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第34课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
[考试要求]　1．结合具体实例，了解y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响．2．会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
知识点1　用“五点法”画y＝A sin (ωx＋φ)一个周期内的简图时找的五个关键点
x
ωx＋φ 0 π 2π
y＝A sin (ωx ＋φ) ____ A 0 ____ 0
知识点2　函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种途径
知识点3　函数y＝A sin (ωx＋φ)的有关概念
y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝ ＝ ____ φ
[常用结论]
1．函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k的图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．由y＝sin ωx到y＝sin (ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．
1．(人教A版必修第一册P241习题5.6T4改编)函数y＝sin 在区间上的简图是(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
2．(苏教版必修第一册P224本章测试T9)将函数y＝sin x图象上每个点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为(　　)
A．y＝sin 　 B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
3．(人教A版必修第一册P254复习参考题5T10改编)y＝2sin 的振幅、频率和初相分别为(　　)
A．2，4π， B．2，
C．2，，－ D．2，4π，－
考点一　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换
[典例1]　用“五点法”画出函数y＝sin ＋cos 的图象，指出这个函数的最小正周期与单调区间，并指出如何由函数y＝sin x的图象变换得到．
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通性通法：用“五点法”作函数y＝A sin (ωx＋φ)的简图的关键点
(1)通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x．
(2)通过列表、计算得出五点坐标，描点后得出图象，其中相邻两点的横向距离均为．
[多维变迁]
(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为(　　)
A．3 B．4
C．6 D．8
考点二　由图象确定函数y＝A sin (ωx＋
φ)的解析式
[典例2]　(1)(2026·成都模拟)函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋2(A＞0，|φ|＜π)的图象的一部分如图所示，则f (x)的初相为________．
(2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f (x)的两个交点，若|AB|＝，则f (π)＝________．
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思维建模：三角函数识图求参模型(给出正(余)弦函数图象求其解析式)
第1步　求A：最大减最小除以2(或直接从图象上读出A)．
第2步　定周期，求ω：找特殊点，算出周期，求ω．
第3步　求φ：将对称中心或最值点的坐标代入解析式，求φ．
[多维变迁]
1．(2025·上饶市信州区月考)已知函数f (x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示．将函数f (x)图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则g的值为________．
2．(人教B版必修第三册P66习题7－3 BT8)已知函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示，写出与之对应的一个函数解析式．
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考点三　三角函数的图象与性质的综合应用
　三角函数性质的综合问题
[典例3]　(2025·全国二卷)已知函数f (x)＝cos (2x＋φ)(0≤φ＜π)，f (0)＝．
(1)求φ；
(2)设函数g(x)＝f (x)＋f，求g(x)的值域和单调区间．
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通性通法：研究y＝A sin (ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想研究其单调性、对称性和最值等．
[考题探源]
1．(人教A版必修第一册P255复习参考题5T21)已知函数 f (x)＝sin ＋sin ＋cos x＋a的最大值为1，
(1)求常数a的值；
(2)求函数f (x)的单调递减区间；
(3)求使f (x)≥0成立的x的取值集合．
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2．(湘教版必修第二册P82习题2.2T7)已知函数f (x)＝cos2x－sin2x＋1－sinx cos x，求f (x)的最小正周期及单调递增区间．
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　三角函数的实际应用
[典例4]　(多选)如图是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道示意图，h(单位：m )表示在时间t(单位：s)时，过山车(看作质点)离地平面的高度．轨道最高点P距离地平面50 m，最低点Q距离地平面10 m，入口处M距离地平面20 m．当t＝ 4 s时，过山车到达最高点P，当t＝10 s时，过山车到达最低点Q．设函数h(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，|φ|＜)，则(　　)
A．h(t)的最小正周期为12
B．φ＝
C．当t＝14 s时，过山车距离地平面40 m
D．一个周期内过山车距离地平面低于20 m的时间是4 s
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通性通法：三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
[多维变迁]
1．(2026·包头模拟)由于潮汐，某港口一天24 h的海水水位H(单位：m)随时间t(单位：h，0≤t＜24)的变化近似满足关系式H(t)＝A＋B sin (B＞0)，若一天中最高水位为14 m，最低水位为6 m，则该港口一天内水位不小于8 m的时长为(　　)
