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江苏南通市如皋市2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知函数，若，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知随机变量，且，则（ ）
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6
3.某电商平台利用人工智能分析发现, 一种智能手机的日均广告曝光量x(单位: 千次) 与其日销售量y(单位:百件)存在潜在关联.技术部门抽取了4天的运营数据如下:
广告曝光量x/千次 2 3 5 6
日销量y/百件 4 5 7 m
其经验回归方程为=x+,则m=（）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
4.某班一天8节课,上、下午各4节.现安排上午两节语文课连上,下午两节数学课连上,英语、物理、体育、音乐各一节的课程表, 不同的排法种数是（）
A. 72 B. 108 C. 216 D. 288
5.校园歌手大赛设有5轮独立打分环节,某选手每一轮获得“高分”的概率为,获得“普通分”的概率为.设X表示该选手在5轮中获得高分的轮数,则D(X)=（）
A. B. C. D.
6.已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（ ）
A. 0 B. C. 1 D. 2
7.若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.某外卖平台有两位骑手甲、乙两位轮流配送订单,规则如下:若当前骑手准时送达,则下一次由该骑手配送;若当前骑手延迟送达,则下一次换为另一骑手配送.已知骑手甲每次准时率为,延迟率为;骑手乙每次准时率为,延时率为.第一次订单由骑手甲配送,设第i次订单由骑手甲配送的概率为,则使<成立的i的最小值为（）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法正确的是（）
A. 若，互斥，则
B. 设和互为对立事件，则
C. 若且，则事件，相互独立
D. 样本相关系数越小，样本中两变量相关的程度就越弱
10.已知的展开式中第3项的二项式系数为21，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 展开式中存在常数项
C. 展开式的所有项的系数和为128 D. 能被7整除
11.若对,[-1,1],均有|f()-f()|4恒成立,则称函数f(x)在[-1,1]上为“窄幅函数”.设函数f(x)=+mx,x[-1,1],下列结论正确的是（）
A. 当m=2时,f(x)是“窄幅函数”
B. 若f(x)是“窄幅函数”,则f(x)2恒成立
C. 存在m,使“窄幅函数”f(x)有三个零点
D. 若f(x)是“窄幅函数”,则m[-3,1]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数y=xx-ax有大于1的极值点,则a的取值范围是 .
13.由0,1,2,3,4,5组成无重复数字且能被25整除的五位数的个数是 .
14.甲、乙两人进行掷骰子比赛，在每轮比赛中，两人各抛掷质地均匀的骰子一次，向上点数大的一方得2分，小的一方得0分，点数相同时双方各得1分．若一方累计得分大于等于3分，则比赛结束．记比赛结束时，比赛的轮数为，则 ， ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物实验，根据个有放回简单随机样本的数据，得到如下列联表：
药物 疾病 合计
未患病 患病
未服用
服用
合计
(1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，记“取到的样本为未患疾病”为事件，“取到的样本为服用药物”为事件，求的估计值；
(2)根据小概率值的独立性检验，分析药物是否对预防疾病有效．
附，
16.(本小题15分)
已知一个暗箱中装有8个大小、形状完全相同的小球,其中3个红球,5个黄球.从中一次摸出5个球.
(1)所摸出5个球中红球的个数记为X,求X的分布列及数学期望E(X);
(2)计分规则:每个红球计4分,每个黄球计2分,所摸出5个球的总得分记为Y,求E(Y).
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=ax++x,aR.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)既有极大值又有极小值,且极大值与极小值之和小于a+2,求a的取值范围.
18.(本小题17分)
如图，在正四棱锥中，，点，分别为，的中点，且是二面角的平面角．
(1)求证：平面；
(2)求直线到平面的距离；
(3)点是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
19.(本小题17分)
已知函数，．
(1)若直线是曲线的一条切线，求的值；
(2)已知函数有两个零点，．
(ⅰ)求的取值范围；
(ⅱ)若，求的值．
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】ABC
10.【答案】AD
11.【答案】BCD
12.【答案】
13.【答案】42
14.【答案】 ； ； ； ； ； ；
15.【答案】解：（1）根据题意，完善列联表如下：
药物 未患病 患病 合计
未服用
服用
合计
由条件概率公式可得，即的估计值为.
（2）零假设药物对预防疾病无效，
，
所以在小概率值的独立性检验下，没有充分证据表明药物对预防疾病有效，即认为药物无预防效果.

