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内江一中 2026 年春季学期高 2027 届半期考试
数 学
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1．如图，在下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前 4 项，则这个数列的一个通项公式
为（ ）
A．an =3
n-1 B． an = 3
n C n． an = 3 - 2n D． an = 3
n-1 + 2n - 3
f x x x f x0 +k - f2 = lim x ．已知函数 在 0处的导数为 -2 ，则 0 等于（ ）
k 0 k
A．2 B．－2 C．1 D．－1
1
3．已知数列 an 中， a1 = 2， an =1- a ( n 2 )，则 a2020 等于（ ）n-1
1
A 1． 2 B．- C． -1 D．22
4．如图是 y = f (x) 的导数 y = f x 的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在 (-3,1)内 f x 是增函数 B．在 (3, 4) 内 f x 是减函数
C．在 x = 2 时 f x 取得极小值 D．当 x = 4 时 f x 取得极大值
5．若 f x = x3 - ax 2 + 4 在 0,2 内单调递减，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．a 3 B． 0 < a < 3 C．a 3 D． a = 3
6．已知函数 f x = x 表示不超过 x 的最大整数， an = 4n -1，bn = log2 an ，数列 bn 的前 n 项和为 Sn ，
则 S100 = （ ）
A．673 B．747 C．769 D．821
0.1 b ln 11e c 127．若 a = e ， = ， = ，则（ ）10 11
A．a > b > c B． a > c > b C． c > a > b D．b > a > c
8 f x = e3lnx-x - x2．设函数 - a - 4 x - 4，若 f x 0，则 a 的最小值为（ ）．
1 1 4
A．e B． C． 2 D．e e e2
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9．下列求导运算正确的是（ ）

A． sin
π π
÷ = cos B． 2x = 2x ln2
è 5 5
1
C． 1 1 ÷ = - D． éln 2x -1 ù
=
è x x2
2x -1
10．下列说法中，正确的有（ ）
A．已知数列 an 是等差数列，那么数列 an + an+1 一定是等差数列
B．已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 S4 = 3, S8 = 8，则S16 = 24
Sn 4n + 2 a 11C．已知等差数列 an 与 bn 的前 n 项和分别为S 5n 与Tn ，若 =T 3n ，则 =n -1 b5 7
D S a n
a8
．设 n 为等差数列 n 的前 项和， n +1 Sn nSn+1 n N ，若 -1 Sa ，则 n 的最小值是 S77
ì x
11．若点 A
-e +1，x 1
x1 , y1 , B x2 , y2 x1 x2 是函数 f（x）= í 的图象上任意两点，且函数 f（x）在点 A
ln x, x >1
和点 B 处的切线互相垂直，则下列结论正确的是（ ）
x
A． x1 0 B．0 x1 1 C
2
． x 最小值为 e D． x1x2 最大值为 e1
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12 2．如果某物体做运动方程为 s = 2 1- t 的直线运动（s 的单位为 m，t 的单位为 s），那么其在 1.2s 末的瞬
时速度为______m/s．
ìn +1
,n为奇数，
13 2．设数列{ an }的通项公式是 an = í n Sn 其前 项和为 n ，则S30 =______
，n为偶数， 2
14．已知函数 f (x) f (x) g(x)
f (x)
与 的图像如下图所示，设函数 = x . e
给出下列四个结论
①函数 f (x) 在区间 (- ,0)上是减函数，在区间 (0, + )上是增函数；
②函数 f (x) 在区间 (- ,-1)和 (1,+ )上是增函数，在区间 (-1,1)上是减函数；
③函数 g(x)有三个极值点；④函数 g(x)有三个零点.
其中，所有正确结论的序号是_____________ .
四、解答题:本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15（本小题 13分）已知函数 f x = x3 + x -16.
（1）求曲线 y = f x 在点 2，- 6 处的切线的方程；
（2）直线 l 为曲线 y = f x 的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点的坐标.
16.（本小题 15分）已知等差数列 an 的前 n 项和为Sn ，等比数列 bn 的前 n 项和为Tn ，
a1 = b1 =1, a2 + b2 = 2.
（1）若 a3 + b3 = 3，求 bn 的通项公式；
（2）若T3 = 21，求 S3 .
a
17 n *．（本小题 15分）已知数列{an}中， a1 =1， an+1 = (n N )a .n + 4
ì 1 1ü
（1）求证： í +a 3 是等比数列，并求
{an}的通项公式 an ；
n
（2）数列{bn} b = (4n
n +1
满足 n -1) × n ×an ，求数列{b3 n
}的前 n 项和Tn .
18 x．（本小题 17 分）已知函数 f x = x - 2 e
(1)求函数 f x 的极值；
(2)在给定的直角坐标系中画出函数 y = f x 的大致图像；
(3)讨论关于 x 的方程 f x - a = 0 a R 的实根个数．
.
19.（本小题 17 分）已知函数 f x = ln 1+ x2 + ax a 0 .
（1）讨论 f x 的单调性；
1 1 1
（2）证明： 1+
è 24
÷ × 1+ ÷ ××× 1+
è 34 è n4
÷ e n N , n 2，其中无理数e = 2.71828 × × × .