A．12 h B．14 h
C．16 h D．18 h
2．(2025·南阳期末)已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，将函数f (x)的图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象．
(1)求函数f (x)和g(x)的解析式；
(2)求函数g(x)的单调递增区间和其图象的对称中心；
(3)求函数g(x)在区间上的值域．
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1．(链接考点一)(2025·巴中期末)要得到y＝cos 的图象，只要将y＝cos 2x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
2．(链接考点二)(2025·常州市武进区期末)已知函数f (x)＝A cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，将f (x)图象上的所有点向左平移个单位长度得到的图象的函数解析式可以是(　　)
A．y＝2cos 3x B．y＝－2cos 3x
C．y＝2sin 3x D．y＝－2sin 3x
3．(链接考向1)(多选)(2026·遵义模拟)函数f (x)＝3sin (2ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则(　　)
A．ω＝2
B．f (x)图象的一条对称轴是直线x＝－
C．f (x)图象的一个对称中心是点
D．函数y＝f是偶函数
4．(链接考向2)(2025·上海市静安区二模)设某港口水的深度y(单位：m)关于时间t(单位：h)的函数近似满足y＝h＋A sin (ωx＋φ)．根据某一天的测量，港口水的深度在早上3时达到最大值18 m，之后持续减少，并在上午9时达到最小值14 m．则该港口水的深度y关于时间t的函数的近似表达式为________．
第34课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)
的图象及应用
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点1　0　－A
知识点2　|φ|　
知识点3　ωx＋φ
链教材·夯基固本
1．A　[令x＝0，得y＝sin＝－，排除B，D；由x＝－时，y＝0，x＝时，y＝0，排除C．故选A．]
2．C　[将函数y＝sin x的图象上每个点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图象，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象．故选C．]
3．C　[由题意知A＝2，f＝，初相为－．故选C．]
考点深研·题型突破
考点一
典例1　解：y＝sin＋cos ＝2sin，
令M＝，则列表如下：
M 0 π 2π
x －
y＝2sin M 0 2 0 －2 0
在平面直角坐标系中描出相应的五点，用平滑的曲线连接起来，向两端伸展一下，如图所示．
从图象观察知该函数的最小正周期T＝＝4π．
(k∈Z)为单调递增区间，
(k∈Z)为单调递减区间．
由函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，最后把纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)即可得到函数y＝2sin 的图象．
多维变迁
　C　[因为函数y＝sin x的最小正周期T＝2π，
函数y＝2sin的最小正周期T＝，
所以在x∈[0，2π]上，函数y＝2sin有三个周期的图象，
在平面直角坐标系中结合五点法画出两函数的图象，如图所示，
由图可知，两函数图象有6个交点．故选C．]
考点二
典例2　(1)－　(2)－　[(1)由f (x)的部分图象知，A＋2＝3，解得A＝1，
最小正周期T＝2×，所以ω＝，
所以f (x)＝sin＋2，
因为点在函数图象上，
所以sin＋2＝1，
所以sin＝－1，
所以φ＝－＋2kπ，k∈Z，
因为|φ|<π，所以φ＝－，
所以f (x)＝sin＋2，
所以f (x)的初相为－．
(2)对比正弦函数y＝sin x的图象易知，点为“五点(画图)法”中的第五点，所以ω＋φ＝2π．①
由题知|AB|＝xB－xA＝，又y＝两式相减，
得ω(xB－xA)＝，
即ω＝，解得ω＝4．
代入①，得φ＝－，所以f (π)＝sin＝－sin＝－．]
多维变迁
1.1　[根据当x＝时，f (x)取得最大值2，当x＝时，f (x)取得最小值－2，
可知f (x)的最小正周期T＝2，解得ω＝4，
由f是函数的最大值，根据余弦函数的性质，可得4×＋φ＝2kπ(k∈Z)，
结合|φ|<，取k＝0，得φ＝－，
可得f (x)＝2cos，
将函数f (x)图象上所有的点向左平移个单位长度，可得f＝2cos＝2cos的图象，
所以g(x)＝2cos，可得g＝2cos＝2cos＝2cos＝1．]
2．解：由题图得A＝，
B＝，
T＝2，
∴|ω|＝．
当ω>0时，函数的解析式为y＝sin，
∵点在函数图象上，
∴×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝＋2kπ，k∈Z．
∵|φ|<π，∴φ＝，∴y＝sin．
当ω<0时，函数的解析式为y＝－·sin，
∵点在函数图象上，
∴×－φ＝＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝－2kπ，k∈Z．
∵|φ|<π，∴φ＝．
∴y＝－sin．
综上，所求的一个函数解析式为y＝·sin或y＝－sin．
考点三
考向1　典例3　解：(1)因为f (0)＝cos φ＝，且0≤φ<π，所以φ＝．
(2)g(x)＝f (x)＋f
＝cos＋cos 2x
＝cos 2xcos －sin 2xsin ＋cos 2x
＝cos 2x－sin 2x
＝
＝cos．
因为y＝cos的值域是[－1，1]，
所以函数y＝cos的值域是[－]，所以g(x)的值域为[－]．
令2kπ－π≤2x＋≤2kπ(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ－(k∈Z)，所以g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以g(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
考题探源
1．解：(1)由题意，函数f (x)＝sin＋sin＋cos x＋a，
化简得f (x)＝sin xcos ＋cos xsin＋sin xcos －cos xsin ＋cos x＋a＝sin x＋cos x＋a＝2sin＋a，
∵y＝sin的最大值为1，
∴f (x)max＝2×1＋a＝1，解得a＝－1．
(2)由(1)可知f (x)＝2sin－1．
令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
解得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，
∴f (x)的单调递减区间为，k∈Z．
(3)由题意f (x)≥0，即2sin－1≥0，
可得sin，
∴2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
