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第33课时　三角函数的图象与性质
[考试要求]　1．能画出三角函数的图象．2．了解三角函数的周期性、奇偶性、单调性、最大(小)值．3．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在上的性质．
知识点1　“五点法”作图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]图象的五个关键点：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]图象的五个关键点：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
知识点2　正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R ____________
值域 ________ ________ R
最小正 周期 2π ________ ________
奇偶性 ________ ________ ________
单调 递增 区间 ________ ________
单调 递减 区间 ________ ________
对称 中心 ________ ________ ________
对称轴 方程 ________ ________
注：表中的k∈Z．
[常用结论]
1．对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
2．奇偶性
(1)函数y＝A sin (ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 φ＝kπ(k∈Z)；
(2)函数y＝A sin (ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)函数y＝A cos (ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)函数y＝A cos (ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 φ＝kπ(k∈Z)．
1．(人教A版必修第一册P199例1改编)函数y＝1＋cos x(x∈[0，2π])的简图是(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
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2．(人教A版必修第一册P214习题5.4T10(2))函数y＝cos ，x∈的值域是________．
3．(湘教版必修第一册P186习题5.3T5(1)改编)函数f (x)＝sin ，x∈R的单调递减区间是________．
4．(北师大版必修第二册P62例4改编)函数y＝tan 的定义域为________．
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考点一　三角函数的定义域和值域
[典例1]　(1)(2025·南阳模拟)函数f (x)＝2－cos ，x∈的值域为(　　)
A． B．
C． D．
(2)函数y＝的定义域为______．
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思维建模：正(余)弦型函数最值模型
第1步　求整体范围：根据x的范围确定ωx＋φ的范围．
第2步　查图的最值：查正(余)弦函数对应范围上的图象，进而得到最值或值域．
考点二　三角函数的周期性、对称性与奇偶性
[典例2]　(1)(多选)(2025·宁波期末)已知函数f (x)＝cos ，则关于f (x)的说法正确的有(　　)
A．最小正周期为π
B．图象关于直线x＝对称
C．图象关于点对称
D．若f (x)＝cos 为奇函数，则φ的值可以是
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f (x)＝＋b(ω＞0)的最小正周期为T．若＜T＜π，且函数y＝f (x)的图象关于点中心对称，则f＝(　　)
A．1 B．
C． D．3
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[母题探究]
1．(变条件)若本例(2)中的函数变为f (x)＝cos ＋b(ω＞0)，＜T＜π，其他条件不变，则f＝________．
2．(综合变式)已知函数f (x)＝2cos ＋b(ω＞0)的最小正周期为T，最大值为1．若π＜T＜2π，且y＝f (x)的图象关于直线x＝对称，则f＝________．
思维建模：正(余)弦型函数对称性模型
第1步　整体代入：将ωx＋φ代入到正(余)弦函数的对称轴方程(对称中心)中．
第2步　求解x，下结论：根据第1步中的关系，解出相应的x．
考点三　三角函数的单调性
[典例3]　(1)(2025·湘潭期末)函数y＝sin ，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是(　　)
A．
B．
C．和
D．和
(2)(2025·聊城期中)已知a＝cos ，b＝cos ，c＝sin ，则(　　)
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．b＞c＞a D．c＞a＞b
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　思维建模：正(余)弦型函数单调性模型
第1步　整体代入：将ωx＋φ代入到正(余)弦函数的单调区间中．
第2步　求解x，下结论：根据第1步中的关系，解出相应的x的范围．
三角函数的解析式中含绝对
值的函数性质问题
解析式中含有绝对值的三角函数的性质问题，求解的主要方法是根据函数的有关性质(如奇偶性、周期性、对称性等)，研究函数的值域(最值)、单调性、零点个数等，需要去掉绝对值符号，结合所得函数解析式的特征求解．
