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第26课时　导数与函数的最值
[考试要求]　1．理解函数最值与极值的关系．2．会求闭区间上函数的最大值、最小值．3．了解最值在现实生活中的应用．
知识点1　函数的最大(小)值
(1)函数f (x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)若函数f (x)在[a，b]上单调递增，则________为函数的最小值，________为函数的最大值；若函数f (x)在[a，b]上单调递减，则________为函数的最大值，__________为函数的最小值．
知识点2　求函数y＝f (x)在区间[a，b]
上的最大(小)值的步骤
(1)求函数y＝f (x)在区间(a，b)内的________；
(2)将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是____________值，最小的一个是____________值．
[常用结论]
1．若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则其极值点为函数的最值点．
2．若函数在闭区间[a，b]上的最值点不是端点，则其最值点亦为其极值点．
1．(湘教版选择性必修第二册P49复习题一T7改编)已知f (x)＝x3－12x＋1，x∈，则f (x)的最大值为________，最小值为________．
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2．(人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5T14)用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边的长比另一边的长多0.5 m，那么高为________m时，容器的容积最大，最大容积为________m3．
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3．(用结论)函数f (x)＝x ln x在上的最大值是________．
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考点一　求已知函数的最值
　不含参数的函数的最值
[典例1]　(人教A版选择性必修第二册P93例6改编)求函数f (x)＝x3－x2－x＋1在区间上的最大值和最小值．
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通性通法：求函数f (x)在[a，b]上的最值时：
(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f (a)与f (b)一个为最大值，一个为最小值．
(2)若函数在闭区间[a，b]上有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f (a)，f (b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．
　含参函数的最值
[典例2]　求函数f (x)＝x3－ax2－a2x在[0，＋∞)上的最小值．
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[母题探究]
(综合变式)当a>0时，求函数f (x)＝x3－ax2－a2x在[－a，2a]上的最值．
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通性通法：求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f (x)的最值．
考点二　由函数的最值求参数(范围)
[典例3]　(2025·莆田期中)已知函数f (x)＝(x＞1)有最大值－8，则实数a的值为(　　)
A．－2 B．－4
C．－8 D．－12
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通性通法：已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．
[多维变迁]
(2025·湘豫名校联考)已知函数f (x)＝x3－3x2＋3在区间(a，a＋6)内存在最小值，则实数a的取值范围为(　　)
A．[－1，2) B．
C． D．[－1，1)
考点三　生活中的优化问题
[典例4]　(2025·日照月考)某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元．种植x万千克莲藕的销售额(单位：万元)是f (x)＝－x3＋x2＋x，则要使利润最大，每年需种植莲藕________ 万千克．
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通性通法：解决最优化问题，应从以下几个方面入手：
(1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域；
(2)在实际应用问题中，若函数f (x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点．
[多维变迁]
(2025·吉安月考)已知某厂生产某种产品x件的总成本C(x)＝1 200＋x2(单位： 万元)，产品单价的平方与产品件数x成反比．若生产100件这样的产品，单价为50万元，则产量定为________ 件时总利润最大．
1．(链接考向1)(2025·乌鲁木齐天山区期中)函数f (x)＝xex的最小值为(　　)
A． B．1
C．－ D．e2
2．(链接考点二)(2025·天津期中)若函数f (x)＝x3＋x2在区间(a－1，a＋5)内存在最小值，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－5，1) B．(－5，1)
C．[－2，1) D．(－2，1)
3．(链接考向2)(多选)(2025·鹤壁二模)已知函数g(x)＝＋ln x，x∈(0，e]，则(　　)
A．当a≤0时，g(x)有最大值
B．当0＜a＜e时，g(x)可以取得最小值－1