参考答案
1．A
【详解】设第 n 幅图中着色的三角形个数为 an ，
a =1 = 30 a = 3 = 31 a = 9 = 32由图形可得 1 ， 2 ， 3 ， a4 = 27 = 3
3
，
n-1
据此可归纳得出该数列的一个通项公式为an =3 .
故选：A.
2．B
f x0 + k - f x 【详解】根据导数的定义可知 lim 0 = f x = -2 .
k 0 k 0
故选：B
3．D
a 1 1 1 a 1 1 1【详解】由题设 a1 = 2，知： 2 = - = ， 3 = - = -1a 2 a ，
a4 =1- = 2
1 2 a
，…，
3
∴ an
2020
是周期为 3 的数列，而 的余数为 1，
3
∴ a2020 = 2 .
故选：D.
4．B
【详解】 x (
3
-3,- )时， f (x) 0 ，此时 f (x) ( 3,
3
在 - - ) 单调递减
2 2
x ( 3 - , 2) 时， f (x) > 0
3
，此时 f (x) 在 (- , 2) 单调递增
2 2
x (2,4) 时， f (x) 0，此时 f (x) 在 (2,4) 单调递减
x (4,5) 时， f (x) > 0，此时 f (x) 在 (4,5) 单调递增
Q f (x)在 x = 2 处左增右减，故在 x = 2 时 f x 取得极大值
Q f (x)在 x = 4 处左减右增，故在 x = 2 时 f x 取得极小值
综上可知：B 正确
故选：B
5．C
【详解】 f x = 3x2 - 2ax ，由 f x 在 0,2 单调递减，
ì f 0 0 ì0 0
∴ í f 2 0，∴ í12 4a 0，∴ a 3. -
故选：C
6．A
【详解】根据题意分析可得：b1 = log2a1 = log23 =1，b2 = log2a2 = log2 7 = 2，
b3 = log2a3 = log211 = 3，b4 = log2a4 = log215 = 3，
b5 ~ b8 = 4 ，b9 ~ b16 = 5，b17 ~ b32 = 6，b33 ~ b64 = 7 ，b65 ~ b100 = 8，
所以 S100 =1+ 2 + 3 2 + 4 4 + 5 8 + 6 16 + 7 32 + 8 36 = 673．
故选：A
7．A
11e 11
【详解】∵ b = ln = ln + ln e = ln1.1+1
10 10
∴ a - b = e0.1 - ln1.1-1
令 f (x) = ex - ln(1+x) -1
x 1
则 f (x) = e - ，易知 f (x)在区间 (0, + )单调递增， f (x) > f (0) = e0 -1 = 0，
1+x
∴ f (x) 在区间 (0, + )单调递增，
又∵ f (0) = e0 - ln1-1 = 0
∴ f (0.1) = e0.1 - ln1.1-1 > f (0) = 0，即 a - b > 0，
∴ a > b
b - c = ln1.1+1 12- = ln1.1 1- = ln1.1 0.1-
11 11 1.1
令 g(x) = ln x - (1
1
- )
x
则 g (x)
1 1 x -1
= - 2 = 2 ，当 x (1,+ )时， g (x) > 0，x x x
∴ g(x)在区间 (1,+ )单调递增，
又∵ g(1) = ln1- (1-1) = 0
∴ g(1.1) = ln1.1- (1
1
- ) = ln1.1 0.1- > g(1) = 0，即b-c > 0，
1.1 1.1
∴b > c，
综上所述， a ，b ， c之间的大小关系为a > b > c .
故选：A.
8．D
lnx3e x3
【详解】由函数 f x = e3lnx-x - x2 - a - 4 x - 4 = x - x2 - a - 4 x - 4 = 2x - x - a - 4 x - 4，e e
3 2
因为 f x 0，即 a - 4 x x x2 x 4 x - - 4，即 a - 4 x - x - 在 0, + 恒成立，e e x
2 2
g x x 4 2x - x 4 2 - xx
éx3 + x + 2 ex ù
令 = x - - ，可得 g x = -1+ =
，
e x ex x2 ex x2
当 x (0,2) 时， g x > 0， g x 单调递增；
当 x (2,+ ) 时， g x 0， g x 单调递减，
4 4
所以当 x = 2 时，函数 g x 取得极大值，即为最大值 g 2 = 2 - 2 - 2 = 2 - 4，e e
a 4 4 4 a 4 a 4所以 - 2 - ，即 ，所以实数 的最小值为 .e e2 e2
故选：D.
9．BC
【详解】对于 A，常数的导数为 0，故 A 错误；
对于 B， '2x = 2x ln 2，故 B 正确；
'
C 1 x-1 ' x-2 1对于 ， ÷ = = - = - 2 ，故 C 正确；è x x
对于 D， éln
'
2x -1 1 2 2ù = = ，故 D 错误.2x -1 2x -1
故选：BC.
10．ABD
【详解】若数列 an 是等差数列，则根据等差数列的性质，可知数列 an + an+1 一定是等差数列，A 正确.
在等差数列 an 中，设公差为 d，则 S4 = 4a1 + 6d = 3, S8 = 8a1 + 28d = 8，
d 1 9 9 16 15 1解得 = , a1 = ，S16 =16 + = 24, B 正确.8 16 16 2 8
在等差数列 an 与 bn
Sn 4n + 2 a5 2a5 a1 + a9 S9 38 19
中，若 =T 3n 1 ，则
= = = = =
n - b5 2b5 b1 + b9 T 26 13
，C 错误.
9
由 n +1 Sn nSn+1，得 n
n a + a n +1 a + a
+1 1 n n 1 n+1 ，整理得 an an+1 ，2 2
a8
所以等差数列 an 是递增数列.又 -1，所以 a8 > 0,aa 7 0，所以数列 an 的前 7 项为负值，即 Sn 的最7
小值是 S7 ，D 正确.
故选 ABD.
11．CD
ì-ex +1, x 1
【详解】因为 f (x) = í ,点 A x1 , y1 , B x2 , y2 x1 x
ln x, x >1
2
ì-ex , x 1 ì-ex -e,1
所以 f '(x) =

