资源简介

第32课时　简单的三角恒等变换
[考试要求]　1．会根据相关公式进行化简和求值．2．会利用三角函数式的化简与求值解决一些简单的问题．
知识点1　半角公式(不要求记忆)
sin ＝±；cos ＝±；
tan ＝±．
知识点2　积化和差与和差化积
(1)积化和差公式
cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]；
sin αsin β＝－[cos (α＋β)－cos (α－β)]；
sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)]；
cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)]．
(2)和差化积公式
sin θ＋sin φ＝2sin cos ；
sin θ－sin φ＝2cos sin ；
cos θ＋cos φ＝2cos cos ；
cos θ－cos φ＝－2sin sin ．
1．(人教A版必修第一册P226练习T2改编)已知θ∈且sin θ＝，则sin ＝________，cos ＝________．
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2．(湘教版必修第二册P88练习T3)化简：
(1)sin(α＋β)cos β－sin (α＋2β)＝________．
(2)sin 10°＋sin 50°－cos 20°＝________．
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考点一　三角函数式的化简
[典例1]　(1)cos 20°cos 40°cos 80°＝________．
(2)－sin ＝__________．
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通性通法：(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．
考点二　三角函数式的求值
　给角求值
[典例2]　(多选)(2025·苏州市吴中区月考)下列四个等式中正确的是(　　)
A．sin 15°sin 30°sin 75°＝
B．＝4
C．＝1
D．tan20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°tan 60°＝
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通性通法：给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看不能直接求出，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且利用特殊角三角函数值而得解．
　给值求值
[典例3]　(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin (α－β)＝，cos αsin β＝，则cos (2α＋2β)＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
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通性通法：给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可．
　给值求角
[典例4]　(1)已知sin α＝，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则α＋β＝(　　)
A． B．
C． D．
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan (α－β)＝，tan β＝－，则2α－β＝________．
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通性通法：给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角．遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．
(2)若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
1．(链接考向1)(多选)(2025·岳阳质检)计算下列各式，结果为的是(　　)
A．sin 15°cos 15° B．cos215°－sin215°
C． D．
2.(链接考向2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin ＝(　　)
A． B．
C． D．
3．(链接考向3)已知tan α＝，cos β＝－，其中α，β∈(0，π)，则α－β＝ ________．
4．(链接考点一)(2025·永州月考)化简： (π＜α＜2π)＝________．
第32课时　简单的三角恒等变换
理法先行·题练固本
链教材·夯基固本
1．－　－　[∵θ∈，
且sin θ＝，
∴cos θ＝－∈，
∴sin ＝－＝－，
cos＝－＝－．]
2．(1)sin α　(2)0　[(1)原式＝[sin(α＋2β)＋sin α]－sin(α＋2β)＝sin α．
(2)原式＝2sincos－cos 20°＝2sin 30°cos 20°－cos 20°＝0．]
考点深研·题型突破
考点一
典例1　(1)　(2)0　[(1)法一：原式＝
＝
＝．
法二：原式＝[cos(20°＋40°)＋cos(20°－40°)]cos 80°
＝cos 80°＋cos 20°cos 80°
＝cos 80°＋×[cos(20°＋80°)＋cos(20°－80°)]
＝cos 80°＋cos 100°＋
＝．
(2)原式＝sin
＝sin
＝sin θ＋cos θ－sin
＝sinsin＝0．]
考点二
考向1　典例2　ABD　[对于A，sin 15°sin 30°·sin 75°＝sin 15°sin 75°＝－[cos(15°＋75°)－cos(15°－75°)]＝ ，故A正确；
对于B，
＝
＝
＝＝4，故B正确；
对于C，
＝＝2，故C错误；
对于D，因为tan 60°＝tan(20°＋40°)＝，
所以tan 20°＋tan 40°＝tan 20°·tan 40°，
即tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°tan 60°
＝tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°＝，故D正确．
故选ABD．]