定义法研究三角函数性质：不能化为形如f (x)＝A sin (ωx＋φ)或f (x)＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)的函数的性质问题，可借助定义求解，其依据是：(1)若存在非零常数T，满足f (x＋T)＝f (x)，则函数是周期为T的函数；(2)若函数满足f (x)＝f (2a－x)，则图象关于直线x＝a对称；(3)若函数满足f (x)＋f (2a－x)＝2b，则函数图象关于点(a，b)对称；(4)利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性．
[典例4]　(多选)(2025·鹰潭期末)设函数f (x)＝|sin x|＋cos x，下述结论正确的是(　　)
A．f (x)是偶函数
B．f (x)的图象关于直线x＝对称
C．f (x)的最小值为－1
D．f (x)在(－π，0)上不单调
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1．(链接考点三)(2025·宁德期末)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递增的是(　　)
A．y＝sin B．y＝cos x
C．y＝tan x D．y＝|sin x|
2．(链接考点二)(多选)(2026·郑州模拟)下列关于函数f (x)＝sin x cos x的描述，正确的是(　　)
A．函数f (x)为偶函数
B．函数f (x)的值域为
C．函数f (x)的最小正周期为π
D．函数f (x)在区间上单调递增
3．(链接考点二)(2023·天津卷)函数y＝f (x)的图象关于直线x＝2对称，且f (x)的一个周期为4，则f (x)的解析式可能为(　　)
A．f (x)＝sin x B．f (x)＝cos x
C．f (x)＝sin x D．f (x)＝cos x
4．(链接考点一)(2025·太原模拟)设函数f (x)＝sin 2x在区间上的最小值和最大值分别为m和M，则M－m的值为________．
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第33课时　三角函数的图象与性质
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点2　　[－1，1]
[－1，1]　2π　π　奇函数　偶函数　奇函数　　[2kπ－π，2kπ]　，　[2kπ，2kπ＋π]　(kπ，0)　　
x＝kπ＋　x＝kπ　
链教材·夯基固本
1．D　[函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象如图所示，
将函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象向上平移1个单位长度得到y＝1＋cos x(x∈[0，2π])的简图，如图所示．
故选D．]
2．　[由x∈，得
x＋∈，
所以y＝cos∈．]
3．(k∈Z)　[由＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
故f (x)的单调递减区间是(k∈Z)．]
4．　[由2x＋≠＋kπ，k∈Z，
得x≠，k∈Z，
故函数y＝tan．]
考点深研·题型突破
考点一
典例1　(1)D　(2)(k∈Z)　[(1)∵x∈，
∴4x－∈，
∴cos∈，
∴f (x)∈．
故选D．
(2)法一：要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0．在同一直角坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．
在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为(k∈Z)．
法二：要使函数y＝有意义，
则sin x－cos x≥0，即sin≥0，
即2kπ≤x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
即原函数的定义域为(k∈Z)．]
考点二
典例2　(1)ACD　(2)A　[(1)由题意可得f (x)的最小正周期T＝＝π，故A正确；
令2x－＝kπ，k∈Z，可得x＝，k∈Z，故B错误；
令2x－＋kπ，k∈Z，
可得x＝，k∈Z，
当k＝0时，x＝，故f (x)的图象的对称中心为，故C正确；
若f (x)＝cos为奇函数，则－＋φ＝kπ＋(k∈Z)，φ＝kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，φ＝，故D正确．故选ACD．
(2)由题意得ω＝∈(2，3)，函数y＝f (x)的图象关于点中心对称，则b＝2，且f＝2，所以sin＋2＝2，则ω＋＝kπ，k∈Z，解得ω＝，k∈Z．由ω∈(2，3)，得k＝4，ω＝，所以f (x)＝sin＋2，故f＝sin ＋2＝－1＋2＝1．故选A．]
母题探究
1．　[由函数f (x)的最小正周期T满足所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)，且b＝2，所以ω＝，k∈Z，所以ω＝，即f (x)＝cos＋2，
则f＝cos＋2＝．]
2．－1　[因为函数f (x)的最大值为2＋b＝1，所以b＝－1．
由π由y＝f (x)的图象关于直线x＝对称，
可得ω×＝kπ，k∈Z，
所以ω＝，k∈Z．
所以1<<2，解得又k∈Z，所以k＝3，所以ω＝×，
所以f (x)＝2cos－1．
故f＝2cos－1
＝2cos－1＝－1．]
考点三
典例3　(1)C　(2)D　[(1)由题意得y＝sin＝－sin，
所以函数y＝sin的单调递减区间，就是y＝sin的单调递增区间，
由2kπ＋x－≤2kπ＋，k∈Z，解得4kπ＋≤x≤4kπ＋，k∈Z，
所以y＝sin(k∈Z)上单调递增，
