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2025-2026学年北京市八一学校教育集团八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A. B. C. D.
2.下列曲线中，表示y是x的函数的是（　　）
A. B.
C. D.
3.以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（　　）
A. 5，12，13 B. 1，2，3 C. 3，3，3 D. 4，5，6
4.若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（　　）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
5.若P（2，y1）、Q（3，y2）是正比例函数y=kx（k为常数，且k＜0）图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是（　　）
A. y1=y2 B. y1＞y2 C. y1＜y2 D. 无法确定
6.下列命题中，不正确的是（　　）
A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
B. 有一个角是直角的菱形是正方形
C. 矩形对角线互相平分且相等
D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
7.我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道题，（如图）题目是：“今有立木，系所其末，委地三尺.去本八尺而索尽.问索长几何？”题意是：有一根竹子原高1丈（10尺），竹梢折断后触地，触地处到竹根的距离是3尺，求折断后竹子剩余的直立高度？如果折断后竹子剩余的直立高度x尺，根据题意列方程为（　　）
A. 32+x2=102 B. 32+（10-x）2=102
C. 32+x2=（10-x）2 D. 32+（10-x）2=x2
8.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于点H，则DH的值为（　　）
A. 4.8
B. 5
C. 6
D. 8
9.直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=2bx-k的图象是（　　）
A. B.
C. D.
10.如图，在 ABCD中，E是AB中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作 EFGH，且点G、H分别在CD、AD上.在动点F运动的过程中， EFGH的面积（　　）
A. 先减小，再增大 B. 先增大，再减小 C. 逐渐减小 D. 不变
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
11.将直线y=2x向下平移3个单位长度后，得到的直线是 .
12.如图，在平行四边形ABCD，AE=2，AD=5，∠BCD的平分线交BA的延长线于点E，则CD的长为 .
13.最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速.在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（图1）.图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中AB=BC=20cm,∠ABC=120°.机器狗正常状态下的高度可以看成A，C两点间的距离，则机器狗在正常状态下的高度为 cm.
14.如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象，则方程组的解为______．
15.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP=CQ，连接CP，QD，则PC+DQ的最小值为 .
16.小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：10先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校.如图是他们从家到学校已走的路程s（米）和所用时间t（分钟）的关系图.则下列说法：
①小明家和学校距离1200米；
②小华乘坐公共汽车的速度是240米/分；
③小华乘坐公共汽车后7：23与小明相遇；
④小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是100米/分时，他们可以同时到达学校.其中正确的是 .（填序号）
三、计算题：本大题共2小题，共9分。
17.计算：.
18.已知：x=+1，y=-1，求x2+2xy+y2的值．
四、解答题：本题共8小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题4分)
如图，在 ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE=CF，EF，BD相交于点O，求证：OE=OF．
20.(本小题7分)
下面是小明设计的“在一个三角形中作内接菱形”的尺规作图过程.
已知：△ABC；
求作：菱形AEDF（点E在AB上，点D在BC上，点F在AC上）；
作法：①作∠BAC的角平分线，交BC于点D；②作线段AD的垂直平分线，交AB于点E，交AC于点F：③连接DE、DF.
都所以四边形AEDF为所求的菱形.
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，
∵EF是线段AD的垂直平分线，
∴EA=ED，FA=FD，（______）（填推理依据）
∴∠BAD=∠ADE，∠CAD=∠ADF，
∴∠CAD=∠ADE，∠BAD=∠ADF，
∴ED∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形.（______）（填推理依据）
∵EA=ED，
∴ AEDF为菱形.（______）（填推理依据）
（3）当△ABC满足______时，菱形AEDF是一个正方形（添加一个符合要求的条件）.
21.(本小题5分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x-3的图象分别交x轴，y轴于A，B两点.
（1）求点A，B的坐标；
（2）画出该函数的图象；
（3）若点P（0，2），连接PA，PB，求△PAB的面积.
22.(本小题6分)
如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD到点F，使DF=CE，连接AF．
（1）求证：四边形ABEF是矩形；
（2）连接OF，若AB=6，DE=2，∠ADF=45°，求OF的长度．
23.(本小题7分)
小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程.
（1）如表是y与x的几组对应值：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … -3 m -1 …
写出表中m的值：m=______.
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）小明结合该函数图象，解决了以下问题：
①当x=______时，函数有最大值是______；
②对于图象上两点P（x1，y1），Q（x2，y2），若0＜x1＜x2，则y1______y2（填“＞”，“=”或“＜”）；
③对于函数，当-2＜x＜1时，y的取值范围是______.
24.(本小题6分)
【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：
.像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化.
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题：
（1）分母有理化：=______；
（2）比较大小：______；（用“＞”“＜”或“=”填空）
（3）已知，，求x2y+xy2的值.
25.(本小题7分)
在正方形ABCD中，E为射线AB上一点（不与点A，B重合），F为AE中点，将线段DF绕点F顺时针旋转90°得到线段GF，连接CG、EG.
（1）依题意补全图形，并证明∠ADF=∠GFE.
（2）判断GC和GE的关系并证明.
26.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中.对于点P与图形W给出如下定义：N为图形W上任意一点，P、N两点间距离的最小值称为点P与图形W的“近点距离”特别的，当点P在图形W上时，点P与图形W的“近点距离”为零.如图，点A（3，1），B（3，5）.
（1）点C（4，1）与线段AB的“近点距离”是______；点D（1，0）与线段AB的“近点距离”是______.
（2）点P是直线y=kx+b（k≠0）上任意一点，点P与线段AB的“近点距离”为r.
①当k=1，r=2时，求b的值.
②当b=-6时，将线段AB绕点B逆时针转90°得到线段A′B，点P与线段A′B的“近点距离”为r1，当时，直接写出k的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】y=2x-3
12.【答案】3．
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】13
16.【答案】①②④．
17.【答案】解：
=1+1+
=．

