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题组1　向心加速度的理解和方向
1．下列关于向心加速度的说法正确的是 (　　)
A．向心加速度越大，物体速率变化得越快
B．向心加速度的大小与轨道半径成反比
C．向心加速度的方向始终与速度方向垂直
D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量
解析：选C。向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小，故A错误；由a＝ω2r可知当角速度一定时，向心加速度的大小与轨道半径成正比，由a＝可知当线速度一定时，向心加速度的大小与轨道半径成反比，故B错误；向心加速度为沿半径方向的加速度，方向时刻改变，指向圆心，且方向垂直于速度方向，故C正确，D错误。
2．关于匀速圆周运动的说法正确的是 (　　)
A．匀速圆周运动是匀速运动
B．匀速圆周运动是变速运动
C．匀速圆周运动的加速度不变
D．匀速圆周运动的线速度不变
解析：选B。匀速圆周运动速度大小不变，方向变化，是变速运动，A错误，B正确；匀速圆周运动的加速度方向始终指向圆心，方向时刻在改变，C错误；匀速圆周运动的线速度是矢量，方向时刻改变，D错误。
3．(多选)对于匀速圆周运动，下列说法正确的是 (　　)
A．由a＝ 知，向心加速度a与半径r成反比
B．由a＝r知，向心加速度a与半径r成正比
C．由ω＝ 知，角速度ω与周期T成反比
D．由a＝ω2r知，当角速度ω一定时，向心加速度a与半径r成正比
解析：选CD。由a＝知，线速度不变时，向心加速度a与半径r成反比，A错误；由a＝r知，周期不变时，向心加速度a与半径r成正比，B错误；由ω＝知，角速度ω与周期T成反比，C正确；由a＝ω2r知，当角速度ω一定时，向心加速度a与半径r成正比，D正确。
题组2　向心加速度的大小
4．(2025·浙江宁波市期末)如图所示，当风扇匀速转动时，到转轴距离相同的a、b两点　 (　　)
A.线速度相同
B．转动周期相同
C．角速度不相同
D．向心加速度大小不同
解析：选B。a、b两点随风扇转动，角速度、周期均相同，线速度是矢量，两点的运动方向不同，所以线速度不同。根据a＝ω2r可知，向心加速度大小相同，方向不同。
5．课间跑操时，某同学以恒定速率经过圆弧形弯道，时间t内速度方向改变了θ，跑过的弧长为s，则该同学的向心加速度大小为 (　　)
A．　　　 B．　　　
C．　　　 D．
解析：选B。该同学的线速度大小v＝，角速度大小ω＝，则向心加速度a＝vω＝。
6. “旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm处的点向心加速度大小约为 (　　)
A．10 m/s2 B． 100 m/s2
C．1 000 m/s2 D．10 000 m/s2
解析：选C。纽扣上各点绕其中心做圆周运动的角速度相等，已知n＝50 r/s，则a＝ω2r＝(2πn)2r＝4×π2×502×1×10-2 m/s2≈1×103 m/s2，C正确。
7．如图所示，一个圆盘在水平面内匀速转动，盘面上有两个小物块A、B，它们到圆盘中心的距离分别为r和2r，它们随圆盘一起匀速转动，关于小物块A、B各物理量之比正确的是 (　　)
A．角速度之比ωA∶ ωB＝1∶1
B．周期之比TA∶ TB＝1∶2
C．线速度之比vA∶ vB＝1∶1
D．向心加速度之比aA∶ aB＝2∶1
解析：选A。两物块同轴转动，则角速度相等，即角速度之比ωA∶ ωB＝1∶1；根据T＝可知周期之比TA∶ TB＝1∶1；根据v＝ωr可知，线速度之比vA∶ vB＝1∶2；根据a＝ωv可知向心加速度之比aA∶ aB＝1∶2。
8．如图所示，A、B两点分别位于大、小轮的边缘上，C点位于大轮半径的中点，大轮的半径是小轮的2倍，它们之间靠摩擦传动，接触面上没有滑动，则 (　　)
A．A、B两点角速度大小之比为2∶1
B．A、B两点向心加速度大小之比为2∶1
C．B、C两点角速度大小之比为2∶1
D．B、C两点向心加速度大小之比为2∶1
解析：选C。由题意可知，同缘传动边缘点线速度相等，故A与B的线速度的大小相同，即vA＝vB，A、C两点为同轴转动，角速度相等，即ωA＝ωC，根据v＝ωr，结合题意可得ωB∶ωA∶ωC＝2∶1∶1，故C正确，A错误；根据a＝＝ω2r可得aA∶aB＝1∶2，aB∶aC＝4∶1，故B、D错误。
9．如图所示，走时准确的时钟，分针与秒针由转动轴到针尖的长度之比是3∶4，则下列说法正确的是 (　　)
A.分针与秒针的角速度之比为12∶1
B．分针与秒针的周期之比为1∶60
C．分针针尖与秒针针尖的线速度大小之比为1∶80　
D．分针针尖与秒针针尖的向心加速度大小之比为1∶480
解析：选C。秒针转动一周，分针转动一周的，则分针与秒针的周期之比T1∶T2＝60∶1，根据ω＝，分针与秒针的角速度之比ω1∶ω2＝1∶60，故A、B错误；根据v＝ωr，分针针尖与秒针针尖的线速度大小之比v1∶v2＝1∶80，故C正确；根据a＝ω2r，分针针尖与秒针针尖的向心加速度大小之比a1∶a2＝1∶4 800，故D错误。
10．(多选)(2025·河北秦皇岛市期末)大型游乐装置“大摆锤”的简图如图所示，摆锤a和配重锤b分别固定在摆臂两端，并可绕摆臂上的转轴O在纸面内转动。若a、b到O的距离之比为2∶1，在摆臂匀速转动的过程中，下列说法正确的是 (　　)
A．a、b的线速度大小之比为2∶1
B．a、b的角速度大小之比为1∶2
C．a、b的向心加速度大小之比为2∶1
D．a、b的向心加速度大小之比为1∶4
解析：选AC。a、b两点同轴转动，所以角速度相等，根据v＝ωr，可得a、b的线速度大小之比va∶vb＝ra∶rb＝2∶1，根据a＝ω2r，可得a、b的向心加速度大小之比aa∶ab＝ra∶rb＝2∶1。
11．(多选)如图所示，有一个很大的圆形餐桌，水平桌面中间嵌着一可绕中心轴O转动的圆盘，圆盘上A处放一质量为m的菜盘，B处放一质量为0.5m的菜盘，OA＝2OB，圆盘匀速转动，两菜盘均视为质点且不打滑。下列说法正确的是 (　　)
A．A、B两处菜盘的周期之比为1∶2
B．A、B两处菜盘的线速度大小之比为2∶1
C．A、B两处菜盘的向心加速度大小之比为 4∶1　
D．A、B两处菜盘受到的静摩擦力大小之比为4∶1
