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内江一中高 2028 届高一下学期期中数学测试卷
一、单选题（共 40 分，每小题 5 分）
1．下列说法中正确的是（ ）
A．向量的模都是正实数
B．单位向量只有一个
C．向量的大小与方向无关
D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
5
2．在VABC 中，已知 a = 3 3 ， c = 2，B = π ，则b =（ ）
6
A． 13 B． 22 C． 2 10 D． 7
ur uur
3．若 e1 ，e2 是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（ ）
ur uur ur uur ur uur ur uur
A． e1 + e2 和 e1 - e2 B．3e1 - 2e2 和-6e1 +4e2
ur uur ur uur uur ur uur
C． e1 + 3e2 和3e1 + e2 D．e2 和 e1 + e2
uuur
4．在VABC 中，点 D 是线段 BC 的中点，E 是线段 AD 的靠近 A 的三等分点，则BE =（ ）
5 uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
A． AB + AC
5 AB 1 AC 5 AB 1 AC 3 AB 1B．- + C．- + D．- + AC
6 6 6 6 6 3 5 6
π
5 2．已知函数 f x = 4cos w x + 4sinw xcosw x w > 0 的最小正周期为 ，将 f x 的图象向下平移 2 个单位长
2
度后，再将横坐标伸长为原来的 2 倍，得到函数 g x 的图象，则 g x 的一个单调递增区间为（ ）
π- ,0 π 5π 5π , 9π, 3π , 5π A． B．2 ÷ 8 8 ÷ C． ÷ D．è 8 8 4 4 ÷è è è
6 sin
a π 1 π+ = cos a - + cos 2a π+ ．已知 ，则 =6 ÷ 3 3 ÷ 3 ÷
（ ）
è è è
4 10 4
A 10．- B．- C． 9 D．9 9 9
7．如图所示，为测量一棵树 HP 的高度，在地面上选取 A，B 两点（A，B，H 三点共线），从 A，B 两点分
别测得树尖 P 的仰角为30°， 45°，且 A，B 两点之间的距离为30m，则树的高度为（ ）
A．15m B．30 3m C． 15 +15 3 m D． 30 3 -15 m
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
8．如图，在VABC 中，CA ×CB =1，AC = 3AE ，BC = 3DC，F 为 AD 与 BE 的交点，则向量CF在CA上的
投影向量的模的最小值为（ ）
2 1 4 6A． B． C． D．
7 2 7 7
二、多选题（共 18 分，每小题 6 分）
9．下列等式计算正确的是（ ）
A cos 20 cos 40 sin 20 3 2． ° ° - °sin 40° = B．1- 2cos2 22.5° =
2 2
C． 1+ tan18° 1+ tan 27° = 2 D 1- tan15° 3． =
1+ tan15° 3
10．在VABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则下列说法中正确的是（ ）
B πA．若 = ,c = 4,b = 3，则符合条件的VABC 只有一个
6
B．若 A > B ，则sin A > sin B
C．若 a3 + b3 = c3 ，则VABC 是锐角三角形
π b
D．若 A = ，则 的最大值是
3 a 3
11．幻彩摩天轮位于中山市西区兴中广场C 段．该摩天轮轮体直径为83m，最高点离地108m．轮体上均匀
设置了依次标号为1~ 36号的36个座舱，开启后按照逆时针方向匀速旋转，每20min转一周.已知在时刻
t min 0 t 20 时1号舱 P 距离地面的高度 h t = Asin wt +j + b（其中 A > 0 ，w > 0， j < π），且 t = 0
时，P 位于最低位置．且摩天轮开始启动时，1号舱 P ，10号舱Q，13号舱 R 位置如图所示，运行过程中其
离地面高度分别记为 hP ， hQ ， hR ，则（ ）
h t 83 sin π π 133A． =
2
t -
10 2 ÷
+ 0 t 20
è 2
83 6 - 2
B ．摩天轮运行一周的过程中， hR - hQ = mmax 4
C．不存在 t 0,5 使得 hP - hQ = hR - hQ
D．摩天轮运行一周的过程中， hP - hQ = hR - hQ 的情形共出现3次
三、填空题(共 15 分，每小题 5 分)
tana 112．已知 = ， tan b
1
= ，则 tan(a - b ) = ______.
2 4
π
13．如图，在平行四边形 ABCD中，AB = 3， BAD = ，E 是边BC 的中点，F 是CD上靠近D的三等分点，
3
uuur uuur
若 AE × BF = -2，则 AD = ______．
14．在VABC 中，P 为边 AB 上一点，CP =1， ACP = 30°， BCP = 45°，AP = lBP， CPB =q .当VABC
面积最小时， tanq = ________.
