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第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式
[考试要求]　1．会推导两角差的余弦公式．2．能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，并会简单应用．
知识点1　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式
知识点2　辅助角公式
a sin α＋b cos α＝____________，其中sin φ＝，cos φ＝．
[常用结论]
1．升幂、降幂公式
(1)1＋cos 2α＝2cos2α，(2)1－cos2α＝2sin2α，
(3)1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2，
(4)1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
(5)cos2α＝n2α＝
2．公式的常用变形
(1)tan α±tan β＝tan (α±β)(1 tan αtan β)，
(2)sin α±cos α＝sin ，
(3)sin 2α＝＝4)cos2α＝＝，
(5)若α＋β＝，则(1＋tanα)(1＋tan β)＝2．
1．(人教A版必修第一册P229习题5.5T6(1)改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
2．(人教A版必修第一册P223练习T2)已知sin (α－π)＝，则cos 2α＝________．
3．(苏教版必修第二册P55例2)求值cos 15°＝________．
4．(北师大版必修第二册P156例4)已知tan α＝2，tan β＝－，则tan (α－β)＝________．
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5．(湘教版必修第二册P76习题2.1T5改编)已知cos α＋sin α＝，则cos ＝________．
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6．(人教A版必修第一册P254复习参考题5T12(3))若α＋β＝，则(1－tan α)(1－tan β)＝________．
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考点一　公式的基本应用
[典例1]　(1)(2025·全国二卷)已知0＜α＜π，cos ＝，则sin ＝(　　)
A． B．
C． D．
(2)(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝(　　)
A．－3m B．－
C． D．3m
(3)(2024·全国甲卷)已知＝，则tan ＝(　　)
A．2＋1 B．2－1
C． D．1－
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通性通法：使用两角和、差及倍角公式时，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．
考点二　公式的逆用及变形应用
　辅助角公式及其应用
[典例2]　(1)(2025·沈阳质量检测)已知sin ＋cos ＝1，则cos ＝(　　)
A． B．－
C． D．－
(2)(2020·北京卷)若函数f (x)＝sin (x＋φ)＋cos x的最大值为2，则常数φ的一个取值为________．
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　公式的逆用
[典例3]　(多选)(2025·柳州模拟)下列化简正确的是(　　)
A．cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°＝－
B．sin 15°sin 30°sin 75°＝
C．＝
D．cos2－sin2＝
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　公式的变形应用
[典例4]　(2025·遵化市期末)已知α＋β＝，则(1＋tanα)·(1＋tan β)＝(　　)
A．－1 B．－2
C．2 D．3
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通性通法：(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan (α＋β)(或tan (α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．
(3)对a sin x＋b cos x化简时，要清楚如何求辅助角φ的值．
考点三　角的变换与名的变换
[典例5]　(1)(2025·凌源市期末)已知角α，β均为锐角，满足cos (α＋β)＝，sin β＝，则cos (α＋2β)＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)若sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2cos sin β，则(　　)
A．tan (α＋β)＝1 B．tan (α＋β)＝－1
C．tan (α－β)＝1 D．tan (α－β)＝－1
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思维建模：凑角求值模型(常见于“给值求值”)
第1步　作和或作差：将两角作和或作差使之为定值或题中角．
第2步　换角：用已知角表示未知角．
第3步　化简求值，注意范围：根据角的范围化简求值即可．
[多维变迁]
(2026·秦皇岛模拟)已知角α，β满足cos β＝，cos αcos (α＋β)＝，则cos (2α＋β)＝(　　)
A． B．
C． D．
万能公式
