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同步探究学案
课题 24.3 数据的四分位数 单元 第二十四章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．理解四分位数的概念，掌握其计算方法，会画箱线图． 2．能利用四分位数和箱线图分析数据的分布情况．
重点 理解四分位数的概念，掌握四分位数的计算方法，会绘制箱线图．
难点 利用四分位数和箱线图，多角度分析、对比数据的分布特征．
探究过程
导入新课 【引入思考】 集中趋势和离散程度都是数据分布某一方面的特征．为了获取数据更多的信息，人们还关心数据整体的分布情况．本节我们将学习用四分位数大致刻画一组数据的分布情况．
新知探究 本节课来研究： 本节我们研究四分位数与箱线图。 问题：某银行有A和B两个理财产品经营团队．近三年，这两个团队分别负责经营12项理财产品，收益率（单位：%）如下： A 4.77 3.98 6.44 4.89 2.15 3.85 3.64 3.21 3.18 2.02 4.11 4.10 B 3.18 3.84 3.99 3.67 3.40 3.60 4.10 4.21 4.15 4.44 3.87 3.91 如果你是一位购买理财产品的投资者，会选择哪个团队的产品？ 解：我们可以用产品收益率的平均数和方差来刻画这两个团队的经营水平．通过计算，可以得到A和B两个团队产品收益率的平均数和方差分别为 ≈3.862，≈1.327； ≈3.863，≈0.117． 可以看出，团队B的产品收益率的平均数稍______团队A，但差别不大；团队A的产品收益率的方差明显______团队B，即团队B的产品收益率的稳定性要好于团队A．因此，如果你是稳健型投资者，那么应该选择团队_____经营的理财产品；如果你是激进型投资者，那么应该选择团队_____经营的理财产品． 思考：如果投资者还想进一步了解两个团队理财产品收益率的具体情况，例如收益率大部分在什么范围，哪些范围比较集中等信息，那么产品收益率的平均数和方差能反映出这些信息吗？ 分析：平均数和方差虽然可以反映产品收益率的集中趋势和离散程度，但无法反映出投资客户关心的这些信息．因此，我们需要能反映产品收益率更多分布信息的统计量． 归纳：一组数据按从小到大的顺序排列，中位数是从中间点把数据分成2等份，将数据分成100等份的每一分点处的值叫作这组数据的_________．相比中位数，百分位数可以较全面地反映出数据的分布信息． 由于每个团队的产品收益率的数据个数不多，我们可以用三个特殊的百分位数来刻画．如图所示，把团队A的产品收益率按从小到大的顺序排列，容易得到这组数据的中位数为3.915，这个值把所有数据分成2等份，所有数据中小于这个值的占50%，称3.915为这组数据的_________．在3.915左侧和右侧的数据中，还可以分别得到它们各自的中位数3.195和4.44，所有数据中小于这两个值的分别占25%和75%，称3.195和4.44分别为这组数据的__________和____________．由于3.195，3.915，4.44这三个值把这组按由小到大顺序排列的数据分成四等份，所以称它们为这组数据的_________，从小到大分别称为这组数据的第____四分位数、第____四分位数（中位数）、第_____四分位数，分别记为Q1，Q2，Q3． 第一四分位数又称下四分位数，第三四分位数又称上四分位数． 说一说：由团队A产品收益率的三个四分位数，观察其产品收益率的分布情况如何. 解：由团队A产品收益率的三个四分位数，可以大致看出其产品收益率的分布情况．其产品收益率小于3.195%的项目数占总数的____%，产品收益率小于3.915%的项目数占总数的_____，产品收益率大于4.44%的项目数占总数的____%．产品收益率在3.195%至4.44%之间的项目数占总数的_____%． 类似地，如图所示，可以得到团队B产品收益率的三个四分位数分别为3.635，3.89，4.125． 说一说：由团队B产品收益率的三个四分位数，观察其产品收益率的分布情况如何. 解：由团队B产品收益率的三个四分位数可以知道，其产品收益率小于3.635%的项目数占总数的____%，产品收益率小于3.89%的项目数占总数的____，产品收益率大于4.125%的项目数占总数的____%．产品收益率在3.635%至4.125%之间的项目数占总数的____． 为了更加直观地观察产品收益率的分布特征，我们可以用产品收益率的三个四分位数及最小值、最大值这五个数值画出箱线图． 团队A产品收益率的箱线图如图所示，它主要由矩形箱体和从箱体延伸出的两条水平线段（称为须线）构成． 