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2026届高三第二学期第三次模拟考试
数 学 2026.05
注意事项：
1．本试卷考试时间为 120分钟，试卷满分 150分．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡上．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共计 40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是正确的．
1．已知集合 = 7, 3,1,5 ， = = lg + 2 ，则 ∩ = （ ）
A． 7, 3 B． 5 C． 3,1,5 D． 1,5
2．复数 满足 1 + i = 15 + i ，则复数 = （ ）
A．2 i B．2 + i C．2 2i D．1 + 2i
3．若圆( 1)2 + 2 = 4 与抛物线 : 2 = 2 > 0 的准线相切，则 的焦点坐标为（ ）
A 1． , 0 B． 1,0 C 3． , 0 D． 2,0
2 2
2 , ≥ 0
4．已知函数 ( ) = 1 , < 0为奇函数，则 + 的值为 （ ）
2
A．0 B． 2 C．2 D．1
5．已知圆台的上 下底面面积分别为 ′, ，且 = 4 ′，圆台的高为 3，轴截面面积为 9，则
该圆台的体积为 （ ）
A．7π B 7π． C．14π D．28π
4
6．已知 为单位向量，向量 在向量 上的投影向量是 2 ，且 4 + ⊥ ，则 的值为（ ）
A．2 B．0 C． 1 D． 2
7．若公比 > 0且 ≠ 1的等比数列 ，前 项积为 ，若 = ，且 2 4 9 3 = 1， =（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
1
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8．在一组数据 1，2，4，5，8中插入一个数 后，该组数据的方差为 2，则 的下列取值
中，使得 2最小的是 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．已知 > > 0, > 0，则下列不等式成立的是 （ ）
A 1 1 + ． < B． >
a b +
C． > D． + 1 1+ ≥ 4

10．记 为等差数列 的前 项和，若 3 = 9, 6 = 36，则 （ ）
A． 4 = 9 B． 2 = 2 + 1
C．数列 2 为等比数列 D．数列 ( 1) 的前 2 项和为
11 ．已知函数 ( ) = 2 + ln ( ∈ )有两个极值点 1, 2，则下列说法正确的是（ ）2
A． 的取值范围是( ∞,0) ∪ (4, + ∞) B． 1 + 2 = 1
C． 1
1
2的取值范围是 0, D． 1 + 2 的取值范围是( ∞, 3 2ln2)4
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12．一组数据按照从小到大的顺序排列为 2,3,4,5,6,9，记这组数据的上四分位数为 ，则二
1
项式 2 展开式的常数项为__________.

13 4sin2 ．已知 = 2 sin ，则 sin2 =__________.
2
2 2
14．已知双曲线 : 2

2 = 1 > 0, > 0 的左、右焦点分别为 1, 2，直线 与 在第一、二
象限分别交于 , 两点，且 2 = 2 ， 2 = 3 1，则 的离心率为______．
2
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四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分 13分)
在△ 中，角 , , 对应边分别是 , , .已知 , , 成等差数列，且 3sin = 2sin .
(1)求 cos 的值；
(2) △ 4 7若 的外接圆半径为 ，求△ 的面积.
7
16．(本小题满分 15分)
如图，在三棱柱 1 1 1中，侧面 1 1是正方形， ⊥平面 1 1，2 =
1 = 2，点 是线段 1 1的中点，点 在线段 上，满足 1 //平面 ．
(1)求证： 是线段 的中点；
(2)求平面 1 1与平面 1夹角的余弦值；
17．(本小题满分 15分)
已知函数 = e 2 2 ．
(1)若 = 1，求函数 的极值；
(2)若函数 = 有两个零点，求 的取值范围．
3
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18．(本小题满分 17分)
一个袋子中有 3个红球， 1个绿球，已知从中一次摸出的 2个球都是红球的概率为 ．
5
(1)求 的值；
(2)从袋中依次随机摸出 2个球作为样本（一次只摸出一个球），设采用有放回和不放回摸
球得到的样本中绿球的个数分别为 ， ．
（i）求 的分布列与数学期望；
（ii）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中绿球比例估计总体中的绿球比例，求误差
的绝对值不超过 0.2的概率，并比较所求两概率的大小，说明其实际意义．
19．(本小题满分 17分)
2 2
已知椭圆 : 2 + 2 = 1 > > 0 的长轴长是短轴长的 2倍，焦距为 2 3．
(1)求 的标准方程；
(2)设 ， 是 上关于 轴对称的两点， 是 上一点，直线 ， 与 轴分别交于 ， 两点．
（i）设 为坐标原点，证明： 为定值；
（ii）若 ⊥ ，求△ 的面积的最大值．
4
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