解得2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z，
∴使f (x)≥0成立的x的取值集合是
．
2．解：f (x)＝cos2x－sin2x＋1－sin xcos x＝cos 2x－sin 2x＋1
＝cos＋1，
最小正周期T＝＝π，
由2kπ－π≤2x＋≤2kπ(k∈Z)可得，
kπ－≤x≤kπ－，k∈Z，
所以f (x)的单调递增区间为，k∈Z．
考向2　典例4　ACD　[由题意，知＝10－4＝6，解得T＝12，故A正确；
由＝12，得ω＝．
由
所以h(t)＝20sin＋30．
由h(0)＝20，得20sin φ＋30＝20，
即sin φ＝－．
因为|φ|<，所以φ＝－．
所以h(t)＝20sin＋30，
故B错误；
h(14)＝20sin＋30
＝20sin＋30＝40，故C正确；
由h(t)＝20sin＋30<20，得sin<－＋2kπ多维变迁
1．C　[由题意得，
所以H(t)＝10＋4sin，
令H(t)≥8，即sin≥－，
因为0≤t<24，
所以－t－，
由正弦函数的图象与性质可知－t－，解得6≤t≤22，
所以该港口一天内水位不小于8 m的时长为22－6＝16(h)．
故选C．]
2．解：(1)由题图可知A＝3，T＝，解得T＝，
所以ω＝3，f (x)＝3sin(3x＋φ)，
又f (x)的图象过点，
所以－3＝3sin，
所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<，所以φ＝，f (x)＝3sin，
将函数f (x)的图象上所有点的横坐标变为原来的个单位长度，得到g(x)＝3sin＝3sin的图象．
综上，f (x)＝3sin，
g(x)＝3sin．
(2)令－＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
即函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z)，
令2x－＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，
所以函数g(x)的图象的对称中心为(k∈Z)．
(3)当x∈时，2x－∈，所以sin∈，
所以g(x)∈，即函数g(x)在区间．
随堂·对点检测
1．B　[将函数y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度，得到的图象的函数解析式为y＝cos＝cos．
故选B．]
2．D　[函数的周期T＝2，解得ω＝3，
因为当x＝时，f (x)＝0，且x＝在函数f (x)的单调递减区间内，
所以3×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，结合－<φ<，解得φ＝－，又A＝2，可得f (x)＝2cos，将f (x)图象上的所有点向左平移个单位长度，
可得f＝2cos＝2cos的图象，
结合cos＝－sin 3x，
可得f＝－2sin 3x，D选项符合题意．
故选D．]
3．BD　[由f (x)＝3sin(2ωx＋φ)的部分图象知，T＝2×＝π，即＝π，解得ω＝1，
将点代入解析式中，得
sin＝1，
所以－＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，
所以f (x)＝3sin
＝3sin，k∈Z．
对于A，因为ω＝1，所以选项A错误；
对于B，因为f＝3sin＝－3是最小值，所以直线x＝－是f (x)图象的一条对称轴，选项B正确；
对于C，因为f＝3sin＝3cos＝－≠0，所以点不是f (x)图象的对称中心，选项C错误；
对于D，函数f＝3sin＝3sin＝3cos 2x，为偶函数，选项D正确．
故选BD．]
4．y＝16＋2sinx(答案不唯一)　[根据题意，可得函数y＝h＋Asin(ωx＋φ)的周期T满足9－3＝，T＝12，即＝12，解得ω＝±．
不妨设A>0，ω＝，根据水的深度在早上3时达到最大值18 m，可知f (3)为函数的最大值，
所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，取k＝0，得φ＝0，函数表达式为y＝h＋Asinx．
由f (3)＝18是最大值，f (9)＝14是最小值，可得
解得
所以该港口水的深度y关于时间t的函数的近似表达式为y＝16＋2sinx(答案不唯一)．]
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第四章　三角函数与解三角形
第34课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
[考试要求]　1．结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响．2．会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
理法先行·题练固本
知识点1　用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时找的五个关键点
x
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin(ωx＋φ) _ A 0 ___ 0
0
－A
知识点2　函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
|φ|
知识点3　函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝ ＝ _______ φ
ωx＋φ
[常用结论]
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．
1．(人教A版必修第一册P241习题5.6T4改编)函数y＝sin在区间上的简图是(　　)
√
A　[令x＝0，得y＝sin＝－，排除B，D；由x＝－时，y＝0，x＝时，y＝0，排除C．故选A．]
2．(苏教版必修第一册P224本章测试T9)将函数y＝sin x图象上每个点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为(　　)
A．y＝sin　 B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
√
C　[将函数y＝sin x的图象上每个点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图象，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象．故选C．]
3．(人教A版必修第一册P254复习参考题5T10改编)y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)
A．2，4π， B．2，，
C．2，，－ D．2，4π，－
√
C　[由题意知A＝2，f＝，初相为－．故选C．]
考点深研·题型突破
考点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
[典例1]　用“五点法”画出函数y＝sin＋cos的图象，指出这个函数的最小正周期与单调区间，并指出如何由函数y＝sin x的图象变换得到．
[解]　y＝sin＋cos ＝2sin，
令M＝，则列表如下：
M 0 π 2π
x －
y＝2sin M 0 2 0 －2 0
在平面直角坐标系中描出相应的五点，用平滑的曲线连接起来，向两端伸展一下，如图所示．
