资源简介

第23课时　函数单调性的应用
[考试要求]　1．会根据函数的单调性求参数的范围．2．会利用函数的单调性解不等式，比较函数值的大小．
考点一　利用单调性求参数范围　
[典例1]　若函数f (x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
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[母题探究]
1．(变条件)本例中若f (x)的单调递增区间为(1，＋∞)，则实数k＝________．
2．(变条件)本例中若f (x)在(1，＋∞)上单调递减，则实数k的取值范围是________．
3．(变条件)本例中若f (x)在(1，＋∞)上不单调，则实数k的取值范围是________．
4．(变条件)本例中若f (x)在(1，＋∞)上存在单调递减区间，则实数k的取值范围是________．
5．(变条件)本例中若f (x)在(1，2)内单调，则实数k的取值范围是________．
通性通法：根据函数单调性求参数的方法
(1)f (x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f ′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．
(2)函数在区间(a，b)内存在单调区间，实际上就是f ′(x)>0(或f ′(x)<0)在该区间内存在解集．
(3)若函数y＝f (x)在区间(a，b)内不单调，则转化为f ′(x)＝0在(a，b)内有解(需验证解的两侧导数是否异号)．
考点二　利用单调性解不等式
[典例2]　(2025·上饶期末)已知函数f (x)＝x－sin x，且f (log2m)＋f (－1)＜0，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，2) B．(0，2)
C．(1，2) D．(2，＋∞)
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通性通法：利用函数的单调性解不等式的关键是判断函数的单调性，易错之处是忽视函数的定义域．
[多维变迁]
(2025·潮州期末)已知f ′(x)是函数f (x)(x∈R)的导数，且 x∈R，f ′(x)＞2，f (2)＝3，则不等式f (x)＞2x－1的解集为(　　)
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，3) D．(3，＋∞)
考点三　利用单调性比较大小
[典例3]　(2025·北京延庆区期末)已知函数f (x)的导函数f ′(x)＝(x2＋1)ex，则下列选项正确的是(　　)
A．f (2)＜f (e)＜f (π)
B．f (π)＜f (e)＜f (2)
C．f (e)＜f (2)＜f (π)
D．f (2)＜f (π)＜f (e)
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通性通法：利用导数比较大小，其关键是判断已知(或构造后的)函数的单调性，利用其单调性比较大小．
[多维变迁]
　已知函数f (x)＝x sin x，x∈R，则f，f (1)，f的大小关系为(　　)
A．f>f (1)>f
B．f (1)>f>f
C．f>f (1)>f
D．f>f>f (1)
1．(链接考点三)(2025·南阳期末)已知函数f (x)＝x－sin x，则f (1)，f (2)，f (3)的大小关系是(　　)
A．f (1)＞f (2)＞f (3)
B．f (1)＞f (3)＞f (2)　
C．f (3)＞f (1)＞f (2)
D．f (3)＞f (2)＞f (1)
2．(链接考点一)(2025·三明期末)若函数f (x)＝x2＋2x＋a ln x在(0，1)内单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．[－4，＋∞) D．(－∞，－4]
3．(链接考点二)已知函数f (x)＝2ln x＋－x，则不等式f (2x－1)A． B．
C． D．
4．(链接考点一)若函数f (x)＝x3＋ax2－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是________．
第23课时　函数单调性的应用
考点深研·题型突破
考点一
