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第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式
[考试要求]　1．理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α．
2．掌握诱导公式，并会简单应用．
知识点1　同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝________．
(2)商数关系：＝tan n α．
知识点2　三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α ______ ______ ______ ______ ______
余弦 cos α ______ ______ ______ ______ ______
正切 tan α ______ ______ ______
口诀 奇变偶不变，符号看象限
[常用结论]
1．同角三角函数关系式的常用变形
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α．
(2)sin α＝tan αcos α．
(3)sin2α＝＝；
cos2α＝＝．
2．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．
1．(湘教版必修第一册P168例5改编)已知α是第四象限角，sinα＝－，则tan α＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
2．(人教A版必修第一册P186习题5.2 T15改编)已知tan α＝3，则＝(　　)
A．1 B．2
C．－1 D．－2
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3．(北师大版必修第二册P24例8(3))求值：sin cos ＋sin cos ＝________．
4．(人教A版必修第一册P195习题5.3T8)已知sin ＝，且0___________________________________________________________________
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5．(北师大版必修第二册P151习题4－1 B组T2改编)若sin x cos x＝，则cos x－sin x的值是(　　)
A．± B．
C．－ D．±
考点一　同角三角函数的基本关系
[典例1]　(1)(多选)下列各运算正确的是(　　)
A．已知cos α＝－，则tan α＝－
B．已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan α＝3或－
C．已知tan α＝2，π<α<，则cos α－sin α＝
D．已知＝5，则cos2α＋sin2α＝或－
(2)(多选)(2026·张家口模拟)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是(　　)
A．θ∈ B．cos θ＝－
C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝
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思维建模：1．齐次化切模型(如：本例(1)选项D)
第1步　化齐次：非齐次化分式，确保正、余弦的幂值相等，一般用sin2α＋cos2α＝1化齐次．
第2步　除同次余弦：分式的分子、分母同时除以同次幂的余弦．
第3步　化切求值：化成正切式，代入求值．
2．sinθ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ和差积知一求二(如：本例(2))
第1步　判断是否常见：判断是否为常见的平方和为1的数，若常见，则猜根求结果；若不常见，则执行第2～4步．
第2步　和差平方(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ；(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ．
第3步　解对应方程．
第4步　代入，定符号：根据已知角的范围或隐含条件，确定三角函数的符号并求值．
考点二　诱导公式的应用
[典例2]　(1)(多选)(2025·沈阳期末)下列诱导公式正确的是(　　)
A．sin (3π＋α)＝sin α
B．sin ＝－cos
C．cos ＝sin 2α
D．cos (9π－3α)＝cos 3α
(2)(2026·临清市模拟)已知sin ＝，那么tan ＝(　　)
A．－ B．±2
C． D．2
(3)化简＝________．
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通性通法：诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
考点三　基本关系式和诱导公式的综合应用
[典例3]　已知函数f (α)＝．
(1)求证：f (α)＝sin α；
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(2)若f (α)＝，且α为第二象限角，求tan α·－1的值．
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通性通法：(1)利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响．
