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人教版8年级数学下册第二十一章四边形素养测评
一、选择题(每小题3分,共30分)
下列多边形中,内角和等于的是( )
如图, 的对角线 , 相交于点 , 是 的中点, ，若 的周长为12,则 的周长为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
如图,在中, , 为 的中点,以 为边作正方形 ，若正方形 的面积为2,则 的长为( )
A. B. C. 4 D. 2
如图,在矩形 中,对角线 的垂直平分线 分别交 , 于点 , ，若 , ,则 的长为( )
A. B. C. 10 D. 8
在四边形的复习课上,小明绘制了如图所示的知识框架图,箭头处添加的条件错误的是( )
四边形→平行四边形→矩形→菱形→正方形
A. ①:对角线相等
B. ②:对角互补
C. ③:一组邻边相等
D. ④:有一个角是直角
如图,在四边形 中, , 分别是边 , 的中点，若 , , , ,则 的度数为( )
A. 100° B. 120° C. 128° D. 136°
如图,在菱形 中,对角线 , 相交于点 , 平分 ,交 于点 ,且 为线段 的中点,连接 并延长至点 ,使得 ,连接 ，若 ,则 的度数为( )
A. B. C. D.
如图,在正方形中,为的中点,,,交于点,则的度数为( )
A. 60° B. 67.5° C. 75° D. 54°
如图所示为正 边形纸片的一部分,其中只有 , 和 边是完整的, 直线 与破损的边 , 相交，若 ,则 的值为 ( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
小明同学手中有一张矩形纸片 , , ,他进行了如下操作:第一步,如图①,将矩形纸片对折,使 与 重合,得到折痕 ,将纸片展平；第二步,如图②,再一次折叠纸片,把沿 折叠得到 ， 交折痕 于点 ,则线段 的长为 ( )
A. 8cm B. C. D.
二、填空题(第11~12题每小题3分,第13~16题每小题4分,共22分)
如图,在 中, , 于点 ，若 ,则 的度数为______。
如图,在 中, , 分别是 , 的中点,连接 ,只需添加一个条件即可证明四边形 是菱形,这个条件可以是______(写出一个即可)。
如图, 的中线 与中位线 相交于点 ，若 ,则 ______。
小明一笔画成了如图所示的图形,若,,,则______。
如图,正方形 的对角线 , 相交于点 , 平分 ,交 于点 ，若 ,则 的长为______。
如图,在矩形 中, , 分别是边 , 上的动点, 是线段 的中点,过点 作 , ,垂足分别为 , ,连接 ，若 , , ,则 长的最小值为______。
三、解答题(共48分)
(6分)如图,求出图形中的值。
(6分)如图,在菱形 中,对角线 , 相交于点 ,点 , 在对角线 上,且 , ,连接 , , , ，求证:四边形 是正方形。
(8分)如图,在 中, , , 分别是 , 的中点,连接 , ,过点 作 ,交 的延长线于点 。
(1) 求证:四边形 是平行四边形;
(2)若四边形 的周长是25cm, 的长为5cm,求线段 的长。
(8分)如图,在 中,对角线 , 交于点 , 为 的中点, 于点 , 为 上一点,连接 , ,且 。
(1) 求证:四边形 为矩形;
(2)若 , , ,求 的长。
(10分)如图,在正方形 中, 是对角线 上的一点(不与点 , 重合), , ,垂足分别为 , ,连接 , ,延长 ,交 于点 。
(1)求证: ;
(2)判断 与 是否垂直,并说明理由。
(10分)如图,在矩形纸片 中, , , , 分别是边 , 上的动点,且 ，将四边形 沿 折叠,点 , 分别落在点 , 处, 与边 相交于点 ,连接 。
(1) 面积的最小值为______;
(2)求证: ;
(3)若 是以 为腰的等腰三角形,求 的长。
参考答案
一、选择题
C
B
A
A
B
D
C
A
C
B
二、填空题
（答案不唯一）
2
88
6.5
三、解答题
解:由题图可知,，解得。
证明:∵ 四边形 是菱形, ∴ , , ；
∵ ，∴ ，∴ 四边形 是菱形；
∵ ，∴ ，则 ，∴ 四边形 是正方形。
(1) 证明:∵ , 分别是 , 的中点, ∴ 是的中位线，∴ ；
∵ 是延长线上的点，∴ ，又∵ ，∴ 四边形 是平行四边形。
(2) 解:∵ 四边形 是平行四边形,∴ ；
∵ 是的斜边 的中点, ∴ ；
由(1)得 是的中位线, ∴ ；
四边形 的周长是 ，设 ，则 ；
在中, , ，由勾股定理得 ，即 ，解得 ，∴ 。
(1) 证明:∵ 四边形 是平行四边形,∴ ；
∵ 为 的中点,∴ 是 的中位线，∴ ；
∵ ，∴ 四边形 是平行四边形；
∵ ，∴ ，∴ 四边形 为矩形。
(2) 解:过点 作 于点 ，∵ , ∴ 是等腰直角三角形，
∴ ；
∵ 四边形 是平行四边形,∴ , ，∴ ，
∴ 是等腰直角三角形；
∵ ，∴ ，，∴ ；
∴ ，解得 ，则 ；
∵ ，由勾股定理得 ，∴ 。
(1) 证明:∵ 四边形为正方形,∴ ,；
又∵ ,∴ ，∴ ，∴ 。
(2) 解:，理由如下：
连接 ,交 于点 ，∵ 为正方形 的对角线, ∴ ；
又∵ , ，∴ ，∴ ；
∵ ，，，∴ 四边形 为矩形，∴ ，∴ ；
∴ ，由(1)得 ，∴ ；
∴ ，∴ ，∴ 。
(1) 8
(2) 证明:连接 ，由折叠的性质,可得 ，，，；
∵ 四边形 为矩形, ∴ , ，∴ ,；
∵ ，∴ ；
在 和 中, ，∴ ，∴ , ；
∴ ，在 和 中, ，∴ ，
∴ 。
(3) 解:∵ 是以 为腰的等腰三角形,分两种情况讨论：
① 当 时，连接 ,过点 作 于点 ；
由折叠的性质得 ，∴ ，∵ ，∴ ；
∵ , ，∴ 四边形 为矩形，∴ ；
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ 。
② 当 时，；
由折叠的性质得 ，∴ ，∴ ，此时点 落在 上；
连接 ，由折叠的性质得 , ，又∵ ，∴ ；
∵ ，∴ 点 与点 、 重合，设 ，则 ；
在中, ，由勾股定理得 ，即 ，解得 ，∴ 。
综上所述， 的长为 或 。
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