典例1　D　[法一：因为f (x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以f'(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，
因为f (x)＝kx－ln x，
所以f'(x)＝k－≥0，即k≥．
因为x>1，所以0<<1，
所以k≥1．故选D．
法二：f'(x)＝k－(x>0)，
当k≤0时，f'(x)＝k－<0，f (x)在其定义域内单调递减，不合题意，
当k>0时，由f'(x)>0知x>是f (x)的单调递增区间．由题意可知≤1，即k≥1，故选D．]
母题探究
1.1　[由本例法二知＝1，∴k＝1．]
2．(－∞，0]　[由题意知f'(x)＝≤0在(1，＋∞)上恒成立，即k≤，又x>1，
∴0<<1，∴k≤0，即k的取值范围是(－∞，0]．]
3．(0，1)　[法一：由本例及母题探究2知，f (x)在(1，＋∞)上单调，则k≤0或k≥1，∴f (x)在(1，＋∞)上不单调，则0法二：因为f (x)＝kx－ln x，
所以f'(x)＝k－＝0在(1，＋∞)上有解，即y＝k和y＝的图象在(1，＋∞)内有交点．因为当x∈(1，＋∞)时，∈(0，1)，所以k的取值范围是(0，1)．]
4．(－∞，1)　[由题意可知f'(x)＝<0在(1，＋∞)内有解，即k<，x∈(1，＋∞)有解，由0<<1可知k<1，即k的取值范围是(－∞，1)．]
5．∪[1，＋∞)　[∵x∈(1，2)，
∴<1，
若f (x)在(1，2)内单调递增，则f'(x)＝≥0恒成立，即k≥，∴k≥1；
若f (x)在(1，2)内单调递减，则f'(x)＝≤0恒成立，即k≤，∴k≤．
∴f (x)在(1，2)内单调，则k的取值范围是∪[1，＋∞)．]
考点二
典例2　B　[因为f (x)＝x－sin x的定义域为R，
所以f'(x)＝1－cos x≥0恒成立，
故f (x)在R上单调递增，
又根据f (－x)＝－x－sin(－x)＝－x＋sin x＝－f (x)，
因此f (x)为奇函数，
又f (log2m)＋f (－1)<0 f (log2m)<－f (－1)＝f (1)，
则log2m<1，解得m∈(0，2)．
故选B．]
多维变迁
　B　[设g(x)＝f (x)－2x＋1，
因为f (2)＝3，
所以g(2)＝f (2)－3＝0，
g'(x)＝f'(x)－2，因为f'(x)>2，
所以g'(x)>0，
所以函数g(x)＝f (x)－2x＋1为R上的增函数，
因此由f (x)>2x－1 g(x)>0＝g(2) x>2．
故选B．]
考点三
典例3　A　[已知函数f (x)的导函数f'(x)＝(x2＋1)ex，x∈R，
则x∈R f'(x)>0，
所以函数f (x)在R上单调递增，
选项中x＝2，x＝e，x＝π大小顺序为2所以f (2)故选A．]
多维变迁
　A　[当x∈时，f'(x)＝sin x＋xcos x>0，所以函数f (x)在内单调递增，
由题知f (－x)＝(－x)·sin(－x)＝xsin x＝f (x)，则函数f (x)是偶函数，
故f＝f．
因为0<<1<，
所以f即f>f (1)>f．故选A．]
随堂·对点检测
1．D　[因为f'(x)＝1－cos x≥0，
所以f (x)在R上单调递增，
因此f (3)>f (2)>f (1)．
故选D．]
2．D　[∵函数f (x)＝x2＋2x＋aln x在(0，1)内单调递减，
∴当x∈(0，1)时，f'(x)＝2x＋2＋≤0，
∴g(x)＝2x2＋2x＋a≤0在x∈(0，1)时恒成立，
∴g(0)≤0，g(1)≤0，即a≤－4．
故选D．]
3．B　[由题意可知f (x)的定义域为(0，＋∞)．
因为f'(x)＝－1＝－≤0恒成立，
所以f (x)在(0，＋∞)上单调递减．
由f (2x－1)可得
解得4．[－3，0]　[f'(x)＝3x2＋2ax－a≥0在R上恒成立，所以4a2＋12a≤0，解得－3≤a≤0．]
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第三章　一元函数的导数及其应用
第23课时　函数单调性的应用
[考试要求]　1．会根据函数的单调性求参数的范围．2．会利用函数的单调性解不等式，比较函数值的大小．
考点深研·题型突破
考点一　利用单调性求参数范围　
[典例1]　若函数f (x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
√
