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高三数学
范围：高考全部内容。
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合 则A∪B=
A.{1} B.{-1,0,1,2} C.{-1,0,1,2,3} D.{-1,1,2,3}
2.若复数z满足 则z在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.设等差数列{an}的前n项和为 Sn，若 则数列{an}的公差为
A.6 B.3 C. - 3 D. - 4
4.若非零向量a,b满足b⊥(a-b),且a,b的夹角为π/3,则
A. B.2 C. D.1
5.在平面直角坐标系xOy中，圆 C 过点 P(0，6)且斜率存在的直线l与圆相交于A,B两点,若|OA|=|OB|,则圆心C到直线l的距离为
A.1 B.2 C. D.
6.已知函数 的图象如图所示，则下列关系式一定不成立的是
A. a>1 B.07.已知 则
A. B. C. D.
8.已知双曲线 的左、右焦点分别为F ，F ，过F 的直线l交C的右支于A，B两点，若 且 则C的渐近线方程为
A. B.
C. D.
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知函数 其导函数为f'(x)，则
A. f(x)是奇函数 B. f'(x)是偶函数
C. f(x)在 R 上单调递减 D.“f'(x)是周期函数”的否定是真命题
10.下列说法中正确的是
A.2,3,5,7,8,10的上四分位数是8
B.两个随机变量的线性相关性越强，相关系数越接近于1
C.若随机变量X 服从二项分布B 则E
D.若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数小于中位数
11.已知函数 图象的一条对称轴为直线 一个对称中心为 且f(x)在区间 上单调，则下列说法正确的是
A.ω>8
B.若 则ω=1或5
C.若直线 l 与点 G 是距离最近的一组对称轴和对称中心，则f(x)在 上的值域为
D.若f(x)在 内恰有两个零点，则
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.在 的展开式中，常数项为 .
13.在平面直角坐标系xOy中，抛物线 的焦点 F，点 P，Q在C上，且关于x轴对称，定点A(-1,0),若|PA|=4,且直线 PA,QA的斜率之积为-3,则|
14.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD 是平行四边形，过点C和PA的中点F作平面α，且平面α与侧棱PB,PD(不含端点)分别交于点 E,G,若四棱锥P-ABCD 的体积为24,则四棱锥P-CEFG体积的最小值为 .
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且
(Ⅰ)求A;
(Ⅱ)若△ABC外接圆半径为2 ，当 bc取得最大值时，求△ABC的周长.
16.(15分)
已知椭圆 的左、右焦点分别为 离心率为 点 在C上.
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)过点 F 且斜率存在的直线l与C交于A，B两点，若坐标原点O在以AB为直径的圆内，求直线l斜率的取值范围.
17.(15分)
如图,在五面体ABCDEF中,底面四边形ABCD 是梯形,AD∥BC∥EF,AD=2BC=2EF=4AB=4,ED⊥AB,FB⊥CD,∠BAD=60°,N为AD的中点.
(Ⅰ)求证:AB⊥平面CDE;
(Ⅱ)若 求平面ABF 与平面 CNF 夹角的余弦值.
18.(17分)
已知
(Ⅰ)若曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=-x+b,求实数a,b的值;
(Ⅱ)若对于任意x∈R，不等式f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围；
(Ⅲ)若x ,x 是函数f(x)的两个零点,求证:
19.(17分)
某木雕社团举办相关知识比赛，题库中有大量的雕木选材与雕刻技术两类题目，从中随机选择一道作答，每次选到任意一类题目的概率均为 .根据以往数据，甲答对雕木选材题目、雕刻技术题目的概率分别为 规定比赛规则如下：若答对，继续选题作答；若答错，立即停止答题，比赛结束.答对雕木选材一题得1分，答对雕刻技术一题得2分，答错得0分，且每次作答相互独立.
(Ⅰ)求甲在完成1次作答后所得分数X的分布列与数学期望；
(Ⅱ)在比赛过程中，记甲累积分数达到m(m∈N°)分的概率为 P(m).
(i)求 的值；
(ii)求P(m)的最大值.