解析：选BD。圆盘上A、B两个点，属于同轴转动，有ωA＝ωB，根据ω＝可知，A、B两处菜盘的周期之比为1∶1，故A错误；同理，根据v＝ωr，依题意，由rA＝2rB可知，A、B两处菜盘的线速度大小之比为2∶1，故B正确；根据a＝ω2r可知，A、B两处菜盘的向心加速度大小之比为2∶1，故C错误；A、B两点处的菜盘所受的静摩擦力提供向心力，可得f＝ma，所以＝＝4∶1，故D正确。
12．(12分)如图所示，轮O1、O3固定在同一转轴上，轮O1、O2用皮带连接且不打滑。在O1、O2、O3三个轮的边缘各取一点，分别为A、B、C，已知三个轮的半径之比r1∶r2∶r3＝2∶1∶1。求：
(1)A、B、C三点的角速度之比ωA∶ωB∶ωC；(6分)
(2)A、B、C三点的向心加速度大小之比aA∶aB∶aC。(6分)
解析：(1)A、C同轴转动，角速度相等，A、B两点靠皮带传动，线速度大小相等，根据v＝rω，有
ωA∶ωB＝r2∶r1＝1∶2
所以A、B、C三点的角速度之比
ωA∶ωB∶ωC＝1∶2∶1。
(2)A、B两点靠皮带传动，线速度大小相等，A、C同轴转动，角速度相等，根据v＝rω，有
vA∶vC＝r1∶r3＝2∶1
所以A、B、C三点的线速度大小之比
vA∶vB∶vC＝2∶2∶1
根据a＝vω，可知A、B、C三点的加速度大小之比
aA∶aB∶aC＝2∶4∶1。
答案：(1)1∶2∶1　(2)2∶4∶1(共50张PPT)
第3节　圆周运动的实例分析
第4节　圆周运动与人类文明(选学)(略)
学习目标
1．根据所学知识分析生活中的各种圆周运动现象，了解其向心力来源。　2.通过向心力公式的推导，分析汽车过拱形桥和凹形路面时的受力以及火车转弯问题。3.通过观察洗衣机的脱水筒分析离心运动，掌握物体做离心运动的条件。　4.观察生活中的离心现象，了解其在生活中的应用，并知道离心运动所带来的危害。
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、汽车通过拱形桥
1．向心力来源：汽车在竖直方向上所受_________和桥面的_________的合力提供向心力。
重力
支持力
mg－N
小于
N－mg
大于
二、“旋转秋千”
“旋转秋千”运动可简化为圆锥摆模型，如图所示。
1．向心力来源：小球所受重力和悬
线_________的合力提供向心力。
拉力
mgtan α
lsin α
大
三、火车转弯
1．火车在弯道上的运动特点
火车车轮内侧突出的轮缘在铁轨上可以起到限定方向的作用，如果让火车在水平路基上转弯，_________对轮缘的弹力提供火车转弯的向心力，轮缘与外轨间的作用力很大，铁轨与轮缘极易受损，故实际在转弯处，火车的外轨_________内轨。
2．向心力来源
依据_________和________________，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由重力和支持力的合力来提供。
外轨
略高于
弯道半径
设计的行驶速度
四、离心运动
1．定义：物体沿圆周运动的切线方向飞出或______________的运动。
2．原因：合外力提供的向心力_____________。
3．离心机械：利用离心运动的机械。
4．应用：脱水筒、离心机。
远离圆心而去
消失或不足
判断下列说法是否正确。
(1)火车弯道的半径很大，故火车转弯需要的向心力很小。 (　　)
(2)火车转弯时的向心力一定是由重力与铁轨支持力的合力提供的。(　　)
(3)汽车驶过拱形桥最高点，对桥的压力可能等于零。 (　　)
(4)汽车过拱形桥或凹形路面时，向心加速度的方向都是竖直向上的。(　　)
(5)做圆周运动的物体突然失去向心力时沿切线方向远离圆心。 (　　)
√
×　
×　
×　
√
课堂深度探究
PART
02
第二部分
知识点一　车辆转弯问题
1．火车转弯时的运动是圆周运动，分析火车的运动回答下列问题：
(1)如果轨道是水平的，火车转弯时受到哪些力的作用？需要的向心力由谁来提供？
[提示]　火车受重力、支持力、牵引力、摩擦力和外轨对火车的弹力作用，弹力提供火车转弯所需的向心力。
(2)靠这种方式使火车转弯有哪些危害？如何改进？
[提示]　对确定的弯道，火车转弯时速度越大，需要的向心力越大，容易造成对外轨的损坏，甚至造成火车脱轨。可以把弯道处建成外高内低的斜面，由重力和支持力的合力提供向心力。
2．摩托车在平直公路转弯和火车转弯，它们的共同点是什么？提供向心力的方式一样吗？
[提示]　摩托车在平直公路转弯和火车转弯都
需要向心力。摩托车转弯时其所受摩擦力可以
提供向心力，火车质量太大，轮缘与外轨间的
相互作用力太大，铁轨和车轮极易受损，需要
设置特别的轨道，由所受重力和支持力的合力提供向心力。
1．火车转弯问题
(1)火车在弯道上的运动特点
火车在弯道上运动时实际上是在水平面内做圆周运动，由于其质量巨大，需要很大的向心力。
√
√
当火车速率大于v时，重力和支持力的合力不够提供向心力，此时外轨对火车有侧压力，轮缘挤压外轨，C错误；
当火车速率小于v时，重力和支持力的合力大于所需的向心力，此时内轨对火车有侧压力，轮缘挤压内轨，D错误。
√
角度2　汽车转弯问题
　　为了使汽车快速安全通过弯道，高速公路转弯处的路面通常设计成外侧高、内侧低。已知某高速公路转弯处是一圆弧，圆弧半径r＝850 m，路面的倾角θ＝6°(tan 6°＝0.105)，汽车与路面间的动摩擦因数μ＝0.6，则在该弯道处 (　　)
A．汽车受到重力、支持力和向心力
B．汽车所需的向心力等于其所受地面的支持力
C．当汽车速度等于120 km/h时，汽车会受到平行于路面指向弯道内侧的摩擦力
D．若汽车速度小于60 km/h，汽车会向内侧滑动
[解析]　汽车受到重力、支持力和摩擦力，这些力的合力提供向心力，故A错误；
汽车所需的向心力等于其所受地面的支持力和摩擦力的合力的水平分力，故B错误；
根据题中给出的数据可知mg sin θ<μmg cos θ，所以无论汽车以什么速度过弯道都不会向内侧滑动，故D错误。
√
[解析]　该运动员在骑行过程中在该赛道上做匀速圆周运动，所受的合外力提供向心力，指向圆心，故A、B错误；
知识点二　汽车过桥问题
1．向心力来源：汽车通过拱形桥最高点和凹形路面最低点时，在竖直方向所受重力和支持力的合力提供向心力。
2．若汽车质量为m，桥面圆弧半径为R，汽车在最高点或最低点速率为v，则压力的分析与讨论如下
√
　　(2025·陕西西安市期中)如图所示，一辆质量为m的汽车先过一段凹形桥，再过一段拱形桥，M、N分别为桥的最低点和最高点，且汽车通过M、N两点时的速度均不为0。汽车在通过两种桥面的过程中均未脱离桥面，下列说法正确的是 (　　)
