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第36课时　正弦定理、余弦定理
[考试要求]　1．掌握正弦定理、余弦定理及其变形．2．理解三角形的面积公式并能应用．3．能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
知识点1　正弦定理、余弦定理
在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝＝ a2＝________________； b2＝________________； c2＝________________
变形 (1)a＝2R sin A， b＝2R sin B， c＝2R sin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝________ ________； (4)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝； cos B＝； cos C＝________________
知识点2　三角形解的个数的判断
项目 A为锐角 A为钝角 或直角
图形
关系 式 a＝b sin A b sin Ab
解的 个数 一解 两解 一解 一解
知识点3　三角形中常用的面积公式
(1)S＝aha(ha表示边a上的高)．
(2)S＝____________＝____________＝____________．
(3)S＝________________(r为三角形的内切圆半径)．
[常用结论]
1．三角形中的边角关系
在△ABC中，大边对大角，大角对大边，A＞B a＞b sin A＞sin B cos A＜cos B．
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin (A＋B)＝sin C；(2)cos (A＋B)＝－cos C；
(3)sin ＝cos ；(4)cos ＝sin ．
3．在△ABC中，S＝．
1．(人教A版必修第二册P48练习T2(2))在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则c＝________．
2．(苏教版必修第二册P93练习T1(3))在△ABC中，已知a＝7，b＝5，c＝3，则A＝________．
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3．(北师大版必修第二册P120练习T2)在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是(　　)
A．a＝7，b＝14，A＝30°
B．a＝30，b＝25，A＝150°
C．a＝72，b＝50，A＝135°
D．a＝30，b＝40，A＝26°
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4．(人教B版必修第四册P5例3)已知△ABC中，b＝3，c＝6，B＝120°，则△ABC的面积为________．
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5．(人教A版必修第二册P47例8改编)已知△ABC中，a＝1，b＝，B＝45°，则A＝(　　)
A．150°　B．90°　C．60°　D．30°
6．(用结论)已知△ABC的三边长分别为a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的外接圆半径＝________．
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考点一　利用正、余弦定理解三角形
[典例1]　(1)(2025·全国二卷)在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则A＝(　　)
A．45° B．60°
C．120° D．135°
(2)(2024·天津卷节选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知cos B＝，b＝5，＝．
(i)求a的值；
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(ii)求sin A的值．
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通性通法：应用正弦、余弦定理的解题技巧
(1)求边：利用正弦定理变形公式a＝等或余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A等求解．
(2)求角：利用正弦定理变形公式sin A＝等或余弦定理的推论cos A＝等求解．
[多维变迁]
1．(2025·雅安期末)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，b＝，c＝2，则C＝(　　)
A．45° B．135°
C．45°或135° D．30°
2．(2025·北海期末)在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos A的值为(　　)
A． B．
C． D．－
3．(2026·邯郸模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2＋bc＝a2．若b＝，a＝3sin B，则C＝(　　)
A． B．
C． D．
考点二　判断三角形的形状
[典例2]　△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形　　　 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
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通性通法：判断三角形形状的技巧
(1)整理出边的相应关系从而判断三角形是否为等边、等腰或直角三角形；
(2)通过三角恒等变换，得出内角之间的关系，从而判断三角形是否为锐角、直角或钝角三角形．
求解三角形形状问题时，既要从边的角度考虑又要从角的角度考虑，以免漏解．
[多维变迁]
　(多选)(2025·重庆诊断)在△ABC中，下列说法正确的是(　　)
A．若a cos A＝b cos B，则△ABC为直角三角形
B．若a＝40，b＝20，B＝25°，则△ABC必有两解
C．若△ABC是锐角三角形，则sin A>cos B
D．若cos 2A＋cos 2B－cos 2C<1，则△ABC为锐角三角形
考点三　三角形的面积、周长问题
[典例3]　(2024·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab．
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3＋，求c．
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思维建模：边角互化模型(解三角形中的边角共存式)