四、解答题（共 77 分）
15．（13 分）已知 A 1,2 ，B 3,4 ，C -1, 5
r
(1)若 c = r uuur1,l r，且c∥AB，求 c ．
(2)若四边形 ABCD为平行四边形，求点D的坐标．
r r r r
16．（15 分）已知 a = 4， b = 2，且 a 与b 夹角为60°，求：
r r
(1) 2a - b ；
r r r
(2) a 与 a + b 的夹角的余弦值.
17．（15 分）已知函数 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0,-π < j < π 的部分图象如图所示.
(1)求 f x 7π 的解析式.(2)设函数 g x = f x + - 2cos2x .
è 24 ÷
é π 11π ù
（i）求 g x 的单调递减区间；（ii）若 x ê , ú ，求 g x 的最大值与最小值. 2 12
18.（17 分）在面积为 S 的VABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若
mr = sin C - sin B, a r- b ， n = sin A,c + b mr //nr，且 .
(1)求角 C 的大小；(2)若 c = 2 3 ， S = 2 3 ，求VABC 的周长；
(3)若VABC 为锐角三角形，且 AB 边上的高 h 为 2，求VABC 面积的取值范围.
19．（17 分）已知函数 f x = 2sin 2wx
π
+ ÷ +1 .
è 6
π
(1)若对于任意 x R都有 f x1 f x f x2 ，且 x1 - x2 = ，求 f xmin 的对称中心；2
π
(2)若0 < w < 5
π
，函数 f x 图象向右平移 个单位，得到函数 g x 的图象， x = 是 g x 3 的一个零点，函数6
g x 在区间 m, n （m, n R 且m < n ）上恰好有 2026 个零点，求 n - m的最小值；
(3)在第（2）问条件下，将函数 g x 7π图象上所有点的横坐标伸长为原来的 3 倍，再向左平移 个单位长度，
12
2 é π π ù
向下平移 1 个单位长度后得到函数 h x 的图象.若关于 x 的方程 éh x ù + lh x + 3 = 0在 ê- , 上有且仅 12 3 ú
有四个解，求实数l 的取值范围.
参考答案
1．C
【详解】对于 A：根据向量的概念可知，零向量的模为零，故 A 错误；
对于 B：单位向量的定义，单位向量的模为 1，方向为任意方向，故 B 错误；
对于 C：向量的模与方向没有关系，故 C 正确；
对于 D：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故 D 错误.
故选：C.
2．D
【详解】在VABC 中，由余弦定理得，
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B = 49 ，
由b > 0解得b = 7 .
故选：D
3．B
ur uur ur uur
【详解】因为向量 e1 ，e2 是平面内的一组基底，可得向量 e1 ，e2 为平面内不共线的向量，
ur uur ur uur ur uur ì1 = l
对于 A 中，设 e1 + e2 = l (e1 - e2 ) = le1 - le2 ，可得 í1 ，此时方程组无解， = -l
ur uur ur uur
所以向量 e1 + e2 和 e1 - e2 不共线，可以作为平面的一组基底；
ur uur ur uur ur uur ì3 = -6l 1
对于 B 中，设3e1 - 2e2 = l (-6e1 +4e2 ) = -6le1 +4le2 ，可得 í ，解得l = - ，
-2 = 4l 2
ur uur ur uur
所以向量3e1 - 2e2 和-6e1 +4e2 为共线向量，不能作为平面的一组基底；
ur uur ur uur ur uur ì1 = 3l
对于 C 中，设 e1 + 3e2 = l (3e1 + e2 ) = 3le1 + le2 ，可得 í3 l ，此时方程组无解， =
ur uur ur uur
所以向量 e1 + 3e2 和3e1 + e2 不共线，可以作为平面的一组基底；
uur ur uur ur uur ì0 = l
对于 D 中，设 e2 = l (e1 + e2 ) = le1 + le2 ，可得 í1 l ，此时方程组无解， =
uur ur uur
所以向量e2 和 e1 + e2 不共线，可以作为平面的一组基底.
4．B
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】因为D是BC 的中点，所以 AD = AB + BD = AB
1
+ BC = AB 1+ AC - AB 1= AB + AC ，2 2 2
uuur 1 uuur 1 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur因为 E 是 AD 的靠近 A 的三等分点，所以 AE = AD = AB + AC = AB + AC ，3 3 2 6 6
uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur uuur 5 uuur 1 uuur
所以BE = AE - AB =