C．当0＜a＜e时，g(x)可以取得最小值2
D．当a≥e时，g(x)可以取得最小值3
4．(链接考点三)(2026·榆林模拟)滑县木版画是河南安阳传统的手工艺品，创始于明朝初期，距今已有六百多年的历史，滑县木版画制作工艺考究，至今一直都是纯手工制作，颜色精细淡雅，色彩和谐，人物造型夸张，线条刚劲有力，极具当地的民俗特色．张华的伯伯制作滑县木版画并出售，寒假期间张华通过调研得知伯伯制作的A系列木版画的成本为30元/套，每月的销售量f (x)(单位：套)与销售价格x(单位：元/套)近似满足关系式f (x)＝(x－90)2，其中30＜x＜90，则当A系列木版画销售价格定为 ______ 元/套时，月利润最大．
第26课时　导数与函数的最值
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点1　(2)f (a)　f (b)　f (a)　f (b)
知识点2　(1)极值　(2)最大　最小
链教材·夯基固本
1．　－10　[f'(x)＝3x2－12＝3(x－2)·(x＋2)，
因为x∈，所以f'(x)<0，
故f (x)在上单调递减，
所以f (x)的最大值为f，最小值为f (1)＝－10．]
2.1．2　1.8　[设该容器底面矩形短边的长为x m，则另一边的长为(x＋0.5) m，此容器的高为y＝－x－(x＋0.5)＝3.2－2x，则此容器的容积为V(x)＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，其中00，函数V(x)单调递增；当x∈(1，1.6)时，V'(x)<0，函数V(x)单调递减，所以V(x)max＝V(1)＝1×(1＋0.5)×(3.2－2×1)＝1.8(m3)，即当高为1.2 m时，长方体容器的容积最大，且最大容积为1.8 m3．]
3.2e2　[由题意得，f'(x)＝ln x＋1，令f'(x)＝0，解得x＝0，f (x)在上单调递增，故f (x)在上的最大值为f (e2)＝e2ln e2＝2e2．]
考点深研·题型突破
考点一
考向1　典例1　解：因为f (x)＝x3－x2－x＋1，所以f'(x)＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)，
令f'(x)＝0，即(3x＋1)(x－1)＝0，解得x＝－或x＝1，
列表如下：
x － 1 (1，2]
f'(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) 单调递增 单调递减 单调递增
当x∈时，f'(x)>0，f (x)单调递增，
当x∈时，f'(x)<0，f (x)单调递减，
当x∈(1，2]时，f'(x)>0，f (x)单调递增，
所以f (x)的极大值为f，f (x)的极小值为f (1)＝0，
又f，f (2)＝3，
所以函数y＝f (x)在区间上的最大值为3，最小值为0．
考向2　典例2　解：f'(x)＝3x2－2ax－a2＝(3x＋a)(x－a)，
令f'(x)＝0，得x1＝－，x2＝a．
①当a>0时，3x＋a>0，令f'(x)>0，则x>a，令f'(x)<0，则0≤x②当a＝0时，f'(x)＝3x2≥0，f (x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f (x)min＝f (0)＝0；
③当a<0时，x－a>0，令f'(x)>0，则x>－，令f'(x)<0，则0≤x<－，
所以f (x)在上单调递增，
所以f (x)min＝fa3．
综上所述，当a>0时，f (x)的最小值为－a3；
当a＝0时，f (x)的最小值为0；
当a<0时，f (x)的最小值为a3．
母题探究
　解：f'(x)＝(3x＋a)(x－a)(a>0)，
令f'(x)＝0，得x1＝－，x2＝a．
所以f (x)在上单调递增，
在内单调递减，在(a，2a]上单调递增．
因为f (－a)＝－a3，fa3，
f (a)＝－a3，f (2a)＝2a3．
所以f (x)max＝f (2a)＝2a3，
f (x)min＝f (－a)＝f (a)＝－a3．
考点二
典例3　A　[f'(x)＝，且x∈(1，＋∞)，
当a＝0时，不符合题意；
当a>0时，若x∈(1，2)，则f'(x)<0，此时函数f (x)在(1，2)内单调递减，
若x∈(2，＋∞)，则f'(x)>0，此时函数f (x)在(2，＋∞)上单调递增，
此时f (x)无最大值，不符合题意；
当a<0时，若x∈(1，2)，则f'(x)>0，此时函数f (x)在(1，2)内单调递增，
若x∈(2，＋∞)，则f'(x)<0，此时函数f (x)在(2，＋∞)上单调递减，
所以f (x)在x＝2处取得极大值，也是最大值，即f (2)＝4a＝－8，
解得a＝－2，符合题意．
综上可知，a＝－2．
故选A．]
多维变迁
　A　[由题意得f'(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．
当f'(x)>0时，得x<0或x>2，
当f'(x)<0时，得0故函数f (x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)，
即x＝2时，函数f (x)取得极小值f (2)＝－1，画出f (x)的图象如图．
当x3－3x2＋3＝－1时，(x＋1)(x－2)2＝0，
解得x＝－1或x＝2，
故要使函数f (x)＝x3－3x2＋3在区间(a，a＋6)内存在最小值，
需有解得－1≤a<2，
即实数a的取值范围为[－1，2)．故选A．]
考点三
典例4　5　[由题意，利润g(x)＝f (x)－2－x，且0≤x≤10，
所以g(x)＝－x3＋x2－2，
则g'(x)＝－x2＋x＝(5－x)，
当0≤x<5时，g'(x)≥0，即g(x)在[0，5)上单调递增；
当5所以当x＝5时，利润最大．]
多维变迁
　225　[设产品单价为m万元，则m2＝(其中k为非零常数)，
所以502＝，故k＝250 000．
记生产x件产品时，总利润为f (x)，则
f (x)＝mx－C(x)＝500－1 200－x2，x>0，f'(x)＝x．
由f'(x)>0，得0225．
故函数f (x)在(0，225)内单调递增，在(225，＋∞)上单调递减．
因此，当x＝225时，f (x)取最大值，即产量定为225件时，总利润最大．]
随堂·对点检测