考向2　典例3　B　[法一：依题意，得
所以sin αcos β＝，
所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，
所以cos(2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×．故选B．
法二(积化和差公式)：由条件，知
cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]
＝，
解得sin(α＋β)＝，
则cos(2α＋2β)＝cos[2(α＋β)]＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×．故选B．]
考向3　典例4　(1)B　(2)－　[(1)由题意知，cos α＝．
∵tan β＝－3，且β为钝角，sin2β＋cos2β＝1，
∴sin β＝，cos β＝－，
∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝××．
又∵0<α<<β<π，
∴<α＋β<，∴α＋β＝．故选B．
(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝
＝>0，
∴0<α<．
又∵tan 2α＝>0，∴0<2α<，∴tan(2α－β)＝＝1．
∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－．]
随堂·对点检测
1．BC　[对于A，sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故A错误；
对于B，cos215°－sin215°＝cos 30°＝，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝，故D错误．故选BC．]
2．D　[由题意，cos α＝＝1－2sin2，得sin2，又α为锐角，所以sin>0，所以sin，故选D．]
3．－　[由β∈(0，π)，cos β＝－，
得sin β＝，
所以tan β＝＝－，
又tan α＝，所以tan(α－β)＝＝1，
因为cos β＝－<0，则β∈，
又tan α＝>0，则α∈，则α－β∈(－π，0)，
所以α－β＝－．]
4．cos α　[因为π<α<2π，所以<π，
所以
＝
＝
＝
＝
＝cos α．]
1 / 4(共79张PPT)
第四章　三角函数与解三角形
第32课时　简单的三角恒等变换
[考试要求]　1．会根据相关公式进行化简和求值．2．会利用三角函数式的化简与求值解决一些简单的问题．
理法先行·题练固本
知识点1　半角公式(不要求记忆)
sin＝±；cos＝±；
tan ＝±．
知识点2　积化和差与和差化积
(1)积化和差公式
cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；
sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]；
sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；
cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
(2)和差化积公式
sin θ＋sin φ＝2sincos；
sin θ－sin φ＝2cossin；
cos θ＋cos φ＝2coscos；
cos θ－cos φ＝－2sinsin．
1．(人教A版必修第一册P226练习T2改编)已知θ∈且sin θ＝，则sin ＝______________，cos ＝______________．
－　
－　
－　－　[∵θ∈，且sin θ＝，
∴cos θ＝－，
∴sin ＝－＝－，
cos＝－＝－．]
2．(湘教版必修第二册P88练习T3)化简：(1)sin(α＋β)cos β－sin(α＋2β)＝______________．
(2)sin 10°＋sin 50°－cos 20°＝______________．
(1)sin α　(2)0　[(1)原式＝[sin(α＋2β)＋sin α]－sin(α＋2β)＝sin α．
(2)原式＝2sincos－cos 20°
＝2sin 30°cos 20°－cos 20°＝0．]
sin α　
0　
考点深研·题型突破
考点一　三角函数式的化简
[典例1]　(1)cos 20°cos 40°cos 80°＝______________．
(2)sin＝_______．
　
0　
(1)　(2)0　[(1)法一：原式＝
＝＝．
法二：原式＝[cos(20°＋40°)＋cos(20°－40°)]cos 80°
＝cos 80°＋cos 20°cos 80°＝cos 80°＋[cos(20°＋80°)＋cos(20°－80°)]＝cos 80°＋cos 100°＋＝．
(2)原式＝sin
＝sin
＝sin θ＋cos θ－sin
＝sinsin＝0．]
通性通法：(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．
考点二　三角函数式的求值
考向1　给角求值
[典例2]　(多选)(2025·苏州市吴中区月考)下列四个等式中正确的是(　　)
A．sin 15°sin 30°sin 75°＝
B．＝4
C．＝1
D．tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°tan 60°＝
√
√
√
ABD　[对于A，sin 15°sin 30°sin 75°＝sin 15°sin 75°＝－[cos(15°＋75°)－cos(15°－75°)]＝ ，故A正确；
对于B，＝＝4，故B正确；
对于C，＝＝2，故C错误；
对于D，因为tan 60°＝tan(20°＋40°)＝，
所以tan 20°＋tan 40°＝tan 20°tan 40°，
即tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°tan 60°
＝tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°＝，故D正确．
故选ABD．]
通性通法：给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看不能直接求出，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且利用特殊角三角函数值而得解．
考向2　给值求值
[典例3]　(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝，cos αsin β＝，则cos(2α＋2β)＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