1．(链接考点二)(多选)(2026·上饶模拟)下列计算正确的是(　　)
A．sin ＝－ B．cos ＝－
C．cos π＝1 D．tan ＝－1
2．(链接考点一)(2026·庆阳模拟)已知α是第三象限角，且sin α＝－，则3cos α＋4tan α＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
3．(链接考点一)已知sin α＋cos α＝sin αcos α，则sin α＋cos α＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
4．(链接考点三)(2026·杭州模拟)已知cos ＋3cos (α－π)＝0，则＝____．
第30课时　同角三角函数的基本
关系与诱导公式
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点1　(1)1
知识点2　－sin α　－sin α　sin α　cos α　cos α　－cos α　cos α　－cos α　sin α　－sin α　tan α　－tan α　－tan α
链教材·夯基固本
1．A　[由题意得cos α＝，
故tan α＝＝－．故选A．]
2．B　[＝2．
故选B．]
3．　[sincos＋sincos
＝sincos＋sincos
＝sincos＝2××．]
4．　－　[因为00，所以0<－x<，所以
cos ．
sin＝sin
＝cos；
cos＝cos
＝－cos＝－．]
5．A　[(cos x－sin x)2＝1－2sin xcos x＝1－2×，所以cos x－sin x＝±．]
考点深研·题型突破
考点一
典例1　(1)BC　(2)ABC　[(1)对于A，因为cos α＝－<0且cos α≠－1，
所以α是第二或第三象限角．
①若α是第二象限角，
则sin α＝，
所以tan α＝＝－．
②若α是第三象限角，
则sin α＝－
＝－＝－，
所以tan α＝，A错误；
对于B，由sin α＋2cos α＝，
两边平方可得sin2α＋4cos2α＋4sin αcos α＝，
因此，，分子、分母同除以cos2α可得，整理可得3tan2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－，B正确；
对于C，因为tan α＝＝2，且sin2α＋cos2α＝1，π<α<，所以sin α＝－，cos α＝－，所以cos α－sin α＝－，C正确；
对于D，由＝5，得＝5，
可得tan α＝2，
则cos2α＋sin 2α＝cos2α＋sin αcos α
＝，D错误．故选BC．
(2)因为sin θ＋cos θ＝，
则(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，
所以2sin θcos θ＝－<0，
又因为θ∈(0，π)，则sin θ>0，cos θ<0，所以θ∈，A正确；
又sin θ－cos θ>0，
(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
所以sin θ－cos θ＝，D错误；
联立可得sin θ＝，cos θ＝－，tan θ＝＝－，故B，C正确．
故选ABC．]
考点二
典例2　(1)BC　(2)B　(3)－1　[(1)对于A，sin(3π＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α，故A错误；
对于B，sin＝sin＝－sin＝－cos ，故B正确；
对于C，cos＝cos＝sin 2α，故C正确；
对于D，cos(9π－3α)＝cos(π－3α)＝－cos 3α，故D错误．
故选BC．
(2)因为sin，
所以cos＝cos＝sin，则sin＝±＝±，
所以tan＝±2．
故选B．
(3)∵cos 10°>sin 10°，
∴原式＝
＝
＝
＝＝－1．]
考点三
典例3　(1)证明：f (α)＝
＝＝sin α，得证．
(2)解：因为f (α)＝sin α＝，且α为第二象限角，所以cos α＝－＝－，
所以tan α＝＝－，所以tan α·－1＝×－1＝－．
随堂·对点检测
1．AD　[sin＝－sin＝－，所以A选项正确；
cos＝cos＝－cos＝－，
所以B选项错误；
cos π＝－cos 0＝－1，所以C选项错误；
tan＝tan＝－tan＝－1，D选项正确．
故选AD．]
2．A　[∵α是第三象限角，且sin α＝－，∴cos α＝－＝－，
∴tan α＝，
则3cos α＋4tan α＝－2＝－．
故选A．]
3．D　[因为sin αcos α＝，
所以sin α＋cos α＝×，
化简得3(sin α＋cos α)2－8(sin α＋cos α)－3＝0，
解得sin α＋cos α＝－或sin α＋cos α＝3(舍去)．
故选D．]
4．－　[由题意可得cos＋3cos(α－π)＝－sin α－3cos α＝0，
所以－sin α＝3cos α，可得tan α＝－3，
所以＝tan α·(1－sin2α) ＝tan α·＝tan α·＝－3×＝－．]
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第四章　三角函数与解三角形
第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式
[考试要求]　1．理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α．2．掌握诱导公式，并会简单应用．