1．C　[根据函数f (x)＝xex，得f'(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f'(x)＝0，解得x＝－1，
因此当x∈(－1，＋∞)时，f'(x)>0，函数f (x)单调递增，
当x∈(－∞，－1)时，f'(x)<0，函数f (x)单调递减，
所以当x＝－1时，函数f (x)有最小值，
即f (－1)＝－1·e-1＝－．
故选C．]
2．C　[由f'(x)＝x2＋2x，令f'(x)＝0，可得x＝－2或x＝0，
由f'(x)>0得x<－2或x>0，由f'(x)<0得－2所以函数f (x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上单调递增，在(－2，0)内单调递减，
所以函数f (x)在x＝0处取得极小值f (0)＝0，
令f (x)＝x3＋x2＝0，解得x＝0或x＝－3，
若函数f (x)在(a－1，a＋5)内存在最小值，则－3≤a－1<0即实数a的取值范围是[－2，1)．
故选C．]
3．ABD　[g'(x)＝－．
对于选项A，当a≤0时，g(x)在(0，e]上单调递增，此时g(x)有最大值，故A选项正确．
对于选项B，C，当0若a0，故g(x)在(a，e]上单调递增．
令g(x)min＝g(a)＝＋ln a＝－1，得a＝，满足条件，
令g(x)min＝g(a)＝＋ln a＝2，得a＝e，不满足条件，故B选项正确，C选项错误．
对于选项D，当a≥e时，若0则g'(x)≤0，所以g(x)在(0，e]上单调递减，令g(x)min＝g(e)＝＋ln e＝3，得a＝2e，所以此时g(x)有最小值3，故D选项正确．故选ABD．]
4.50　[设A系列木版画的月利润为g(x)，则g(x)＝f (x)(x－30)＝(x－90)2(x－30)，30可得g'(x)＝2(x－90)(x－30)＋(x－90)2＝3(x－90)(x－50)，
令g'(x)＝0，则x＝50，
当x∈(30，50)时，g'(x)>0，当x∈(50，90)时，g'(x)<0，
故g(x)在(30，50)内单调递增，在(50，90)内单调递减，
所以当x＝50时，利润g(x)取到极大值，也是最大值，
即当A系列木版画销售价格定为50元/套时，月利润最大．]
1 / 5(共72张PPT)
第三章　一元函数的导数及其应用
第26课时　导数与函数的最值
[考试要求]　1．理解函数最值与极值的关系．2．会求闭区间上函数的最大值、最小值．3．了解最值在现实生活中的应用．
理法先行·题练固本
知识点1　函数的最大(小)值
(1)函数f (x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)若函数f (x)在[a，b]上单调递增，则________为函数的最小值，________为函数的最大值；若函数f (x)在[a，b]上单调递减，则________为函数的最大值，________为函数的最小值．
f (a)
　f (b)
f (a)
f (b)
知识点2　求函数y＝f (x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤
(1)求函数y＝f (x)在区间(a，b)内的____；
(2)将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是____值，最小的一个是____值．
[常用结论]
1．若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则其极值点为函数的最值点．
2．若函数在闭区间[a，b]上的最值点不是端点，则其最值点亦为其极值点．
极值
最大
最小
1．(湘教版选择性必修第二册P49复习题一T7改编)已知f (x)＝x3－12x＋1，x∈，则f (x)的最大值为______________，最小值为______________．
　－10　[ f '(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，
因为x∈，所以f '(x)<0，故f (x)在上单调递减，所以f (x)的最大值为f ，最小值为f (1)＝－10．]
　
－10　
2．(人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5T14)用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边的长比另一边的长多0.5 m，那么高为______________m时，容器的容积最大，最大容积为______________m3．
1.2
1.8　
1.2　1.8　[设该容器底面矩形短边的长为x m，则另一边的长为(x＋0.5) m，此容器的高为y＝－x－(x＋0.5)＝3.2－2x，则此容器的容积为V(x)＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，其中00，函数V(x)单调递增；当x∈(1，1.6)时，V'(x)<0，函数V(x)单调递减，所以V(x)max＝V(1)＝1×(1＋0.5)×(3.2－2×1)＝1.8(m3)，即当高为1.2 m时，长方体容器的容积最大，且最大容积为1.8 m3．]
3．(用结论)函数f (x)＝xln x在上的最大值是_________．
2e2　[由题意得，f '(x)＝ln x＋1，令f '(x)＝0，解得x＝0，f (x)在上单调递增，故f (x)在上的最大值为f (e2)＝e2ln e2＝2e2．]
2e2　
考点深研·题型突破
考点一　求已知函数的最值
考向1　不含参数的函数的最值
[典例1]　(人教A版选择性必修第二册P93例6改编)求函数f (x)＝x3－x2－x＋1在区间上的最大值和最小值．
[解]　因为f (x)＝x3－x2－x＋1，所以f '(x)＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)，
令f '(x)＝0，即(3x＋1)(x－1)＝0，解得x＝－或x＝1，
列表如下：
x － 1 (1，2]
f '(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) 单调递增 单调递减 单调递增
当x∈时，f '(x)>0，f (x)单调递增，
当x∈时，f '(x)<0，f (x)单调递减，