D　[法一：因为f (x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以f '(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，
因为f (x)＝kx－ln x，
所以f '(x)＝k－≥0，即k≥．
因为x>1，所以0<<1，
所以k≥1．故选D．
法二：f '(x)＝k－(x>0)，
当k≤0时，f '(x)＝k－<0，f (x)在其定义域内单调递减，不合题意，
当k>0时，由f '(x)>0知x>是f (x)的单调递增区间．由题意可知≤1，即k≥1，故选D．]
[母题探究]
1．(变条件)本例中若f (x)的单调递增区间为(1，＋∞)，则实数k＝______________．
1　[由本例法二知＝1，∴k＝1．]
1　
2．(变条件)本例中若f (x)在(1，＋∞)上单调递减，则实数k的取值范围是______________．
(－∞，0]　[由题意知f '(x)＝≤0在(1，＋∞)上恒成立，即k≤，又x>1，∴0<<1，∴k≤0，即k的取值范围是(－∞，0]．]
(－∞，0]　
3．(变条件)本例中若f (x)在(1，＋∞)上不单调，则实数k的取值范围是______________．
(0，1)　[法一：由本例及母题探究2知，f (x)在(1，＋∞)上单调，则k≤0或k≥1，∴f (x)在(1，＋∞)上不单调，则0法二：因为f (x)＝kx－ln x，
所以f '(x)＝k－＝0在(1，＋∞)上有解，即y＝k和y＝的图象在(1，＋∞)内有交点．因为当x∈(1，＋∞)时，∈(0，1)，所以k的取值范围是(0，1)．]
(0，1)　
4．(变条件)本例中若f (x)在(1，＋∞)上存在单调递减区间，则实数k的取值范围是______________．
(－∞，1)　[由题意可知f '(x)＝<0在(1，＋∞)内有解，即k<，x∈(1，＋∞)有解，由0<<1可知k<1，即k的取值范围是(－∞，1)．]
(－∞，1)　
5．(变条件)本例中若f (x)在(1，2)内单调，则实数k的取值范围是__________________________．
∪[1，＋∞)　[∵x∈(1，2)，∴<1，
若f (x)在(1，2)内单调递增，则f '(x)＝≥0恒成立，即k≥，∴k≥1；
若f (x)在(1，2)内单调递减，则f '(x)＝≤0恒成立，即k≤，∴k≤．
∴f (x)在(1，2)内单调，则k的取值范围是∪[1，＋∞)．]
∪[1，＋∞)　
通性通法：根据函数单调性求参数的方法
(1)f (x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f '(x)≥0( f '(x)
≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f '(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．
(2)函数在区间(a，b)内存在单调区间，实际上就是f '(x)>0(或f '(x)<0)在该区间内存在解集．
(3)若函数y＝f (x)在区间(a，b)内不单调，则转化为f '(x)＝0在(a，b)内有解(需验证解的两侧导数是否异号)．
【教用·备选题】
1．(2025·莆田期中)函数g(x)＝＋x2－2mx在R上单调递增的充分条件是(　　)
A．m∈ B．m∈
C．m∈ D．m∈R
√
B　[因为g(x)＝＋x2－2mx，
所以g'(x)＝x2＋2x－2m．
因为函数g(x)在R上单调递增，
所以g'(x)≥0恒成立，
即g'(x)＝x2＋2x－2m＝(x＋1)2－1－2m≥0恒成立，
即(x＋1)2≥1＋2m恒成立．
因为(x＋1)2≥0，
所以1＋2m≤0，
解得m≤－，
即函数g(x)＝＋x2－2mx在R上单调递增的充要条件为m∈，
即函数g(x)＝＋x2－mx在R上单调递增的充分条件是的非空子集．
故选B．]
2．(2025·仙桃期末)已知函数f (x)＝aln x＋x2－6x＋4在定义域内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，6)
C．(－∞，9) D．(－∞，12)
√
C　[由已知，f (x)的定义域为(0，＋∞)，f '(x)＝＋x－6，
题意等价于f '(x)<0在(0，＋∞)上有解，即a<(－x2＋6x)max，
设g(x)＝－x2＋6x，则g(x)的图象是开口向下的抛物线，所以g(x)max＝g(3)＝9，
所以a<9，a的取值范围是(－∞，9)．
故选C．]