(1)sin α＝，(2)cosα＝，
(3)tanα＝．
上述三个公式统称为万能公式．所谓“万能”，就是通过半角代换将任意角α的三角函数转换成关于tan的函数(这里的角α、角需使三角函数有意义)．
[典例6]　(2025·成都锦江区期末)已知tan ＝3，则＝(　　)
A． B．
C． D．
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1．(链接考向2)(多选)(2025·淄博期末)下列各式的值为1的是(　　)
A．
B．4sin sin
C．sin 72°cos 18°－cos 108°sin 18°
D．2cos222.5°－1
2．(链接考向1)sin15°＋sin 75°＝(　　)
A． B．
C． D．
3．(链接考向3)已知α，β∈，tan α＋tan β＋＝tan αtan β，则α＋β＝(　　)
A． B．
C． D．
4．(链接考点三)(2026·吉安市模拟)已知sin (α＋β)＝，sin (α－β)＝，则cos2α－cos2β＝(　　)
A． B．－
C． D．－
5．(链接考点一)(2025·楚雄州期末)已知α为第四象限角，且cosα＝，则sin α＝ ________，cos ＝________．
第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和
正切公式
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点2　sin(α＋φ)
链教材·夯基固本
1．D　[sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝．故选D．]
2．　[因为sin(α－π)＝－sin α＝，
所以sin α＝－，所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×．]
3．　[cos 15°＝cos(60°－45°)
＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝．]
4.7　[tan(α－β)＝
＝＝7．]
5．　[由题意，得coscos α＋sinsin α＝，即cos．]
6.2　[由tan(α＋β)＝＝tan ＝－1，得tan α＋tan β－tan αtan β＋1＝0，所以(1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2．]
考点深研·题型突破
考点一
典例1　(1)D　(2)A　(3)B　[(1)cos α＝2cos2－1＝2×－1＝－，因为0<α<π，所以sin α＝，所以sin(sin α－cos α)＝×．
(2)因为cos(α＋β)＝m，
所以cos αcos β－sin αsin β＝m，
而tan αtan β＝2，
所以sin αsin β＝2cos αcos β，
故cos αcos β－2cos αcos β＝m，
即cos αcos β＝－m，
从而sin αsin β＝－2m，
故cos(α－β)＝－3m．故选A．
(3)因为，
所以，解得tan α＝1－，
所以tan＝2－1．
故选B．]
考点二
考向1　典例2　(1)B　(2)
[(1)由sin＋cos＝1，得cos θ＋cos θ＋sin θ＝cos θ＋sin θ＝1，
所以cos＝1，
所以cos，
则cos＝2cos2－1＝－．故选B．
(2)f (x)＝sin(x＋φ)＋cos x＝sin xcos φ＋cos xsin φ＋cos x＝cos φsin x＋(sin φ＋1)·cos x＝·sin(x＋θ)，由f (x)的最大值为2，所以＝2，化简可得sin φ＝1，则φ可为，其取值满足φ＝＋2kπ(k∈Z)即可．]
考向2　典例3　ABD　[对于A，cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°＝sin(52°－82°)＝－，故A正确；
对于B，sin 15°sin 30°sin 75°＝sin 15°cos 15°＝×sin 30°＝，故B正确；
对于C，＝tan(48°＋72°)＝－，故C错误；
对于D，由二倍角公式可得，
cos2－sin2＝cos，故D正确．
故选ABD．]
考向3　典例4　C　[∵α＋β＝，
∴tan(α＋β)＝tan＝tan＝tan＝1，
∴＝1，化简得tan α＋tan β＝1－tan αtan β，
可得(1＋tan α)·(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan α·tan β＝1＋1－tan αtan β＋tan αtan β＝2．
故选C．]
考点三
典例5　(1)C　(2)D　[(1)因为角α，β均为锐角，所以α＋β∈(0，π)，
因为cos(α＋β)＝，sin β＝，
所以sin(α＋β)＝，cos β＝，
所以cos(α＋2β)＝cos[(α＋β)＋β]
＝cos(α＋β)cos β－sin(α＋β)sin β
＝××
＝－．
故选C．
(2)法一：设β＝0，则sin α＋cos α＝0，取α＝，排除A，C；
再取α＝0，则sin β＋cos β＝2sin β，取β＝，排除B．故选D．
法二：∵sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2·cossin β，
∴sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝2(cos α－sin α)sin β＝2cos αsin β－2sin αsin β，
∴sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，
即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，
∴sin(α－β)＝－cos(α－β)，
∴tan(α－β)＝－1．]
多维变迁
　C　[∵cos β＝，cos αcos(α＋β)＝，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos[α－(α＋β)]
