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2025-2026学年湖南省衡阳市祁东县第一中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设复数z=，则其共轭复数的虚部为（　　）
A. B. C. D.
2. 在中，为边上的中线，为的中点，则( )
A. B. C. D.
3.已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　）
A. 100π B. 128π C. 144π D. 192π
4.如图，△A′B′C′是利用斜二测画法画出的△ABC的直观图，其中A′B′=B′C′=2，且A′B′⊥B′C′，则△ABC的面积是（　　）
A.
B. 4
C.
D. 8
5.如图所示，一艘海轮在海面上的C处发现一座小岛A，测得小岛A在C的北偏东15°的方向上，海轮从C处向正东方向航行海里后到达D处，测得小岛A在D的北偏西45°的方向上，则C处与小岛A之间的距离为（　　）
A.
B.
C. 10
D.
6.若△ABC的三个内角A，B，C满足cos2A-cos2B=2sin2C，则△ABC是（　　）
A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 锐角三角形
7.某地区乡村用来盛粮食的小容器通常被称为“升篓”.升篓呈棱台形，全木制作，上口大，下口小，制作形态为榫卯契合，完全不用一颗钉子.如图是一个正四棱台形的升篓，体积，上、下底面棱长分别为20cm,10cm,则该正四棱台的侧面积为（　　）
A. B. 225cm2 C. D.
8.在△ABC中，，且，若m∈R，则的最小值为（　　）
A. B. C. 4 D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知z1，z2都是复数，下列选项中正确的是（　　）
A. 若z1z2=0，则z1=0或z2=0 B. 若，则z1=z2
C. 若，则z1+z2是实数 D. 若，则|z1|=|z2|
10.已知向量，，则下列叙述中正确的是（　　）
A. 不论x取何值都有 B. 存在实数x,使
C. 存在实数x,m,使 D. 存在实数x,m,使
11.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为1，高为h,该正四棱锥的顶点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的内部（包括表面），则下列结论正确的是（　　）
A. h的取值范围是（0，1）
B. 若正四棱锥P-ABCD的侧棱长为，则
C. 当点P为正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心时，正四棱锥P-ABCD外接球的表面积为
D. 当点P为正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球球心时，正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球与正四棱锥P-ABCD的公共部分的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z1=3+7i,z2=1-2i,则= .
13.圆台上、下底面积分别为π，4π，侧面积为6π，则该圆台的体积是______．
14.如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且，，若，则λ+μ= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z1=2-i,z2=a+4i（a∈R），且z1z2是实数.
（1）求；
（2）在复平面内，复数对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.
16.(本小题15分)
如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东75°方向、距离为60海里B处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东15°的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕.
（1）求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕；
（2）试确定缉毒船的行驶方向.
17.(本小题15分)
已知单位向量，满足 =λ.
（1）求|-λ|的最大值；
（2）若k在（-2λ）上投影的数量为k（k＞0），求λ2的值；
（3）设向量满足＜+，+2＞=，求||的取值范围.
18.(本小题17分)
在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=3A1B1=6，AA1=4，P为棱BB1上的动点（含端点），求：
（1）四棱台ABCD-A1B1C1D1的表面积；
（2）四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积；
（3）求AP+PC的最小值.
19.(本小题17分)
在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,sin（A+B）sin（B-A）=cos（+A）cos（-A）.
（1）求B；
（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长；
（3）若，求2a-c的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】ACD
10.【答案】AD
11.【答案】CD
12.【答案】．
13.【答案】
14.【答案】3．
15.【答案】；
（2，10）．
16.【答案】解：（1）由题意可得∠ABC=15°+180°-75°=120°，
设时间为t小时缉毒船恰好能将毒贩抓捕，此时AC=15t海里，BC=t海里，
AB=60海里，
由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB BCcos∠ABC，
即（15t）2=602+[15（-1）t]2-2×60×15（-1）t×（-），
整理可得（+1）t2-2（-1）t-8=0，
解得t=2（负值已舍），
即经过2小时缉毒船恰好能将毒贩抓捕；
（2）由（1）可得AC=30，BC=30（-1），
由正弦定理可得=，
即=，
可得sin∠BAC=，
即∠BAC=15°，
所以∠NAC=75°-15°=60°，
即缉毒船的行驶方向为北偏东60°方向．
17.【答案】1；
0；
．
18.【答案】
19.【答案】（1） （2）6 （3）（0，6）
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