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第21课时　导数的概念及其意义、导数的运算
[考试要求]　1．了解导数的概念，掌握基本初等函数的导数．2．通过函数图象，理解导数的几何意义．3．能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f (ax＋b))的导数．
知识点1　导数的概念
(1)函数y＝f (x)在x＝x0处的导数记作________ 或________．
f ′(x0)＝＝．
(2)函数y＝f (x)的导函数(简称导数)
f ′(x)＝y′＝．
知识点2　导数的几何意义
函数y＝f (x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的________，相应的切线方程为________________．
知识点3　基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝____________
f (x)＝xα(α∈R，且α≠0) f ′(x)＝____________
f (x)＝sin x f ′(x)＝____________
f (x)＝cos x f ′(x)＝____________
f (x)＝ax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝____________
f (x)＝ex f ′(x)＝____________
f (x)＝logax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝
f (x)＝ln x f ′(x)＝
知识点4　导数的运算法则
若f ′(x)，g′(x)存在，则有
[f (x)±g(x)]′＝________________．
[f (x)g(x)]′＝________________．
′＝(g(x)≠0)．
[cf (x)]′＝________________．
知识点5　复合函数的定义及其导数
一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f (g(x))．
复合函数y＝f (g(x))的导数与函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝____________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
[常用结论]
1．可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数．
2．函数y＝f (x)的导数f ′(x)反映了函数f (x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，|f ′(x)|的大小反映了f (x)图象变化的快慢，|f ′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
1．(人教A版选择性必修第二册P81练习T3)曲线y＝在点处的切线方程是________．
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2．(多选)(人教A版选择性必修第二册P75练习T2)下列求导运算正确的是(　　)
A．y＝x5在x＝3处的导数是405
B．y＝ln x在x＝处的导数是
C．y＝sin x在x＝2π处的导数是0
D．y＝ex在x＝0处的导数是1
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3．(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2T6改编)已知函数f (x)满足f (x)＝f ′cos x－sin x，则f ′＝________．
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4．(多选)(人教B版选择性必修第三册P87例3)下列求导运算正确的是(　　)
A．(e5x-1)′＝5e5x-1
B．(ln(2x＋1))′＝
C．()′＝
D．′＝－2cos
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考点一　导数的概念
[典例1]　(人教A版选择性必修第二册P65例2改编)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热．在第x h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f (x)(0≤x≤8)，若＝－6，则在第2 h时，原油温度的瞬时变化率为(　　)
A．－3 ℃/h B．3 ℃/h
C．－6 ℃/h D．6 ℃/h
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通性通法：由导数的定义可知，若函数y＝f (x)在x＝x0处可导，则f ′(x0)＝，它仅与x0有关，与Δx无关，因此使用导数的定义时要明确公式的形式，当分子为f (x0－Δx)－f (x0)时，分母也应该是(x0－Δx)－x0，要注意公式的变形．
[多维变迁]
(2025·清远期末)已知函数f (x)＝2ln x＋8x，则 的值为(　　)
A．－20 B．－10
C．10 D．20
考点二　导数的运算
[典例2]　(多选)(2026·眉山模拟)下列求导运算正确的是(　　)
A．(e3x)′＝3ex
B．′＝x
C．(2sin x－3)′＝2cos x
D．′＝
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易错提醒：(1)在复合函数求导中，每一步求导要分清应对哪个变量求导．
(2)牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混．
考点三　导数的几何意义
　求切线方程
[典例3]　已知曲线f (x)＝x3＋，求曲线在点P(2，4)处的切线方程．
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[母题探究]
(变结论)本例曲线方程不变，求曲线过点P(2，4)的切线方程．
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思维建模：1．在点切线模型
第1步　设切点：设曲线上的切点坐标为(x0，f (x0))．
第2步　求斜率：由导数的几何意义，得切线的斜率k＝f ′(x0)．
第3步　列方程：列出直线的点斜式方程y－f (x0)＝k(x－x0)．
2．过点切线模型
第1步　设切点：设曲线上的切点坐标为(x0，f (x0))．
第2步　求斜率：由导数的几何意义，得切线的斜率k＝f ′(x0)．
第3步　列方程：列出直线的点斜式方程y－f (x0)＝k(x－x0)．
第4步　代坐标：把已知点(a，b)代入上述方程，得b－f (x0)＝k(a－x0)．
第5步　求参数x0得切线方程．
　求参数的值(范围)