从图象观察知该函数的最小正周期T＝＝4π．
(k∈Z)为单调递增区间，
(k∈Z)为单调递减区间．
由函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，最后把纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)即可得到函数y＝2sin 的图象．
通性通法：用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图的关键点
(1)通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x．
(2)通过列表、计算得出五点坐标，描点后得出图象，其中相邻两点的横向距离均为．
[多维变迁]
(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin的交点个数为(　　)
A．3 B．4
C．6 D．8
√
C　[因为函数y＝sin x的最小正周期T＝2π，
函数y＝2sin的最小正周期T＝，
所以在x∈[0，2π]上，函数y＝2sin有三个周期的图象，
在平面直角坐标系中结合五点法画出
两函数的图象，如图所示，
由图可知，两函数图象有6个交点．
故选C．]
【教用·备选题】
(2026·洛阳模拟)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，为了得到曲线C2，则对曲线C1的变换正确的是(　　)
A．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移个单位长度
B．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位长度
C．先把横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移个单位长度
D．先把横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位长度
√
C　[A项，先把曲线C1上点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝cosx的图象，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得
y＝cos＝cos＝－sin 的图象，故A错误；
B项，先把曲线C1上点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝cos x的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得y＝cos＝cos＝sin的图象，故B错误；
C项，先把曲线C1上点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得y＝cos 2x的图象，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得y＝cos ＝cos＝sin的图象，故C正确；
D项，先把曲线C1上点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得y＝cos 2x的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得y＝cos ＝cos＝sin的图象，故D错误．故选C．]
考点二　由图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
[典例2]　(1)(2026·成都模拟)函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋2(A>0，|φ|<π)的图象的一部分如图所示，则f (x)的初相为______________．
－　
(2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f (x)的两个交点，若|AB|＝，则f (π)＝______________．
－
(1)－　(2)－　[(1)由f (x)的部分图象知，A＋2＝3，解得A＝1，
最小正周期T＝2×，所以ω＝，
所以f (x)＝sin＋2，
因为点在函数图象上，
所以sin＋2＝1，
所以sin＝－1，
所以φ＝－＋2kπ，k∈Z，
因为|φ|<π，所以φ＝－，
所以f (x)＝sin＋2，
所以f (x)的初相为－．
(2)对比正弦函数y＝sin x的图象易知，点ω＋φ＝2π．①
由题知|AB|＝xB－xA＝，又y＝两式相减，得ω(xB－xA)＝，
即ω＝，解得ω＝4．
代入①，得φ＝－，所以f (π)＝sin＝－sin＝－．]
思维建模：三角函数识图求参模型(给出正(余)弦函数图象求其解析式)
第1步　求A：最大减最小除以2(或直接从图象上读出A)．
第2步　定周期，求ω：找特殊点，算出周期，求ω．
第3步　求φ：将对称中心或最值点的坐标代入解析式，求φ．
【教用·通性通法】
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，b．确定函数的最大值M和最小值m，则
A＝，b＝．
(2)求ω．确定函数的最小正周期T，则ω＝．
(3)求φ．常用方法如下：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．
[多维变迁]
1．(2025·上饶市信州区月考)已知函数f (x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示．将函数f (x)图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，
则g的值为______________．
1　
1　[根据当x＝时，f (x)取得最大值2，当x＝时，f (x)取得最小值－2，
可知f (x)的最小正周期T＝2，解得ω＝4，
由f是函数的最大值，根据余弦函数的性质，可得4×＋φ＝2kπ(k∈Z)，结合|φ|<，取k＝0，得φ＝－，可得f (x)＝2cos，
将函数f (x)图象上所有的点向左平移个单位长度，可得f＝2cos＝2cos的图象，
所以g(x)＝2cos，可得g＝2cos＝2cos＝2cos＝1．]
2．(人教B版必修第三册P66习题7－3 BT8)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示，写出与之对应的一个函数解析式．
[解]　由题图得A＝，B＝，
T＝2，
∴|ω|＝．
当ω>0时，函数的解析式为y＝sin，
∵点在函数图象上，
∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝＋2kπ，k∈Z．
∵|φ|<π，∴φ＝，∴y＝sin．
当ω<0时，函数的解析式为y＝－sin，∵点在函数图象上，
∴－φ＝＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝－2kπ，k∈Z．
∵|φ|<π，∴φ＝．
∴y＝－sin．
综上，所求的一个函数解析式为y＝sin或y＝－sin．
【教用·备选题】
(2023·全国乙卷)已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ)在区间上单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f (x)的图象的两条对称轴，则
f ＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
√
D　[由题意得，解得ω＝2，易知x＝是f (x)的最小值点，所以×2＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，得φ＝＋2kπ(k∈Z)，于是f (x)＝sin＝sin，f＝sin＝sin ．故选D．]
考点三　三角函数的图象与性质的综合应用
考向1　三角函数性质的综合问题
[典例3]　(2025·全国二卷)已知函数f (x)＝cos(2x＋φ)(0≤φ<π)，f (0)＝．
(1)求φ；
(2)设函数g(x)＝f (x)＋f ，求g(x)的值域和单调区间．
[解]　(1)因为f (0)＝cos φ＝，且0≤φ<π，所以φ＝．
(2)g(x)＝f (x)＋f ＝cos＋cos 2x
＝cos 2xcos －sin 2xsin ＋cos 2x＝cos 2x－sin 2x
＝＝cos．
因为y＝cos的值域是[－1，1]，所以函数y＝cos的值域是[－]，所以g(x)的值域为[－]．
令2kπ－π≤2x＋≤2kπ(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ－(k∈Z)，所以g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以g(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
通性通法：研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想研究其单调性、对称性和最值等．
[考题探源]
1．(人教A版必修第一册P255复习参考题5T21)已知函数 f (x)＝sin＋sin＋cos x＋a的最大值为1，
(1)求常数a的值；
(2)求函数f (x)的单调递减区间；
(3)求使f (x)≥0成立的x的取值集合．
[解]　(1)由题意，函数f (x)＝sin＋sin＋cos x＋a，化简得f (x)＝sin xcos ＋cos xsin＋sin xcos －cos xsin ＋cos x＋a＝sin x＋cos x＋a＝2sin＋a，
∵y＝sin的最大值为1，
∴f (x)max＝2×1＋a＝1，解得a＝－1．
(2)由(1)可知f (x)＝2sin－1．
令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
解得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，
∴f (x)的单调递减区间为，k∈Z．
(3)由题意f (x)≥0，即2sin－1≥0，
可得sin，
∴2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
解得2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z，
∴使f (x)≥0成立的x的取值集合是．
2．(湘教版必修第二册P82习题2.2T7)已知函数f (x)＝cos2x－sin2x＋1－sin xcos x，求f (x)的最小正周期及单调递增区间．
[解]　f (x)＝cos2x－sin2x＋1－sin xcos x＝cos 2x－sin 2x＋1
＝cos＋1，
最小正周期T＝＝π，
由2kπ－π≤2x＋≤2kπ(k∈Z)可得，
kπ－≤x≤kπ－，k∈Z，
所以f (x)的单调递增区间为，k∈Z．
考向2　三角函数的实际应用
[典例4]　(多选)如图是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道示意图，h(单位：m )表示在时间t(单位：s)时，过山车(看作质点)离地平面的高度．轨道最高点P距离地平面50 m，最低点Q距离地平面10 m，入口处M距离地平面20 m．当t＝ 4 s时，过山车到达最高点P，当t＝10 s时，过山车到达最低点Q．设函数h(t)＝Asin(ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<)，则(　　)
A．h(t)的最小正周期为12
B．φ＝
C．当t＝14 s时，过山车距离地平面40 m
D．一个周期内过山车距离地平面低于20 m的时间是4 s
√
√
√
ACD　[由题意，知＝10－4＝6，解得T＝12，故A正确；
由＝12，得ω＝．
由
所以h(t)＝20sin＋30．
由h(0)＝20，得20sin φ＋30＝20，即sin φ＝－．
因为|φ|<，所以φ＝－．
所以h(t)＝20sin＋30，故B错误；
h(14)＝20sin＋30＝20sin＋30＝40，故C正确；
由h(t)＝20sin＋30<20，得sin<－＋2kπ通性通法：三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
[多维变迁]
1．(2026·包头模拟)由于潮汐，某港口一天24 h的海水水位H(单位：m)随时间t(单位：h，0≤t<24)的变化近似满足关系式H(t)＝A＋Bsin(B>0)，若一天中最高水位为14 m，最低水位为6 m，则该港口一天内水位不小于8 m的时长为(　　)
A．12 h B．14 h
C．16 h D．18 h
√
C　[由题意得，
所以H(t)＝10＋4sin，
令H(t)≥8，即sin≥－，
因为0≤t<24，
所以－t－，
由正弦函数的图象与性质可知－t－，解得6≤t≤22，
所以该港口一天内水位不小于8 m的时长为22－6＝16(h)．
故选C．]
2．(2025·南阳期末)已知函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，将函数f (x)的图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象．
(1)求函数f (x)和g(x)的解析式；
(2)求函数g(x)的单调递增区间和其图象的对称中心；
(3)求函数g(x)在区间上的值域．
[解]　(1)由题图可知A＝3，T＝，解得T＝，
所以ω＝3，f (x)＝3sin(3x＋φ)，
又f (x)的图象过点，
所以－3＝3sin，
所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<，所以φ＝，f (x)＝3sin，
将函数f (x)的图象上所有点的横坐标变为原来的
个单位长度，得到g(x)＝3sin＝3sin的图象．
综上，f (x)＝3sin，g(x)＝3sin．
(2)令－＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
即函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z)，
令2x－＝kπ，k∈Z，
解得x＝，k∈Z，
所以函数g(x)的图象的对称中心为(k∈Z)．
(3)当x∈时，2x－，所以sin，
所以g(x)∈，
即函数g(x)在区间．
【教用·备选题】
(多选)一半径为3.6米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1.8米．已知水轮按逆时针做匀速转动，每60秒转动一圈，如果当水轮上点P从水面浮现时(图中点P0位置)开始计时，则下列判断正确的有(　　)
A．点P第一次到达最高点需要20秒
B．在水轮转动的一圈内，有40秒的时间，点P在水面的上方