当x∈(1，2]时，f '(x)>0，f (x)单调递增，
所以f (x)的极大值为f，f (x)的极小值为f (1)＝0，
又f，f (2)＝3，
所以函数y＝f (x)在区间上的最大值为3，最小值为0．
通性通法：求函数f (x)在[a，b]上的最值时：
(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f (a)与f (b)一个为最大值，一个为最小值．
(2)若函数在闭区间[a，b]上有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f (a)，f (b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．
【教用·备选题】
(2022·全国乙卷)函数f (x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0，2π]上的最小值、最大值分别为(　　)
A．－， B．－，
C．－，＋2 D．－，＋2
√
D　[ f '(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1)cos x＝(x＋1)cos x，令f '(x)＝0，解得x＝，x＝或x＝－1(舍去)，所以在区间内f '(x)>0，f (x)单调递增；在区间内f '(x)<0，f (x)单调递减．
又f (0)＝f (2π)＝2，f＋2，
f＝－＋1＝－，
所以f (x)在区间[0，2π]上的最小值为－＋2．故选D．]
考向2　含参函数的最值
[典例2]　求函数f (x)＝x3－ax2－a2x在[0，＋∞)上的最小值．
[解]　f '(x)＝3x2－2ax－a2＝(3x＋a)(x－a)，
令f '(x)＝0，得x1＝－，x2＝a．
①当a>0时，3x＋a>0，令f '(x)>0，则x>a，令f '(x)<0，则0≤x②当a＝0时，f '(x)＝3x2≥0，f (x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f (x)min＝f (0)＝0；
③当a<0时，x－a>0，令f '(x)>0，则x>－，令f '(x)<0，则0≤x<－，所以f (x)在上单调递增，
所以f (x)min＝fa3．
综上所述，当a>0时，f (x)的最小值为－a3；
当a＝0时，f (x)的最小值为0；
当a<0时，f (x)的最小值为a3．
[母题探究]
(综合变式)当a>0时，求函数f (x)＝x3－ax2－a2x在[－a，2a]上的最值．
[解]　f '(x)＝(3x＋a)(x－a)(a>0)，
令f '(x)＝0，得x1＝－，x2＝a．
所以f (x)在上单调递增，
在内单调递减，在(a，2a]上单调递增．
因为f (－a)＝－a3，fa3，
f (a)＝－a3，f (2a)＝2a3．
所以f (x)max＝f (2a)＝2a3，
f (x)min＝f (－a)＝f (a)＝－a3．
通性通法：求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f (x)的最值．
【教用·备选题】
(2026·抚州模拟节选)已知函数f (x)＝aln x－2x－(a≠0)．求f (x)在区间(0，1]上的最大值．
[解]　由题意，得f '(x)＝－2＋＝－＝－，x>0．
若a≥1，当x∈(0，1]时，f '(x)≥0，f (x)在区间(0，1]上单调递增，
此时f (x)的最大值为f (1)＝－2－a2；
若00，f (x)单调递增，
当x∈(a，1]时，f '(x)<0，f (x)单调递减，
此时f (x)的最大值为f (a)＝aln a－3a；
若－20，f (x)单调递增，
当x∈时，f '(x)<0，f (x)单调递减，
此时f (x)的最大值为f＝aln＋3a；
若a≤－2，则－≥1，当x∈(0，1]时，f '(x)≥0，f (x)在区间(0，1]上单调递增，
此时f (x)的最大值为f (1)＝－2－a2．
综上，f (x)max＝
考点二　由函数的最值求参数(范围)
[典例3]　(2025·莆田期中)已知函数f (x)＝(x>1)有最大值－8，则实数a的值为(　　)
A．－2 B．－4
C．－8 D．－12
√
A　[ f '(x)＝，且x∈(1，＋∞)，
当a＝0时，不符合题意；
当a>0时，若x∈(1，2)，则f '(x)<0，此时函数f (x)在(1，2)内单调递减，
若x∈(2，＋∞)，则f '(x)>0，此时函数f (x)在(2，＋∞)上单调递增，
此时f (x)无最大值，不符合题意；
当a<0时，若x∈(1，2)，则f '(x)>0，此时函数f (x)在(1，2)内单调递增，
若x∈(2，＋∞)，则f '(x)<0，此时函数f (x)在(2，＋∞)上单调递减，
所以f (x)在x＝2处取得极大值，也是最大值，即f (2)＝4a＝－8，
解得a＝－2，符合题意．
综上可知，a＝－2．
故选A．]
通性通法：已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．
[多维变迁]
(2025·湘豫名校联考)已知函数f (x)＝x3－3x2＋3在区间(a，a＋6)内存在最小值，则实数a的取值范围为(　　)
A．[－1，2) B．
C． D．[－1，1)
√
A　[由题意得f '(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．
当f '(x)>0时，得x<0或x>2，
当f '(x)<0时，得0故函数f (x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)，
即x＝2时，函数f (x)取得极小值f (2)＝－1，
画出f (x)的图象如图．
当x3－3x2＋3＝－1时，(x＋1)(x－2)2＝0，
解得x＝－1或x＝2，
故要使函数f (x)＝x3－3x2＋3在区间(a，a＋6)内存在最小值，
需有解得－1≤a<2，
即实数a的取值范围为[－1，2)．故选A．]
考点三　生活中的优化问题
[典例4]　(2025·日照月考)某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元．种植x万千克莲藕的销售额(单位：万元)是f (x)＝－x3＋x2＋x，则要使利润最大，每年需种植莲藕______________万千克．
