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第25课时　导数与函数的极值
[考试要求]　1．借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．会用导数求函数的极大值、极小值．3．会利用极值求参数．
知识点　函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f (x)在点x＝a处的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f ′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧________，右侧________．则a叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f (x)的极小值．
(2)函数的极大值
函数y＝f (x)在点x＝b处的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f ′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧________，右侧________．则b叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝f (x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为________，极小值和极大值统称为________．
[常用结论]
1．极值点不是点，若函数f (x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f (x1)．
2．有极值的函数一定不是单调函数．
1．(人教A版选择性必修第二册P92练习T1)已知函数f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x)的极大值点是________，极小值点是________．
2．(人教A版选择性必修第二册P91例5)函数f (x)＝x3－4x＋4的极大值为________，极小值为________．
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考点一　根据函数图象判断极值
[典例1]　(多选)(2025·九江期末)如图是函数y＝f (x)的导函数f ′(x)的图象，则下面判断正确的是(　　)
A．f (x)在(－3，1)内单调递增
B．f (x)在(1，2)内单调递减
C．当x＝2时，f (x)取得极大值
D．当x＝4时，f (x)取得极小值
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通性通法：由图象判断函数y＝f (x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f ′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f (x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f ′(x)的图象可以看出y＝f ′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f (x)的单调性．两者结合可得极值点．
考点二　求已知函数的极值
[典例2]　(2025·成都期末改编)求函数g(x)＝ax－ln (x＋1)(a∈R)的极值．
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通性通法：运用导数求函数f (x)极值的一般步骤：(1)确定函数f (x)的定义域；(2)求导数f ′(x)；(3)解方程f ′(x)＝0，求出导函数在定义域内的所有根；(4)判断f ′(x)在f ′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值．
[多维变迁]
(2025·南阳期末)已知函数f (x)＝x＋·ln x＋．
(1)求f ′(1)的值；
(2)求f (x)的极值．
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考点三　由函数的极值求参数
[典例3]　(1)若函数f (x)＝x(x－c)2在x＝－2处取极小值，则实数c＝(　　)
A．－6 B．－2
C．－6或－2 D．－4
(2)已知函数f (x)＝b ln x＋x2＋2ax＋a2－3a在x＝1处取得极小值，则的值为________．
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思维建模：知极值求参模型
第1步　极值点导数为0：可导函数存在极值的必要条件是极值点一阶导数为0．
第2步　求解：求方程或方程组的解．
第3步　检验：出现多解时，检验是否符合题中的极值情况．
[多维变迁]
　(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)若函数f (x)＝a ln x＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　)
A．bc＞0 B．ab＞0
C．b2＋8ac＞0 D．ac＜0
六个基本超越函数的图象
在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果．
　　
　　
[典例4]　(人教A版选择性必修第二册P95例7)给定函数f (x)＝(x＋1)ex．
(1)判断函数f (x)的单调性，并求出f (x)的极值；
(2)画出函数f (x)的大致图象；
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(3)求出方程f (x)＝a(a∈R)的解的个数．
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1．(链接考点一)(2025·泉州期中)已知函数f (x)的导函数f ′(x)的图象如图所示，则f (x)极小值点的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