考点二　利用单调性解不等式
[典例2]　(2025·上饶期末)已知函数f (x)＝x－sin x，且f (log2m)＋
f (－1)<0，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，2) B．(0，2)
C．(1，2) D．(2，＋∞)
√
B　[因为f (x)＝x－sin x的定义域为R，
所以f '(x)＝1－cos x≥0恒成立，
故f (x)在R上单调递增，
又根据f (－x)＝－x－sin(－x)＝－x＋sin x＝－f (x)，
因此f (x)为奇函数，
又f (log2m)＋f (－1)<0 f (log2m)<－f (－1)＝f (1)，
则log2m<1，解得m∈(0，2)．
故选B．]
通性通法：利用函数的单调性解不等式的关键是判断函数的单调性，易错之处是忽视函数的定义域．
[多维变迁]
(2025·潮州期末)已知f '(x)是函数f (x)(x∈R)的导数，且 x∈R，
f '(x)>2，f (2)＝3，则不等式f (x)>2x－1的解集为(　　)
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，3) D．(3，＋∞)
√
B　[设g(x)＝f (x)－2x＋1，因为f (2)＝3，
所以g(2)＝f (2)－3＝0，
g'(x)＝f '(x)－2，因为f '(x)>2，
所以g'(x)>0，
所以函数g(x)＝f (x)－2x＋1为R上的增函数，
因此由f (x)>2x－1 g(x)>0＝g(2) x>2．
故选B．]
考点三　利用单调性比较大小
[典例3]　(2025·北京延庆区期末)已知函数f (x)的导函数f '(x)＝(x2＋1)ex，则下列选项正确的是(　　)
A．f (2)C．f (e)√
A　[已知函数f (x)的导函数f '(x)＝(x2＋1)ex，x∈R，
则x∈R f '(x)>0，
所以函数f (x)在R上单调递增，
选项中x＝2，x＝e，x＝π大小顺序为2所以f (2)故选A．]
通性通法：利用导数比较大小，其关键是判断已知(或构造后的)函数的单调性，利用其单调性比较大小．
[多维变迁]
已知函数f (x)＝xsin x，x∈R，则f，f (1)，f的大小关系为(　　)
A．f>f (1)>f
B．f (1)>f>f
C．f>f (1)>f
D．f>f>f (1)
√
A　[当x∈时，f '(x)＝sin x＋xcos x>0，所以函数f (x)在内单调递增，
由题知f (－x)＝(－x)·sin(－x)＝xsin x＝f (x)，则函数f (x)是偶函数，故f＝f．
因为0<<1<，
所以ff (1)>f．故选A．]
1．(链接考点三)(2025·南阳期末)已知函数f (x)＝x－sin x，则f (1)，f (2)，f (3)的大小关系是(　　)
A．f (1)>f (2)>f (3) B．f (1)>f (3)>f (2)　
C．f (3)>f (1)>f (2) D．f (3)>f (2)>f (1)
√
D　[因为f '(x)＝1－cos x≥0，
所以f (x)在R上单调递增，
因此f (3)>f (2)>f (1)．
故选D．]
2．(链接考点一)(2025·三明期末)若函数f (x)＝x2＋2x＋aln x在(0，1)内单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．[－4，＋∞) D．(－∞，－4]
√
D　[∵函数f (x)＝x2＋2x＋aln x在(0，1)内单调递减，∴当x∈(0，1)时，f '(x)＝2x＋2＋≤0，
∴g(x)＝2x2＋2x＋a≤0在x∈(0，1)时恒成立，
∴g(0)≤0，g(1)≤0，即a≤－4．
故选D．]
3．(链接考点二)已知函数f (x)＝2ln x＋－x，则不等式f (2x－1)A． B．
C． D．
√
B　[由题意可知f (x)的定义域为(0，＋∞)．
因为f '(x)＝－1＝－≤0恒成立，
所以f (x)在(0，＋∞)上单调递减．
由f (2x－1)解得4．(链接考点一)若函数f (x)＝x3＋ax2－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是______________．
[－3，0]　[ f '(x)＝3x2＋2ax－a≥0在R上恒成立，所以4a2＋12a≤0，解得－3≤a≤0．]
[－3，0]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