第1步　边化角或角化边：将边角共存式化成只含角或只含边的等式．
正弦定理可将每一项的边化成正弦值，也可将每一项的正弦值化成边；余弦定理可将某一项的余弦值化成边．
第2步　解方程：解三角方程或关于边的方程．
[多维变迁]
1．(2025·八省联考)在△ABC中，BC＝8，AC＝10，cos ∠BAC＝，则△ABC的面积为 (　　)
A．6 B．8
C．24 D．48
2．(2026·漳州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b cos A＝(2c－a)cos B．
(1)求角B的值；
(2)若a＝4，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
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射影定理的应用
射影定理：记△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则有a＝b cos C＋c cos B，b＝c cos A＋a cos C；c＝a cos B＋b cos A．
[典例4]　(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a cos B－b cos A＝c，且C＝，则B＝(　　)
A． B．
C． D．
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1．(链接考点一)(人教A版必修第二册P47例7改编)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝(　　)
A．2 B．1
C． D．
2．(链接考点一)(2025·四川期末)在△ABC中，AB＝2，AC＝1，cos A＝，则BC＝(　　)
A．1 B．2
C． D．
3．(链接考点二)(多选)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列判断三角形的形状正确的是(　　)
A．若AB＝6，AC＝5，BC＝8，则△ABC为钝角三角形
B．若cos A＝cos B，则△ABC为等腰三角形
C．若a∶b∶c＝4∶6∶7，则△ABC为锐角三角形
D．若c－a cos B＝(2a－b)cos A，则△ABC一定为等腰三角形
4．(链接考点三)(人教A版必修第二册P44练习T2改编)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝4，b＝5，c＝6，则cos A＝________，△ABC的面积为________．
第36课时　正弦定理、余弦定理
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点1　b2＋c2－2bccos A　c2＋a2－2cacos B
a2＋b2－2abcos C　sin A∶sin B∶sin C　
知识点3　(2)absin C　acsin B
bcsin A　(3)r(a＋b＋c)
链教材·夯基固本
1．　[在△ABC中，因为b＝2，A＝45°，C＝75°，所以B＝180°－45°－75°＝60°，则由正弦定理，得c＝．]
2．　[由余弦定理的推论，得
cos A＝＝－，
因为0所以A＝．]
3．D　[对于选项A，由，得sin B＝＝1，又0°4．　[由得sin C＝．由于0°所以C＝45°或C＝135°．
由于b>c，故B>C，所以C＝45°，
所以A＝180°－120°－45°＝15°，
sin 15°＝sin(60°－45°)＝××，
所以△ABC的面积为S＝bcsin A＝×3×6×．]
5．D　[由正弦定理，得，得sin A＝．又a6．　[由题意可得
p＝＝9，
S△ABC＝＝6，设外接圆半径为R，
则R＝．]
考点深研·题型突破
考点一
典例1　(1)A　[由题意得cos A＝
，因为0°所以A＝45°．]
(2)解：(i)由得a＝c，
由余弦定理及其推论得a2＋c2－b2＝2accos B，
即c2＋c2－25＝2×c×c×，
整理得c2＝25，解得c＝6(舍负)，故a＝c＝4．
(ii)因为cos B＝，
所以sin B＝，
由正弦定理，
即sin A＝．
多维变迁
1．C　[∵B＝30°，b＝，c＝2，
则sin C＝，
∵C>B，0°∴C＝45°或C＝135°．
故选C．]
2．A　[∵sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，
∴由正弦定理，得a∶b∶c＝2∶3∶4，
不妨设a＝2，b＝3，c＝4，
∴cos A＝．
故选A．]
3．D　[在△ABC中，由b2＋c2＋bc＝a2及余弦定理的推论，可得cos A＝＝－，
由0又b＝，a＝3sin B，
由正弦定理得sin B＝，
又sin B>0，解得sin B＝，
又0所以C＝π－A－B＝．故选D．]
考点二
典例2　A　[法一(化角为边)：因为bcos C＋ccos B
＝b·＋c·＝a，所以asin A＝a，即sin A＝1，故A＝，因此△ABC是直角三角形．
法二(化边为角)：因为bcos C＋ccos B＝asin A，
所以sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
即sin(B＋C)＝sin2A，
所以sin A＝sin2A，
又sin A≠0，
故sin A＝1，即A＝，因此△ABC是直角三角形．]
多维变迁
　BC　[对于A，由正弦定理可得sin Acos A＝sin Bcos B，
∴sin 2A＝sin 2B，∴A＝B或2A＋2B＝180°，
即A＝B或A＋B＝90°，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
对于B，asin B＝40sin 25°<40sin 30°＝40×＝20，
即asin B对于C，∵△ABC是锐角三角形，∴0°A＋B>90°，
即90°>A>90°－B>0°，
∴sin A>sin(90°－B)＝cos B，故C正确；
对于D，由题意及二倍角的余弦公式知1－2sin2A＋1－2sin2B－1＋2sin2C<1，
即sin2A＋sin2B－sin2C>0，即a2＋b2－c2>0，∴cos C>0，
即C为锐角，但不能说明△ABC为锐角三角形，故D错误．故选BC．]
考点三
典例3　解：(1)因为a2＋b2－c2＝ab，
所以cos C＝，
又0所以cos B＝sin C＝，
所以cos B＝，
又0(2)法一：由(1)得A＝π－B－C＝．
因为sin＝sin＝sin·cos＋cos·sin××，
所以由正弦定理，
得，
所以a＝c．
所以S△ABC＝acsin B＝c2×＝3＋，
解得c＝2(舍负)．
法二：由(1)得A＝π－B－C＝．
设△ABC的外接圆半径为R，
由正弦定理得b＝2Rsin B＝R，c＝2Rsin C＝R．
因为sin＝sin＝sin·cos＋cos·sin，
所以S△ABC＝bcsin A＝R·R·sin＝3＋＝3＋，解得R2＝4，所以R＝2(舍负)，