√
B　[法一：依题意，得
所以sin αcos β＝，
所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，
所以cos(2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×．故选B．
法二(积化和差公式)：由条件，知
cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]＝，
解得sin(α＋β)＝，
则cos(2α＋2β)＝cos[2(α＋β)]＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×．故选B．]
通性通法：给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可．
【教用·备选题】
(2024·新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin(α＋β)＝______________．
－　[法一：由题意得tan(α＋β)＝＝－2，
因为α∈，β∈，k，m∈Z，
则α＋β∈((2m＋2k)π＋π，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z，
又因为tan(α＋β)＝－2<0，
－
则α＋β∈，k，m∈Z，则sin(α＋β)<0，
则＝－2，联立sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，解得sin(α＋β)＝－．
法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cos α>0，cos β<0，
cos α＝，cos β＝，
则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝cos αcos β(tan α＋tan β)
＝4cos αcos β＝＝
＝＝－．]
考向3　给值求角
[典例4]　(1)已知sin α＝，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则α＋β＝(　　)
A． B．
C． D．
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β＝______________．
√
－
(1)B　(2)－　[(1)由题意知，cos α＝．
∵tan β＝－3，且β为钝角，sin2β＋cos2β＝1，
∴sin β＝，cos β＝－，
∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝．
又∵0<α<<β<π，
∴<α＋β<，∴α＋β＝．故选B．
(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝>0，
∴0<α<．
又∵tan 2α＝>0，∴0<2α<，∴tan(2α－β)＝＝1．
∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，
∴2α－β＝－．]
通性通法：给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角．遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．
(2)若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
1．(链接考向1)(多选)(2025·岳阳质检)计算下列各式，结果为的是(　　)
A．sin 15°cos 15° B．cos215°－sin215°
C． D．
√
√
BC　[对于A，sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故A错误；
对于B，cos215°－sin215°＝cos 30°＝，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝，故D错误．
故选BC．]
2．(链接考向2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin＝(　　)
A． B．
C． D．
√
D　[由题意，cos α＝＝1－2sin2，得sin2，又α为锐角，
所以sin>0，所以sin，
故选D．]
3．(链接考向3)已知tan α＝，cos β＝－，其中α，β∈(0，π)，则α－β＝ ______________．
－　[由β∈(0，π)，cos β＝－，得sin β＝，
所以tan β＝＝－，
又tan α＝，所以tan(α－β)＝＝1，因为cos β＝－<0，则β∈，又tan α＝>0，则α∈，则α－β∈(－π，0)，所以α－β＝－．]
－　
4．(链接考点一)(2025·永州月考)化简： (π<α<2π)＝______________．
cos α　[因为π<α<2π，所以<π，
所以＝
＝＝＝＝
＝cos α．]
cos α　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
一、单项选择题
1．(人教A版必修第一册P226练习T1改编)已知sin α＝，cos α＝，则tan ＝(　　)
A．2－ B．2＋
C．－2 D．±(－2)
√
课时作业(三十二)　简单的三角恒等变换
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
C　[∵sin α＝，cos α＝，
∴tan －2．
故选C．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
2．(2025·漳州模拟)已知α∈，若sin＋cos＝0，则α＝(　　)
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
A　[因为sin＝－cos 2α，
所以－cos 2α＋cos＝0，即cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)．
又因为α∈，
所以cos α＋sin α>0，
所以cos α－sin α＝，即cos，
又α∈，
所以α＋，所以α＋，
所以α＝．故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
3．(2025·新余模拟)已知α＋β＝，且sin＝－，则cos2α＋cos2β＝(　　)