18.【答案】解：当x=+1，y=-1时，原式=（x+y）2=（+1+-1）2=（2）2=8．
19.【答案】证明：连结BE、DF,如图所示.
四边形ABCD是平行四边形,
ADBC,AD=BC,
AE=CF,
DE=BF,
四边形BEDF是平行四边形,
OF=OE.

20.【答案】作图见解析；
线段垂直平分线的性质；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
∠ BAC=90°．
21.【答案】A（，0），B（0，-3）； 见详解； ．
22.【答案】（1）证明：∵在 ABCD中，
∴AD∥BC且AD=BC，
∴∠ADF=∠BCE，
在△ADF和△BCE中，
∵
∴△ADF≌△BCE（SAS），
∴AF=BE，∠AFD=∠BEC，
∴AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵BE⊥CD，
∴∠BEF=90°，
∴四边形ABEF是矩形；
（2）解：由（1）知：四边形ABEF是矩形，
∴EF=AB=6，
∵DE=2，
∴DF=CE=4，
∴CF=4+4+2=10，
Rt△ADF中，∠ADF=45°，
∴AF=DF=4，
由勾股定理得：AC===2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∴OF=AC=．

23.【答案】0 0;0;＞;-3＜y≤0
24.【答案】 ＞ 2
25.【答案】图形如图所示： 结论：GC=GE，CG⊥GE．
理由：过点G作GJ⊥BC于点J，GH⊥BM于点H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠A=∠ABC=90°，
∵∠DFG=90°，
∴∠AFD+∠GFH=90°，
∵∠AFD+∠ADF=90°，
∴∠ADF=∠GFH，
∵DF=GF，
∴△ADF≌△HFG（AAS），
∴AF=GH，AD=FH，
∴AB=FH，
∴AF=BH=GH，
∵∠GJB=∠GHB=∠JBH=90°，
∴四边形BHJG是矩形，
∵BH=GH，
∴四边形BHGJ是正方形，
∴GJ=GH，
∵AF=FH=BH，
∴BF=EH，
∵AB=BC，AF=BJ
∴BF=CJ，
∴CJ=EH，
∵∠GJC=∠GHE=90°，
∴△GJC≌⊥GHE（SAS），
∴GC=GE，∠CGJ=∠HGE，
∴∠CGE=∠JGH=90°，
∴CG⊥GE
26.【答案】1; -2或2
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