所以c＝R＝2．
多维变迁
1．C　[由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AB·ACcos∠BAC，即64＝100＋AB2－2AB×10×，∴AB2－12AB＋36＝0，
∴AB＝6，∴AB2＋BC2＝AC2，∴AB⊥BC，
∴S△ABC＝AB·BC＝×6×8＝24．]
2．解：(1)法一：由bcos A＝(2c－a)cos B及正弦定理可得2sin Ccos B＝sin Bcos A＋sin Acos B，
可得2sin Ccos B＝sin(A＋B)，
因为A＋B＝π－C，所以2sin Ccos B＝sin C，
因为sin C≠0，所以cos B＝，
因为0法二：由bcos A＝(2c－a)cos B及余弦定理可得b·＝(2c－a)·，
化简得a2＋c2－b2＝ac，
由余弦定理可得2accos B＝ac，
因为ac≠0，所以cos B＝，
因为0(2)由S△ABC＝acsin B，得×4×c×，
解得c＝1，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，可得b2＝42＋12－2×4×1×＝13，解得b＝，
故△ABC的周长为5＋．
教材拓展5
典例4　C　[法一(正弦定理法)：由acos B－bcos A＝c结合正弦定理得sin Acos B－sin Bcos A＝sin C＝sin(A＋B)，
即sin Acos B－cos Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
即sin Bcos A＝0．
在△ABC中，∵sin B≠0，∴cos A＝0，即A＝．
则B＝π－A－C＝π－．
故选C．
法二(余弦定理法)：由acos B－bcos A＝c结合余弦定理的推论得a·－b·＝c，
化简得b2＋c2＝a2，∴A＝．
则B＝π－A－C＝π－．故选C．
法三(射影定理法)：由acos B－bcos A＝c结合射影定理acos B＋bcos A＝c，得bcos A＝0．
在△ABC中，b≠0，∴cos A＝0，即A＝，
则B＝π－．故选C．]
随堂·对点检测
1．D　[由正弦定理，得b＝×2＝．
故选D．]
2．B　[根据余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2·AB·AC·cos A＝4＋1－2×2×1×＝4，解得BC＝2(舍负)．
故选B．]
3．ABC　[对于A，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC＝8，
由余弦定理的推论得cos A＝
＝－<0，
则A为钝角，所以△ABC为钝角三角形，A正确；
对于B，在△ABC中，若cos A＝cos B，则A＝B，所以△ABC为等腰三角形，B正确；
对于C，由a∶b∶c＝4∶6∶7，设a＝4k，b＝6k，c＝7k(k>0)，
所以C是△ABC的最大内角，
所以cos C＝
＝>0，
又0对于D，由正弦定理及题意，得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
所以sin(A＋B)－sin Acos B＝2sin A·cos A－sin Bcos A，
故cos A(sin B－sin A)＝0，
所以cos A＝0或sin A＝sin B，即A＝或A＝B，
故△ABC 为直角三角形或等腰三角形，D错误．故选ABC．]
4．　　[依题意得cos A＝，
所以sin A＝，
所以△ABC的面积为bcsin A＝．]
1 / 8(共90张PPT)
第四章　三角函数与解三角形
第36课时　正弦定理、余弦定理
[考试要求]　1．掌握正弦定理、余弦定理及其变形．2．理解三角形的面积公式并能应用．3．能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
理法先行·题练固本
知识点1　正弦定理、余弦定理
在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝ a2＝_________________；
b2＝_________________；
c2＝_________________
b2＋c2－2bccos A
　c2＋a2－2cacos B
a2＋b2－2abcos C
定理 正弦定理 余弦定理
变形 (1)a＝2Rsin A， b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝______________________； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B， asin C＝csin A cos A＝；
cos B＝；
cos C＝__________
　sin A∶sin B∶sin C
知识点2　三角形解的个数的判断
项目 A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系 式 a＝bsin A bsin Ab
解的 个数 一解 两解 一解 一解
知识点3　三角形中常用的面积公式
(1)S＝aha(ha表示边a上的高)．
(2)S＝_____________＝___________＝_____________．
(3)S＝________________(r为三角形的内切圆半径)．
absin C　
　acsin B
bcsin A　
r(a＋b＋c)
[常用结论]
1．三角形中的边角关系
在△ABC中，大边对大角，大角对大边，A>B a>b sin A>sin B cos A2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin＝cos；(4)cos＝sin．
3．在△ABC中，S＝．
1．(人教A版必修第二册P48练习T2(2))在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则c＝______________．
　[在△ABC中，因为b＝2，A＝45°，C＝75°，所以B＝180°－45°－75°＝60°，则由正弦定理，得c＝．]
　
2．(苏教版必修第二册P93练习T1(3))在△ABC中，已知a＝7，b＝5，c＝3，则A＝______________．
　[由余弦定理的推论，得
cos A＝＝－，
因为0　
3．(北师大版必修第二册P120练习T2)在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是(　　)
A．a＝7，b＝14，A＝30°
B．a＝30，b＝25，A＝150°
C．a＝72，b＝50，A＝135°
D．a＝30，b＝40，A＝26°
√
D　[对于选项A，由，得sin B＝＝1，又0°4．(人教B版必修第四册P5例3)已知△ABC中，b＝3，c＝6，B＝120°，则△ABC的面积为______________．
　[由得sin C＝．由于0°由于b>c，故B>C，所以C＝45°，
所以A＝180°－120°－45°＝15°，
