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第22课时　导数与函数的单调性
[考试要求]　1．结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
知识点1　函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f (x)在区间(a，b)内可导 f ′(x)>0 f (x)在(a，b)内________
f ′(x)<0 f (x)在(a，b)内________
f ′(x)＝0 f (x)在(a，b)内是________
知识点2　利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的________________．
第2步，求出导数f ′(x)的________________．
第3步，用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性．
[常用结论]
1．若函数f (x)在(a，b)内单调递增，则x∈(a，b)时，f ′(x)≥0 恒成立；若函数f (x)在(a，b)内单调递减，则x∈(a，b)时，f ′(x)≤0恒成立．
2．若函数f (x)在(a，b)内存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f ′(x)>0有解；若函数f (x)在(a，b)内存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f ′(x)<0有解．
3．f ′(x)＞0在(a，b)内恒成立是f (x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件，举例：f (x)＝x3在R上单调递增，但f ′(0)＝0．
1．(人教B版选择性必修第三册P95练习AT1)已知函数f (x)的定义域为[0，2]，且y＝f ′(x)的图象如图所示，则f (x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________．
2．(人教A版选择性必修第二册P97 习题5.3T2(4))函数f (x)＝x3＋x2－x的单调递增区间为________．
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3．(人教A版选择性必修第二册P103复习参考题5T3改编)f ′(x)是f (x)的导函数，若f ′(x)的图象如图所示，则f (x)的图象可能是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
考点一　利用导函数的图象研究函数的单调性
[典例1]　(1)(2025·天津西青区期末)设函数y＝f (x)可导，y＝f (x)的图象如图所示，则导函数y＝f ′(x)的图象可能为(　　)
　　　
A　　　　B　　　　　C　　　　　D
(2)(多选)(人教A版选择性必修第二册P89练习T3改编)已知函数y＝f ′(x)的图象如图所示，那么下列关于函数y＝f (x)的判断正确的是(　　)
A．在区间(0，a)内，f (x)为定值
B．函数y＝f (x)在区间(a，b)内单调递增
C．函数y＝f (x)在区间(c，e)内单调递增
D．函数y＝f (x)在区间(b，d)内单调递减
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通性通法：(1)由原函数图象识别导函数图象的依据：若f (x)单调递增，则f ′(x)的图象一定在x轴的上方；若f (x)单调递减，则f ′(x)的图象一定在x轴的下方；若f (x)是常函数，则f ′(x)＝0．
(2)由导函数图象识别原函数图象的依据：若f ′(x)>0，则f (x)单调递增，若f ′(x)<0，则f (x)单调递减．
考点二　不含参数的函数的单调性问题
[典例2]　(1)(多选)(2025·自贡期末)下列函数在定义域上为增函数的有(　　)
A．f (x)＝x＋ B．f (x)＝x＋sin x
C．f (x)＝xex D．f (x)＝ex－e－x
(2)(2025·深圳期末)函数f (x)＝ln x－x2的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，－1)和(1，＋∞)
B．(0，1)∪(1，＋∞)　
C．(0，1)
D．(1，＋∞)
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易错提醒：确定不含参数的函数的单调性应注意两点，一是不能漏掉函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
考点三　含参函数的单调性
[典例3]　(2025·鄂尔多斯期末节选)已知函数f (x)＝x2－(a＋1)x＋a ln x(a＞0)，讨论函数f (x)的单调性．
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[多维变迁]
1．(2023·新高考Ⅰ卷节选)已知函数f (x)＝a(ex＋a)－x，讨论f (x)的单调性．
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2． (2021·全国乙卷节选)讨论函数f (x)＝x3－x2＋ax＋1的单调性．