理法先行·题练固本
知识点1　同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝ __ ．
(2)商数关系：＝tan α．
1
知识点2　三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α ________ ________ ______ ______ ______
余弦 cos α ________ ______ ________ ______ ________
正切 tan α ______ ________ ________
口诀 奇变偶不变，符号看象限
－sin α
－sin α
sin α
cos α
cos α
－cos α
cos α　
－cos α
sin α
－sin α
tan α
－tan α
－tan α
[常用结论]
1．同角三角函数关系式的常用变形
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α．
(2)sin α＝tan αcos α．
(3)sin2α＝；
cos2α＝．
2．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．
1．(湘教版必修第一册P168例5改编)已知α是第四象限角，sin α＝－，则tan α＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
√
A　[由题意得cos α＝，
故tan α＝＝－．故选A．]
2．(人教A版必修第一册P186习题5.2 T15改编)已知tan α＝3，则＝(　　)
A．1 B．2
C．－1 D．－2
√
B　[＝2．
故选B．]
3．(北师大版必修第二册P24例8(3))求值：sin·cos＋sincos＝______________．
　[sincos＋sincos
＝sincos＋sincos
＝sincos＝2×．]
　
4．(人教A版必修第一册P195习题5.3T8)已知sin，且0　－　[因为00，所以0<－x<，所以cos ．
sin＝sin ＝cos；cos＝cos＝－cos＝－．]
　
－　
5．(北师大版必修第二册P151习题4－1 B组T2改编)若sin xcos x＝，则cos x－sin x的值是(　　)
A．± B．
C．－ D．±
√
A　[(cos x－sin x)2＝1－2sin xcos x＝1－2×，所以cos x－sin x＝±．]
考点深研·题型突破
考点一　同角三角函数的基本关系
[典例1]　(1)(多选)下列各运算正确的是(　　)
A．已知cos α＝－，则tan α＝－
B．已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan α＝3或－
C．已知tan α＝2，π<α<，则cos α－sin α＝
D．已知＝5，则cos2α＋sin 2α＝或－
√
√
(2)(多选)(2026·张家口模拟)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是(　　)
A．θ∈ B．cos θ＝－
C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝
√
√
√
(1)BC　(2)ABC　[(1)对于A，因为cos α＝－<0且cos α≠－1，
所以α是第二或第三象限角．
①若α是第二象限角，
则sin α＝ ，
所以tan α＝＝－．
②若α是第三象限角，
则sin α＝－＝－＝－，
所以tan α＝，A错误；
对于B，由sin α＋2cos α＝，
两边平方可得sin2α＋4cos2α＋4sin αcos α＝，
因此，，分子、分母同除以cos2α可得，整理可得3tan2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－，B正确；
对于C，因为tan α＝＝2，且sin2α＋cos2α＝1，π<α<，所以sin α ＝－，cos α＝－，
所以cos α－sin α＝－，C正确；
对于D，由＝5，得＝5，
可得tan α＝2，
则cos2α＋sin 2α＝cos2α＋sin αcos α
＝，D错误．
故选BC．
(2)因为sin θ＋cos θ＝，
则(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，
所以2sin θcos θ＝－<0，
又因为θ∈(0，π)，则sin θ>0，cos θ<0，所以θ∈，A正确；
又sin θ－cos θ>0，
(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
所以sin θ－cos θ＝，D错误；
联立可得sin θ＝，cos θ＝－，tan θ＝＝－，故B，C正确．故选ABC．]
思维建模：1．齐次化切模型(如：本例(1)选项D)
第1步　化齐次：非齐次化分式，确保正、余弦的幂值相等，一般用sin2α＋cos2α＝1化齐次．
第2步　除同次余弦：分式的分子、分母同时除以同次幂的余弦．
第3步　化切求值：化成正切式，代入求值．
2．sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ和差积知一求二(如：本例(2))
第1步　判断是否常见：判断是否为常见的平方和为1的数，若常见，则猜根求结果；若不常见，则执行第2～4步．
