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第29课时　任意角和弧度制、三角函数的概念
[考试要求]　1．了解任意角的概念和弧度制．2．能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性．3．借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
知识点1　角的概念的推广
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的________旋转所成的图形．
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
知识点2　弧度制的定义和公式
(1)定义：长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝________
弧长公式 l＝________
扇形面积公式 S＝lR＝αR2
知识点3　任意角的三角函数
(1)定义
前提 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)
定义 正弦 ____叫做α的正弦函数，记作sin α
余弦 ____叫做α的余弦函数，记作cos α
正切 ____叫做α的正切函数，记作tan α
(2)定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝________，cos α＝________，tan α＝____________．
[常用结论]
1．三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
2．象限角
3．轴线角
4．若角α∈，则sin α<α1．(人教A版必修第一册P170例1改编)与－2 025°终边相同的最小正角是(　　)
A．135°　　　　 B．125°
C．55° D．45°
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2．(北师大版必修第二册P12习题1－3 B组T2)在半径为R的圆中，120°的圆心角所对的弧长为________，面积为2R2的扇形的圆心角等于________弧度．
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3．(人教A版必修第一册P180练习T3改编)已知角θ的终边经过点P(－12，5)，则sin θ＋cos θ＝____________．
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4．(苏教版必修第一册P170例2改编)已知α是第一象限角，那么是(　　)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第一或第二象限角
D．第一或第三象限角
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考点一　象限角及终边相同的角
[典例1]　(多选)下列命题正确的是(　　)
A．－＝－750°是第四象限角
B．终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝90°＋kπ，k∈Z}
C．第三象限角的集合为
D．在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°
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易错提醒：角度与弧度换算的关键是π rad＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
[多维变迁]
1．(2026·宁波模拟)若α是第二象限角，则(　　)
A．－α是第一象限角
B．是第三象限角
C．＋α是第二象限角
D．2α是第三或第四象限角或终边在y轴的非正半轴上
2．如图所示，终边落在阴影部分的角α的取值集合为________．
考点二　弧度制及其应用
[典例2]　已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l．
(1)若α＝120°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角．
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[母题探究]
1．(综合变式)本例中，若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．
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2．(综合变式)本例中，若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
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通性通法：应用弧度制解决问题时应注意的点
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值时，常转化为求二次函数的最值．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
考点三　三角函数的定义及应用
　三角函数的定义
[典例3]　(2025·南阳期末)已知角α的终边经过点P(4，－3)，点P到坐标原点O的距离为r，则cos α＋sin α＋1的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
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通性通法：利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，可以求出角α终边的位置．