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1．(链接考点二)(2025·松原期中)函数f (x)＝xe－x的单调递增区间是(　　)
A．(1，＋∞) B．(－∞，1)
C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞)
2．(链接考点一)(2025·合肥期末)已知函数f (x)的导函数为f ′(x)，且函数f (x)的图象如图所示，则函数y＝xf ′(x)的图象可能是(　　)
　
A　　　　　　　　　B
　
C　　　　　　　　　D
3．(链接考点三)(2025·北京期末节选)已知函数f (x)＝ex－ax，讨论f (x)的单调性．
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第22课时　导数与函数的单调性
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点1　单调递增　单调递减　常数函数
知识点2　定义域　零点
链教材·夯基固本
1．(0，1)　(1，2)　[由题图知，当x∈(0，1)时，f'(x)>0，
当x∈(1，2)时，f'(x)<0，
故f (x)的单调递增区间是(0，1)，
单调递减区间是(1，2)．]
2．(－∞，－1)，　[f'(x)＝3x2＋2x－1，令f'(x)>0，解得x>或x<－1，所以f (x)＝x3＋x2－x的单调递增区间为(－∞，－1)和．]
3．C　[由题图知，当x∈(－∞，0)时，f'(x)>0，
∴f (x)在(－∞，0)上单调递增；
当x∈(0，x1)时，f'(x)<0，∴f (x)在(0，x1)内单调递减；
当x∈(x1，＋∞)时，f'(x)>0，
∴f (x)在(x1，＋∞)上单调递增．故选C．]
考点深研·题型突破
考点一
典例1　(1)D　(2)BD　[(1)由函数的图象可知，当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D．
(2)由题图知，当00且为定值；当a0，在x∈(b，c)内，f'(x)<0；当c0，所以当0]
考点二
典例2　(1)BD　(2)C　[(1)对于A，f (x)＝x＋，其定义域为{x|x≠0}，
其导数f'(x)＝1－，在(－1，0)和(0，1)内，f'(x)<0，f (x)不符合题意；
对于B，f (x)＝x＋sin x，其定义域为R，
其导数f'(x)＝1＋cos x，有f'(x)≥0恒成立，则f (x)在定义域上为增函数，符合题意；
对于C，f (x)＝xex，其定义域为R，
其导数f'(x)＝xex＋ex＝(1＋x)ex，在区间(－∞，－1)上，f'(x)<0，f (x)不符合题意；
对于D，f (x)＝ex－e-x，其定义域为R，
其导数f'(x)＝ex＋e-x，易得f'(x)≥2>0恒成立，则f (x)在定义域上为增函数，符合题意．
故选BD．
(2)∵f (x)＝ln x－x2，
∴函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，
∴f'(x)＝－x＝，
当f'(x)>0时，解得0∴函数f (x)＝ln x－x2的单调递增区间为(0，1)．
故选C．]
考点三
典例3　解：因为f (x)＝x2－(a＋1)x＋aln x，定义域为(0，＋∞)，
所以f'(x)＝x－(a＋1)＋．
当00，得01，令f'(x)<0，得a所以函数f (x)在(0，a)内单调递增，在(a，1)内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
当a＝1时，f'(x)＝≥0恒成立，所以函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
当a>1时，令f'(x)>0，得0a，令f'(x)<0，得1所以函数f (x)在(0，1)内单调递增，在(1，a)内单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．
综上，当0当a＝1时，f (x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>1时，f (x)在(0，1)内单调递增，在(1，a)内单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．
多维变迁
1．解：函数f (x)的定义域为R，f'(x)＝aex－1，
当a≤0时，f'(x)≤－1<0，
所以函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减；
当a>0时，令f'(x)>0，得x>－ln a，
令f'(x)<0，得x<－ln a，
所以函数f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减，
在(－ln a，＋∞)上单调递增．
综上可得，当a≤0时，函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减；
当a>0时，函数f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．
2．解：由题意知f (x)的定义域为R，
f'(x)＝3x2－2x＋a，
对于f'(x)＝0，Δ＝(－2)2－4×3a＝4(1－3a)．
①当a≥时，f'(x)≥0，f (x)在R上单调递增；