＝cos αcos(α＋β)＋sin αsin(α＋β)＝＋sin αsin(α＋β)＝，
∴sin αsin(α＋β)＝，
∴cos(2α＋β)＝cos[α＋(α＋β)]
＝cos αcos(α＋β)－sin αsin(α＋β)
＝．
故选C．]
教材拓展4
典例6　B　[因为tan＝3，
所以sin α＝，
cos α＝＝－，
则．
故选B．]
随堂·对点检测
1．BC　[对于A，＝
－＝－tan(20°＋25°)＝－1，不符合题意；
对于B，4sinsin＝4sincos＝2sin
＝2×＝1，符合题意；
对于C，sin 72°cos 18°－cos 108°sin 18°＝sin 72°cos 18°＋cos 72°sin 18°＝sin(72°＋18°)＝1，符合题意；
对于D，2cos222.5°－1＝cos 45°＝，不符合题意．
故选BC．]
2．D　[sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝sin(15°＋45°)＝×．
故选D．]
3．C　[tan α＋tan β＝－(1－tan αtan β)，因为α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，
所以tan(α＋β)＝＝－，
故α＋β＝．
故选C．]
4．D　[cos2α－cos2β＝(cos 2α－cos 2β)＝[cos(α＋β＋α－β)－cos(α＋β－α＋β)]＝－sin(α＋β)·sin(α－β)＝－×＝－．故选D．]
5．－　　[因为cos α＝，且α为第四象限角，
所以sin α＝－，
所以coscos α－sin α＝．]
1 / 6(共70张PPT)
第四章　三角函数与解三角形
第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式
[考试要求]　1．会推导两角差的余弦公式．2．能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，并会简单应用．
理法先行·题练固本
知识点1　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式
知识点2　辅助角公式
asin α＋bcos α＝________________，其中sin φ＝，cos φ＝．
sin(α＋φ)
[常用结论]
1．升幂、降幂公式
(1)1＋cos 2α＝2cos2α，
(2)1－cos 2α＝2sin2α，
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
(4)1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
(5)cos2α＝，sin2α＝．
2．公式的常用变形
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β)，
(2)sin α±cos α＝sin，
(3)sin 2α＝，
(4)cos 2α＝，
(5)若α＋β＝，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝2．
1．(人教A版必修第一册P229习题5.5T6(1)改编)sin 20°cos 10°
－cos 160°sin 10°＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
√
D　[sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝．故选D．]
2．(人教A版必修第一册P223练习T2)已知sin(α－π)＝，则cos 2α＝______________．
　[因为sin(α－π)＝－sin α＝，所以sin α＝－，
所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×．]
　
3．(苏教版必修第二册P55例2)求值cos 15°＝______________．
　[cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°·sin 45°＝．]
　
4．(北师大版必修第二册P156例4)已知tan α＝2，tan β＝－，则tan(α－β)＝______________．
7　[tan(α－β)＝＝7．]
7
5．(湘教版必修第二册P76习题2.1T5改编)已知cos α＋sin α＝，则cos＝______________．
　[由题意，得coscos α＋sinsin α＝，
即cos．]
　
6．(人教A版必修第一册P254复习参考题5T12(3))若α＋β＝，则(1－tan α)(1－tan β)＝______________．
2　[由tan(α＋β)＝＝tan ＝－1，得tan α＋tan β－tan αtan β＋1＝0，所以(1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2．]
2
考点深研·题型突破
考点一　公式的基本应用
[典例1]　(1)(2025·全国二卷)已知0<α<π，cos，则sin＝(　　)
A． B．
C． D．
√
(2)(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)＝(　　)
A．－3m B．－
C． D．3m
(3)(2024·全国甲卷)已知，则tan＝(　　)
A．2＋1 B．2－1
C． D．1－
√
√
(1)D　(2)A　(3)B　[(1)cos α＝2cos2－1＝2×－1＝－，因为0<α<π，所以sin α＝，
所以sin(sin α－cos α)＝．
(2)因为cos(α＋β)＝m，
所以cos αcos β－sin αsin β＝m，
而tan αtan β＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β，