2．(链接考点二)(2025·黄石期末)已知函数f (x)＝sin x＋x(0＜x＜π)，则f (x)(　　)
A．极大值为，无极小值
B．极小值为，无极大值
C．极大值为，无极小值
D．极小值为，无极大值
3．(链接考点三)(2026·保定模拟)已知函数f (x)＝(x－a2)(x－1)2在x＝1处取得极小值，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－1，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1，0) D．(0，1)
4．(链接考点三)(2025·全国二卷)若x＝2是函数f (x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的极值点，则f (0)＝________．
第25课时　导数与函数的极值
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点　(1)f'(x)<0　f'(x)>0
(2)f'(x)>0　f'(x)<0　(3)极值点　极值
链教材·夯基固本
1．x2　x4　[因为x2，x4处的导数都为零，且这两点左右两侧的导数值异号，所以x2，x4是函数的极值点．因为当x∈(x1，x2)时，f'(x)>0，当x∈(x2，x3)时，f'(x)<0，所以x2是极大值点．因为当x∈(x3，x4)时，f'(x)<0，当x∈(x4，x5)时，f'(x)>0，所以x4是极小值点．]
2．　－　[因为f (x)＝x3－4x＋4，
所以f'(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，
由f'(x)>0，得x<－2或x>2，
由f'(x)<0，得－2故f (x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，
在(－2，2)内单调递减，故f (x)的极大值为f (－2)＝，极小值为f (2)＝－．]
考点深研·题型突破
考点一
典例1　CD　[对于选项A，由题图知，当x∈(－3，1)时，f'(x)的符号有正有负，
f (x)不是单调函数，所以选项A错误；
对于选项B，由题图知，当x∈(1，2)时，f'(x)>0，f (x)单调递增，所以选项B错误；
对于选项C，由题图知f'(2)＝0，且在x＝2左侧附近，f'(x)>0，在x＝2右侧附近，f'(x)<0，所以x＝2是极大值点，f (x)在x＝2处取到极大值，所以选项C正确；
对于选项D，由题图知f'(4)＝0，且在x＝4左侧附近，f'(x)<0，在x＝4右侧附近，f'(x)>0，所以x＝4是极小值点，f (x)在x＝4处取到极小值，所以选项D正确．
故选CD．]
考点二
典例2　解：由题意知g(x)＝ax－ln(x＋1)的定义域为(－1，＋∞)，
则g'(x)＝a－，
①当a≤0时，g'(x)＝a－恒小于0，无极值；
②当a>0时，令g'(x)＝a－>0，则x>－1，当x变化时，g'(x)，g(x)的变化情况如表所示．
x －1
g'(x) － 0 ＋
g(x) 单调递减 极小值 单调递增
所以当x>－1时，g(x)单调递增，当－1所以g(x)在x＝－1处取得极小值g＝1－a＋ln a，无极大值．
综上所述，当a≤0时，g(x)在(－1，＋∞)上无极值；
当a>0时，g(x)在(－1，＋∞)上有极小值g＝1－a＋ln a，无极大值．
多维变迁
　解：(1)因为f (x)＝x＋ln x＋，x>0，
所以f'(x)＝1＋，
所以f'(1)＝1＋－3，解得f'(1)＝－4．
(2)由(1)可知f (x)＝x－2ln x＋，x>0，
所以f'(x)＝，
令f'(x)＝0，解得x＝－1(舍去)或x＝3，
所以当x变化时，f (x)，f'(x)的变化情况如表所示．
x (0，3) 3 (3，＋∞)
f'(x) － 0 ＋
f (x) 单调递减 4－2ln 3 单调递增
所以f (x)仅有极小值为f (3)＝4－2ln 3，无极大值．
考点三
典例3　(1)A　(2)－　[(1)第1步　极值点导数为0：可导函数存在极值的必要条件是极值点一阶导数为0．
由函数f (x)＝x(x－c)2，
可得f'(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)·(3x－c)，
因为函数f (x)在x＝－2处取得极小值，
可得f'(－2)＝0，
第2步　求解：求方程或方程组的解．
即(－2－c)(－6－c)＝0，
解得c＝－2或c＝－6，
第3步　检验：出现多解时，检验是否符合题中的极值情况．
当c＝－2时，令f'(x)>0，解得x<－2或x>－；令f'(x)<0，解得－2所以函数f (x)在(－∞，－2)上单调递增，在上单调递增，
所以f (x)在x＝－2处取极大值，不符合题意，舍去．
当c＝－6时，令f'(x)>0，可得x<－6或x>－2；令f'(x)<0，可得－6所以函数f (x)在(－∞，－6)上单调递增，在(－6，－2)内单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，
所以f (x)在x＝－2处取极小值，符合题意．
综上可得，c＝－6．故选A．
(2)对f (x)＝bln x＋x2＋2ax＋a2－3a求导，得f'(x)＝＋3x＋2a，
依题意得
即
解得
当a＝4，b＝－11时，f (x)＝－11ln x＋x2＋8x＋4，x>0，f'(x)＝－＋3x＋8＝，
当01时，f'(x)>0，f (x)在(1，＋∞)上单调递增，
即x＝1时，函数f (x)取得极小值f (1)＝＝－；
当a＝－3，b＝3时，f (x)＝3ln x＋x2－6x＋18，x>0，f'(x)＝＋3x－6＝≥0，即函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值，与题意不符，舍去．]
多维变迁