当x∈[－2π，2π]时，y＝sin．
故选C．
(2)由a＝cos＝cos，
b＝cos＝cos＝－cos<0，
c＝sin＝cos＝cos，
又0<，
y＝cos x在上单调递减，
所以cos>cos>0，即c>a>0>b，
所以c>a>b．
故选D．]
微点突破8
典例4　ACD　[对于f (x)＝|sin x|＋cos x，
由f (－x)＝f (x)，可知f (x)是偶函数，故A正确；
因为f (π－x)＝|sin(π－x)|＋cos(π－x)＝|sin x|－cos x≠f (x)，
所以f (x)的图象不关于直线x＝对称，故B错误；
由题意得f (x)＝
k∈Z，
所以f (x)＝
k∈Z，
根据正弦函数的性质，可知当x∈[2kπ，2kπ＋π]时，f (x)∈[－1，]，
当x∈(2kπ＋π，2kπ＋2π]时，f (x)∈(－1，]，
所以f (x)∈[－1，]，即f (x)的最小值为－1，可知C正确；
当x∈(－π，0)时，f (x)＝－sin，x－∈，
所以f (x)在(－π，0)上不单调，可知D正确．
故选ACD．]
随堂·对点检测
1．C　[根据函数y＝sin的最小正周期T＝＝4π，可知A项错误；
根据函数y＝cos x的最小正周期为2π，可知B项错误；
根据函数y＝tan x的最小正周期为π，且在区间上单调递增，可知C项正确；
当x∈时，y＝|sin x|＝sin x，在上单调递减，可知D项错误．
故选C．]
2．BC　[f (x)＝sin xcos x＝sin 2x为奇函数，A错误；
根据正弦函数的性质可得，f (x)的值域为，B正确；
由T＝得T＝π，C正确；
当－≤x≤时，－π≤2x≤π，此时f (x)不单调，D错误．
故选BC．]
3．B　[A中，T＝＝4，B中，T＝＝4，C中，T＝＝8，D中，T＝＝8，排除C，D；对于A，当x＝2时，f (2)＝sin＝0，故点(2，0)是函数f (x)图象的一个对称中心，排除A；对于B，当x＝2时，f (2)＝cos＝－1，故x＝2是函数f (x)图象的一条对称轴．故选B．]
4．　[∵x∈，∴2x∈，
则f (x)＝sin 2x∈，
即M＝1，m＝－，则M－m＝．]
1 / 7(共83张PPT)
第四章　三角函数与解三角形
第33课时　三角函数的图象与性质
[考试要求]　1．能画出三角函数的图象．2．了解三角函数的周期性、奇偶性、单调性、最大(小)值．3．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在上的性质．
理法先行·题练固本
知识点1　“五点法”作图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]图象的五个关键点：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]图象的五个关键点：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
知识点2　正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 ___________ ___________ R
最小正周期 2π ___ __
奇偶性 _______ _______ _______
单调递增 区间 __________________ __________ _____
[－1，1]
[－1，1]　
2π
π
偶函数
奇函数
[2kπ－π，2kπ]
奇函数
单调递减 区间 _____________________ _______________
对称中心 _________ ______________ ___________
对称轴 方程 ___________ _____
[2kπ，2kπ＋π]
(kπ，0)
x＝kπ＋　
注：表中的k∈Z．
x＝kπ　
[常用结论]
1．对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
2．奇偶性
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 φ＝kπ(k∈Z)；
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 φ＝kπ(k∈Z)．
1．(人教A版必修第一册P199例1改编)函数y＝1＋cos x(x∈[0，2π])的简图是(　　)
√
D　[函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象如图所示，
将函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象向上平移1个
单位长度得到y＝1＋cos x(x∈[0，2π])的简图，
如图所示．
故选D．]
2．(人教A版必修第一册P214习题5.4T10(2))函数y＝cos，x∈的值域是______________．
　[由x∈，得x＋，所以y＝cos．]
　
3．(湘教版必修第一册P186习题5.3T5(1)改编)函数f (x)＝sin，x∈R的单调递减区间是__________________________________．
(k∈Z)　[由＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，故f (x)的单调递减区间是(k∈Z)．]
(k∈Z)
4．(北师大版必修第二册P62例4改编)函数y＝tan的定义域为____________________________．
　[由2x＋＋kπ，k∈Z，得x≠，k∈Z，
故函数y＝tan的定义域为．]
　
考点深研·题型突破
考点一　三角函数的定义域和值域
[典例1]　(1)(2025·南阳模拟)函数f (x)＝2－cos，x∈的值域为(　　)
A． B．
C． D．
(2)函数y＝的定义域为_________________________．
√
(k∈Z)
(1)D　(2)(k∈Z)　[(1)∵x∈，∴4x－，