[典例4]　(1)若函数f (x)＝x2＋b ln x的图象在点M(1，f (1))处的切线恰为直线x＋2y－3＝0，则a＋2b＝(　　)
A．3 B．－1
C．1 D．－3
(2)(2025·全国一卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，则实数a＝________．
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[考题探源]
(人教A版选择性必修第二册P82习题5.2T11)设曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线2x－y＋1＝0垂直，求实数a的值．
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易错提醒：分清在点处的切线与过点处的切线：在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．
[多维变迁]
1．(2025·湛江期末)曲线f (x)＝ex＋ax在x＝0处的切线与直线3x－2y－5＝0平行，则实数a＝(　　)
A．－1 B．1
C． D．
2．(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是______．
两曲线的公切线问题
求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，思维会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切．具体的求解方法如下：
方法一：利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；
方法二：设公切线l在曲线y＝f (x)上的切点为P1(x1，f (x1))，在曲线y＝g(x)上的切点为P2(x2，g(x2))，则f ′(x1)＝g′(x2)＝，再解决相关问题．
[典例5]　(1)(人教B版选择性必修第三册P91习题6－1CT3改编)若直线y＝4x＋m是曲线y＝x3－nx＋13与曲线y＝x2＋2ln x的公切线，则n－m＝(　　)
A．11 B．12
C．－8 D．－7
(2)(2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则实数a＝________．
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1．(链接考点一)(2025·济南期末)已知函数f (x)＝ex－x2，则＝(　　)
A．e－2 B．e－1
C．e＋1 D．e＋2
2．(链接考点二)(2025·广州期末)下列函数求导正确的是(　　)
A．y＝π2，y′＝2π
B．y＝log2x，y′＝
C．y＝e-2x，y′＝－2e-2x
D．y＝cos ，y′＝－sin
3．(链接考向2)(2025·许昌三模)若直线y＝x＋a与曲线y＝ln (x＋b)相切，则b－a的值为(　　)
A．1 B．
C．2 D．
4．(链接考向1)过点(0，－1)作曲线f (x)＝2ln x的切线，则切点坐标为________．
第21课时　导数的概念及其意义、导数的运算
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点1　(1)f'(x0)　y'
知识点2　斜率　y－f (x0)＝f'(x0)(x－x0)
知识点3　0　αxα-1　cos x　－sin x　axln a　ex　
知识点4　f'(x)±g'(x)　f'(x)g(x)＋f (x)g'(x)　cf'(x)
知识点5　y'u·u'x
链教材·夯基固本
1．y＝x＋　[设y＝f (x)＝(3x－1，则f'(x)＝3×(3x－1＝(3x－1，则f'＝1，因此曲线y＝处的切线方程为y－1＝x－，即y＝x＋．]
2．AD　[对于A，因为y＝x5，所以y'＝5x4，所以在x＝3处的导数为5×34＝405，故A正确；对于B，因为y＝ln x，所以y'＝，所以在x＝，故B错误；对于C，因为y＝sin x，所以y'＝cos x，所以在x＝2π处的导数为cos 2π＝1，故C错误；对于D，因为y＝ex，所以y'＝ex，所以在x＝0处的导数为e0＝1，故D正确．故选AD．]
3．1－　[f'(x)＝－f'sin x－cos x，
令x＝，得f'＝－f'，
解得f'＝1－．]
4．ABC　[选项D中，'＝2cos．]
考点深研·题型突破
考点一
典例1　A　[＝－6，
则2＝2f'(2)＝－6，
解得f'(2)＝－3，
故在第2 h时，原油温度的瞬时变化率为－3 ℃/h．故选A．]
多维变迁
　D　[因为f (x)＝2ln x＋8x，所以f'(x)＝＋8，所以＝2＝2f'(1)＝20．
故选D．]
考点二
典例2　CD　[对于A选项，(e3x)'＝e3x·(3x)'＝3e3x，A错误；
对于B选项，'＝
＝，B错误；
对于C选项，(2sin x－3)'＝2cos x，C正确；
对于D选项，'＝'＝，D正确．
故选CD．]
考点三
考向1　典例3　解：第1步　算切点：切点已知直接用，切点未知，已知切点横坐标x0，应用关系式计算纵坐标y0＝f (x0)．
第2步　求斜率：由导数的几何意义，得切线的斜率k＝f'(x0)．
由题意得f'(x)＝x2，
∵点P(2，4)在曲线f (x)＝x3＋上，
∴曲线在点P(2，4)处切线的斜率为k＝f'(2)＝4，
第3步　列方程：列出直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)．
∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0．
母题探究
　解：第1步　设切点：设曲线上的切点坐标为(x0，f (x0))．
设曲线f (x)＝x3＋与过点P(2，4)的直线相切于点A，
第2步　求斜率：由导数的几何意义，得切线的斜率k＝f'(x0)．
则切线的斜率为k＝．
第3步　列方程：列出直线的点斜式方程y－f (x0)＝k(x－x0)．
∴切线方程为y－(x－x0)，
即y＝·x－．
第4步　代坐标：把已知点(a，b)代入上述方程，得b－f (x0)＝k(a－x0)．
∵点P(2，4)在切线上，
∴4＝2，
即－3＋4＝0．
第5步　求参数x0得切线方程．
∴－4＋4＝0，
∴(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，
解得x0＝－1或x0＝2．
故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0．
考向2　典例4　(1)D　(2)4　[(1)因为f (x)＝x2＋bln x，所以f'(x)＝ax＋，由题意得，f (1)＝＋bln 1＝1，f'(1)＝a＋b＝－，解得b＝－，a＝2，则a＋2b＝2－5＝－3．故选D．
(2)设直线y＝2x＋5与曲线y＝ex＋x＋a的切点坐标为(x0，＋x0＋a)，由y＝ex＋x＋a得y'＝ex＋1，所以y'＋1＝2，解得x0＝0，所以切点坐标为(0，1＋a)，又切点(0，1＋a)在切线y＝2x＋5上，所以1＋a＝5，解得a＝4．]
考题探源
　解：对函数y＝e2ax求导得y'＝2ae2ax．
在点(0，1)处的切线斜率k＝y'|x＝0＝2ae0＝2a，