[多维变迁]
(2025·遵义三模)已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与直线y＝x位于第三象限的图象重合，则sin θ＝(　　)
A．－ B．
C． D．－
　三角函数值符号的判定
[典例4]　(2026·惠州模拟)如果点P(2sin θ，sin θ·cos θ)位于第四象限，那么角θ的终边所在的象限为(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
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易错提醒：判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
1．(链接考点一)若α＝45°＋k·180°(k∈Z)，则α的终边在(　　)
A．第二或第三象限 B．第一或第三象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
2．(链接考向1)(2025·汉中期末)已知角α的终边过点，则tan α＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
3．(链接考向2)(多选)在平面直角坐标系Oxy中，角α的顶点在原点O，以x轴的非负半轴为始边，终边经过点P(1，m)(m＜0)，则下列各式的值恒大于0的是(　　)
A． B．cos α－sin α
C．sin αcos α D．sin α＋cos α
4．(链接考点二)(2025·大连期末)已知某扇形的周长为60，圆心角为4，则该扇形的面积为________．
第29课时　任意角和弧度制、
三角函数的概念
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点1　(1)端点　(2)零角　象限角
知识点2　(1)半径长　(2)°　αR
知识点3　(1)y　x　　(2)　
(x≠0)
链教材·夯基固本
1．A　[因为－2 025°＝－360°×6＋135°，所以与－2 025°终边相同的最小正角是135°．故选A．]
2．R　4　[由弧长公式可得l＝αR＝R，
由扇形面积公式得S＝αR2＝2R2，
∴α＝＝4．]
3．－　[由三角函数的定义可得sin θ＋cos θ＝＝－．]
4．D　[因为α为第一象限角，所以2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，所以kπ<考点深研·题型突破
考点一
典例1　ACD　[对于A，－＝－750°＝－1 080°＋330°，330°是第四象限角，所以－是第四象限角，故A正确；对于B，终边落在y轴上的角的集合为，角度与弧度不能混用，故B错误；对于C，第三象限角的集合为，故C正确；对于D，所有与45°角终边相同的角可表示为β＝45°＋k·360°，k∈Z，从而当k＝－2时，β＝－675°；
当k＝－1时，β＝－315°，故D正确．故选ACD．]
多维变迁
1．D　[因为α是第二象限角，可得＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，对于A，可得－π－2kπ<－α<－－2kπ，k∈Z，此时－α的终边在第三象限，所以－α是第三象限角，A错误；对于B，可得＋kπ<＋kπ，k∈Z，当k为偶数时，的终边在第一象限；当k为奇数时，是第一或第三象限角，B错误；对于C，可得2π＋2kπ<＋α<＋2kπ，k∈Z，即2(k＋1)π<＋α<＋2(k＋1)π，k∈Z，所以＋α的终边在第一象限，所以＋α是第一象限角，C错误；对于D，可得π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或终边在y轴的非正半轴上，D正确．故选D．]
2．{α|k·360°＋30°≤α[终边落在射线OA上的角的集合是{β|β＝k·360°＋30°，k∈Z}，终边落在射线OB上的角的集合是{γ|γ＝k·360°＋105°，k∈Z}，所以终边落在阴影部分(含射线OA，不含射线OB)的角的集合是{α|k·360°＋30°≤α考点二
典例2　解：(1)由题意知α＝120°＝，所以弧长l＝αR＝×10＝ cm．
(2)由题意得．
母题探究
1．解：设弓形面积为S弓．由题意知l＝ cm．
S弓＝S扇形－S三角形＝××2－×22×sin cm2．
2．解：由已知得，l＋2R＝20，
法一：因为S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，
所以当R＝5时，S取得最大值25 cm2，
此时l＝10，α＝2．
法二：S＝lR＝l·2R≤＝25，
当且仅当l＝2R，即R＝5 cm时，S的最大值是25 cm2．
此时扇形的圆心角α＝2．
考点三
考向1　典例3　C　[根据题意，r＝OP＝＝5，所以sin α＝－，cos α＝，所以cos α＋sin α＋1＝＋1＝．故选C．]
多维变迁
　D　[因为角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与直线y＝x位于第三象限的图象重合，在角θ的终边上取点(－2，－1)，
所以sin θ＝＝－．
故选D．]
考向2　典例4　B　[∵点P(2sin θ，sin θ·cos θ)位于第四象限，
∴
∴角θ的终边所在的象限是第二象限．]
随堂·对点检测
1．B　[当k为奇数时，记k＝2n＋1，n∈Z，则α＝225°＋n·360°(n∈Z)，此时α为第三象限角；当k为偶数时，记k＝2n，n∈Z，则α＝45°＋n·360°(n∈Z)，此时α为第一象限角．故α的终边在第一或第三象限．]
2．D　[因为角α的终边过点，
则tan α＝＝－．故选D．]
3．AB　[由题意知sin α<0，cos α>0，tan α<0．
选项A，>0；
选项B，cos α－sin α>0；
选项C，sin αcos α<0；
