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浙教版八年级下册数学期末专项复习题--第2章 一元二次方程
一、选择题
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A． B．
C． D．
2．若是方程的一个解，则m的值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
3．用配方法解方程时，配方结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．关于的一元二次方程的根的情况为（　　）
A．两个不相等的实数根 B．两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
5．已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（　　）
A． B．2 C．2或 D．4或
6．在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　）
A． B．
C． D．
7．已知，是一元二次方程的两个实数根，求的值（　　）
A． B．2025 C． D．
8．温州市2022年GDP（国内生产总值）约为8030亿元，2024年GDP约为9719亿元.设这两年温州市的GDP平均增长率为x，则可列出方程（　　）
A．8030（1+x）2=9719 B．8030x2=9719
C．8030（1+x2）=9719 D．8030（1+2x）=9719
9．已知等腰的一条腰为7．其余两边的边长恰好是的两个根．的值是（　　）
A．2 B．4 C．2或10 D．10
10．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
②若是一元二次方程的根，则其中正确的（　　）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②
二、填空题
11．已知关于x的一元二次方程x2-3x+2=0中一次项的系数是　 　.
12． 若关于x的方程的一个根是3，则另一个根是　 　．
13．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛42场，则参加比赛的球队有　 　支．
14．已知一次函数（m为常数）的图象过一、二、三象限，且关于x的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数m的值之和是　 　．
15．若关于的一元一次方程的两个根分别比的两个根大10，则　 　.
16．如果，是正实数，方程 和方程都有实数解，那么的最小值是　 　．
三、解答题
17．解方程：
（1）
（2）
18．解下列方程
（1）
（2）
19．已知关于的方程．
（1）若是方程的一个根，求的值及另一个根；
（2）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
20．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）.
（1）若方程的一个根为2，求的值，
（2）当b-ac=1时，求证：方程有两个实数根.
21．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”。例如一元二次方程、 =0的两个根是 则方程. 是“倍根方程”。
（1）　 　（填“是”或“不是”)“倍根方程”。
（2）若关于x的方程（（x-2)（x-m)=0是“倍根方程”，求代数式 的值。
（3）已知关于x的一元二次方程. n是常数)是“倍根方程”，请直接写出m的值。
22．端午节前夕，某校八年级的三名同学到超市调研一种进价为每个2元的粽子的销售情况。调查获知，若粽子每个的定价为3元，每天能卖出500个，这种粽子的单价每上涨
0.1元，其销售量将减少10个（相关部门规定，商品最高零售价不得超过进价的240%)。
（1）若商场每天要获得800元的销售利润，该如何定价
（2）商场的日盈利能否达到1000元
（3）当单价定为3.9元和4.3元时，商场的日盈利分别为多少 定价多少时，盈利较多
23．实践活动：某中学“田园梦工厂”社团准备围建一个长方形菜园（如图）．
素材1：要围建的菜园边上有一堵墙，长为，菜园的一边靠墙，另外三边用总长为的铝合金材料围建．
素材2：与墙平行的一边上要预留宽的入口．
任务1：当长方形菜园的长为多少米时，菜园的面积为？
任务2：能否围成的长方形菜园？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
24． 定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”．
（1）下列方程中，属于“邻根方程”的是　 　（填序号）．
①；②；③．
（2）已知方程是“邻根方程”，求m的值．
（3）若方程是“邻根方程”，求证：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A：，是一元二次方程，符合题意；
B：，不是一元二次方程，不符合题意；
C：，当a=0时，不是一元二次方程，不符合题意；
D：，不是一元二次方程，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是方程的一个解，
∴，解得，
故答案为：D．
【分析】根据方程解的定义“使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解”，将x=1代入原方程可得关于字母m的一元一次方程，求解即可得出m的值.
3．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
故选：B．
【分析】
配方法解一元二次方程，若二次项系数为1，则先把常数项移到等号的右边，再给两同时加上一次项系数一半的平方，从而把方程转化成结果为一个常数的完全平方式的形式．
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
方程无实数根．
故选：C．
【分析】根据二次方程判别式，可得方程无实根.
