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2025-2026学年重庆八中九年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.以下各数中最大的是（　　）
A. 1 B. 3 C. 0 D. -2
2.下列垃圾桶标志中是中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
3.下列问题中适合全面调查的是（　　）
A. 检测重庆市的空气质量
B. 检测神舟二十号载人飞船的零部件质量情况
C. 调查华为mate70的使用寿命
D. 了解全国中学生的视力情况
4.已知反比例函数的图象经过点A（1，-4），则下列各点在该反比例函数图象上的是（　　）
A. （4，1） B. （-2，2） C. （-4，-1） D.
5.下列四个数中最大的是（　　）
A. 3.14×105 B. 3.14×106 C. 6.28×105 D. 6.28×106
6.我国森林面积逐年增加，2022年森林覆盖面积为2.2亿公顷，2024年森林覆盖面积达2.3亿公顷，设森林覆盖面积年平均增长率为x,则所列方程正确的是（　　）
A. 2.2（1+x）2=2.3 B. 2.2（1-x）2=2.3 C. 2.2（1-2x）=2.3 D. 2.2（1+2x）=2.3
7.如图，AB是⊙O的直径，AD，BC是⊙O的弦.若，则∠B的度数为（　　）
A. 18°
B. 36°
C. 54°
D. 64°
8.小南用大小相同的棋子按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5颗棋子，第②个图案中有9颗棋子，第③个图案中有13颗棋子，第④个图案中有17颗棋子，…，按此规律，则第8个图案中，棋子的数量是（　　）
A. 33 B. 34 C. 35 D. 36
9.如图，在正方形ABCD中，，E为AB中点，连接CE，F为CE上一点，连接AF，把线段AF绕着点F顺时针旋转90°后得到线段GF，连接DG和CG，若，则的值为（　　）
A. B. C. D.
10.已知整式M：，其中n,an为正整数，a0，a1，a2，…，an-1为自然数，且整式M从左到右的奇数项系数的和与偶数项系数的和的乘积为2n,下列说法：
①满足条件的所有整式M中存在单项式；
②当n=2时，满足条件的所有整式M中，不存在其中的两个M分解因式后含有相同的多项式因式；
③当n=3时，满足条件的整式M共有36个.
其中正确的个数是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.超市举办某饮料促销活动，在一箱该饮料（12瓶）中有3瓶的瓶盖内印有“奖”字，小明买了一箱这种饮料，他打开一瓶饮料中奖的概率为 .
12.如图，边长相等的正五边形ABCDE和正三角形CDF的一边重合，则∠1= °.
13.已知：m＜＜m+1，且m是整数，则m= ______.
14.若实数x,y同时满足x-2|y|=2，|x|-2y=6，则yx的值为 .
15.如图，以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，以AC为边作菱形ACDE，点D，E均在⊙O上，DE与AB交于点F，连接BC，与⊙O交于点G，连接DG.若，则AB的长为 ，DG的长为 .
16.对于一个四位自然数，如果满足百位与十位数字之和大于千位数字，同时百位与十位数字之和小于个位数字，就称这个数为“合理数”.对于合理数A，将其百位与十位的差替换原来的百位数字，其余数位保持不变，所得结果记为M，将A的百位与十位的差替换原来的十位数字，其余数位保持不变，所得结果记为N，记.例如：当A=2316时，M=2216，N=2326，.若P为最大的合理数，则F（P）= ；一个合理数Q的千位数字为a,百位数字为b,十位数字为c,个位数字为d,若Q为偶数，为整数，且（k为整数），则满足条件的合理数Q为 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
求不等式组：的所有整数解.
解：解不等式①，得______，
解不等式②，得______，
∴原不等式组的解集为______，
∴满足条件的所有整数解为______.
18.(本小题8分)
如图，已知△ABC中，点D在AB边上，且∠ADC=∠ACB，连接CD.