A． B．
C． D．
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
B　[由α＋β＝，可得β＝－α，sin＝－，
则cos2α＋cos2β＝
＝＋1
＝＋1
＝sin＋1＝．
故选B．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
4．(2025·厦门模拟)已知cos(140°－α)＋sin(110°＋α)＝sin(130°－α)，则tan α＝(　　)
A． B．－
C． D．－
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
D　[法一： cos(140°－α)＋sin(110°＋α)＝sin(130°－α)，
即－cos(40°＋α)＋cos(20°＋α)＝cos(40°－α)，
故cos(20°＋α)＝cos(40°－α)＋cos(40°＋α)，
即cos 20°cos α－sin 20°sin α＝2cos 40°cos α，
故cos 20°cos α－2cos 40°cos α＝sin 20°sin α，
即tan α＝＝
＝＝－．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
法二：由cos(140°－α)＋sin(110°＋α)＝sin(130°－α)，
得cos(140°－α)＝sin(130°－α)－sin(110°＋α)＝2cos 120°sin (10°－α)＝－sin(10°－α)，
即sin(50°－α)＝sin(10°－α)．
∴sin(50°－α)－sin(10°－α)＝2cos(30°－α)sin 20°＝0，
故30°－α＝90°＋k·180°，k∈Z，即α＝－60°－k·180°，k∈Z，
则tan α＝tan(－60°－k·180°)＝tan(－60°)＝－．故选D．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
二、多项选择题
5．(苏教版必修第二册P67习题10.1(3)T1改编)下列计算正确的是(　　)
A．sin 72°sin 78°－cos 72°sin 12°＝
B．＝1
C．cos4－sin4
D．cos275°＋cos215°＋cos 15°sin 15°＝
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
ACD　[sin 72°sin 78°－cos 72°sin 12°＝sin 72°·cos 12°－cos 72°sin 12°＝sin(72°－12°)＝，故A正确；tan 45°＝，故B错误；cos4－sin4＝cos2－sin2＝cos，故C正确；cos275°＋cos215°＋
cos 15°sin 15°＝sin215°＋cos215°＋sin 30°＝1＋，故D正确．故选ACD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
6．(2025·九江质检)已知cos(α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，以下判断正确的是(　　)
A．sin 2α＝ B．cos(α－β)＝
C．cos αcos β＝ D．tan αtan β＝
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
AC　[由题意，易得α＋β∈，2α∈，
所以sin 2α＝，故A正确；
sin(α＋β)＝，
所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]
＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)
＝，故B错误；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]＝，故C正确；
sin αsin β＝[cos(α－β)－cos(α＋β)]＝，所以tan αtan β＝，故D错误．故选AC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
三、填空题
7．(人教A版必修第一册P254复习参考题5T13(2))化简：sin 40°(tan 10°－)＝______________．
－1
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
－1　[sin 40°(tan 10°－)＝sin 40°
＝sin 40°·＝
＝
＝×2＝－＝－1．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
8．(2025·北京卷)已知α，β∈[0，2π]，且sin(α＋β)＝sin(α－β)，cos(α＋β)≠cos(α－β)，写出满足条件的一组α＝______________，β＝______________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
　　(答案不唯一)　[因为sin(α＋β)＝sin(α－β)，
所以sin αcos β＋cos αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，
所以cos αsin β＝0，①
又cos(α＋β)≠cos(α－β)，
即cos αcos β－sin αsin β≠cos αcos β＋sin αsin β，即sin αsin β≠0，②
结合①②得cos α＝0，且sin α≠0，sin β≠0，
故可取α＝β＝．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
四、解答题
9．(2025·清远期中)已知0<α<，－<β<0，cos，cos β＝．
(1)求cos 2α的值；
(2)求α－β的值．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
[解]　(1)由0<α<＋α<，
可得sin，
所以cos 2α＝sin＝2sincos＝2×．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
(2)由(1)的结论，可知cos 2α＝cos2α－sin2α＝，
结合cos2α＋sin2α＝1，解得cos2α＝，sin2α＝，
因为0<α<，所以cos α＝，sin α＝．
由cos β＝，β∈，
可得sin β＝－＝－．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝．