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据题意可得：
，
解得．
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数为2次的整式方程” 解答即可．
6．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由可得：，，．
∴该一元二次方程为：．
故答案为：A．
【分析】根据求根公式并结合题意即可求解．
7．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求算术平方根
【解析】【解答】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
∵，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，由一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=，，据此结合题意可得a+b=-2025，ab=1；将待求式子平方得，然后通分计算得，再将分子利用完全平方公式分解因式得，整体代入计算后，再求算术平方根即可得到答案.
8．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得：8030(1+x)2=9719.
故答案为：A.
【分析】利用2024年的GDP=2022年的GDP×(1+这两年GDP的年平均增长率)2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；三角形三边关系
【解析】【解答】解：已知等腰三角形的腰为7，
则的一个根为7，
将x=7代入方程，化简得：m2-14m+40=0，
解得m1=10，m2=4，
当m=10时，代入方程得，
x2-22x+105=0，
(x-15)(x-7)=0，
∴x1=15，x2=7，
而7+7<15，
此时不构成三角形，因此m=10不符合题意，
故m=4.
故答案为：B.
【分析】根据三角形腰长为7，可知方程的一个根为7，代入可求得m的两个值，再将m的两个值回代进行检验，检验三角形三边关系.
10．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】①当x=1时，a×12+b×1+c=a+b+c=0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2-4ac≥0成立，那么①一定符合题意．
②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②符合题意．
③由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0．当c≠0，则ac+b+1=0；当c=0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定符合题意．
④（2ax0+b）2＝4a2x02+b2+4abx0，由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则ax02+bx0+c＝0成立，那么④符合题意．
综上：正确的有①②④，共3个．
故答案为：A．
【分析】①将x=1代入方程可得a+b+c=0，可知方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根，即得△≥0，故①正确；②由方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则△=-4ac＞0，即得b2-4ac＞0，从而得方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，故正确；③将x=c代入中，可得c(ac+b+1)=0，只有当c≠0，则ac+b+1=0，故③不一定正确；④由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0，即得x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，故此项正确.
11．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：方程 x2-3x+2=0 ，其中一次项是-3x，所以一次项的系数是-3.
故答案为：-3.
【分析】在一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）中，bx是一次项，b是一次项的系数；即可直观得出答案.
12．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一根为：a，由根与系数的关系可得：3a=-6，
∴a=-2.
故答案为：-2 .
【分析】设方程的另一根为：a，利用根与系数的关系，可得等式3a=-6，解得a=-2，即 另一个根是 -2.
13．【答案】7
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设共有x个队参加比赛，
根据题意得：x（x﹣1）＝42，
整理得：x2﹣x﹣42＝0，
解得：x＝7或x＝﹣6（舍去）．
故答案为：7．
【分析】设共有x个队参加比赛，根据题意列出方程x（x﹣1）＝42，再求解即可。
14．【答案】-3
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝x＋2m＋8（m为常数）的图象过一、二、三象限，
∴2m＋8＞0，
2m＞ 8，
m＞ 4，
∵关于x的一元二次方程x2 2x＋m 1＝0有实数根，
∴（ 2）2 4（m 1）≥0，
4 4m＋4≥0，
4m≥ 8，
m≤2，
∴m的取值范围是： 4＜m≤2，
∴所有满足条件的整数m的值为： 3或 2或 1或0或1或2，
∴所有满足条件的整数m的值之和为： 3 2 1＋0＋1＋2＝ 3，
故答案为： 3．
【分析】先利用一次函数的图象与系数的关系求出m的取值范围，再利用一元二次方程根的判别式求出m的取值范围，最后求出符合条件的m的值即可.
15．【答案】1874
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设的两根分别为x1和x2，的两根分别为x3和x4，由韦达得x3+x4=5，x3x4=0=-2024，可x1+x2=-p=x3+10+x4+10=25，即p=-25；
q=x1x2=(x3+10)(x4+10)=x3x4+10(x3+x4)+100=-2024+50+100=1874
故p+q=-25+1874=1849.