∴cos，
∴f (x)∈．
故选D．
(2)法一：要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0．在同一直角坐
标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．
在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为(k∈Z)．
法二：要使函数y＝有意义，
则sin x－cos x≥0，即sin≥0，
即2kπ≤x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
即原函数的定义域为(k∈Z)．]
思维建模：正(余)弦型函数最值模型
第1步　求整体范围：根据x的范围确定ωx＋φ的范围．
第2步　查图的最值：查正(余)弦函数对应范围上的图象，进而得到最值或值域．
【教用·通性通法】
求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数，可先化为y＝Asin(x＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)，注意求t的范围．
【教用·备选题】
1．函数f (x)＝lg(sin x)＋＋tan 2x的定义域为_______________________________________________．(用区间表示结果)
(k∈Z)
[要使函数有意义，只需
(k∈Z)
所以
即
所以2kπ所以函数f (x)的定义域为(k∈Z)．]
2．(2024·全国甲卷)函数f (x)＝sin x－cos x在[0，π]上的最大值是______________．
2　[由题意知，f (x)＝sin x－cos x＝2sin，当x∈[0，π]时，x－，sin，于是f (x)∈[－，2]，故f (x)在[0，π]上的最大值为2．]
2　
考点二　三角函数的周期性、对称性与奇偶性
[典例2]　(1)(多选)(2025·宁波期末)已知函数f (x)＝cos，则关于f (x)的说法正确的有(　　)
A．最小正周期为π
B．图象关于直线x＝对称
C．图象关于点对称
D．若f (x)＝cos为奇函数，则φ的值可以是
√
√
√
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f (x)＝sin＋b(ω>0)的最小正周期为T．若A．1 B．
C． D．3
√
(1)ACD　(2)A　[(1)由题意可得f (x)的最小正周期T＝＝π，故A正确；
令2x－＝kπ，k∈Z，可得x＝，k∈Z，故B错误；
令2x－＋kπ，k∈Z，
可得x＝，k∈Z，
当k＝0时，x＝，故f (x)的图象的对称中心为，故C正确；
若f (x)＝cos为奇函数，则－＋φ＝kπ＋(k∈Z)，φ＝kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，φ＝，故D正确．故选ACD．
(2)由题意得ω＝∈(2，3)，函数y＝f (x)的图象关于点中心对称，则b＝2，且f＝2，所以sin＋2＝2，则ω＋＝kπ，k∈Z，解得ω＝，k∈Z．由ω∈(2，3)，得k＝4，ω＝，所以f (x)＝sin＋2，故f＝sin ＋2＝－1＋2＝1．故选A．]
[母题探究]
1．(变条件)若本例(2)中的函数变为f (x)＝cos＋b(ω>0)，　
　[由函数f (x)的最小正周期T满足则f＝cos＋2＝．]
2．(综合变式)已知函数f (x)＝2cos＋b(ω>0)的最小正周期为T，最大值为1．若π－1　
－1　[因为函数f (x)的最大值为2＋b＝1，所以b＝－1．
由π由y＝f (x)的图象关于直线x＝对称，可得ω×＝kπ，k∈Z，
所以ω＝，k∈Z．
所以1<<2，解得又k∈Z，所以k＝3，所以ω＝，
所以f (x)＝2cos－1．
故f＝2cos－1＝2cos－1＝－1．]
思维建模：正(余)弦型函数对称性模型
第1步　整体代入：将ωx＋φ代入到正(余)弦函数的对称轴方程(对称中心)中．
第2步　求解x，下结论：根据第1步中的关系，解出相应的x．
【教用·通性通法】
(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx的形式．
(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解．
(3)对称轴、对称中心的求法：对于可化为f (x)＝Asin(ωx＋φ)(或f (x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，令ωx＋φ＝＋kπ或ωx＋φ＝kπ(k∈Z)．
【教用·备选题】
1．(2025·新余模拟)已知函数f (x)＝sin(π－cos x)，则下列结论不正确的是(　　)
A．f (x)是偶函数
B．f (x)的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ](k∈Z)
C．f (x)是周期为π的周期函数
D．f (x)的图象关于点对称
√
C　[由题知，f (x)＝sin(π－cos x)＝sin(cos x)，定义域为R，
∵f (－x)＝sin[cos(－x)]＝sin(cos x)＝f (x)，∴f (x)是偶函数，A正确；
∵u＝cos x在区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增，值域为[－1，1]，
y＝sin u在区间[－1，1]上单调递增，∴f (x)在区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增，B正确；
∵f (x＋π)＝sin[cos(x＋π)]＝sin(－cos x)＝－sin(cos x)≠f (x)，∴f (x)不是周期为π的周期函数，C错误；
∵f (π－x)＝sin[cos(π－x)]＝sin(－cos x)＝－sin(cos x)＝－f (x)，