因为0<α<，－<β<0，
可得α－β∈(0，π)，
所以α－β＝．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
一、单项选择题
1．(2026·兰州模拟)sin 990°cos 660°tan 330°＝(　　)
A． B．－
C． D．－
阶段检测(五)　第29～32课时
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[原式＝sin(720°＋270°)cos(720°－60°)·tan(360°－30°)
＝sin 270°cos(－60°)tan(－30°)＝sin 270°cos 60°·(－tan 30°)＝
－1×．
故选A．]
√
2．(2025·长沙期末)坐标平面内点P的坐标为(sin 5，cos 5)，则点P位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[∵<5<2π，
∴sin 5<0，cos 5>0，
平面内点P的坐标为(sin 5，cos 5)，则点P位于第二象限．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
3．(2025·哈尔滨期末)已知角α的终边过点P(1，y)，若cos α＝，则y的值是(　　)
A． B．±2
C．－2 D．2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[∵角α的终边过点P(1，y)，
cos α＝，
∴cos α＝，
得1＋y2＝9，得y2＝8，
得y＝±2．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
4．(2025·遵义期末)已知tan α＝3，0<α<，则sin α＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[因为0<α<，且tan α＝3，
故＝3，又sin2α＋cos2α＝sin2α＋＝1，
解得sin α＝．
故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
5．(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α＝(　　)
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[因为α∈，所以tan 2α＝ 2cos2α－1＝4sin α－2sin2α 2sin2α＋2cos2α－1＝4sin α sin α＝ tan α＝．
故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
6．(2025·厦门模拟)若sin θ(tan 80°－)＝sin 80°，θ为锐角，则sin(θ＋30°)＝(　　)
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[由sin θ(tan 80°－)＝sin 80° sin θ＝，
因为θ为锐角，所以cos θ＝，
所以sin(θ＋30°)＝sin θ＋cos θ＝．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
二、多项选择题
7．(2025·渭南期末)下列说法正确的有(　　)
A．－是第三象限角
B．经过30分钟，钟表的分针转过π弧度
C．已知角α的终边过点P(－3，－4)，则sin α＋cos α＝－
D．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
ACD　[对于A，由－＝－4π＋为第三象限角，所以－是第三象限角，故A正确；
对于B，经过30分钟，钟表的分针是顺时针转动，故转过－π弧度，故B错误；
对于C，由题可得r＝OP＝＝5，所以sin α＝－，cos α＝－，
所以sin α＋cos α＝－，故C正确；
对于D，由题可得扇形所在圆的半径为＝3，所以该扇形的面积为×π×3＝，故D正确．
故选ACD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
8．(2025·如皋市月考)已知α∈，若sin，则下列结论正确的是(　　)
A．cos α＝ B．sin 2α＝
C．cos 2α＝ D．sin α＋cos α＝
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
ABD　[因为α∈，sin，
可得α－，
cos，
所以cos α＝cos＝coscos－sinsin，故A正确；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
可得sin α＝，
sin 2α＝2sin αcos α＝2×，故B正确；
cos 2α＝2cos2α－1＝－，故C错误；
sin α＋cos α＝，故D正确．
故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
三、填空题
9．(2025·汉中模拟)若cos，π题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
－　[由π又因为cos，所以sin＝－，
所以cos x＝cos＝coscos＋sinsin
＝＝－．]
－　
10．(2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝______________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
－　[由且θ∈故sin θ－cos θ＝－．]
－　
四、解答题
11．(2025·黄冈期末)在平面直角坐标系Oxy中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于第一象限的点P．
(1)求y1的值；
(2)求的值．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[解]　(1)由题意得y1>0，cos α＝，sin α>0，
则sin α＝，则y1＝．
(2)＝＝＝－17．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12．(人教A版必修第一册P230习题5.5T20)设f (α)＝sinxα＋cosxα，x∈{n|n＝2k，k∈N+}．利用三角变换，估计f (α)在x＝2，4，6时的取值情况，进而猜想x取一般值时f (α)的取值范围．
[解]　由题易知当x＝2时，f (α)＝sin2α＋cos2α＝1．
