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浙教版八下数学期末两周冲刺复习——一元二次方程应用
一、百分率问题
1．新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆.设月平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是(　　)
A． B．
C．1000(1+2x) =1210 D．1210(1-2x) =1000
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设月平均增长率为x，
根据题意可列方程为：1000(1+x)2=1210
故选B
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设月平均增长率为x，根据题意列出方程即可．
2．某电商平台在“618”大促活动中，一款智能手环标价为 500 元，连续两次降价，最终售价为 320 元，则平均每次降价的百分率m的值为　 　.
【答案】20%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为m，
根据题意列方程得：
500(1-m)2=320
解得m1=0.2=20%，m2=1.8(舍去)
故答案为：20%.
【分析】设平均每次降价的百分率为m，初始售价为500元，降价两次后售价为320元，代入公式即可列出方程，进而即可求解.
3．某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情滞销该店采取了降价措施，在每件盈利不少于24元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若该商品经过两次降价后，每件可以获得的利润是32.4元，求这两次降价的平均降价率是多少
（2）若该商店每天预期销售利润为1232元，则每件商品应降价多少元
【答案】（1）解：设这两次降价的平均降价率是a，
根据题意可得： 解得： （舍去)，
答：这两次降价的平均降价率是 10%
（2）解：每件商品降价x元，则每件盈利（40-x)元，平均每天可售出（20+2x)件，根据题意得： （40-x)（20+2x) =1232， x1=12， x2=18，
∵40-18=22<24，
∴x=12，
答：若该商店每天销售利润为1232元，每件商品可降价12元
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)本题是典型的增长率问题，核心公式为：最终利润=初始利润×(1-平均降价率)2。设平均降价率为a，根据“两次降价后利润为32.4元”列方程，解出a后，舍去大于1的不合理解，即可得到降价率；
(2)本题是利润问题，核心公式为：总利润=单件利润×销售量。设降价元，则单件利润为(40-x)元，销售量为(20+2x)件，根据”总利润1232元”列方程，解出后，结合“每件盈利不少于24元”的条件进行取舍，最终得到答案。
4．金华市区某超市以原价为40元瓶的价格对外销售某种洗手液，为了减少库存，决定降价销售，经过两次降价后，售价为32.4元瓶．
（1）求平均每次降价的百分率．
（2）金华市区某学校为确保疫情复学后工作安全、卫生、健康、有序，学校决定购买一批洗手液(超过200瓶）.该超市对购买量大的客户有优惠措施，在32.4元瓶的基础上推出方案一：每瓶打九折；方案二：不超过200瓶的部分不打折，超过200瓶的部分打八折．学校应该选择哪一种方案更省钱？请说明理由．
【答案】（1）解：设平均每次降价的百分率为，
依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去)．
答：平均每次降价的百分率为10%．
（2）解：设学校购买瓶洗手液，则选择方案一所需费用为元，选择方案二所需费用为元，
当时，，
当时，学校选择方案一更省钱；
当时，，
当时，学校选择两种方案所需费用相同；
当时，，
当时，学校选择方案二更省钱．
答：当购买数量超过200瓶且不足400瓶时，学校选择方案一更省钱；当购买数量等于400瓶时，学校选择两种方案所需费用相同；当购买数量超过400瓶时，学校选择方案二更省钱．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设平均每次降价的百分率为x，则经过两次降价后的售价为40(1-x)2元。结合经过两次降价后，售价为32.4元/瓶列出方程，求解即可；
（2）设学校购买y（y>200）瓶洗手液，则选择方案一所需费用为32.4×0.9y=29.16y元，选择方案二所需费用为32.4×200+32.4×0.8(y-200)=(25.92y+1296)元，分别令29.16y>25.92y+1296、29.16y<25.92y+1296、29.16y=25.92y+1296，求出y的值或范围，据此解答.
二、销售问题
5．某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售，经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利8450元，设每件降低x元，则可列方程为（　　）
A．(60-x)(200+8x)=8450 B．(20-x)(200+x)=8450
C．(40-x)(200+8x)= 8450 D．(20-x)(200+8x)=8450
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：当每件降低x元时，每件的销售利润为 元，平均每周可售出 件，
根据题意得：
故答案为：D.
【分析】当每件降低x元时，每件的销售利润为 元，平均每周可售出 件，利用每周销售该款T恤获得的总利润=每件的销售利润×每周的销售量，可得出关于x的一元二次方程，此题得解.
6．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价　 　元．
【答案】3或4
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】设每箱降价x元，则有
(100+20x)(12-x)=1440，解得x=3或4
故答案：3或4.