箱线图中最左侧和最右侧的竖直线段分别表示这组数据的最____值和最____值，中间箱体的左端竖线表示第___四分位数，箱体中部的竖线表示第____四分位数（中位数），箱体的右端竖线表示第____四分位数，整个箱体的长度为第三四分位数减去第一四分位数的差，称为四分_____．由箱线图，容易看出产品收益率分布的大致情况，如分布的范围、中位数的大小、集中的范围、分布是否对称等． 想一想：从图中你还能看出哪些分布信息？ 类似地，可以画出团队B产品收益率的箱线图，如图所示． 箱线图也可以按竖直方向画．为了便于比较两个团队产品收益率的分布特征，把两个箱线图按竖直方向并列画在同一幅图中，如图所示． 从图中可以发现，两个团队产品收益率的中位数几乎相等（表示中位数的水平线段差不多高），但团队A的产品收益率波动明显比团队B的____（团队A的箱体和须线比团队B的长），这与用平均数、方差比较的结果是一致的．从箱线图中，还可以看出分布的一些其他特征，例如，团队B的产品收益率分布比团队A的更对称（中位数对应的水平线段在箱子的中间位置），团队A有约25%的产品收益率高于团队B的最高产品收益率，也有约25%的产品收益率低于团队B的最低产品收益率，等等． 想一想：与直方图、条形图比较，箱线图在表示数据方面有什么特点？ 归纳：按从小到大的顺序排列的一组数据，可以按以下步骤确定其四分位数：先找出这组数据的_________，作为这组数据的第二四分位数；然后找出中位数左侧和右侧的数据各自的中位数，分别作为这组数据的第___四分位数和第____四分位数．利用一组数据的三个四分位数，以及最小值、最大值可以刻画这组数据的大致分布情况． 例：根据表中的数据，分别计算甲、乙两地气温的四分位数，在同一幅图中画出箱线图，据此比较甲、乙两地的气温特点． 时刻0:002:004:006:008:0010:0012:0014:0016:0018:0020:0022:0024:00甲/℃1191012162123242118161413乙/℃13111214151719212018171615
解：将表中两地的气温（单位：℃）分别按从小到大的顺序排列，可得 甲地 9 10 11 12 13 14 16 16 18 21 21 23 24 乙地 11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21 甲、乙两地气温各有13个数据．甲地气温的最小值为____，最大值为____，三个四分位数分别为Q2＝____，Q1＝____________，Q3＝． 乙地气温的最小值为____，最大值为____，三个四分位数分别为 Q2＝______，Q1＝，Q3＝． 在同一幅图中画出两地气温的箱线图， 如图所示．可以看出，甲、乙两地气温的中位数相同，但甲地气温的波动明显比乙地的____，甲地约有25%时刻的气温____于乙地的最高温度，约有25%时刻的气温____于乙地的最低温度．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．现有一组数据分别为： ，则上四分位数是（ ） A． B． C． D． 2．在数学学科单元模拟测试中，总分为100分，八年级某班学生成绩的箱线图如下图所示，则该班学生成绩的下四分位数是__________分． 3．为倡导学生们“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”，某校举行了相关的知识竞赛，现从七、八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）如下： 七年级成绩：，，，，，，，，，，，，，． 八年级成绩：，，，，，，，，，，，，，． 这两组数据中哪组数据比较分散？ 选做题： 4．如图是反映，两地这个月每天平均气温的数据的箱线图，根据图中信息，关于这个月，两地平均气温的说法不正确的是（ ） A．地平均气温的最大值大于地平均气温的最大值 B．地平均气温的中位数低于地平均气温的中位数 C．地平均气温的方差小于地平均气温的方差 D．地有以上的天数的平均气温低于地平均气温的最小值 【综合拓展类练习】 5．游泳培训中心特训班进行毕业考试，100米蛙泳24名成员的成绩如下（单位：秒）： 158 149 145 128 140 135 142 150 155 132 136 150 142 152 130 136 140 144 166 142 144 150 132 138 据此回答： (1)填写四分位数表 四分位数数值