故cos αcos β－2cos αcos β＝m，即cos αcos β＝－m，
从而sin αsin β＝－2m，故cos(α－β)＝－3m．
故选A．
(3)因为，
所以，解得tan α＝1－，
所以tan＝2－1．
故选B．]
通性通法：使用两角和、差及倍角公式时，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．
考点二　公式的逆用及变形应用
考向1　辅助角公式及其应用
[典例2]　(1)(2025·沈阳质量检测)已知sin＋cos＝1，则cos＝(　　)
A． B．－
C． D．－
(2)(2020·北京卷)若函数f (x)＝sin(x＋φ)＋cos x的最大值为2，则常数φ的一个取值为________________________________．
√
(1)B　(2)
[(1)由sin＋cos＝1，得cos θ＋cos θ＋sin θ＝cos θ＋sin θ＝1，
所以cos＝1，
所以cos，
则cos＝2cos2－1＝－．故选B．
(2)f (x)＝sin(x＋φ)＋cos x＝sin xcos φ＋cos xsin φ＋cos x＝cos φsin x＋(sin φ＋1)cos x＝·sin(x＋θ)，由f (x)的最大值为2，所以＝2，化简可得sin φ＝1，则φ可为，其取值满足φ＝＋2kπ(k∈Z)即可．]
考向2　公式的逆用
[典例3]　(多选)(2025·柳州模拟)下列化简正确的是(　　)
A．cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°＝－
B．sin 15°sin 30°sin 75°＝
C．
D．cos2－sin2
√
√
√
ABD　[对于A，cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°＝sin(52°－82°)＝－，故A正确；
对于B，sin 15°sin 30°sin 75°＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故B正确；
对于C，＝tan(48°＋72°)＝－，故C错误；
对于D，由二倍角公式可得，cos2－sin2＝cos，故D正确．
故选ABD．]
考向3　公式的变形应用
[典例4]　(2025·遵化市期末)已知α＋β＝，则(1＋tan α)·(1＋tan β)＝(　　)
A．－1 B．－2
C．2 D．3
√
C　[∵α＋β＝，
∴tan(α＋β)＝tan＝tan＝tan＝1，
∴＝1，化简得tan α＋tan β＝1－tan αtan β，
可得(1＋tan α)·(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan α·tan β＝1＋1－tan αtan β＋tan αtan β＝2．
故选C．]
通性通法：(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．
(3)对asin x＋bcos x化简时，要清楚如何求辅助角φ的值．
考点三　角的变换与名的变换
[典例5]　(1)(2025·凌源市期末)已知角α，β均为锐角，满足cos(α＋β)＝，sin β＝，则cos(α＋2β)＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
√
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossin β，则(　　)
A．tan(α＋β)＝1 B．tan(α＋β)＝－1
C．tan(α－β)＝1 D．tan(α－β)＝－1
√
(1)C　(2)D　[(1)因为角α，β均为锐角，所以α＋β∈(0，π)，
因为cos(α＋β)＝，sin β＝，
所以sin(α＋β)＝，cos β＝，
所以cos(α＋2β)＝cos[(α＋β)＋β]＝cos(α＋β)cos β－sin(α＋β)sin β
＝＝－．
故选C．
(2)法一：设β＝0，则sin α＋cos α＝0，取α＝，排除A，C；
再取α＝0，则sin β＋cos β＝2sin β，取β＝，排除B．故选D．
法二：∵sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cos·sin β，
∴sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝2(cos α－sin α)sin β＝2cos αsin β－2sin αsin β，
∴sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，
即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，
∴sin(α－β)＝－cos(α－β)，
∴tan(α－β)＝－1．]
思维建模：凑角求值模型(常见于“给值求值”)
第1步　作和或作差：将两角作和或作差使之为定值或题中角．
第2步　换角：用已知角表示未知角．
第3步　化简求值，注意范围：根据角的范围化简求值即可．
【教用·通性通法】
(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝＋α＝，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，等．
(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
[多维变迁]
(2026·秦皇岛模拟)已知角α，β满足cos β＝，cos αcos(α＋β)＝，则cos(2α＋β)＝(　　)
A． B．
C． D．
√
C　[∵cos β＝，cos αcos(α＋β)＝，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos[α－(α＋β)]
＝cos αcos(α＋β)＋sin αsin(α＋β)＝＋sin αsin(α＋β)＝，
∴sin αsin(α＋β)＝，