∴f (x)的图象关于点对称，D正确．
故选C．]
2．(2025·阜阳模拟)已知函数f (x)＝tan，则下列说法正确的是(　　)
A．f (x)为奇函数
B．f (x)在区间上单调递增
C．f (x)图象的一个对称中心为点
D．f (x)的最小正周期为π
√
C　[因为f (x)＝tan，所以2x＋≠kπ＋，k∈Z，解得x≠，k∈Z，
即函数的定义域不关于原点对称，所以f (x)不是奇函数，故A错误；
当x＝时，2x＋，此时f (x)无意义，
故f (x)在区间上单调递增不正确，
且点为函数图象的一个对称中心，故B错误，C正确；
因为f ＝tan
＝tan＝tan＝f (x)，
故是函数的一个周期，故D错误．
故选C．]
考点三　三角函数的单调性
[典例3]　(1)(2025·湘潭期末)函数y＝sin，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是(　　)
A．
B．
C．和
D．和
√
(2)(2025·聊城期中)已知a＝cos，b＝cos，c＝sin，则
(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>c>a D．c>a>b
√
(1)C　(2)D　[(1)由题意得y＝sin＝－sin，
所以函数y＝sin的单调递减区间，就是y＝sin的单调递增区间，
由2kπ＋x－≤2kπ＋，k∈Z，解得4kπ＋≤x≤4kπ＋，k∈Z，
所以y＝sin(k∈Z)上单调递增，
当x∈[－2π，2π]时，y＝sin．
故选C．
(2)由a＝cos＝cos，
b＝cos＝cos＝－cos<0，
c＝sin＝cos＝cos，
又0<，
y＝cos x在上单调递减，
所以cos>cos>0，即c>a>0>b，所以c>a>b．
故选D．]
思维建模：正(余)弦型函数单调性模型
第1步　整体代入：将ωx＋φ代入到正(余)弦函数的单调区间中．
第2步　求解x，下结论：根据第1步中的关系，解出相应的x的范围．
【教用·通性通法】
已知三角函数解析式求单调区间：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)或y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
【教用·备选题】
1．(2025·渭南模拟)下列区间中，函数f (x)＝3tan的单调递减区间是(　　)
A． B．
C． D．(0，π)
√
A　[ f (x)＝3tan＝－3tan，
因为y＝tan u的单调递增区间为(k∈Z)，
而f (x)的单调递减区间对应y＝tan的单调递增区间，
所以令kπ－<2x－当k＝0时，f (x)的单调递减区间为．
故选A．]
2．已知函数f (x)＝2cos在上单调递减，则实数a的最大值为(　　)
A．　 B．　 C．　 D．
C　[当x∈时，3x＋，
因为f (x)在上单调递减，
所以≤π，解得0故选C．]
√
微点突破8　三角函数的解析式中含绝对值的函数性质问题
解析式中含有绝对值的三角函数的性质问题，求解的主要方法是根据函数的有关性质(如奇偶性、周期性、对称性等)，研究函数的值域(最值)、单调性、零点个数等，需要去掉绝对值符号，结合所得函数解析式的特征求解．
定义法研究三角函数性质：不能化为形如f (x)＝Asin(ωx＋φ)或f (x)＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)的函数的性质问题，可借助定义求解，其依据是：(1)若存在非零常数T，满足f (x＋T)＝f (x)，则函数是周期为T的函数；(2)若函数满足f (x)＝f (2a－x)，则图象关于直线x＝a对称；(3)若函数满足f (x)＋f (2a－x)＝2b，则函数图象关于点(a，b)对称；(4)利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性．
[典例4]　(多选)(2025·鹰潭期末)设函数f (x)＝|sin x|＋cos x，下述结论正确的是(　　)
A．f (x)是偶函数
B．f (x)的图象关于直线x＝对称
C．f (x)的最小值为－1
D．f (x)在(－π，0)上不单调
√
√
√
ACD　[对于f (x)＝|sin x|＋cos x，
由f (－x)＝f (x)，可知f (x)是偶函数，故A正确；
因为f (π－x)＝|sin(π－x)|＋cos(π－x)＝|sin x|－cos x≠f (x)，
所以f (x)的图象不关于直线x＝对称，故B错误；
由题意得f (x)＝k∈Z，
所以f (x)＝k∈Z，
根据正弦函数的性质，可知当x∈[2kπ，2kπ＋π]时，f (x)∈[－1，]，
当x∈(2kπ＋π，2kπ＋2π]时，f (x)∈(－1，]，
所以f (x)∈[－1，]，即f (x)的最小值为－1，可知C正确；
当x∈(－π，0)时，f (x)＝－sin，x－，
所以f (x)在(－π，0)上不单调，可知D正确．
故选ACD．]
1．(链接考点三)(2025·宁德期末)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递增的是(　　)
A．y＝sin B．y＝cos x
C．y＝tan x D．y＝|sin x|
√
C　[根据函数y＝sin的最小正周期T＝＝4π，可知A项错误；
根据函数y＝cos x的最小正周期为2π，可知B项错误；
根据函数y＝tan x的最小正周期为π，且在区间上单调递增，可知C项正确；
当x∈时，y＝|sin x|＝sin x，在上单调递减，可知D项错误．
故选C．]
2．(链接考点二)(多选)(2026·郑州模拟)下列关于函数f (x)＝sin xcos x的描述，正确的是(　　)
A．函数f (x)为偶函数
B．函数f (x)的值域为
C．函数f (x)的最小正周期为π
D．函数f (x)在区间上单调递增
√
√
BC　[f (x)＝sin xcos x＝sin 2x为奇函数，A错误；