选项D，sin α＋cos α符号不确定．
故选AB．]
4.200　[设该扇形的半径为r，弧长为l，
则所以该扇形的面积S＝rl＝200．]
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第四章　三角函数与解三角形
第四章　三角函数与解三角形
第29课时　任意角和弧度制、三角函数的概念
[考试要求]　1．了解任意角的概念和弧度制．2．能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性．3．借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
理法先行·题练固本
知识点1　角的概念的推广
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的____旋转所成的图形．
(2)分类
端点
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
知识点2　弧度制的定义和公式
(1)定义：长度等于______的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．
半径长
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝ rad；1 rad＝
弧长公式 l＝__
扇形面积公式 S＝lR＝αR2
知识点3　任意角的三角函数
(1)定义
前提 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终 边OP与单位圆相交于点P(x，y)
定义 正弦 ____叫做α的正弦函数，记作sin α
余弦 ____叫做α的余弦函数，记作cos α
正切 ____叫做α的正切函数，记作tan α
y
x
(2)定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝___，cos α＝___，tan α＝___________．
[常用结论]
1．三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
2．象限角
3．轴线角
4．若角α∈，则sin α<α1．(人教A版必修第一册P170例1改编)与－2 025°终边相同的最小正角是(　　)
A．135° B．125°
C．55° D．45°
√
A　[因为－2 025°＝－360°×6＋135°，所以与－2 025°终边相同的最小正角是135°．故选A．]
2．(北师大版必修第二册P12习题1－3 B组T2)在半径为R的圆中，120°的圆心角所对的弧长为______________，面积为2R2的扇形的圆心角等于______________弧度．
R　4　[由弧长公式可得l＝αR＝R，
由扇形面积公式得S＝αR2＝2R2，
∴α＝＝4．]
R　
4
3．(人教A版必修第一册P180练习T3改编)已知角θ的终边经过点
P(－12，5)，则sin θ＋cos θ＝______________．
－　[由三角函数的定义可得sin θ＋cos θ＝＝－．]
－　
4．(苏教版必修第一册P170例2改编)已知α是第一象限角，那么是
(　　)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第一或第二象限角
D．第一或第三象限角
√
D　[因为α为第一象限角，所以2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，所以kπ<考点深研·题型突破
考点一　象限角及终边相同的角
[典例1]　(多选)下列命题正确的是(　　)
A．－＝－750°是第四象限角
B．终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝90°＋kπ，k∈Z}
C．第三象限角的集合为
D．在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°
√
√
√
ACD　[对于A，－＝－750°＝－1 080°＋330°，330°是第四象限角，所以－是第四象限角，故A正确；对于B，终边落在y轴上的角的集合为，角度与弧度不能混用，故B错误；对于C，第三象限角的集合为，故C正确；对于D，所有与45°角终边相同的角可表示为β＝45°＋k·360°，k∈Z，
从而当k＝－2时，β＝－675°；
当k＝－1时，β＝－315°，故D正确．故选ACD．]
易错提醒：角度与弧度换算的关键是π rad＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
【教用·通性通法】
(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．
(2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置．例如对于终边所在位置可以采用如下方法：若θ分别为第
一、二、三、四象限角，则的终边分别落在区域
一、二、三、四内，如图所示．
[多维变迁]
1．(2026·宁波模拟)若α是第二象限角，则(　　)
A．－α是第一象限角
B．是第三象限角
C．＋α是第二象限角
D．2α是第三或第四象限角或终边在y轴的非正半轴上
√
D　[因为α是第二象限角，可得＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，对于A，可得－π－2kπ<－α<－－2kπ，k∈Z，此时－α的终边在第三象限，所以－α是第三象限角，A错误；对于B，可得＋kπ<＋kπ，k∈Z，当k为偶数时，的终边在第一象限；当k为奇数时，是第一或第三象限角，B错误；对于C，可得2π＋2kπ<＋α<＋2kπ，k∈Z，即2(k＋1)π<＋α<＋2(k＋1)π，k∈Z，所以＋α的终边在第一象限，所以＋α是第一象限角，C错误；对于D，可得π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或终边在y轴的非正半轴上，D正确．故选D．]