故答案为：1849.
【分析】结合韦达定理和两方程根之间的关系可得p与q的值.
16．【答案】5
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程和方程都有实数解，
∴，，
∴，，
∵，是正实数，
∴，
∴，即，
∴，
故的最小值为，
又∵，
则当时，，
∴的最小值为，
∴的最小值为，
故答案为：5．
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此列出关于字母m、n得不等式，再对所列不等式进行整理变形并结合m、n都是正实数可得，求解得出m的最小值为4，进而再求出n的最小值为1，最后求m、n的和即可.
17．【答案】（1）解：
，
（2）解：
将方程整理为一般式得，
，，，
，
，
则，．
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法解该方程，由于此方程二次项系数为1，故先将常数项移到方程的右边，方程的两边都加上一次项系数一半的平方“1”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，然后利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）先将方程整理为一般式，然后找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，接着算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式“”求出方程的根.
（1）解：
，
（2）解：
将方程整理为一般式得，
，，，
，
，
则，．
18．【答案】（1）解：整理得
配方得 即可
开方得
即 或
（2）解：整理得
因式分解得
即3x-3=0， 3x-2=0，
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）用配方法解一元二次方程；
（2）用因式分解法解一元二次方程。
19．【答案】（1）解：设另一个根为x2，
由根与系数的关系可得：，
解得：m=10，x2=4+.
故答案为：m=10，x2=4+.
（2）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴b2-4ac=(-8 )2- 4×1×(m+1)＞0，
解得：m＜15.
故答案为：m＜15.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）设另一个根为x2，由一元二次方程的根与系数的关系可得关于m、x2的方程组，解方程组即可求解；
（2）由题意并根据一元二次方程的根的判别式“①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根”可得关于m的不等式，解不等式即可求解．
20．【答案】（1）解：把代入，得，
∴，
∴
（2）证明：∵，∴，
∴，
∴方程有两个实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】(1)利用根的定义代入求解代数式的值；
(2)通过计算判别式并利用已知条件证明方程有两个实数根.
21．【答案】（1）是
（2）解：(x-2)(x-m)=0，
x-2=0或x-m=0，
解得
由条件可知2=2m或m=2×2，
∴m=1或m=4，
当m=1时，
当m=4时，
综上所述，代数式 的值为26或5
（3）解：设方程的两根分别为α、2α，
由根与系数的关系得α+2α=m-1， α·2α=32，
解得α=4， m=13或α=-4， m=-11，
所以m的值为13或-11
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：(1)原方程分解因式可得：
(x-2)(x-1)=0，
x-2=0或x-1=0，
所以
∴方程 是“倍根方程”.
故答案为：是；
【分析】(1)利用因式分解法解方程得到 然后根据“倍根方程”的定义进行判断；
(2)利用因式分解法解方程得到 再根据新定义解得m=1或m=4；然后把m=1或m=4分别代入所求的代数式中求值即可；
(3)设方程的根的两根分别为α、2α，根据根与系数的关系得α+2α=m﹣1， α·2α=32， ， 然后求出α，再计算对应的m的值即可.
22．【答案】（1）解：设这种粽子的售价应定为x元/个，则每个的销售利润为(x-2)元，日销售量为 ×10=(800-100x)个，
依题意得：((x-2)(800-100x)=800，
整理得：
解得：
又∵物价局规定，商品最高零售价不得超过进价的240%，
答：这种粽子的售价应定为4元/个
（2）解：商场日盈利不能否达到1000元，理由如下：
设这种粽子的售价应定为y元/个，则每个的销售利润为((y-2)元，日销售量为((800-100y)个，
依题意得：((y-2)(800-100y)=1000，
整理得：
∴该方程无解，
即商场日盈利不能否达到1000元
（3）解：当定价为3.9元时，商场的日盈利为( (800-100×3.9)=779(元)；
当定价为4.3元时，商场的日盈利为( (800-100×4.3)=851(元)。
∴定价为4.3元时，盈利较多.