A．汽车通过M点时处于失重状态
B．汽车通过M点时的加速度可能为0
C．汽车通过N点时，无论速度多大，对桥面始终有压力
D．汽车通过N点时对桥面的压力一定比通过M点时对桥面的压力小
由于汽车通过M、N两点时的速度均不为0，故此时汽车加速度大小不为0，故B错误；
　　有一辆质量为800 kg的小汽车驶上圆弧半径为50 m的拱桥，不考虑空气阻力，g取10 m/s2。(地球半径约为6 400 km)
(1)汽车到达桥顶时速度为5 m/s，汽车对桥的压力是多大？
[答案]　7.6×103 N
(2)汽车以多大速度经过桥顶时恰好腾空，对桥没有压力？
[答案]　80.6 km/h
(3)汽车对地面的压力过小是不安全的。从这个角度讲，汽车过桥时的速度不能过大。对于同样的车速，拱桥圆弧的半径大些比较安全，还是小些比较安全？
[答案]　半径越大越安全
(4)如果拱桥的半径增大到与地球半径R一样，汽车要在桥面上腾空，速度要多大？
[答案]　8 km/s
知识点三　离心运动
链球比赛中，高速旋转的链球被放手后会飞出(如图甲所示)；雨天，当你旋转自己的雨伞时，会发现水滴沿着伞的边缘切线飞出(如图乙所示)。
(1)链球飞出后受什么力？
[提示]　重力和空气阻力。
(2)你能说出水滴沿着伞的边缘切线飞出的原因吗？
[提示]　旋转雨伞时，雨滴也随着运动起来，但伞面上的雨滴受到的力不足以提供其做圆周运动的向心力，雨滴由于惯性要保持其原来的速度方向而沿切线方向飞出。
(3)物体做离心运动的条件是什么？
[提示]　物体受到的合力不足以提供其做圆周运动所需的向心力。
1．物体做离心运动的原因：提供向心力的合外力突然消失，或者合外力不能提供足够的向心力。
注意：物体做离心运动并不是物体受到离心力作用，而是由于合外力不能提供足够的向心力。所谓“离心力”实际上并不存在。
2．合外力与向心力的关系(如图所示)
√
　　(多选)滚筒洗衣机里衣物随着滚筒做高速匀速圆周运动，以达到脱水的效果。滚筒截面如图所示，下列说法正确的是 (　　)
A．衣物运动到最低点B点时处于超重状态
B．衣物和水都做离心运动
C．衣物运动到最高点A点时脱水效果更好
D．衣物运动到最低点B点时脱水效果更好
√
[解析]　衣物运动到最低点B点时，加速度指向圆心，竖直向上，衣物处于超重状态，故A正确；
衣物受到筒的支持力和重力，做圆周运动，水所受合力不足以提供向心力，做离心运动，故B错误；
　　如图所示，一个杯子放在水平餐桌转盘上随转盘做匀速圆周运动，角速度恒定，则 (　　)
A．杯子受重力、支持力、摩擦力和向心力作用
B．杯子受到的摩擦力方向始终指向转盘中心
C．杯子离转盘中心越近越容易做离心运动
D．若给杯子中加水，则杯子更容易做离心运动
√
[解析]　杯子受到重力、支持力和摩擦力三个力的作用，向心力不是杯子的实际受力，故A错误；
杯子做匀速圆周运动，向心力由摩擦力提供，始终指向转盘中心，故B正确；
因杯子做匀速圆周运动，则有Ff＝mω2r，杯子离转盘中心越近，所需摩擦力越小，不会达到最大静摩擦力，越不容易做离心运动，故C错误；
根据Ff＝mω2r≤μmg可知，给杯子中加水，杯子并不会更容易做离心运动，故D错误。
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
√
√
2．(车辆转弯问题)如图所示，某公路急转弯处是一圆弧，路面外高内低，当轿车行驶的速率为vc时，轿车恰好没有向公路内、外两侧滑动的趋势，则在该弯道处 (　　)
A．有质量更大的卡车经过时，与轿车相比，
vc的值变小
B．路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
C.车速高于vc时，车辆就会向外侧滑动
D．车速高于vc，但不超出某一最高限度时，车辆便不会向外侧滑动
车速高于vc时，重力和支持力的合力不足以提供向心力，车辆有向外侧滑动的趋势，车辆受到指向内侧的静摩擦力，所以只要速度不超出最高限度，车辆不会向外侧滑动，故C错误，D正确。
√
3．(离心运动)如图所示，光滑的水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动，若小球到达P点时F突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是 (　　)
A．F突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B．F突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．F突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
D．F突然变小，小球将沿轨迹Pc逐渐靠近圆心
解析：若F突然消失，小球所受合力突变为零，将沿切线方向匀速飞出，A正确；
若F突然变小不足以提供所需向心力，小球将做逐渐远离圆心的离心运动，B、D错误；
若F突然变大，超过了所需向心力，小球将做逐渐靠近圆心的运动，C错误。(共38张PPT)
第2课时　向心力
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、什么是向心力
1．感受向心力：用细绳拴接一个小物体，在光滑桌面上抡动细绳，使小物体做圆周运动，会感觉到手对小物体的拉力的方向指向_________。减小旋转速度而保持半径不变，拉力减小；增大旋转半径而保持旋转速度不变，拉力增大；换质量较大的物体进行实验，拉力增大。
2．圆周运动实例分析
(1)月球绕地球做匀速圆周运动，月球受地球的力是_________，方向由月球中心指向地球中心。
(2)游乐场里的“旋转秋千”在水平面内做匀速圆周运动，受_________和吊绳的_________，这两个力的合力指向圆周运动的圆心。
圆心
引力
重力
拉力
3．向心力的含义：做匀速圆周运动的物体受到方向始终指向_________的合力。
4．向心力的来源：向心力可以由_________提供，也可以由其他性质的力提供；可以由一个力提供，也可以由几个力的_________提供。
圆心
弹力
合力
二、向心力的大小
1．向心力的公式：F＝_________或F＝_________。
2．向心力的方向：始终指向圆心，与_________方向垂直。
3．向心力的作用：只改变速度的_________，不改变速度的_________。
mω2r
速度
方向
大小
判断下列说法是否正确。
(1)做匀速圆周运动的物体的向心力是恒力。 (　　)