sin 15°＝sin(60°－45°)＝，所以△ABC的面积为S＝bcsin A＝×3×6×．]
5．(人教A版必修第二册P47例8改编)已知△ABC中，a＝1，b＝，B＝45°，则A＝(　　)
A．150°　　B．90°　　C．60°　　D．30°
√
D　[由正弦定理，得，得sin A＝．又a6．(用结论)已知△ABC的三边长分别为a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的外接圆半径＝______________．
　[由题意可得p＝＝9，S△ABC＝＝6，设外接圆半径为R，则R＝．]
考点深研·题型突破
考点一　利用正、余弦定理解三角形
[典例1]　(1)(2025·全国二卷)在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则A＝(　　)
A．45° B．60°
C．120° D．135°
√
(2)(2024·天津卷节选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知cos B＝，b＝5，．
(i)求a的值；
(ii)求sin A的值．
(1)A　[由题意得cos A＝，因为0°(2)[解]　(i)由得a＝c，
由余弦定理及其推论得a2＋c2－b2＝2accos B，
即c2＋c2－25＝2×c×c×，
整理得c2＝25，解得c＝6(舍负)，故a＝c＝4．
(ii)因为cos B＝，所以sin B＝，
由正弦定理，
即sin A＝．
通性通法：应用正弦、余弦定理的解题技巧
(1)求边：利用正弦定理变形公式a＝等或余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A等求解．
(2)求角：利用正弦定理变形公式sin A＝等或余弦定理的推论cos A＝等求解．
[多维变迁]
1．(2025·雅安期末)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，b＝，c＝2，则C＝(　　)
A．45° B．135°
C．45°或135° D．30°
√
C　[∵B＝30°，b＝，c＝2，
则sin C＝，
∵C>B，0°∴C＝45°或C＝135°．
故选C．]
2．(2025·北海期末)在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos A的值为(　　)
A． B．
C． D．－
√
A　[∵sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，
∴由正弦定理，得a∶b∶c＝2∶3∶4，
不妨设a＝2，b＝3，c＝4，
∴cos A＝．
故选A．]
3．(2026·邯郸模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2＋bc＝a2．若b＝，a＝3sin B，则C＝(　　)
A． B．
C． D．
√
D　[在△ABC中，由b2＋c2＋bc＝a2及余弦定理的推论，可得cos A＝＝－，
由0又b＝，a＝3sin B，
由正弦定理得sin B＝，
又sin B>0，解得sin B＝，
又0所以C＝π－A－B＝．故选D．]
【教用·备选题】
(2024·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2．
(1)求A；
(2)若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长．
[解]　(1)由sin A＋cos A＝2，得
sin A＋cos A＝1，即sin＝1，
由于A∈(0，π)，所以A＋，故A＋，
所以A＝．
(2)由题设条件和正弦定理得
sin Bsin C＝2sin Csin Bcos B，
又B，C∈(0，π)，则sin Bsin C≠0，所以cos B＝，所以B＝，所以C＝π－A－B＝．
sin C＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋sin Bcos A＝，
由正弦定理，解得b＝2，c＝，
故△ABC的周长为2＋＋3．
考点二　判断三角形的形状
[典例2]　△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形　　 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
√
A　[法一(化角为边)：因为bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝a，所以asin A＝a，即sin A＝1，故A＝，因此△ABC是直角三角形．
法二(化边为角)：因为bcos C＋ccos B＝asin A，
所以sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
即sin(B＋C)＝sin2A，
所以sin A＝sin2A，
又sin A≠0，
故sin A＝1，即A＝，因此△ABC是直角三角形．]
通性通法：判断三角形形状的技巧
(1)整理出边的相应关系从而判断三角形是否为等边、等腰或直角三角形；
(2)通过三角恒等变换，得出内角之间的关系，从而判断三角形是否为锐角、直角或钝角三角形．
求解三角形形状问题时，既要从边的角度考虑又要从角的角度考虑，以免漏解．
[多维变迁]
(多选)(2025·重庆诊断)在△ABC中，下列说法正确的是(　　)
A．若acos A＝bcos B，则△ABC为直角三角形
B．若a＝40，b＝20，B＝25°，则△ABC必有两解
C．若△ABC是锐角三角形，则sin A>cos B
D．若cos 2A＋cos 2B－cos 2C<1，则△ABC为锐角三角形
√
√
BC　[对于A，由正弦定理可得sin Acos A＝sin Bcos B，
∴sin 2A＝sin 2B，∴A＝B或2A＋2B＝180°，
即A＝B或A＋B＝90°，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
对于B，asin B＝40sin 25°<40sin 30°＝40×＝20，
即asin B对于C，∵△ABC是锐角三角形，∴0°A＋B>90°，
即90°>A>90°－B>0°，
∴sin A>sin(90°－B)＝cos B，故C正确；
对于D，由题意及二倍角的余弦公式知1－2sin2A＋1－2sin2B－1＋2sin2C<1，
即sin2A＋sin2B－sin2C>0，即a2＋b2－c2>0，∴cos C>0，
即C为锐角，但不能说明△ABC为锐角三角形，故D错误．故选BC．]
【教用·备选题】
(多选)(2026·吉林模拟)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，下列叙述正确的是(　　)
A．若，则△ABC为等腰三角形
B．若A＝30°，b＝4，a＝3，则△ABC有两解
C．若tan A＋tan B＋tan C<0，则△ABC为钝角三角形
D．若a＝bsin C＋ccos B，则C＝