答：当定价为3.9元时，商场的日盈利为779元；当定价为4.3元时，商场的日盈利为851元，定价为4.3元时，盈利较多
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设这种粽子的售价应定为x元/个，则每个的销售利润为(x-2)元，日销售量为(800-100x))个，利用商场销售粽子每天获得的利润=每个的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合商品最高零售价不得超过进价的240%，即可得出这种粽子的售价应定为4元/个；
(2)商场日盈利不能否达到1000元，设这种粽子的售价应定为y元/个，则每个的销售利润为(y-2)元，日销售量为(800-100y)个，用商场销售粽子每天获得的利润=每个的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式 ，可得出该方程无解，即商场日盈利不能否达到1000元；
(3)利用商场销售粽子每天获得的利润=每个的销售利润×日销售量，可分别求出定价为3.9元和4.3元时商场的日盈利，比较后即可得出结论.
23．【答案】解：任务1：解：设的长为米，
由题意，得，
解得，（舍去），
所以，
任务2：解：由题意得，
方程无解，
不能围成的长方形菜园
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键在于理解题目条件并建立正确的等量关系。解题时需注意围墙的最大长度为，需舍去不符合题意的解。任务1：已知砌墙材料总长度为，设，则平行于墙的一边（需考虑门宽）。根据矩形面积公式建立方程，解该一元二次方程即可。
任务2：通过计算判别式，判断方程是否有实数解，从而确定能否围成指定面积的饲养场。
24．【答案】（1）③
（2）解：解方程得，
∵方程是“邻根方程”，
∴，
解得m=或，
故答案为：或；
（3）解：设，是一元二次方程的两个根 ，
∴，，，
∵，
∴4c=b2-1，
∴.
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】
解：(1)解①得，x1=1，x2=-1，，故不符合条件；
解②得：，，故不符合条件；
解③得：，，故符合条件；
故答案为：③
【分析】(1)根据“邻根方程”的定义分别计算下列方程的根，然后判断即可；
(2)根据“邻根方程”的定义，可以得到两个根之间的关系，可以得到关于m的绝对值方程，解之即可；
(3)根据“邻根方程”的定义，设两个根，然后得到关于b，c的等式，变形即可证明.
1 / 1浙教版八年级下册数学期末专项复习题--第2章 一元二次方程
一、选择题
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A：，是一元二次方程，符合题意；
B：，不是一元二次方程，不符合题意；
C：，当a=0时，不是一元二次方程，不符合题意；
D：，不是一元二次方程，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．若是方程的一个解，则m的值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是方程的一个解，
∴，解得，
故答案为：D．
【分析】根据方程解的定义“使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解”，将x=1代入原方程可得关于字母m的一元一次方程，求解即可得出m的值.
3．用配方法解方程时，配方结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
故选：B．
【分析】
配方法解一元二次方程，若二次项系数为1，则先把常数项移到等号的右边，再给两同时加上一次项系数一半的平方，从而把方程转化成结果为一个常数的完全平方式的形式．
4．关于的一元二次方程的根的情况为（　　）
A．两个不相等的实数根 B．两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
方程无实数根．
故选：C．
【分析】根据二次方程判别式，可得方程无实根.
5．已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（　　）
A． B．2 C．2或 D．4或
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据题意可得：
，
解得．
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数为2次的整式方程” 解答即可．
6．在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由可得：，，．
∴该一元二次方程为：．
故答案为：A．
【分析】根据求根公式并结合题意即可求解．
7．已知，是一元二次方程的两个实数根，求的值（　　）
A． B．2025 C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求算术平方根
【解析】【解答】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
∵，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，由一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=，，据此结合题意可得a+b=-2025，ab=1；将待求式子平方得，然后通分计算得，再将分子利用完全平方公式分解因式得，整体代入计算后，再求算术平方根即可得到答案.
8．温州市2022年GDP（国内生产总值）约为8030亿元，2024年GDP约为9719亿元.设这两年温州市的GDP平均增长率为x，则可列出方程（　　）
A．8030（1+x）2=9719 B．8030x2=9719
C．8030（1+x2）=9719 D．8030（1+2x）=9719
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得：8030(1+x)2=9719.