一、单项选择题
1．(人教A版选择性必修第二册P86例1改编)已知函数f (x)＝2x－sin x，则下列结论正确的是(　　)
A．f (2.7)B．f (π)C．f (e)D．f (2.7)课时作业(二十三)　函数单调性的应用
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[ f '(x)＝2－cos x，因为cos x∈[－1，1]，所以f '(x)>0恒成立，所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增，因为2.7故选D．]
√
2．(人教B版选择性必修第三册P95练习BT1改编)对于R上可导的任意函数f (x)，若满足(x－1)f '(x)≥0，则必有(　　)
A．f (0)＋f (2)<2f (1) B．f (0)＋f (2)≤2f (1)
C．f (0)＋f (2)≥2f (1) D．f (0)＋f (2)>2f (1)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[由(x－1)f '(x)≥0，得①函数y＝f (x)在(－∞，1]上单调递减，f (0)>f (1)；函数y＝f (x)在[1，＋∞)上单调递增，f (2) >f (1)，所以f (0)＋f (2)>2f (1)．②若函数y＝f (x)为常数函数，则f (0)＋f (2)＝2f (1)．综合①②得f (0)＋f (2)≥2f (1)．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
3．(人教B版选择性必修第三册P113复习题B组T4改编)若函数f (x)＝ax3－3x2＋x＋1恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为(　　)
A．[3，＋∞) B．(－∞，3)
C．(－∞，0)∪(0，3) D．(－∞，0)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[由题意，函数f (x)的定义域为R，f '(x)＝3ax2－6x＋1，要使函数f (x)＝ax3－3x2＋x＋1恰有三个单调区间，则f '(x)＝0有两个不相等的实数根，∴得a<3且a≠0，故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
4．(2025·眉山期末)已知f (x)＝x3－ax在[2，3]上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A．(12，＋∞) B．[12，＋∞)
C．(－∞，12) D．(－∞，12]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[ f '(x)＝3x2－a，若f (x)在[2，3]上单调递增，则f '(x)≥0恒成立，即a≤3x2恒成立，
当x∈[2，3]时，12≤3x2≤27，所以只需a≤12即可．故选D．]
√
5．(2025·济南期末)定义在R上的函数f (x)的导函数为f '(x)，若f '(x) >3，f (2)＝6，则f (x)>3x的解集为(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，2)
C．(0，＋∞) D．(2，＋∞)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[令g(x)＝f (x)－3x，
因为f '(x)>3，
所以g'(x)＝f '(x)－3>0，
所以g(x)在R上单调递增，
因为f (2)＝6，所以g(2)＝f (2)－6＝0，
由f (x)>3x可得f (x)－3x>0，
即g(x)>g(2)，
所以x>2．
故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
6．(2025·景德镇期末)已知函数y＝f (x)的图象如图所示，则不等式x·f '(x)<0的解集为(　　)
A．(－1，0)∪(2，5)
B．(－1，2)∪(5，＋∞)
C．(－∞，0)∪(2，5)
D．(－∞，－1)∪(0，5)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[根据题意，由函数f (x)的图象可知，在区间(－∞，－1)上，f (x)单调递减，必有f '(x)<0，