当x＝4时，f (α)＝sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2α·cos2α＝1－sin22α，
∵－1≤sin 2α≤1，∴0≤sin22α≤1，
∴≤1－sin22α≤1，即f (α)∈．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
当x＝6时，
f (α)＝sin6α＋cos6α＝(sin2α)3＋(cos2α)3
＝(sin2α＋cos2α)·(sin4α＋cos4α－sin2α·cos2α)
＝1－sin22α－sin22α＝1－sin22α∈．
猜想：当x＝2k，k∈N+时，f (α)的取值范围是．
谢谢！课时作业(三十二)　简单的三角恒等变换
一、单项选择题
1．(人教A版必修第一册P226练习T1改编)已知sin α＝，cos α＝，则＝(　　)
A．2－ B．2＋
C．－2 D．±
2．(2025·漳州模拟)已知α∈，若sin ＋cos ＝0，则α＝(　　)
A． B．
C． D．
3．(2025·新余模拟)已知α＋β＝，且sin ，则cos2α＋cos2β＝(　　)
A． B．
C． D．
4．(2025·厦门模拟)已知cos(140°－α)＋sin (110°＋α)＝sin (130°－α)，则tan α＝(　　)
A． B．－
C． D．－
二、多项选择题
5．(苏教版必修第二册P67习题10.1(3)T1改编)下列计算正确的是(　　)
A．sin 72°sin 78°－cos 72°sin 12°＝
B．＝1
C．cos4－sin4
D．cos275°＋cos215°＋cos15°sin 15°＝
6．(2025·九江质检)已知cos (α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，以下判断正确的是(　　)
A．sin 2α＝ B．cos (α－β)＝
C．cos αcos β＝ D．tan αtan β＝
三、填空题
7．(人教A版必修第一册P254复习参考题5T13(2))化简：sin 40°＝________．
8．(2025·北京卷)已知α，β∈[0，2π]，且sin (α＋β)＝sin (α－β)，cos (α＋β)≠cos (α－β)，写出满足条件的一组α＝________，β＝________．
四、解答题
9．(13分)(2025·清远期中)已知0＜α＜＜β＜0，cos ，cos β＝．
(1)求cos 2α的值；
(2)求α－β的值．
课时作业(三十二)
1．C　[∵sin α＝，cos α＝，
∴tan －2．
故选C．]
2．A　[因为sin＝－cos 2α，
所以－cos 2α＋cos＝0，
即cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)．
又因为α∈，
所以cos α＋sin α>0，
所以cos α－sin α＝，
即cos，
又α∈，
所以α＋∈，
所以α＋，
所以α＝．故选A．]
3．B　[由α＋β＝，可得β＝－α，sin＝－，
则cos2α＋cos2β＝
＝＋1
＝＋1
＝sin＋1＝．
故选B．]
4．D　[法一： cos(140°－α)＋sin(110°＋α)＝sin(130°－α)，
即－cos(40°＋α)＋cos(20°＋α)＝cos(40°－α)，
故cos(20°＋α)＝cos(40°－α)＋cos(40°＋α)，
即cos 20°cos α－sin 20°sin α＝2cos 40°cos α，
故cos 20°cos α－2cos 40°cos α＝sin 20°sin α，
即tan α＝
＝
＝
＝＝－．
法二：由cos(140°－α)＋sin(110°＋α)＝sin(130°－α)，
得cos(140°－α)＝sin(130°－α)－sin(110°＋α)＝2cos 120°sin (10°－α)＝－sin(10°－α)，
即sin(50°－α)＝sin(10°－α)．
∴sin(50°－α)－sin(10°－α)＝2cos(30°－α)·sin 20°＝0，
故30°－α＝90°＋k·180°，k∈Z，即α＝－60°－k·180°，k∈Z，
则tan α＝tan(－60°－k·180°)＝tan(－60°)＝－．故选D．]
5．ACD　[sin 72°sin 78°－cos 72°sin 12°＝sin 72°·cos 12°－cos 72°sin 12°＝sin(72°－12°)＝，故A正确；×tan 45°＝，故B错误；cos4－sin4＝cos2－sin2＝cos，故C正确；cos275°＋cos215°＋cos 15°sin 15°＝sin215°＋cos215°＋sin 30°＝1＋，故D正确．故选ACD．]
6．AC　[由题意，易得α＋β∈，2α∈，
所以sin 2α＝，故A正确；
sin(α＋β)＝，
所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)
＝××，故B错误；
cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]＝×，故C正确；
sin αsin β＝[cos(α－β)－cos(α＋β)]＝×，
所以tan αtan β＝，故D错误．故选AC．]
7．－1　[sin 40°(tan 10°－)
＝sin 40°
＝sin 40°·
＝
＝
＝×2＝－＝－1．]
8．　　(答案不唯一)　[因为sin(α＋β)＝sin(α－β)，
所以sin αcos β＋cos αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，所以cos αsin β＝0，①
又cos(α＋β)≠cos(α－β)，
即cos αcos β－sin αsin β≠cos αcos β＋sin αsin β，即sin αsin β≠0，②
结合①②得cos α＝0，且sin α≠0，sin β≠0，
故可取α＝β＝．]
9．解：(1)由0<α<＋α<，
可得sin＝
，
所以cos 2α＝sin＝2sincos＝2××．
(2)由(1)的结论，可知cos 2α＝cos2α－sin2α＝，
结合cos2α＋sin2α＝1，解得cos2α＝，sin2α＝，
因为0<α<，
所以cos α＝，sin α＝．
由cos β＝，β∈，
可得sin β＝－＝－．
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝××．
因为0<α<，－<β<0，可得α－β∈(0，π)，
所以α－β＝．
1 / 2

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