∴cos(2α＋β)＝cos[α＋(α＋β)]＝cos αcos(α＋β)－sin αsin(α＋β)
＝．
故选C．]
【教用·备选题】
(2020·全国Ⅲ卷)已知sin θ＋sin＝1，则sin＝(　　)
A． B．
C． D．
√
B　[∵sin θ＋sinsin θ＋cos θ＝sin＝1，∴sin，故选B．]
教材拓展4　万能公式
(1)sin α＝，(2)cos α＝，
(3)tan α＝．
上述三个公式统称为万能公式．所谓“万能”，就是通过半角代换将任意角α的三角函数转换成关于tan的函数(这里的角α、角需使三角函数有意义)．
[典例6]　(2025·成都锦江区期末)已知tan＝3，则＝(　　)
A． B．
C． D．
√
B　[因为tan＝3，
所以sin α＝，cos α＝＝－，
则．故选B．]
1．(链接考向2)(多选)(2025·淄博期末)下列各式的值为1的是(　　)
A．
B．4sinsin
C．sin 72°cos 18°－cos 108°sin 18°
D．2cos222.5°－1
√
√
BC　[对于A，＝－
＝－tan(20°＋25°)＝－1，不符合题意；
对于B，4sinsin＝4sincos＝2sin＝2×＝1，符合题意；
对于C，sin 72°cos 18°－cos 108°sin 18°＝sin 72°cos 18°＋cos 72°sin 18°＝sin(72°＋18°)＝1，符合题意；
对于D，2cos222.5°－1＝cos 45°＝，不符合题意．
故选BC．]
2．(链接考向1)sin 15°＋sin 75°＝(　　)
A． B．
C． D．
√
D　[sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°
＝sin(15°＋45°)＝．
故选D．]
3．(链接考向3)已知α，β∈，tan α＋tan β＋tan αtan β，则α＋β＝(　　)
A． B．
C． D．
√
C　[tan α＋tan β＝－(1－tan αtan β)，因为α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，
所以tan(α＋β)＝＝－，
故α＋β＝．
故选C．]
4．(链接考点三)(2026·吉安市模拟)已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则cos2α－cos2β＝(　　)
A． B．－
C． D．－
D　[cos2α－cos2β＝(cos 2α－cos 2β)＝[cos(α＋β＋α－β)－cos(α＋β－α＋β)]＝－sin(α＋β)sin(α－β)＝－＝
－．故选D．]
√
5．(链接考点一)(2025·楚雄州期末)已知α为第四象限角，且cos α＝，则sin α＝ ______________，cos＝______________．
－　　[因为cos α＝，且α为第四象限角，所以sin α＝－，
所以coscos α－sin α＝．]
－
　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
一、单项选择题
1．(2025·苏州期末)cos 54°cos 24°＋sin 54°cos 66°＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
课时作业(三十一)　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[cos 54°cos 24°＋sin 54°cos 66°＝cos 54°cos 24°＋sin 54°sin 24°＝cos(54°－24°)＝cos 30°＝．故选B．]
√
2．(2025·威海期末)已知cos(α－β)＝－，sin αsin β＝－，则cos(α＋β)＝(　　)
A． B．－
C． D．－
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[因为cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－，sin αsin β＝－，
所以cos αcos β＝－，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝．
故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
3．(2025·邓州市期末)已知sin θ－cos θ＝，θ∈，则cos＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[因为sin θ－cos θ＝，
所以sin θ－cos θ＝，
所以sin，
又因为θ∈，所以θ－，
所以cos＝．
故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
4．(2025·深圳期末)已知α为第一象限角，＝－，则sin＝(　　)
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[由题意＝－，
可得－2tan α＝3tan＝3×，
所以tan α＝或tan α＝－3，
又因为α为第一象限角，可得tan α＝，
所以sin(sin 2α－cos 2α)＝
＝．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
5．(2025·常州市金坛区模拟)已知sin＝－，x∈，则tan＝(　　)
A． B．－
C．2 D．－2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[因为x∈，所以x＋，
因为sin＝－，所以x＋，
所以cos＝－＝－＝－，
所以tan，
所以tan＝tan＝－tan＝－＝－＝－．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
