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天津市第四十七中学 2025—2026第二学期高三年级
高考校级模拟 数学试卷答案
一选择题
1．B 2．A 3 A 4．C 5．B 6．D 7．D 8．C 9.A
二：填空题：（本大题共 6小题.每题 5分共 30分）
10． 5 11．25 12．3
1 3 3 π 26
13．① ② 14．① ② 7 15．
9 1 3 3 5
三．解答题.（共 75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
16．【详解】（1）因为5a si n C 3c，由正弦定理得5 si n A si n C 3 si n C ，
3
因为 si n C 0，所以 si n A ．因为角 C为钝角，所以角 A为锐角，所以
5
2 4
cos A 1 si n A . ·········5分
5
4
（2）由（1） cos A ，由余弦定理 2a 2 2b c 2bc cos A， a 3 2 ，b 5，
5
2 4
得1 8 25 c 2 5c ，所以 2c 8c 7 0，解得 c 7或 c 1 ，而 c 1 a ，得C A，这与C 为钝角
5
矛盾，不合题意舍去，∴ c 7，
1 1 3 21
故 ABC 的面积为 bc si n A 5 7 . ········9分
2 2 5 2
3 4
（3）因为 si n A ， cos A ，
5 5
π π π
所以 si n 2 A si n 2 A cos cos 2 A si n
6 6 6
2
2 1 3 4 4 1 24 3 7 3 si n A cos A cos A 3 ·········14分
2 5 5 5 2 50
17．【详解】（1）由 DG 平面 ABCD ， AD CD ，如图建立空间直角坐标系，
则 B 2,1 , 0 , F 0, 2, 2 ,C 0, 2, 0 , E 1 , 0, 2 ,M 0,1 , 2 ， ·········1分

所以 BF 2,1 , 2 ,CE 1 , 2, 2 ,CM 0, 1 , 2 ，设面CEM 的法向量为 n x , y , z ，则
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CE n x 2 y 2 z 0
，取 z 1可得 n 2, 2,1 ，
CM n y 2 z 0
r uuur
此时 n BF 4 2 2 0，所以 n BF ，又 BF 面CEM ，
所以 BF //平面CEM ； ···6分

（2）设直线 BE 与平面CEM 所成角为 ， BE 1 , 1 , 2 ，

n BE 2 2 2 6
所以 si n ，
n BE 4 4 1 1 1 4 9
6
即直线 BE 与平面CEM 所成角的正弦值为 ； · ·······10分
9

（3）设面 BEM 的法向量为m a , b, c ， BE 1 , 1 , 2 , BM 2, 0, 2 ，则

BE m a b 2c 0
，取 a 1 可得m 1 ,1 ,1 ，
BM m 2a 2c 0

n m 2 2 1 5 3
设平面 BEM 与平面CEM 夹角为 ，所以 cos .
n m 3 3 9
5 3
即平面 BEM 与平面CEM 夹角的余弦值 . ········15分
9
c 1 2 2 2
18.【小问 1详解】依题意知： , b 3, a b c ，解得 a 2，b 3 ， c 1 ，
a 2
所以椭圆C 的方程为：
2 2
x y
1 . ········4分
4 3
【小问 2详解】
由题可得 F 1 , 0 ， F 1 , 01 2 ，因为点 P 在第二象限且 P F x1 轴，
2
1 y 3 3 3
所以 1 ，解得： y 或 y （舍去），则点 P 1 , ······5分
4 3 2 2 2
2 0 3 3
k
F P ，则直线 P F 2 的方程为： y 0 x 1 ，即3x 4 y 3 0 ···6分2 1 1 4 4
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设 F P F1 2 的角平分线所在直线与 x 轴的交点为M t , 0 ，显然 1 t 1，
3t 3
则 t
1
1 ，解得： t ；· ·······7分
2 23 4 4
3
1 所以M , 0
2
，则 k 2PM ， · ········8分
4 1 1
4
1 所以 F P F1 2 角平分线所在直线的方程为 y 0 2 x ，即 4 x 2 y 1 0；· ······9分
4
【小问 3详解】
由题意可知，直线 l 的斜率存在，故设直线 l ： y k x 4 ， D x , y ， E x , y1 1 2 2 ，
y k x 4
2 2 2 2
联立 2 2x y ，得 3 4k x 32k x 64k 1 2 0，
1 4 3
2 2
32k 64k 1 2
则 x x ， x x ， ·········12分
1 2 2 1 2 23 4k 3 4k
2
Δ 2 2 2 232k 4 3 4k 64k 1 2 1 44 4k 1 0 .
y y y x 1 y x 1 k 2 x x 5 x x 8
1 2 1 2 2 1