说说本次成绩所反映的总体情况 (2)如下图所示，将这一年的成绩绘制成箱线图，并与去年的成绩进行比较，说说你对这一年成绩的评价．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是（ ） A． B．168 C．124 D．150 2．甲、乙、丙、丁四支排球队队员身高情况箱线图如图所示，身高最集中的是___队． 3．已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班的成绩箱线图如图所示． (1)甲班成绩的中位数为___________，乙班成绩的上四分位数为___________． (2)图中甲班对应的“箱子”被128分成两部分，其中“下半截箱子”较长，这说明了什么？ (3)由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？ 选做题： 4．在统计学中经常用一组数据的最小值、第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况．如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），中间箱体的底端是第一四分位数，箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是第三四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（ ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的第三四分位数是80 C．一班有同学的成绩超过140分 D．一班的平均分高于二班的平均分 【综合拓展类作业】 5．某电商平台有A和B两个合作物流公司．2026年第一季度，这两个物流公司分别负责配送12批次的同款商品，配送时效（单位：小时）如下： A公司：4.77，3.98，4.88，4.89，2.15，3.85，3.64，3.21，3.18，2.02，4.11，4.10． B公司：3.18，3.84，3.99，3.67，3.40、3.60，4.10，4.21，4.15，4.44，3.87，3.91． 某运营经理想要利用四分位数分析A、B两个物流公司的配送效率．统计表为他统计的两个公司配送时效数据的四分位数（单位：小时）： 公司A3.195a4.44Bb3.890c
请根据以上信息完成下列问题： (1)表中______，______，______； (2)运营经理基于四分位数绘制了A、B两公司的箱线图如图所示，请你根据箱线图对A、B两个物流公司的配送水平从时效快慢和稳定性方面作出评价．
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分课时教学设计
第八课时《24.3 数据的四分位数》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课是数据分析的提升内容，是在学生掌握平均数、中位数、方差刻画数据集中趋势与离散程度的基础上，引入四分位数与箱线图，进一步刻画数据整体分布情况，完善数据分析的知识体系．本课借助理财产品收益率、两地气温等实例，让学生学会计算四分位数、绘制箱线图，从数据分布范围、集中区域、波动情况多角度分析数据．既是对前面统计知识的延伸，也为后续学习百分位数、数据可视化奠定基础，培养学生全面、立体分析数据的能力，落实数据分析的核心素养．
学习者分析 学生已熟练掌握中位数的计算，能运用平均数、方差分析数据，具备基础的数据排序、统计运算能力．但四分位数是全新概念，学生对第一、第二、第三四分位数的划分逻辑理解较困难，易混淆计算步骤；箱线图的构成要素多，学生难以读懂图中信息．同时学生习惯从平均水平、波动大小分析数据，缺乏从整体分布角度解读数据的思维，需要借助实例与图形直观理解，建立完整的数据分析视角．
教学目标 1．理解四分位数的概念，掌握其计算方法，会画箱线图． 2．能利用四分位数和箱线图分析数据的分布情况．
教学重点 理解四分位数的概念，掌握四分位数的计算方法，会绘制箱线图．
教学难点 利用四分位数和箱线图，多角度分析、对比数据的分布特征．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．理解四分位数的概念，掌握其计算方法，会画箱线图． 2．能利用四分位数和箱线图分析数据的分布情况．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 导言：集中趋势和离散程度都是数据分布某一方面的特征．为了获取数据更多的信息，人们还关心数据整体的分布情况．本节我们将学习用四分位数大致刻画一组数据的分布情况．学生活动2： 学生认真听讲活动意图说明： 在学生已掌握集中趋势、离散程度相关统计量的基础上，点明其分析维度的局限性，引出数据整体分布这一新的分析角度．自然导入四分位数的学习，拓宽学生数据分析思路，为探究数据分布特征做好铺垫．