又切线与直线2x－y＋1＝0垂直，
所以2a×2＝－1，解得a＝－．
多维变迁
1．C　[由题可得，f'(x)＝ex＋a，
则曲线在x＝0处的切线的斜率为f'(0)＝e0＋a＝1＋a，
又曲线f (x)＝ex＋ax在x＝0处的切线与直线3x－2y－5＝0平行，
则有1＋a＝，可得a＝．
故选C．]
2．(－∞，－4)∪(0，＋∞)　[∵y＝(x＋a)ex，
∴y'＝(x＋1＋a)ex，
设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝(x0＋a)，切线斜率k＝(x0＋1＋a)，
切线方程为y－(x0＋a)＝(x0＋1＋a)·(x－x0)，
∵切线过原点，∴－(x0＋a)＝(x0＋1＋a)(－x0)，
整理得＋ax0－a＝0，
∵切线有两条，∴Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0，
∴a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．]
微点突破5
典例5　(1)A　(2)ln 2　[(1)由y＝x2＋2ln x，
得y'＝2x＋，由2x＋＝4，解得x＝1，
则直线y＝4x＋m与曲线y＝x2＋2ln x相切于点(1，4＋m)，
∴4＋m＝1＋2ln 1＝1，得m＝－3．
∴直线y＝4x－3是曲线y＝x3－nx＋13的切线，
由y＝x3－nx＋13，得y'＝3x2－n，设切点为(t，t3－nt＋13)，
则3t2－n＝4，且t3－nt＋13＝4t－3，联立可得2t3＝16，解得t＝2，由n＝3t2－4，得n＝8．
∴n－m＝8－(－3)＝11．
故选A．
(2)由y＝ex＋x得y'＝ex＋1，则y'|x＝0＝e0＋1＝2，
故曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1．
由y＝ln(x＋1)＋a得y'＝，
设切线与曲线y＝ln(x＋1)＋a相切的切点为(x0，ln(x0＋1)＋a)，
由两曲线有公切线得y'＝＝2，解得x0＝－，
切线方程为y＝2＋a＋ln ＝2x＋1＋a－ln 2．
因为两切线重合，所以a－ln 2＝0，解得a＝ln 2．]
随堂·对点检测
1．A　[因为函数f (x)＝ex－x2，
所以f'(x)＝ex－2x，
所以＝f'(1)＝e－2．
故选A．]
2．C　[对于选项A，因为y＝π2，
所以y'＝0，故选项A错误；
对于选项B，因为y＝log2x，
所以y'＝，故选项B错误；
对于选项C，因为y＝e-2x，
所以y'＝e-2x·(－2x)'＝－2e-2x，故选项C正确；
对于选项D，因为y＝cos，
所以y'＝－sin'＝－sin，故选项D错误．故选C．]
3．A　[设直线y＝x＋a与曲线y＝ln(x＋b)相切于点(x0，y0)，由导数的几何意义知，y'，因为直线y＝x＋a的斜率为1，所以＝1，即x0＝1－b．
又切点(x0，y0)既在直线上又在曲线上，
所以y0＝x0＋a且y0＝ln(x0＋b)，
即ln(x0＋b)＝x0＋a．
将x0＝1－b代入ln(x0＋b)＝x0＋a，
得ln(1－b＋b)＝1－b＋a，即b－a＝1．故选A．]
4．(，1)　[由题意得f'(x)＝，显然点(0，－1) 不在曲线f (x) 上，设切点坐标为(x0，2ln x0)，则，解得x0＝，f ()＝1，则切点坐标为(，1)．]
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第三章　一元函数的导数及其应用
第三章　一元函数的导数及其应用
第21课时　导数的概念及其意义、导数的运算
[考试要求]　1．了解导数的概念，掌握基本初等函数的导数．2．通过函数图象，理解导数的几何意义．3．能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如
f (ax＋b))的导数．
理法先行·题练固本
知识点1　导数的概念
(1)函数y＝f (x)在x＝x0处的导数记作___________ 或__________．
f '(x0)＝．
(2)函数y＝f (x)的导函数(简称导数)
f '(x)＝y'＝．
f '(x0)
y'
知识点2　导数的几何意义
函数y＝f (x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的____，相应的切线方程为_________________________．
斜率
y－f (x0)＝f '(x0)(x－x0)
知识点3　基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f (x)＝c(c为常数) f '(x)＝__
f (x)＝xα(α∈R，且α≠0) f '(x)＝______
f (x)＝sin x f '(x)＝______
f (x)＝cos x f '(x)＝________
f (x)＝ax(a>0，且a≠1) f '(x)＝_______
0
αxα-1
cos x
－sin x
axln a
基本初等函数 导函数
f (x)＝ex f '(x)＝__
f (x)＝logax(a>0，且a≠1) f '(x)＝
f (x)＝ln x f '(x)＝
ex
知识点4　导数的运算法则
若f '(x)，g'(x)存在，则有
[f (x)±g(x)]'＝____________________；
[f (x)g(x)]'＝__________________________________；
(g(x)≠0)；
[cf (x)]'＝___________．
f '(x)±g'(x)
f '(x)g(x)＋f (x)g'(x)
cf '(x)
知识点5　复合函数的定义及其导数
一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f (g(x))．
复合函数y＝f (g(x))的导数与函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y'x＝__________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
y'u·u'x
[常用结论]
1．可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数．
2．函数y＝f (x)的导数f '(x)反映了函数f (x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，| f '(x)|的大小反映了f (x)图象变化的快慢，
| f '(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
【教用·常用结论】
几类重要的切线方程
(1)直线y＝x－1是曲线y＝ln x的切线，直线y＝x是曲线y＝ln(x＋1)的切线，如图①．由图①可知
ln(x＋1)≤x(x>－1)，ln x≤x－1(x>0)．
(2)直线y＝x＋1与直线y＝ex是曲线y＝ex的切线，如图②．由图②可知ex≥x＋1，ex≥ex．
(3)直线y＝x是曲线y＝sin x与y＝tan x的切线，如图③．由图③可知当x∈时，sin x(4)直线y＝x－1是曲线y＝x2－x，y＝xln x及y＝1－的切线，如图④．由图④可知xln x≥x－1(x>0)．