【分析】设降价x元，其利用为12-x，销量为100+20x，列出方程求解方程即可.
7．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎.某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个.为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动.已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个.
（1）降价5元时，日销量增加了多少个
（2）当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元
【答案】（1）解：销量增加了5×5=25个
（2）解：设降价 x元，则售价(50-x) 元，销量(320+50x)个，单价(20-x)元
由题意得(20-x)(320+50x) =5940
解得 (舍去)，
答：当每个玩偶降价2元时，当日总利润可达到5940元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；有理数乘法的实际应用
【解析】【分析】（1）根据“玩偶售价每降价1元，日销量可增加5个”列式计算即可；
（2）设每个玩偶降价x元，根据“当日总利润可达到 5940 元”列方程，求出x的值取舍根解答即可．
8．根据以下销售情况，解决销售任务．
　 销售情况分析
　 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下：
店面 甲店 乙店
日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出32件，每件盈利30元．
市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件．
情况设置 设甲店每件衬衫降价元，乙店每件衬衫降价元．
任务解决
任务1 甲店每天的销售量 　 　（用含的代数式表示）． 乙店每天的销售量 　 　（用含的代数式表示）．
任务2 当，时，分别求出甲、乙店每天的盈利．
任务3 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2244元．
【答案】任务1：件，件；
解：任务2，当时，甲店每天的盈利为（元）；
当时，乙店每天的盈利为（元）；
任务3，设每件衬衫下降元时，两家分店一天的盈利和为2244元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
即每件衬衫下降11元时，两家分店一天的盈利和为2244元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：任务1，根据题意得：
甲店每天的销售量为件，乙店每天的销售量为件，
故答案为：件，件；
【分析】任务1，根据题意列代数式即可；
任务2，根据盈利＝每件盈利×销售量列式计算解题；
任务3，设每件衬衫下降元时，根据盈利＝每件盈利×销售量得到两家分店一天的盈利和为2244元，列一元二次方程解题即可．
9． 近几年，“浙东唐诗之路”山水挑战赛“贵门”轻越野跑的关注度越来越高．据某平台统计，赛事的参赛跑友逐年增多，从2023年的1000人增加到2025年的1210人．
（1）求2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率．
（2）某网店以每组30元的进价购进一批护膝肌贴组．当每组售价为50元时，3月份售出了1600组，随着市民健跑热情的增加，该网店的护膝肌贴组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定采用降价促销的方式．经调查发现，该护膝肌贴组每组每降价1元，每月销售量就增加200组，该网店计划4月份售卖护膝肌贴组获利36000元，为了尽可能多的让利于顾客，该护膝肌贴组每组应降价多少元？
【答案】（1）解：设2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率为x，
由题意得：1000(1+x)2=1210，
解得：x1=0.1=10%，x2=-2.1(不符合题意，舍去)，
答：2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率为10%
（2）解：设该护膝肌贴组每组应降价m元，则4月份销售量为(1600+200m)组，
由题意得：(50-m-30)(1600+200m)=36000，
整理得：m2-12m+20=0，
解得：m1=2(不符合题意，舍去)，m2=10，
答：该护膝肌贴组每组应降价10元
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率为x，根据复利公式：初始值×(1+增长率)^年数=最终值，进而即可求解；
(2)设该护膝肌贴组每组应降价m元，则4月份销售量为(1600+200m)组，根据总利润=单件利润×销量，进而即可求解.
三、几何问题
10．为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为480m2的长方形场地作为劳动基地若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为70m的第笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为1m的进出门（如图），设靠墙的长方形边长为x（m），则下列方程正确的是（　　），
A．x（72-2x）=480 B．x（68-2x）=480
C．x（72-x）=480 D．x（68-x）=480
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设靠墙的长方形边长为x(m)，根据题意得
故答案为：A.
【分析】设靠墙的长方形边长为xm，根据矩形的面积公式即可得到结论.
11．一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（　　）
A．5cm2 B．6cm2 C．7cm2 D．8cm2
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形的长为x cm，宽为y cm，
根据题意可得，
，
将(②-①)3可得出：y-x+1=0，即x=y+1③，
将③代入②中可得：y (y+1) =16+3(y-4)+11，
整理得：，
解得：或（舍），
则x=y+1=6，
则矩形的宽为5cm，长为6cm，
按照图③放置的时候，未覆盖的面积为：，
故答案为：C．
【分析】设矩形的长为x cm，宽为y cm，根据矩形的面积公式表示出三个图形中未被覆盖的面积，然后根据①②两个等式求出①②，然后计算③的面积即可．
12．如图所示的是该校一块长方形劳动场地，长36m，宽24m，要求在场地内修同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为种植区．若种植区的总面积为，则所修道路的宽为　 　m．
【答案】1
【知识点】平移的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设所修道路的宽为．根据题意，得，
整理，得，解得（不合题意，舍去），，
即所修道路的宽为．
故答案为：1．
【分析】
利用平移法将不规则的种植区转化为规则的矩形，从而根据面积公式列出方程求解.