√
√
√
BCD　[对于A，因为，即sin 2A＝sin 2B，
由于A，B为三角形的内角，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，
即A＝B或A＋B＝，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
对于B，因为A＝30°，b＝4，a＝3，由正弦定理得，，可得sin B＝，cos A＝，cos B＝±＝±，则cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sin Asin B－cos Acos B，
若cos B＝，B是锐角，则cos C＝<0，C是钝角；
若cos B＝－，B是钝角，cos C＝>0，C是锐角，
故B有两解，故B正确；
对于C，若tan A＋tan B＋tan C<0，
因为tan C＝－tan(A＋B)＝－，
tan A＋tan B＝－tan C(1－tan Atan B)，
所以tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C<0，
所以tan A，tan B，tan C中必有一个值为负，即A，B，C中必有一个为钝角，
所以△ABC为钝角三角形，故C正确；
对于D，a＝bsin C＋ccos B，由正弦定理得sin A＝sin Bsin C＋sin Ccos B，即sin( B＋C)＝sin Bsin C＋sin Ccos B，即sin Bcos C＝sin Bsin C，因为sin B≠0，
所以cos C＝sin C，即tan C＝1，
因为0故选BCD．]
考点三　三角形的面积、周长问题
[典例3]　(2024·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab．
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3＋，求c．
[解]　(1)因为a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝，又0所以cos B＝sin C＝，所以cos B＝，
又0(2)法一：由(1)得A＝π－B－C＝．
因为sin＝sin＝sincos＋cos·sin，
所以由正弦定理，
所以a＝c．
所以S△ABC＝acsin B＝c2×＝3＋，
解得c＝2(舍负)．
法二：由(1)得A＝π－B－C＝．
设△ABC的外接圆半径为R，
由正弦定理得b＝2Rsin B＝R，c＝2Rsin C＝R．
因为sin＝sin＝sincos＋cos·sin，所以S△ABC＝bcsin A＝R·R·sin＝3＋＝3＋，解得R2＝4，所以R＝2(舍负)，所以c＝R＝2．
思维建模：边角互化模型(解三角形中的边角共存式)
第1步　边化角或角化边：将边角共存式化成只含角或只含边的等式．
正弦定理可将每一项的边化成正弦值，也可将每一项的正弦值化成边；余弦定理可将某一项的余弦值化成边．
第2步　解方程：解三角方程或关于边的方程．
【教用·通性通法】
三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
[多维变迁]
1．(2025·八省联考)在△ABC中，BC＝8，AC＝10，cos∠BAC＝，则△ABC的面积为 (　　)
A．6 B．8
C．24 D．48
√
C　[由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AB·ACcos∠BAC，即64＝100＋AB2－2AB×10×，∴AB2－12AB＋36＝0，
∴AB＝6，∴AB2＋BC2＝AC2，∴AB⊥BC，
∴S△ABC＝AB·BC＝×6×8＝24．]
2．(2026·漳州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcos A＝(2c－a)cos B．
(1)求角B的值；
(2)若a＝4，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
[解]　(1)法一：由bcos A＝(2c－a)cos B及正弦定理可得2sin Ccos B＝sin Bcos A＋sin Acos B，
可得2sin Ccos B＝sin(A＋B)，
因为A＋B＝π－C，所以2sin Ccos B＝sin C，
因为sin C≠0，所以cos B＝，
因为0法二：由bcos A＝(2c－a)cos B及余弦定理可得b·＝(2c－a)·，
化简得a2＋c2－b2＝ac，
由余弦定理可得2accos B＝ac，
因为ac≠0，所以cos B＝，
因为0(2)由S△ABC＝acsin B，得×4×c×，
解得c＝1，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，可得b2＝42＋12－2×4×1×＝13，解得b＝，
故△ABC的周长为5＋．
【教用·备选题】
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A＝sin C，cos B＝，△ABC的面积为2，则△ABC的周长为(　　)
A．8＋2 B．11
C．8＋2 D．8＋4
√
A　[因为sin A＝sin C，由正弦定理可得c＝3a，
由cos B＝可得sin B＝，
由题意可得S△ABC＝2，即S△ABC＝acsin B＝a2×＝2，解得a＝2(舍负)，所以c＝6，
由余弦定理可得b2＝4＋36－2×2×6×＝24，
所以b＝2，
所以△ABC的周长为8＋2．
故选A．]
2．(2025·西安期末)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2asin C＝c．
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，b＝4，求△ABC的面积．
[解]　(1)由已知及正弦定理，得
2sin Asin C＝sin C，
因为C为锐角，则sin C≠0，
所以sin A＝，
因为A为锐角，则A＝．
(2)由余弦定理可得，b2＋c2－2bccos A＝a2，
则c2＋16－8c×＝28，即c2－4c－12＝0，即(c－6)(c＋2)＝0，
因为c>0，则c＝6，
所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×4×6×＝6．
3．(2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1．
(1)求sin∠ABC；
(2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积．
[解]　(1)如图，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝22＋12＋2×2×1×＝7，解得BC＝．
法一：由正弦定理，
得sin∠ABC＝．
法二：由余弦定理的推论得cos∠ABC＝，
所以sin∠ABC＝．
(2)法一：由sin∠ABC＝，