　BCD　[因为函数f (x)＝aln x＋(a≠0)，所以函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝，因为函数f (x)既有极大值也有极小值，则函数f'(x)在(0，＋∞)上有两个变号零点，而a≠0，所以关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正实根x1，x2，则
即
故选BCD．]
微点突破6
典例4　解：(1)函数的定义域为R．
f'(x)＝(x＋1)'ex＋(x＋1)(ex)'
＝ex＋(x＋1)ex
＝(x＋2)ex．
令f'(x)＝0，解得x＝－2．
f'(x)，f (x)的变化情况如下表所示．
x (－∞，－2) －2 (－2，＋∞)
f'(x) － 0 ＋
f (x) 单调递减 － 单调递增
所以，f (x)在区间(－∞，－2)上单调递减，在区间(－2，＋∞)上单调递增．
当x＝－2时，f (x)有极小值f (－2)＝－．
(2)令f (x)＝0，解得x＝－1．
当x<－1时，f (x)<0；当x>－1时，f (x)>0．
所以，f (x)的图象经过特殊点A，B(－1，0)，C(0，1)．
当x→－∞时，与一次函数相比，指数函数y＝e-x呈爆炸性增长，从而f (x)＝→0；
当x→＋∞时，f (x)→＋∞，f'(x)→＋∞．
根据以上信息，画出f (x)的大致图象如图所示．
(3)方程f (x)＝a(a∈R)的解的个数为函数y＝f (x)的图象与直线y＝a的交点个数．
由(1)及图可得，当x＝－2时，f (x)有最小值f (－2)＝－．
所以，关于方程f (x)＝a(a∈R)的解的个数有如下结论：
当a<－时，解为0个；
当a＝－或a≥0时，解为1个；
当－随堂·对点检测
1．C　[如图，设f'(x)与x轴的交点的横坐标为a，0，b，c，其中a<0由图象可得x当a0，
当00，
当b当x>c时，f'(x)>0，
所以x＝a，x＝c是f (x)的极小值点，x＝b是f (x)的极大值点，
故f (x)极小值点的个数为2．
故选C．]
2．A　[f'(x)＝cos x＋，
由f'(x)＝0，得cos x＝－，结合x∈(0，π)，可得x＝，
因为当x∈时，f'(x)>0，当x∈时，f'(x)<0．
所以f (x)在内单调递减，
可知当x＝时，f (x)取得极大值，极大值为f，无极小值．
故选A．]
3．A　[函数f (x)＝(x－a2)(x－1)2，
则f'(x)＝(x－1)2＋2(x－a2)(x－1)＝(x－1)(3x－1－2a2)，
令f'(x)＝0，可得x＝1或x＝，
因为函数f (x)在x＝1处取得极小值，
所以在x＝1两侧导数需满足左负右正，
所以<1，解得－1故选A．]
4．－4　[f'(x)＝(x－2)'[(x－1)(x－a)]＋(x－2)[(x－1)(x－a)]'＝(x－1)(x－a)＋(x－2)[(x－1)(x－a)]'，因为x＝2是函数f (x)的极值点，所以f'(2)＝0，即(2－1)(2－a)＝0，则a＝2，经检验，满足题意，所以f (x)＝(x－1)(x－2)2，
所以f (0)＝－4．]
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第三章　一元函数的导数及其应用
第25课时　导数与函数的极值
[考试要求]　1．借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．会用导数求函数的极大值、极小值．3．会利用极值求参数．
理法先行·题练固本
知识点　函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f (x)在点x＝a处的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f '(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧_____________，右侧_____________．则a叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f (x)的极小值．
f '(x)<0
f '(x)>0
(2)函数的极大值
函数y＝f (x)在点x＝b处的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f '(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧_____________，右侧_____________．则b叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝f (x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为______，极小值和极大值统称为____．
f '(x)>0
　f '(x)<0　
极值点
极值
[常用结论]
1．极值点不是点，若函数f (x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f (x1)．
2．有极值的函数一定不是单调函数．
1．(人教A版选择性必修第二册P92练习T1)已知函数f (x)的导函数y＝f '(x)的图象如图所示，则函数f (x)的极大值点是______________，极小值点是______________．
x2
　x4
x2　x4　[因为x2，x4处的导数都为零，且这两点左右两侧的导数值异号，所以x2，x4是函数的极值点．因为当x∈(x1，x2)时，f '(x)>0，当x∈(x2，x3)时，f '(x)<0，所以x2是极大值点．因为当x∈(x3，x4)时，f '(x) <0，当x∈(x4，x5)时，f '(x)>0，所以x4是极小值点．]
2．(人教A版选择性必修第二册P91例5)函数f (x)＝x3－4x＋4的极大值为______________，极小值为______________．
　－　[因为f (x)＝x3－4x＋4，
所以f '(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，
由f '(x)>0，得x<－2或x>2，
由f '(x)<0，得－2故f (x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，
在(－2，2)内单调递减，故f (x)的极大值为f (－2)＝，极小值为f (2)＝－．]