环节三：新知讲解教师活动3： 问题：某银行有A和B两个理财产品经营团队．近三年，这两个团队分别负责经营12项理财产品，收益率（单位：%）如下： A 4.77 3.98 6.44 4.89 2.15 3.85 3.64 3.21 3.18 2.02 4.11 4.10 B 3.18 3.84 3.99 3.67 3.40 3.60 4.10 4.21 4.15 4.44 3.87 3.91 如果你是一位购买理财产品的投资者，会选择哪个团队的产品？ 讲解：我们可以用产品收益率的平均数和方差来刻画这两个团队的经营水平．通过计算，可以得到A和B两个团队产品收益率的平均数和方差分别为 ≈3.862，≈1.327； ≈3.863，≈0.117． 可以看出，团队B的产品收益率的平均数稍大于团队A，但差别不大；团队A的产品收益率的方差明显大于团队B，即团队B的产品收益率的稳定性要好于团队A．因此，如果你是稳健型投资者，那么应该选择团队B经营的理财产品；如果你是激进型投资者，那么应该选择团队A经营的理财产品． 思考：如果投资者还想进一步了解两个团队理财产品收益率的具体情况，例如收益率大部分在什么范围，哪些范围比较集中等信息，那么产品收益率的平均数和方差能反映出这些信息吗？ 指出：平均数和方差虽然可以反映产品收益率的集中趋势和离散程度，但无法反映出投资客户关心的这些信息．因此，我们需要能反映产品收益率更多分布信息的统计量． 归纳：一组数据按从小到大的顺序排列，中位数是从中间点把数据分成2等份，将数据分成100等份的每一分点处的值叫作这组数据的百分位数．相比中位数，百分位数可以较全面地反映出数据的分布信息． 讲解：由于每个团队的产品收益率的数据个数不多，我们可以用三个特殊的百分位数来刻画．如图所示，把团队A的产品收益率按从小到大的顺序排列，容易得到这组数据的中位数为3.915，这个值把所有数据分成2等份，所有数据中小于这个值的占50%，称3.915为这组数据的50%分位数．在3.915左侧和右侧的数据中，还可以分别得到它们各自的中位数3.195和4.44，所有数据中小于这两个值的分别占25%和75%，称3.195和4.44分别为这组数据的25%分位数和75%分位数．由于3.195，3.915，4.44这三个值把这组按由小到大顺序排列的数据分成四等份，所以称它们为这组数据的四分位数，从小到大分别称为这组数据的第一四分位数、第二四分位数（中位数）、第三四分位数，分别记为Q1，Q2，Q3． 第一四分位数又称下四分位数，第三四分位数又称上四分位数． 说一说：由团队A产品收益率的三个四分位数，观察其产品收益率的分布情况如何. 讲解：由团队A产品收益率的三个四分位数，可以大致看出其产品收益率的分布情况．其产品收益率小于3.195%的项目数占总数的25%，产品收益率小于3.915%的项目数占总数的一半，产品收益率大于4.44%的项目数占总数的25%．产品收益率在3.195%至4.44%之间的项目数占总数的50%． 类似地，如图所示，可以得到团队B产品收益率的三个四分位数分别为3.635，3.89，4.125． 说一说：由团队B产品收益率的三个四分位数，观察其产品收益率的分布情况如何. 讲解：由团队B产品收益率的三个四分位数可以知道，其产品收益率小于3.635%的项目数占总数的25%，产品收益率小于3.89%的项目数占总数的一半，产品收益率大于4.125%的项目数占总数的25%．产品收益率在3.635%至4.125%之间的项目数占总数的50%． 为了更加直观地观察产品收益率的分布特征，我们可以用产品收益率的三个四分位数及最小值、最大值这五个数值画出箱线图． 团队A产品收益率的箱线图如图所示，它主要由矩形箱体和从箱体延伸出的两条水平线段（称为须线）构成． 箱线图中最左侧和最右侧的竖直线段分别表示这组数据的最小值和最大值，中间箱体的左端竖线表示第一四分位数，箱体中部的竖线表示第二四分位数（中位数），箱体的右端竖线表示第三四分位数，整个箱体的长度为第三四分位数减去第一四分位数的差，称为四分位距．由箱线图，容易看出产品收益率分布的大致情况，如分布的范围、中位数的大小、集中的范围、分布是否对称等． 从图中你还能看出哪些分布信息？ 类似地，可以画出团队B产品收益率的箱线图，如图所示． 箱线图也可以按竖直方向画．为了便于比较两个团队产品收益率的分布特征，把两个箱线图按竖直方向并列画在同一幅图中，如图所示． 从图中可以发现，两个团队产品收益率的中位数几乎相等（表示中位数的水平线段差不多高），但团队A的产品收益率波动明显比团队B的大（团队A的箱体和须线比团队B的长），这与用平均数、方差比较的结果是一致的．从箱线图中，还可以看出分布的一些其他特征，例如，团队B的产品收益率分布比团队A的更对称（中位数对应的水平线段在箱子的中间位置），团队A有约25%的产品收益率高于团队B的最高产品收益率，也有约25%的产品收益率低于团队B的最低产品收益率，等等． 