í1 í
, x >1
1
0,1 x x
因为 f (x) 在点 A 和点 B 处的切线互相垂直
由导数几何意义可知, f (x) 在点 A 和点 B 处的切线的斜率之积为 -1
x1 1所以 x x x1 1 x2 时,满足 -e ÷ = -1x ,即 e
1 = x2 .因为 x2 >1 ,所以è e 1 >12
所以 x1 > 0 ,所以 A、B 错误;
x x1 x
对于 C,
e
可知 2 = , e令 g x = , x 1
x1 x1 x
x
g ' x e ' xe
x - ex ex x -1
所以 = x ÷
÷ = 2 = 2
è x x
令 g ' x = 0 ,得 x =1
x
所以当 x 1时, g ' x 0 ,则 g x e= 在 x 1时单调递减
x
x 1
所以 g x e= 在 x =1 e时取得极小值,即最小值为 g 1 = = e ,所以 C 正确;x min 1
D, x x = x ×ex对于 可知 11 2 1
令 h x = xex , x 1
则 h ' x = e x + xe x
令 h ' x = e x 1+ x = 0 ,解得 x = -1
所以当 x -1时, h ' x 0 ,则 h x = xex 在 x -1时单调递减
当-1 x 1时, h ' x > 0 , h x = xex则 在-1 x 1时单调递增
所以 h x = xex 1在 x = -1时取得极小值,即最小值为 h -1 = -min .e
当 x =1时取得最大值, h 1 = emax ,所以 D 正确.
1 1
当1 x1 x2 时,满足 = -1 x × x = -1x1 x
,即 1 2
2
此方程无解,所以不成立.
综上可知,D 为正确选项.
故选:CD
12．-4.8
【详解】由 s = 2 1- t 2 可得 s = -4t，
所以在 1.2s 末的瞬时速度为 s = -4 1.2 = -4.8 m/s，
故答案为：-4.8．
13. 240
【详解】由题意得 S30 = a1 + a3 + ×××+ a29 + a2 + a4 + ×××+ a30
1 2 15 1 2 15 15 16= + + ××× + + + + ××× + = 2 = 240.
2
14．②③④
【详解】由图像可知实的图像在区间 (- ,-1)、 (-1,1)、 (1,+ )函数值分别为正、负、正，而虚的图像在区
间 (- ,-1)、(-1,1)、(1,+ )分别单调递增、单调递减、单调递增，由导数与函数单调性的关系易知实的是 f (x)
的图像，虚线是 f (x) 的图像.
所以①错误，②正确；
因为 g (x) = 0 ，即 f (x) = 0 ，由图可知 f (x) 恰有三个零点，故④正确；
f g (x) (x)e
x - ex f (x) f (x) - f (x)
又因为 = = ，
(ex )2 ex
x 3由图像可知 = - 、0 、3时， f (x) = f (x)，即 g (x) = 0，
2
又在区间 (- ,
3
- )上， f (x)的图像在 f (x) 的图像的上方，即 f (x) - f (x) > 0
2
3
在区间 (- ,0) 上， f (x)的图像在 f (x) 的图像的下方，即 f (x) - f (x) 0
2
在区间 (0,3)上， f (x)的图像在 f (x) 的图像的上方，即 f (x) - f (x) > 0