C．当水轮转动95秒时，点P在水面上方，点P距离水面1.8米
D．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，点P距离水面0.9米
√
√
√
ABC　[设点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为f (t)＝Asin(ωt＋φ)＋B，
依题意可知f (t)的最大值为5.4，最小值为－1.8，
所以A＋B＝5.4，－A＋B＝－1.8，
解得A＝3.6，B＝1.8．
＝60，解得ω＝．
所以f (t)＝3.6sin＋1.8，
当t＝0时，f (t)＝0，得sin φ＝－，
因为|φ|<，所以φ＝－，
故所求函数的解析式为f (t)＝3.6sin＋1.8，
对于A，令t－，解得t＝20，即点P第一次到达最高点需要20秒，故A正确；
对于B，令3.6sin＋1.8≥0，
得sin≥－，又0≤t≤60，
所以－t－，
解得0≤t≤40，即在水轮转动的一圈内，有40秒的时间，点P在水面的上方，故B正确；
对于C，当水轮转动95秒时，f (95)＝3.6·sin＋1.8＝3.6sin＋1.8＝1.8，即点P在水面上方，点P距离水面1.8米，故C正确；
对于D，当水轮转动50秒时，f (50)＝3.6×sin＋1.8＝3.6sin＋1.8＝－1.8，即点P在水面下方，点P距离水面1.8米，故D错误．
故选ABC．]
1．(链接考点一)(2025·巴中期末)要得到y＝cos的图象，只要将y＝cos 2x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
√
B　[将函数y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度，得到的图象的函数解析式为y＝cos＝cos．故选B．]
2．(链接考点二)(2025·常州市武进区期末)已知函数f (x)＝Acos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，将f (x)图象上的所有点向左平移个单位长度得到的图象的函数解析式可以是(　　)
A．y＝2cos 3x
B．y＝－2cos 3x
C．y＝2sin 3x
D．y＝－2sin 3x
√
D　[函数的周期T＝2，解得ω＝3，因为当x＝时，f (x)＝0，且x＝在函数f (x)的单调递减区间内，所以3×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，结合－<φ<，解得φ＝－，又A＝2，可得f (x)＝2cos，
将f (x)图象上的所有点向左平移个单位长度，
可得f ＝2cos＝2cos的图象，
结合cos＝－sin 3x，可得f ＝－2sin 3x，D选项符合题意．
故选D．]
3．(链接考向1)(多选)(2026·遵义模拟)函数f (x)＝3sin(2ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则(　　)
A．ω＝2
B．f (x)图象的一条对称轴是直线x＝－
C．f (x)图象的一个对称中心是点
D．函数y＝f 是偶函数
√
√
BD　[由f (x)＝3sin(2ωx＋φ)的部分图象知，T＝2×＝π，
即＝π，解得ω＝1，
将点代入解析式中，得sin＝1，
所以－＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，
所以f (x)＝3sin＝3sin，k∈Z．
对于A，因为ω＝1，所以选项A错误；
对于B，因为f ＝3sin＝－3是最小值，所以直线x＝－是f (x)图象的一条对称轴，选项B正确；
对于C，因为f ＝3sin＝3cos＝－≠0，所以点不是f (x)图象的对称中心，选项C错误；
对于D，函数f ＝3sin＝3sin＝3cos 2x，为偶函数，选项D正确．
故选BD．]
4．(链接考向2)(2025·上海市静安区二模)设某港口水的深度y(单位：m)关于时间t(单位：h)的函数近似满足y＝h＋Asin(ωx＋φ)．根据某一天的测量，港口水的深度在早上3时达到最大值18 m，之后持续减少，并在上午9时达到最小值14 m．则该港口水的深度y关于时间t的函数的近似表达式为_____________________________．
y＝16＋2sinx(答案不唯一)
y＝16＋2sinx(答案不唯一)　[根据题意，可得函数y＝h＋Asin(ωx＋φ)的周期T满足9－3＝，T＝12，即＝12，解得ω＝±．
不妨设A>0，ω＝，根据水的深度在早上3时达到最大值18 m，可知f (3)为函数的最大值，
所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，取k＝0，得φ＝0，函数表达式为y＝h＋Asinx．
由f (3)＝18是最大值，f (9)＝14是最小值，可得
所以该港口水的深度y关于时间t的函数的近似表达式为y＝16＋2sinx(答案不唯一)．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
一、单项选择题
1．(2025·曲靖期末)要得到函数y＝sin 2x的图象，只需要将函数y＝sin的图象(　　)
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
√
课时作业(三十四)　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
B　[∵y＝sin 2x＝sin，
∴将函数y＝sin个单位长度得到函数y＝sin 2x的图象．
故选B．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
2．(2025·周口月考)当x∈[0，2π]时，曲线y＝2cos与y＝cos x的交点个数为(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
C　[根据“五点法”作图，画出函数y＝2cos与y＝cos x在[0，2π]上的图象，
观察图象，可知曲线y＝2cos与
y＝cos x在[0，2π]上有7个交点．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
3．函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的一部分图象如图所示，则(　　)
A．f (x)＝3sin＋1
B．f (x)＝2sin＋2
C．f (x)＝2sin＋2
D．f (x)＝2sin＋2
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
D　[根据题中图象知
所以A＝2，b＝2，T＝4×＝π，
所以ω＝＝2，
又函数图象经过最高点，
代入函数f (x)＝2sin(2x＋φ)＋2，
得sin＝1，
因为|φ|<，所以φ＝，
所以f (x)＝2sin＋2．故选D．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
4．(2025·天津卷)已知f (x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<π)在上单调递增，且x＝为f (x)图象的一条对称轴，是f (x)图象的一个对称中心，当x∈时，f (x)的最小值为(　　)
A．－ B．－
C．1 D．0
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