(2)向心力和重力、弹力一样，都是根据性质命名的。 (　　)
(3)向心力可以是物体受到的某一个力，也可以是物体受到的合力。(　　)
(4)变速圆周运动的向心力并不指向圆心。 (　　)
√
×　
×　
×　
课堂深度探究
PART
02
第二部分
知识点一　向心力
1．自行车转弯时的运动可看作匀速圆周运动，观察此图，思考以下问题：
哪个力充当自行车转弯时做圆周运动的向心力？
[提示]　地面对自行车的静摩擦力提供自行车
转弯时的向心力。
2．如图所示，汽车正在匀速率转弯，小球正在
绳子拉力作用下做匀速圆周运动，请思考：
(1)它们的向心力分别是由什么力提供的？
[提示]　 汽车转弯时的向心力由地面对汽车的静摩擦力提供，小球的向心力由重力和绳子拉力的合力提供。
(2)物体做匀速圆周运动时，它所受的向心力的大小、方向有什么特点？
[提示]　大小不变，方向时刻改变。
1．方向
无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力。
2．作用效果：改变线速度的方向。
3．来源
(1)向心力是根据力的作用效果命名的，它可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质的力提供，也可以由它们的合力提供，还可以由某个力的分力提供。
(2)物体做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与线速度方向垂直且指向圆心。
向心力不是具有特定性质的某种力，任何性质的力都可以作为向心力，做匀速圆周运动的物体，所受的合力提供向心力。
√
角度1　对向心力的理解
下列关于向心力的说法正确的是 (　　)
A．物体由于做圆周运动而产生了向心力
B．向心力就是物体受到的合力
C．做匀速圆周运动的物体的向心力是不变的
D．向心力改变做圆周运动的物体的速度方向
[解析]　物体做圆周运动就需要有向心力，向心力是由外界提供的，不是由物体本身产生的，A错误；
匀速圆周运动中由合力提供向心力，变速圆周运动中合力与向心力是不同的，B错误；
向心力始终指向圆心，方向时刻在改变，即向心力是变化的，C错误；
向心力的方向与速度方向垂直，不改变速度的大小，只改变速度的方向，D正确。
√
如图所示，内壁光滑的锥形圆筒固定在水平地面上，小球沿内壁在某一水平面内做匀速圆周运动，该小球的向心力 (　　)
A.由重力和支持力的合力提供
B．由重力、支持力和摩擦力的合力提供
C．只由重力提供
D．只由支持力提供
[解析]　圆筒内壁光滑，小球做匀速圆周运动，合力完全提供向心力，因此小球所受重力和支持力的合力来提供向心力。
√
角度2　向心力的大小
　　有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿光滑圆台形表演台的侧壁高速行驶，在水平面内做匀速圆周运动。图中粗线圆表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h。如果增大高度h，则下列关于摩托车的说法正确的是 (　　)
A.对侧壁的压力FN增大
B．做圆周运动的周期T不变
C．做圆周运动的向心力Fn增大
D．做圆周运动的线速度增大
摩托车的重力不变，侧壁给的支持力不变，
合力不变，合力提供向心力，故向心力不变，C错误；
知识点二　匀速圆周运动模型
画出各图中物体A的受力示意图，并分析其所受向心力的来源。
[解析]　题图a、题图b、题图c中，向心力由物体所受的重力和绳子拉力的合力提供，也可以认为是由绳子拉力的一个分力提供，拉力的另一个分力与重力平衡；题图d中，向心力由绳子的拉力提供；题图e中，向心力由物体所受的静摩擦力提供；题图f中，向心力由侧壁对物体的支持力提供；题图g中，向心力由物体所受的重力和斜面的支持力的合力提供，也可以认为是由支持力的水平分力提供，其竖直分力与重力平衡；题图h中，向心力由飞机所受的重力和空气对飞机的“推举力”的合力提供，这个“推举力”的本质是弹力，弹力总与接触面垂直，所以飞机机身有一定的倾角；它们的受力示意图如图所示；通过以上分析可以清楚看到，向心力不是某种性质力，而是由重力、弹力、摩擦力这些性质力的合力或分力来提供。
[答案]　见解析
如图所示，完全相同的A、B两物块置于绕竖直轴匀速转动的水平圆盘上，两物块始终相对于圆盘静止，A离圆盘中心较远，则两物块(　　)
A.线速度大小相同　　　
B．角速度相同
C．向心力相同
D．同时发生滑动
√
[解析]　由于A、B两物块在同一转盘上无相对运动，因此它们的角速度相同，根据线速度与角速度的关系v＝ωr可知，由于两物块到中心的距离不同，所以线速度大小不同，故A错误，B正确；
根据向心力公式F＝mω2r可以知道，质量相等、角速度相等的条件下，半径不同则向心力不同，由于物块A距离中心较远，因此物块A所需的向心力较大，会先发生滑动，故C、D错误。
一个圆盘在水平面内匀速转动，角速度是3 rad/s。盘面上距圆盘中心0.2 m的位置有一个质量为0.1 kg的小物体随圆盘一起做匀速圆周运动，如图所示。已知小物体与盘面间的动摩擦因数为0.5，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2。
(1)求小物体的线速度大小。
[解析]　小物体的线速度大小
v＝ωr＝3×0.2 m/s＝0.6 m/s。
[答案]　0.6 m/s
(2)求小物体的向心力大小。
[解析]　小物体的向心力大小
F＝mω2r＝0.1×32×0.2 N＝0.18 N。
(3)当圆盘的角速度增加到多大时，小物体会相对于圆盘滑动？
[答案]0.18 N
[答案]5 rad/s
知识点三　变速圆周运动和一般曲线运动
荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，当秋千由上向下荡时：
(1)此时小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？
[提示]　小朋友做的是变速圆周运动。
1．变速圆周运动
(1)受力特点：变速圆周运动中合外力不指向圆心，合力F产生改变速度大小和方向两个作用效果。即
√
[解析]　物体做加速曲线运动，合力不为零，A错误；
物体做速度大小变化的圆周运动，合力不指向圆心，合力沿半径方向的分力提供向心力，合力沿切线方向的分力使物体速度变大，即除在最低点外，物体的速度方向与合力方向间的夹角为锐角，合力方向与速度方向不垂直，B、C错误，D正确。