根据正弦函数的性质可得，f (x)的值域为，B正确；
由T＝得T＝π，C正确；
当－≤x≤时，－π≤2x≤π，此时f (x)不单调，D错误．
故选BC．]
3．(链接考点二)(2023·天津卷)函数y＝f (x)的图象关于直线x＝2对称，且f (x)的一个周期为4，则f (x)的解析式可能为(　　)
A．f (x)＝sin x B．f (x)＝cos x
C．f (x)＝sin x D．f (x)＝cos x
√
B　[A中，T＝＝4，B中，T＝＝4，C中，T＝＝8，D中，T＝＝8，排除C，D；对于A，当x＝2时，f (2)＝sin＝0，故点(2，0)是函数f (x)图象的一个对称中心，排除A；对于B，当x＝2时，f (2)＝cos＝－1，故x＝2是函数f (x)图象的一条对称轴．故选B．]
4．(链接考点一)(2025·太原模拟)设函数f (x)＝sin 2x在区间上的最小值和最大值分别为m和M，则M－m的值为________．
　[∵x∈，
∴2x∈，则f (x)＝sin 2x∈，
即M＝1，m＝－，则M－m＝．]
　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
一、单项选择题
1．(2025·金昌校级模拟)函数y＝sin 2x与y＝sin的图象在区间[－2π，2π]上的交点个数为(　　)
A．3 B．5
C．7 D．9
课时作业(三十三)　三角函数的图象与性质
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
D　[根据题意，y＝sin 2x的最小正周期为＝π，y＝sin ＝4π，
采用“五点法”作图，在同一
直角坐标系中画出函数y＝sin 2x
和y＝sin在区间[－2π，2π]上的图象，如图所示，
观察图象，可得两函数图象在区间[－2π，2π]上有9个交点．故选D．]
√
2．(2025·全国一卷)已知点(a，0)(a>0)是函数y＝2tan的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　)
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
C　[由已知，得a－，k∈Z，所以a＝，k∈Z，
因为a>0，所以取k＝0，得a的最小值为．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
3．(2025·红河州期末)函数f (x)＝－cos＋1，x∈的值域为(　　)
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
C　[因为x∈，
所以2x＋，
所以cos，
所以－cos，
所以1－≤－cos＋1≤，
所以f (x)的值域为．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
4．(2025·成都模拟)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递增的是(　　)
A．y＝sin 2x B．y＝cos 2x
C．y＝|cos x| D．y＝|sin x|
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
D　[对于A，当x∈时，2x∈，
由正弦函数的性质，可知y＝sin 2x在上单调递减，可知A项不正确；
对于B，当x∈时，2x∈，
由余弦函数的性质，可知y＝cos 2x在上单调递减，可知B项不正确；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
对于C，当x∈时，y＝|cos x|＝cos x在上单调递减，可知C项不正确；
对于D，函数y＝|sin x|的最小正周期为π，
当x∈时，y＝|sin x|＝sin x在上单调递增，可知D项正确．
故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
5．(2025·珠海期末)在[0，2π]上的函数f (x)＝＋ln的定义域是(　　)
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
C　[由题意得
得
解得k∈Z，
即＋2kπ≤x<＋2kπ，k∈Z，
又x∈[0，2π]，所以x∈．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
二、多项选择题
6．(人教A版必修第一册P214习题5.4T12改编)下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝对称的函数是(　　)
A．y＝cos
B．y＝2sin
C．y＝sin
D．y＝2cos
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
AB　[选项C中，函数y＝sin的最小正周期T＝＝4π，故排除C；将x＝依次代入选项A，B，D中的解析式，求得函数值分别为－，2，1，故A，B正确，D错误．故选AB．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
7．(人教B版必修第三册P59练习BT5改编)已知函数f (x)＝tan，下列结论正确的是(　　)
A．函数f (x)的最小正周期为
B．函数f (x)的定义域为
C．函数f (x)图象的对称中心为，k∈Z
D．函数f (x)的单调递增区间为，k∈Z
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
√
ACD　[对于A，函数f (x)＝tan的最小正周期T＝，所以A正确；对于B，令2x－＋kπ，k∈Z，得x≠，k∈Z，即函数f (x)的定义域为，所以B错误；对于C，令2x－，k∈Z，解得x＝，k∈Z，所以函数f (x)的图象关于点，k∈Z对称，所以C正确；对于D，令kπ－<2x－题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