2．如图所示，终边落在阴影部分的角α的取值集合为__________________________________________．
{α|k·360°＋30°≤α{α|k·360°＋30°≤α考点二　弧度制及其应用
[典例2]　已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l．
(1)若α＝120°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角．
[解]　(1)由题意知α＝120°＝，所以弧长l＝αR＝×10＝ cm．
(2)由题意得．
[母题探究]
1．(综合变式)本例中，若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．
[解]　设弓形面积为S弓．由题意知l＝ cm．
S弓＝S扇形－S三角形＝×2－×22×sin cm2．
2．(综合变式)本例中，若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
[解]　由已知得，l＋2R＝20，
法一：因为S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，
所以当R＝5时，S取得最大值25 cm2，
此时l＝10，α＝2．
法二：S＝lR＝l·2R≤＝25，
当且仅当l＝2R，即R＝5 cm时，S的最大值是25 cm2．
此时扇形的圆心角α＝2．
通性通法：应用弧度制解决问题时应注意的点
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值时，常转化为求二次函数的最值．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
考点三　三角函数的定义及应用
考向1　三角函数的定义
[典例3]　(2025·南阳期末)已知角α的终边经过点P(4，－3)，点P到坐标原点O的距离为r，则cos α＋sin α＋1的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
√
C　[根据题意，r＝OP＝＝5，
所以sin α＝－，cos α＝，所以cos α＋sin α＋1＝＋1＝．故选C．]
通性通法：利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，可以求出角α终边的位置．
[多维变迁]
(2025·遵义三模)已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与直线y＝x位于第三象限的图象重合，则sin θ＝
(　　)
A．－ B．
C． D．－
√
D　[因为角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与直线y＝x位于第三象限的图象重合，在角θ的终边上取点(－2，－1)，
所以sin θ＝＝－．
故选D．]
考向2　三角函数值符号的判定
[典例4]　(2026·惠州模拟)如果点P(2sin θ，sin θ·cos θ)位于第四象限，那么角θ的终边所在的象限为(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
√
B　[∵点P(2sin θ，sin θ·cos θ)位于第四象限，
∴∴角θ的终边所在的象限是第二象限．]
易错提醒：判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
1．(链接考点一)若α＝45°＋k·180°(k∈Z)，则α的终边在(　　)
A．第二或第三象限 B．第一或第三象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
√
B　[当k为奇数时，记k＝2n＋1，n∈Z，则α＝225°＋n·360°(n∈Z)，此时α为第三象限角；当k为偶数时，记k＝2n，n∈Z，则α＝45°＋n·360°(n∈Z)，此时α为第一象限角．故α的终边在第一或第三象限．]
2．(链接考向1)(2025·汉中期末)已知角α的终边过点，则tan α＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
√
D　[因为角α的终边过点，
则tan α＝＝－．故选D．]
3．(链接考向2)(多选)在平面直角坐标系Oxy中，角α的顶点在原点O，以x轴的非负半轴为始边，终边经过点P(1，m)(m<0)，则下列各式的值恒大于0的是(　　)
A． B．cos α－sin α
C．sin αcos α D．sin α＋cos α
√
√
AB　[由题意知sin α<0，cos α>0，tan α<0．
选项A，>0；
选项B，cos α－sin α>0；
选项C，sin αcos α<0；
选项D，sin α＋cos α符号不确定．
故选AB．]
4．(链接考点二)(2025·大连期末)已知某扇形的周长为60，圆心角为4，则该扇形的面积为______________．
200　[设该扇形的半径为r，弧长为l，
则所以该扇形的面积S＝rl＝200．]
200　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
一、单项选择题
1．(2025·潍坊市昌乐期中)下列说法正确的是(　　)
A．与的终边相同
B．若α为第二象限角，则－α为第三象限角
C．终边经过点(m，m)(m≠0)的角的集合是
D．若一扇形的圆心角为4，圆心角所对应的弦长为2，则此扇形的面积为
课时作业(二十九)　任意角和弧度制、三角函数的概念
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[对于A，由＝－＋2π，可得的终边不相同，故A错误；
对于B，由题意α为第二象限角，可得2kπ＋<α<2kπ＋π，k∈Z，