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
√
1．(向心力)(多选)关于匀速圆周运动的向心力，下列说法正确的是(　　)
A．向心力是指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果命名的
B．向心力可以是多个力的合力，也可以是其中的一个力或某一个力的分力
C．对稳定的圆周运动，向心力是一个恒力
D．向心力的效果是改变质点的线速度大小和方向
√
解析：向心力是指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果命名的，A正确；
向心力可以是多个力的合力，也可以是其中的一个力或某一个力的分力，B正确；
向心力的方向总是指向圆心，方向不断变化，是一个变力，C错误；
向心力的效果是改变质点的线速度方向，不改变线速度的大小，D错误。
√
2．(向心力来源的分析)如图所示，一圆柱形容器绕其轴线匀速转动，内部有A、B两个物体，均与容器的接触面间始终保持相对静止。当转速增大后(A、B与容器接触面间仍相对静止)，下列说法正确的是 (　　)
A.两物体受到的摩擦力都增大
B．两物体受到的摩擦力大小都不变
C．物体A受到的摩擦力增大，物体B受到的摩擦力大小不变
D．物体A受到的摩擦力大小不变，物体B受到的摩擦力增大
解析：容器绕其轴线转动时，两个物体随容器一起转动，以A为研究对象，在水平方向上，容器施加的弹力提供A做圆周运动的向心力；在竖直方向，重力和静摩擦力平衡，所以当转速增大后，物体A受到的摩擦力大小保持不变。以B为研究对象，水平方向的静摩擦力提供向心力，由f＝F＝mω2r得，其受到的摩擦力随着转速的增大而增大，故D正确。
√
3．(变速圆周运动)如图所示，一圆盘可绕一通过圆心且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一块橡皮，橡皮块随圆盘一起转动(俯视为逆时针)。某段时间内圆盘转速不断增大，但橡皮块仍相对于圆盘静止。在这段时间内，关于橡皮块所受摩擦力Ff的方向的四种表示(俯视图)中，正确的是(　　)
解析：因为圆盘转速不断增大，所以橡皮块将随圆盘一起做加速圆周运动，此时摩擦力Ff既要提供指向圆心的向心力，又要提供与运动方向相同的切向力，所以合力方向应该指向轨道内侧且与速度方向成锐角，故C正确。(共37张PPT)
第3课时　向心加速度
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、向心加速度的方向
根据牛顿第二定律可知，做匀速圆周运动的物体，在向心力的作用下，必然要产生一个向心加速度，它的方向与向心力的方向相同，总是指向_________。
圆心
二、向心加速度的大小
1．a＝_________＝_________。
2．对于某一做匀速圆周运动的物体来说，质量m以及圆周半径r、线速度v和角速度ω的大小一定时，向心力F和向心加速度a的_________不变，_________却时刻在改变，匀速圆周运动是加速度的_________不断改变的_________运动。
大小
方向
方向
变加速
三、向心加速度的求解
当线速度大小发生变化时，利用公式求向心加速度的大小。
(1)必须用质点在该时刻的_____________。
(2)对于做匀速圆周运动的物体，其向心加速度就是它的加速度，所受到的向心力就是它受到的_________；对于做非匀速圆周运动的物体，它在某一时刻的向心加速度只是它的加速度的一个分量，另一个分量沿_________方向，称为____________。
瞬时速度值
合力
切线
切向加速度
√
×　
×　
×　
×　
√
课堂深度探究
PART
02
第二部分
知识点一　向心加速度的理解和方向
1．图甲中的小球与图乙中的运动员正在做匀速圆周运动，是否具有加速度？
[提示]　具有加速度。
2．做匀速圆周运动的物体的加速度方向如何确定？你的依据是什么？
[提示]从动力学角度，由牛顿第二定律确定；加速度的方向与合外力方向一致。
3．除了用牛顿第二定律确定向心加速度的方向外，你还有什么方法可确定向心加速度的方向？
[提示]从运动学角度，利用加速度的方向与速度变化量的方向一致确定加速度方向。
1．向心加速度的物理意义
描述匀速圆周运动线速度方向变化的快慢，不表示速度大小变化的快慢。
2．向心加速度的方向
总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变。
3．圆周运动的性质：不论向心加速度a的大小是否变化，a的方向是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动一定是非匀变速曲线运动。
下列关于向心加速度的说法正确的是 (　　)
A．向心加速度的方向始终指向圆心
B．向心加速度的方向保持不变
C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D．在变速圆周运动中，向心加速度的方向不指向圆心
[解析]　无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，向心加速度的方向都时刻指向圆心，故向心加速度不恒定，故A正确，B、C、D错误。
√
(多选)下列说法正确的是 (　　)
A．向心加速度越大，说明做圆周运动的物体线速度的大小变化越快
B．向心加速度越大，说明做圆周运动的物体线速度的方向变化越快
C．向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直
D．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒量
[解析]　向心加速度是描述做圆周运动的物体线速度方向变化快慢的物理量，向心加速度越大，说明做圆周运动的物体线速度的方向变化越快，A错误，B正确；
向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直，C正确；
在匀速圆周运动中向心加速度方向不断变化，不是恒量，D错误。
√
√
知识点二　向心加速度的大小
如图所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不一样，A、B、C是它们边缘上的三个点，请思考：
(1)A和B两个点的向心加速度与半径有什么关系？
[提示]　A、B两个点的线速度大小相同，向心加速度与半径成反比。