得tan∠ABC＝，
又tan∠ABC＝，所以DA＝，
故△ADC的面积为DA·AC·sin(120°－90°)＝×1×．
法二：△ABC的面积为AC·AB·sin∠BAC＝×1×2×，
＝，
故△ADC的面积为S△ABC＝．
教材拓展5　射影定理的应用
射影定理：记△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则有a＝bcos C＋ccos B，b＝ccos A＋acos C；c＝acos B＋bcos A．
[典例4]　(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B－bcos A＝c，且C＝，则B＝(　　)
A． B．
C． D．
√
C　[法一(正弦定理法)：由acos B－bcos A＝c结合正弦定理得sin A cos B－sin Bcos A＝sin C＝sin(A＋B)，
即sin Acos B－cos Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
即sin Bcos A＝0．
在△ABC中，∵sin B≠0，∴cos A＝0，即A＝．
则B＝π－A－C＝π－．故选C．
法二(余弦定理法)：由acos B－bcos A＝c结合余弦定理的推论得a·－b·＝c，
化简得b2＋c2＝a2，∴A＝．
则B＝π－A－C＝π－．故选C．
法三(射影定理法)：由acos B－bcos A＝c结合射影定理acos B＋bcos A＝c，得bcos A＝0．
在△ABC中，b≠0，∴cos A＝0，即A＝，
则B＝π－．故选C．]
1．(链接考点一)(人教A版必修第二册P47例7改编)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝(　　)
A．2 B．1
C． D．
√
D　[由正弦定理，得b＝×2＝．故选D．]
2．(链接考点一)(2025·四川期末)在△ABC中，AB＝2，AC＝1，cos A＝，则BC＝(　　)
A．1 B．2
C． D．
√
B　[根据余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2·AB·AC·cos A＝4＋1－2×2×1×＝4，解得BC＝2(舍负)．
故选B．]
3．(链接考点二)(多选)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列判断三角形的形状正确的是(　　)
A．若AB＝6，AC＝5，BC＝8，则△ABC为钝角三角形
B．若cos A＝cos B，则△ABC为等腰三角形
C．若a∶b∶c＝4∶6∶7，则△ABC为锐角三角形
D．若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC一定为等腰三角形
√
√
√
ABC　[对于A，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC＝8，
由余弦定理的推论得cos A＝＝－<0，
则A为钝角，所以△ABC为钝角三角形，A正确；
对于B，在△ABC中，若cos A＝cos B，则A＝B，所以△ABC为等腰三角形，B正确；
对于C，由a∶b∶c＝4∶6∶7，设a＝4k，b＝6k，c＝7k(k>0)，
所以C是△ABC的最大内角，
所以cos C＝>0，又0对于D，由正弦定理及题意，得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin B cos A，
所以sin(A＋B)－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，故cos A(sin B－sin A)＝0，
所以cos A＝0或sin A＝sin B，即A＝或A＝B，
故△ABC 为直角三角形或等腰三角形，D错误．故选ABC．]
4．(链接考点三)(人教A版必修第二册P44练习T2改编)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝4，b＝5，c＝6，则cos A＝______________，△ABC的面积为______________．
　　[依题意得cos A＝，
所以sin A＝，
所以△ABC的面积为bcsin A＝．]
　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
一、单项选择题
1．(2025·咸宁期末)在△ABC中，B＝，AB＝8，AC＝7，则BC＝
(　　)
A．5 B．3或5
C．4 D．2或4
课时作业(三十六)　正弦定理、余弦定理
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
B　[由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝49，
整理得BC2－8BC＋15＝0，解得BC＝3或BC＝5，经检验均符合题意．
故选B．]
√
2．(人教A版必修第二册P61复习参考题6T11改编)在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是(　　)
A．b＝10，A＝45°，B＝70°
B．a＝60，c＝48，B＝60°
C．a＝7，b＝5，A＝80°
D．a＝14，b＝16，A＝45°
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
D　[对于A，已知两角及其中一角的对边，三角形确定，只有一解；对于B，已知两边及其夹角，用余弦定理，只有一解；对于C，已知两边及其中一边的对角，且已知的是两边中较大边所对的角，所以三角形有一解；对于D，bsin A＝16sin 45°＝8题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
3．(2026·喀什市模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝4，b＝，A＝60°，则B＝(　　)
A．30° B．30°或150°
C．45° D．45°或135°
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
C　[由正弦定理，
得，解得sin B＝，
因为a>b，所以A>B，
又因为0°所以B＝45°．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
4．(2026·杭州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足4c2＋a2＝b2，则△ABC为(　　)
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．等腰三角形
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
B　[在△ABC中，4c2＋a2＝b2，