1．(人教A版选择性必修第二册P81练习T3)曲线y＝在点处的切线方程是______________．
y＝x＋　[设y＝f (x)＝(3x－1，则f '(x)＝3×(3x－1＝(3x－1，则f '＝1，因此曲线y＝处的切线方程为y－1＝x－，即y＝x＋．]
y＝x＋
2．(多选)(人教A版选择性必修第二册P75练习T2)下列求导运算正确的是(　　)
A．y＝x5在x＝3处的导数是405
B．y＝ln x在x＝处的导数是
C．y＝sin x在x＝2π处的导数是0
D．y＝ex在x＝0处的导数是1
√
√
AD　[对于A，因为y＝x5，所以y'＝5x4，所以在x＝3处的导数为5×34＝405，故A正确；对于B，因为y＝ln x，所以y'＝，所以在x＝，故B错误；对于C，因为y＝sin x，所以y'＝cos x，所以在x＝2π处的导数为cos 2π＝1，故C错误；对于D，因为y＝ex，所以y'＝ex，所以在x＝0处的导数为e0＝1，故D正确．
故选AD．]
3．(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2T6改编)已知函数f (x)满足f (x)＝f 'cos x－sin x，则f '＝______________．
1－　[f '(x)＝－f 'sin x－cos x，
令x＝，得
f '＝－，
解得f '＝1－．]
1－　
4．(多选)(人教B版选择性必修第三册P87例3)下列求导运算正确的是(　　)
A．(e5x-1)'＝5e5x-1
B．(ln(2x＋1))'＝
C．()'＝
D．'＝－2cos
√
ABC　[选项D中，'＝2cos．]
√
√
考点深研·题型突破
考点一　导数的概念
[典例1]　(人教A版选择性必修第二册P65例2改编)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热．在第x h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f (x)(0≤x≤8)，若＝－6，则在第2 h时，原油温度的瞬时变化率为(　　)
A．－3 ℃/h B．3 ℃/h
C．－6 ℃/h D．6 ℃/h
√
A　[＝－6，
则2＝2f '(2)＝－6，
解得f '(2)＝－3，
故在第2 h时，原油温度的瞬时变化率为－3 ℃/h．故选A．]
通性通法：由导数的定义可知，若函数y＝f (x)在x＝x0处可导，则
f '(x0)＝，它仅与x0有关，与Δx无关，因此使用导数的定义时要明确公式的形式，当分子为f (x0－Δx)－f (x0)时，分母也应该是(x0－Δx)－x0，要注意公式的变形．
[多维变迁]
(2025·清远期末)已知函数f (x)＝2ln x＋8x，则 的值为(　　)
A．－20 B．－10
C．10 D．20
√
D　[因为f (x)＝2ln x＋8x，所以f '(x)＝＋8，所以＝2＝2f '(1)＝20．故选D．]
考点二　导数的运算
[典例2]　(多选)(2026·眉山模拟)下列求导运算正确的是(　　)
A．(e3x)'＝3ex B．'＝x
C．(2sin x－3)'＝2cos x D．'＝
√
√
CD　[对于A选项，(e3x)'＝e3x·(3x)'＝3e3x，A错误；
对于B选项，
'＝，B错误；
对于C选项，(2sin x－3)'＝2cos x，C正确；
对于D选项，'＝'＝，D正确．故选CD．]
易错提醒：(1)在复合函数求导中，每一步求导要分清应对哪个变量求导．
(2)牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混．
【教用·通性通法】
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
考点三　导数的几何意义
考向1　求切线方程
[典例3]　已知曲线f (x)＝x3＋，求曲线在点P(2，4)处的切线方程．
[解]　第1步　算切点：切点已知直接用，切点未知，已知切点横坐标x0，应用关系式计算纵坐标y0＝f (x0)．
第2步　求斜率：由导数的几何意义，得切线的斜率k＝f '(x0)．
由题意得f '(x)＝x2，
∵点P(2，4)在曲线f (x)＝x3＋上，
∴曲线在点P(2，4)处切线的斜率为k＝f '(2)＝4，
第3步　列方程：列出直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)．
∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0．
[母题探究]
(变结论)本例曲线方程不变，求曲线过点P(2，4)的切线方程．
[解]　第1步　设切点：设曲线上的切点坐标为(x0，f (x0))．
设曲线f (x)＝x3＋与过点P(2，4)的直线相切于点A，
第2步　求斜率：由导数的几何意义，得切线的斜率k＝f '(x0)．
则切线的斜率为k＝，
第3步　列方程：列出直线的点斜式方程y－f (x0)＝k(x－x0)．
∴切线方程为y－(x－x0)，
即y＝·x－．
第4步　代坐标：把已知点(a，b)代入上述方程，得b－f (x0)＝k(a－x0)．
∵点P(2，4)在切线上，
∴4＝2－3＋4＝0．
第5步　求参数x0得切线方程．
∴－4＋4＝0，
∴(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，
解得x0＝－1或x0＝2．
故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0．
思维建模：1．在点切线模型
第1步　设切点：设曲线上的切点坐标为(x0，f (x0))．
第2步　求斜率：由导数的几何意义，得切线的斜率k＝f '(x0)．
第3步　列方程：列出直线的点斜式方程y－f (x0)＝k(x－x0)．
2．过点切线模型
第1步　设切点：设曲线上的切点坐标为(x0，f (x0))．
第2步　求斜率：由导数的几何意义，得切线的斜率k＝f '(x0)．
第3步　列方程：列出直线的点斜式方程y－f (x0)＝k(x－x0)．
第4步　代坐标：把已知点(a，b)代入上述方程，得b－f (x0)＝k(a－x0)．
第5步　求参数x0得切线方程．
【教用·备选题】
1．(2024·全国甲卷)设函数f (x)＝，则曲线y＝f (x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为(　　)
A． B．
C． D．
√
A　[ f '(x)＝，所以f '(0)＝3，所以曲线y＝f (x)在点(0，1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为(0，1)，所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为×1×．故选A．]
2．(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为______________，______________．
y＝　y＝－　[当x>0时，曲线在点(x1，ln x1)(x1>0)处的切线为y－ln x1＝(x－x1)．因为该切线经过原点，则ln x1－1＝0，解得x1＝e，此时切线方程为y＝．