13．公益中学乐益农场准备利用长为8m的墙AB和一段长为26m的篱笆围建一个长方形菜地，设平行于墙一边 CD长为 xm.
（1）如图1，如果长方形菜地的一边靠墙，另三边由篱笆ECDF围成，当菜地的面积为时，求x的值；
（2）如图2，如果长方形菜地的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ACDF围成，当菜地面积为时，求x的值.
【答案】（1）解：四边形是矩形，
，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
，
不合题意舍去，
．
答：当苗圃园的面积为60时，x的值为．
（2）解：四边形是矩形，
，
，
解得：，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
不合题意舍去，
．
答：当苗圃园的面积为60时，x的值为．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）表示CE长，根据矩形的面积公式列方程，求出x的值检验解答即可；
（2）表示AC长，根据矩形的面积公式列方程，求出x的值并检验解答即可．
14．用一张长为40cm，宽为25cm的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒。
（1）如图1裁去角上四个小正方形之后，折成如图2的无盖纸盒。若纸盒底面积为450cm2，则纸盒的高是多少？
（2）如图3，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片（空白部分）折成一个有盖的纸盒。若折成纸盒的表面积为912cm2，则裁去的正方形的边长是多少？
【答案】（1）解：设纸盒的高为x(cm)，
由题意，得：(40-2x)(25-2x)=450，
化简、整理，得：2x2-65x+275=0，
解这个方程，得：x1=5，x2=27.5（不合题意，舍去)，
答：纸盒的高为5cm.
（2）解：设裁去的正方形的边长为x(cm)，
由题意，得：40×25-2x2-2×20x=912，
化简、整理，得：x2+20x-44=0，
解这个方程，得：x1=2，x2=-22（不合题意，舍去)，
答：裁去的正方形的边长为2cm.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】(1)设纸盒的高为xcm，则纸盒的底面是长为(40-2x)cm，宽为(25-2x)cm的长方形，根据纸盒底面积为450cm2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
(2)设裁去的正方形的边长为xcm，根据折成纸盒的表面积为912cm2(即长方形硬纸板的面积-阴影部分的面积)，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论.
15． 根据以下素材，探索完成任务．
智能农业种植基地设计
背景 随着科技的日益更新，利用智能化设备和技术，可以有效提高农业种植的生产效率，提升农产品的质量．
素材1 如图，某智能农业种植基地计划搭建一座矩形温室大棚用于高效种植作物．已知大棚的种植面积为1200平方米，且矩形的长AD比宽AB多10米．
素材2 基地想在矩形中心引入智能光照控制系统P（视为一个点），当系统P到矩形内任意一点（包括边上）的距离不超过28米时视为达标，以确保光照均匀覆盖；否则视为不达标并需要重新改进系统．
素材3 为了更智能地对农作物浇水，在基地内部安装了一个矩形智能灌注设备，要求设备四周预留相同宽度的空间，已知该矩形灌注设备的面积为24平方米．
⑴任务1 设矩形大棚的宽为x米，则长为 ▲ 米，根据素材1的信息可列方程： ▲ ．
⑵任务2 根据素材2的要求，请问：该设计是否达标？如果达标，请说明理由；如果不达标，请给出改进方案．
⑶任务3 设素材3中灌注设备四周预留的宽度为a米，求a的值．
【答案】解：（1）（x+10）；x（x+10）＝1200；
（2）任务2：该设计达标．理由如下：
由题意，结合任务1，x（x+10）＝1200，
∴x2+10x﹣1200＝0．
∴x＝﹣40（不合题意，舍去）或x＝30．
∴AD＝40m，AB＝30m．
∴对角线BD＝50m．
∴AP＝BP＝CP＝DP＝25m．
∵当系统P到矩形内任意一点（包括边上）的距离不超过28米时视为达标，
∴该设计达标．
（3）任务3：由题意，设素材3中灌注设备四周预留的宽度为a米，
∴（30﹣2a）（40﹣2a）＝24．
∴a＝14或a＝21（此时30﹣2a＜0，不合题意，舍去）．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程；用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：（1）任务1：由题意，∵矩形大棚的宽为x米，则长为 （x+10）米，
∴x（x+10）＝1200．
故答案为：x（x+10）＝1200．
【分析】（1）设矩形大棚的宽为x米，由题意“长AD比宽AB多10米 ”得长为米，则方程为；
（2）解（1）中的方程可得矩形的长与宽分别为40和30，当点P位于矩形正中心时，即P为矩形两对角线的交点，由于矩形的对角线互相平分且相等，则可利用勾股定理求出对角线的长，则点P到矩形的四个顶点的距离最大，最大值为25，显然不超过28，即符合要求；
（3）由题意可列方程，再解方程并根据生活实际对根进行取舍即可.