A　[因为f (x)在上单调递增且x＝为f (x)图象的一条对称轴，所以，f ＝sin＝1，得0<ω≤2，且ω＋φ＝＋2k1π(k1∈Z)．①
因为是f (x)图象的一个对称中心，所以f ＝sin＝0，得ω＋φ＝k2π(k2∈Z)，②
由①②得ω＝－2＋4(k2－2k1)(k1，k2∈Z)，结合0<ω≤2，得ω＝2，则φ＝＋2k1π(k1∈Z)，又－π<φ<π，所以φ＝，故f (x)＝sin．当x∈时，2x＋，所以f (x)的最小值为f ＝sin＝－．故选A．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
二、多项选择题
5．(2025·重庆模拟)将函数y＝cos的图象向右平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数f (x)的图象，则(　　)
A．x＝为函数f (x)的图象的一条对称轴
B．x＝为函数f (x)的图象的一条对称轴
C．为函数f (x)的图象的一个对称中心
D．为函数f (x)的图象的一个对称中心
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
BD　[y＝cos个单位长度，
得到y1＝cos＝cos的图象，
再将y1＝cos的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，
得f (x)＝cos的图象．
A选项，f＝cos＝0，故x＝不是f (x)的图象的一条对称轴，A错误；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
B选项，f ＝cos＝1，故x＝为函数f (x)的图象的一条对称轴，B正确；
C选项，f ＝cos＝－1，故x＝为函数f (x)的图象的一条对称轴，C错误；
D选项，f＝cos＝0，
故为函数f (x)的图象的一个对称中心，D正确．
故选BD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
6．(2025·上饶模拟)函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．ω＝1
B．函数f (x)的图象关于点对称
C．将函数y＝2cos的图象向右平移个单位
长度得到函数f (x)的图象
D．若方程f (x)＝m在x∈上有且只有一个实数根，则m的取值范围是[－，)
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
BC　[由题图可知A＝2，，∴T＝π，ω＝＝2，故A错误；
根据f (x)＝2sin(2x＋φ)的图象经过点，
可得f＝2sin＝2，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
结合|φ|<，解得φ＝，可得f (x)＝2sin，f＝2sin 0＝0，故B正确；
将函数y＝2cos个单位长度，得到的图象对应的函数为
y＝2cos＝2cos＝2cos＝2cos＝2sin＝f (x)，故C正确；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
当x∈时，2x＋，
根据正弦函数的性质，可知f (x)在上单调递减，
结合f (0)＝f，f＝2，f＝－，可知若f (x)＝m在x∈上有且只有一个实数根，则m的取值范围是[－)∪{2}，故D错误．
故选BC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
三、填空题
7．(2025·成都月考)函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<π)的图象如图，则函数f (x)的解析式为______________，f (x)在区间上的单调递增区间为______________．
f (x)＝2sin
　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
f (x)＝2sin　　[由f (x)＝Asin(ωx＋φ)的图象知，A＝2，T＝2×＝π，所以ω＝＝2，
由f＝2，得2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，
因为|φ|<π，所以φ＝，f (x)＝2sin．
当x∈时，2x＋，
令2x＋，解得x＝，
所以f (x)在区间．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
8．(2025·汉中期末)已知某地区某天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系f (t)＝28＋Asin(A>0)，t∈[0，24)，且这天的最大温差为8 ℃，则A＝_______；若温度不低于30 ℃需要开空调降温，则这天需要降温的时长为________ h．
4　
6
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
4　6　[对于函数f (t)＝28＋Asin(A>0)，其最小正周期T＝＝16<24，最大值为A＋28，最小值为－A＋28，因为这天的最大温差为8 ℃，
所以(A＋28)－(－A＋28)＝2A＝8，
解得A＝4．
令f (t)≥30，则4sin＋28≥30，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
即sin，
因为t∈[0，24)，
所以t＋，
所以t＋t＋，解得t∈，
所以一天中需要降温的时长为＝6 h．]
题号
1
3
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2
4
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四、解答题
9．已知函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)
的部分
图象如图所示．
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)将f (x)图象上各点纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到g(x)的图象，求g(x)图象的对称中心及g(x)的单调递增区间．
题号
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[解]　(1)由题图可知A＝1，，得ω＝2，
f＝sin＝1，即＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
所以φ＝＋2kπ(k∈Z)，
因为|φ|<，所以φ＝，
所以函数f (x)的解析式为f (x)＝sin．
题号
1
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(2)将f (x)图象上各点纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，
得到y＝sin个单位长度，
得到g(x)＝sin的图象，
可得g(x)＝sin＝－cos 4x，
由4x＝＋kπ(k∈Z)，得x＝(k∈Z)，
所以g(x)的图象的对称中心为(k∈Z)，
令2kπ≤4x≤2kπ＋π(k∈Z)，得≤x≤(k∈Z)，
所以g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