y＝　
y＝－　
当x<0时，曲线在点(x2，ln(－x2))(x2<0)处的切线为y－ln(－x2)＝(x－x2)．因为该切线经过原点，则ln(－x2)－1＝0，解得x2＝－e，此时切线方程为y＝－．]
考向2　求参数的值(范围)
[典例4]　(1)若函数f (x)＝x2＋bln x的图象在点M(1，f (1))处的切线恰为直线x＋2y－3＝0，则a＋2b＝(　　)
A．3 B．－1
C．1 D．－3
(2)(2025·全国一卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，则实数a＝______________．
√
4　
(1)D　(2)4　[(1)因为f (x)＝x2＋bln x，所以f '(x)＝ax＋，由题意得，f (1)＝＋bln 1＝1，f '(1)＝a＋b＝－，解得b＝－，a＝2，则a＋2b＝2－5＝－3．故选D．
(2)设直线y＝2x＋5与曲线y＝ex＋x＋a的切点坐标为(x0，＋x0＋a)，由y＝ex＋x＋a得y'＝ex＋1，所以y'＋1＝2，解得x0＝0，所以切点坐标为(0，1＋a)，又切点(0，1＋a)在切线y＝2x＋5上，所以1＋a＝5，解得a＝4．]
[考题探源]
(人教A版选择性必修第二册P82习题5.2T11)设曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线2x－y＋1＝0垂直，求实数a的值．
[解]　对函数y＝e2ax求导得y'＝2ae2ax．
在点(0，1)处的切线斜率k＝y'|x=0＝2ae0＝2a，
又切线与直线2x－y＋1＝0垂直，
所以2a×2＝－1，解得a＝－．
易错提醒：分清在点处的切线与过点处的切线：在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．
【教用·通性通法】
求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同．过点处的切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据：①斜率相等，②切点在切线上，③切点在曲线上建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键．
[多维变迁]
1．(2025·湛江期末)曲线f (x)＝ex＋ax在x＝0处的切线与直线3x－2y－5＝0平行，则实数a＝(　　)
A．－1 B．1
C． D．
√
C　[由题可得，f '(x)＝ex＋a，
则曲线在x＝0处的切线的斜率为f '(0)＝e0＋a＝1＋a，
又曲线f (x)＝ex＋ax在x＝0处的切线与直线3x－2y－5＝0平行，
则有1＋a＝，可得a＝．
故选C．]
2．(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是________________________．
(－∞，－4)∪(0，＋∞)　[∵y＝(x＋a)ex，∴y'＝(x＋1＋a)ex，
设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝(x0＋a)，切线斜率k＝(x0＋1＋a) ，
切线方程为y－(x0＋a)＝(x0＋1＋a)(x－x0)，
∵切线过原点，
(－∞，－4)∪(0，＋∞)
∴－(x0＋a)＝(x0＋1＋a)(－x0)，
整理得＋ax0－a＝0，
∵切线有两条，∴Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0，
∴a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．]
微点突破5 两曲线的公切线问题
　　求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，思维会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切．具体的求解方法如下：
　　方法一：利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；
　　方法二：设公切线l在曲线y＝f (x)上的切点为P1(x1，f (x1))，在曲线y＝g(x)上的切点为P2(x2，g(x2))，则f '(x1)＝g'(x2)＝，再解决相关问题．
[典例5]　(1)(人教B版选择性必修第三册P91习题6－1CT3改编)若直线y＝4x＋m是曲线y＝x3－nx＋13与曲线y＝x2＋2ln x的公切线，则n－m＝(　　)
A．11 B．12
C．－8 D．－7
(2)(2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则实数a＝______________．
√
ln 2
(1)A　(2)ln 2　[(1)由y＝x2＋2ln x，得y'＝2x＋，由2x＋＝4，解得x＝1，
则直线y＝4x＋m与曲线y＝x2＋2ln x相切于点(1，4＋m)，
∴4＋m＝1＋2ln 1＝1，得m＝－3．
∴直线y＝4x－3是曲线y＝x3－nx＋13的切线，
由y＝x3－nx＋13，得y'＝3x2－n，设切点为(t，t3－nt＋13)，
则3t2－n＝4，且t3－nt＋13＝4t－3，联立可得2t3＝16，解得t＝2，由n＝3t2－4，得n＝8．
∴n－m＝8－(－3)＝11．
故选A．
(2)由y＝ex＋x得y'＝ex＋1，则y'|x=0＝e0＋1＝2，
故曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1．
由y＝ln(x＋1)＋a得y'＝，
设切线与曲线y＝ln(x＋1)＋a相切的切点为(x0，ln(x0＋1)＋a)，
由两曲线有公切线得y'＝＝2，解得x0＝－，
切线方程为y＝2＋a＋ln ＝2x＋1＋a－ln 2．
因为两切线重合，所以a－ln 2＝0，解得a＝ln 2．]
【教用·备选题】
1．已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x)＝x2－m，g(x)＝6ln x－4x，设曲线y＝f (x)与y＝g(x)在公共点处的切线相同，则实数m＝______________．
5　
5　[设曲线y＝f (x)与y＝g(x)在公共点(x0，y0)处的切线相同．因为f (x)＝x2－m，g(x)＝6ln x－4x，所以f '(x)＝2x，g'(x)＝－4，则有
即 因为x0>0，所以x0＝1，m＝5．]
2． 已知曲线y＝ln x与y＝ax2(a>0)有公切线，则实数a的取值范围为______________．
　[设公切线与曲线y＝ln x和y＝ax2的切点分别为(x1，ln x1)，(x2，a)，其中x1>0．对于y＝ln x，有y'＝，则切线方程为y－ln x1＝(x－x1)，即y＝＋(ln x1－1)；对于y＝ax2，有y'＝2ax，则切线方程为y－a＝2ax2(x－x2)，即y＝2ax2x－a，
　
所以有－＝ln x1－1，即ln x1．
令g(x)＝x2－x2ln x(x>0)，则g'(x)＝x－2xln x＝x(1－2ln x)，令g'(x)＝0，得x＝，当x∈(0，)时，g'(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(，＋∞)时，g'(x)<0，g(x)单调递减，所以g(x)max＝g()＝e．