四、图表信息问题
16． 在水果销售旺季， 某水果店购进一种优质水果， 进价为 20 元/千克， 售价不低于 20 元/千克， 且不超过 32 元/千克． 根据销售情况， 发现该水果一天的销售量 (千克)与该天的售价 (元/千克) 满足如下表所示的一次函数关系．
销售量 (千克) 34.8 32 29.6 28
售价 (元/千克) 22.6 24 25.2 26
（1）某天这种水果的售价为 23.5 元/千克，求当天该水果的销售量．
（2）如果某天销售这种水果获利 150 元，那么该天水果的售价为多少元？
（3）每天销售这种水果的利润能达到 220 元吗？ 若能， 求出当天售价为多少元； 若不能， 请说明理由．
【答案】（1）解：，
答：当天该水果的销售量为33千克.
（2）解：，
，
答：该天水果的售价为25元.
（3）解：不能，
∴每天销售这种水果获利不能达到220元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-图表信息问题
【解析】【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据“ 某天销售这种水果获利 150 元 ”列出方程，再求解即可；
（3）根据“ 每天销售这种水果的利润能达到 220 元 ”列出方程，再求解即可.
17．根据以下素材，探索完成以下任务：
任务背景 2026年春节档，《飞驰人生3》票房一骑绝尘.在此期间，咔搭CaDA联名推出遥控积木赛车，开售即火热.
数据信息 素材1：经销售部统计，该遥控积木赛车在2月份销售20000辆， 4月份销售28800辆，且从2月份到4月份销售量的月增长率相同.
素材2：根据市场部反馈，当每辆遥控积木赛车售价为200元时，且销售量为20000辆，在此基础上售价每涨1元，则月销售量将减少100辆.
问题解决
（1）根据素材1中的信息，请求出遥控积木赛车在2月份到4月份销售量的月增长率；
（2）从生产部得知，该遥控积木赛车的生产成本为每件160元，为使月销售利润达到1440000元，则应将遥控积木赛车的实际售价定为多少元/辆.
【答案】（1）解：设遥控积木赛车在2月份到4月份销售量的月增长率为x，
解得： (舍去)，
答：遥控积木赛车在2月份到4月份销售量的月增长率为20%，
（2）解：设遥控积木赛车的实际售价定为m元/辆，
(m-160)[20000-100(m-200)]=1440000
解得： m=280
则遥控积木赛车的实际售价定为280元/辆.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用4月份的销售量=2月份的销售量列方程，求出x的值并检验解答即可；
（2）设遥控积木赛车的实际售价定为m元/辆根据“售价每涨1元，则月销售量将减少100辆”列方程求出m的值解答即可．
18．某景区5月份的游客人数比4月份增加60%，6月份的游客人数比5月份减少10%．
（1）设该景区4月份的游客人数为a万人，请用含a的代数式（结果化到最简）填表：
月份 4月 5月 6月
游客人数/万人 a 　 　 　 　
（2）求该景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率；
（3）景区特色商品营销店推出一款成本价为40元的文化衫，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件文化衫售价每降低1元，日销售量增加2件．若商家想要达到日利润432元，为尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
【答案】（1）；
（2）解：设该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为20%；
（3）解：设每件的售价定为y元，则每件的销售利润为元，每天可卖出件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
∵为尽快销售完该款商品
．
答：每件售价应定为52元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题；代数式的实际意义
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
5月份的游客人数为(1+60%)a=1.6a
6月份的游客人数为(1-10%)×1.6a=1.44a
故答案为：1.6a；1.44a
【分析】（1）根据题意列式计算即可求出答案.
