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2025-2026学年上海市浦东新区立信会计金融学院附属高行中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共12分。
1.过点（0，2）与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有（　　）
A. 无数多条 B. 3条 C. 2条 D. 1条
2.若动点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：3x+y-5=0和l2：3x+y-7=0上移动，则线段AB的中点M点到原点的距离的最小值为（　　）
A. B. C. D.
3.圆与圆的位置关系为（　　）
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
4.实数a,b满足a-b-1=0，则的最小值为（　　）
A. 3 B. C. D. 6
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.直线x-2y-1=0的倾斜角的大小是 （用arctan表示）.
6.过点（-1，2），且法向量是的直线的点法式方程为 .
7.若直线ax+y+1=0与直线x+y-2=0互相垂直，那么a的值等于 .
8.已知直线x=-2与圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2（r＞0）相切，并且圆C过（2，0）点，则r的最小值是 .
9.圆C的圆心在x轴上，且经过A（0，1），B（2，1）两点，则圆C的标准方程为 .
10.已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过点A（2，1）的直线l上有且只有一点P满足|PF1|+|PF2|=4，则直线l的方程是 .
11.设椭圆的焦距为2c,且2b2=3ac,则该椭圆的离心率e= .
12.直线x+2y+2=0与直线3x-y-2=0相交，则这两条直线的夹角大小为 .
13.已知双曲线C：的一条渐近线方程为，且与椭圆有相同的焦点，则双曲线C的方程为 .
14.已知双曲线E：的一条渐近线方程为l：，直线与E交于M，N两点，分别过点M，N作l的垂线，垂足为P，Q，若四边形MPNQ的面积为，则E的虚轴长为 .
15.已知圆O1：x2+y2=2和O2：（x-3）2+y2=5在第一象限内的公共点为A，过点A的直线分别交圆O1，O2于C，D两点（C，D异于点A），且，则直线CD的斜率为 .
16.如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线x2=2py（p＞0）旋转形成的抛物面，当放入一个半径为1的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的A点，当放入一个半径为2的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的A点，则p的取值范围为 .
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0，过点P（5，1）作圆C的切线l,求切线l的方程.
18.(本小题10分)
已知抛物线C：y2=2px的焦点F到准线的距离为2，过F的直线l与C交于A，B两点.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若直线l的倾斜角为45°，求|AB|.
19.(本小题10分)
用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如图所示，它的外框是一个等腰梯形PQRS，内部是一段抛物线和一根横梁.抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点O，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点A，B，抛物线与梯形下底的两个焊接点为C，D.已知梯形的高是40厘米，C，D两点间的距离为40厘米.
（1）以O为原点，梯形的上底所在直线为x轴，建立直角坐标系，求横梁AB的长度；
（2）求梯形外框的用料长度.（注：细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米）
20.(本小题12分)
已知点D（1，0），圆C：（x+1）2+y2=16，P为圆上的一个动点，线段PD的中垂线与PC交于点Q，当点P在圆上运动时，记点Q的轨迹为曲线Γ.
（1）求Γ的方程；
（2）若过定点T（0，1）且斜率存在的直线l与曲线Γ交于A，B两点，试探究：在y轴上是否存在定点M，使得直线MA，MB的斜率之积为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
21.(本小题12分)
已知椭圆的离心率为，且经过点.
（1）求椭圆M的方程；
（2）设椭圆M的左，右顶点分别为A，B，过x轴上的一点T（t,0）（t≠±2）作直线l交椭圆M于P，Q两点（异于点A，B）.设直线AP斜率为k1，直线AQ斜率为k2.
（i）求k1 k2（用t表示）；
（ii）若，△APQ的面积为S1，△BPQ的面积为S2，求|S1-S2|的最大值.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】．
6.【答案】2[x-（-1）]+3（y-2）=0
7.【答案】-1
8.【答案】2
9.【答案】（x-1）2+y2=2
10.【答案】x=2或y=1
11.【答案】
12.【答案】arctan7．
13.【答案】．
14.【答案】
15.【答案】5．
16.【答案】[1，2）
17.【答案】24x-7y-113=0或y-1=0．
18.【答案】y2=4x；
8
19.【答案】28cm 约为141cm
20.【答案】 存在，坐标为或
21.【答案】 （i）；（ii）
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