又a>0，故01．(链接考点一)(2025·济南期末)已知函数f (x)＝ex－x2，则＝(　　)
A．e－2 B．e－1
C．e＋1 D．e＋2
√
A　[因为函数f (x)＝ex－x2，
所以f '(x)＝ex－2x，
所以＝f '(1)＝e－2．
故选A．]
2．(链接考点二)(2025·广州期末)下列函数求导正确的是(　　)
A．y＝π2，y'＝2π
B．y＝log2x，y'＝
C．y＝e-2x，y'＝－2e-2x
D．y＝cos，y'＝－sin
√
C　[对于选项A，因为y＝π2，
所以y'＝0，故选项A错误；
对于选项B，因为y＝log2x，
所以y'＝，故选项B错误；
对于选项C，因为y＝e-2x，
所以y'＝e-2x·(－2x)'＝－2e-2x，故选项C正确；
对于选项D，因为y＝cos，
所以y'＝－sin'＝－sin，故选项D错误．
故选C．]
3．(链接考向2)(2025·许昌三模)若直线y＝x＋a与曲线y＝ln(x＋b)相切，则b－a的值为(　　)
A．1 B．
C．2 D．
√
A　[设直线y＝x＋a与曲线y＝ln(x＋b)相切于点(x0，y0)，由导数的几何意义知，y'，因为直线y＝x＋a的斜率为1，所以＝1，即x0＝1－b．
又切点(x0，y0)既在直线上又在曲线上，
所以y0＝x0＋a且y0＝ln(x0＋b)，即ln(x0＋b)＝x0＋a．
将x0＝1－b代入ln(x0＋b)＝x0＋a，
得ln(1－b＋b)＝1－b＋a，即b－a＝1．故选A．]
4．(链接考向1)过点(0，－1)作曲线f (x)＝2ln x的切线，则切点坐标为______________．
(，1)　[由题意得f '(x)＝，显然点(0，－1) 不在曲线f (x) 上，设切点坐标为(x0，2ln x0)，则，解得x0＝，f ()＝1，则切点坐标为(，1)．]
(，1)　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
一、单项选择题
1．已知某容器的高度为20 cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式为h＝t3＋t2，当t＝t0时，液体上升高度的瞬时变化率为3 cm/s，则当t＝t0＋1时，液体上升高度的瞬时变化率为(　　)
A．5 cm/s B．6 cm/s
C．8 cm/s D．10 cm/s
课时作业(二十一)　导数的概念及其意义、导数的运算
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
C　[由h＝t3＋t2，得h'＝t2＋2t．
当t＝t0时，h'＝＋2t0＝3，解得t0＝1(t0＝－3舍去)．
故当t＝t0＋1＝2时，液体上升高度的瞬时变化率为22＋2×2＝8(cm/s)．故选C．]
√
2．(人教B版选择性必修第三册P91习题6－1CT2改编)已知函数f (x)满足f (x)＝2xf '(1)＋，则f '(1)＝(　　)
A． B．－
C．1 D．－1
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
B　[因为f '(x)＝2f '(1)＋，
令x＝1，得f '(1)＝2f '(1)＋，解得f '(1)＝－．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
3．(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　)
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x＋ D．y＝x＋
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
C　[由题意可知y'＝，则曲线y＝处的切线斜率k＝y'|x=1＝，所以曲线y＝处的切线方程为y－(x－1)，即y＝x＋，故选C．]
√
4．(2025·北京顺义区校级期中)函数f (x)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．f '(a)B．f '(b)C．f '(a)D．f '(b)题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
A　[由题图可知，函数在x＝a处的切线的斜率f '(a)为负；
函数在x＝b处的切线的斜率f '(b)为正；
函数在x＝c处的切线的斜率f '(c)为正，且在x＝c处的切线比在x＝b处的切线更“陡”，即f '(c)>f '(b)，
因为f '(a)<0，0所以f '(a)故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
5．(2025·汉中期末)曲线y＝2aex＋x在x＝0处的切线斜率为2，则实数a＝(　　)
A．－1 B．1
C．0 D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
D　[因为曲线y＝2aex＋x在x＝0处的切线斜率为2，
由y'＝2aex＋1，得曲线y＝2aex＋x在x＝0处的切线斜率为2a＋1＝2，得a＝．
故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
6．(2025·福州月考)若过点P(m，0)与曲线f (x)＝相切的直线只有2条，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－3，1)
B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
C．(－1，3)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
D　[设过点P(m，0)的直线与曲线f (x)＝切于点Q，由f (x)＝，可得f '(x)＝－，所以切线PQ的斜率k＝－，
整理得t2＋(1－m)t＋1＝0，
因为切线有2条，所以切点有2个，即方程t2＋(1－m)t＋1＝0有2个不等实根，
则Δ＝(1－m)2－4>0，解得m>3或m<－1，
所以实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
二、多项选择题
7．(2025·郑州月考)已知某物体运动的位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的函数关系为s(t)＝则下列说法正确的是(　　)
A．该物体在2 s到4 s这段时间内的平均速度为3 m/s
B．该物体在t＝3 s这个时刻的瞬时速度为3 m/s
C．该物体在0 s到8 s这段时间内的平均速度为1 m/s
D．该物体在t＝5 s这个时刻的瞬时速度为8 m/s
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
√
ABC　[当t∈[0，4]时，s(t)＝t2，则s(4)＝8，s(2)＝2，所以平均速度为＝3(m/s)，A正确；
当t∈[0，4]时，s'(t)＝t，则s'(3)＝3，所以物体在t＝3 s这个时刻的瞬时速度为3 m/s，B正确；