（2）设该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为x，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）设每件的售价定为y元，则每件的销售利润为元，每天可卖出件，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
1 / 1浙教版八下数学期末两周冲刺复习——一元二次方程应用
一、百分率问题
1．新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆.设月平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是(　　)
A． B．
C．1000(1+2x) =1210 D．1210(1-2x) =1000
2．某电商平台在“618”大促活动中，一款智能手环标价为 500 元，连续两次降价，最终售价为 320 元，则平均每次降价的百分率m的值为　 　.
3．某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情滞销该店采取了降价措施，在每件盈利不少于24元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若该商品经过两次降价后，每件可以获得的利润是32.4元，求这两次降价的平均降价率是多少
（2）若该商店每天预期销售利润为1232元，则每件商品应降价多少元
4．金华市区某超市以原价为40元瓶的价格对外销售某种洗手液，为了减少库存，决定降价销售，经过两次降价后，售价为32.4元瓶．
（1）求平均每次降价的百分率．
（2）金华市区某学校为确保疫情复学后工作安全、卫生、健康、有序，学校决定购买一批洗手液(超过200瓶）.该超市对购买量大的客户有优惠措施，在32.4元瓶的基础上推出方案一：每瓶打九折；方案二：不超过200瓶的部分不打折，超过200瓶的部分打八折．学校应该选择哪一种方案更省钱？请说明理由．
二、销售问题
5．某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售，经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利8450元，设每件降低x元，则可列方程为（　　）
A．(60-x)(200+8x)=8450 B．(20-x)(200+x)=8450
C．(40-x)(200+8x)= 8450 D．(20-x)(200+8x)=8450
6．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价　 　元．
7．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎.某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个.为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动.已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个.
（1）降价5元时，日销量增加了多少个
（2）当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元
8．根据以下销售情况，解决销售任务．
　 销售情况分析
　 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下：
店面 甲店 乙店
日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出32件，每件盈利30元．
市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件．
情况设置 设甲店每件衬衫降价元，乙店每件衬衫降价元．
任务解决
任务1 甲店每天的销售量 　 　（用含的代数式表示）． 乙店每天的销售量 　 　（用含的代数式表示）．
任务2 当，时，分别求出甲、乙店每天的盈利．
任务3 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2244元．
9． 近几年，“浙东唐诗之路”山水挑战赛“贵门”轻越野跑的关注度越来越高．据某平台统计，赛事的参赛跑友逐年增多，从2023年的1000人增加到2025年的1210人．
（1）求2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率．
（2）某网店以每组30元的进价购进一批护膝肌贴组．当每组售价为50元时，3月份售出了1600组，随着市民健跑热情的增加，该网店的护膝肌贴组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定采用降价促销的方式．经调查发现，该护膝肌贴组每组每降价1元，每月销售量就增加200组，该网店计划4月份售卖护膝肌贴组获利36000元，为了尽可能多的让利于顾客，该护膝肌贴组每组应降价多少元？
三、几何问题
10．为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为480m2的长方形场地作为劳动基地若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为70m的第笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为1m的进出门（如图），设靠墙的长方形边长为x（m），则下列方程正确的是（　　），
A．x（72-2x）=480 B．x（68-2x）=480
C．x（72-x）=480 D．x（68-x）=480
11．一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（　　）
A．5cm2 B．6cm2 C．7cm2 D．8cm2
12．如图所示的是该校一块长方形劳动场地，长36m，宽24m，要求在场地内修同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为种植区．若种植区的总面积为，则所修道路的宽为　 　m．
13．公益中学乐益农场准备利用长为8m的墙AB和一段长为26m的篱笆围建一个长方形菜地，设平行于墙一边 CD长为 xm.
（1）如图1，如果长方形菜地的一边靠墙，另三边由篱笆ECDF围成，当菜地的面积为时，求x的值；
（2）如图2，如果长方形菜地的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ACDF围成，当菜地面积为时，求x的值.