第2步　和差平方(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ；(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ．
第3步　解对应方程．
第4步　代入，定符号：根据已知角的范围或隐含条件，确定角最终符号并求值．
考点二　诱导公式的应用
[典例2]　(1)(多选)(2025·沈阳期末)下列诱导公式正确的是(　　)
A．sin(3π＋α)＝sin α
B．sin＝－cos
C．cos＝sin 2α
D．cos(9π－3α)＝cos 3α
√
√
(2)(2026·临清市模拟)已知sin，那么tan＝
(　　)
A．－ B．±2
C． D．2
(3)化简＝______________．
√
－1
(1)BC　(2)B　(3)－1　[(1)对于A，sin(3π＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α，故A错误；
对于B，sin＝sin＝－sin＝－cos ，故B正确；
对于C，cos＝cos＝sin 2α，故C正确；
对于D，cos(9π－3α)＝cos(π－3α)＝－cos 3α，故D错误．
故选BC．
(2)因为sin，
所以cos＝cos＝sin，
则sin＝±＝±，
所以tan＝±2．
故选B．
(3)∵cos 10°>sin 10°，
∴原式＝
＝
＝＝－1．]
通性通法：诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
考点三　基本关系式和诱导公式的综合应用
[典例3]　已知函数f (α)＝．
(1)求证：f (α)＝sin α；
(2)若f (α)＝，且α为第二象限角，求tan α·－1的值．
[解]　(1)证明：f (α)＝＝＝sin α，得证．
(2)因为f (α)＝sin α＝，且α为第二象限角，所以cos α＝
－＝－，所以tan α＝＝－，所以tan α·－1＝－1＝－．
通性通法：(1)利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响．
1．(链接考点二)(多选)(2026·上饶模拟)下列计算正确的是(　　)
A．sin＝－ B．cos＝－
C．cos π＝1 D．tan＝－1
√
√
AD　[sin＝－sin＝－，所以A选项正确；
cos＝cos＝－cos＝－，所以B选项错误；
cos π＝－cos 0＝－1，所以C选项错误；
tan＝tan＝－tan＝－1，D选项正确．
故选AD．]
2．(链接考点一)(2026·庆阳模拟)已知α是第三象限角，且sin α＝
－，则3cos α＋4tan α＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
√
A　[∵α是第三象限角，且sin α＝－，
∴cos α＝－＝－，∴tan α＝，
则3cos α＋4tan α＝－2＝－．
故选A．]
3．(链接考点一)已知sin α＋cos α＝sin αcos α，则sin α＋cos α＝
(　　)
A． B．
C．－ D．－
√
D　[因为sin αcos α＝，
所以sin α＋cos α＝，
化简得3(sin α＋cos α)2－8(sin α＋cos α)－3＝0，
解得sin α＋cos α＝－或sin α＋cos α＝3(舍去)．
故选D．]
4．(链接考点三)(2026·杭州模拟)已知cos＋3cos(α－π)＝0，则＝______________．
－　[由题意可得cos＋3cos(α－π)＝－sin α－3cos α＝0，
所以－sin α＝3cos α，可得tan α＝－3，
所以＝tan α(1－sin2α) ＝tan α·＝tan α·＝－3×＝－．]
－　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
一、单项选择题
1．sin 2 025°＋tan 2 025°＝(　　)
A．2 B．1
C．0 D．－2
课时作业(三十)　同角三角函数的基本关系与诱导公式
C　[sin 2 025°＋tan 2 025°＝sin(5×360°＋225°)＋tan(5×360°＋225°)＝＋1＝－1＋1＝0．故选C．]
√
2．(2025·渭南期末)已知tan θ＝2，则＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
C　[由于tan θ＝2，
则＝－．故选C．]
√
3．(2025·鞍山模拟)已知sin＝－，则cos＝(　　)
A．－ B．
C． D．－
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
A　[因为sin＝－＝cos＝cos＝cos，
所以cos ＝－．
故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
4．(2025·抚州模拟)化简的结果为
(　　)
A．sin 2－cos 2 B．sin 2＋cos 2
C．cos 2－sin 2 D．－(sin 2＋cos 2)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
B　[
＝sin 2＋cos 2．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
5．若α是第三象限角，且sin α－2cos α＝1，则tan α＝(　　)
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