8．(2025·成都模拟)已知函数f (x)＝cos 2x＋2sin x，则(　　)
A．f (x)的最小正周期为2π
B．f (x)是奇函数
C．f (x)的图象关于直线x＝对称
D．f (x)在上单调递减
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
√
ACD　[对于A，设f (x)的最小正周期为T，
则f (x＋T)＝f (x)，
即cos 2(x＋T)＋2sin(x＋T)＝cos 2x＋2sin x，则k1，k2∈N*，
所以最小正周期T＝2π，故A正确；
对于B，因为f (x)为连续函数且定义域为R，所以若f (x)为奇函数，则f (0)＝0，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
而f (0)＝cos 0＋2sin 0＝1≠0，所以f (x)不是奇函数，故B错误；
对于C，f (π－x)＝cos[2(π－x)]＋2sin(π－x)＝cos(2π－2x)＋2sin x＝cos 2x＋2sin x＝f (x)，
故f (x)的图象关于直线x＝对称，C正确；
对于D，因为f (x)＝cos 2x＋2sin x＝1－2sin2x＋2sin x＝－2，
当x∈时，sin x∈，因为y＝－2在t∈上单调递减，t＝sin x在x∈上单调递增，
所以f (x)在上单调递减，故D正确．故选ACD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
三、填空题
9．(2025·上海闵行区期末)若函数y＝sin(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ＝______________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
　
　[由函数y＝sin(0≤φ≤π)是R上的偶函数，可知φ＝＋kπ，k∈Z，又因为0≤φ≤π，所以φ＝．]
10．(2025·北京西城区期中)函数y＝sin2x＋2cos x在区间上的值域为，则α的取值范围是______________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
　
　[由已知得，y＝1－cos2x＋2cos x＝－(cos x－1)2＋2，令t＝cos x，得y＝－(t－1)2＋2，显然当t＝cos＝－时，y＝－，当t＝1时，y＝2，又由x∈可知cos x∈
，所以α≥0，且α≤，从而可得α的取值范围是．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
四、解答题
11．(2025·北京东城区月考)已知函数f (x)＝asin ωxcos ωx(a>0，ω>0)．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数f (x)存在且唯一确定．
(1)求f (x)的解析式；
(2)设g(x)＝f (x)－2cos2ωx＋1，求函数g(x)在(0，π)上的单调递增区间．
条件①：f＝1；
条件②：f (x)为偶函数；
条件③：f (x)的最大值为1；
条件④：f (x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
[解]　(1)函数f (x)＝asin ωxcos ωx＝sin 2ωx，故无论a和ω取何值，函数f (x)都不可能为偶函数，故排除②；
若选①③时，fsin＝1，故＝1，解得a＝2，且＝2kπ＋(k∈Z)，解得ω＝4k＋1(k∈Z)，故函数f (x)存在且不唯一，故不合题意，舍去；
若选①④时，，解得T＝π，故ω＝1，f sin＝1，故＝1，解得a＝2，
故函数f (x)＝sin 2x；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
若选③④时，＝1，解得a＝2，，解得T＝π，故ω＝1，所以函数f (x)唯一存在，函数f (x)＝sin 2x．
(2)利用(1)的结论，g(x)＝sin 2x－2cos2x＋1＝sin 2x－cos 2x＝sin，
令－＋2kπ≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
整理得－＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，
由于x∈(0，π)，
当k＝0和k＝1时，函数g(x)的单调递增区间为．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
谢谢！课时作业(三十三)　三角函数的图象与性质
一、单项选择题
1．(2025·金昌校级模拟)函数y＝sin 2x与y＝sin 的图象在区间[－2π，2π]上的交点个数为(　　)
A．3 B．5
C．7 D．9
2．(2025·全国一卷)已知点(a，0)(a＞0)是函数y＝2tan 的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　)
A． B．
C． D．
3．(2025·红河州期末)函数f (x)＝－cos ＋1，x∈的值域为(　　)
A． B．
C． D．
4．(2025·成都模拟)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递增的是(　　)
A．y＝sin 2x B．y＝cos 2x
C．y＝|cos x| D．y＝|sin x|
5．(2025·珠海期末)在[0，2π]上的函数f (x)＝＋ln 的定义域是(　　)
A． B．
C． D．
二、多项选择题
6．(人教A版必修第一册P214习题5.4T12改编)下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝对称的函数是(　　)