14．用一张长为40cm，宽为25cm的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒。
（1）如图1裁去角上四个小正方形之后，折成如图2的无盖纸盒。若纸盒底面积为450cm2，则纸盒的高是多少？
（2）如图3，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片（空白部分）折成一个有盖的纸盒。若折成纸盒的表面积为912cm2，则裁去的正方形的边长是多少？
15． 根据以下素材，探索完成任务．
智能农业种植基地设计
背景 随着科技的日益更新，利用智能化设备和技术，可以有效提高农业种植的生产效率，提升农产品的质量．
素材1 如图，某智能农业种植基地计划搭建一座矩形温室大棚用于高效种植作物．已知大棚的种植面积为1200平方米，且矩形的长AD比宽AB多10米．
素材2 基地想在矩形中心引入智能光照控制系统P（视为一个点），当系统P到矩形内任意一点（包括边上）的距离不超过28米时视为达标，以确保光照均匀覆盖；否则视为不达标并需要重新改进系统．
素材3 为了更智能地对农作物浇水，在基地内部安装了一个矩形智能灌注设备，要求设备四周预留相同宽度的空间，已知该矩形灌注设备的面积为24平方米．
⑴任务1 设矩形大棚的宽为x米，则长为 ▲ 米，根据素材1的信息可列方程： ▲ ．
⑵任务2 根据素材2的要求，请问：该设计是否达标？如果达标，请说明理由；如果不达标，请给出改进方案．
⑶任务3 设素材3中灌注设备四周预留的宽度为a米，求a的值．
四、图表信息问题
16． 在水果销售旺季， 某水果店购进一种优质水果， 进价为 20 元/千克， 售价不低于 20 元/千克， 且不超过 32 元/千克． 根据销售情况， 发现该水果一天的销售量 (千克)与该天的售价 (元/千克) 满足如下表所示的一次函数关系．
销售量 (千克) 34.8 32 29.6 28
售价 (元/千克) 22.6 24 25.2 26
（1）某天这种水果的售价为 23.5 元/千克，求当天该水果的销售量．
（2）如果某天销售这种水果获利 150 元，那么该天水果的售价为多少元？
（3）每天销售这种水果的利润能达到 220 元吗？ 若能， 求出当天售价为多少元； 若不能， 请说明理由．
17．根据以下素材，探索完成以下任务：
任务背景 2026年春节档，《飞驰人生3》票房一骑绝尘.在此期间，咔搭CaDA联名推出遥控积木赛车，开售即火热.
数据信息 素材1：经销售部统计，该遥控积木赛车在2月份销售20000辆， 4月份销售28800辆，且从2月份到4月份销售量的月增长率相同.
素材2：根据市场部反馈，当每辆遥控积木赛车售价为200元时，且销售量为20000辆，在此基础上售价每涨1元，则月销售量将减少100辆.
问题解决
（1）根据素材1中的信息，请求出遥控积木赛车在2月份到4月份销售量的月增长率；
（2）从生产部得知，该遥控积木赛车的生产成本为每件160元，为使月销售利润达到1440000元，则应将遥控积木赛车的实际售价定为多少元/辆.
18．某景区5月份的游客人数比4月份增加60%，6月份的游客人数比5月份减少10%．
（1）设该景区4月份的游客人数为a万人，请用含a的代数式（结果化到最简）填表：
月份 4月 5月 6月
游客人数/万人 a 　 　 　 　
（2）求该景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率；
（3）景区特色商品营销店推出一款成本价为40元的文化衫，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件文化衫售价每降低1元，日销售量增加2件．若商家想要达到日利润432元，为尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设月平均增长率为x，
根据题意可列方程为：1000(1+x)2=1210
故选B
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设月平均增长率为x，根据题意列出方程即可．
2．【答案】20%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为m，
根据题意列方程得：
500(1-m)2=320
解得m1=0.2=20%，m2=1.8(舍去)
故答案为：20%.
【分析】设平均每次降价的百分率为m，初始售价为500元，降价两次后售价为320元，代入公式即可列出方程，进而即可求解.
3．【答案】（1）解：设这两次降价的平均降价率是a，
根据题意可得： 解得： （舍去)，
答：这两次降价的平均降价率是 10%
（2）解：每件商品降价x元，则每件盈利（40-x)元，平均每天可售出（20+2x)件，根据题意得： （40-x)（20+2x) =1232， x1=12， x2=18，
∵40-18=22<24，
∴x=12，
答：若该商店每天销售利润为1232元，每件商品可降价12元
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)本题是典型的增长率问题，核心公式为：最终利润=初始利润×(1-平均降价率)2。设平均降价率为a，根据“两次降价后利润为32.4元”列方程，解出a后，舍去大于1的不合理解，即可得到降价率；
(2)本题是利润问题，核心公式为：总利润=单件利润×销售量。设降价元，则单件利润为(40-x)元，销售量为(20+2x)件，根据”总利润1232元”列方程，解出后，结合“每件盈利不少于24元”的条件进行取舍，最终得到答案。
4．【答案】（1）解：设平均每次降价的百分率为，
依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去)．
答：平均每次降价的百分率为10%．
（2）解：设学校购买瓶洗手液，则选择方案一所需费用为元，选择方案二所需费用为元，
当时，，
当时，学校选择方案一更省钱；
当时，，
当时，学校选择两种方案所需费用相同；
当时，，
当时，学校选择方案二更省钱．
答：当购买数量超过200瓶且不足400瓶时，学校选择方案一更省钱；当购买数量等于400瓶时，学校选择两种方案所需费用相同；当购买数量超过400瓶时，学校选择方案二更省钱．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设平均每次降价的百分率为x，则经过两次降价后的售价为40(1-x)2元。结合经过两次降价后，售价为32.4元/瓶列出方程，求解即可；
（2）设学校购买y（y>200）瓶洗手液，则选择方案一所需费用为32.4×0.9y=29.16y元，选择方案二所需费用为32.4×200+32.4×0.8(y-200)=(25.92y+1296)元，分别令29.16y>25.92y+1296、29.16y<25.92y+1296、29.16y=25.92y+1296，求出y的值或范围，据此解答.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：当每件降低x元时，每件的销售利润为 元，平均每周可售出 件，
根据题意得：
故答案为：D.