B　[因为sin α－2cos α＝1，所以sin α＝2cos α＋1，又sin2α＋cos2α＝1，
所以5cos2α＋4cos α＝0，解得cos α＝－或cos α＝0，
又因为α是第三象限角，
所以cos α＝－，sin α＝2×＋1＝－，
可得tan α＝．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
6．(2025·广州模拟)已知θ∈，sin θ－cos θ＝，则sin3θ＋cos3θ＝(　　)
A． B．
C．－ D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
C　[将已知等式两边平方，
可得sin2θ＋cos2θ－2sin θcos θ＝1－2sin θcos θ＝，
∴sin θcos θ＝－，可得(sin θ＋cos θ)2＝，
而sin θ＋cos θ＝sin，
又θ＋，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
∴sin<0，
∴sin θ＋cos θ＝－，
∴sin3θ＋cos3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ)＝－＝－．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
二、多项选择题
7．(2025·西安模拟)在△ABC中，下列结论正确的是(　　)
A．sin(A＋B)＝－sin C
B．sin＝cos
C．tan(A＋B)＝－tan C
D．cos(A＋B)＝cos C
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
BC　[由题意可得A＋B＋C＝π，
对于A，sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，故A错误；
对于B，sin＝sin＝cos，故B正确；
对于C，tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，故C正确；
对于D，cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，故D错误．
故选BC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
8．(2025·泸州模拟)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则(　　)
A．sin θcos θ＝－ B．sin θ－cos θ＝
C．sin θ－cos θ＝ D．tan θ＝－
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
√
ACD　[对于A，因为sin θ＋cos θ＝，
所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，
即sin θcos θ＝－，A正确；
对于B，C，(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
因为θ∈(0，π)，且sin θcos θ＝－<0，
所以sin θ>0，cos θ<0，即sin θ－cos θ>0，
所以sin θ－cos θ＝，B错误，C正确；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
对于D，联立
解得sin θ＝，cos θ＝－，
所以tan θ＝－，D正确．
故选ACD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
三、填空题
9．(人教B版必修第三册P26练习B T2改编)如果tan α＝2，那么＝______________，sin2α－cos2α＝______________，sin4α－cos4α＝______________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
1　
1　　　[由tan α＝2，得＝1，
sin2α－cos2α＝，sin4α－cos4α＝(sin2α－cos2α)(sin2α＋cos2α)＝．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
10．已知角α终边上一点P(－4，3)，则＝______________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
　[∵角α终边上一点P(－4，3)，∴tan α＝－，
则原式＝＝．]
　
四、解答题
11．已知f (α)＝．
(1)若α∈(0，2π)，且f (α)＝－，求α的值；
(2)若f (α)－f，且α∈，求tan α的值．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
[解]　(1) f (α)＝＝
＝＝sin α．
所以f (α)＝sin α＝－，
因为α∈(0，2π)，所以α＝或α＝．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
(2)由(1)知f (α)＝sin α，
所以f (α)－f ＝sin α－sin＝sin α＋cos α＝，
所以sin α＝－cos α，所以cos2α＋＝1，
即(5cos α－4)(5cos α＋3)＝0，
所以cos α＝或cos α＝－．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