所以－2kπ－－α<－2kπ，k∈Z，
所以－α为第四象限角，故B错误；
对于C，当m>0时，终边经过点(m，m)的角的集合是；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
当m<0时，终边经过点(m，m)的角的集合是，故C错误；
对于D，由题意可得，扇形的半径r＝，
可得扇形面积S＝αr2＝，故D正确．
故选D．]
√
2．(2025·四川达州高级中学高三月考)已知α是第二象限角，P(x，2)为其终边上的一点，且sin α＝，则x＝(　　)
A．－4 B．±4
C．±4 D．－4
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[依题意，得x<0，r＝OP＝，其中O为坐标原点，则sin α＝，所以x＝－4．故选D．]
√
3．(2025·长沙期中)下列选项中正确的是(　　)
A．sin 300°>0 B．cos(－305°)<0
C．tan>0 D．sin 10<0
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[300°＝360°－60°，则300°角是第四象限角，故sin 300°<0，A错误；－305°＝－360°＋55°，则－305°角是第一象限角，故cos(－305°) >0，B错误；－＝－8π＋，则－是第二象限角，故tan<0，C错误；3π<10<，则10是第三象限角，故sin 10<0，D正确．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
4．(2025·抚州期末)集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
C　[当k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α的终边和0≤α≤的终边相同；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π≤α≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此时α的终边和π≤α≤π＋的终边相同．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
5．(2025·南阳期中)若角θ的终边经过点P(－6t，－8t)(t≠0)，则2sin θcos θ＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[当t>0时，由三角函数的定义可得sin θ＝＝－，
cos θ＝＝－，
此时，2sin θcos θ＝；
当t<0时，由三角函数的定义可得sin θ＝，
cos θ＝，
此时，2sin θcos θ＝．
综上，2sin θcos θ＝．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
6．(2025·厦门模拟)一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的，所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数．下面给出这些函数的定义：
①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α；
②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α；
③把点P的纵坐标y的倒数叫做α的余割，记作csc α，即＝csc α；
④把点P的横坐标x的倒数叫做α的正割，记作sec α，即＝sec α．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
下列结论错误的是(　　)
A．csc＝－
B．cos α·sec α＝1
C．函数f (x)＝sec x的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}
D．sec2α＋sin2α＋csc2α＋cos2α≥5
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
C　[由题意可得csc＝－，A正确；
cos α·sec α＝cos α·＝1，B正确；
函数f (x)＝sec x的定义域为，C错误；
sec2α＋sin2α＋csc2α＋cos2α＝1＋＝1＋＝1＋≥5，
当sin 2α＝±1时，等号成立，D正确．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
二、多项选择题
7．(2025·驻马店校级月考)下列关于角α的说法正确的是(　　)
A．终边在第二象限的角的集合为{α|90°＋360°·k<α<180°＋360°·k，k∈Z}
B．与－65°终边相同的角的集合为{α|α＝－65°＋k·180°，k∈Z}
C．若角α＝665°，则角α是第四象限角
D．若角α是三角形的一个内角，则角α必是第一、二象限角
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
AC　[终边在第二象限的角的集合为{α|90°＋360°·k<α<180°＋360°·k，k∈Z}，A正确；
与－65°终边相同的角的集合为{α|α＝－65°＋k·360°，k∈Z}，B错误；
角α＝665°＝360°＋305°，
则665°角与305°角终边相同且305°角为第四象限角，所以角α是第四象限角，C正确；
当α为直角时，D显然错误．故选AC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
8．(2025·广州月考)若角α的终边在第三象限，则的值可能为(　　)
A．0 B．2
C．4 D．－4
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