②当a<时，令f'(x)＝0，
即3x2－2x＋a＝0，
解得x1＝，x2＝，
令f'(x)>0，则xx2；
令f'(x)<0，则x1所以f (x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)内单调递减．
综上，当a≥时，f (x)在R上单调递增；
当a<时，f (x)在，
上单调递增，
在内单调递减．
随堂·对点检测
1．B　[f (x)＝xe-x的定义域为R，导函数f'(x)＝(1－x)e-x，
由f'(x)>0，得x<1，因此f (x)＝xe-x的单调递增区间是(－∞，1)．
故选B．]
2．C　[根据题意，由f (x)的图象，f (x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，
得当x∈(－∞，－1)时，f'(x)<0，当x∈(－1，＋∞)时，f'(x)>0．
对于函数y＝xf'(x)，在(－∞，－1)上，必有xf'(x)>0，
在(－1，0)上，必有xf'(x)<0，
在(0，＋∞)上，必有xf'(x)>0，
分析可知选项C符合．
故选C．]
3．解：函数f (x)＝ex－ax的定义域为R，f'(x)＝ex－a，
当a≤0时，f'(x)＝ex－a>0恒成立，f (x)在R上单调递增；
当a>0时，由f'(x)>0，解得x>ln a；
由f'(x)<0，解得x∴f (x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
综上所述，当a≤0时，f (x)在R上单调递增；
当a>0时，f (x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
1 / 6(共52张PPT)
第三章　一元函数的导数及其应用
第22课时　导数与函数的单调性
[考试要求]　1．结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
理法先行·题练固本
知识点1　函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f (x)在区间(a，b)内可导 f '(x)>0 f (x)在(a，b)内________
f '(x)<0 f (x)在(a，b)内________
f '(x)＝0 f (x)在(a，b)内是________
单调递增
单调递减
常数函数
知识点2　利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的______；
第2步，求出导数f '(x)的____；
第3步，用f '(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出
f '(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性．
定义域
零点
[常用结论]
1．若函数f (x)在(a，b)内单调递增，则x∈(a，b)时，f '(x)≥0 恒成立；若函数f (x)在(a，b)内单调递减，则x∈(a，b)时，f '(x)≤0恒成立．
2．若函数f (x)在(a，b)内存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，
f '(x)>0有解；若函数f (x)在(a，b)内存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f '(x)<0有解．
3．f '(x)>0在(a，b)内恒成立是f (x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件，举例：f (x)＝x3在R上单调递增，但f '(0)＝0．
1．(人教B版选择性必修第三册P95练习AT1)已知函数f (x)的定义域为[0，2]，且y＝f '(x)的图象如图所示，则f (x)的单调递增区间是______________，单调递减区间是______________．
(0，1)　
(1，2)
(0，1)　(1，2)　[由题图知，当x∈(0，1)时，f '(x)>0，当x∈(1，2)时，f '(x)<0，故f (x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，2)．]
2．(人教A版选择性必修第二册P97 习题5.3T2(4))函数f (x)＝x3＋x2－x的单调递增区间为__________________________．
(－∞，－1)，　[ f '(x)＝3x2＋2x－1，令f '(x)>0，解得x>或x<－1，所以f (x)＝x3＋x2－x的单调递增区间为(－∞，－1)和．]
(－∞，－1)，　
3．(人教A版选择性必修第二册P103复习参考题5T3改编)f '(x)是f (x)的导函数，若f '(x)的图象如图所示，则f (x)的图象可能是(　　)
√
A　　　　B　　　　　C　 　　　D
C　[由题图知，当x∈(－∞，0)时，f '(x)>0，
∴f (x)在(－∞，0)上单调递增；
当x∈(0，x1)时，f '(x)<0，∴f (x)在(0，x1)内单调递减；
当x∈(x1，＋∞)时，f '(x)>0，
∴f (x)在(x1，＋∞)上单调递增．
故选C．]
考点深研·题型突破
考点一　利用导函数的图象研究函数的单调性
[典例1]　(1)(2025·天津西青区期末)设函数y＝f (x)可导，y＝f (x)的图象如图所示，则导函数y＝f '(x)的图象可能为(　　)