在区间(－1，2)内，f (x)单调递增，必有f '(x)>0，
在区间(2，5)内，f (x)单调递减，必有f '(x)<0，
在区间(5，＋∞)上，f (x)单调递增，必有f '(x)>0，
若x·f '(x)<0，即解得2即不等式的解集为(－1，0)∪(2，5)．
故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
二、多项选择题　
7．(2025·钦州期末)若函数f (x)＝x2－9ln x在区间(m－1，m＋1)内单调，则实数m的值可以是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
ABD　[f '(x)＝x－(x>0)，
令f '(x)>0，得x>3，令f '(x)<0，得0所以函数f (x)的单调递增区间为(3，＋∞)，单调递减区间为(0，3)，
因为函数f (x)在区间(m－1，m＋1)内单调，
所以或m－1≥3，
解得1≤m≤2或m≥4．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
8．(2025·泸州期末)已知函数f (x)＝ln x－，设a＝f，b＝f (2)，c＝f，则(　　)
A．a>b B．b>a
C．c>a D．c>b
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
BCD　[因为f (x)＝ln x－(x>0)，
所以f '(x)＝，
又x∈(0，＋∞)时，ex>1，≥－，
所以f '(x)>0，
即f (x)在(0，＋∞)上单调递增，
故f >f (2)>f，即c>b>a．故选BCD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
9．(2025·德州期末)已知函数f (x)的定义域为R，其导函数f '(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)．下列结论正确的是(　　)
A．f (x)<0恒成立
B．(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]<0
C．f
D．f
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
BD　[由题图可知，导函数f '(x)的图象在x轴
下方，即f '(x)<0，故函数f (x)为减函数，
并且递减的速度是先快后慢，所以f (x)的
大致图象如图所示．
A中，f (x)<0恒成立，没有依据，故A不正确；
B表示(x1－x2)与[f (x1)－f (x2)]异号，即f (x)为减函数，故B正确；
C，D中不等式的左边为x1，x2的平均值对应的函数值，即图中点B的纵坐标，
右边为x1，x2对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标，显然左边的值小于右边的值，故C不正确，D正确．故选BD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
三、填空题
10．(2025·深圳期中)已知函数f (x)＝x－－aln x在(2，3)内单调递减，则实数a的取值范围是______________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
　
　[由已知得，f '(x)＝1＋，
题意等价于1＋≤0在(2，3)内恒成立，即a≥x＋在(2，3)内恒成立．
设h(x)＝x＋(x>0)，
由对勾函数性质知，h(x)在(2，3)内单调递增，
所以h(x)故得a≥，即实数a的取值范围是．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
11．已知函数f (x)为偶函数，且当x≥0时，f (x)＝ex＋x2－cos x，则不等式f (x－3)－f (2x－1)<0的解集为 ________________________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
　
　[当x≥0时，导函数f '(x)＝ex＋2x＋sin x，
因为x≥0，因此ex≥1，因此导函数f '(x)＝ex＋2x＋sin x>0，
因此当x≥0时，函数f (x)＝ex＋x2－cos x单调递增．