　
－　
考点深研·题型突破
考点一　根据函数图象判断极值
[典例1]　(多选)(2025·九江期末)如图是函数y＝f (x)的导函数f '(x)的图象，则下面判断正确的是(　　)
A．f (x)在(－3，1)内单调递增
B．f (x)在(1，2)内单调递减
C．当x＝2时，f (x)取得极大值
D．当x＝4时，f (x)取得极小值
√
√
CD　[对于选项A，由题图知，当x∈(－3，1)时，f '(x)的符号有正有负，
f (x)不是单调函数，所以选项A错误；
对于选项B，由题图知，当x∈(1，2)时，f '(x)>0，f (x)单调递增，所以选项B错误；
对于选项C，由题图知f '(2)＝0，且在x＝2左侧附近，f '(x)>0，在x＝2右侧附近，f '(x)<0，所以x＝2是极大值点，f (x)在x＝2处取到极大值，所以选项C正确；
对于选项D，由题图知f '(4)＝0，且在x＝4左侧附近，f '(x)<0，在x＝4右侧附近，f '(x)>0，所以x＝4是极小值点，f (x)在x＝4处取到极小值，所以选项D正确．
故选CD．]
通性通法：由图象判断函数y＝f (x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f '(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f (x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f '(x)的图象可以看出y＝f '(x)的值的正负，从而可得函数y＝f (x)的单调性．两者结合可得极值点．
考点二　求已知函数的极值
[典例2]　(2025·成都期末改编)求函数g(x)＝ax－ln(x＋1)(a∈R)的极值．
[解]　由题意知g(x)＝ax－ln(x＋1)的定义域为(－1，＋∞)，
则g'(x)＝a－，
①当a≤0时，g'(x)＝a－恒小于0，无极值；
②当a>0时，令g'(x)＝a－>0，则x>－1，当x变化时，g'(x)，g(x)的变化情况如表所示．
x －1
g'(x) － 0 ＋
g(x) 单调递减 极小值 单调递增
所以当x>－1时，g(x)单调递增，当－1所以g(x)在x＝－1处取得极小值g＝1－a＋ln a，无极大值．
综上所述，当a≤0时，g(x)在(－1，＋∞)上无极值；
当a>0时，g(x)在(－1，＋∞)上有极小值g＝1－a＋ln a，无极大值．
通性通法：运用导数求函数f (x)极值的一般步骤：(1)确定函数f (x)的定义域；(2)求导数f '(x)；(3)解方程f '(x)＝0，求出导函数在定义域内的所有根；(4)判断f '(x)在f '(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值．
[多维变迁]
(2025·南阳期末)已知函数f (x)＝x＋ln x＋．
(1)求f '(1)的值；
(2)求f (x)的极值．
[解]　(1)因为f (x)＝x＋ln x＋，x>0，
所以f '(x)＝1＋，
所以f '(1)＝1＋－3，解得f '(1)＝－4．
(2)由(1)可知f (x)＝x－2ln x＋，x>0，
所以f '(x)＝，
令f '(x)＝0，解得x＝－1(舍去)或x＝3，
所以当x变化时，f (x)，f '(x)的变化情况如表所示．
所以f (x)仅有极小值为f (3)＝4－2ln 3，无极大值．
x (0，3) 3 (3，＋∞)
f '(x) － 0 ＋
f (x) 单调递减 4－2ln 3 单调递增
考点三　由函数的极值求参数
[典例3]　(1)若函数f (x)＝x(x－c)2在x＝－2处取极小值，则实数c＝
(　　)
A．－6 B．－2
C．－6或－2 D．－4
(2)已知函数f (x)＝bln x＋x2＋2ax＋a2－3a在x＝1处取得极小值，则的值为______________．
√
－　
(1)A　(2)－　[(1)第1步　极值点导数为0：可导函数存在极值的必要条件是极值点一阶导数为0．
由函数f (x)＝x(x－c)2，
可得f '(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)·(3x－c)，
因为函数f (x)在x＝－2处取得极小值，
可得f '(－2)＝0，
第2步　求解：求方程或方程组的解．
即(－2－c)(－6－c)＝0，
解得c＝－2或c＝－6，
第3步　检验：出现多解时，检验是否符合题中的极值情况．
当c＝－2时，令f '(x)>0，解得x<－2或x>－；令f '(x)<0，解得－2所以函数f (x)在(－∞，－2)上单调递增，在上单调递增，
所以f (x)在x＝－2处取极大值，不符合题意，舍去．
当c＝－6时，令f '(x)>0，可得x<－6或x>－2；令f '(x)<0，可得－6所以函数f (x)在(－∞，－6)上单调递增，在(－6，－2)内单调递减，在
(－2，＋∞)上单调递增，
所以f (x)在x＝－2处取极小值，符合题意．
综上可得，c＝－6．故选A．
(2)对f (x)＝bln x＋x2＋2ax＋a2－3a求导，得f '(x)＝＋3x＋2a，依题意得
即
解得
当a＝4，b＝－11时，f (x)＝－11ln x＋x2＋8x＋4，x>0，f '(x)＝－＋3x＋8＝，
当01时，f '(x)>0，
f (x)在(1，＋∞)上单调递增，
即x＝1时，函数f (x)取得极小值f (1)＝＝－；
当a＝－3，b＝3时，f (x)＝3ln x＋x2－6x＋18，x>0，f '(x)＝＋3x－6＝≥0，即函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值，与题意不符，舍去．]
思维建模：知极值求参模型
第1步　极值点导数为0：可导函数存在极值的必要条件是极值点一阶导数为0．
第2步　求解：求方程或方程组的解．
第3步　检验：出现多解时，检验是否符合题中的极值情况．
【教用·易错提醒】
(1)不能忽略函数的定义域．
(2)f '(x0)＝0是可导函数f (x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件，即f '(x)的变号零点才是f (x)的极值点，所以判断f (x)的极值点时，除了找f '(x)＝0的实数根x0外，还需判断f (x)在x0左侧和右侧的单调性．