想一想：与直方图、条形图比较，箱线图在表示数据方面有什么特点？ 预设：与直方图、条形图相比，箱线图的特点是：它能同时展示数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数和最大值，直观反映数据的分布范围、集中趋势和离散程度，便于多组数据间的对比，且绘制简洁，能快速呈现数据的整体分布特征． 归纳：按从小到大的顺序排列的一组数据，可以按以下步骤确定其四分位数：先找出这组数据的中位数，作为这组数据的第二四分位数；然后找出中位数左侧和右侧的数据各自的中位数，分别作为这组数据的第一四分位数和第三四分位数．利用一组数据的三个四分位数，以及最小值、最大值可以刻画这组数据的大致分布情况． 例：根据表中的数据，分别计算甲、乙两地气温的四分位数，在同一幅图中画出箱线图，据此比较甲、乙两地的气温特点． 时刻0:002:004:006:008:0010:0012:0014:0016:0018:0020:0022:0024:00甲/℃1191012162123242118161413乙/℃13111214151719212018171615
解：将表中两地的气温（单位：℃）分别按从小到大的顺序排列，可得 甲地 9 10 11 12 13 14 16 16 18 21 21 23 24 乙地 11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21 甲、乙两地气温各有13个数据．甲地气温的最小值为9，最大值为24，三个四分位数分别为Q2＝16，Q1＝＝11.5，Q3＝＝21． 乙地气温的最小值为11，最大值为21，三个四分位数分别为 Q2＝16，Q1＝＝13.5，Q3＝＝18.5． 在同一幅图中画出两地气温的箱线图， 如图所示．可以看出，甲、乙两地气温的中位数相同，但甲地气温的波动明显比乙地的大，甲地约有25%时刻的气温高于乙地的最高温度，约有25%时刻的气温低于乙地的最低温度．学生活动3： 学生小组合作探究、班内交流后认真听老师的讲解和示范活动意图说明： 借助理财产品、气温等实例，引导学生掌握四分位数计算与箱线图画法，学会分析数据分布特征，培养多角度、全面解读数据的能力．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：24.3数据的四分位数一、四分位数 二、箱线图教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．现有一组数据分别为： ，则上四分位数是（ ） A． B． C． D． 答案：D 2．在数学学科单元模拟测试中，总分为100分，八年级某班学生成绩的箱线图如下图所示，则该班学生成绩的下四分位数是__________分． 答案：68 3．为倡导学生们“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”，某校举行了相关的知识竞赛，现从七、八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）如下： 七年级成绩：，，，，，，，，，，，，，． 八年级成绩：，，，，，，，，，，，，，． 这两组数据中哪组数据比较分散？ 解：将七年级这名学生的成绩数据从小到大排列：，，，，，，，，，，，，，．第一四分位数是，第三四分位数是．所以第三四分位数减去第一四分位数的差是． 将八年级这名学生的成绩数据从小到大排列：，，，，，，，，，，，，，．第一四分位数是，第三四分位数是．所以第三四分位数减去第一四分位数的差是． 因为， 所以八年级这名学生的成绩数据比较分散． 选做题： 4．如图是反映，两地这个月每天平均气温的数据的箱线图，根据图中信息，关于这个月，两地平均气温的说法不正确的是（ ） A．地平均气温的最大值大于地平均气温的最大值 B．地平均气温的中位数低于地平均气温的中位数 C．地平均气温的方差小于地平均气温的方差 D．地有以上的天数的平均气温低于地平均气温的最小值 答案：C 【综合拓展类练习】 5．游泳培训中心特训班进行毕业考试，100米蛙泳24名成员的成绩如下（单位：秒）： 158 149 145 128 140 135 142 150 155 132 136 150 142 152 130 136 140 144 166 142 144 150 132 138 据此回答： (1)填写四分位数表 四分位数数值