由余弦定理得b2＝4c2＋a2＝a2＋c2－2accos B，则3c2＝－2accos B>0，
因此cos B<0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
5．(2026·邯郸模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则△ABC的面积为(　　)
A． B．
C．＋1 D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
D　[因为A＝105°，B＝45°，
所以C＝180°－105°－45°＝30°，
由正弦定理，
得c＝，
因为sin A＝sin 105°＝sin(60°＋45°)
＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝，
所以△ABC的面积为bcsin A＝×2×．
故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
二、多项选择题
6．(2025·葫芦岛月考)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A∶(sin A＋sin B)∶(sin B＋sin C)＝2∶5∶7，则(　　)
A．a∶b＝2∶3
B．a∶c＝1∶2
C．△ABC是锐角三角形
D．△ABC是钝角三角形
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
√
ABD　[在△ABC中，sin A∶(sin A＋sin B)∶(sin B＋sin C)＝2∶5∶7，
由正弦定理得a∶(a＋b)∶(b＋c)＝2∶5∶7，设a＝2t(t>0)，
则a＋b＝5t，b＋c＝7t，得b＝3t，c＝4t，因此a∶b＝2∶3，a∶c＝1∶2，A和B正确；
由c>b>a，得C为△ABC的最大内角，而cos C＝＝－<0，因此C为钝角，
即△ABC是钝角三角形，C错误，D正确．
故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
7．(2025·扬州期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中使得△ABC有唯一解的是(　　)
A．a＝，b＝4，c＝6
B．A＝，B＝，a＝2
C．a＝2，b＝4，sin A＝
D．a＝2，b＝4，cos B＝
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
√
ABD　[对于A，a＝，b＝4，c＝6，根据＋4>6，可知a，b，c可以构成三角形，
结合余弦定理，可得角A，B，C均有唯一解，所以△ABC有唯一解，A项符合题意；
对于B，由A＝，B＝，可得C＝π－A－B＝，
所以△ABC是以c为斜边的直角三角形，结合a＝2，可知△ABC有唯一解，B项符合题意；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
对于C，bsin A＝4×，可得a＝2∈(bsin A，b)，所以△ABC有两解，C项不符合题意；
对于D，由余弦定理得b2＝c2＋a2－2cacos B，即16＝c2＋12－2·2c·，
整理得c2－c－4＝0，解得c＝(舍负)，
所以△ABC有唯一解，D项符合题意．
故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
三、填空题
8．(人教A版必修第二册P44例6改编)已知在△ABC中，b＝，a＝1，B＝，则c＝______________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
2　[由余弦定理得b2＝c2＋a2－2cacos B，即c2＋c－6＝0，解得c＝2 或c＝－3(舍去)．]
2　
9．(人教A版必修第二册P54习题6.4T22)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos C＋asin C－b－c＝0，则A＝______________；若a＝2，△ABC的面积为，则b＋c＝______________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
　
4　
　4　[由acos C＋asin C－b－c＝0及正弦定理得sin Acos C＋sin Asin C－sin B－sin C＝0．因为sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，所以sin Asin C－cos A sin C－sin C＝0．由于sin C≠0，所以sin A－cos A－1＝0，所以sin．又0题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
四、解答题
10．(2025·江阴市月考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B．
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝sin A，求c．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
[解]　(1)利用正弦定理化简已知等式可得
sin Bsin A＝sin Acos B，
又sin A>0，可得sin B＝cos B，
可得＝tan B＝，B∈(0，π)，
可得B＝．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
(2)因为sin C＝sin A，由正弦定理得c＝a，
又因为b＝3，
由余弦定理可得b2＝9＝a2＋3a2－2×a×a×＝a2，所以a＝3，c＝a＝3．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
11．(2022·北京卷)在△ABC中，sin 2C＝sin C．
(1)求C；
(2)若b＝6，且△ABC的面积为6，求△ABC的周长．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
[解]　(1)由题知sin 2C＝sin C，即2sin Ccos C＝sin C，∵C∈(0，π)，∴sin C>0，∴cos C＝，C＝．
(2)∵S△ABC＝6，∴absin C＝6，解得a＝4，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，∴c2＝48＋36－2×4×6×＝12，解得c＝2(舍负)，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝6＋6．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
谢谢！课时作业(三十六)　正弦定理、余弦定理
一、单项选择题
1．(2025·咸宁期末)在△ABC中，B＝，AB＝8，AC＝7，则BC＝(　　)