5　
5　[由题意，利润g(x)＝f (x)－2－x，且0≤x≤10，
所以g(x)＝－x3＋x2－2，
则g'(x)＝－x2＋x＝(5－x)，
当0≤x<5时，g'(x)≥0，即g(x)在[0，5)上单调递增；
当5所以当x＝5时，利润最大．]
通性通法：解决最优化问题，应从以下几个方面入手：
(1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域；
(2)在实际应用问题中，若函数f (x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点．
[多维变迁]
(2025·吉安月考)已知某厂生产某种产品x件的总成本C(x)＝1 200＋x2(单位： 万元)，产品单价的平方与产品件数x成反比．若生产100件这样的产品，单价为50万元，则产量定为______________ 件时总利润最大．
225　
225　[设产品单价为m万元，则m2＝(其中k为非零常数)，
所以502＝，故k＝250 000．
记生产x件产品时，总利润为f (x)，则
f (x)＝mx－C(x)＝500－1 200－x2，x>0，f '(x)＝x．
由f '(x)>0，得0225．
故函数f (x)在(0，225)内单调递增，在(225，＋∞)上单调递减．
因此，当x＝225时，f (x)取最大值，即产量定为225件时，总利润最大．]
【教用·微点突破】
与三次函数有关的问题
三次函数是一类重要的函数，其规律性强，内容相对独立，且有一些独有的结论和技巧．常用结论如下：
结论1：三次函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象关于点中心对称．
结论2：已知三次函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)中心对称点的横坐标为x0，两个极值点分别为x1，x2，则
＝ f '(x0)＝－(x1－x2)2．
结论3：三次函数的零点：(1)若三次函数f (x)没有极值点，则f (x)有1个零点．
(2)若三次函数f (x)有2个极值点x1，x2，
则f (x1) f (x2)>0时f (x)有1个零点；
f (x1) f (x2)＝0时f (x)有2个零点；
f (x1) f (x2)<0时f (x)有3个零点．
[典例]　(多选)(2026·昆明模拟)已知f (x)＝x3－3x2＋1，则(　　)
A．x＝2是f (x)的极大值点
B．f (x)有且仅有三个零点　
C．当且仅当x<－1时有f (x)<－3
D．点(1，－1)是曲线y＝f (x)的对称中心
√
√
√
BCD　[对于A，因为f (x)＝x3－3x2＋1的定义域为R，
所以f '(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
所以在(－∞，0)上f '(x)>0，f (x)单调递增，
在(0，2)内f '(x)<0，f (x)单调递减，
在(2，＋∞)上f '(x)>0，f (x)单调递增，
所以x＝2是函数f (x)的极小值点，故A错误；
对于B，由上可得f (x)极大值＝f (0)＝1，f (x)极小值＝f (2)＝－3，
所以函数f (x)有且仅有三个零点，故B正确；
对于C，由上可知f (x)的单调性和极值，
当x<－1时，f (x)单调递增，
又f (－1)＝－3，
所以当x<－1时，f (x)<－3，
当x≥－1时，f (x)≥f (2)＝－3，
所以当且仅当x<－1时，f (x)<－3，故C正确；
对于D，f (1＋x)＋f (1－x)＝(1＋x)3－3(1＋x)2＋1＋(1－x)3－3(1－x)2＋1＝－2，
所以点(1，－1)是曲线y＝f (x)的对称中心，故D正确．故选BCD．]
1．(链接考向1)(2025·乌鲁木齐天山区期中)函数f (x)＝xex的最小值为(　　)
A． B．1
C．－ D．e2
√
C　[根据函数f (x)＝xex，得f '(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f '(x)＝0，解得x＝－1，
因此当x∈(－1，＋∞)时，f '(x)>0，函数f (x)单调递增，
当x∈(－∞，－1)时，f '(x)<0，函数f (x)单调递减，
所以当x＝－1时，函数f (x)有最小值，
即f (－1)＝－1·e-1＝－．
故选C．]
2．(链接考点二)(2025·天津期中)若函数f (x)＝x3＋x2在区间(a－1，a＋5)内存在最小值，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－5，1) B．(－5，1)
C．[－2，1) D．(－2，1)
√
C　[由f '(x)＝x2＋2x，令f '(x)＝0，可得x＝－2或x＝0，
由f '(x)>0得x<－2或x>0，由f '(x)<0得－2所以函数f (x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上单调递增，在(－2，0)内单调递减，
所以函数f (x)在x＝0处取得极小值f (0)＝0，
令f (x)＝x3＋x2＝0，解得x＝0或x＝－3，
若函数f (x)在(a－1，a＋5)内存在最小值，则－3≤a－1<0即实数a的取值范围是[－2，1)．
故选C．]
3．(链接考向2)(多选)(2025·鹤壁二模)已知函数g(x)＝＋ln x，x∈(0，e]，则(　　)
A．当a≤0时，g(x)有最大值
B．当0C．当0D．当a≥e时，g(x)可以取得最小值3
√
√
√
ABD　[g'(x)＝－．
对于选项A，当a≤0时，g(x)在(0，e]上单调递增，此时g(x)有最大值，故A选项正确．
对于选项B，C，当0则g'(x)<0，故g(x)在(0，a)内单调递减；
若a0，故g(x)在(a，e]上单调递增．
令g(x)min＝g(a)＝＋ln a＝－1，得a＝，满足条件，
令g(x)min＝g(a)＝＋ln a＝2，得a＝e，不满足条件，故B选项正确，C选项错误．
对于选项D，当a≥e时，若0令g(x)min＝g(e)＝＋ln e＝3，得a＝2e，所以此时g(x)有最小值3，故D选项正确．
故选ABD．]