A．y＝cos B．y＝2sin
C．y＝sin D．y＝2cos
7．(人教B版必修第三册P59练习BT5改编)已知函数f (x)＝tan ，下列结论正确的是(　　)
A．函数f (x)的最小正周期为
B．函数f (x)的定义域为x≠，k∈Z
C．函数f (x)图象的对称中心为，k∈Z
D．函数f (x)的单调递增区间为，k∈Z
8．(2025·成都模拟)已知函数f (x)＝cos 2x＋2sin x，则(　　)
A．f (x)的最小正周期为2π B．f (x)是奇函数
C．f (x)的图象关于直线x＝对称 D．f (x)在上单调递减
三、填空题
9．(2025·上海闵行区期末)若函数y＝sin (0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ＝________．
10．(2025·北京西城区期中)函数y＝sin2x＋2cosx在区间上的值域为，则α的取值范围是________．
四、解答题
11．(15分)(2025·北京东城区月考)已知函数f (x)＝a sin ωx cos ωx(a＞0，ω＞0)．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数f (x)存在且唯一确定．
(1)求f (x)的解析式；
(2)设g(x)＝f (x)－2cos2ωx＋1，求函数g(x)在(0，π)上的单调递增区间．
条件①：f＝1；
条件②：f (x)为偶函数；
条件③：f (x)的最大值为1；
条件④：f (x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
课时作业(三十三)
1．D　[根据题意，y＝sin 2x的最小正周期为＝π，y＝sin ＝4π，
采用“五点法”作图，在同一直角坐标系中画出函数y＝sin 2x和y＝sin在区间[－2π，2π]上的图象，如图所示，
观察图象，可得两函数图象在区间[－2π，2π]上有9个交点．
故选D．]
2．C　[由已知，得a－，k∈Z，所以a＝，k∈Z，
因为a>0，所以取k＝0，得a的最小值为．故选C．]
3．C　[因为x∈，
所以2x＋∈，
所以cos∈，
所以－cos∈，
所以1－≤－cos＋1≤，
所以f (x)的值域为．
故选C．]
4．D　[对于A，当x∈时，2x∈，
由正弦函数的性质，可知y＝sin 2x在上单调递减，可知A项不正确；
对于B，当x∈时，2x∈，
由余弦函数的性质，可知y＝cos 2x在上单调递减，可知B项不正确；
对于C，当x∈时，y＝|cos x|＝cos x在上单调递减，可知C项不正确；
对于D，函数y＝|sin x|的最小正周期为π，
当x∈时，y＝|sin x|＝sin x在上单调递增，可知D项正确．
故选D．]
5．C　[由题意得
得
解得k∈Z，
即＋2kπ≤x<＋2kπ，k∈Z，
又x∈[0，2π]，所以x∈．故选C．]
6．AB　[选项C中，函数y＝sin的最小正周期T＝＝4π，故排除C；将x＝依次代入选项A，B，D中的解析式，求得函数值分别为－，2，1，故A，B正确，D错误．故选AB．]
7．ACD　[对于A，函数f (x)＝tan的最小正周期T＝，所以A正确；对于B，令2x－≠＋kπ，k∈Z，得x≠，k∈Z，即函数f (x)的定义域为，所以B错误；对于C，令2x－，k∈Z，解得x＝，k∈Z，所以函数f (x)的图象关于点，k∈Z对称，所以C正确；对于D，令kπ－<2x－故选ACD．]
8．ACD　[对于A，设f (x)的最小正周期为T，则f (x＋T)＝f (x)，
即cos 2(x＋T)＋2sin(x＋T)＝cos 2x＋2sin x，则k1，k2∈N*，
所以最小正周期T＝2π，故A正确；
对于B，因为f (x)为连续函数且定义域为R，所以若f (x)为奇函数，则f (0)＝0，
而f (0)＝cos 0＋2sin 0＝1≠0，所以f (x)不是奇函数，故B错误；
对于C，f (π－x)＝cos[2(π－x)]＋2sin(π－x)＝cos(2π－2x)＋2sin x＝cos 2x＋2sin x＝f (x)，
故f (x)的图象关于直线x＝对称，C正确；
对于D，因为f (x)＝cos 2x＋2sin x＝1－2sin2x＋2sin x＝－2，
当x∈时，sin x∈，因为y＝－2在t∈上单调递减，t＝sin x在x∈上单调递增，
所以f (x)在上单调递减，故D正确．故选ACD．]
9．　[由函数y＝sin(0≤φ≤π)是R上的偶函数，可知φ＝＋kπ，k∈Z，又因为0≤φ≤π，所以φ＝．]
10．　[由已知得，y＝1－cos2x＋2cos x＝－(cos x－1)2＋2，令t＝cos x，得y＝－(t－1)2＋2，显然当t＝cos＝－时，y＝－，当t＝1时，y＝2，又由x∈可知cos x∈，所以α≥0，且α≤，从而可得α的取值范围是．]
11．解：(1)函数f (x)＝asin ωxcos ωx＝sin 2ωx，故无论a和ω取何值，函数f (x)都不可能为偶函数，故排除②；
若选①③时，fsin＝1，故＝1，解得a＝2，且＝2kπ＋(k∈Z)，解得ω＝4k＋1(k∈Z)，故函数f (x)存在且不唯一，故不合题意，舍去；
若选①④时，，解得T＝π，故ω＝1，fsin＝1，故＝1，解得a＝2，故函数f (x)＝sin 2x；
若选③④时，＝1，解得a＝2，，解得T＝π，故ω＝1，所以函数f (x)唯一存在，函数f (x)＝sin 2x．
(2)利用(1)的结论，g(x)＝sin 2x－2cos2x＋1＝sin 2x－cos 2x＝sin，
令－＋2kπ≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
整理得－＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，
由于x∈(0，π)，
当k＝0和k＝1时，函数g(x)的单调递增区间为．
1 / 3

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