【分析】当每件降低x元时，每件的销售利润为 元，平均每周可售出 件，利用每周销售该款T恤获得的总利润=每件的销售利润×每周的销售量，可得出关于x的一元二次方程，此题得解.
6．【答案】3或4
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】设每箱降价x元，则有
(100+20x)(12-x)=1440，解得x=3或4
故答案：3或4.
【分析】设降价x元，其利用为12-x，销量为100+20x，列出方程求解方程即可.
7．【答案】（1）解：销量增加了5×5=25个
（2）解：设降价 x元，则售价(50-x) 元，销量(320+50x)个，单价(20-x)元
由题意得(20-x)(320+50x) =5940
解得 (舍去)，
答：当每个玩偶降价2元时，当日总利润可达到5940元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；有理数乘法的实际应用
【解析】【分析】（1）根据“玩偶售价每降价1元，日销量可增加5个”列式计算即可；
（2）设每个玩偶降价x元，根据“当日总利润可达到 5940 元”列方程，求出x的值取舍根解答即可．
8．【答案】任务1：件，件；
解：任务2，当时，甲店每天的盈利为（元）；
当时，乙店每天的盈利为（元）；
任务3，设每件衬衫下降元时，两家分店一天的盈利和为2244元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
即每件衬衫下降11元时，两家分店一天的盈利和为2244元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：任务1，根据题意得：
甲店每天的销售量为件，乙店每天的销售量为件，
故答案为：件，件；
【分析】任务1，根据题意列代数式即可；
任务2，根据盈利＝每件盈利×销售量列式计算解题；
任务3，设每件衬衫下降元时，根据盈利＝每件盈利×销售量得到两家分店一天的盈利和为2244元，列一元二次方程解题即可．
9．【答案】（1）解：设2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率为x，
由题意得：1000(1+x)2=1210，
解得：x1=0.1=10%，x2=-2.1(不符合题意，舍去)，
答：2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率为10%
（2）解：设该护膝肌贴组每组应降价m元，则4月份销售量为(1600+200m)组，
由题意得：(50-m-30)(1600+200m)=36000，
整理得：m2-12m+20=0，
解得：m1=2(不符合题意，舍去)，m2=10，
答：该护膝肌贴组每组应降价10元
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率为x，根据复利公式：初始值×(1+增长率)^年数=最终值，进而即可求解；
(2)设该护膝肌贴组每组应降价m元，则4月份销售量为(1600+200m)组，根据总利润=单件利润×销量，进而即可求解.
10．【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设靠墙的长方形边长为x(m)，根据题意得
故答案为：A.
【分析】设靠墙的长方形边长为xm，根据矩形的面积公式即可得到结论.
11．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形的长为x cm，宽为y cm，
根据题意可得，
，
将(②-①)3可得出：y-x+1=0，即x=y+1③，
将③代入②中可得：y (y+1) =16+3(y-4)+11，
整理得：，
解得：或（舍），
则x=y+1=6，
则矩形的宽为5cm，长为6cm，
按照图③放置的时候，未覆盖的面积为：，
故答案为：C．
【分析】设矩形的长为x cm，宽为y cm，根据矩形的面积公式表示出三个图形中未被覆盖的面积，然后根据①②两个等式求出①②，然后计算③的面积即可．
12．【答案】1
【知识点】平移的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设所修道路的宽为．根据题意，得，
整理，得，解得（不合题意，舍去），，
即所修道路的宽为．
故答案为：1．
【分析】
利用平移法将不规则的种植区转化为规则的矩形，从而根据面积公式列出方程求解.