4．(链接考点三)(2026·榆林模拟)滑县木版画是河南安阳传统的手工艺品，创始于明朝初期，距今已有六百多年的历史，滑县木版画制作工艺考究，至今一直都是纯手工制作，颜色精细淡雅，色彩和谐，人物造型夸张，线条刚劲有力，极具当地的民俗特色．张华的伯伯制作滑县木版画并出售，寒假期间张华通过调研得知伯伯制作的A系列木版画的成本为30元/套，每月的销售量f (x)(单位：套)与销售价格x(单位：元/套)近似满足关系式f (x)＝(x－90)2，其中3050　
50　[设A系列木版画的月利润为g(x)，则g(x)＝f (x)(x－30)＝(x－90)2(x－30)，30可得g'(x)＝2(x－90)(x－30)＋(x－90)2＝3(x－90)(x－50)，
令g'(x)＝0，则x＝50，
当x∈(30，50)时，g'(x)>0，当x∈(50，90)时，g'(x)<0，故g(x)在(30，50)内单调递增，在(50，90)内单调递减，
所以当x＝50时，利润g(x)取到极大值，也是最大值，即当A系列木版画销售价格定为50元/套时，月利润最大．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
一、单项选择题　
1．(2025·开封期中)已知函数f (x)＝(x＋2)ex，x∈[－5，5]，则f (x)的最小值为(　　)
A．－3e-3 B．－3e-5
C．7e5 D．－e-3
√
课时作业(二十六)　导数与函数的最值
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
D　[由f (x)＝(x＋2)ex，得f '(x)＝ex＋(x＋2)ex＝(x＋3)ex．
当x∈[－5，－3)时，f '(x)<0，f (x)单调递减，
当x∈(－3，5]时，f '(x)>0，f (x)单调递增，
所以函数f (x)在x＝－3处取得极小值，也是最小值．
f (－3)＝(－3＋2)e-3＝－e-3，即f (x)的最小值为－e-3，
故选D．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
2．(2026·济宁模拟)已知x>0，y>0，且xy＋2y2－36＝0，则xy2的最大值为(　　)
A．12 B．6
C．36 D．24
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
D　[因为x>0，y>0，且xy＋2y2－36＝0，
所以x＝>0，即0则xy2＝(36－2y2)y，
令g(y)＝(36－2y2)y＝36y－2y3，0则g'(y)＝36－6y2＝6(－y)(＋y)，
当00，g(y)单调递增，当故y＝时，g(y)取得最大值24．
故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
3．函数f (x)＝x2＋(a－1)x－3ln x在(1，2)内有最小值，则实数a的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
A　[f '(x)＝2x＋(a－1)－，
设g(x)＝2x2＋(a－1)x－3，因为Δ＝(a－1)2＋24>0，因此g(x)＝0有两个不同的实数根，
又g(0)＝－3<0，因此g(x)＝0的两根一正一负，
由题意可知正根在(1，2)内，
所以
解得－故选A．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
4．已知函数f (x)＝mln x＋的最小值为－m，则实数m＝(　　)
A． B．
C．e D．e2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
D　[∵函数f (x)＝mln x＋的定义域为(0，＋∞)，
∴f '(x)＝．
当m≤0时，f '(x)<0，∴f (x)单调递减，无最值，舍去；
当m>0时，
令f '(x)>0，得x>，∴f (x)单调递增，
令f '(x)<0，得0∴f (x)min＝f＝mln＋m＝－m，
∴m＝e2>0成立，
故选D．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
二、多项选择题　
5．(2026·重庆模拟)已知函数f (x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f (x)在点P(1，f (1))处的切线方程为y＝3x＋1．则下列结论正确的有(　　)
A．a＝2　
B．b＝－2　
C．f (x)在[－3，1]上的最大值为13　
D．f (x)在[－3，1]上的最小值为4
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
AC　[根据题意可知，点P(1，f (1))为切点，代入切线方程y＝3x＋1可得，
f (1)＝3×1＋1＝4，因此f (1)＝1＋a＋b＋5＝4，所以a＋b＝－2，
又根据函数f (x)＝x3＋ax2＋bx＋5，得导函数f '(x)＝3x2＋2ax＋b，
而根据切线y＝3x＋1的斜率可知，f '(1)＝3，所以3＋2a＋b＝3，所以2a＋b＝0，
根据因此选项A正确，选项B错误；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
根据函数f (x)＝x3＋2x2－4x＋5，可得f '(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，
令f '(x)＝0，得x＝或x＝－2，
当x变化时，函数f (x)，导函数f '(x)的变化情况如表，
x －3 (－3， －2) －2 1
f '(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) 8 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 4
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
所以f (x)的极大值为f (－2)＝13，又f (1)＝4，
所以f (x)在[－3，1]上的最大值为13，最小值不为4，故C正确，D错误．
故选AC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
6．(2026·邢台模拟)已知函数f (x)＝x2＋aln x，则下列结论正确的是