(2)B和C两个点的向心加速度与半径有什么关系？
[提示]　B、C两个点的角速度相同，向心加速度与半径成正比。
2．对向心加速度表达式的理解
(1)向心加速度的几种表达式
(2)向心加速度的大小与半径的关系
①当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比。随频率的增大或周期的减小而增大。
②当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比。
③当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比。
④a与r的关系图像：如图所示，由a－r图像可以看出，a与r成正比还是反比，要看是ω恒定还是v恒定。
模型1　皮带传动模型
　　如图是一皮带传动装置的示意图。右轮半径为r，A是它边缘上的一点。左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r。B点在小轮上，到小轮中心的距离为r。C点和D点分别位于小轮和大轮的边缘上。如果传动过程中皮带不打滑，那么下列选项正确的是 (　　)
A．A、B、C、D点的角速度之比为2∶1∶2∶1
B．A、B、C、D点的线速度之比为2∶1∶2∶4
C．A、B、C、D点的向心加速度之比为2∶1∶2∶4
D．A点和C点的线速度相同
√
B、C、D点的角速度相等，由v＝ωR得B、C、D点的线速度之比等于半径之比，B、C、D点的线速度之比为1∶2∶4；则A、B、C、D点的线速度之比为2∶1∶2∶4，故B正确。
A点和C点的线速度大小相等，方向不同，故D错误。
一部机器与电动机通过皮带连接，机器皮带轮的半径是电动机皮带轮半径的3倍，皮带与两轮之间不发生滑动。已知机器皮带轮边缘上一点的向心加速度大小为0.10 m/s2。
(1)电动机皮带轮与机器皮带轮的转速之比n1∶n2是多少？
[解析]　由于皮带与两轮之间不发生滑动，
所以两轮边缘上各点的线速度大小相等。
设电动机皮带轮与机器皮带轮边缘上质点的线速度大小分别为v1、v2，角速度大小分别为ω1、ω2，边缘上质点运动的半径分别为r1、r2，则v1＝v2，v1＝ω1r1，v2＝ω2r2，又ω＝2πn，所以n1∶n2＝ω1∶ω2＝r2∶r1＝3∶1。
[答案]　3∶1
(2)机器皮带轮上A点到转轴的距离为轮半径的一半，A点的向心加速度大小是多少？
(3)电动机皮带轮边缘上某点的向心加速度大小是多少？
[答案]　0.05 m/s2
[答案]　0.3 m/s2
√
模型3　同轴转动模型
　　如图所示，撑开的雨伞上A、B两点到伞轴的距离分别为rA、rB，且rB＝2rA。当转动雨伞使A、B两点绕伞轴做匀速圆周运动时，A、B两点的(　　)
A．周期之比为2∶1
B．角速度之比为2∶1
C．线速度之比为1∶1
D．向心加速度之比为1∶2
√
根据v＝ωr可知vA∶vB＝rA∶rB＝1∶2，故C错误；根据a＝ω2r可知aA∶aB＝rA∶rB＝1∶2，故D正确。
　　(2025·广东珠海市期末)如图所示的是一种古老的舂米机。舂米时，稻谷放在石臼A中，横梁可以绕O转动，在横梁前端B处固定一舂米锤，脚踏在横梁另一端C点往下压时，舂米锤便向上抬起，然后提起脚，舂米锤就向下运动，击打A中的稻谷，使稻谷的壳脱落。已知OB>OC，则在横梁绕O转动过程中 (　　)
A.B、C的向心加速度满足aB>aC
B．B、C的角速度关系满足ωB<ωC
C．B、C的角速度关系满足ωB>ωC
D．B、C的线速度关系满足vB√
[解析]　B、C同轴转动，角速度关系满足ωB＝ωC，故B、C错误；
根据a＝ω2r，由于OB>OC，则B、C的向心加速度满足aB>aC，故A正确；
根据v＝ωr，由于OB>OC，则B、C的线速度关系满足vB>vC，故D错误。
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
√
1．(向心加速度的理解)下列关于向心加速度的说法错误的是 (　　)
A．向心加速度的方向始终与速度方向垂直
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
解析：向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向则沿圆周的切线方向，向心加速度的方向始终与速度方向垂直，A正确；
向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，B正确；
物体做匀速圆周运动时，只有向心加速度，加速度方向始终指向圆心，物体做变速圆周运动时，加速度的方向并不始终指向圆心，C错误，D正确。
√
2．(向心加速度的大小)甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为4∶9，转动的周期之比为3∶2，则它们的向心加速度之比为 (　　)
A．3∶2 B．16∶81
C．4∶9 D．9∶4
√
√
√
4．(向心加速度的大小)(2025·江苏镇江市期末)如图所示，A、B两点分别位于大、小轮的边缘，C点位于A大轮半径的中点，大轮的半径是小轮的2倍，它们之间靠摩擦传动，接触面上没有滑动，则B、C两点的向心加速度大小之比为 (　　)
A．2∶1 B．4∶1
C．1∶2 D．1∶4(共47张PPT)
单元过关检测(二)
√
一、单项选择题：本题共7小题，每小题4分，共28分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．夏季易发生洪涝灾害，当道路受损严重时，人们多采用航空救援。如图所示是航空救援直升机正在向受灾中心运送救援人员。a、b是螺旋桨上同一叶片上的两点，当叶片转动时 (　　)
A.两点的角速度ωa<ωb
B．两点的线速度vaC．两点的周期TaD．两点的向心加速度aa＝ab
解析：a、b是螺旋桨上同一叶片上的两点，所以a、b两点的角速度相等，周期相等；根据v＝ωr，a＝ω2r，由于ra√
2．如图所示，一个内壁光滑圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，小球A紧贴内壁在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，下列说法正确的是 (　　)
A．小球受到重力、弹力和向心力
B．小球受到的弹力大于小球所受的重力
C．小球受到的合力等于零
D．小球受到的弹力小于小球的向心力