6．(2025·广元期末)已知sin＝－，cos，α∈，β∈，则cos(α－β)＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[因为α∈＋α∈，
由sin＝－，得
cos＝－＝－，
因为β∈＋β∈(π，2π)，
由cos，得
sin＝－＝－，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
所以sin＝sincos－cossin＝－＝－，
由sin＝sin＝－cos(α－β)，所以cos(α－β)＝．
故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
二、多项选择题
7．(人教A版必修第一册P220练习T3改编)计算下列各式的值，结果为2的有(　　)
A．tan 75°＋tan 120°
B．
C．(1＋tan 20°)·(1＋tan 25°)
D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
AC　[对于A，tan 75°＋tan 120°＝tan(45°＋30°)－tan 60°＝＝2，故A正确；
对于B，＝4，故B错误；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
对于C，(1＋tan 20°)·(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋tan 45°(1－tan 20°·tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝1＋1＝2，故C正确；
对于D，
＝＝4，故D错误．
故选AC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
8．已知tan α＝3tan β，α，β∈，则下列说法正确的是(　　)
A．若α＝，则tan(α＋β)＝2
B．若α＝2β，则α＋β＝
C．tan(α－β)的最大值为
D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
ABD　[已知tan α＝3tan β，α，β∈，
对于A，若α＝，则tan α＝1，tan β＝，
∴tan(α＋β)＝＝2，故A正确；
对于B，若α＝2β，则tan α＝tan 2β＝＝3tan β，
由β∈，得tan β>0，故＝3，
解得tan β＝，
∴β＝，α＝，故α＋β＝，故B正确；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
对于C，∵tan α＝3tan β，α，β∈，
∴tan(α－β)＝，
当且仅当＝3tan β，即tan β＝时等号成立，故C错误；
对于D，由tan α＝3tan β，得，
即sin αcos β＝3sin βcos α．
∴，故D正确．
故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
9．(2025·聊城模拟)已知sin(α－β)＝－，sin αcos β＝，则(　　)
A．cos αsin β＝－ B．sin(α＋β)＝
C．3tan α＝2tan β D．sin 2αsin 2β＝
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
BC　[因为sin αcos β＝，
sin(α－β)＝－＝sin αcos β－cos αsin β＝－cos αsin β，
所以cos αsin β＝，A错误；
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，B正确；
因为sin αcos β＝，cos αsin β＝，
所以，即3tan α＝2tan β，C正确；
sin 2αsin 2β＝2sin αcos α×(2sin βcos β)＝4(sin αcos β)·(cos αsin β)＝4×，D错误．
故选BC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
三、填空题
10．(2025·春季上海卷)已知tan α＝1，则cos＝________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
0　[因为tan α＝1，所以sin α＝cos α，
所以cos(cos α－sin α)＝0．]
0　
11．(人教A版必修第一册P254复习参考题5T12(2)改编)tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝_______．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
　[∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝，
∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)
＝tan 10°tan 50°，
∴原式＝tan 10°tan 50°＋tan 10°tan 50°＝．]
　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12．已知α∈，β∈，sin α＝，cos β＝－，则cos(α＋β)＝______________．
　[因为α∈，β∈，sin α＝，cos β＝－，所以cos α>0，sin β<0，
所以cos α＝，sin β＝－＝
－＝－，
　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝
＝．]
谢谢！课时作业(三十一)　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式
一、单项选择题
1．(2025·苏州期末)cos 54°cos 24°＋sin 54°cos 66°＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