13．【答案】（1）解：四边形是矩形，
，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
，
不合题意舍去，
．
答：当苗圃园的面积为60时，x的值为．
（2）解：四边形是矩形，
，
，
解得：，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
不合题意舍去，
．
答：当苗圃园的面积为60时，x的值为．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）表示CE长，根据矩形的面积公式列方程，求出x的值检验解答即可；
（2）表示AC长，根据矩形的面积公式列方程，求出x的值并检验解答即可．
14．【答案】（1）解：设纸盒的高为x(cm)，
由题意，得：(40-2x)(25-2x)=450，
化简、整理，得：2x2-65x+275=0，
解这个方程，得：x1=5，x2=27.5（不合题意，舍去)，
答：纸盒的高为5cm.
（2）解：设裁去的正方形的边长为x(cm)，
由题意，得：40×25-2x2-2×20x=912，
化简、整理，得：x2+20x-44=0，
解这个方程，得：x1=2，x2=-22（不合题意，舍去)，
答：裁去的正方形的边长为2cm.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】(1)设纸盒的高为xcm，则纸盒的底面是长为(40-2x)cm，宽为(25-2x)cm的长方形，根据纸盒底面积为450cm2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
(2)设裁去的正方形的边长为xcm，根据折成纸盒的表面积为912cm2(即长方形硬纸板的面积-阴影部分的面积)，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论.
15．【答案】解：（1）（x+10）；x（x+10）＝1200；
（2）任务2：该设计达标．理由如下：
由题意，结合任务1，x（x+10）＝1200，
∴x2+10x﹣1200＝0．
∴x＝﹣40（不合题意，舍去）或x＝30．
∴AD＝40m，AB＝30m．
∴对角线BD＝50m．
∴AP＝BP＝CP＝DP＝25m．
∵当系统P到矩形内任意一点（包括边上）的距离不超过28米时视为达标，
∴该设计达标．
（3）任务3：由题意，设素材3中灌注设备四周预留的宽度为a米，
∴（30﹣2a）（40﹣2a）＝24．
∴a＝14或a＝21（此时30﹣2a＜0，不合题意，舍去）．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程；用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：（1）任务1：由题意，∵矩形大棚的宽为x米，则长为 （x+10）米，
∴x（x+10）＝1200．
故答案为：x（x+10）＝1200．
【分析】（1）设矩形大棚的宽为x米，由题意“长AD比宽AB多10米 ”得长为米，则方程为；
（2）解（1）中的方程可得矩形的长与宽分别为40和30，当点P位于矩形正中心时，即P为矩形两对角线的交点，由于矩形的对角线互相平分且相等，则可利用勾股定理求出对角线的长，则点P到矩形的四个顶点的距离最大，最大值为25，显然不超过28，即符合要求；
（3）由题意可列方程，再解方程并根据生活实际对根进行取舍即可.
16．【答案】（1）解：，
答：当天该水果的销售量为33千克.
（2）解：，
，
答：该天水果的售价为25元.
（3）解：不能，
∴每天销售这种水果获利不能达到220元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-图表信息问题
【解析】【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据“ 某天销售这种水果获利 150 元 ”列出方程，再求解即可；
（3）根据“ 每天销售这种水果的利润能达到 220 元 ”列出方程，再求解即可.
17．【答案】（1）解：设遥控积木赛车在2月份到4月份销售量的月增长率为x，
解得： (舍去)，
答：遥控积木赛车在2月份到4月份销售量的月增长率为20%，
（2）解：设遥控积木赛车的实际售价定为m元/辆，
(m-160)[20000-100(m-200)]=1440000
解得： m=280
则遥控积木赛车的实际售价定为280元/辆.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用4月份的销售量=2月份的销售量列方程，求出x的值并检验解答即可；
（2）设遥控积木赛车的实际售价定为m元/辆根据“售价每涨1元，则月销售量将减少100辆”列方程求出m的值解答即可．
18．【答案】（1）；
（2）解：设该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为20%；
（3）解：设每件的售价定为y元，则每件的销售利润为元，每天可卖出件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
∵为尽快销售完该款商品
．
答：每件售价应定为52元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题；代数式的实际意义
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
5月份的游客人数为(1+60%)a=1.6a
6月份的游客人数为(1-10%)×1.6a=1.44a
故答案为：1.6a；1.44a
【分析】（1）根据题意列式计算即可求出答案.
（2）设该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为x，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）设每件的售价定为y元，则每件的销售利润为元，每天可卖出件，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
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