√
(2)(多选)(人教A版选择性必修第二册P89练习T3改编)已知函数y＝f '(x)的图象如图所示，那么下列关于函数y＝f (x)的判断正确的是(　　)
A．在区间(0，a)内，f (x)为定值
B．函数y＝f (x)在区间(a，b)内单调递增
C．函数y＝f (x)在区间(c，e)内单调递增
D．函数y＝f (x)在区间(b，d)内单调递减
√
√
(1)D　(2)BD　[(1)由函数的图象可知，当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D．
(2)由题图知，当00且为定值；当a0，在x∈(b，c)内，f '(x)<0；当c0，所以当0单调递减，当d故选BD．]
通性通法：(1)由原函数图象识别导函数图象的依据：若f (x)单调递增，则f '(x)的图象一定在x轴的上方；若f (x)单调递减，则f '(x)的图象一定在x轴的下方；若f (x)是常函数，则f '(x)＝0．
(2)由导函数图象识别原函数图象的依据：若f '(x)>0，则f (x)单调递增，若f '(x)<0，则f (x)单调递减．
考点二　不含参数的函数的单调性问题
[典例2]　(1)(多选)(2025·自贡期末)下列函数在定义域上为增函数的有(　　)
A．f (x)＝x＋ B．f (x)＝x＋sin x
C．f (x)＝xex D．f (x)＝ex－e-x
(2)(2025·深圳期末)函数f (x)＝ln x－x2的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，－1)和(1，＋∞) B．(0，1)∪(1，＋∞)　
C．(0，1) D．(1，＋∞)
√
√
√
(1)BD　(2)C　[(1)对于A，f (x)＝x＋，其定义域为{x|x≠0}，
其导数f '(x)＝1－，在(－1，0)和(0，1)内，f '(x)<0，f (x)不符合题意；
对于B，f (x)＝x＋sin x，其定义域为R，
其导数f '(x)＝1＋cos x，有f '(x)≥0恒成立，则f (x)在定义域上为增函数，符合题意；
对于C，f (x)＝xex，其定义域为R，
其导数f '(x)＝xex＋ex＝(1＋x)ex，在区间(－∞，－1)上，f '(x)<0，f (x)不符合题意；
对于D，f (x)＝ex－e-x，其定义域为R，
其导数f '(x)＝ex＋e-x，易得f '(x)≥2>0恒成立，则f (x)在定义域上为增函数，符合题意．
故选BD．
(2)∵f (x)＝ln x－x2，
∴函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，
∴f '(x)＝－x＝，
当f '(x)>0时，解得0∴函数f (x)＝ln x－x2的单调递增区间为(0，1)．
故选C．]
易错提醒：确定不含参数的函数的单调性应注意两点，一是不能漏掉函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
考点三　含参函数的单调性
[典例3]　(2025·鄂尔多斯期末节选)已知函数f (x)＝x2－(a＋1)x＋aln x(a>0)，讨论函数f (x)的单调性．
[解]　因为f (x)＝x2－(a＋1)x＋aln x，定义域为(0，＋∞)，
所以f '(x)＝x－(a＋1)＋．
当00，得01，令f '(x)<0，得a所以函数f (x)在(0，a)内单调递增，在(a，1)内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
当a＝1时，f '(x)＝≥0恒成立，所以函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
当a>1时，令f '(x)>0，得0a，令f '(x)<0，得1所以函数f (x)在(0，1)内单调递增，在(1，a)内单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．
综上，当0当a＝1时，f (x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>1时，f (x)在(0，1)内单调递增，在(1，a)内单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．
[多维变迁]
1．(2023·新高考Ⅰ卷节选)已知函数f (x)＝a(ex＋a)－x，讨论f (x)的单调性．
[解]　函数f (x)的定义域为R，f '(x)＝aex－1，
当a≤0时，f '(x)≤－1<0，
所以函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减；
当a>0时，令f '(x)>0，得x>－ln a，令f '(x)<0，得x<－ln a，
所以函数f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减，
在(－ln a，＋∞)上单调递增．
综上可得，当a≤0时，函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减；
当a>0时，函数f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．
2． (2021·全国乙卷节选)讨论函数f (x)＝x3－x2＋ax＋1的单调性．