(3)函数的极小值不一定比极大值小．
[多维变迁]
(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)若函数f (x)＝aln x＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　)
A．bc>0 B．ab>0
C．b2＋8ac>0 D．ac<0
√
√
√
BCD　[因为函数f (x)＝aln x＋(a≠0)，所以函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f '(x)＝，因为函数f (x)既有极大值也有极小值，则函数f '(x)在(0，＋∞)上有两个变号零点，而a≠0，所以关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正实根x1，x2，则
即故选BCD．]
【教用·备选题】
(2025·福州期末)若函数f (x)＝2x＋ln x＋在其定义域内的区间(2m－1，2m)内有极值点，则实数m的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
√
C　[f '(x)＝2＋，x>0，
当x∈时，f '(x)>0，当x∈时，f '(x)<0，
所以函数f (x)的单调递增区间为，
则依题意有0≤2m－1<<2m，可得m∈．
故选C．]
微点突破6　六个基本超越函数的图象
在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果．
[典例4]　(人教A版选择性必修第二册P95例7)给定函数f (x)＝(x＋1)ex．
(1)判断函数f (x)的单调性，并求出f (x)的极值；
(2)画出函数f (x)的大致图象；
(3)求出方程f (x)＝a(a∈R)的解的个数．
[解]　(1)函数的定义域为R．
f '(x)＝(x＋1)'ex＋(x＋1)(ex)'
＝ex＋(x＋1)ex
＝(x＋2)ex．
令f '(x)＝0，解得x＝－2．
f '(x)，f (x)的变化情况如下表所示．
x (－∞，－2) －2 (－2，＋∞)
f '(x) － 0 ＋
f (x) 单调递减 － 单调递增
所以，f (x)在区间(－∞，－2)上单调递减，在区间(－2，＋∞)上单调递增．
当x＝－2时，f (x)有极小值f (－2)＝－．
(2)令f (x)＝0，解得x＝－1．
当x<－1时，f (x)<0；当x>－1时，f (x)>0．
所以，f (x)的图象经过特殊点A，B(－1，0)，C(0，1)．
当x→－∞时，与一次函数相比，指数函数y＝e-x呈爆炸性增长，从而f (x)＝→0；
当x→＋∞时，f (x)→＋∞，f '(x)→＋∞．
根据以上信息，画出f (x)的大致图象如图所示．
(3)方程f (x)＝a(a∈R)的解的个数为函数y＝f (x)的图象与直线y＝a的交点个数．
由(1)及图可得，当x＝－2时，f (x)有最小值f (－2)＝－．
所以，关于方程f (x)＝a(a∈R)的解的个数有如下结论：
当a<－时，解为0个；
当a＝－或a≥0时，解为1个；
当－1．(链接考点一)(2025·泉州期中)已知函数f (x)的导函数f '(x)的图象如图所示，则f (x)极小值点的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
√
C　[如图，设f '(x)与x轴的交点的横坐标为a，0，b，c，其中a<0由图象可得x当a0，
当00，
当b当x>c时，f '(x)>0，
所以x＝a，x＝c是f (x)的极小值点，x＝b是f (x)的极大值点，
故f (x)极小值点的个数为2．
故选C．]
2．(链接考点二)(2025·黄石期末)已知函数f (x)＝sin x＋x(0A．极大值为，无极小值
B．极小值为，无极大值
C．极大值为，无极小值
D．极小值为，无极大值
√
A　[ f '(x)＝cos x＋，
由f '(x)＝0，得cos x＝－，结合x∈(0，π)，可得x＝，
因为当x∈时，f '(x)>0，当x∈时，f '(x)<0．
所以f (x)在内单调递减，
可知当x＝时，f (x)取得极大值，极大值为f ，无极小值．
故选A．]
3．(链接考点三)(2026·保定模拟)已知函数f (x)＝(x－a2)(x－1)2在x＝1处取得极小值，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－1，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1，0) D．(0，1)
√
A　[函数f (x)＝(x－a2)(x－1)2，
则f '(x)＝(x－1)2＋2(x－a2)(x－1)＝(x－1)·(3x－1－2a2)，
令f '(x)＝0，可得x＝1或x＝，
因为函数f (x)在x＝1处取得极小值，
所以在x＝1两侧导数需满足左负右正，
所以<1，解得－1故选A．]
4．(链接考点三)(2025·全国二卷)若x＝2是函数f (x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的极值点，则f (0)＝______________．
－4　[f '(x)＝(x－2)'[(x－1)(x－a)]＋(x－2)[(x－1)(x－a)]'＝(x－1)(x－a)＋(x－2)[(x－1)(x－a)]'，因为x＝2是函数f (x)的极值点，所以f '(2)＝0，即(2－1)(2－a)＝0，则a＝2，经检验，满足题意，所以f (x)＝(x－1)(x－2)2，所以f (0)＝－4．]
－4
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
一、单项选择题
1．(2025·赤峰期末)函数f (x)＝x－sin x在(0，＋∞)上(　　)
A．既无极大值也无极小值　
B．有极小值无极大值　
C．既有极大值又有极小值　
D．有极大值无极小值
√
课时作业(二十五)　导数与函数的极值
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