16.【答案】(1)
由题意得，从8个球中一次摸出5个球，红球个数X的可能取值为0,1,2,3。
X服从超几何分布，其中总体个数，红球个数，样本容量，则（）。
当时：，
当时：，
当时：，
当时：，
故X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
E(X)=0+1+2+3=
（2）
由题意得，总得分，得。
根据期望的线性性质：。
由（1）知，则：
。
17.【答案】解：(1)f'(x)=，
当a-1时,当0< x<1时，f'(x)<0,当x>1时，f'(x)>0,
则函数f(x)在(0,1)单调递减,在(1,+)上单调递增，
当a=-2时,当x>0时，f'(x)0,函数f(x)在(0,+)上单调递增，
当-2< a<-1时,当0< x<-a-1或x>1时，f'(x)>0,当-a-1< x<1时，f'(x)<0,
则函数f(x)在(0,-a-1)和(1,+)上单调递增, 在(-a-1,1)上单调递减，
当a<-2时,当0< x<1或x>-a-1时，f'(x)>0，当1< x<-a-1时，f'(x)<0,
函数f(x)在(0,1)和(-a-1,+)上单调递增, 在(1,-a-1)上单调递减，
综上,a<-2时,函数f(x)在(0,1)和(-a-1,+)上单调递增,在(1,-a-1)上单调递减;
a=-2时,函数f(x)在(0,+)上单调递增;
-2< a<-1时,函数f(x)在(0,-a-1)和(1,+)上单调递增,
在(-a-1,1)上单调递减;
当a-1时,函数f(x)在(0,1)单调递减,在(1,+)上单调递增;
(2)由(1)得,f(x)既有极大值又有极小值,
所以a(-,-2)(-2,-1),
f(-a-1)+f(1)=a(-a-1)< a+2,
设g(a)=a(-a-1)-a-2,
设h(a)=g'(a)=(-a-1)-,h'(a)=,
当a<-2时，h'(a)<0，当-2< a<-1时，h'(a)>0,
所以函数g'(a)在(-,-2)单调递减,在(-2,-1)单调递增,
g'(-2)=1>0，则g'(a)>0在a(-,-2)(-2,-1)成立，
因为g(-2)=0,所以a(-,-2).
综上,若a的取值范围是(-,-2).
18.【答案】解：（1）取的中点，连接、.
由为中点，得且；
由为中点，得且，故且，
所以四边形为平行四边形，因此.
又平面， MN 平面，故平面.
（2）连接，设，连接，则平面，
以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系.
由为二面角的平面角，得、，
而是的中点，所以，所以是等边三角形，
因为，所以，高，
，，，，，
，，，
，设平面的法向量为，
则，故可设平面的法向量，
由平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离，
，所以直线到平面的距离为.
（3）设为线段上的动点，令()，
则
，
则，向量.
设直线与平面所成角为，
则,
，
当时，取得最小值，
此时取得最大值为：.

19.【答案】解：（1）设切点为，由，切线斜率为，故，即.
切点在切线上，故，即.
将代入，得，即，故().
将代入，得，解得.
（2）(i)函数有两个零点，等价于方程有两个正实根(，否则，，)，即在上有两个不同的解.
令，，则.
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
，且时，时，故的取值范围为.
(ii)由是的零点，得，，两边取对数得，.
两式相加得；两式相减得，故.
令()，由得，故，即，.
将的表达式代入方程，得，即.
令()，
，
，
对于二次函数，开口向上，
对称轴，
当时，；当时，，
所以存在，使得，
所以在区间上，单调递增；
在区间上，单调递减.
而则，，
故是唯一零点.
此时，，代入得，解得.

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