又f (x)为偶函数，因此当x<0时，函数单调递减，
因此f (x－3)－f (2x－1)<0，
等价于f (x－3)等价于|x－3|<|2x－1|，平方化简可得3x2＋2x－8>0，
解得x>或x<－2，因此解集为．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12．(2026·渭南模拟)已知函数f (x)＝－x2－3x＋4ln x在(t，t＋1)内不单调，则实数t的取值范围是______________．
(0，1)　[∵函数f (x)＝－x2－3x＋4ln x(x>0)，
∴f '(x)＝－x－3＋，∵函数f (x)＝－x2－3x＋4ln x在(t，t＋1)内不单调，
∴f '(x)＝－x－3＋在(t，t＋1)内有变号零点，
(0，1)　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
∴＝0在(t，t＋1)内有解，
∴x2＋3x－4＝0在(t，t＋1)内有解，
由x2＋3x－4＝0得x＝1或x＝－4(舍去)．
∴1∈(t，t＋1)，∴t∈(0，1)，
故实数t的取值范围是(0，1)．]
谢谢！课时作业(二十三)　函数单调性的应用
一、单项选择题
1．(人教A版选择性必修第二册P86例1改编)已知函数f (x)＝2x－sin x，则下列结论正确的是(　　)
A．f (2.7)B．f (π)C．f (e)D．f (2.7)2．(人教B版选择性必修第三册P95练习BT1改编)对于R上可导的任意函数f (x)，若满足(x－1)f ′(x)≥0，则必有(　　)
A．f (0)＋f (2)<2f (1)
B．f (0)＋f (2)≤2f (1)
C．f (0)＋f (2)≥2f (1)
D．f (0)＋f (2)>2f (1)
3．(人教B版选择性必修第三册P113复习题B组T4改编)若函数f (x)＝ax3－3x2＋x＋1恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为(　　)
A．[3，＋∞) B．(－∞，3)
C．(－∞，0)∪(0，3) D．(－∞，0)
4．(2025·眉山期末)已知f (x)＝x3－ax在[2，3]上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A．(12，＋∞) B．[12，＋∞)
C．(－∞，12) D．(－∞，12]
5．(2025·济南期末)定义在R上的函数f (x)的导函数为f ′(x)，若f ′(x)＞3，f (2)＝6，则f (x)＞3x的解集为(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，2)
C．(0，＋∞) D．(2，＋∞)
6．(2025·景德镇期末)已知函数y＝f (x)的图象如图所示，则不等式x·f ′(x)＜0的解集为(　　)
A．(－1，0)∪(2，5) B．(－1，2)∪(5，＋∞)
C．(－∞，0)∪(2，5) D．(－∞，－1)∪(0，5)
二、多项选择题　
7．(2025·钦州期末)若函数f (x)＝x2－9ln x在区间(m－1，m＋1)内单调，则实数m的值可以是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
8．(2025·泸州期末)已知函数f (x)＝ln x－，设a＝f，b＝f (2)，c＝f，则(　　)
A．a>b B．b>a
C．c>a D．c>b
9．(2025·德州期末)已知函数f (x)的定义域为R，其导函数f ′(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)．下列结论正确的是(　　)
A．f (x)<0恒成立
B．(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]<0
C．f>
D．f<
三、填空题
10．(2025·深圳期中)已知函数f (x)＝x－－a ln x在(2，3)内单调递减，则实数a的取值范围是________．
11．已知函数f (x)为偶函数，且当x≥0时，f (x)＝ex＋x2－cos x，则不等式f (x－3)－f (2x－1)＜0的解集为 ________．
12．(2026·渭南模拟)已知函数f (x)＝－x2－3x＋4ln x在(t，t＋1)内不单调，则实数t的取值范围是________．
课时作业(二十三)