A　[根据题意导函数f '(x)＝1－cos x≥0恒成立，
因此函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f (x)既无极大值也无极小值．
故选A．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
2．(2025·喀什期末)函数f (x)＝ex－x－2的极小值点为(　　)
A．－2 B．－1
C．0 D．1
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
C　[由题意可知f (x)的定义域为R，且f '(x)＝ex－1，
令f '(x)＝0，可得x＝0，
当x<0时，f '(x)<0，f (x)单调递减，
当x>0时，f '(x)>0，f (x)单调递增，
所以x＝0是f (x)的极小值点．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
3．(2025·广州期末)已知x＝1是函数f (x)＝x3－3ax＋2的极小值点，那么函数f (x)的极大值为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
D　[因为f (x)＝x3－3ax＋2，x∈R，
所以f '(x)＝3x2－3a，
又因为x＝1是函数f (x)的极小值点，
所以f '(1)＝3－3a＝0，
解得a＝1，
所以f (x)＝x3－3x＋2，f '(x)＝3x2－3，
令f '(x)＝3x2－3＝0，得x1＝－1，x2＝1，
所以当x∈(－∞，－1)时，f '(x)>0，f (x)单调递增；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
当x∈(－1，1)时，f '(x)<0，f (x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f '(x)>0，f (x)单调递增，
所以f (x)在x＝－1处取极大值，在x＝1处取极小值，
所以f (x)的极大值为f (－1)＝－1＋3＋2＝4．
故选D．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
4．(2025·汕头一模)设a∈R，若函数f (x)＝x3－x2＋x＋2在(1，2)内存在极值点，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C．(－∞，3) D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
B　[由题意可得f '(x)＝2x2－ax＋1，
若函数f (x)在(1，2)内存在极值点，
则f '(x)在(1，2)内有变号零点，
即ax＝2x2＋1在(1，2)内有解，
即a＝2x＋在(1，2)内有解，
等价于直线y＝a与函数y＝2x＋在(1，2)内的图象有交点，
因为y＝2x＋在(1，2)内单调递增，
所以y＝2x＋，
所以a∈．
故选B．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
二、多项选择题
5．(2026·吉安模拟)若x＝－2是函数f (x)＝(x2＋ax－1)ex-1的极值点，则下面结论正确的为(　　)
A．a＝－1
B．f (x)的单调递增区间为(－2，1)
C．f (x)的极小值为1
D．f (x)的极大值为5e-3
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
AD　[由题可得f '(x)＝ex-1[x2＋(a＋2)x＋a－1]，x∈R，
因为x＝－2是函数f (x)＝(x2＋ax－1)ex-1的极值点，
所以f '(－2)＝0，则4－2(a＋2)＋a－1＝0，解得a＝－1，故f (x)＝(x2－x－1)ex-1，
f '(x)＝ex-1(x2＋x－2)＝(x－1)(x＋2)ex-1，
当x<－2时，f '(x)>0，f (x)单调递增；
当－2题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
当x>1时，f '(x)>0，f (x)单调递增，
故f (x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(1，＋∞)，
单调递减区间为(－2，1)，故A正确，B错误．
由上可知，f (x)的极大值为f (－2)＝5e-3，极小值为f (1)＝－1，故C错误，D正确．故选AD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
6．(2025·全国二卷)已知f (x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f (x)＝(x2－3)ex＋2，则(　　)
A．f (0)＝0
B．当x<0时，f (x)＝－(x2－3)e-x－2
C．f (x)≥2，当且仅当x≥
D．x＝－1是f (x)的极大值点
√
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
ABD　[因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (0)＝0，故A正确；当x<0时，－x>0，因此f (－x)＝[(－x)2－3]e-x＋2＝－f (x)，因此f (x)＝－(x2－3)e-x－2，故B正确；当x>0时，f (x)＝(x2－3)·ex＋2，f '(x)＝(x2＋2x－3)·ex＝(x＋3)(x－1)ex，令f '(x)>0，得x>1，令f '(x)<0，得00时，f (x)≥2，即(x2－3)·ex≥0，解得x≥，当x<0时，f (x)在x＝－1处取得极大值，f (－1)＝－(1－3)e－2＝2e－2>2，因此在(－∞，0)上也存在满足f (x)≥2的区间，故C错误．故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
三、填空题
7．(2024·全国甲卷改编)已知函数f (x)＝(1＋2x)·ln(1＋x)－x，则f (x)的极小值为______________．