[解]　由题意知f (x)的定义域为R，
f '(x)＝3x2－2x＋a，
对于f '(x)＝0，Δ＝(－2)2－4×3a＝4(1－3a)．
①当a≥时，f '(x)≥0，f (x)在R上单调递增；
②当a<时，令f '(x)＝0，
即3x2－2x＋a＝0，
解得x1＝，x2＝，
令f '(x)>0，则xx2；
令f '(x)<0，则x1所以f (x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)内单调递减．
综上，当a≥时，f (x)在R上单调递增；
当a<时，f (x)在，
上单调递增，
在内单调递减．
1．(链接考点二)(2025·松原期中)函数f (x)＝xe-x的单调递增区间是(　　)
A．(1，＋∞) B．(－∞，1)
C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞)
√
B　[ f (x)＝xe-x的定义域为R，导函数f '(x)＝(1－x)e-x，
由f '(x)>0，得x<1，因此f (x)＝xe-x的单调递增区间是(－∞，1)．
故选B．]
2．(链接考点一)(2025·合肥期末)已知函数f (x)的导函数为f '(x)，且函数f (x)的图象如图所示，则函
数y＝xf '(x)的图象可能是(　　)
√
C　[根据题意，由f (x)的图象，f (x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，
得当x∈(－∞，－1)时，f '(x)<0，当x∈(－1，＋∞)时，f '(x)>0．
对于函数y＝xf '(x)，在(－∞，－1)上，必有xf '(x)>0，
在(－1，0)上，必有xf '(x)<0，
在(0，＋∞)上，必有xf '(x)>0，
分析可知选项C符合．
故选C．]
3．(链接考点三)(2025·北京期末节选)已知函数f (x)＝ex－ax，讨论f (x)的单调性．
[解]　函数f (x)＝ex－ax的定义域为R，f '(x)＝ex－a，
当a≤0时，f '(x)＝ex－a>0恒成立，f (x)在R上单调递增；
当a>0时，由f '(x)>0，解得x>ln a；由f '(x)<0，解得x∴f (x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
综上所述，当a≤0时，f (x)在R上单调递增；
当a>0时，f (x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
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一、单项选择题　
1．(人教A版选择性必修第二册P86例1改编)函数f (x)＝cos x－x在(0，π)内的单调性是(　　)
A．先增后减 B．先减后增
C．单调递增 D．单调递减
√
课时作业(二十二)　导数与函数的单调性
题号
1
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D　[因为f '(x)＝－sin x－1<0在(0，π)内恒成立，所以f (x)在(0，π)内单调递减，故选D．]
√
题号
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2．(2025·吉安期末)函数f (x)＝x2－4ln x的单调递减区间为(　　)
A．(－，) B．(，＋∞)
C．(－∞，) D．(0，)
题号
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D　[由题意可得函数的定义域为(0，＋∞)，导函数f '(x)＝2x－，
令f '(x)<0，可得0因此f (x)的单调递减区间为(0，)．
故选D．]
题号
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3．(2025·深圳期末)下列在同一坐标系中的图象，有可能是三次函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)及其导函数图象的是(　　)
√
题号
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C　[根据题意，f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则其导数f '(x)＝3ax2＋2bx＋c，
则f '(x)为二次函数，其图象为抛物线，设f '(x)与x轴的两个交点为x1，x2，x1依次分析选项：
对于A，如图所示：
题号
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当xx2时，f '(x)<0，则函数f (x)在区间(－∞，x1)，(x2，＋∞)上均单调递减，
与f (x)的图象不符合，A错误；
对于B，由选项图可知， x∈R，f '(x)>0，则函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
与f (x)的图象不符合，B错误；
对于C，由选项图可知， x∈R，f '(x)>0，则函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
与f (x)的图象符合，C正确；
题号
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对于D，如图所示：