在区间 (3, + )上， f (x)的图像在 f (x) 的图像的下方，即 f (x) - f (x) 0
3
所以- 、0 、3分别为极大值点、极小值点、极大值点，即函数 g(x)有三个极值点
2
所以③正确
故答案为②③④
15.（1）13x - y - 32 = 0 ；（2） l :13x - y = 0，切点 - 2，- 26
【详解】（1）Q f , x = x3 + x -16 , = 3x2 +1
在点 2，- 6 处的切线的斜率为 f , 2 = 3 22 +1 =13，
故切线方程为 y + 6 =13 x - 2 ,即13x - y - 32 = 0.
2
（方法一）设切点为 x0 , y0 ,则直线 l 的斜率为 f , x0 = 3x0 +1
直线 l 的方程为 y = 3x 20 +1 x - x0 + x 30 + x0 -16.
又直线 l 过点 0,0 ，
0 = 3x 20 +1 - x0 + x 30 + x0 -16, 解得 x0 = -2.
因此 y0 = - 2 3 + - 2 -16 = -26, f , - 2 = 3 - 2 2 +1 =13.
故直线 l 的方程为 y =13x，切点坐标为 - 2，- 26 .
（方法二）设直线 l 的方程为 y = kx ，切点为 x0 , y0 ,
k y0 - 0 x
3 + x -16
则 = = 0 0 .Qk = f , x0 = 3x 2 +1,x0 - 0 x 00
x 3
0
+ x0 -16 = 3x 20 +1, 解得 x0 = -2.x0
y0= - 2 3 + - 2 -16 = -26, k = 3 - 2 2 +1 =13.
故直线 l 的方程为 y =13x，切点坐标为 - 2，- 26 .
16.（1）b n-1n = 2 ，（2） S3 = -6或21
解析：（1）解：设等差数列 an 的公差为 d,等比数列 bn 的公比为q .
由 a1 =1,b1 =1,得a2 =1+ d ,b2 = q, a3 =1+ 2d ,b = q
2
3 .
ì 1+ d + q = 2 ìd + q =1
已知 a2 + b2 = 2, a3 + b3 = 3,则：í ，化简得1 2d q2 3 í+ + = 2d + q2 = 2
由①得 d =1- q,代入②： 2 1- q + q2 = 2, 即 q2 - 2q = 0，解得 q = 0（舍），或 q = 2.
则 d = -1,所以bn = b q
n-1
1 = 2
n-1.
等比数列 bn 的前 3 项和T3 = b1 + b2 + b3 =1+ q + q2 = 21,即
q2 + q - 20 = 0, 解得 q = 4或q = -5.
当 q = 4时，由 a2 + b2 = 2，得 1+ d + 4 = 2，解得 d = -3，S3 = -6.
当 q = -5时，由 a2 + b2 = 2，得 1+ d + - 5 = 2，解得 d = 6，S3 = 21.
综上， S3 = -6或21
15 2n + 5
17．(1)答案见解析；(2) Tn = -4 4 ×3n-1
.
ì 1 1ü
【详解】试题分析：⑴根据数列的递推关系，结合等比数列的定义即可证明 í +a 3 是等比数列，并求
an
n
的通项公式 an ，⑵利用错位相减法即可求得答案；
an *
解析：（1）∵ an+1 = n Na n + 4
1 a
∴ = n
+ 4
=1 4+
a n N
*
n+1 an an
1 1 4 1 1