解析：小球受重力、弹力两力的作用，向心力是根据效果命名的，不能说物体受到向心力，受力分析如图所示，两力的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力，由图可知，小球受到的弹力大于小球所受的重力，小球受到的弹力大于小球做圆周运动的向心力。
√
3．图甲为一辆汽车在水平路面上做匀速圆周运动，图乙为一架飞机在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是 (　　)
A．图甲中的汽车受到的力有重力、路面的支持力和向心力
B．若图甲中的汽车速度超过一定限度，则汽车会向弯道内侧侧滑
C．图乙中飞机运动所需的向心力由重力和空气对它的作用力的合力提供
D．图乙中飞机的速度大小不变，因此飞机受到的合力为0
解析：向心力是效果力，并不是物体受到的力，故A错误；
若题图甲中的汽车速度超过一定限度，摩擦力不足以提供向心力，会做离心运动，向弯道的外侧侧滑，故B错误；
题图乙中飞机在水平面内做匀速圆周运动，合外力恰好提供向心力且不为零，运动所需的向心力由重力和空气对它的作用力的合力提供，故C正确，D错误。
√
4．如图所示，细绳穿过竖直的管子拴住一个小球，让小球在A高度处做水平面内的匀速圆周运动，现用力将细绳缓慢下拉，使小球在B高度处做水平面内的匀速圆周运动，不计一切摩擦，则 (　　)
A．线速度vA>vB　　
B．角速度ωA>ωB
C．向心加速度aAD．向心力FA>FB
解析：设绳子与竖直方向的夹角为θ，对小球受力分析有Fn＝mg tan θ＝ma，由题图可看出小球从A高度到B高度θ增大，则有aA√
5．如图所示，已知两个小物块A、B的质量分别为2m和m，随圆盘一起在水平面内做匀速圆周运动，它们轨道半径之比rA∶rB＝1∶2，小物块A、B与圆盘之间的动摩擦因数相同，则下列说法错误的是 (　　)
A.小物块A所受摩擦力的方向与轨迹圆相切
B．小物块A、B所受向心力大小相等
C．小物块A、B的向心加速度大小之比为1∶2　
D．若逐渐增大圆盘角速度，小物块B首先相对于圆盘滑动
解析：物块做匀速圆周运动，靠静摩擦力提供向心力，可知物块A所受的摩擦力方向指向圆心，A错误，
符合题意；A、B的角速度相等，根据Fn＝mω2r知，A、B的质量之比为2∶1，半径之比为1∶2，则向心力大小相等，B正确，
不符合题意；根据an＝ω2r知，半径之比为1∶2，角速度相等，则向心加速度之比为1∶2，C正确，
√
6．如图所示，整个装置可绕中心轴转动，两质量不同的小球穿在光滑的杆上，并用轻绳相连，稳定时角速度为ω，两球转动半径R1∶R2＝1∶2，下列说法正确的是 (　　)
A．P、Q两球的线速度之比为2∶1
B．P、Q两球的质量之比为1∶2
C．P、Q两球的向心加速度之比为1∶2
D．P、Q两球运动的周期之比为2∶1
解析：两球的角速度相等，由v＝ωr可得P、Q两球的线速度之比vP∶vQ＝R1∶R2＝1∶2，故A错误；
轻绳的作用力提供两球做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律得T＝mPω2R1＝mQω2R2可得P、Q两球的质量之比mP∶mQ＝R2∶R1＝2∶1，故B错误；
由an＝ω2r可得P、Q两球的向心加速度之比aP∶aQ＝R1∶R2＝1∶2，故C正确；
√
7．如图甲所示，轻杆的一端固定一小球(可视为质点)，另一端套在光滑的水平轴O上，水平轴的正上方有一速度传感器(图中未画出)，可以测量小球通过最高点时的速度大小v，水平轴O处有一力传感器(图中未画出)，可以测量小球通过最高点时水平轴受到的杆的作用力F，若取竖直向下为F的正方向，在最低点时给小球不同的初速度，得到的F－v2(v为小球在最高点时的速度)图像如图乙所示，重力加速度大小g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A．小球的质量为10 kg
B．轻杆的长度为1.8 m
C．若小球通过最高点时的速度大小为
3.6 m/s，则轻杆对小球的作用力大小为6.4 N
D．若小球通过最高点时的速度大小为6 m/s，则小球受到的合力为0
当v＝3.6 m/s时，解得F＝6.4 N，则杆对小球的作用力大小为6.4 N，故C正确；
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分。
√
8．修正带是一种常见的学习用具，是通过两个齿轮的相互咬合进行工作的，其原理可简化为如图所示的模型。A、B是转动的两个齿轮边缘的两点，C是大齿轮上的一点，若A、B、C的轨迹半径之比为2∶3∶2，则下列说法正确的是 (　　)
A.A、B的线速度大小之比为2∶3
B．A、B的角速度大小之比为3∶2
C．A、C的周期之比为3∶2
D．A、C的向心加速度大小之比为9∶4
√
解析：修正带是通过两个齿轮的相互咬合进行工作的，边缘点的线速度大小相等，即A、B的线速度大小之比为1∶1，故A错误；
9．有一个杂技节目叫“笼中飞车”，演员骑着摩托车在一个固定封闭的球形大铁笼中高速骑行，若我们把演员与摩托车看成质点P，其质量为m。演员在虚线水平圆周上以角速度ω做匀速圆周运动，O1为铁笼的球心，O2为虚线轨道的圆心，O1P与竖直方向的夹角为θ，且此时刚好无横向摩擦力(横向即垂直于摩托车前进方向)，则下列说法正确的是 (　　)
A.演员与摩托车的向心力指向O1
B．演员与摩托车的向心力指向O2
C．演员与摩托车的向心力大小为mg tan θ
D．摩托车受重力，弹力和向心力的作用
√
√
解析：演员与摩托车的向心力应指向轨迹圆的圆心，即O2，故A错误，B正确；
由于此时刚好无横向摩擦力，则可知由重力和铁笼的弹力组成的合力给演员与摩托车提供向心力，受力如图所示，则演员与摩托车的向心力大小F＝mg tan θ，故C正确；
摩托车受到自身的重力、演员对摩托车
的作用力、铁笼的弹力，合力提供向心力，
故D错误。
√
√
解析：滑动前甲、乙所受摩擦力大小与转盘角速度平方ω2成正比，故A错误；
三、非选择题：本题共5小题，共54分。解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。
11．(10分)某学习小组利用如图所示的装置“探究向心力大小的表达式”实验，所用向心力演示器如图(a)所示，待选小球是质量均为2m的球1、球2和质量为m的球3，标尺1和2可以显示出两球所受向心力的大小。图(b)是演示器部分原理示意图，其中皮带轮①、④的半径相同，轮②的半径是轮①的1.6倍，轮③的半径是轮①的2倍，