该物体在0 s到8 s这段时间内的平均速度为＝1(m/s)，C正确；
由t∈(4，8]时，s(t)＝8，则s'(t)＝0，故s'(5)＝0，D错误．
故选ABC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
8．已知函数f (x)＝ex，下列结论正确的是(　　)
A．曲线y＝f (x)的切线斜率可以是1
B．曲线y＝f (x)的切线斜率可以是－1
C．过点(0，1)且与曲线y＝f (x)相切的直线有且只有1条
D．过点(0，0)且与曲线y＝f (x)相切的直线有且只有2条
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
AC　[由题意知f '(x)＝ex．对于A，令f '(x)＝ex＝1，得x＝0，所以曲线y＝f (x)的切线斜率可以是1，故A正确；对于B，令f '(x)＝ex＝－1，无解，所以曲线y＝f (x)的切线斜率不可以是－1，故B错误；对于C，设切点为(x0，)，由f '(x)＝ex，得切线方程为y－(x－x0)，又切线过点(0，1)，所以1－＝－·x0，则有且仅有一解为x0＝0，所以切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1，所以过点(0，1)且与曲线y＝f (x)相切的直线有且只有1条，故C正确；对于D，设切点为(x0，)，则切线方程为y－·(x－x0)，因为点(0，0)在切线上，所以＝x0，解得x0＝1，所以过点(0，0)且与曲线y＝f (x)相切的直线有且只有1条，故D错误．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
三、填空题
9．(2025·郑州金水区月考)已知点P在曲线f (x)＝－x2＋2x＋1上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围为 ______________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
　[由题可得，f '(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1，当且仅当x＝1时取等号，
由α为曲线在点P处的切线的倾斜角，得tan α≥1，则≤α<，
所以α的取值范围为．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
10．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f (x)在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间(a，b)内的导数为f '(x)，那么在区间(a，b)内至少存在一点c，使得f (b)－f (a)＝f '(c)(b－a)成立，其中c叫做f (x)在[a，b]上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数f (x)＝x3－2x在[－2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为______________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
2　
2　[∵＝2，f '(x)＝3x2－2，
令3x2－2＝2，解得x＝－∈[－2，2]或x＝∈[－2，2]，
∴f (x)在[－2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为2．]
题号
1
3
5
2
4
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7
9
10
11
四、解答题
11．(北师大版选择性必修第二册P100复习题二A组T4)求下列函数的导数：
(1)y＝x2＋；(2)y＝xsin x－ln x；
(3)y＝；(4)y＝(x－1)；
(5)y＝extan x；(6)y＝；
(7)y＝xsin x＋exln x－2；(8)y＝；
(9)y＝(3x＋2)3；(10)y＝sin 2x；
(11)y＝；(12)y＝ln(4x＋5)．
题号
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11
[解]　(1)由y＝x2＋，
得y'＝2x－．
(2)由y＝xsin x－ln x，
得y'＝(xsin x)'－(ln x)'
＝sin x＋xcos x－
＝sin x＋xcos x－·ln x－．
题号
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(3)由y＝，
得y'＝＝．
(4)由y＝(x－1)，
得y'＝．
(5)由y＝extan x＝，得y'＝
＝＝＝ex．
题号
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(6)由y＝，
得y'＝＝．
(7)由y＝xsin x＋exln x－2，
得y'＝sin x＋xcos x＋exln x＋．
题号
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11
(8)由y＝，
得y'＝＝．
(9)由y＝(3x＋2)3，得y'＝3×(3x＋2)2×3＝9(3x＋2)2．
(10)由y＝sin 2x，得y'＝cos 2x·(2x)'＝2cos 2x．
(11)由y＝，
得y'＝·(4x－6)'＝＝．
(12)由y＝ln(4x＋5)，得y'＝·(4x＋5)'＝．
题号
1
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11
谢谢！课时作业(二十一)　导数的概念及其意义、导数的运算
一、单项选择题
1．已知某容器的高度为20 cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式为h＝t3＋t2，当t＝t0时，液体上升高度的瞬时变化率为3 cm/s，则当t＝t0＋1时，液体上升高度的瞬时变化率为(　　)
A．5 cm/s B．6 cm/s
C．8 cm/s D．10 cm/s
2．(人教B版选择性必修第三册P91习题6－1CT2改编)已知函数f (x)满足f (x)＝2xf ′(1)＋，则f ′(1)＝(　　)
A． B．－
C．1 D．－1
3．(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　)
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x＋ D．y＝x＋
4．(2025·北京顺义区校级期中)函数f (x)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．f ′(a)＜f ′(b)＜f ′(c) B．f ′(b)＜f ′(a)＜f ′(c)
C．f ′(a)＜f ′(c)＜f ′(b) D．f ′(b)＜f ′(c)＜f ′(a)
5．(2025·汉中期末)曲线y＝2aex＋x在x＝0处的切线斜率为2，则实数a＝(　　)