说说本次成绩所反映的总体情况 (2)如下图所示，将这一年的成绩绘制成箱线图，并与去年的成绩进行比较，说说你对这一年成绩的评价． 解：（1）将24名成员的成绩从小到大排列为： 128，130，132，132，135，136，136，138，140，140，142，142，142，144，144，145，149，150，150，150，152，155，158，166； ，，； 四分位数反映了本次考试成绩中，有不少于的学员的成绩在136秒及以内；有至少一半的学员的成绩在142秒及以内；但是还有不少于的学员的成绩至少有150秒，仍需努力； （2）箱线图如图所示： 通过箱线图可知，今年总体成绩超过去年，不但最少用时和最多用时均比去年要短，而且中位数也提高了8秒，除此之外，这一成绩段的学员成绩更加集中，表示了总体上成绩的集中体现．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是（ ） A． B．168 C．124 D．150 答案：C 2．甲、乙、丙、丁四支排球队队员身高情况箱线图如图所示，身高最集中的是___队． 答案：乙 3．已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班的成绩箱线图如图所示． (1)甲班成绩的中位数为___________，乙班成绩的上四分位数为___________． (2)图中甲班对应的“箱子”被128分成两部分，其中“下半截箱子”较长，这说明了什么？ (3)由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？ 解：（1）由图可知，甲班成绩的中位数为128，乙班成绩的上四分位数为128， 故答案为：128；128； （2）甲班成绩处于中等偏下的同学的成绩差异要大于中等偏上的同学； （3）由两班成绩箱线图可以看出，甲班成绩的中位数为128，而乙班的上四分位数是128，同时，甲班的下四分位数明显高于乙班，由此估计甲班平均分较高． 选做题： 4．在统计学中经常用一组数据的最小值、第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况．如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），中间箱体的底端是第一四分位数，箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是第三四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（ ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的第三四分位数是80 C．一班有同学的成绩超过140分 D．一班的平均分高于二班的平均分 答案：C 【综合拓展类作业】 5．某电商平台有A和B两个合作物流公司．2026年第一季度，这两个物流公司分别负责配送12批次的同款商品，配送时效（单位：小时）如下： A公司：4.77，3.98，4.88，4.89，2.15，3.85，3.64，3.21，3.18，2.02，4.11，4.10． B公司：3.18，3.84，3.99，3.67，3.40、3.60，4.10，4.21，4.15，4.44，3.87，3.91． 某运营经理想要利用四分位数分析A、B两个物流公司的配送效率．统计表为他统计的两个公司配送时效数据的四分位数（单位：小时）： 公司A3.195a4.44Bb3.890c
请根据以上信息完成下列问题： (1)表中______，______，______； (2)运营经理基于四分位数绘制了A、B两公司的箱线图如图所示，请你根据箱线图对A、B两个物流公司的配送水平从时效快慢和稳定性方面作出评价． 解：（1）将A公司的数据排序：2.02，2.15，3.18，3.21，3.64，3.85，3.98，4.10，4.11，4.77，4.88，4.89， ∵第6个和第7个数据分别为3.85，3.98， ∴； B公司的数据排序：3.18，3.40、3.60，3.67，3.84，3.87，3.91，3.99，4.10，4.15，4.21，4.44， ∵第3个和第4个数据为3.60和3.67，第9个和第10个数据为4.10和4.15， ∴； （2）由图可知：A物流公司的产品配送时效的中位数与B物流公司相差不大，故可知两个公司的配送时效基本一样，但A物流公司的产品配送时效明显比B物流公司的配送时效的波动性大，即B物流公司的配送时效更稳健．
教学反思 本节课结合实例讲解四分位数与箱线图，学生基本掌握计算与绘图方法，但部分学生对四分位数的划分逻辑理解不透彻，计算易出错．对箱线图中分布范围、集中区域等信息的解读不够全面，综合对比数据的能力较弱．后续教学应强化步骤梳理，多结合生活实例，引导学生读懂箱线图，提升数据分析与可视化应用能力．
