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2025-2026学年四川省成都市石室中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.下列求导结果正确的是（　　）
A. （sin3）′=cos3 B. （cosx）′=sinx
C. D.
2.直线l：x+y=0与圆C：x2+y2+4x-1=0相交于A，B两点，则|AB|=（　　）
A. B. C. 2 D. 4
3.已知数列{an}中，a1=1，a2=2，an+2=an+1-an，则a7=（　　）
A. -1 B. 1 C. -2 D. 2
4.已知数列{an}是首项为4，公比为q的等比数列，若4a1，a5，-2a3成等差数列，则a5=（　　）
A. 4 B. 8 C. -4 D. -8
5.如图，在三棱锥A-BCD中，△ABC和△ABD是边长为2的等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，则CD=（　　）
A.
B. 2
C.
D.
6.某校从2名女生和4名男生中选出3人去参加一项创新大赛，则选出的3人中至少有1名女生的概率为（　　）
A. B. C. D.
7.已知函数y=x3-3x2+m的图象与x轴恰有两个公共点，则m=（　　）
A. 0或4 B. 3或4 C. 0或2 D. 2或3
8.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2.M是椭圆C上一点，直线MF2与y轴负半轴交于点N，若，且，则椭圆C的离心率为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.记数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，a2=-2，则（　　）
A. 若{an}为等比数列，则an=2 （-1）n-1
B. 若{an}为等差数列，则an=-4n+2
C. 若Sn=Sn+6，S6=0，则S6n=S12n=0
D. 若an=an+6，则数列{an}的周期为3
10.已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，则下列选项正确的是（　　）
A. 若a=2，，则双曲线的任一焦点到渐近线的距离为
B. 若点P在双曲线C上，则直线PF1与PF2的斜率之积为
C. 以线段F1F2为直径的圆与双曲线C在第一象限交于点P，且|PO|=|PF2|，则双曲线C的离心率
D. 若过F2的直线l与x轴垂直且与渐近线交于A，B两点，，则双曲线C的渐近线方程为
11.已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，满足且f（1）=0，则以下结论正确的是（　　）
A.
B. 过原点且与f（x）相切的直线方程为
C. 不等式的解集是（1，+∞）
D. 若k＜f（x）恰有两个整数解，则k的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.3名学生和2名老师站成一排合影，则3名学生相邻的排法共有 种（数字作答）
13.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l：x=my-1与C在第一象限的交点为M、N，若，则直线l的斜率为 .
14.若对任意的x∈（0，+∞），不等式恒成立，则实数a的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知函数f（x）=（2+ln2）x-xlnx.
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）求f（x）的最大值.
16.(本小题15分)
记各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知.
（1）证明：数列{an}为等差数列；
（2）记，数列{bn}的前n项和为Tn，若存在正整数n,使得，求k的取值范围.
17.(本小题15分)
如图1所示，在平面四边形ABCD中，已知AB=AC=BC=2，，将△ABC沿直线AC翻折至△EAC（如图2），使得.
（1）证明：平面EAC⊥平面ACD；
（2）点F在线段DE上，且二面角F-AC-D的大小为60°.
（ⅰ）若，λ∈[0，1]，求λ的值；
（ⅱ）求CD与平面ACF所成角的正弦值.
18.(本小题15分)
已知点P与定点F（1，0）的距离和它到定直线l：x=4的距离之比为1：2.
（1）求P的轨迹方程C；
（2）过点F的直线与C交于A，B两点，记△AOB（O为坐标原点）的面积为S，过线段AB的中点M作直线l：x=4的垂线，垂足为N，设直线AN，BN的斜率分别为k1，k2.
（i）求S的取值范围；
（ii）求证：为定值.
19.(本小题17分)
给出以下三个材料：
①若函数f（x）可导，我们通常把导函数f′（x）的导数叫做f（x）的二阶导数，记作f″（x）.类似的，函数f（x）的二阶导数的导数叫做函数f（x）的三阶导数，记作f （x），函数f（x）的三阶导数的导数叫做函数f（x）的四阶导数……，
一般地，函数f（x）的n-1阶导数的导数叫做函数f（x）的n阶导数，记作f（n）（x）=[f（n-1）（x）]′，n≥4；
②若n∈N*，定义n!=n×（n-1）×（n-2）×…×3×2×1；
③若函数f（x）在包含x0的某个开区间（a,b）上具有任意阶的导数，那么对于任意x∈（a,b）有，
我们将g（x）称为函数f（x）在点x=x0处的泰勒展开式.比如ex在x=0处的泰勒展开式为：，
由此当x≥0时，可以非常容易得到不等式ex≥1+x,，，…
请利用上述公式和所学知识完成下列问题：
（1）直接写出f（x）=ln（1+x）与g（x）=sinx在x=0处的泰勒展开式；
（2）证明：对任意正整数n,有，其中，.
（3）若，easinx＞x+1恒成立，求a的范围；（参考数据）
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】AC
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】36．
13.【答案】．
14.【答案】
15.【答案】解：（1），
令f′（x）＜0，得，即x＞2e,
所以f（x）的单调递减区间为（2e,+∞）．
（2）由（1）知当x∈（0，2e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
令f′（x）＜0，得＜1，即x＞2e,
所以当x∈（2e,+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以f（x）≤f（2e）=2e,即f（x）的最大值为2e.
16.【答案】证明：根据题意，正数的数列{an}中，若，
所当n=1时，有，即2-a1-1=0，
变形可得，所以a1=1，
又，所以，
当n≥2，，
变形可得：，即（an+an-1）（an-an-1-2）=0，
因为{an}各项均为正数，所以an+an-1＞0，故an-an-1=2，
数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，结论成立 （-∞，6]
17.【答案】取AC的中点O，
因为AB=AC=BC=2，，
所以OB⊥AC，OD⊥AC，且，OD=2，
又，
所以DE2=OE2+OD2，即OE⊥OD，
又OE⊥AC，且AC∩OD=O，AC，OD 平面ACD，
所以OE⊥平面ACD，
而OE 平面EAC，
所以平面EAC⊥平面ACD （ⅰ）；（ⅱ）
18.【答案】 （i）；（ii）
19.【答案】f（x）=ln（1+x）在x=0处的泰勒展开式：
，其中x∈（-1，1]，
g（x）=sinx在x=0处的泰勒展开式：
，其中x∈R 两边同时取对数得：，即，
由泰勒展开式得：
=，
所以当x＞-1时，ln（1+x）＜x，所以，
则，
而，
因为n∈N*，所以，则，当且仅当n=1时，等号成立，
所以，则，
两边同时取指数得：，即原式得证 [1，+∞）
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