0　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
0　[函数f (x)的定义域为(－1，＋∞)，则f '(x)＝2ln(1＋x)＋，令F(x)＝2ln(1＋x)＋(x>－1)，则F'(x)＝，可得F'(x)>0在(－1，＋∞)上恒成立，则F(x)在(－1，＋∞)上单调递增，又F(0)＝0，所以当－10时，F(x)>0，即f '(x)>0，f (x)单调递增，所以f (x)在x＝0处取得极小值，
f (x)极小值＝f (0)＝0．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
8．(2026·儋州模拟)已知函数f (x)＝ln x＋ax2－2x有两个极值点，则实数a的取值范围是______________．
(0，2)　[f (x)＝ln x＋ax2－2x的定义域为(0，＋∞)，且导函数f '(x)＝＋ax－2，
因此方程ax2－2x＋1＝0在x∈(0，＋∞)时有两个不等的正实根x1，x2，
(0，2)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
根据根与系数的关系可得，解得0所以实数a的取值范围是(0，2)．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
四、解答题
9．(2026·乌兰察布模拟)已知函数f (x)＝(x2－ax－a)ex在(0，f (0))处的切线垂直于直线2x＋y＋1＝0．
(1)求实数a的值；
(2)求f (x)的极值．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
[解]　(1)因为直线2x＋y＋1＝0的斜率为k＝－2，
又函数f (x)＝(x2－ax－a)ex在(0，f (0))处的切线垂直于直线2x＋y＋1＝0，
所以函数f (x)＝(x2－ax－a)ex在(0，f (0))处的切线斜率为，
所以f '(0)＝，
由f '(x)＝(2x－a)ex＋(x2－ax－a)ex＝(x2＋2x－ax－2a)ex，
所以f '(0)＝－2a＝，解得a＝－．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
(2)由(1)知，f (x)＝ex，
则f '(x)＝ex(x＋2)，
令f '(x)＝ex(x＋2)＝0，可得x＝－2或x＝－．
当x∈(－∞，－2)时，f '(x)>0，函数f (x)单调递增；
当x∈时，f '(x)<0，函数f (x)单调递减；
当x∈时，f '(x)>0，函数f (x)单调递增，
故当x＝－2时，f (x)取极大值，极大值为f (－2)＝，
当x＝－时，函数f (x)取极小值，极小值为f．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
10．(2025·上海卷节选)已知f (x)＝x2－(m＋2)x＋mln x，m∈R．若函数y＝f (x)满足在(0，＋∞)上存在极大值，求实数m的取值范围．
[解]　由题意，f '(x)＝2x－(m＋2)＋，x>0．
当m≤0时，2x－m>0，令f '(x)＝>0，解得x>1，
令f '(x)<0，解得0故f (x)在(0，1)内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故f (x)无极大值，不成立；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
当m＝2时，f '(x)＝≥0恒成立，f (x)在(0，＋∞)上单调递增，故f (x)无极大值，不成立；
当00，解得x>1或0故f (x)在和 (1，＋∞)上单调递增，在内单调递减，故f (x)在x＝处取得极大值；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
当m>2时，令f '(x)＝>0，解得x>或0故f (x)在(0，1)和内单调递减，故f (x)在x＝1处取得极大值，
综上，实数m的取值范围为(0，2)∪(2，＋∞)．
谢谢！课时作业(二十五)　导数与函数的极值
一、单项选择题
1．(2025·赤峰期末)函数f (x)＝x－sin x在(0，＋∞)上(　　)
A．既无极大值也无极小值　
B．有极小值无极大值　
C．既有极大值又有极小值　
D．有极大值无极小值
2．(2025·喀什期末)函数f (x)＝ex－x－2的极小值点为(　　)
A．－2 B．－1
C．0 D．1
3．(2025·广州期末)已知x＝1是函数f (x)＝x3－3ax＋2的极小值点，那么函数f (x)的极大值为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
4．(2025·汕头一模)设a∈R，若函数f (x)＝x2＋x＋2在(1，2)内存在极值点，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
D．
二、多项选择题
5．(2026·吉安模拟)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex-1的极值点，则下面结论正确的为(　　)
A．a＝－1
B．f(x)的单调递增区间为(－2，1)
C．f(x)的极小值为1
D．f(x)的极大值为5e-3
6．(2025·全国二卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝(x2－3)ex＋2，则(　　)
A．f(0)＝0
B．当x<0时，f(x)＝－(x2－3)e－x－2
C．f(x)≥2，当且仅当x≥
D．x＝－1是f(x)的极大值点
三、填空题
7．(2024·全国甲卷改编)已知函数f(x)＝(1＋2x)ln (1＋x)－x，则f(x)的极小值为________．
8．(2026·儋州模拟)已知函数f(x)＝ln x＋ax2－2x有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
四、解答题
9．(13分)(2026·乌兰察布模拟)已知函数f(x)＝(x2－ax－a)ex在(0，f(0))处的切线垂直于直线2x＋y＋1＝0.