1．D　[f'(x)＝2－cos x，因为cos x∈[－1，1]，所以f'(x)>0恒成立，所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增，因为2.7所以f (2.7)2．C　[由(x－1)f'(x)≥0，得①函数y＝f (x)在(－∞，1]上单调递减，f (0)>f (1)；函数y＝f (x)在[1，＋∞)上单调递增，f (2)>f (1)，所以f (0)＋f (2)>2f (1)．②若函数y＝f (x)为常数函数，则f (0)＋f (2)＝2f (1)．综合①②得f (0)＋f (2)≥2f (1)．故选C．]
3．C　[由题意，函数f (x)的定义域为R，f'(x)＝3ax2－6x＋1，要使函数f (x)＝ax3－3x2＋x＋1恰有三个单调区间，则f'(x)＝0有两个不相等的实数根，
∴得a<3且a≠0，故选C．]
4．D　[f'(x)＝3x2－a，若f (x)在[2，3]上单调递增，则f'(x)≥0恒成立，即a≤3x2恒成立，
当x∈[2，3]时，12≤3x2≤27，所以只需a≤12即可．
故选D．]
5．D　[令g(x)＝f (x)－3x，
因为f'(x)>3，
所以g'(x)＝f'(x)－3>0，
所以g(x)在R上单调递增，
因为f (2)＝6，所以g(2)＝f (2)－6＝0，
由f (x)>3x可得f (x)－3x>0，
即g(x)>g(2)，所以x>2．
故选D．]
6．A　[根据题意，由函数f (x)的图象可知，在区间(－∞，－1)上，f (x)单调递减，必有f'(x)<0，
在区间(－1，2)内，f (x)单调递增，必有f'(x)>0，
在区间(2，5)内，f (x)单调递减，必有f'(x)<0，
在区间(5，＋∞)上，f (x)单调递增，必有f'(x)>0，
若x·f'(x)<0，即
解得2即不等式的解集为(－1，0)∪(2，5)．
故选A．]
7．ABD　[f'(x)＝x－(x>0)，
令f'(x)>0，得x>3，令f'(x)<0，得0所以函数f (x)的单调递增区间为(3，＋∞)，单调递减区间为(0，3)，
因为函数f (x)在区间(m－1，m＋1)内单调，
所以或m－1≥3，
解得1≤m≤2或m≥4．]
8．BCD　[因为f (x)＝ln x－(x>0)，所以f'(x)＝，
又x∈(0，＋∞)时，ex>1，≥－，所以f'(x)>0，
即f (x)在(0，＋∞)上单调递增，
故f>f (2)>f，即c>b>a．故选BCD．]
9．BD　[由题图可知，导函数f'(x)的图象在x轴下方，即f'(x)<0，故函数f (x)为减函数，并且递减的速度是先快后慢，所以f (x)的大致图象如图所示．
A中，f (x)<0恒成立，没有依据，故A不正确；
B表示(x1－x2)与[f (x1)－f (x2)]异号，即f (x)为减函数，故B正确；
C，D中不等式的左边为x1，x2的平均值对应的函数值，即图中点B的纵坐标，
右边为x1，x2对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标，显然左边的值小于右边的值，故C不正确，D正确．故选BD．]
10．　[由已知得，f'(x)＝1＋，
题意等价于1＋≤0在(2，3)内恒成立，即a≥x＋在(2，3)内恒成立．
设h(x)＝x＋(x>0)，
由对勾函数性质知，h(x)在(2，3)内单调递增，
所以h(x)故得a≥，即实数a的取值范围是．]
11．∪　[当x≥0时，导函数f'(x)＝ex＋2x＋sin x，
因为x≥0，因此ex≥1，因此导函数f'(x)＝ex＋2x＋sin x>0，
因此当x≥0时，函数f (x)＝ex＋x2－cos x单调递增．
又f (x)为偶函数，因此当x<0时，函数单调递减，
因此f (x－3)－f (2x－1)<0，
等价于f (x－3)等价于|x－3|<|2x－1|，平方化简可得3x2＋2x－8>0，
解得x>或x<－2，因此解集为∪．]
12．(0，1)　[∵函数f (x)＝－x2－3x＋4ln x(x>0)，∴f'(x)＝－x－3＋，
∵函数f (x)＝－x2－3x＋4ln x在(t，t＋1)内不单调，
∴f'(x)＝－x－3＋在(t，t＋1)内有变号零点，
∴＝0在(t，t＋1)内有解，
∴x2＋3x－4＝0在(t，t＋1)内有解，
由x2＋3x－4＝0得x＝1或x＝－4(舍去)．
∴1∈(t，t＋1)，∴t∈(0，1)，
故实数t的取值范围是(0，1)．]
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