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第二十四章 数据的分析
24.3 数据的四分位数
1．理解四分位数的概念，掌握其计算方法，会画箱线图．
2．能利用四分位数和箱线图分析数据的分布情况．
集中趋势和离散程度都是数据分布某一方面的特征．为了获取数据更多的信息，人们还关心数据整体的分布情况．本节我们将学习用四分位数大致刻画一组数据的分布情况．
问题：某银行有A和B两个理财产品经营团队．近三年，这两个团队分别负责经营12项理财产品，收益率（单位：%）如下：
A 4.77 3.98 6.44 4.89 2.15 3.85
3.64 3.21 3.18 2.02 4.11 4.10
B 3.18 3.84 3.99 3.67 3.40 3.60
4.10 4.21 4.15 4.44 3.87 3.91
如果你是一位购买理财产品的投资者，会选择哪个团队的产品？
我们可以用产品收益率的平均数和方差来刻画这两个团队的经营水平．通过计算，可以得到A和B两个团队产品收益率的平均数和方差分别为
≈3.862，≈1.327；≈3.863，≈0.117．
可以看出，团队B的产品收益率的平均数稍大于团队A，但差别不大；团队A的产品收益率的方差明显大于团队B，即团队B的产品收益率的稳定性要好于团队A．
如果你是稳健型投资者，那么应该选择团队B经营的理财产品；
如果你是激进型投资者，那么应该选择团队A经营的理财产品．
思考：如果投资者还想进一步了解两个团队理财产品收益率的具体情况，例如收益率大部分在什么范围，哪些范围比较集中等信息，那么产品收益率的平均数和方差能反映出这些信息吗？
平均数和方差虽然可以反映产品收益率的集中趋势和离散程度，但无法反映出投资客户关心的这些信息．因此，我们需要能反映产品收益率更多分布信息的统计量．
一组数据按从小到大的顺序排列，中位数是从中间点把数据分成2等份，将数据分成100等份的每一分点处的值叫作这组数据的百分位数．
相比中位数，百分位数可以较全面地反映出数据的分布信息．
由于每个团队的产品收益率的数据个数不多，我们可以用三个特殊的百分位数来刻画．如图所示，把团队A的产品收益率按从小到大的顺序排列，容易得到这组数据的中位数为3.915，这个值把所有数据分成2等份，所有数据中小于这个值的占50%，称3.915为这组数据的50%分位数．
2.02 2.15 3.18 3.21 3.64 3.85 3.98 4.10 4.11 4.77 4.89 6.44
｜
3.915
50%分位数
在3.915左侧和右侧的数据中，还可以分别得到它们各自的中位数3.195和4.44，所有数据中小于这两个值的分别占25%和75%，称3.195和4.44分别为这组数据的25%分位数和75%分位数．
2.02 2.15 3.18 3.21 3.64 3.85 3.98 4.10 4.11 4.77 4.89 6.44
｜
3.915
50%分位数
｜
3.195
｜
4.44
25%分位数
75%分位数
由于3.195，3.915，4.44这三个值把这组按由小到大顺序排列的数据分成四等份，所以称它们为这组数据的四分位数，从小到大分别称为这组数据的第一四分位数、第二四分位数（中位数）、第三四分位数，分别记为Q1，Q2，Q3．
第一四分位数又称下四分位数，第三四分位数又称上四分位数．
2.02 2.15 3.18 3.21 3.64 3.85 3.98 4.10 4.11 4.77 4.89 6.44
｜
3.915
50%分位数
｜
｜
3.195
4.44
25%分位数
75%分位数
第一四分位数
第二四分位数
第三四分位数
由团队A产品收益率的三个四分位数，可以大致看出其产品收益率的分布情况．其产品收益率小于3.195%的项目数占总数的25%，产品收益率小于3.915%的项目数占总数的一半，产品收益率大于4.44%的项目数占总数的25%．产品收益率在3.195%至4.44%之间的项目数占总数的50%．
说一说：由团队 A 产品收益率的三个四分位数，观察其产品收益率的分布情况如何.
2.02 2.15 3.18 3.21 3.64 3.85 3.98 4.10 4.11 4.77 4.89 6.44
｜
3.915
｜
｜
3.195
4.44
第一四分位数
第二四分位数
第三四分位数
类似地，如图所示，可以得到团队B产品收益率的三个四分位数分别为3.635，3.89，4.125．
3.18 3.40 3.60 3.67 3.84 3.87 3.91 3.99 4.10 4.15 4.21 4.44
｜
3.89
｜
｜
3.635
4.125
第一四分位数
第二四分位数
第三四分位数
说一说：由团队 B 产品收益率的三个四分位数，观察其产品收益率的分布情况如何.