(1)求实数a的值；
(2)求f(x)的极值．
10．(15分)(2025·上海卷节选)已知f(x)＝x2－(m＋2)x＋m ln x，m∈R.若函数y＝f(x)满足在(0，＋∞)上存在极大值，求实数m的取值范围．
课时作业(二十五)
1．A　[根据题意导函数f'(x)＝1－cos x≥0恒成立，
因此函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f (x)既无极大值也无极小值．
故选A．]
2．C　[由题意可知f (x)的定义域为R，且f'(x)＝ex－1，
令f'(x)＝0，可得x＝0，
当x<0时，f'(x)<0，f (x)单调递减，
当x>0时，f'(x)>0，f (x)单调递增，
所以x＝0是f (x)的极小值点．
故选C．]
3．D　[因为f (x)＝x3－3ax＋2，x∈R，
所以f'(x)＝3x2－3a，
又因为x＝1是函数f (x)的极小值点，
所以f'(1)＝3－3a＝0，
解得a＝1，
所以f (x)＝x3－3x＋2，f'(x)＝3x2－3，
令f'(x)＝3x2－3＝0，得x1＝－1，x2＝1，
所以当x∈(－∞，－1)时，f'(x)>0，f (x)单调递增；
当x∈(－1，1)时，f'(x)<0，f (x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f'(x)>0，f (x)单调递增，
所以f (x)在x＝－1处取极大值，在x＝1处取极小值，
所以f (x)的极大值为f (－1)＝－1＋3＋2＝4．
故选D．]
4．B　[由题意可得f'(x)＝2x2－ax＋1，
若函数f (x)在(1，2)内存在极值点，
则f'(x)在(1，2)内有变号零点，
即ax＝2x2＋1在(1，2)内有解，
即a＝2x＋在(1，2)内有解，
等价于直线y＝a与函数y＝2x＋在(1，2)内的图象有交点，
因为y＝2x＋在(1，2)内单调递增，
所以y＝2x＋∈，
所以a∈．
故选B．]
5．AD　[由题可得f'(x)＝ex-1[x2＋(a＋2)x＋a－1]，x∈R，
因为x＝－2是函数f (x)＝(x2＋ax－1)·ex-1的极值点，
所以f'(－2)＝0，则4－2(a＋2)＋a－1＝0，解得a＝－1，
故f (x)＝(x2－x－1)ex-1，
f'(x)＝ex-1(x2＋x－2)＝(x－1)(x＋2)ex-1，
当x<－2时，f'(x)>0，f (x)单调递增；
当－2当x>1时，f'(x)>0，f (x)单调递增，
故f (x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(1，＋∞)，
单调递减区间为(－2，1)，故A正确，B错误．
由上可知，f (x)的极大值为f (－2)＝5e-3，极小值为f (1)＝－1，故C错误，D正确．故选AD．]
6．ABD　[因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (0)＝0，故A正确；当x<0时，－x>0，因此f (－x)＝[(－x)2－3]e-x＋2＝－f (x)，因此f (x)＝－(x2－3)e-x－2，故B正确；当x>0时，f (x)＝(x2－3)·ex＋2，f'(x)＝(x2＋2x－3)ex＝(x＋3)(x－1)·ex，令f'(x)>0，得x>1，令f'(x)<0，得00时，f (x)≥2，即(x2－3)·ex≥0，解得x≥，当x<0时，f (x)在x＝－1处取得极大值，f (－1)＝－(1－3)·e－2＝2e－2>2，因此在(－∞，0)上也存在满足f (x)≥2的区间，故C错误．故选ABD．]
7.0　[函数f (x)的定义域为(－1，＋∞)，则f'(x)＝2ln(1＋x)＋，令F(x)＝2ln(1＋x)＋(x>－1)，则F'(x)＝，可得F'(x)>0在(－1，＋∞)上恒成立，则F(x)在(－1，＋∞)上单调递增，又F(0)＝0，所以当－10时，F(x)>0，即f'(x)>0，f (x)单调递增，所以f (x)在x＝0处取得极小值，f (x)极小值＝f (0)＝0．]
8．(0，2)　[f (x)＝ln x＋ax2－2x的定义域为(0，＋∞)，且导函数f'(x)＝＋ax－2，
因此方程ax2－2x＋1＝0在x∈(0，＋∞)时有两个不等的正实根x1，x2，
根据根与系数的关系可得
，解得0所以实数a的取值范围是(0，2)．]
9．解：(1)因为直线2x＋y＋1＝0的斜率为k＝－2，
又函数f (x)＝(x2－ax－a)ex在(0，f (0))处的切线垂直于直线2x＋y＋1＝0，
所以函数f (x)＝(x2－ax－a)ex在(0，f (0))处的切线斜率为，所以f'(0)＝，
由f'(x)＝(2x－a)ex＋(x2－ax－a)ex＝(x2＋2x－ax－2a)ex，
所以f'(0)＝－2a＝，解得a＝－．
(2)由(1)知，f (x)＝ex，
则f'(x)＝ex(x＋2)，
令f'(x)＝ex(x＋2)＝0，可得x＝－2或x＝－．
当x∈(－∞，－2)时，f'(x)>0，函数f (x)单调递增；
当x∈时，f'(x)<0，函数f (x)单调递减；
当x∈时，f'(x)>0，函数f (x)单调递增，
故当x＝－2时，f (x)取极大值，极大值为f (－2)＝，
当x＝－时，函数f (x)取极小值，极小值为f．
10．解：由题意，f'(x)＝2x－(m＋2)＋，
x>0．
当m≤0时，2x－m>0，令f'(x)＝>0，解得x>1，
令f'(x)<0，解得0故f (x)在(0，1)内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故f (x)无极大值，不成立；
当m＝2时，f'(x)＝≥0恒成立，f (x)在(0，＋∞)上单调递增，故f (x)无极大值，不成立；
当00，解得x>1或0故f (x)在和 (1，＋∞)上单调递增，在内单调递减，故f (x)在x＝处取得极大值；
当m>2时，令f'(x)＝>0，解得x>或0故f (x)在(0，1)和内单调递减，故f (x)在x＝1处取得极大值，
综上，实数m的取值范围为(0，2)∪(2，＋∞)．
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