当xx2时，f '(x)<0，则函数f (x)在区间(－∞，x1)，(x2，＋∞)上均单调递减，
与f (x)的图象不符合，D错误．
故选C．]
√
题号
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4．(2025·重庆北碚区期末)设f (x)＝2x2－x3，则f (x)的单调递减区间是(　　)
A． B．
C．(－∞，0) D．(－∞，0)和
题号
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D　[由f (x)＝2x2－x3，
得f '(x)＝4x－3x2＝x(4－3x)，
令f '(x)＝0，得x＝0或x＝，
f '(x)，f (x)的变化情况如表所示．
x (－∞，0) 0
f '(x) － 0 ＋ 0 －
f (x) 单调递减 单调递增 单调递减
所以f (x)的单调递减区间是(－∞，0)和．]
√
题号
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二、多项选择题　
5．(2025·新余期末)下列函数在(－∞，＋∞)上是单调函数的是
(　　)
A．y＝x3＋x－1 B．y＝sin x－x
C．y＝xex＋1 D．y＝ex－x
√
题号
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AB　[对于选项A，导函数y'＝3x2＋1>0，y＝x3＋x－1在(－∞，＋∞)上单调递增，因此选项A正确；
对于选项B，导函数y'＝cos x－1≤0，y＝sin x－x在(－∞，＋∞)上单调递减，因此选项B正确；
对于选项C，导函数y'＝(x＋1)ex，令y'<0 x<－1，令y' >0 x>－1，
因此函数y＝xex＋1在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，因此选项C错误；
对于选项D，导函数y'＝ex－1，令y'<0 x<0，令y'>0 x>0，
y＝ex－x在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故D错误．
故选AB．]
题号
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6．(2025·潮州期末)如果函数f (x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有>0，则称函数y＝f (x)为“F函数”．下列函数不是“F函数”的是(　　)
A．f (x)＝ex B．f (x)＝x2
C．f (x)＝ln x D．f (x)＝sin x
√
√
√
题号
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ACD　[依题意知，函数g(x)＝xf (x)为定义域上的增函数．
对于A，g(x)＝xex，g'(x)＝(x＋1)ex，
当x∈(－∞，－1)时，g'(x)<0，
∴g(x)在(－∞，－1)上单调递减，故A中函数不是“F函数”；
对于B，g(x)＝x3在R上为增函数，故B中函数为“F函数”；
对于C，g(x)＝xln x，x>0，g'(x)＝1＋ln x，
当x∈时，g'(x)<0，
题号
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∴g(x)在内单调递减，
故C中函数不是“F函数”；
对于D，g(x)＝xsin x，g'(x)＝sin x＋xcos x，
当x∈时，g'(x)<0，∴g(x)在内单调递减，
故D中函数不是“F函数”．
故选ACD．]
题号
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三、填空题
7．(2025·天津西青区期末改编)已知函数f (x)＝x3－3x2－9x＋a．则函数f (x)的单调递增区间是____________________________；单调递减区间是______________．
(－∞，－1)，(3，＋∞)　
(－1，3)
题号
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(－∞，－1)，(3，＋∞)　(－1，3)　[因为函数f (x)的定义域为R，且f '(x)＝3x2－6x－9，
令f '(x)>0 x<－1或x>3；
令f '(x)<0 －1所以函数f (x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)，单调递减区间为(－1，3)．]
题号
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8．(2025·扬州期末)已知函数f (x)满足下列条件：①f (x)的导函数
f '(x)为偶函数；②f (x)在区间(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，则f (x)的一个解析式为f (x)＝______________________．
x3－4x(答案不唯一)
题号
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x3－4x(答案不唯一)　[因为f (x)在区间(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，