由团队B产品收益率的三个四分位数可以知道，其产品收益率小于3.635%的项目数占总数的25%，产品收益率小于3.89%的项目数占总数的一半，产品收益率大于4.125%的项目数占总数的25%．产品收益率在3.635%至4.125%之间的项目数占总数的50%．
3.18 3.40 3.60 3.67 3.84 3.87 3.91 3.99 4.10 4.15 4.21 4.44
｜
3.89
｜
｜
3.635
4.125
第一四分位数
第二四分位数
第三四分位数
为了更加直观地观察产品收益率的分布特征，我们可以用产品收益率的三个四分位数及最小值、最大值这五个数值画出箱线图．
团队A产品收益率的箱线图如图所示，它主要由矩形箱体和从箱体延伸出的两条水平线段（称为须线）构成．
箱线图中最左侧和最右侧的竖直线段分别表示这组数据的最小值和最大值，中间箱体的左端竖线表示第一四分位数，箱体中部的竖线表示第二四分位数（中位数），箱体的右端竖线表示第三四分位数，整个箱体的长度为第三四分位数减去第一四分位数的差，称为四分位距．
由箱线图，容易看出产品收益率分布的大致情况，如分布的范围、中位数的大小、集中的范围、分布是否对称等．
类似地，可以画出团队B产品收益率的箱线图，如图所示．
箱线图也可以按竖直方向画．为了便于比较两个团队产品收益率的分布特征，把两个箱线图按竖直方向并列画在同一幅图中，如图所示．
从图中可以发现，两个团队产品收益率的中位数几乎相等（表示中位数的水平线段差不多高），但团队A的产品收益率波动明显比团队B的大（团队A的箱体和须线比团队B的长），这与用平均数、方差比较的结果是一致的．
从箱线图中，还可以看出分布的一些其他特征，例如，团队B的产品收益率分布比团队A的更对称（中位数对应的水平线段在箱子的中间位置），团队A有约25%的产品收益率高于团队B的最高产品收益率，也有约25%的产品收益率低于团队B的最低产品收益率，等等．
想一想：与直方图、条形图比较，箱线图在表示数据方面有什么特点？
与直方图、条形图相比，箱线图的特点是：它能同时展示数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数和最大值，直观反映数据的分布范围、集中趋势和离散程度，便于多组数据间的对比，且绘制简洁，能快速呈现数据的整体分布特征．
按从小到大的顺序排列的一组数据，可以按以下步骤确定其四分位数：先找出这组数据的中位数，作为这组数据的第二四分位数；然后找出中位数左侧和右侧的数据各自的中位数，分别作为这组数据的第一四分位数和第三四分位数．利用一组数据的三个四分位数，以及最小值、最大值可以刻画这组数据的大致分布情况．
例：根据表中的数据，分别计算甲、乙两地气温的四分位数，在同一幅图中画出箱线图，据此比较甲、乙两地的气温特点．
时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00
甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13
乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15
解：将表中两地的气温（单位：℃）分别按从小到大的顺序排列，可得
甲地 9 10 11 12 13 14 16 16 18 21 21 23 24
乙地 11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21
甲、乙两地气温各有13个数据．甲地气温的最小值为9，最大值为24，三个四分位数分别为
Q2＝16，Q1＝＝11.5，Q3＝＝21．
乙地气温的最小值为11，最大值为21，三个四分位数分别为
Q2＝16，Q1＝＝13.5，Q3＝＝18.5．
甲地 9 10 11 12 13 14 16 16 18 21 21 23 24
乙地 11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21
在同一幅图中画出两地气温的箱线图，如图所示．
可以看出，甲、乙两地气温的中位数相同，但甲地气温的波动明显比乙地的大，甲地约有25％时刻的气温高于乙地的最高温度，约有25％时刻的气温低于乙地的最低温度．
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】选做题：
【综合拓展类练习】
四分位数
数值
【综合拓展类练习】
四分位数与箱线图
应用：分析数据分布
五数概括：最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值
计算步骤：排序→定位→取值
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】选做题：
【综合拓展类作业】
【综合拓展类作业】
【综合拓展类作业】

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