AB + AC

÷ - AB = - AB + AC ．
è 6 6 6 6
5．C
【详解】 f x = 4 1+ cos 2wx + 2sin 2wx = 2sin 2wx + 2cos 2wx + 2
2
= 2 2 sin π 2wx + 4 ÷
+ 2
è
2π π
最小正周期T = = ，得w = 2，
2w 2
即 f x = 2 2 sin 4x π+ ÷ + 2
π
4 ，图象向下平移 2 个单位长度后得到函数
y = 2 2 sin 4x + ，横坐标伸长到
è è 4 ÷
原来的 2 倍后得到函数 g x = 2 2 sin π 2x +

4 ÷，è
π π 3π π
A. x - ,0 当 2 ÷
， 2x + - , ÷，此区间先减后增，故 A 错误；
è 4 è 4 4
x π , 5π 2x π πB. 当 ÷， +

,
3π
÷ ，是正弦函数减区间的子集，故 B 错误；
è 8 8 4 è 2 2
x 5π , 9π 2x π 3π 5πC. 当 ÷， + ,4 2 2 ÷，是正弦函数增区间的子集，故 C 正确；è 8 8 è
x 3π , 5π π 7π 11π D.当 ÷， 2x + ,4 4 4 ÷
，此区间先增后减，故 D 错误；
è è 4 4
6．C
sin π 1 π é 【详解】因为 a + ÷ = ，所以 cos a - ÷ = cos ê a
π π ù sin π 1+ - =
6 3 3 6 ÷ 2 ú
a + ÷ = ，
è è è è 6 3
cos 2a π
2
+ ÷ = cos
é2 a π ù+ =1- 2sin2 a π+ =1 1- 2 7
3 ê 6 ÷ú ÷ ÷
= ，
è è è 6 è 3 9
cos a π- cos 2a π 1 7 10故 ÷ + + ÷ = + = .
è 3 è 3 3 9 9
7．C
【详解】设树的高度为 h ，由已知，得PH = HB = h，
在RtVPHA tan HAP PH h 3中， = = = .
HA h + 30 3
化简得3h = 3 h +30 h 30 3，解得 = = 5 3 3+ 3 =15 +15 3 .
3 - 3
所以树的高度为 15 +15 3 m.
故选：C.
8．C
uuur uuur uuur 3l uuur m uuur
【详解】由题，设CF = lCA + mCD = CE + CB l, m R ，
2 3
ìl + m =1, ì 4 l = ,
因为 A, F , D 三点共线， B, F , E
7
三点共线，所以 í3l m ，解得 í 3 ， + =1 2 3 m = 7
uuur 4 uuur 3 uuur uuur uuur
所以CF = CA + CD
4
= CA 1+ CB，
7 7 7 7
uuur uuur uuur uuur uuurCF ×CA 1 4CA + CB ×CA 1 uuur 1 2 uuur
则 uuur = uuur = 4 CA + uuur ÷ 4 CA u
1uur 4 = ，
CA 7 CA 7 CA ÷ 7 7è CA
uuur
4 CA u1= uur uuurCA 1当且仅当 CA ，即 = 时等号成立，2
故选：C.
9．CD
【详解】A，根据两角和的余弦公式： cos a + b = cosa cos b - sina sin b ，
代入a = 20°, b = 40°，可得 cos 20° + 40° = cos 60° = cos 20°cos 40° - sin 20°sin 40°，
再代入 cos 60
1
° = ，有 cos 20°cos 40° - sin 20°sin 40
1
° = ，错误；
2 2
B，根据二倍角的余弦公式： cos 2a = 2cos2 a -1，
代入a = 22.5°，可得 cos 2 22.5° = cos 45° = 2cos2 22.5° -1，
cos 45 2再代入 ° = ，有 2cos2 22.5 2° -1 = 1- 2cos2 22.5 2° = - ，错误；
2 2 2
tan a b tana + tan bC，根据两角和的正切公式： + = 1- tana tan b ，
代入a =18°, b = 27°，可得 tan 18° + 27° = tan 45 tan18° + tan 27°° = ，
1- tan18° tan 27°
tan18° + tan 27°
再代入 tan45° =1，有 =1 tan18° + tan 27° =1- tan18° tan 27°，即
1- tan18° tan 27°
tan18°+ tan27°+ tan18° tan27° =1，