2．(2025·威海期末)已知cos (α－β)＝－，sin αsin β＝－，则cos (α＋β)＝(　　)
A． B．－
C． D．－
3．(2025·邓州市期末)已知sin θ－cos θ＝，θ∈，则cos ＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
4．(2025·深圳期末)已知α为第一象限角，，则sin ＝(　　)
A． B．
C． D．
5．(2025·常州市金坛区模拟)已知sin ，x∈，则tan ＝(　　)
A． B．－
C．2 D．－2
6．(2025·广元期末)已知sin ，cos ，α∈，β∈，则cos (α－β)＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
二、多项选择题
7．(人教A版必修第一册P220练习T3改编)计算下列各式的值，结果为2的有(　　)
A．tan 75°＋tan 120° B．
C．(1＋tan 20°)·(1＋tan 25°) D．
8．已知tan α＝3tan β，α，β∈，则下列说法正确的是(　　)
A．若α＝，则tan (α＋β)＝2 B．若α＝2β，则α＋β＝
C．tan (α－β)的最大值为 D．
9．(2025·聊城模拟)已知sin (α－β)＝－，sin αcos β＝，则(　　)
A．cos αsin β＝－ B．sin (α＋β)＝
C．3tan α＝2tan β D．sin 2αsin 2β＝
三、填空题
10．(2025·春季上海卷)已知tan α＝1，则cos ＝________．
11．(人教A版必修第一册P254复习参考题5T12(2)改编)tan 10°＋tan 50°＋tan 10°·tan 50°＝______．
12．已知α∈，β∈，sin α＝，cos β＝－，则cos (α＋β)＝________．
课时作业(三十一)
1．B　[cos 54°cos 24°＋sin 54°cos 66°＝cos 54°cos 24°＋sin 54°sin 24°＝cos(54°－24°)＝cos 30°＝．故选B．]
2．A　[因为cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－，sin αsin β＝－，
所以cos αcos β＝－，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝．
故选A．]
3．D　[因为sin θ－cos θ＝，
所以sin θ－cos θ＝，
所以sin，
又因为θ∈，
所以θ－∈，
所以cos．
故选D．]
4．C　[由题意＝－，
可得－2tan α＝3tan
＝3×，
所以tan α＝或tan α＝－3，
又因为α为第一象限角，可得tan α＝，
所以sin(sin 2α－cos 2α)＝×
＝×．故选C．]
5．B　[因为x∈，
所以x＋∈，
因为sin＝－，
所以x＋∈，
所以cos
＝－
＝－＝－，
所以tan，
所以tan＝tan＝－tan＝－＝－＝－．
故选B．]
6．D　[因为α∈，
所以＋α∈，
由sin＝－，得cos＝－＝－，
因为β∈＋β∈(π，2π)，
由cos，得sin＝－＝－，
所以sin＝sincos－cossin
＝－××＝－，
由sin＝sin＝－cos(α－β)，所以cos(α－β)＝．
故选D．]
7．AC　[对于A，tan 75°＋tan 120°＝tan(45°＋30°)－tan 60°＝＝2，故A正确；
对于B，＝4，故B错误；
对于C，(1＋tan 20°)·(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋tan 45°·(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝1＋1＝2，故C正确；
对于D，
＝
＝
＝
＝＝4，故D错误．
故选AC．]
8．ABD　[已知tan α＝3tan β，α，β∈，
对于A，若α＝，则tan α＝1，tan β＝，
∴tan(α＋β)＝＝2，故A正确；
对于B，若α＝2β，则tan α＝tan 2β＝＝3tan β，
由β∈，得tan β>0，故＝3，解得tan β＝，
∴β＝，α＝，故α＋β＝，故B正确；
对于C，∵tan α＝3tan β，α，β∈，
∴tan(α－β)＝，
当且仅当＝3tan β，即tan β＝时等号成立，故C错误；
对于D，由tan α＝3tan β，得，即sin αcos β＝3sin βcos α．
∴＝
，故D正确．
故选ABD．]
9．BC　[因为sin αcos β＝，
sin(α－β)＝－＝sin αcos β－cos αsin β＝－cos αsin β，
所以cos αsin β＝，A错误；
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，B正确；
因为sin αcos β＝，cos αsin β＝，
所以，
即3tan α＝2tan β，C正确；
sin 2αsin 2β＝2sin αcos α×(2sin βcos β)＝4(sin αcos β)(cos αsin β)＝4××，D错误．
故选BC．]
10.0　[因为tan α＝1，所以sin α＝cos α，
所以cos(cos α－sin α)＝0．]
11．　[∵tan 60°＝tan(10°＋50°)
＝，
∴tan 10°＋tan 50°
＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)
＝tan 10°tan 50°，
∴原式＝tan 10°tan 50°＋tan 10°·tan 50°＝．]
12．　[因为α∈，β∈，sin α＝，cos β＝－，
所以cos α>0，sin β<0，
所以cos α＝，sin β＝－＝－＝－，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝××
＝．]
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