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济南旅游学校高三年级第3次模拟考试
数学测试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知a，b，，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知数列满足，且，则数列的前项和为（ ）
A. B. C. D.
6. 设，则（ ）
A. -4 B. -8 C. -12 D. -16
7. 函数的部分图象大致是（ ）
A. B. C.
D.
8. 已知椭圆的焦点分别为，，且是抛物线的焦点，若是与的一个交点，，则的方程为（ ）
A. B. 或 C. D. 或
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知数据的平均数为10，方差为1，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 数据的方差为4； B. 数据的平均数为24；
C. 数据的平均数为10，方差大于1；
D. 若数据的中位数为，分位数为，则.
10. 已知等差数列的公差，为数列的前n项和，对给定的n且，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时， B. 当时，
C. 当，时， D. 当，时，
11. 如图，已知正方体，点，O分别为上、下底面的中心.正四面体以为轴旋转一圈，形成一个空间几何体，该几何体的轴截面的截口曲线（截面与几何体侧面的交线）为双曲线的局部，则（ ）
A. 直线与直线所成的角为90°
B. 直线与平面所成的角为45°
C. 若正方体的棱长为2，则点到平面的距离为
D. 此双曲线的离心率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上.
12. 已知，，若，则______.
13. 过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________.
14. 已知函数是上的单调递增函数，则的值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.
15. 如图，三棱锥中，平面AOB，，，．
（1）求证：平面POC；
（2）求平面PAB与平面POC夹角的余弦值．
16. 如图，在中，已知，，，点M在边BC上且，AM与AC边上的中线BN相交于点P.
（1）求中线BN的长；
（2）求的余弦值.
17. 某商城为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球，规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.
（1）求中奖次数X的分布列和数学期望；
（2）求第二次中奖的概率；
（3）已知有位顾客进行抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？
18. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交于右支两点.
（1）求双曲线的方程；
（2）证明存在轴上的一点，使得为定值；
（3）求的最大值.
19. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，
（i）过点可以作函数的两条切线，求b的取值范围；
（ii）设A，B是图象上两个不同的点，且A，B两点到的距离相等，判断线段AB的中点在第几象限，并证明.
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