∴ + = + ÷ ， n N *a 3 a 3 n+1 è n
1 1 4
∵ a1 =1， + =a ，1 3 3
ì 1 1ü
+ 4∴ í 是以 为首项，以 4 为公比的等比数列
an 3 3
1 1 4
∴ + = ×4n-1an 3 3
，
1 4n -1
∴ = ，
an 3
∴ a
3
n = n ， n N * 4 -1
b 4n 1 n +1（2） n = - × n ×a 3n， a3 n = 4n -1
b n +1n = 3n-1
Tn = b1 + b2 +L+ bn
2 3 n n +1
∴Tn = 0 +3 31
+L+ n-2 +3 3n-1
①
1 T 2 3n = 1 + 2 +L
n n +1
+
3 3 3 3n-1
+ ②
3n
2
①-②得 Tn = 2
1 1 1 n +1
+ 1 + 2 +L+3 3 3 3n-1
-
3n
1 1- n
1 3 n +1= + - n
1 1- 3
3
5 3 1 n +1
= - × -
2 2 3n 3n
15 2n + 5
∴Tn = - n-1 .4 4 ×3
18．(1)极小值为 f 1 = -e ，无极大值
(2)作图见解析
(3)答案见解析
x
【详解】（1）因为函数 f x 定义域为R， f x = e + x - 2 e x = x -1 e x ，又 ex > 0恒成立，
当 x - ,1 时， f x 0；当 x 1,+ 时， f x > 0；
所以， f x 的单调递减区间为 - ,1 ，单调递增区间为 1, + ，极小值为 f 1 = -e ，无极大值.
（2）当 x 2 时， x - 2 0 ， ex > 0，则 f x 0 恒成立，
f x 图象如下：
（3）方程 f x = a的根的个数等价于函数 f x 与 y = a 的交点个数；
结合（2）中图象可知：
当a 0时， f x 与 y = a 有且仅有一个交点；
当-e a 0时， f x 与 y = a 有两个不同交点；
当 a = -e 时， f x 与 y = a 有且仅有一个交点；
当 a -e时， f x 与 y = a 无交点；
综上所述：当 a 0, + U -e 时，方程 f x = a有唯一的实数根；
当 a -e,0 时，方程 f x = a有两个不同的实数根；
当 a - ,-e 时，方程 f x = a无实数根.
2
19. 2x ax + 2x + a解：（1） f , x = 2 + a =1+ x 1+ x2
2x
当 a = 0 f ,时， x = > 0 x > 0
1+ x2
f x 在 0,+ 单调递增，在 - ，0 单调递减.
当 a 0且ax2 + 2x + a = 0的判别式 0，
即 a -1时，f , x 0对x R恒成立.
f x 在R上单调递减。
当-1 a 0时，由f , x > 0得：ax2 + 2x + a > 0
-1+ 1- a2 x -1- 1- a
2
解得：
a a
2 2
由 f , x 0 x -1- 1- a x -1+ 1- a 可得： > 或
a a
é
f x -1+ 1- a
2
, -1- 1- a
2 ù
在 上单调递增，
a a

, -1+ 1- a
2 ù é
, -1- 1- a
2
在 - ,+ ÷ ÷ 上单调递减.
è a a
（2）由（1）当 a = -1时，f x 在 - ，+ 上单调递减.
当 x > 0时，f x f 0 , ln 1+ x2 - x 0,即ln 1+ x2 x.
lné 1 1 1 + 1 ù 1 1 1 4 ÷ × 1+ 4 ÷ ×××

1+ 4 ÷ 2 + 2 + ×××+ 2
è 2 è 3 è n 2 3 n
1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ + ×××+ = 1- ÷ +
- ÷ + ××× +

-

÷ =1- 1
1 2 2 3 n n -1 è 2 è 2 3 è n -1 n n
1 1 1 1+ 4 ÷ × 1+ 4 ÷ ××× 1+ ÷ e.è 2 è 3 è n4

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