故答案为：A.
【分析】利用2024年的GDP=2022年的GDP×(1+这两年GDP的年平均增长率)2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.
9．已知等腰的一条腰为7．其余两边的边长恰好是的两个根．的值是（　　）
A．2 B．4 C．2或10 D．10
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；三角形三边关系
【解析】【解答】解：已知等腰三角形的腰为7，
则的一个根为7，
将x=7代入方程，化简得：m2-14m+40=0，
解得m1=10，m2=4，
当m=10时，代入方程得，
x2-22x+105=0，
(x-15)(x-7)=0，
∴x1=15，x2=7，
而7+7<15，
此时不构成三角形，因此m=10不符合题意，
故m=4.
故答案为：B.
【分析】根据三角形腰长为7，可知方程的一个根为7，代入可求得m的两个值，再将m的两个值回代进行检验，检验三角形三边关系.
10．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
②若是一元二次方程的根，则其中正确的（　　）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】①当x=1时，a×12+b×1+c=a+b+c=0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2-4ac≥0成立，那么①一定符合题意．
②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②符合题意．
③由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0．当c≠0，则ac+b+1=0；当c=0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定符合题意．
④（2ax0+b）2＝4a2x02+b2+4abx0，由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则ax02+bx0+c＝0成立，那么④符合题意．
综上：正确的有①②④，共3个．
故答案为：A．
【分析】①将x=1代入方程可得a+b+c=0，可知方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根，即得△≥0，故①正确；②由方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则△=-4ac＞0，即得b2-4ac＞0，从而得方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，故正确；③将x=c代入中，可得c(ac+b+1)=0，只有当c≠0，则ac+b+1=0，故③不一定正确；④由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0，即得x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，故此项正确.
二、填空题
11．已知关于x的一元二次方程x2-3x+2=0中一次项的系数是　 　.
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：方程 x2-3x+2=0 ，其中一次项是-3x，所以一次项的系数是-3.
故答案为：-3.
【分析】在一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）中，bx是一次项，b是一次项的系数；即可直观得出答案.
12． 若关于x的方程的一个根是3，则另一个根是　 　．
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一根为：a，由根与系数的关系可得：3a=-6，
∴a=-2.
故答案为：-2 .
【分析】设方程的另一根为：a，利用根与系数的关系，可得等式3a=-6，解得a=-2，即 另一个根是 -2.
13．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛42场，则参加比赛的球队有　 　支．
【答案】7
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设共有x个队参加比赛，
根据题意得：x（x﹣1）＝42，
整理得：x2﹣x﹣42＝0，
解得：x＝7或x＝﹣6（舍去）．
故答案为：7．
【分析】设共有x个队参加比赛，根据题意列出方程x（x﹣1）＝42，再求解即可。
14．已知一次函数（m为常数）的图象过一、二、三象限，且关于x的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数m的值之和是　 　．
【答案】-3
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝x＋2m＋8（m为常数）的图象过一、二、三象限，
∴2m＋8＞0，
2m＞ 8，
m＞ 4，
∵关于x的一元二次方程x2 2x＋m 1＝0有实数根，
∴（ 2）2 4（m 1）≥0，
4 4m＋4≥0，
4m≥ 8，
m≤2，
∴m的取值范围是： 4＜m≤2，
∴所有满足条件的整数m的值为： 3或 2或 1或0或1或2，
∴所有满足条件的整数m的值之和为： 3 2 1＋0＋1＋2＝ 3，
故答案为： 3．
【分析】先利用一次函数的图象与系数的关系求出m的取值范围，再利用一元二次方程根的判别式求出m的取值范围，最后求出符合条件的m的值即可.
15．若关于的一元一次方程的两个根分别比的两个根大10，则　 　.
【答案】1874
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设的两根分别为x1和x2，的两根分别为x3和x4，由韦达得x3+x4=5，x3x4=0=-2024，可x1+x2=-p=x3+10+x4+10=25，即p=-25；
q=x1x2=(x3+10)(x4+10)=x3x4+10(x3+x4)+100=-2024+50+100=1874
故p+q=-25+1874=1849.