(　　)
A．当a＝时，曲线y＝f (x)的切线斜率的最小值为2
B．当a＝时，f (x)有最大值
C．当a＝－时，f (x)有两个零点　
D．当a＝－时，f (x)有最小值
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
AD　[f (x)＝x2＋aln x的定义域为(0，＋∞)，f '(x)＝2x＋，
当a＝时，f '(x)＝2x＋≥2＝2，
当且仅当2x＝(x>0)，即当x＝时，等号成立，
因此当a＝时，曲线y＝f (x)的切线斜率的最小值为2，所以选项A正确；
当a＝时，f '(x)＝2x＋>0对任意的x>0恒成立，
因此当a＝时，f (x)在(0，＋∞)上单调递增，那么函数f (x)无最大值，所以选项B错误；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
当a＝－时，函数f (x)＝x2－ln x，f '(x)＝2x－，
由f '(x)<0，可得00，可得x>，
所以此时f (x)的单调递增区间为，
则f (x)min＝fln ln 2，所以f (x)≥f>0，
所以当a＝－时，函数f (x)有最小值，且最小值大于0，函数f (x)无零点，C错误，D正确．
故选AD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
三、填空题
7．(2026·临沂模拟)已知函数f (x)＝x2－4x＋(x－2)cos x－sin x在x＝a处取得最小值m，则m＋a＝______________．
－2－sin 2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
－2－sin 2　[函数f (x)＝x2－4x＋(x－2)cos x－sin x，
可得f '(x)＝(x－2)(2－sin x)，
因为2－sin x>0，
当x<2时，f '(x)<0；
当x>2时，f '(x)>0，
从而m＝f (x)min＝f (2)＝－4－sin 2，
a＝2，所以m＋a＝－2－sin 2．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
8．(2026·儋州模拟)声音的波长变化曲线一般都可用多个形如y＝Asin ωx的函数的和来描述，因此，我们通常将用函数y＝Asin ωx的和构成的函数称为声音函数．已知某声音函数f (x)＝sin x＋sin 2x，则f (x)在区间[－2π，－π]∪[π，2π]上的最小值与最大值之积为______________．
－　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
－　[由f (x)＝sin x＋sin 2x，可得f '(x)＝cos x＋cos 2x，令cos x＋cos 2x＝0，解得2cos2x＋cos x－1＝0，即(2cos x－1)(cos x＋1)＝0，可得cos x＝－1或cos x ＝，x∈[－2π，－π]∪[π，2π]，
解得x＝－π，x＝π，x＝－，x＝，
f (－π)＝0，f (π)＝0，f，f＝－＝－，
f (2π)＝0，f (－2π)＝0，
所以f (x)在区间[－2π，－π]∪[π，2π]上的最小值与最大值之积为－．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
四、解答题
9．(2025·北京卷节选)已知函数f (x)的定义域是 (－1，＋∞)，导函数f '，求f '(x)的最大值．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
[解]　设g＝f '，g'＝，x>－1，
由g'＝0可得x＝e－1，当x∈时，g'>0，g单调递增；
当x∈时，g'<0，g单调递减，
所以f '的最大值为f '．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
10．(2025·南通月考)已知f (x)＝aln x－1＋．
(1)若a＝1，证明：f (x)≥0；
(2)若f (x)的最小值为－1，求实数a．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
[解]　(1)证明：当a＝1时，f (x)＝ln x＋－1，x>0，
则f '(x)＝，
当x>1时，f '(x)>0，f (x)单调递增；
当0故f (x)≥f (1)＝0．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
(2)因为f '(x)＝，x>0，
当a≤0时，f '(x)<0，f (x)单调递减，此时函数没有最小值，不符合题意；
当a>0时，由f '(x)>0可得x>，f (x)单调递增；由f '(x)<0可得0f (x)单调递减，
故当x＝时，函数f (x)取得最小值f ＝aln－1＋a＝－1，即1－ln a＝0，所以a＝e．
谢谢！课时作业(二十六)　导数与函数的最值
一、单项选择题　
1．(2025·开封期中)已知函数f(x)＝(x＋2)ex，x∈[－5，5]，则f(x)的最小值为(　　)
A．－3e-3 B．－3e-5
C．7e5 D．－e-3
2．(2026·济宁模拟)已知x＞0，y＞0，且xy＋2y2－36＝0，则xy2的最大值为(　　)
A．12 B．6
C．36 D．24
3．函数f(x)＝x2＋(a－1)x－3ln x在(1，2)内有最小值，则实数a的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
4．已知函数f(x)＝m ln x＋的最小值为－m，则实数m＝(　　)
A． B． C．e D．e2
二、多项选择题　
5．(2026·重庆模拟)已知函数f (x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f (x)在点P(1，f (1))处的切线方程为y＝3x＋1．则下列结论正确的有(　　)
A．a＝2　
B．b＝－2　
C．f (x)在[－3，1]上的最大值为13　
D．f (x)在[－3，1]上的最小值为4
6．(2026·邢台模拟)已知函数f (x)＝x2＋a ln x，则下列结论正确的是(　　)
A．当a＝时，曲线y＝f (x)的切线斜率的最小值为2