1 2 1 2 则 k kF 2D F 2 E x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
1 2 1 2 1 2
264k 21 2 32k
k 2 5 8 2 2 3 4k 3 4k ， ········14分0
x 1 x 11 2
得： k kF D F E ，则 F F D E F x1 2 2 .2 2
故直线 F D2 与直线 F E2 关于直线 x 1 对称. · ·········15分
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19．解（1）10以内的所有数中，显然 2，4，8为“归一数”；
4 10
1 3 1 4， 1 ，故 1是归一数；3 3 1 10， 5，故 3不是“归一数”；
2
2 2
16 6
3 5 1 16， 1 ，故 5是“归一数”； 3，故 6不是“归一数”
4
2 2
22 28
3 7 1 22，而 1 1，故 7 不是“归一数”；9 3 1 28， 7 故 9不是归一数
2 22
10
5，故 10不是“归一数”，所以 1，2，4，5，8是“归一数”； -----------------3
2
分
（2）由题设可知 a m 9m 必为奇数， m必为偶数，
m 9存在正整数 p ，使得 m 9，即m 9： ----------------5
p p
2 2 1
分
9
Z ，且 p ，
p
2 2 1 11
p2 1 1，或 p2 1 3，或 p2 1 9，解得 p 1 ，或 p 2 ，
9 9
m 9 1 8，或m 9 1 2，即m 的值为 12或 18． -----------------7
1
2 21 2 1
分
k *
（3）显然偶数"归一数"必为形如 2 k N 的整数， -----------------8
分
3m 1 s* 2 1
若m 为奇数"归一数"，则 1 s N ，且 s≥2)，即 *m s N ，且 s≥2)，s
2 3
t t
* 4 1 (3 1 ) 1①当 s 2t t N ，且 t 1 时，m Z ；（证明整除占 1分）
3 3
t t
* 2 4 1 2 (3 1 ) 1②当 s 2t 1 t N 时，m Z ；
3 3
t
4 1
m t *N ) -----------------11分
3
3所有的奇数"归一数"的倒数为 （k N *) ，
k
4 1
3 1

k 1 k
4 1 4
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1 1 1 1 1
S b b b b b b b



1

n 1 2 n 1 2 n n 1
2 32 2 2 5 21
1 1 1 1 1 7 1 1 1 71 2
*
2 4 41
1 3 ，（ n=1 时 也 成 立 ）， 即 S n
n N .
1 3
2 4
---------------15分
x
20．【详解】（1）当m 1时， f x e x，求导可得 f x x 1e 1，所以 f 1 e 1 e 1 ，
1
又 f 1 e 1 e 1，所以函数 f ( x ) 在点 (1 , f (1 ) )处的切线方程为 y e 1 e 1 x 1 ，
即 y e 1 x； ········3分
x m
（2）由题意得 x 0, ， f x e m， g x 1
x
当m 0时， f x 0， g x 0，所以 f x 和 g x 在 0, 上都单调递增，符合题
意； ·······4分
当m 0时，若 f x 和 g x 在 0, 上的单调区间相同，
则 f x 和 g x 有相同的极值点，即 ln m m，
令 h (m )
1
ln m m，则 h (m ) 1 ，········5分
m
当m 0,1 时， h (m ) 0，当m 1 , 时， h (m ) 0，所以在 0,1 上单调递增，在 1 , 上单调递
减，则 h (m ) h (1 ) ln 1 1 1 ，所以 ln m m无解，···6分
综上，当m , 0 时， f x 和 g x 在 0, 上单调区间相同； ·····7分
x
（3）①由题意， f x 有两个零点， f x e m，
若m 0，则 f x 0，所以 f x 在 R 上单调递增，不符合题意，
若m 0，则当 x , ln m 时， f x 0，所以 f x 在 , ln m 单调递减，
当 x ln m, 时， f x 0， f x 在 ln m, 上单调递增， ······8分
且当 x 时， f x ，当 x 时， f x ，
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所以 f ( ln m ) m m ln m 0，解得m e，得证； ········9分
②令 f x 0， g x 0， x得 e mx , x mlnx，
x x
e x e由于m e，故m 0,则 x 0，m 0,则 x 1 ,令m ( x ) ( x 0)，
x lnx x
x
n x ( x 1 ) ，
ln x
x
e x 1 ln x 1
则m