所以 1+ tan18° 1+ tan 27° =1+ tan18° + tan 27° + tan18° tan 27° =1+1 = 2，正确；
tan a b tana - tan bD，根据两角差的正切公式： - = 1+ tana tan b ，
代入a = 45°, b =15°
tan 45° - tan15°
，可得 = tan 45° -15° = tan 30° ，
1+ tan 45° tan15°
tan 30 3 , tan 45 1 1- tan15° 3再代入 ° = ° = ，有 = ，正确.
3 1+ tan15° 3
10．BC
π
【详解】因为B = ,c = 4,b = 3
b c 2
，所以由正弦定理 = 得 sin C = > sin B ，
6 sin B sin C 3
所以角 C 有两个值，此时符合条件的VABC 有两个，故 A 错误；
在VABC 中，由大边对大角知， A> B a > b，
又由正弦定理得sin A > sin B，故 B 正确；
由 a3 + b3 = c3 ，得0 < a < c,0 < b < c，则 C 是VABC 的最大内角，
2 2 2
又 c2
a
= ×a2 b+ ×b2 < a2 + b2 ，则 cosC a + b - c= > 0，C 为锐角，
c c 2ab
VABC 是锐角三角形，故 C 正确；
b sin B 2
由正弦定理得 = = sin B
2 3
，
a sin A 3 3
B π b= 2 3当 时， 的最大值是 ，故 D 错误．
2 a 3
故选：BC．
11．ABC
A 83【详解】对于 A，根据题意，得摩天轮轮体的半径为 = 米，
2
因此摩天轮轮体的圆心离地b =108
83 133 T 20 w 2π 2π π- = 米，周期 = ，则 = = = ，
2 2 T 20 10
t 0 133 83当 = 时， P 位于最低位置，即 h 0 = - = 25，
2 2
h t = Asin wt +j + b 25 83 133代入 得 = sinj + sinj = -1，
2 2
结合 j < π，得j
π
= - ，因此 h t 83= sin π π 133 t - ÷ + 0 t 20 ，故 A 正确；2 2 è10 2 2
对于 B，36 2π π个座舱均匀分布，则相邻座舱间的圆心角差为 = ，
36 18
π π
则座舱 R 和座舱Q的圆心角差为3 = ，
18 6
83 π
则有两舱的高度差为 hR - hQ = sin qQ + ÷ - sin q ，2 Q è 6
其中qQ 表示Q在任意时刻 t相对于水平面的相位角（或称旋转角），
83
利用和差化积公式展开得 hR - hQ = 2cos
q π+ sin π ，
2 Q 12 ֏ 12
当 cos
q π Q + ÷ =1，高度差取最大值，
è 12
则最大值为 h h 83 2sin π 83 6 - 2
83 6 - 2
R - Q = = = ，故 B 正确；max 2 12 4 4
对于 C，方程 hP - hQ = hR - hQ 等价于 2hQ = hP + hR 或 hP = hR，
考虑 2hQ = hP + hR ：即 2sin qQ = sin q π π Q - 2 ÷ + sin qQ + ÷，è è 6
3 1 1
化简得 2 - 2 ÷÷
sin qQ = - cos q2 Q tan qQ = - < 0，è 4 - 3
当 t = 0时，qQ = 0
é π ù
，因此当 t 0,5 时，qQ 0,
ê 2 ú
，

因此 tan qQ > 0 ，与 tan qQ < 0矛盾，因此不存在 t 0,5 使得 2hQ = hP + hR ，
考虑 hP = hR：即 sin qP = sin qR ，
其中qP 和qR 分别表示 P, R 在任意时刻 t相对于水平面的相位角（或称旋转角），
由于qR -q
2π
P = ，代入得 sin qP = sin
q 2π+ π 7π π P ÷，解得qP = 或qP = ， P 的初始角度为- ，3 è 3 6 6 2
π
因此当 t 0,5 时，q éP ê- ,0
ù
ú ，则 sin qP = sin qR 无解， 2
因此不存在 t 0,5 使得 hP = hR，
即不存在 t 0,5 使得 hP - hQ = hR - hQ ，故 C 正确；
对于 D，方程 hP - hQ = hR - hQ 等价于 2hQ = hP + hR 或 hP = hR，
考虑 2hQ = hP + hR ：即 2sin qQ = sin q π- + sin π Q 2 ÷ qQ + 6 ÷，è è