所以当x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，f '(x)>0．
又f (x)的导函数f '(x)为偶函数，
所以令f '(x)＝x2－4，满足题意，
所以f (x)＝x3－4x，答案不唯一．]
题号
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四、解答题
9．(人教A版选择性必修第二册P89练习T2改编)已知函数f (x)＝ln x＋e1-x－1，证明f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
题号
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[证明]　由题意知，f (x)的定义域为(0，＋∞)，f '(x)＝－e1-x＝．
令g(x)＝ex-1－x(x>0)，则g'(x)＝ex-1－1，
由g'(x)＝0，可得x＝1．
∴当x∈(0，1)时，g'(x)<0，g(x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，g'(x)>0，g(x)单调递增，
∴g(x)min＝g(1)＝0，即g(x)≥0，
∴f '(x)≥0，
则f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
题号
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10．(2025·长沙期末节选)设函数f (x)＝ax2－(a－2)x－ln x(a∈R)，讨论函数f (x)的单调性．
[解]　f (x)＝ax2－(a－2)x－ln x的定义域为(0，＋∞)，
f '(x)＝2ax－(a－2)－．
当a≥0时，由f '(x)>0，得x>，由f '(x)<0，得0函数f (x)在上单调递增；
题号
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当－20，得－，
f (x)在内单调递增；
当a＝－2时，f '(x)≤0，且当x＝时取等号，f (x)在(0，＋∞)上单调递减；
当a<－2时，由f '(x)>0，得－由f '(x)<0，得0，
题号
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函数f (x)在内单调递增．
综上，当a≥0时，函数f (x)在上单调递增；
当a＝－2时，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－2当a<－2时，函数f (x)在内单调递增．
谢谢！课时作业(二十二)　导数与函数的单调性
一、单项选择题　
1．(人教A版选择性必修第二册P86例1改编)函数f (x)＝cos x－x在(0，π)内的单调性是(　　)
A．先增后减 B．先减后增
C．单调递增 D．单调递减
2．(2025·吉安期末)函数f (x)＝x2－4ln x的单调递减区间为(　　)
A．(－) B．(，＋∞)
C．(－∞，) D．(0，)
3．(2025·深圳期末)下列在同一坐标系中的图象，有可能是三次函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)及其导函数图象的是(　　)
　
A　　　　　　　　　　B
　
C　　　　　　　　　　D
4．(2025·重庆北碚区期末)设f (x)＝2x2－x3，则f (x)的单调递减区间是(　　)
A．
B．
C．(－∞，0)
D．(－∞，0)和
二、多项选择题　
5．(2025·新余期末)下列函数在(－∞，＋∞)上是单调函数的是(　　)
A．y＝x3＋x－1 B．y＝sin x－x
C．y＝xex＋1 D．y＝ex－x
6．(2025·潮州期末)如果函数f (x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有>0，则称函数y＝f (x)为“F函数”．下列函数不是“F函数”的是(　　)
A．f (x)＝ex
B．f (x)＝x2
C．f (x)＝ln x
D．f (x)＝sin x
三、填空题
7．(2025·天津西青区期末改编)已知函数f (x)＝x3－3x2－9x＋a．则函数f (x)的单调递增区间是________；单调递减区间是________．
8．(2025·扬州期末)已知函数f (x)满足下列条件：①f (x)的导函数f ′(x)为偶函数；②f (x)在区间(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，则f (x)的一个解析式为f (x)＝________．
四、解答题
9．(13分)(人教A版选择性必修第二册P89练习T2改编)已知函数f (x)＝ln x＋e1-x－1，证明f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
10．(15分)(2025·长沙期末节选)设函数f (x)＝ax2－(a－2)x－ln x(a∈R)，讨论函数f (x)的单调性．
课时作业(二十二)
1．D　[因为f'(x)＝－sin x－1<0在(0，π)内恒成立，所以f (x)在(0，π)内单调递减，故选D．]
2．D　[由题意可得函数的定义域为(0，＋∞)，导函数f'(x)＝2x－，
令f'(x)<0，可得0因此f (x)的单调递减区间为(0，)．