( x ) ， n x ( x 1 )2 ， ·····10分
2
x ln x

当 x 0,1 时，m ( x ) 0，m ( x )在单 0,1 调递减，
x 1 , ， 当 时 m ( x ) 0，m ( x )在 1 , 单调递增，当 x 1 , e 时，n ( x ) 0，n ( x ) 在 1 , e
上单调递减，当 x e, 时，n ( x ) 0，n ( x ) 在 e, 上单调递
增， ·······11分
x
e x
在同一坐标平面内作出函数m ( x ) ( x 0)与 n x ( x 1 ) 的图象，
x ln x
两函数图像有公共点 A x , y2 2 ，如图所示，
x
e 1
x
e 2 x x
故0 x 1 x e x 2 31 2 3 ，且有 ，·······12分
x x ln x ln x
1 2 2 3
x x ln x
e 1 x e 1 e 2
2由 ，得 ，即m x m ln x1 2 ，又0 ln x 12 ，m x 在 0,1 单调递减，
x ln x x ln x
1 2 1 2
故 x ln x1 2 ， ·········13分
x2 xe x e 2 x
3 3 x由 ，得 ，即 n e 2 n x ，又 xe 2x 3 e
x ln x ln e 2 ln x
2 3 3
x
， n x 在 e, 上单调递增，所以 x e 23 ， ·········14分
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x
e 2 x
2 2 x 2由 ，得 x e 2 ln x x x x x x2 2 1 3，即 1 3 2 ， ·······15分
x ln x
2 2
3 3
故 x x x x1 2 3 2 ，又1 x e2 ，所以1 x x x e1 2 3 .· · ········16分
．
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高考校级模拟数学试卷
第I卷（满分45分）
一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.若全集U={x∈N0A.{12}
B.{2}
C.{2,3
D.{6}
2.“9-=年是“cos0=2的
4
2
A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.函数f(x)=
3sin 2x
x-2
的部分图象大致为
4.若m,n为两条直线，，B为两个平面，则下列结论中正确的是
:.若m1/a,n11a,则m//n
B.若m/1a,二，则m/fn
C.若a⊥B,c⌒B=h,mc,m⊥n,则m⊥BD.若C⊥B,m/1a,n⊥B,则m上n
5,下列说法正确的有
①数据1,3,5,7,9,11的第50百分位数为5，中位数为6：
②若一组数据的方差为0，则这组数据中的所有数值均相等；
③若随机变量5满足7=25+1，则E(7)=2E(5)+1,D(n)=4D(5):
④在回归模型中，残差平方和越大，则回归拟合的效果越好：
A.3个
B.2个
C.4个
D.5个
6.函数f(x)=Asi(or+p)(o>0,0A.f()的单调递增区间
[+a,受+a]
k∈Z
3
B.函数()的图象向左平移匹个单位后得到的是一个奇函数的图象
3元
C.f()图象的对称中心是-西，0，ke2
80
D.f()图象的一条对称轴方程是x=5和
8
。已知递减的答比数列0}前n项和为S,且满足4=2,4+凸，=64，若N≤S。≤M恒
成立，则M一N的最小值为
4
A.
3-2
B.
C.2
8.设函数f)=e+4x-4g(=ax-士，若f(k)-g()=0,则
A.0久已是系自线c:号子=(a>0b>0)的左，右倍点分对为<0,5e0,点是双曲
线C上一点，点N[00小，且∠RW=30°，丽.丽=0，则双曲线C的离心率为
A.2
B.2V6
C.5
D.
2W13
53
3
第‖卷（非选择题共105分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
10.已知i是虚数单位，复数z满足z1-)=3+i,则=一
01.
在〔3-x-1旷的展开式中项的系数为
12.
已知抛物线y2=2(P>0)的焦点为F,准线方程为x=-1,过F的直线与抛物线在第一
象限交于点A,且|AF=5.若直线AF与圆(x+2)2+y-1)2=2(>0)相切，则r=
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