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2025-2026学年新疆昌吉州昌吉市高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知a∈R，若（a-2）+（a-1）i（i为虚数单位）是纯虚数，则a=（　　）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
2.已知平行四边形ABCD中，E是CD的中点，则=（　　）
A. B. C. D.
3.下面关于平面向量的描述正确的有（　　）
A. 共线向量是在一条直线上的向量
B. 起点不同但方向相同且模相等的向量是相等向量
C. 若，则
D. 若向量与向量同向，且，则
4.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′=6，C′D′=2，则四边形ABCD的面积是（　　）
A.
B.
C. 8
D. 16
5.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a,b,c,若bcosC+ccosB=b,且a=ccosB，则△ABC是（　　）
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
6.所有棱长均为6的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2的正三棱锥，则所得棱台的高为（　　）
A. B. C. D.
7.中国历史文化名楼之一的越王楼，位于四川省绵阳市游仙区涪江畔，更因历代诗人登楼作诗而流芳后世.如图，某同学为测量越王楼的高度MN，在越王楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为49m,在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，越王楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则越王楼的高度约为（　　）
A. 69m B. 95m C. 98m D. 99m
8.点O，N，P，Q在△ABC所在平面内，满足，，，，则点O，N，P，Q依次为△ABC的（　　）
A. 重心、外心、内心、垂心 B. 外心、重心、内心、垂心
C. 重心、垂心、外心、内心 D. 外心、重心、垂心、内心
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数（i为虚数单位），则（　　）
A. z的虚部为 B. z的共轭复数为
C. D.
10.设、、是任意的非零向量，且相互不共线，下列命题中不正确的是（　　）
A. 若，则
B.
C. 若，则
D. 不与垂直
11.在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足a2=2（bcosC+ccosB），cos2A+sin（B+C）=1，则下列说法正确的有（　　）
A. △ABC外接圆面积是4π
B. △ABC面积的最大值是
C. △ABC周长的取值可以是9
D. △ABC内切圆半径的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z1=1+3i,z2=3+i,则z1-z2在复平面内对应的点位于第 象限.
13.已知，，则在上的投影向量为 .
14.《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵ABC-A1B1C1中，BB1=BC=2，AB=2，AC=4，且有鳖臑C1-ABB1和鳖臑C1-ABC，现将鳖臑C1-ABC沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑C1-ABC经翻折后，与鳖臑C1-ABB1拼接成的几何体的外接球的表面积是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量，满足（2+） （-2）=2，且||=，||=2．
（1）求与的夹角θ；
（2）求|+|．
16.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知a2=b2+c2-bc.
（1）求角A的大小；
（2）若b=2，c=3，求a的值；
（3）若a2=bc,判断△ABC的形状.
17.(本小题15分)
已知圆锥SO的底面圆半径为2，体积为，两条母线SA、SB的夹角为60°.
（1）求圆锥SO的侧面积；
（2）求三棱锥S-AOB的体积；
（3）求三棱锥O-SAB的高.
18.(本小题17分)
已知a,b,c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且.
（1）求A；
（2）若a=2，则△ABC的面积为，求b,c；
（3）若a=2，求△ABC周长的取值范围；
（4）若改成锐角△ABC，a=2，求△ABC周长的取值范围.
19.(本小题17分)
已知向量，，，x∈[0，π].
（1）若，求x的值；
（2）若与的夹角为锐角，求x的取值范围；
（3）若，求f（x）的最大值及对应的x.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】AC
10.【答案】ABD
11.【答案】ABD
12.【答案】二．
13.【答案】（1，0）．
14.【答案】
15.【答案】解：（1）已知向量，满足（2+） （-2）=2，
则，
又||=，||=2，
则2×，
即，
则cos，
又θ∈[0，π]，
则，
即与的夹角为；
（2）=2+2×（-2）+4=2，
即|+|=．
16.【答案】解：（1）因为a2=b2+c2-bc,所以b2+c2-a2=bc,
由余弦定理得，，
又0＜A＜π，
所以．
（2）因为b=2，c=3，
所以a2=b2+c2-bc=22+32-2×3=7，
所以．
（3）由a2=b2+c2-bc及a2=bc,得（b-c）2=0，即b=c,
由（1）知，
所以△ABC为等边三角形．
17.【答案】；
；
．
18.【答案】 b=2，c=2 （4，6]
19.【答案】 ，对应
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