化简得 2
3
- ÷÷sin q
1
Q = - cos qQ tan qQ 1= - ，
è 2 2 4 - 3
而在 t 0,20 时，qQ 0,2π ，则 tan q 1Q = - 有 2 个解，4 - 3
考虑 hP = hR：即 sin qP = sin qR ，由于q
2π
R -qP = ，3
2π π 7π π
代入得 sin qP = sin qP + ÷，解得q
è 3 P
= 或qP = ， P 的初始角度为- ，6 6 2
因此当 t 0,20 时，q é π 3π - , ùP ê ú ，则 sin q 2 2 P = sin qR 有 2 个解，
因此在摩天轮运行一周的过程中， hP - hQ = hR - hQ 的情形共出现 4 次，故 D 错误.
2
12．
9
1 1
-
【详解】 tan(a b )
tana - tan b 2
- = = 2 4
1+ tana tan b 1 1 1
= .
+ 9
2 4
13．2
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】因为 AE = AB + BE = AB + AD, BF = BC + CF = AD
2
- AB，
2 3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur2
则 AE·BF
1
= AB + AD 2 ÷· AD - AB

÷ = AB·AD
2
- AB 1+ AD 1- AD·AB 2= AB·AD 2 AB 1- + AD 因为
è 2 è 3 3 2 3 3 3 2
π uuur2 uuur uuur uuur uuur uuurAB = 3, BAD = ，所以 AB = 9, AB·AD = AB AD cos
3
BAD = AD .
3 2
uuur uuur 2 3 uuur 2 1 uuur 2 uuur 2 uuur
又 AE·BF = -2，所以 AD - 9 + AD = -2，化简得 AD + 2 AD -8 = 0，3 2 3 2
uuur
解得 AD = 2（负值舍去），即 AD = 2 .
14． 3 +1 /1+ 3
1
【详解】 SVBCP = BC ×CP sin 45
2
° = BC, S 1VACP = AC ×CP sin 30
1
° = AC ，
2 4 2 4
S 2 1所以 VABC = BC + AC .4 4
AC CP 2sinq
在△ACP中，由正弦定理得 =sin 180° -q sin q - 30° ，化简得 AC = .3 sinq - cosq
BC CP
在VBCP = 2 sinq中，由正弦定理得 sinq sin 135° -q ，化简得BC = .cosq + sinq

S 1 sinq sinq 1
1 1 ÷
故 VABC = + = + ，2 è cosq + sinq
÷
3 sinq - cosq ÷ 2 1 1 3 1+ - ÷
è tanq tanq
1
令 = m，
tanq
S 1 1 1 3 +1 1则 VABC = 2
+ ÷ = · ，
è m +1 3 - m 2 m +1 3 - m
由二次函数性质可知， f m = m +1 3 - m = -m2 + ( 3 -1)m + 3 ，
3 -1
函数开口向下，对称轴为m = ，
2
2
3 -1 f m 3 -1 1 3 3 -1 3 +1 2 + 3所以当m = 时， 取得最大值 + ÷÷ - = = ，2 è 2 è 2 ÷
÷ ÷÷
è 2 2
即当m 3 -1= ， SVABC 取最小值，
2
此时 tanq
1 2
= = = 3 +1
m .3 -1
故答案为： 3 +1
15．(1) 2
(2) (-3,3)
uuur
【详解】（1） A 1,2 ，B 3,4 ，\ AB = (2, 2)
r r uuur
又 c = 1,l 且c∥AB，\2l - 2 = 0,\l =1
r r
\c = (1,1), c = 2 .
uuur uuur
（2）设D(x, y)， AB = (2, 2), DC = (-1- x,5 - y)
uuur uuur ì-1- x = 2 ìx = -3
四边形 ABCD为平行四边形，\AB = DC ,\í 5 y 2 ， í y 3 . - = =
故点D的坐标为 (-3,3) .
16．(1) 2 13
(2) 5 7
14
r r r r r r r r
【详解】（1）Q a = 4 ， b = 2
r r
，且 a 与b 夹角为60°，\a ×b = a × b cos a,b = 4 2 cos 60° = 4，
r r
\ 2a - b = r r 2 r 2 r r r22a - b = 4a - 4a ×b + b = 4 42 - 4 4 + 22 = 2 13 ；
r r r r 2 r 2 r r r2（2）Q a + b = a + b = a + 2a ×b + b = 42 + 2 4 + 22 = 2 7 ，
r r r r 2 r r
a × a + b = a + a ×b = 42 + 4 = 20，
r r r
r r r a × a + b
cos a, a 20 5 7+ b = r r r = = .
a × a + b 4 2 7 14
17．(1) f x = 2sin 5π 2x - ÷
è 12
é π
(2)（i） ê + kπ,
5π
+ kπùú ,k Z ；（ii）最大值为1，最小值为 -2 3 6
【详解】（1）设 f x 3 11π 7π的最小正周期为T ，则 T = - -

