资源简介

*第28课时　利用导数研究函数的零点问题(进阶课)
[总体概览]　利用导数解决函数的零点问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．求解此类问题的常用方法：数形结合法、零点存在定理．
类型一　函数零点的个数
[典例1]　(2025·新余二模)已知函数f (x)＝sin x＋ex－4x，e为自然对数的底数，判断函数f (x)的零点个数．
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通性通法：用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．
类型二　由函数零点个数求参数问题
[典例2]　(2025·天津卷节选)已知函数f (x)＝ax－(ln x)2．若f (x)有3个零点，求实数a的取值范围．
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思维建模：导数中的零点求参模型
第1步　参变分离：根据函数零点与方程根的关系，将参数与自变量分开．
第2步　求导画曲线：求导研究曲线性质，并画出曲线．
第3步　曲直相交得范围：根据直线与曲线的交点个数，得参数的取值范围．
隐零点问题
我们常能判断出有些函数(导函数)的零点存在，但无法直接求出，这样的零点，一般称之为“隐零点”．“隐零点”问题的解决步骤：①求导，判定是不是隐零点问题；②设x＝x0，使得f ′(x0)＝0成立；③得到f (x)的单调性，将x0代入f (x)，得到f (x0)；④将x0的等式代换，再求解(注意x0的取值范围)．
[典例3]　证明：ex－ln (x＋2)＞0．
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第28课时　利用导数研究函数
的零点问题(进阶课)
类型一
典例1　解：f (x)的定义域为R，f'(x)＝cos x＋ex－4．
当x≤0时，－1≤cos x≤1，0所以f'(x)＝cos x＋ex－4<0，
所以函数f (x)在(－∞，0]上单调递减，所以f (x)≥f (0)＝1，此时函数f (x)无零点．
当x>0时，设h(x)＝cos x＋ex－4，
则h'(x)＝－sin x＋ex>0，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增，
即f'(x)在(0，＋∞)上单调递增，
f'(0)＝－2<0，f'(2)＝cos 2＋e2－4>0，
因此f'(x)在(0，2)内有唯一零点，
记零点为m，即f'(m)＝0，
所以x∈(0，m)时，f'(x)<0，f (x)单调递减，
x∈(m，＋∞)时，f'(x)>0，f (x)单调递增，
又f (0)＝1>0，f (1)＝sin 1＋e－4<0，
f (π)＝eπ－4π>0，所以f (x)在(0，1)内有一个零点，在(1，π)内有一个零点．
综上所述，f (x)在定义域上有2个零点．
类型二
典例2　解：第1步　参变分离：根据函数零点与方程根的关系，将参数与自变量分开．
由f (x)＝0，得a＝，x>0，
第2步　求导画曲线：求导研究曲线性质，并画出曲线．
设g(x)＝，
则g'(x)＝，
令g'(x)＝0，得x＝1或x＝e2，
所以当x∈(0，1)时，g'(x)<0，g(x)单调递减，g(x)∈(0，＋∞)；
当x∈(1，e2)时，g'(x)>0，g(x)单调递增，g(x)∈；
当x∈(e2，＋∞)时，g'(x)<0，g(x)单调递减，g(x)∈．
画出函数g(x)的大致图象，如图所示，
第3步　曲直相交得范围：根据直线与曲线的交点个数，得参数的取值范围．
由函数的图象知，当直线y＝a与函数g(x)的图象有三个交点时，a的取值范围是．
微点突破7
典例3　证明：设h(x)＝ex－ln(x＋2)，x>－2，
则h'(x)＝ex－，易知h'(x)在(－2，＋∞)上单调递增．
因为h'(－1)<0，h'(0)>0，
所以h'(x)＝0在(－2，＋∞)上存在唯一实数根x0，且x0∈(－1，0)．
当x∈(－2，x0)时，h'(x)<0，h(x)单调递减；
当x∈(x0，＋∞)时，h'(x)>0，h(x)单调递增．
所以当x＝x0时，h(x)取得最小值．
因为，所以x0＝－ln(2＋x0)．
故h(x)≥h(x0)＝－ln(2＋x0)＝＋x0＝>0．
所以ex－ln(x＋2)>0．
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第三章　一元函数的导数及其应用
*第28课时　利用导数研究函数的零点问题(进阶课)
[总体概览]　利用导数解决函数的零点问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．求解此类问题的常用方法：数形结合法、零点存在定理．
类型一　函数零点的个数
[典例1]　(2025·新余二模)已知函数f (x)＝sin x＋ex－4x，e为自然对数的底数，判断函数f (x)的零点个数．
[解]　f (x)的定义域为R，f '(x)＝cos x＋ex－4．
当x≤0时，－1≤cos x≤1，0所以f '(x)＝cos x＋ex－4<0，
所以函数f (x)在(－∞，0]上单调递减，
所以f (x)≥f (0)＝1，此时函数f (x)无零点．
当x>0时，设h(x)＝cos x＋ex－4，
则h'(x)＝－sin x＋ex>0，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增，
即f '(x)在(0，＋∞)上单调递增，
f '(0)＝－2<0，f '(2)＝cos 2＋e2－4>0，
因此f '(x)在(0，2)内有唯一零点，
记零点为m，即f '(m)＝0，
所以x∈(0，m)时，f '(x)<0，f (x)单调递减，
