圆周角是直角得到，解得到，设，由勾股定理可得；证明，进而证明，得到，则，，进而可求出，再根据余弦的定义可得答案．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
由（1）可得，
在中，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵是的直径，
∴，
在中，，
设，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，．
23．为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，
并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，
该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设的读数为x，读数为y抛物线的顶点为C．
(1)（Ⅰ）列表：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
x 0 2 3 4 5 6
y 0 1 2.25 4 6.25 9
（Ⅱ）描点：请将表格中的描在图2中；
（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出与的关系式；
如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，
该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为，竖直跨度为，
且，，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，
请选择其中一种方案，并完善过程：
方案一：将二次函数平移，使得顶点与原点重合，此时抛物线解析式为．
①此时点的坐标为______；
②将点坐标代入中，解得______；（用含，的式子表示）
方案二：设点坐标为
①此时点的坐标为______；
②将点坐标代入中解得______；（用含，的式子表示）
(3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系中有，两点，，且轴，二次函数和都经过，两点，且和的顶点，距线段的距离之和为10，若轴且，求的值．
【答案】(1)图见解析，
(2)，；，
(3)的值为或
【分析】（1）描点、连线绘制函数图象即可，再利用待定系数法即可得出函数表达式；
（2）方式一：表示出点的坐标为，代入二次函数解析式计算即可得解；方式二：表示出点的坐标为，代入二次函数解析式计算即可得解；
（3）由题意可得，二次函数和的对称轴都为直线，的顶点坐标为，的坐标为，的坐标为，求出的顶点距线段的距离为，得出的顶点距线段的距离为，从而可得的顶点坐标为或，再分情况代入计算即可得解．
【详解】（1）解：描点、连线绘制函数图象如下：
由图可得，抛物线经过原点，
故设抛物线的表达式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴与的关系式为；
（2）解：方案一：将二次函数平移，使得顶点与原点重合，此时抛物线解析式为．
①此时点的坐标为；
②将点坐标代入中得，，
解得；
方案二：设点坐标为
①此时点的坐标为；
②将点坐标代入中得：，
解得；
（3）解：由题意可得，二次函数和的对称轴都为直线，的顶点坐标为，
∵二次函数和都经过，两点，且，
∴的坐标为，的坐标为，
∴的顶点距线段的距离为，
∵和的顶点，距线段的距离之和为10，
∴的顶点距线段的距离为，
∴的顶点坐标为或，
当的顶点坐标为时，，
将代入得，
解得：；
当的顶点坐标为时，，
将代入得，
解得：，
综上所述，的值为或．
24．在和中，，，点在的内部，连接，和，设．
(1)当时，如图1，请求出值，
(2)当时：
① 如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化；如有变化，请求出k值并说明理由；
② 如图3，当，，三点共线，且为中点时，请求出的值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据题意得到和都是等边三角形，证明，根据全等三角形的性质解答；
（2）①根据等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质计算；
②作于，设，证明，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据正切的定义计算即可．
【详解】（1）解：，
理由如下：如图1，，，，
和都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，即；
（2）①值发生变化，，
，，，
和都是等腰直角三角形，
，，，
，，
，
，即，
；
②作于，
设，则，
点为中点，
，
由勾股定理得，，
，，
，
，即，
解得，，
，
则．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
2026年浙江杭州市萧山区九年级中考数学模考练习试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
第一部 分选择题
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．中国古代数学著作《九章算术》就最早提到了负数，的相反数是（ ）
A．2026 B． C． D．
创新驱动发展，也使人们的生活更加便捷．如图是一款手机支撑架，
我们可以通过改变面板张角的大小来调节视角舒适度．小明将该支撑架放置在水平桌面上，
并调节面板的张角至视角舒适，若张角，支撑杆与桌面夹角，
那么此时面板与水平方向夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
根据萧山区政府2026年1月发布的《政府工作报告》获悉，2025年萧山区总值为2506亿元，
同比增长．则2506亿用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
4． 如图为出现在杭州街头的新型无线充电石墩，关于石墩的三视图的描述，正确的是（ ）
A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同
C．左视图和俯视图相同 D．三个视图都相同
5. 对于反比例函数，下列说法错误的是（ ）
A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限
C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大
如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是以原点O为位似中心的位似图形．
若点的对应点为，则点的对应点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？
译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，
则最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有辆车，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
随着初中学业水平考试的临近，我校连续四个月开展了学科知识模拟测试，
并将测试成绩整理，绘制了如图所示的统计图（四次参加模拟考试的学生人数不变），
下列四个结论不正确的是（ ）
A．共有500名学生参加模拟测试
B．从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
C．第4月增长的“优秀”人数比第3月增长的“优秀”人数多
D．第4月测试成绩“优秀”的学生人数达到100人
9. 如图，在扇形中，，，点C在弧上，
连接，垂直平分交于点D，则弧的长度为（ ）
A． B． C． D．
10. 如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，
点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，
它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．
已知y与t的函数关系图像如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：
①AD=BE=5； ②；
③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；
其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．计算：=_______
12．不等式组的解是 __________．
13．代数式和代数式的值相等，则 ．
电路图中有3个开关，A、B、C和两个小灯泡、，同时闭合两个开关，
能形成闭合电路的概率____________．
15．【文化欣赏】
勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，
创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图2由弦图变化得到，
它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形、正方形、
正方形的面积分别为，，，若正方形的边长为6，则________．
16．如图，正方形中，E为上一点，于点F，已知，，
过C、D、F的与边交于点G，则的值为_______
三、解答题（本大题共8题，第17-21题每题8分，22-23题每题10分，第24题12分，满分72分）
17．计算：.