÷，解得T = π ，4 24 è 24
所以T
2π
= = π，解得w = 2 .
w
由题意知 A = 2 ，所以 f x = 2sin 2x +j ，
f 11π 又 ÷ = 2sin
2 11π +j

÷ = 2，
è 24 è 24
2 11π j π 5π所以 + = + 2kπ,k Z，即j = - + 2kπ,k Z ，
24 2 12
又-π < j < π j
5π
，所以 = - ，
12
所以 f x 2sin 2x 5π= - ÷ .
è 12
g x f x 7π（2）（i） = +

÷ - 2cos2x = 2sin
π
24
2x + ÷ - 2cos2x
è è 6
= 3sin2x - cos2x = 2sin 2x π- 6 ÷
，
è
π 2kπ 2x π 3π 2kπ,k Z π kπ x 5π由 + - + ，解得 + + kπ,k Z ，
2 6 2 3 6
g x é π kπ, 5π故 的单调递减区间为 ê + + kπ
ù
ú ,k Z . 3 6
π
（ii）设u = 2x - ，
6
é π 11π ù é5π 5π ù
因为 x ê , ú ，所以u , ， 2 12 ê 6 3 ú
y 2sin u é5π 3π ù é3π函数 = 在 ê , ú上单调递减，在 ê ,
5π ù
ú上单调递增， 6 2 2 3
5π π π 1
当u = ，即 x = 时， g x = g ÷ = 2 =16 2 max è 2 ， 2
u 3π x 5π
5π
当 = ，即 =

时， g x = g = 2 -1 = -2，
2 6 min 6 ֏
故 g x é π ,11π ù在 ê 上的最大值和最小值分别为1和 -2 . 2 12 ú
π
18．(1)C =
3
(2) 6 + 2 3
é4 3
(3) ê , 2 33 ÷÷
r
【详解】（1）若m//nr，则 sin C - sin B c + b = sin A a - b ,
由正弦定理可得 c - b c + b = a a - b ，故 a2 + b2 - c2 = ab，
2 2 2
因此 cosC a + b - c 1= = ,
2ab 2
QC 0, π , C π\ = .
3
1
（2）由（1）可得 a2 + b2 -12 = ab ，又 S = absin C = 2 3 ,故ab =8，
2
因此 a2 + b2 = 20 a + b 2 = 20 + 2ab = 36 ，故a +b = 6，
因此周长为 a + b + c = 6 + 2 3
1
（3）由于 S = absin C
1
= ch 3，故
2 2 c = ab，4
c a b c sin A 2 c sin B 2
由正弦定理 = = 可得 a = = c sin A,b = = c sin B，
sin C sin A sin B sin C 3 sin C 3
c 3 2 2故 = c sin A c sin B
3
= c，
4 3 3 sin Asin B
A B 2π B 2π因为 + = ，所以 = - A = π -
π
+ A
3 3 è 3 ÷
，

sin B = sin éπ π ù- + A = sin π 所以 ê ÷è 3 ú
+ A÷，
è 3
故
c 3 3 2 3 2 3= = = =
sin Asin B sin Asin A π+ 2sin Asin A π+ cos A - A π + - cos A A π+ + ÷ ÷
è 3 è 3 ÷ ÷è è 3
÷
è è 3
÷