BC　[由角α的终边在第三象限，得π＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，则＋kπ<＋kπ，k∈Z，因此是第二象限角或第四象限角．
当＝1－2－(－3)＝2；
当＝－1＋2－(－3)＝4．故选BC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
9．(2025·临沂月考)下列说法正确的是(　　)
A．终边所在射线方向相反的两个角相差(2k＋1)π(k∈Z)
B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
C．终边落在直线y＝－x上的角的集合是
D．cos 3·sin 4>0
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
ABD　[终边所在射线方向相反的两个角相差(2k＋1)π(k∈Z)，故A正确；
设扇形的圆心角为α，半径为r，由扇形弧长公式得l＝αr＝r＝，解得r＝，
则扇形面积S＝lr＝，故B正确；
终边落在直线y＝－x上的角的集合为，故C错误；
因为<3<π<4<，可知3为第二象限角，4为第三象限角，
由三角函数值的象限符号可得cos 3<0，sin 4<0，所以cos 3·sin 4>0，故D正确．故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
三、填空题
10．(2025·北京市房山区期中)若cos α<0且tan α>0，则角α是第______________象限角．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
三　[因为cos α<0且tan α>0，所以角α所在的象限是第三象限．]
三
11．(2025·驻马店月考)若将时钟拨慢20 min，则分针转过的角是______________；若时钟从6时走到9时，则时针转过的角是______________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
120°　
－90°
120°　－90°　[若时钟拨慢20分钟，则分针逆时针转动，且为正角，所以可得×360°＝120°，
所以分针转过的角是120°，
若时针从6时走到9时，时针顺时针走动的是负角，所以时针转过的角为－×360°＝－90°．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12．(2025·武汉期末)水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ》中提到的由三体文明使用强互作用力(SIM)材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段AB，AC和圆的优弧BC围成，其中AB，AC恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点A到圆弧所在圆的圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为______________．
＋4　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
＋4　[取优弧BC所在圆的圆心为D，连接AD，BD，CD，则BD⊥AB，CD⊥AC，
则AD＝4，BD＝CD＝2，所以∠BAD＝∠CAD＝，则∠BDC＝，AB＝AC＝＝2，
故优弧BC对应的圆心角为
×22＝，
而S△ABD＝S△ACD＝×2×2＝2，
所以该封闭图形的面积为＋S△ABD＋S△ACD＝＋4．]
谢谢！课时作业(二十九)　任意角和弧度制、三角函数的概念
一、单项选择题
1．(2025·潍坊市昌乐期中)下列说法正确的是(　　)
A．与的终边相同
B．若α为第二象限角，则－α为第三象限角
C．终边经过点(m，m)(m≠0)的角的集合是
D．若一扇形的圆心角为4，圆心角所对应的弦长为2，则此扇形的面积为
2．(2025·四川达州高级中学高三月考)已知α是第二象限角，P(x，2)为其终边上的一点，且sinα＝，则x＝(　　)
A．－4 B．±4
C．±4 D．－4
3．(2025·长沙期中)下列选项中正确的是(　　)
A．sin 300°＞0 B．cos (－305°)＜0
C．tan ＞0 D．sin 10＜0
4．(2025·抚州期末)集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
　　　
　　　　　A　　　　　　　B　　　　　 　　C　　　　　　　D
5．(2025·南阳期中)若角θ的终边经过点P(－6t，－8t)(t≠0)，则2sin θcos θ＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
6．(2026·厦门模拟)一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的，所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数．下面给出这些函数的定义：
①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α；
②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α；
③把点P的纵坐标y的倒数叫做α的余割，记作csc α，即＝csc α；
④把点P的横坐标x的倒数叫做α的正割，记作sec α，即＝sec α．
下列结论错误的是(　　)
A．csc
B．cos α·sec α＝1
C．函数f (x)＝sec x的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}
D．sec2α＋sin2α＋csc2α＋cos2α≥5