小汪解答解分式方程：“”的过程如下：
解：去分母得：…① 去括号得：…②， 移项得：…③． 合并同类项得：…④， 系数化为1得：…⑤ 经检验，是原分式方程的解．
你认为他的解题过程正确吗？若正确，请检验；若不正确，请指出错误（从第几步开始错），
并写出正确的解答过程．
如图，在中，连接，分别以点A，C为圆心，大于的相同长度为半径作弧，
弧交于点M，N，连接分别交于点E、F、O，连接，．
求证：四边形是菱形；
若F为中点，，，求的面积．
为营造书香校园，了解同学们的课外阅读习惯，某校文学社随机抽取300名同学进行问卷调查，
所有问卷全部收回且有效．调查问卷如下：
亲爱的同学： 你好！为优化校园阅读环境，诚邀你参与本次匿名调查（均为单选）： 1．你每天的课外阅读时长是（ ） A．30分钟以内 B．30分钟~1小时 C．1小时~2小时 D．2小时及以上 2．你通常进行课外阅读的时间段是（ ） A．早读前 B．午休时段 C．放学后 D．其他时间 （注：问题1中的阅读时长含前一个边界值，不含后一个边界值．）
调查结果绘制成了如下不完整的扇形统计图
以及阅读时长为“1小时~2小时”的同学在各阅读时间段的人数的条形统计图．
扇形统计图中“30分钟以内”所在扇形的圆心角度数为________度．
本次调查的同学中，每天阅读时长为“1小时~2小时”的同学有多少人？并补全条形统计图．
若该校共有1500名学生，请估计每天课外阅读时长在1小时及以上的学生人数．
21. 图1是我国古代提水的器具桔槔（）；创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿；
大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物；前端连接小竹竿
（小竹竿始终与地面垂直）；小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力；从而提水出井．当放松大竹竿时；小竹竿下降；水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图；
大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，．
如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）；
如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置；
此时；求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．
（参考数据：）
22. 如图，在中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，
以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E．
求证：直线是的切线；
若点E为的中点，，求阴影部分的面积；
连接，若，求的值．
23．为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，
并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，
该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设的读数为x，读数为y抛物线的顶点为C．
(1)（Ⅰ）列表：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
x 0 2 3 4 5 6
y 0 1 2.25 4 6.25 9
（Ⅱ）描点：请将表格中的描在图2中；
（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出与的关系式；
如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，
该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为，竖直跨度为，
且，，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，
请选择其中一种方案，并完善过程：
方案一：将二次函数平移，使得顶点与原点重合，此时抛物线解析式为．
① 此时点的坐标为______；
② 将点坐标代入中，解得______；（用含，的式子表示）
方案二：设点坐标为
① 此时点的坐标为______；
② 将点坐标代入中解得______；（用含，的式子表示）
【应用】如图4，已知平面直角坐标系中有，两点，，且轴，
二次函数和都经过，两点，
且和的顶点，距线段的距离之和为10，若轴且，求的值．
24．在和中，，，点在的内部，连接，和，设．
(1)当时，如图1，请求出值，
(2)当时：
① 如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化；如有变化，请求出k值并说明理由；
② 如图3，当，，三点共线，且为中点时，请求出的值．
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