高三数学·答案
1. C 2. D 3. B 4. B 5. A 6. C 7. A 8. D
9. ABD 10. AC 11. BC
12.180 13.4 14.8
15.解:(Ⅰ)由 结合正弦定理得： sin C),
因为C=π-(A+B),
所以 sin C= sin(A+B)= sin Acos B+ cos Asin B,
所以
而0所以 故 (6分)
(Ⅱ)由题意得,△ABC 外接圆半径. 由 得
由余弦定理得
则
即bc≤12,当且仅当 时等号成立，
此时△ABC的周长为6+
16.解:(Ⅰ)设C的半焦距为c.
由题意得
解得
所以C的方程为 (4分)
(Ⅱ)易知
设直线l的方程为 B(x ,y ).
由
得
则
(7分)
如图，因为原点O 在以AB 为直径的圆内，所以 所以 (10分)
即
所以
整理得
即
整理得 解得
即直线l斜率的取值范围为(
(15分)
17.证明:(Ⅰ)因为N为AD 的中点,所以AN⊥BC,
所以四边形ABCN为平行四边形，所以AB∥CN.
在△DCN 中, ∠DNC =∠DAB =60°;
由余弦定理得 DNcos60°=3,
所以
所以∠DCN=90°,即CN⊥CD,所以AB⊥CD. (5分)
又 ED ⊥AB,ED ∩ CD = D,ED,CD 平面CDE,
所以AB⊥平面 CDE. (6分)
解:(Ⅱ)由(Ⅰ)知AB⊥平面 CDE,CE 平面CDE,
所以AB⊥CE,所以CN⊥CE.
因为BC⊥EF,
所以四边形 BCEF 为平行四边形，
所以CE∥FB.
因为FB⊥CD,所以CE⊥CD.
因为CN∩CD=C,CN,CD 平面ABCD,
所以CE⊥平面ABCD,
所以CD,CN,CE两两互相垂直. (9分)
以C为原点,CD,CN,CE所在直线分别为x,y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易知平面ABF 的一个法向量n=(1,0,0).
(10分)
因为C(0,0,0),N(0,1,0),F(- ,1,2 ),所以
(11分)
设平面 CNF 的法向量为m=(x,y,z),
则 即
令x=2,则z=1,故m=(2,0,1).
(13分)
设平面ABF 与平面 CNF 的夹角为θ,
则
即平面 ABF 与平面 CNF 夹角的余弦值为 (15分)
18.解:(Ⅰ)由. 得
所以 解得
(4分)
(Ⅱ)由 恒成立，得 恒成立.
令 则
当x<0时,g'(x)>0,g(x)单调递增，
当x>0时,g'(x)<0,g(x)单调递减，
(7分)
所以
所以a≥1，即实数a的取值范围为[1，+∞). (9分)
证明:(Ⅲ)令 即 由(Ⅱ)知, 在(- ∞,0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减，
又g(-1)=0,g(0)=1,x→-∞时,g(x)→-∞,x→+∞时,g(x)→0,
画出大致图象如下：
由图可知，
(12分)
由
得
所以 (13分)
所以要证 即证 即证 (14分)
令 x≤0,则 所以h(x)在(-1,0]上单调递增,
所以 即
又 所以
所以 即
所以 (17分)
19.解：(Ⅰ)由题意得，X的所有可能取值为0，1,2,
所以 (2分)
(3分)
(4分)
所以X 的分布列为
x 0 1 2
P
(5分)
所以
(6分)
(Ⅱ)(i)甲累积分数达到 m分的前一次分数只能为(m-1)分或(m-2)分,
又最后一次作答得1分的概率为 ，得2分的概率为
所以m≥3时, ............(8分)
所以 即 P(m-2)],
所以
(10分)
( )由题意得，
所以由(i)可知数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 (11分)
由 得 所以数列 是以P(2)+ 为首项， 为公比的等比数列，所以 ②-①可得
所以 (14分)
由于P(1)P(2t+1),t∈N°,所以要使P(m)取得最大值，m必为偶数，此时
而 随m(m取正偶数)的增大而减小，
所以当m=2时，P(m)取得最大值，故最大值为 (17分)

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