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北京市清华大学附属中学朝阳学校2025-2026学年高二下学期期中数学试题
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
2.下列函数中，在上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
3.在的展开式中，含的项的系数为（ ）
A. B. C. 16 D. 24
4.已知是函数的极小值点，那么函数的极大值为（ ）
A. B. 1 C. 4 D. 5
5.设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知随机变量，且，则（ ）
A. B. C. D.
7.从甲、乙等五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若甲和乙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为 （ ）
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
8.在2025年10月19日举行的黄河口马拉松比赛活动中,甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往A、B、C三个服务站,若每个服务站至少派一位志愿者,且每位志愿者只能被派往一个服务站,则在甲被派去B服务站的条件下,甲、乙被派去同一个服务站的概率为（）
A. B. C. D.
9.已知函数f（x）与f′（x）的图象如下图所示，设函数，则函数g（x）在（-2，4）上的极大值点个数为（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10.已知函数，若且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.若，则 ； .
12.已知函数f（x）=ln（2x+2），则其定义域为 ，f′（x）= .
13.双曲线的渐近线方程为 ．
14.一个口袋中装有7个球，其中有5个红球，2个白球抽到红球得2分，抽到白球得3分．现从中任意取出3个球，则取出3个球的得分Y的均值为 ．
15.在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为,，右焦点为，线段的延长线与交于点，若，则的离心率为 ．
16.已知函数有三个零点，则 ．
①若成等差数列，则成等比数列
②若成等比数列，则成等差数列
③若成等差数列，则数列的公差为
④若成等比数列，则数列的公比为
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f（x）=x3-ax2+b（a,b∈R）的图象过点（2，-4），且f′（2）=0.
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x）在x∈[-1，3]上的单调区间，极值和值域.
18.(本小题15分)
不同AI大模型各有千秋，适用领域也各有所长．为了解某高校甲、乙两个学院学生对两款不同大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
甲学院 乙学院
使用 不使用 使用 不使用
A款 40人 80人 60人 20人
款 70人 50人 30人 50人

假设所有学生对两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率．
(1)分别估计该校甲学院学生使用A款大模型的概率、该校乙学院学生使用A款大模型的概率；
(2)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，从乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用款大模型的人数为，求的分布列及数学期望；
(3)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，比较与的大小．
19.(本小题15分)
已知函数．
(1)若函数为的导函数，判断在上的零点个数；
(2)证明：当时，；
(3)设，若存在，对任意，都有成立，求实数的取值范围．
20.(本小题15分)
已知椭圆Ｃ：的右顶点，且离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为原点，点为椭圆内第一象限内的点，射线与椭圆交于点D，与直线交于点P，求证：
(3)椭圆上是否存在点E，使，若存在，请直接写出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．
21.(本小题15分)
已知数列，如果对任意的且，都有，则称为凸数列．
(1)直接判断数列和是否为凸数列；
(2)若是一个凸数列，证明：当，且时，有；
(3)已知项数为的数列是一个凸数列，，且的所有项的和等于，求的最大值．
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】1
；
12.【答案】（-1，+∞）

13.【答案】y=±2x
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】①②④
17.【答案】f（x）=x3-3x2 函数f（x）的单调增区间：[-1，0）和（2，3]，单调减区间：[0，2]；极大值为f（0）=0，极小值为f（2）=-4，值域为[-4，0]
18.【答案】解：（1）由表格可知：该校甲学院学生使用款大模型的概率为，
该校乙学院学生使用款大模型的概率为；
（2）由题意可知的可能取值为：，
则，
，
，
，
的分布列如下：
0 1 2 3
P
所以；
（3）同第一问，可知该校甲学院学生使用款大模型的概率为,
该校乙学院学生使用款大模型的概率为，
易知，
由二项分布的方差公式可知，
，
所以.

19.【答案】解：（1）由题设，令，则，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，故在上的零点个数为0；
（2）令且，则，
令，则，且在上单调递增，
结合（1）知时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
所以，
所以使，
综上，时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
所以，
所以时，，得证；
（3）由题设，在，上，，
由（1）知，在上，则在上单调递增，故最大值为，
由，则时，时，
所以在上单调递增，在上单调递减，则，
综上，，即.

20.【答案】解：（1）已知椭圆的右顶点，所以，
因为椭圆的离心率为，所以，
由，可得，
所以椭圆C的方程为.
（2）因为点为椭圆内第一象限内的点，
所以直线的斜率，则直线的方程为，
联立直线和椭圆方程，，
整理得，解得，
因为直线与椭圆交于点D，则点在第一象限，所以，
将其代入，可得，即，
联立直线与直线，，
整理得，解得，
将其代入，可得，即，
根据向量的坐标运算，，
，所以.
（3）

已知椭圆C的方程为，设，满足，
在中，若，结合公共角,
可得，则，即，
由（2）知，，故，
故，故，而不共线，故或，
故或.

21.【答案】【详解】（1），所以，.
，而，
因为，即，所以为凸数列.
，则，所以，
而，因为，即，所以不是凸数列.
（2）因为是一个凸数列，所以对任意的且，都有，即，
当时，有，
所以，故.
又，故.
因为，所以.
（3）因为数列是凸数列，所以，
，当且仅当时，等号成立，
即为凸数列，所以，所以，
所以；
因为的所有项的和等于，所以，
所以，当且仅当时取等号，此时数列为等差数列；而中等号成立要求为常数列.
设，则，由所有项的和为得，解得；故当时，取最大值2.

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