二、多项选择题
7．(2025·驻马店校级月考)下列关于角α的说法正确的是(　　)
A．终边在第二象限的角的集合为{α|90°＋360°·k＜α＜180°＋360°·k，k∈Z}
B．与－65°终边相同的角的集合为{α|α＝－65°＋k·180°，k∈Z}
C．若角α＝665°，则角α是第四象限角
D．若角α是三角形的一个内角，则角α必是第一、二象限角
8．(2025·广州月考)若角α的终边在第三象限，则的值可能为(　　)
A．0 B．2
C．4 D．－4
9．(2025·临沂月考)下列说法正确的是(　　)
A．终边所在射线方向相反的两个角相差(2k＋1)π(k∈Z)
B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
C．终边落在直线y＝－x上的角的集合是
D．cos 3·sin 4＞0
三、填空题
10．(2025·北京市房山区期中)若cos α＜0且tan α＞0，则角α是第________象限角．
11．(2025·驻马店月考)若将时钟拨慢20 min，则分针转过的角是________；若时钟从6时走到9时，则时针转过的角是________．
12．(2025·武汉期末)水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ》中提到的由三体文明使用强互作用力(SIM)材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段AB，AC和圆的优弧BC围成，其中AB，AC恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点A到圆弧所在圆的圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为________．
课时作业(二十九)
1．D　[对于A，由＝－＋2π，可得的终边不相同，故A错误；
对于B，由题意α为第二象限角，可得2kπ＋<α<2kπ＋π，k∈Z，
所以－2kπ－－α<－2kπ，k∈Z，
所以－α为第四象限角，故B错误；
对于C，当m>0时，终边经过点(m，m)的角的集合是；
当m<0时，终边经过点(m，m)的角的集合是，故C错误；
对于D，由题意可得，扇形的半径r＝，
可得扇形面积S＝αr2＝×，故D正确．故选D．]
2．D　[依题意，得x<0，r＝OP＝，其中O为坐标原点，则sin α＝，所以x＝－4．故选D．]
3．D　[300°＝360°－60°，则300°角是第四象限角，故sin 300°<0，A错误；－305°＝－360°＋55°，则－305°角是第一象限角，故cos(－305°)>0，B错误；－＝－8π＋，则－是第二象限角，故tan<0，C错误；3π<10<，则10是第三象限角，故sin 10<0，D正确．故选D．]
4．C　[当k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α的终边和0≤α≤的终边相同；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π≤α≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此时α的终边和π≤α≤π＋的终边相同．
故选C．]
5．B　[当t>0时，由三角函数的定义可得sin θ＝＝－，
cos θ＝＝－，
此时，2sin θcos θ＝；
当t<0时，由三角函数的定义可得sin θ＝，
cos θ＝，
此时，2sin θcos θ＝．
综上，2sin θcos θ＝．
故选B．]
6．C　[由题意可得csc＝－，A正确；
cos α·sec α＝cos α·＝1，B正确；
函数f (x)＝sec x的定义域为，C错误；
sec2α＋sin2α＋csc2α＋cos2α＝1＋＝1＋＝1＋≥5，
当sin 2α＝±1时，等号成立，D正确．
故选C．]
7．AC　[终边在第二象限的角的集合为{α|90°＋360°·k<α<180°＋360°·k，k∈Z}，A正确；
与－65°终边相同的角的集合为{α|α＝－65°＋k·360°，k∈Z}，B错误；
角α＝665°＝360°＋305°，
则665°角与305°角终边相同且305°角为第四象限角，
所以角α是第四象限角，C正确；
当α为直角时，D显然错误．
故选AC．]
8．BC　[由角α的终边在第三象限，得π＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，则＋kπ<＋kπ，k∈Z，因此是第二象限角或第四象限角．
当＝1－2－(－3)＝2；
当＝－1＋2－(－3)＝4．故选BC．]
9．ABD　[终边所在射线方向相反的两个角相差(2k＋1)π(k∈Z)，故A正确；
设扇形的圆心角为α，半径为r，由扇形弧长公式得l＝αr＝r＝，解得r＝，
则扇形面积S＝lr＝××，故B正确；
终边落在直线y＝－x上的角的集合为，故C错误；
因为<3<π<4<，可知3为第二象限角，4为第三象限角，
由三角函数值的象限符号可得cos 3<0，sin 4<0，所以cos 3·sin 4>0，故D正确．
故选ABD．]
10．三　[因为cos α<0且tan α>0，所以角α所在的象限是第三象限．]
11.120°　－90°　[若时钟拨慢20分钟，则分针逆时针转动，且为正角，所以可得×360°＝120°，所以分针转过的角是120°，
若时针从6时走到9时，时针顺时针走动的是负角，
所以时针转过的角为－×360°＝－90°．]
12．＋4　[取优弧BC所在圆的圆心为D，连接AD，BD，CD，
则BD⊥AB，CD⊥AC，
则AD＝4，BD＝CD＝2，所以∠BAD＝∠CAD＝，则∠BDC＝，
AB＝AC＝＝2，
故优弧BC对应的圆心角为××22＝，
而S△ABD＝S△ACD＝×2×2＝2，
所以该封闭图形的面积为＋S△ABD＋S△ACD＝＋4．]
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