故答案为：1849.
【分析】结合韦达定理和两方程根之间的关系可得p与q的值.
16．如果，是正实数，方程 和方程都有实数解，那么的最小值是　 　．
【答案】5
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程和方程都有实数解，
∴，，
∴，，
∵，是正实数，
∴，
∴，即，
∴，
故的最小值为，
又∵，
则当时，，
∴的最小值为，
∴的最小值为，
故答案为：5．
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此列出关于字母m、n得不等式，再对所列不等式进行整理变形并结合m、n都是正实数可得，求解得出m的最小值为4，进而再求出n的最小值为1，最后求m、n的和即可.
三、解答题
17．解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
，
（2）解：
将方程整理为一般式得，
，，，
，
，
则，．
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法解该方程，由于此方程二次项系数为1，故先将常数项移到方程的右边，方程的两边都加上一次项系数一半的平方“1”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，然后利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）先将方程整理为一般式，然后找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，接着算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式“”求出方程的根.
（1）解：
，
（2）解：
将方程整理为一般式得，
，，，
，
，
则，．
18．解下列方程
（1）
（2）
【答案】（1）解：整理得
配方得 即可
开方得
即 或
（2）解：整理得
因式分解得
即3x-3=0， 3x-2=0，
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）用配方法解一元二次方程；
（2）用因式分解法解一元二次方程。
19．已知关于的方程．
（1）若是方程的一个根，求的值及另一个根；
（2）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
【答案】（1）解：设另一个根为x2，
由根与系数的关系可得：，
解得：m=10，x2=4+.
故答案为：m=10，x2=4+.
（2）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴b2-4ac=(-8 )2- 4×1×(m+1)＞0，
解得：m＜15.
故答案为：m＜15.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）设另一个根为x2，由一元二次方程的根与系数的关系可得关于m、x2的方程组，解方程组即可求解；
（2）由题意并根据一元二次方程的根的判别式“①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根”可得关于m的不等式，解不等式即可求解．
20．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）.
（1）若方程的一个根为2，求的值，
（2）当b-ac=1时，求证：方程有两个实数根.
【答案】（1）解：把代入，得，
∴，
∴
（2）证明：∵，∴，
∴，
∴方程有两个实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】(1)利用根的定义代入求解代数式的值；
(2)通过计算判别式并利用已知条件证明方程有两个实数根.
21．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”。例如一元二次方程、 =0的两个根是 则方程. 是“倍根方程”。
（1）　 　（填“是”或“不是”)“倍根方程”。
（2）若关于x的方程（（x-2)（x-m)=0是“倍根方程”，求代数式 的值。
（3）已知关于x的一元二次方程. n是常数)是“倍根方程”，请直接写出m的值。
【答案】（1）是
（2）解：(x-2)(x-m)=0，
x-2=0或x-m=0，
解得
由条件可知2=2m或m=2×2，
∴m=1或m=4，
当m=1时，
当m=4时，
综上所述，代数式 的值为26或5
（3）解：设方程的两根分别为α、2α，
由根与系数的关系得α+2α=m-1， α·2α=32，
解得α=4， m=13或α=-4， m=-11，
所以m的值为13或-11
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：(1)原方程分解因式可得：
(x-2)(x-1)=0，
x-2=0或x-1=0，
所以
∴方程 是“倍根方程”.
故答案为：是；
【分析】(1)利用因式分解法解方程得到 然后根据“倍根方程”的定义进行判断；
(2)利用因式分解法解方程得到 再根据新定义解得m=1或m=4；然后把m=1或m=4分别代入所求的代数式中求值即可；
(3)设方程的根的两根分别为α、2α，根据根与系数的关系得α+2α=m﹣1， α·2α=32， ， 然后求出α，再计算对应的m的值即可.