A．－1 B．1
C．0 D．
6．(2025·福州月考)若过点P(m，0)与曲线f (x)＝相切的直线只有2条，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－3，1) B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
C．(－1，3) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
二、多项选择题
7．(2025·郑州月考)已知某物体运动的位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的函数关系为s(t)＝则下列说法正确的是(　　)
A．该物体在2 s到4 s这段时间内的平均速度为3 m/s
B．该物体在t＝3 s这个时刻的瞬时速度为3 m/s
C．该物体在0 s到8 s这段时间内的平均速度为1 m/s
D．该物体在t＝5 s这个时刻的瞬时速度为8 m/s
8．已知函数f (x)＝ex，下列结论正确的是(　　)
A．曲线y＝f (x)的切线斜率可以是1
B．曲线y＝f (x)的切线斜率可以是－1
C．过点(0，1)且与曲线y＝f (x)相切的直线有且只有1条
D．过点(0，0)且与曲线y＝f (x)相切的直线有且只有2条
三、填空题
9．(2025·郑州金水区月考)已知点P在曲线f (x)＝－x2＋2x＋1上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围为 ________．
10．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f (x)在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间(a，b)内的导数为f ′(x)，那么在区间(a，b)内至少存在一点c，使得f (b)－f (a)＝f ′(c)(b－a)成立，其中c叫做f (x)在[a，b]上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数f (x)＝x3－2x在[－2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为________．
四、解答题
11．(13分)(北师大版选择性必修第二册P100复习题二A组T4)求下列函数的导数：
(1)y＝x2＋；(2)y＝x sin x－ln x；
(3)y＝；(4)y＝(x－1)；
(5)y＝ex tan x；(6)y＝；
(7)y＝x sin x＋ex ln x－2；(8)y＝；
(9)y＝(3x＋2)3；(10)y＝sin 2x；
(11)y＝；(12)y＝ln (4x＋5)．
课时作业(二十一)
1．C　[由h＝t3＋t2，得h'＝t2＋2t．
当t＝t0时，h'＝＋2t0＝3，解得t0＝1(t0＝－3舍去)．
故当t＝t0＋1＝2时，液体上升高度的瞬时变化率为22＋2×2＝8(cm/s)．故选C．]
2．B　[因为f'(x)＝2f'(1)＋，
令x＝1，得f'(1)＝2f'(1)＋，
解得f'(1)＝－．
故选B．]
3．C　[由题意可知y'＝，则曲线y＝处的切线斜率k＝y'|x＝1＝，所以曲线y＝处的切线方程为y－(x－1)，即y＝x＋，故选C．]
4．A　[由题图可知，函数在x＝a处的切线的斜率f'(a)为负；
函数在x＝b处的切线的斜率f'(b)为正；
函数在x＝c处的切线的斜率f'(c)为正，且在x＝c处的切线比在x＝b处的切线更“陡”，即f'(c)>f'(b)，
因为f'(a)<0，0所以f'(a)故选A．]
5．D　[因为曲线y＝2aex＋x在x＝0处的切线斜率为2，
由y'＝2aex＋1，得曲线y＝2aex＋x在x＝0处的切线斜率为2a＋1＝2，得a＝．
故选D．]
6．D　[设过点P(m，0)的直线与曲线f (x)＝切于点Q，由f (x)＝，可得f '(x)＝－，所以切线PQ的斜率k＝－，
整理得t2＋(1－m)t＋1＝0，
因为切线有2条，所以切点有2个，即方程t2＋(1－m)t＋1＝0有2个不等实根，
则Δ＝(1－m)2－4>0，解得m>3或m<－1，
所以实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．故选D．]
7．ABC　[当t∈[0，4]时，s(t)＝t2，则s(4)＝8，s(2)＝2，所以平均速度为＝3(m/s)，A正确；
当t∈[0，4]时，s'(t)＝t，则s'(3)＝3，所以物体在t＝3 s这个时刻的瞬时速度为3 m/s，B正确；
该物体在0 s到8 s这段时间内的平均速度为＝1(m/s)，C正确；
由t∈(4，8]时，s(t)＝8，则s'(t)＝0，
故s'(5)＝0，D错误．
故选ABC．]
8．AC　[由题意知f'(x)＝ex．对于A，令f'(x)＝ex＝1，得x＝0，所以曲线y＝f (x)的切线斜率可以是1，故A正确；对于B，令f'(x)＝ex＝－1，无解，所以曲线y＝f (x)的切线斜率不可以是－1，故B错误；对于C，设切点为(x0，)，由f'(x)＝ex，得切线方程为y－(x－x0)，又切线过点(0，1)，所以1－＝－·x0，则有且仅有一解为x0＝0，所以切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1，所以过点(0，1)且与曲线y＝f (x)相切的直线有且只有1条，故C正确；对于D，设切点为(x0，)，则切线方程为y－(x－x0)，因为点(0，0)在切线上，所以＝x0，解得x0＝1，所以过点(0，0)且与曲线y＝f (x)相切的直线有且只有1条，故D错误．]
9．　[由题可得，f'(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1，当且仅当x＝1时取等号，
由α为曲线在点P处的切线的倾斜角，得tan α≥1，则≤α<，
所以α的取值范围为．]
10.2　[∵＝2，f'(x)＝3x2－2，
令3x2－2＝2，解得x＝－∈[－2，2]或x＝∈[－2，2]，
∴f (x)在[－2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为2．]
11．解：(1)由y＝x2＋，
得y'＝2x－．
(2)由y＝xsin x－ln x，
得y'＝(xsin x)'－(ln x)'
＝sin x＋xcos x－
＝sin x＋xcos x－·ln x－．
(3)由y＝，
得y'＝
＝．
(4)由y＝(x－1)，
得y'＝．
(5)由y＝extan x＝，得y'＝
＝
＝＝ex．
(6)由y＝，
得y'＝
＝．
(7)由y＝xsin x＋exln x－2，
得y'＝sin x＋xcos x＋exln x＋．
(8)由y＝，
得y'＝
＝．
(9)由y＝(3x＋2)3，得y'＝3×(3x＋2)2×3＝9(3x＋2)2．
(10)由y＝sin 2x，得y'＝cos 2x·(2x)'＝2cos 2x．
(11)由y＝，
得y'＝·(4x－6)'
＝．
(12)由y＝ln(4x＋5)，得y'＝·(4x＋5)'＝．
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