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2025-2026学年河北省衡水二中高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.某班有男生5人、女生4人，现要从中选出2人参加活动，要求恰好1男1女，则不同的选法共有（　　）
A. 9种 B. 14种 C. 20种 D. 40种
2.在二项式的展开式中，常数项是（　　）
A. -240 B. 240 C. -160 D. 160
3.已知随机变量X的分布列为：
X 1 2 3
P a+b a a+2b
则P（X≥2）=（　　）
A. B. C. D.
4.鲁班锁是中国古代传统智力玩具，又称“孔明锁”，蕴含深厚的数学几何与组合逻辑，其拼接部件的搭配蕴含概率思想.现有一副经典鲁班锁，由8个拼接部件组成，分为三种类型：4个长部件、2个中部件、2个短部件，所有部件除尺寸外完全相同.现从这8个部件中随机抽取2个（不放回抽取），已知抽取的2个部件中至少有1个长部件，则这2个部件均为长部件的概率为（　　）
A. B. C. D.
5.已知函数f（x）=x2-tx+lnx是增函数，则t的取值范围为（　　）
A. [3，+∞） B. （-∞，3] C. D.
6.某工厂有甲、乙两条生产线生产同一种零件，产量分别占总产量的60%和40%.已知甲生产线次品率为2%，乙生产线次品率为5%.现从该厂产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品来自甲生产线的概率为（　　）
A. 0.375 B. 0.429 C. 0.571 D. 0.625
7.已知，则a,b,c的大小关系为（　　）
A. a＞b＞c B. a＞c＞b C. b＞a＞c D. c＞a＞b
8.已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，双曲线C右支上任意一点P处的切线为l,过F2作切线l的垂线，垂足为M，O为坐标原点，若|OM|=b,则双曲线C的离心率为（　　）
A. B. C. D. 2
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知，且第3项与第4项的二项式系数相等，则（　　）
A. n=5 B. 展开式的二项式系数和为26
C. 展开式的各项系数和为1 D.
10.已知袋子中放有大小、质地完全相同的3个红球和2个白球，则下列说法正确的有（　　）
A. 若从袋子中有放回地依次随机摸球，X为第1个红球被摸出所需的摸球次数，则
B. 若从袋子中不放回地依次随机摸出3个球，Y为摸出的球中红球的个数，则
C. 若从袋子中有放回地依次随机摸出5个球，Z为摸出红球的次数与摸出白球的次数之差，则
D. 若从袋子中不放回地依次随机摸球，W为第3个红球被摸出所需的摸球次数，则
11.现有10枚相同金币进行如下操作，则下列说法正确的是（　　）
A. 分成4份，每份至少1枚，则共有9种分法
B. 分给4人，每人至少1枚，则共有9种分法
C. 分给4人，每人至少1枚，且每人所得数目互不相同，则共有24种分法
D. 分给4人，允许有人1枚都没分到，若甲至少1枚，乙至少2枚，丙至多3枚，则共有100种分法
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知离散型随机变量X的期望E（X）=4，随机变量Y=3X-1，则E（Y）= .
13.若直线y=x+a与曲线y=ln（x+b）相切，则b-a= .
14.如图，质点需从5×4网格A点沿着网格线移动到D点，每次仅能向右或向下移动一格，且不经过B，C两点，则不同的路径共有 条.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某人工智能模型进行指令识别训练，每次识别成功的概率为，失败的概率为，各次识别相互独立.现对该模型进行5次独立测试，设识别成功的次数为随机变量X.
（1）求在第二次识别成功的条件下，5次中恰有3次识别成功的概率；
（2）求X的分布列与数学期望E（X）.
16.(本小题15分)
如图，在三棱锥A-BCD中，E是CD的中点，且EA=EB=EC=ED=2，AB⊥BD.
（1）证明：平面ABC⊥平面ABD.
（2）若，当△ABC面积最大时，求二面角A-CD-B余弦值的大小.
17.(本小题15分)
椭圆的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，点A，B在椭圆上，AF1∥BF2，当AF1与x轴垂直时，.
（1）求C的方程；
（2）若四边形AF1F2B的面积为，求直线AF1的方程.
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=e2x+ax2+bx,曲线y=f（x）在处的切线经过点.
（1）求a；
（2）当b≥-2时，讨论f（x）的单调性；
（3）记h（x）=f（x）-2x3-1，若h（x）在区间[0，+∞）上存在3个零点，求b的取值范围.
19.(本小题17分)
某科技公司研发一款智能机器人，内置了若干种不同的服务技能，机器人在每次服务技能测试时，会随机同时激活多个独立技能单元，每个技能单元会随机启动一种服务技能，每个服务技能被启动的概率都相等，且每个技能单元启动何种技能相互独立.
（1）若同时激活4个独立技能单元且内置了3种不同服务技能，求恰好启动了2种不同服务技能的概率.
（2）假设该款机器人内置了3种服务技能.现有两种测试方案：
方案一：同时激活4个独立技能单元，若启动了至少两项服务技能，则通过测试；
方案二：同时激活6个独立技能单元，若启动了所有服务技能，则通过测试.
试判断该机器人测试时，应选择哪种方案进行测试更容易通过，并说明理由.
（3）为了进一步完善该款智能机器人性能，该公司对该机器人进行不同场景的服务训练：共有四种不同的场景，其中两种常见场景，两种特定场景.每次让不同的人选择一种场景进行训练，每个人选择何种场景相互独立，直到两种常见场景都至少训练一次，才停止训练，记训练的总次数为Y，求E（Y）.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】AD
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】11．
13.【答案】1
14.【答案】42．
15.【答案】 X的分布列为：
X 0 1 2 3 4 5
P

16.【答案】证明：在△BCD中，E是CD的中点，且EB=EC=ED，
因此∠EBC=∠ECB，∠EBD=∠EDB，
又因为∠EBC+∠ECB+∠EBD+∠EDB=π，即2∠CBD=π，故，
因此BD⊥BC，
又因为BD⊥AB，AB∩BC=B，AB、BC 平面ABC，
因此BD⊥平面ABC，因为BD 平面ABD，
因此平面ABC⊥平面ABD
17.【答案】 x-y+1=0或x+y+1=0
18.【答案】a=-2 由（1）可得：f（x）=e2x-2x2+bx，则f′（x）=2e2x-4x+b，
设g（x）=f′（x），则g′（x）=4e2x-4；令g′（x）=0，解得x=0；当x＞0时，g′（x）＞0，此时g（x）单调递增；当x＜0时，g′（x）＜0，此时g（x）单调递减；所以g（x）在x=0处取最小值，
所以g（x）≥g（0）=2+b，
因为b≥-2，所以g（x）≥0，即f′（x）≥0，
所以函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增
19.【答案】 应选择方案一进行测试更容易通过，：若3种服务技能全部启动，
则，
．
方案二：n=6，此时通过测试有三类情况．
①三种服务技能分别启动了4次、1次、1次，
共有（种）；②三种服务技能分别启动了1次、2次、3次，
共有（种）不同情况；③三种服务技能均启动了2次，共有（种）．
90+360+90=540（种）．
，
因为p1＞p2，
应选择方案一进行测试更容易通过 E（Y）=6
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