谢谢！课时作业(三十四)　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
一、单项选择题
1．(2025·曲靖期末)要得到函数y＝sin 2x的图象，只需要将函数y＝sin 的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
2．(2025·周口月考)当x∈[0，2π]时，曲线y＝2cos 与y＝cos x的交点个数为(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
3．函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋b的一部分图象如图所示，则(　　)
A．f (x)＝3sin ＋1
B．f (x)＝2sin ＋2
C．f (x)＝2sin ＋2
D．f (x)＝2sin ＋2
4．(2025·天津卷)已知f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，－π＜φ＜π)在上单调递增，且x＝为f (x)图象的一条对称轴，是f (x)图象的一个对称中心，当x∈时，f (x)的最小值为(　　)
A．－ B．－
C．1 D．0
二、多项选择题
5．(2025·重庆模拟)将函数y＝cos 的图象向右平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数f (x)的图象，则(　　)
A．x＝为函数f (x)的图象的一条对称轴
B．x＝为函数f (x)的图象的一条对称轴
C．为函数f (x)的图象的一个对称中心
D．为函数f (x)的图象的一个对称中心
6．(2025·上饶模拟)函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．ω＝1
B．函数f (x)的图象关于点对称
C．将函数y＝2cos 的图象向右平移个单位长度得到函数f (x)的图象
D．若方程f (x)＝m在x∈上有且只有一个实数根，则m的取值范围是[－)
三、填空题
7．(2025·成都月考)函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象如图，则函数f (x)的解析式为________，f (x)在区间上的单调递增区间为________．
8．(2025·汉中期末)已知某地区某天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系f (t)＝28＋A sin (A＞0)，t∈[0，24)，且这天的最大温差为8 ℃，则A＝______；若温度不低于30 ℃需要开空调降温，则这天需要降温的时长为________ h．
四、解答题
9．(13分)已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)将f (x)图象上各点纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到g(x)的图象，求g(x)图象的对称中心及g(x)的单调递增区间．
课时作业(三十四)
1．B　[∵y＝sin 2x＝sin，
∴将函数y＝sin个单位长度得到函数y＝sin 2x的图象．
故选B．]
2．C　[根据“五点法”作图，画出函数y＝2cos与y＝cos x在[0，2π]上的图象，
观察图象，可知曲线y＝2cos与y＝cos x在[0，2π]上有7个交点．
故选C．]
3．D　[根据题中图象知
所以A＝2，b＝2，T＝4×＝π，
所以ω＝＝2，
又函数图象经过最高点，
代入函数f (x)＝2sin(2x＋φ)＋2，
得sin＝1，
因为|φ|<，所以φ＝，
所以f (x)＝2sin＋2．故选D．]
4．A　[因为f (x)在上单调递增且x＝为f (x)图象的一条对称轴，所以×，f＝sin＝1，得0<ω≤2，且ω＋φ＝＋2k1π(k1∈Z)．①
因为是f (x)图象的一个对称中心，所以f＝sin＝0，得ω＋φ＝k2π(k2∈Z)，②
由①②得ω＝－2＋4(k2－2k1)(k1，k2∈Z)，结合0<ω≤2，得ω＝2，则φ＝＋2k1π(k1∈Z)，又－π<φ<π，所以φ＝，故f (x)＝sin．当x∈时，2x＋∈，所以f (x)的最小值为f＝sin＝－．故选A．]
5．BD　[y＝cos个单位长度，得到y1＝cos＝cos的图象，
再将y1＝cos的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得f (x)＝cos的图象．
A选项，f＝cos＝0，故x＝不是f (x)的图象的一条对称轴，A错误；
B选项，f＝cos＝1，故x＝为函数f (x)的图象的一条对称轴，B正确；
C选项，f＝cos＝－1，故x＝为函数f (x)的图象的一条对称轴，C错误；
D选项，f＝cos＝0，
故为函数f (x)的图象的一个对称中心，D正确．故选BD．]
6．BC　[由题图可知A＝2，，
∴T＝π，ω＝＝2，故A错误；
根据f (x)＝2sin(2x＋φ)的图象经过点，
可得f＝2sin＝2，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
结合|φ|<，解得φ＝，可得f (x)＝2sin，f＝2sin 0＝0，故B正确；
将函数y＝2cos个单位长度，得到的图象对应的函数为
y＝2cos＝2cos＝2cos＝2cos＝2sin＝f (x)，故C正确；
当x∈时，2x＋∈，
根据正弦函数的性质，可知f (x)在上单调递减，
结合f (0)＝f，f＝2，f＝－，可知若f (x)＝m在x∈上有且只有一个实数根，则m的取值范围是[－)∪{2}，故D错误．
故选BC．]
7．f (x)＝2sin　　[由f (x)＝Asin(ωx＋φ)的图象知，A＝2，T＝2×＝π，所以ω＝＝2，
由f＝2，得2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，
因为|φ|<π，所以φ＝，f (x)＝2sin．
当x∈时，2x＋∈，
令2x＋，解得x＝，
所以f (x)在区间．]
8.4　6　[对于函数f (t)＝28＋Asin(A>0)，其最小正周期T＝＝16<24，最大值为A＋28，最小值为－A＋28，因为这天的最大温差为8 ℃，
所以(A＋28)－(－A＋28)＝2A＝8，解得A＝4．
令f (t)≥30，则4sin＋28≥30，即sin，
因为t∈[0，24)，所以t＋∈，
所以t＋t＋，解得t∈∪＝6 h．]
9．解：(1)由题图可知A＝1，×，得ω＝2，
f＝sin＝1，即＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)，
因为|φ|<，所以φ＝，
所以函数f (x)的解析式为f (x)＝sin．
(2)将f (x)图象上各点纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，
得到y＝sin个单位长度，
得到g(x)＝sin的图象，
可得g(x)＝sin＝－cos 4x，
由4x＝＋kπ(k∈Z)，得x＝(k∈Z)，
所以g(x)的图象的对称中心为(k∈Z)，
令2kπ≤4x≤2kπ＋π(k∈Z)，得≤x≤(k∈Z)，所以g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
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