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2025-2026学年辽宁省沈阳市铁路实验中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知数列{an}的前n项和为，则S5=（　　）
A. 35 B. 11 C. -5 D. -35
2.下列求导运算正确的是（　　）
A. B. （x e2x）′=e2x（2x+1）
C. （x2cosx）′=-2xsinx D.
3.在等比数列{an}中，a2=4，a10=16，则a2和a10的等比中项为（　　）
A. 10 B. 8 C. ±8 D. ±10
4.现有一组样本数据点，（3，2），，（6，3），则该组样本数据点的相关系数r=（　　）
A. -1 B. C. D. 1
5.一个盒子中有5个白球3个红球，从中任意取2个球，则在所取的球中有一个是红球的情况下，另一个也是红球的概率是（　　）
A. B. C. D.
6.在同一平面直角坐标系内，函数y=f（x）及其导函数y=f′（x）的图像如图所示，已知两图像有且仅有一个公共点，其坐标为（0，1），则（　　）
A. 函数y=f（x） ex的最大值为1
B. 函数y=f（x） ex的最小值为1
C. 函数的最大值为1
D. 函数的最小值为1
7.牛顿用“作切线”的方法求函数f（x）零点时给出一个数列，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，数列{xn}为f（x）的牛顿数列.设，已知a1=2，{an}的前n项和为Sn，则S2026+2等于（　　）
A. 2026 B. 2027 C. 22026 D. 22027
8.已知函数f（x）=ex-e-x+sinx,若不等式f（xex-a）+f（-2lnx-2x）≥0在上恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A. B. （-∞，e-2] C. （-∞，2-2ln2] D. （-∞，3-2ln2]
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法正确的是（　　）
A. 随机事件A，B相互独立的充要条件是P（B）=[1-P（A）] P（B）
B. 设X为随机变量，则E（X2）=D（X）+[E（X）]2
C. 若，则E（X）=1，D（X）=2
D. 若X～N（1，22），记函数f（x）=P（X≤x），x∈R，则f（x）的图象关于点对称
10.已知函数f（x）=（x2-3）ex，则下列结论正确的是（　　）
A.
B. 函数f（x）在（-1，1）上单调递减
C. 函数f（x）有极大值6e-3
D. 函数f（x）在[-4，-2]上的最小值为f（-4）
11.已知数列{an}满足，则（　　）
A. an+1≥2an B. 是递增数列
C. {an+1-4an}是递增数列 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f（x）=lnx+2x在点（x0，f（x0））处切线斜率为3，则f（x0）值为______．
13.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数m=6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”），数列{an}满足冰雹猜想，其递推关系为：a1=m（m为正整数），若a4=2，则m所有的可能取值为 .
14.已知函数f（x）=g（x）=-x+a,若函数F（x）=f（x）-g（x）有三个零点x1，x2，x3，则x1 x2 x3的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在各项均为负数的数列{an}中，已知点（an，an+1）（n∈N*）在函数的图象上，且．
（1）求证：数列{an}是等比数列，并求出其通项；
（2）若数列{bn}的前n项和为Sn，且bn=an+n，求Sn．
16.(本小题15分)
2025年4月24日我国成功发射了神舟二十号载人飞船，我校航天社团于次日对本校学生进行了问卷调查，其中关于是否收看了现场直播的统计数据如表所示（单位：人），已知从被访谈的同学中随机抽取1人，抽到看现场直播的女同学的概率为.
看现场直播 未看现场直播
男同学 1.5x x
女同学 150 250
（1）求x的值；
（2）是否有99.9%以上的把握认为，观看现场直播与学生性别有关？
（3）为进一步调研，现从看现场直播的同学中按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机抽取2人，记这2人中女同学的人数为ξ，求ξ的分布列以及E（ξ）.
参考公式：.
参考数据：
P（χ2≥k） 0.1 0.01 0.001
k 2.706 6.635 10.828
17.(本小题15分)
已知f（x）=-1+alnx（x＞0）
（1）设函数g（x）=f（x）+x,讨论函数g（x）的单调性；
（2）当a=1，0＜x＜e时，证明：.
18.(本小题17分)
在自动驾驶系统的路径规划中，车辆的车道选择行为可用马尔科夫链模型描述.设道路只有两条车道，分别记为车道0和车道1.每隔一个固定时间步长，车辆会选择更换车道或者保持车道不变，记Xn为第n个时间步长车辆所在的车道（n=0，1，2，…）.马尔科夫链的下一时刻状态仅取决于当前时刻状态，记pij=P（Xn+1=j|Xn=i）（i,j=0，1）为一步转移概率，矩阵为一步转移概率矩阵.已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下：若当前在车道0，下一时刻变道至车道1的概率为；若当前在车道1，下一时刻变道至车道0的概率为.
（1）已知n=0时刻车辆处于车道0的概率为，处于车道1的概率为.
①写出该模型的一步转移概率矩阵P；
②若n=1时刻车辆处于车道1，求n=0时刻车辆处于车道0的概率.
（2）在第（1）问的初始概率条件下，记an=P（Xn=0），求随机变量Xn的分布列.（结果用含n的式子表示）.
19.(本小题17分)
已知f（x）=asinx+x2lnx-ax-xsinxlnx.
（1）若f（x）有两个零点时，求a的取值范围；
（2）若恒成立，求实数a的最小值；
（3）时，设，判断在（0，+∞）上解的个数.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】ABD
10.【答案】ABC
11.【答案】ABD
12.【答案】2
13.【答案】16或2
14.【答案】（-，0]
15.【答案】解：（1）因为点（an，an+1）（n∈N*）在函数的图象上，
所以，故数列an是公比的等比数列
因为，由于数列an的各项均为负数，则所以．（6分）
（2）由（1）知，，
所以．（12分）
16.【答案】200；
有99.9%的把握认为，观看现场直播与学生性别有关；
分布列见解析，．
17.【答案】a＜0时，g（x）在（0，-a）上单调递减，在（-a，+∞）上单调递增；当a≥0时，g（x）在（0，+∞）上单调递增 证明：当a=1时，f（x）=lnx-1，又x∈（0，e），则f（x）＜0，
则要证：，
即证（1-x）（lnx-1）≤lnx lnx-xlnx+x-1≤lnx
-xlnx+x-1≤0．令h（x）=-xlnx+x-1，x∈（0，e），
则h′（x）=-lnx-1+1=-lnx，令h′（x）=0 x=1．
则h′（x）＞0 x∈（0，1）；h′（x）＜0 x∈（1，e），
则h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，
从而h（x）≤h（1）=0，即-xlnx+x-1≤0，从而命题得证
18.【答案】①；② 随机变量Xn的分布列为：
Xn 0 1
P

19.【答案】（-，0）；
；
存在一个零点．
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