A．5 B．3或5
C．4 D．2或4
2．(人教A版必修第二册P61复习参考题6T11改编)在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是(　　)
A．b＝10，A＝45°，B＝70°
B．a＝60，c＝48，B＝60°
C．a＝7，b＝5，A＝80°
D．a＝14，b＝16，A＝45°
3．(2026·喀什市模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝4，b＝，A＝60°，则B＝(　　)
A．30° B．30°或150°
C．45° D．45°或135°
4．(2026·杭州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足4c2＋a2＝b2，则△ABC为(　　)
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．等腰三角形
5．(2026·邯郸模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则△ABC的面积为(　　)
A． B．
C．＋1 D．
二、多项选择题
6．(2025·葫芦岛月考)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A∶(sin A＋sin B)∶(sin B＋sin C)＝2∶5∶7，则(　　)
A．a∶b＝2∶3
B．a∶c＝1∶2
C．△ABC是锐角三角形
D．△ABC是钝角三角形
7．(2025·扬州期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中使得△ABC有唯一解的是(　　)
A．a＝，b＝4，c＝6
B．A＝，B＝，a＝2
C．a＝2，b＝4，sin A＝
D．a＝2，b＝4，cos B＝
三、填空题
8．(人教A版必修第二册P44例6改编)已知在△ABC中，b＝，a＝1，B＝，则c＝________．
9．(人教A版必修第二册P54习题6.4T22)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cos C＋a sin C－b－c＝0，则A＝________；若a＝2，△ABC的面积为，则b＋c＝________．
四、解答题
10．(13分)(2025·江阴市月考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b sin A＝a cos B．
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝sin A，求c．
11．(15分)(2022·北京卷)在△ABC中，sin 2C＝sin C．
(1)求C；
(2)若b＝6，且△ABC的面积为6，求△ABC的周长．
课时作业(三十六)
1．B　[由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝49，
整理得BC2－8BC＋15＝0，解得BC＝3或BC＝5，经检验均符合题意．
故选B．]
2．D　[对于A，已知两角及其中一角的对边，三角形确定，只有一解；对于B，已知两边及其夹角，用余弦定理，只有一解；对于C，已知两边及其中一边的对角，且已知的是两边中较大边所对的角，所以三角形有一解；对于D，bsin A＝16sin 45°＝83．C　[由正弦定理，
得，
解得sin B＝，因为a>b，所以A>B，又因为0°4．B　[在△ABC中，4c2＋a2＝b2，
由余弦定理得b2＝4c2＋a2＝a2＋c2－2accos B，
则3c2＝－2accos B>0，
因此cos B<0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形．
故选B．]
5．D　[因为A＝105°，B＝45°，所以C＝180°－105°－45°＝30°，
由正弦定理，
得c＝，
因为sin A＝sin 105°＝sin(60°＋45°)
＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝，
所以△ABC的面积为bcsin A＝×2××．故选D．]
6．ABD　[在△ABC中，sin A∶(sin A＋sin B)∶(sin B＋sin C)＝2∶5∶7，
由正弦定理得a∶(a＋b)∶(b＋c)＝2∶5∶7，设a＝2t(t>0)，
则a＋b＝5t，b＋c＝7t，得b＝3t，c＝4t，因此a∶b＝2∶3，a∶c＝1∶2，A和B正确；
由c>b>a，得C为△ABC的最大内角，而cos C＝＝－<0，因此C为钝角，
即△ABC是钝角三角形，C错误，D正确．
故选ABD．]
7．ABD　[对于A，a＝，b＝4，c＝6，根据＋4>6，可知a，b，c可以构成三角形，
结合余弦定理，可得角A，B，C均有唯一解，所以△ABC有唯一解，A项符合题意；
对于B，由A＝，B＝，可得C＝π－A－B＝，
所以△ABC是以c为斜边的直角三角形，结合a＝2，可知△ABC有唯一解，B项符合题意；
对于C，bsin A＝4×，可得a＝2∈(bsin A，b)，
所以△ABC有两解，C项不符合题意；
对于D，由余弦定理得b2＝c2＋a2－2cacos B，
即16＝c2＋12－2·2c·，
整理得c2－c－4＝0，解得c＝(舍负)，
所以△ABC有唯一解，D项符合题意．
故选ABD．]
8.2　[由余弦定理得b2＝c2＋a2－2cacos B，即c2＋c－6＝0，解得c＝2 或c＝－3(舍去)．]
9．　4　[由acos C＋asin C－b－c＝0及正弦定理得sin Acos C＋sin Asin C－sin B－sin C＝0．因为sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，所以sin Asin C－cos A sin C－sin C＝0．由于sin C≠0，所以sin A－cos A－1＝0，所以sin．又010．解：(1)利用正弦定理化简已知等式可得
sin Bsin A＝sin Acos B，
又sin A>0，可得sin B＝cos B，
可得＝tan B＝，B∈(0，π)，
可得B＝．
(2)因为sin C＝sin A，由正弦定理得c＝a，
又因为b＝3，
由余弦定理可得b2＝9＝a2＋3a2－2×a×a×＝a2，
所以a＝3，c＝a＝3．
11．解：(1)由题知sin 2C＝sin C，
即2sin Ccos C＝sin C，∵C∈(0，π)，
∴sin C>0，∴cos C＝，C＝．
(2)∵S△ABC＝6，∴absin C＝6，解得a＝4，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，∴c2＝48＋36－2×4×6×＝12，解得c＝2(舍负)，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝6＋6．
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