（1）请你利用尺规作图，在AB边上截取AE=AC，作∠CAD的平分线AF交CD于点F，连接EF（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图形中，求证：EF∥BC，请完成下面的证明过程：
证明：∵AF平分∠CAD，
∴∠EAF=∠CAF.
在△AEF和△ACF中，，
∴△AEF≌△ACF（SAS）.
∴______②.
∵∠ADC=∠B+∠BCD，∠ACB=∠ACD+∠BCD，∠ADC=∠ACB，
∴∠B=∠ACD，
∴______③，
∴EF∥BC.
19.(本小题10分)
百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称乙款）.有关人员开展了甲，乙两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：A组不满意x＜70，B组比较满意70≤x＜80，C组满意80≤x＜90，D组非常满意x≥90），下面给出了部分信息：
抽取的对甲款AI聊天机器人的评分数据：
60，65，65，71，74，76，80，82，84，84，85，85，92，92，92，92，96，96，97，98.
抽取的对乙款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：82，88，83，87，80，89.
抽取的对甲，乙款AI聊天机器人的评分统计表
设备 平均数 中位数 众数
甲 83.3 84.5 c
乙 83.3 b 93
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表：a=______，b=______，c=______；
（2）通过以上数据分析，你认为甲，乙款AI聊天机器人中哪一款的使用满意度更好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）在此次测验中，共有2000人参加对甲，乙款AI聊天机器人使用满意度评分，估计此次测验中对AI聊天机器人非常满意的共有多少人？
20.(本小题10分)
先化简，再求值：，其中.
21.(本小题10分)
列方程解下列问题：
某农场去年春季种植苹果和桃子共收获300kg.今年春季苹果产量比去年增加20%，桃子产量比去年增加15%，苹果和桃子的总产量比去年增加54kg.
（1）去年春季苹果和桃子的产量各多少千克？
（2）今年春季收获果实时，该农村安排两组工人分别采摘苹果和桃子.每小时采摘苹果的质量是采摘桃子质量的1.5倍，两组工人同时开始劳动，结果采摘桃子的工人比采摘苹果的工人提前15分钟完成采摘任务.问采摘苹果组的工人每小时采摘苹果多少千克？
22.(本小题10分)
如图1，在矩形ABCD中，AB=6，BE=4CE=8.动点P从点E出发，沿E→C→D运动，速度为每秒1个单位长度，同时动点Q从点E出发沿射线EB运动，速度为每秒2个单位长度，当点P停止运动时点Q也随之停止.连接AE，DE，AQ，DP.设点P运动时间为x秒，△DEP的面积为，△ABE的面积与△AQE的面积比值为.
（1）请直接写出，关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质；
（3）结合，的函数图象，请直接写出≤时x的取值范围（近似值精确到0.1，误差不超过0.2）.
23.(本小题10分)
为加强海上救援能力，某救助队准备在某海域开展海上搜救演练.如图，A，B，C，D在同一平面内，A是指挥部，演练开始时，甲救援船位于A正东方向的B处，乙救援船位于A南偏东60°方向42海里的C处，B在C的北偏西30°方向.在A的南偏西45°方向的D处有一遇险浮标，D位于C的正西方向.（参考数据：，，，）
（1）求CD的长度（结果保留小数点后一位）；
（2）演练开始后，甲救援船从B出发沿南偏西30°方向匀速行驶，同时乙救援船从C出发沿CD往D处进行搜救，乙救援船速度是甲救援船速度的1.5倍.请问乙救援船离D处多少海里时，两救援船第二次相距21海里（结果保留小数点后一位）？
24.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于B，C（2，0）两点（点B在点C左侧），且OB=3OC，与y轴交于点A，连接AB，AC.