又因为α∈，
所以cos α＝－，
所以sin α＝－cos α＝．
所以tan α＝＝－．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
谢谢！课时作业(三十)　同角三角函数的基本关系与诱导公式
一、单项选择题
1．sin 2 025°＋tan 2 025°＝(　　)
A．2 B．1
C．0 D．－2
2．(2025·渭南期末)已知tan θ＝2，则＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
3．(2025·鞍山模拟)已知sin ，则cos ＝(　　)
A．－ B．
C． D．－
4．(2025·抚州模拟)化简的结果为(　　)
A．sin 2－cos 2 B．sin 2＋cos 2
C．cos 2－sin 2 D．－(sin 2＋cos 2)
5．若α是第三象限角，且sin α－2cos α＝1，则tan α＝(　　)
A． B．
C． D．
6．(2025·广州模拟)已知θ∈，sin θ－cos θ＝，则sin3θ＋cos3θ＝(　　)
A． B．
C．－ D．
二、多项选择题
7．(2025·西安模拟)在△ABC中，下列结论正确的是(　　)
A．sin(A＋B)＝－sin C B．sin ＝cos
C．tan(A＋B)＝－tan C D．cos (A＋B)＝cos C
8．(2025·泸州模拟)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则(　　)
A．sin θcos θ＝－ B．sin θ－cos θ＝
C．sin θ－cos θ＝ D．tan θ＝－
三、填空题
9．(人教B版必修第三册P26练习B T2改编)如果tan α＝2，那么＝________，sin2α－cos2α＝________，sin4α－cos4α＝________．
10．已知角α终边上一点P(－4，3)，则＝________．
四、解答题
11．(13分)已知f (α)＝．
(1)若α∈(0，2π)，且f (α)＝－，求α的值；
(2)若f (α)－f，且α∈，求tan α的值．
课时作业(三十)
1．C　[sin 2 025°＋tan 2 025°＝sin(5×360°＋225°)＋tan(5×360°＋225°)＝×＋1＝－1＋1＝0．故选C．]
2．C　[由于tan θ＝2，
则＝－．
故选C．]
3．A　[因为sin＝－
＝cos＝cos
＝cos，
所以cos ＝－．
故选A．]
4．B　[
＝
＝sin 2＋cos 2．
故选B．]
5．B　[因为sin α－2cos α＝1，
所以sin α＝2cos α＋1，又sin2α＋cos2α＝1，
所以5cos2α＋4cos α＝0，解得cos α＝－或cos α＝0，
又因为α是第三象限角，
所以cos α＝－，sin α＝2×＋1＝－，
可得tan α＝．故选B．]
6．C　[将已知等式两边平方，可得sin2θ＋cos2θ－2sin θcos θ＝1－2sin θcos θ＝，
∴sin θcos θ＝－，可得(sin θ＋cos θ)2＝，
而sin θ＋cos θ＝sin，
又θ＋∈，
∴sin<0，
∴sin θ＋cos θ＝－，
∴sin3θ＋cos3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ)＝－×＝－．
故选C．]
7．BC　[由题意可得A＋B＋C＝π，
对于A，sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，故A错误；
对于B，sin＝sin＝cos，故B正确；
对于C，tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，故C正确；
对于D，cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，故D错误．
故选BC．]
8．ACD　[对于A，因为sin θ＋cos θ＝，
所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，
即sin θcos θ＝－，A正确；
对于B，C，(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
因为θ∈(0，π)，且sin θcos θ＝－<0，
所以sin θ>0，cos θ<0，即sin θ－cos θ>0，
所以sin θ－cos θ＝，B错误，C正确；
对于D，联立
解得sin θ＝，cos θ＝－，
所以tan θ＝－，D正确．
故选ACD．]
9.1　　　[由tan α＝2，得
＝1，
sin2α－cos2α＝，sin4α－cos4α＝(sin2α－cos2α)·(sin2α＋cos2α)＝．]
10．　[∵角α终边上一点P(－4，3)，
∴tan α＝－，
则原式＝
＝．]
11．解：(1)f (α)＝
＝
＝＝sin α．
所以f (α)＝sin α＝－，
因为α∈(0，2π)，所以α＝或α＝．
(2)由(1)知f (α)＝sin α，
所以f (α)－f＝sin α－sin＝sin α＋cos α＝，
所以sin α＝－cos α，
所以cos2α＋＝1，
即(5cos α－4)(5cos α＋3)＝0，
所以cos α＝或cos α＝－．
又因为α∈，
所以cos α＝－，
所以sin α＝－cos α＝．
所以tan α＝×＝－．
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