x∈(m，＋∞)时，f '(x)>0，f (x)单调递增，
又f (0)＝1>0，f (1)＝sin 1＋e－4<0，
f (π)＝eπ－4π>0，所以f (x)在(0，1)内有一个零点，在(1，π)内有一个零点．
综上所述，f (x)在定义域上有2个零点．
通性通法：用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．
类型二　由函数零点个数求参数问题
[典例2]　(2025·天津卷节选)已知函数f (x)＝ax－(ln x)2．若f (x)有3个零点，求实数a的取值范围．
[解]　第1步　参变分离：根据函数零点与方程根的关系，将参数与自变量分开．
由f (x)＝0，得a＝，x>0，
第2步　求导画曲线：求导研究曲线性质，并画出曲线．
设g(x)＝，
则g'(x)＝，
令g'(x)＝0，得x＝1或x＝e2，
所以当x∈(0，1)时，g'(x)<0，g(x)单调递减，g(x)∈(0，＋∞)；
当x∈(1，e2)时，g'(x)>0，g(x)单调递增，g(x)∈；
当x∈(e2，＋∞)时，g'(x)<0，g(x)单调递减，g(x)∈．
画出函数g(x)的大致图象，如图所示，
第3步　曲直相交得范围：根据直线与曲线的交点个数，得参数的取值范围．
由函数的图象知，当直线y＝a与函数g(x)的图象有三个交点时，a的取值范围是．
思维建模：导数中的零点求参模型
第1步　参变分离：根据函数零点与方程根的关系，将参数与自变量分开．
第2步　求导画曲线：求导研究曲线性质，并画出曲线．
第3步　曲直相交得范围：根据直线与曲线的交点个数，得参数的取值范围．
【教用·通性通法】
根据函数零点情况求参数范围优选数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解．
微点突破7　隐零点问题
我们常能判断出有些函数(导函数)的零点存在，但无法直接求出，这样的零点，一般称之为“隐零点”．“隐零点”问题的解决步骤：①求导，判定是不是隐零点问题；②设x＝x0，使得f '(x0)＝0成立；③得到f (x)的单调性，将x0代入f (x)，得到f (x0)；④将x0的等式代换，再求解(注意x0的取值范围)．
[典例3]　证明：ex－ln(x＋2)>0．
[证明]　设h(x)＝ex－ln(x＋2)，x>－2，
则h'(x)＝ex－，易知h'(x)在(－2，＋∞)上单调递增．
因为h'(－1)<0，h'(0)>0，
所以h'(x)＝0在(－2，＋∞)上存在唯一实数根x0，且x0∈(－1，0)．
当x∈(－2，x0)时，h'(x)<0，h(x)单调递减；
当x∈(x0，＋∞)时，h'(x)>0，h(x)单调递增．
所以当x＝x0时，h(x)取得最小值．
因为，所以x0＝－ln(2＋x0)．
故h(x)≥h(x0)＝－ln(2＋x0)＝＋x0＝>0．
所以ex－ln(x＋2)>0．
1．(2026·北京西城区模拟节选)已知函数f (x)＝ax－ln x(a∈R)．若函数f (x)在定义域上恰有一个零点，求实数a的取值范围．
课时作业(二十八)　利用导数研究函数的零点问题(进阶课)
[解]　函数y＝f (x)的定义域是(0，＋∞)，
若函数f (x)在定义域上恰有一个零点，即方程a＝恰有一个解．
令g(x)＝，则g'(x)＝(x>0)，
当00，g(x)单调递增，
当x>e时，g'(x)<0，g(x)单调递减，
故当x＝e时，g(x)取得极大值，也是最大值，g(e)＝；
又当x→0+时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，
故当a≤0或a＝时，方程a＝恰有一个解，即函数f (x)在定义域上恰有一个零点．
即实数a的取值范围为(－∞，0]∪．
2．已知函数f (x)＝ax－ln x－2，讨论函数f (x)的零点个数．
[解]　令f (x)＝ax－ln x－2＝0，因为x>0，所以a＝，
令g(x)＝(x>0)，
则g'(x)＝，
令g'(x)>0，则0，
故g(x)在上单调递减，从而g(x)max＝g＝e，因此当a>e时，直线y＝a与y＝g(x)的图象没有交点；
当a＝e或a≤0时，直线y＝a与y＝g(x)的图象有1个交点；
当0综上，当a>e时，函数f (x)没有零点；当a＝e或a≤0时，函数f (x)有1个零点；当0谢谢！课时作业(二十八)　利用导数研究函数的零点问题(进阶课)
1．(15分)(2026·北京西城区模拟节选)已知函数f (x)＝ax－ln x(a∈R)．若函数f (x)在定义域上恰有一个零点，求实数a的取值范围．
2．(15分)已知函数f (x)＝ax－ln x－2，讨论函数f (x)的零点个数．
课时作业(二十八)
1．解：函数y＝f (x)的定义域是(0，＋∞)，
若函数f (x)在定义域上恰有一个零点，即方程a＝恰有一个解．
令g(x)＝，则g'(x)＝(x>0)，
当00，g(x)单调递增，
当x>e时，g'(x)<0，g(x)单调递减，
故当x＝e时，g(x)取得极大值，也是最大值，g(e)＝；
又当x→0+时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，
故当a≤0或a＝时，方程a＝恰有一个解，即函数f (x)在定义域上恰有一个零点．
即实数a的取值范围为(－∞，0]∪．
2．解：令f (x)＝ax－ln x－2＝0，因为x>0，所以a＝，
令g(x)＝(x>0)，
则g'(x)＝，
令g'(x)>0，则0，
故g(x)在上单调递减，从而g(x)max＝g＝e，因此当a>e时，直线y＝a与y＝g(x)的图象没有交点；
当a＝e或a≤0时，直线y＝a与y＝g(x)的图象有1个交点；
当0综上，当a>e时，函数f (x)没有零点；当a＝e或a≤0时，函数f (x)有1个零点；当01 / 2

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