（1）求抛物线解析式；
（2）已知点P是直线AB上方抛物线上一动点（且在对称轴左侧），过点P作PQ∥y轴交AB于点Q，过点Q作QD∥AC交对称轴于点D，点E是对称轴上一点满足QE=QD，点F是对称轴上一动点，连接PF，当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值；
（3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线y=ax2+bx+3沿射线BA方向平移个单位长度得到抛物线y'，点P'是点P的对应点，点K是新抛物线y′上的一点，若∠ABC+∠CP'K=∠P'CB，请直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程.
25.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠ABC=60°，点D是BC边上一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得线段AE.
（1）如图1，若AC=CD，∠BAD=10°，求∠ACE的度数；
（2）如图2，若AB=CD，F在BD边上，∠BAF=∠BCE，求证：CD=BD+2BF；
（3）如图3，若AD=CD，AB=12，过点A作AH⊥CE于H.将AB绕点A逆时针旋转90°得线段AM，N为AM中点，G为直线AB上一动点，连接GN，将△AGN沿GN所在直线翻折到△ABC所在的平面内，得△PGN，且连接PH，满足PH∥AB.当PH最小时，请直接写出△ABD的面积.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】．
12.【答案】48．
13.【答案】4
14.【答案】1．
15.【答案】4
．

16.【答案】8
5168．

17.【答案】x＞-3，x≤，-3＜x≤，-2，-1，0．
18.【答案】图形如图所示：
∠ AEF=∠ACF;∠B=∠AEF
19.【答案】87.5;92;40 乙款AI聊天机器人的使用满意度更好，理由：因为两款AI聊天机器人的使用满意度的平均数相同，但乙款中位数比甲款高，所以乙款AI聊天机器人的使用满意度更好 800人
20.【答案】解：原式=÷-（4x2+x-4x-1）+4x2-4x+1
=÷-（4x2-3x-1）+4x2-4x+1
=÷-4x2+3x+1+4x2-4x+1
= -4x2+3x+1+4x2-4x+1
=-（x-2）
=
=；
∵=1-4=-3，
∴原式==4．

21.【答案】去年春季苹果的产量是180千克，桃子的产量是120千克 采摘苹果组的工人每小时采摘苹果36千克
22.【答案】解：（1）=，=（0＜x＜8）；
（2）画图如下：
函数的一条性质：当0＜x≤2时，函数值随自变量的增大而增大；
（3）1.1≤x≤7.4．
23.【答案】57.3海里 9.3海里
24.【答案】 P（-4，3）； K（4，1）或K（10，-20）
25.【答案】20° 证明：如图，在BC上截取BG=AB，连接AG，作FH⊥AB于点H，过点E作CB的垂线，交CB的延长线于点I，
设AB=CD=2a，BE=2b，BF=2c，
∵BG=AB，∠ABC=60°，
∴△ABG是等边三角形，
∴AB=AG=BG=2a，∠BAG=∠AGB=60°，
由（1）可知，△ADE是等边三角形，
∴AE=AD，∠EAD=60°，
∵∠BAG=∠BAD+∠DAG=60°，∠EAD=∠BAD+∠EAB=60°，
∴∠EAB=∠DAG，
在△ABE和△AGD中，
，
∴△ABE≌△AGD（SAS），
∴DG=BE=2b，∠ABE=∠AGB=60°，
∴BD=BG-DG=2a-2b，∠EBI=180°-∠ABE-∠ABC=60°，
∵FH⊥AB，EI⊥CI，
∴∠FHB=∠FHA=∠I=90°，
在Rt△FHB中，BH=BF cos∠ABC=2c cos60°=c，，
同理，BI=BE cos∠EBI=b，，
∴AH=AB-BH=2a-c，CI=BI+BD+CD=b+2a-2b+2a=4a-b，
∵∠BAF=∠BCE，
∴△AFH∽△CEI，
∴，
整理，得2ac=ab，
∵a＞0，
∴b=2c，
∴BE=2BF，
∵CD=AB=BG=BD+DG=BD+BE，
∴CD=BD+2BF
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