22．端午节前夕，某校八年级的三名同学到超市调研一种进价为每个2元的粽子的销售情况。调查获知，若粽子每个的定价为3元，每天能卖出500个，这种粽子的单价每上涨
0.1元，其销售量将减少10个（相关部门规定，商品最高零售价不得超过进价的240%)。
（1）若商场每天要获得800元的销售利润，该如何定价
（2）商场的日盈利能否达到1000元
（3）当单价定为3.9元和4.3元时，商场的日盈利分别为多少 定价多少时，盈利较多
【答案】（1）解：设这种粽子的售价应定为x元/个，则每个的销售利润为(x-2)元，日销售量为 ×10=(800-100x)个，
依题意得：((x-2)(800-100x)=800，
整理得：
解得：
又∵物价局规定，商品最高零售价不得超过进价的240%，
答：这种粽子的售价应定为4元/个
（2）解：商场日盈利不能否达到1000元，理由如下：
设这种粽子的售价应定为y元/个，则每个的销售利润为((y-2)元，日销售量为((800-100y)个，
依题意得：((y-2)(800-100y)=1000，
整理得：
∴该方程无解，
即商场日盈利不能否达到1000元
（3）解：当定价为3.9元时，商场的日盈利为( (800-100×3.9)=779(元)；
当定价为4.3元时，商场的日盈利为( (800-100×4.3)=851(元)。
∴定价为4.3元时，盈利较多.
答：当定价为3.9元时，商场的日盈利为779元；当定价为4.3元时，商场的日盈利为851元，定价为4.3元时，盈利较多
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设这种粽子的售价应定为x元/个，则每个的销售利润为(x-2)元，日销售量为(800-100x))个，利用商场销售粽子每天获得的利润=每个的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合商品最高零售价不得超过进价的240%，即可得出这种粽子的售价应定为4元/个；
(2)商场日盈利不能否达到1000元，设这种粽子的售价应定为y元/个，则每个的销售利润为(y-2)元，日销售量为(800-100y)个，用商场销售粽子每天获得的利润=每个的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式 ，可得出该方程无解，即商场日盈利不能否达到1000元；
(3)利用商场销售粽子每天获得的利润=每个的销售利润×日销售量，可分别求出定价为3.9元和4.3元时商场的日盈利，比较后即可得出结论.
23．实践活动：某中学“田园梦工厂”社团准备围建一个长方形菜园（如图）．
素材1：要围建的菜园边上有一堵墙，长为，菜园的一边靠墙，另外三边用总长为的铝合金材料围建．
素材2：与墙平行的一边上要预留宽的入口．
任务1：当长方形菜园的长为多少米时，菜园的面积为？
任务2：能否围成的长方形菜园？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
【答案】解：任务1：解：设的长为米，
由题意，得，
解得，（舍去），
所以，
任务2：解：由题意得，
方程无解，
不能围成的长方形菜园
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键在于理解题目条件并建立正确的等量关系。解题时需注意围墙的最大长度为，需舍去不符合题意的解。任务1：已知砌墙材料总长度为，设，则平行于墙的一边（需考虑门宽）。根据矩形面积公式建立方程，解该一元二次方程即可。
任务2：通过计算判别式，判断方程是否有实数解，从而确定能否围成指定面积的饲养场。
24． 定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”．
（1）下列方程中，属于“邻根方程”的是　 　（填序号）．
①；②；③．
（2）已知方程是“邻根方程”，求m的值．
（3）若方程是“邻根方程”，求证：．
【答案】（1）③
（2）解：解方程得，
∵方程是“邻根方程”，
∴，
解得m=或，
故答案为：或；
（3）解：设，是一元二次方程的两个根 ，
∴，，，
∵，
∴4c=b2-1，
∴.
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】
解：(1)解①得，x1=1，x2=-1，，故不符合条件；
解②得：，，故不符合条件；
解③得：，，故符合条件；
故答案为：③
【分析】(1)根据“邻根方程”的定义分别计算下列方程的根，然后判断即可；
(2)根据“邻根方程”的定义，可以得到两个根之间的关系，可以得到关于m的绝对值方程，解之即可；
(3)根据“邻根方程”的定义，设两个根，然后得到关于b，c的等式，变形即可证明.
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