B．当a＝时，f (x)有最大值
C．当a＝－时，f (x)有两个零点　
D．当a＝－时，f (x)有最小值
三、填空题
7．(2026·临沂模拟)已知函数f (x)＝x2－4x＋(x－2)cos x－sin x在x＝a处取得最小值m，则m＋a＝________．
8．(2026·儋州模拟)声音的波长变化曲线一般都可用多个形如y＝A sin ωx的函数的和来描述，因此，我们通常将用函数y＝A sin ωx的和构成的函数称为声音函数．已知某声音函数f (x)＝sin x＋sin 2x，则f (x)在区间[－2π，－π]∪[π，2π]上的最小值与最大值之积为________．
四、解答题
9．(13分)(2025·北京卷节选)已知函数f (x)的定义域是 (－1，＋∞)，导函数f ′，求f ′(x)的最大值．
10．(15分)(2025·南通月考)已知f (x)＝a ln x－1＋．
(1)若a＝1，证明：f (x)≥0；
(2)若f (x)的最小值为－1，求实数a．
课时作业(二十六)
1．D　[由f (x)＝(x＋2)ex，得f'(x)＝ex＋(x＋2)ex＝(x＋3)ex．
当x∈[－5，－3)时，f'(x)<0，f (x)单调递减，
当x∈(－3，5]时，f'(x)>0，f (x)单调递增，
所以函数f (x)在x＝－3处取得极小值，也是最小值．
f (－3)＝(－3＋2)e-3＝－e-3，即f (x)的最小值为－e-3，
故选D．]
2．D　[因为x>0，y>0，且xy＋2y2－36＝0，
所以x＝>0，即0则xy2＝(36－2y2)y，令g(y)＝(36－2y2)y＝36y－2y3，0则g'(y)＝36－6y2＝6(－y)(＋y)，
当00，g(y)单调递增，当故选D．]
3．A　[f'(x)＝2x＋(a－1)－，
设g(x)＝2x2＋(a－1)x－3，因为Δ＝(a－1)2＋24>0，因此g(x)＝0有两个不同的实数根，又g(0)＝－3<0，因此g(x)＝0的两根一正一负，
由题意可知正根在(1，2)内，
所以
解得－4．D　[∵函数f (x)＝mln x＋的定义域为(0，＋∞)，
∴f'(x)＝．
当m≤0时，f'(x)<0，∴f (x)单调递减，无最值，舍去；
当m>0时，
令f'(x)>0，得x>，∴f (x)单调递增，
令f'(x)<0，得0∴f (x)min＝f＝mln＋m＝－m，
∴m＝e2>0成立，
故选D．]
5．AC　[根据题意可知，点P(1，f (1))为切点，代入切线方程y＝3x＋1可得，
f (1)＝3×1＋1＝4，因此f (1)＝1＋a＋b＋5＝4，所以a＋b＝－2，
又根据函数f (x)＝x3＋ax2＋bx＋5，得导函数f'(x)＝3x2＋2ax＋b，
而根据切线y＝3x＋1的斜率可知，f'(1)＝3，所以3＋2a＋b＝3，所以2a＋b＝0，
根据因此选项A正确，选项B错误；
根据函数f (x)＝x3＋2x2－4x＋5，可得f'(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，
令f'(x)＝0，得x＝或x＝－2，
当x变化时，函数f (x)，导函数f'(x)的变化情况如表，
x －3 (－3， －2) －2 1
f'(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) 8 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 4
所以f (x)的极大值为f (－2)＝13，又f (1)＝4，
所以f (x)在[－3，1]上的最大值为13，最小值不为4，故C正确，D错误．
故选AC．]
6．AD　[f (x)＝x2＋aln x的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝2x＋，
当a＝时，f'(x)＝2x＋≥2＝2，
当且仅当2x＝(x>0)，即当x＝时，等号成立，
因此当a＝时，曲线y＝f (x)的切线斜率的最小值为2，所以选项A正确；
当a＝时，f'(x)＝2x＋>0对任意的x>0恒成立，
因此当a＝时，f (x)在(0，＋∞)上单调递增，那么函数f (x)无最大值，所以选项B错误；
当a＝－时，函数f (x)＝x2－ln x，f'(x)＝2x－，
由f'(x)<0，可得00，可得x>，
所以此时f (x)的单调递增区间为，
则f (x)min＝fln ln 2，所以f (x)≥f>0，
所以当a＝－时，函数f (x)有最小值，且最小值大于0，函数f (x)无零点，C错误，D正确．故选AD．]
7．－2－sin 2　[函数f (x)＝x2－4x＋(x－2)cos x－sin x，
可得f'(x)＝(x－2)(2－sin x)，
因为2－sin x>0，当x<2时，f'(x)<0；
当x>2时，f'(x)>0，
从而m＝f (x)min＝f (2)＝－4－sin 2，
a＝2，所以m＋a＝－2－sin 2．]
8．－　[由f (x)＝sin x＋sin 2x，可得f'(x)＝cos x＋cos 2x，令cos x＋cos 2x＝0，解得2cos2x＋cos x－1＝0，
即(2cos x－1)(cos x＋1)＝0，
可得cos x＝－1或cos x＝，x∈[－2π，－π]∪[π，2π]，
解得x＝－π，x＝π，x＝－，x＝，
f (－π)＝0，f (π)＝0，f，f＝－×＝－，f (2π)＝0，f (－2π)＝0，
所以f (x)在区间[－2π，－π]∪[π，2π]上的最小值与最大值之积为－．]
9．解：设g＝f'，g'＝
，x>－1，
由g'＝0可得x＝e－1，当x∈时，g'>0，g单调递增；
当x∈时，g'<0，g(x)单调递减，
所以f'的最大值为f'．
10．(1)证明：当a＝1时，f (x)＝ln x＋－1，x>0，
则f'(x)＝，
当x>1时，f'(x)>0，f (x)单调递增；
当0故f (x)≥f (1)＝0．
(2)解：因为f'(x)＝，x>0，
当a≤0时，f'(x)<0，f (x)单调递减，此时函数没有最小值，不符合题意；
当a>0时，由f'(x)>0可得x>，f (x)单调递增；由f'(x)<0可得0故当x＝时，函数f (x)取得最小值f＝aln－1＋a＝－1，
即1－ln a＝0，
所以a＝e．
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