故选D．]
3．C　[根据题意，f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则其导数f'(x)＝3ax2＋2bx＋c，
则f'(x)为二次函数，其图象为抛物线，设f'(x)与x轴的两个交点为x1，x2，x1依次分析选项：
对于A，如图所示：
当xx2时，f'(x)<0，则函数f (x)在区间(－∞，x1)，(x2，＋∞)上均单调递减，
与f (x)的图象不符合，A错误；
对于B，由选项图可知， x∈R，f'(x)>0，则函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
与f (x)的图象不符合，B错误；
对于C，由选项图可知， x∈R，f'(x)>0，则函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
与f (x)的图象符合，C正确；
对于D，如图所示：
当xx2时，f'(x)<0，则函数f (x)在区间(－∞，x1)，(x2，＋∞)上均单调递减，
与f (x)的图象不符合，D错误．
故选C．]
4．D　[由f (x)＝2x2－x3，
得f'(x)＝4x－3x2＝x(4－3x)，
令f'(x)＝0，得x＝0或x＝，
f'(x)，f (x)的变化情况如表所示．
x (－∞，0) 0
f'(x) － 0 ＋ 0 －
f (x) 单调递减 单调递增 单调递减
所以f (x)的单调递减区间是(－∞，0)和．]
5．AB　[对于选项A，导函数y'＝3x2＋1>0，y＝x3＋x－1在(－∞，＋∞)上单调递增，因此选项A正确；
对于选项B，导函数y'＝cos x－1≤0，y＝sin x－x在(－∞，＋∞)上单调递减，因此选项B正确；
对于选项C，导函数y'＝(x＋1)ex，令y'<0 x<－1，令y'>0 x>－1，
因此函数y＝xex＋1在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，因此选项C错误；
对于选项D，导函数y'＝ex－1，令y'<0 x<0，令y'>0 x>0，
y＝ex－x在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故D错误．
故选AB．]
6．ACD　[依题意知，函数g(x)＝xf (x)为定义域上的增函数．
对于A，g(x)＝xex，g'(x)＝(x＋1)ex，
当x∈(－∞，－1)时，g'(x)<0，
∴g(x)在(－∞，－1)上单调递减，故A中函数不是“F函数”；
对于B，g(x)＝x3在R上为增函数，故B中函数为“F函数”；
对于C，g(x)＝xln x，x>0，g'(x)＝1＋ln x，
当x∈时，g'(x)<0，
∴g(x)在内单调递减，
故C中函数不是“F函数”；
对于D，g(x)＝xsin x，g'(x)＝sin x＋xcos x，
当x∈时，g'(x)<0，∴g(x)在内单调递减，
故D中函数不是“F函数”．故选ACD．]
7．(－∞，－1)，(3，＋∞)　(－1，3)　[因为函数f (x)的定义域为R，且f'(x)＝3x2－6x－9，
令f'(x)>0 x<－1或x>3；
令f'(x)<0 －1所以函数f (x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)，单调递减区间为(－1，3)．]
8．x3－4x(答案不唯一)　[因为f (x)在区间(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，
所以当x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，f'(x)>0．
又f (x)的导函数f'(x)为偶函数，
所以令f'(x)＝x2－4，满足题意，
所以f (x)＝x3－4x，答案不唯一．]
9．证明：由题意知，f (x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝－e1-x＝．
令g(x)＝ex-1－x(x>0)，则g'(x)＝ex-1－1，
由g'(x)＝0，可得x＝1．
∴当x∈(0，1)时，g'(x)<0，g(x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，g'(x)>0，g(x)单调递增，
∴g(x)min＝g(1)＝0，即g(x)≥0，
∴f'(x)≥0，
则f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
10．解：f (x)＝ax2－(a－2)x－ln x的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝2ax－(a－2)－．
当a≥0时，由f'(x)>0，得x>，
由f'(x)<0，得0函数f (x)在上单调递增；
当－20，得－，
f (x)在内单调递增；
当a＝－2时，f'(x)≤0，且当x＝时取等号，f (x)在(0，＋∞)上单调递减；
当a<－2时，由f'(x)>0，得－，
函数f (x)在内单调递增．
综上，当a≥0时，函数f (x)在上单调递增；
当a＝－2时，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－2当a<－2时，函数f (x)在内单调递增．
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