2 3
=
1 π ,
- cos 2A +
2 3 ֏
ì
0 < A
π
<
2 π π
由于三角形为锐角三角形，故 í ,解得 < A < ，
2π π 6 20 < - A <
3 2
2π 2A π 4π因此 < + < ，故 cos 2A
π 1 1 π 3
+ é-1,- - cos ，则 2A +
1, ù ，
3 3 3 3 ÷ ê 2 ÷ 2 3 ÷ è è è 2 ú
1 2 3 éS ch c 4 3

= = = , 2 3 ÷
因此 2 1 ê- cos π 3
÷ .
2
2A + ÷
è 3
π kπ
19．(1) - + ,1

÷ k Z
π kπ
或 + ,1÷ k Z
è 12 2 è12 2
3037π
(2)
9
7- , -2 3 (3) 2 ֏
π 2π
【详解】（1）因为 f x = 2sin 2wx +

÷ +1的最小正周期为T = ，
è 6 2w
又因为 f x1 f x f x2 ，且 x x
π
1 - 2 =min ，2
T 2π则 = = π2w ，解得w = ±1，
1 f x = 2sin 2x π+ 当w = 时， ÷ +1，
è 6
令 2x
π
+ = kπ k Z ，解得 x π kπ= - + k Z ，
6 12 2
π kπ
所以 f x 的对称中心为 - + ,1÷ k Z ；
è 12 2
当w = -1时， f x = 2sin 2x π π - +

÷ +1 = -2sin

2x -

÷ +1，
è 6 è 6
令 2x
π π kπ
- = kπ k Z ，解得 x = + k Z ，
6 12 2
f x π kπ所以 的对称中心为 + ,1
k Z ；
è12 2 ÷
π kπ
综上所述， f x 的对称中心为 - + ,1÷ k Z
π kπ
+ ,1 k Z
è 12 2
或
÷
.
è12 2
π
（2）将函数 f x 图象向右平移 个单位，得到函数 g x 的图象，
6
则 g x = 2sin 2wx
π π
+ - w
6 3 ÷
+1，
è
因为 x
π
= 是 g x 3 的一个零点，
则 g
π π π π π 1
÷ = 2sin w + ÷ +1 = 0

，即 sin w + ÷ = - ，
è 3 è 3 6 è 3 6 2
π π w π 11π又因为0 < w < 5，则 < + < ，
6 3 6 6
π w π 7π可得 + = ，解得w = 3，
3 6 6
g x 2sin 6x 5π= - +1 T 2π π所以 6 ÷ ，最小正周期 = = .è 6 3
g x 0 5π 1令 = ，可得 sin 6x - ÷ = - ，
è 6 2
则6x
5π π
- = - + 2k π 6x 5π 5π1 或 - = - + 2k π， k , k Z，6 6 6 6 2 1 2
x k1π π解得 = + 或 x
k
= 2
π
， k
3 9 3 1
, k2 Z，
若函数 g x 在 m, n （m, n R 且m < n ）上恰好有 2026 个零点，
要使 n - m最小，则 m、n 恰好为 g x 的零点，
故 n - m =1013 π +1012 2π 3037π =min .9 9 9
（3）由题意知 h x = 2sin 2x
π
+ ÷，且 é h
2
x ù + lh x + 3 = 03 ，è
令 t = 2x
π
+ ，且m = 2sint ，则m2 + lm + 3 = 0，3
x é π - , π ù t
π
é , πù因为 ê ，则 ， 12 3 ú ê 6 ú
t é π ù
ìm = 2sint,
当 ê , π6 ú时，满足方程组 ím2 lm 3 0的
t值有且仅有四个，
+ + =
且函数 y = 2sint
é π , π π ù在 ê ÷ 上单调递增，在 ,π 上单调递减， 6 2 è 2 ú
令 g m = m2 + lm + 3，可得 g m 必有两个相异零点m1 ，m2 ，
由直线 y = m1与 y = m2 和 y = 2sint ， t
é π ù
ê , π6 ú的图象分别有两个交点，
作出直线 y = m1与 y = m y = 2sint t
é π , πù2 和 ， ê 6 ú的图象，如图所示，
由图象可得m1 1,2 ，m2 1,2 ，即 g m 在区间 1,2 上有两个相异零点，
ìΔ = l 2 -12 > 0

l 1< - < 2 7
则满足 í 2 ，解得- < l < -2 3 ，
g 1 = 4 + l 0 2

g 2 = 7 + 2l > 0
7
所以l 的取值范围是 - , -2 3

2 ֏

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