轮⑤的半径是轮④的0.8，轮⑥的半径是轮④的0.5；两转臂上黑白格的长度相等；A、B、C为三根固定在转臂上的挡板可与转臂上做圆周运动的实验球产生挤压，从而提供向心力。
(1)在探究向心力F的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时我们主要用到了物理学中的________。
A．理想实验法　　　 B．等效替代法
C．控制变量法 D．演绎法
解析：在研究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时主要用到了物理学中的控制变量法。
√
(2)若两个钢球的质量和运动半径相等，图中标尺上黑白相间的等分格显示出A、C位置两钢球所受向心力的比值为1∶4，则轮塔1和轮塔2转动的角速度之比为___________。
1∶2
解析：根据F＝mω2r可知，为了能简单明了地观察出向心力与角速度的关系，最适合做的图像是F－ω2。
√
(4)若将球1、2分别放在挡板B、C位置，将皮带与轮①和轮④相连则是在研究向心力的大小F与________的关系。
A.转动半径r B．质量m
C．角速度ω D．线速度v
解析：若将球1、2分别放在挡板B、C位置，将皮带与轮①和轮④相连，两个小球的质量相等，角速度相等，是在研究向心力的大小F与转动半径r的关系。
√
(5)若将球1、3分别放在挡板B、C位置，转动手柄时标尺1和标尺2示数的比值为1∶4，则可判断与皮带连接的变速轮塔为________。
A．①和④ B．②和⑤
C．③和⑥ D．③和④
解析：若将球1、3分别放在挡板B、C位置，可知转动半径之比为2∶1，又球1、3质量之比为2∶1，标尺1和标尺2的比值即向心力大小为1∶4，根据F＝mω2r，可知转动的角速度之比为1∶4，故与皮带连接的变速轮塔为③和⑥。
√
12．(6分)某物理兴趣小组利用传感器进行探究向心力大小与线速度大小的表达式，实验装置原理如图甲所示。装置中水平直槽能随竖直转轴一起转动，将滑块放在水平直槽上，用细线将滑块与固定的力传感器连接。当滑块随水平直槽一起匀速转动时，细线的拉力提供滑块做圆周运动需要的向心力。拉力的大小可以通过力传感器测得，滑块转动的线速度大小可以通过速度传感器测得。
(1)滑块和速度传感器的总质量为0.2 kg，保持滑块到竖直转轴的距离不变，仅改变竖直转轴转动的快慢，测得多组力传感器的示数F及速度传感器的示数v，根据实验数据得到的F－v2图像如图乙所示，图像没有过坐标原点的原因是______________，滑块到竖直转轴的距离为___________m。
水平直槽不光滑
0.6
(2)若去掉细线，将滑块置于距离竖直转轴0.8 m处，为保证滑块不相对水平直槽滑动，滑块随水平直槽转动的最大线速度为________ m/s。
2
13．(10分)清代乾隆的《冰嬉赋》用“躄躠”(可理解为低身斜体)二字揭示了滑冰的动作要领。500 m短道速滑世界纪录由我国运动员创造并保持。在创造纪录的比赛中，求：
(1)运动员由静止出发，先沿直道加速滑行，前8 m用时2 s。该过程可视为匀加速直线运动，此过程加速度大小；(2分)
答案：4 m/s2
(2)运动员途中某次过弯时的运动可视为半径为10 m的匀速圆周运动，速度大小为14 m/s。已知运动员的质量为73 kg，此次过弯时所需的向心力大小；(4分)
答案：1 430.8 N
(3)运动员通过侧身来调整身体与水平冰面的夹角，使场地对其作用力指向身体重心而实现平稳过弯，如图所示。运动员在(2)问中过弯时身体与水平面的夹角θ的大小。(不计空气阻力，重力加速度大小取10 m/s2，tan 22°＝0.40、tan 27°＝0.51、tan 32°＝0.62、tan 37°＝0.75)(4分)
答案：27°
14．(12分)如图所示，光滑的矩形金属框MNQP处于竖直平面内，一根长为L的轻绳一端固定在M点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿过竖直边PQ。已知轻绳与竖直方向的夹角为θ，MN、PQ足够长，重力加速度为g。
(1)若金属框静止不动，求小球对轻绳的拉力大小F。(2分)
(2)若小球和金属框一起在竖直平面内水平向左做匀加速直线运动，PQ边对小球的作用力恰好为零，求金属框的加速度大小a。(6分)
解析：当小球和金属框一起向左做匀加速运动时，对小球受力分析有mg tan θ＝ma，解得a＝g tan θ。
答案：g tan θ　
(3)若金属框绕MN边匀速转动，PQ边对小球的作用力恰好为零，求金属框转动的角速度大小ω。(4分)
15．(16分)“水流星”是中国传统民间杂技艺术，杂技演员用一根绳子兜着装有水的两个碗，迅速地旋转着绳子做各种精彩表演，即使碗底朝上，碗里的水也不会洒出来。假设碗中水的质量均为m，绳子长度为2L，绳子的长度远大于碗的大小，重力加速度为g，不计空气阻力。现杂技演员手拿绳子的中点，让两碗在竖直平面内做圆周运动(如图甲所示)，若碗通过最高点时，正上方碗内的水恰好对碗无压力。
(1)求图甲中两碗线速度的大小。(4分)
(2)求图甲中正下方碗内的水对碗的压力。(6分)
答案：2mg，方向竖直向下
(3)若两只碗绕绳的中点在水平面内做匀速圆周运动(如图乙所示)，已知绳与竖直方向的夹角为θ，求碗和水的角速度大小。(6分)(共23张PPT)
课后达标检测
√
题组1　向心力
1．(多选)下列关于向心力的说法正确的是 (　　)
A．物体由于做圆周运动而产生了一个向心力
B．向心力不改变圆周运动中物体线速度的大小
C．做匀速圆周运动的物体的向心力即其所受的合外力
D.做圆周运动的物体所受各力的合力一定充当向心力
√
解析：物体做圆周运动就需要有向心力，向心力是由外界提供的，不是物体本身产生的，故A错误；
向心力总是与速度方向垂直，不做功、不能改变速度的大小，但改变速度的方向，故B正确；
做匀速圆周运动的物体的向心力是以效果命名的，是由物体所受合外力提供的，故C正确；
在非匀速圆周运动中，其向心力是由合外力指向圆心的分力提供的，故D错误。
√
2．(2023·全国甲卷，T17)一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期与轨道半径成反比，则n等于 (　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
3．(多选) 一名运动员骑自行车沿如图所示的水平轨道运动，其中abc为一段圆弧轨道，自行车上的码表示数一直为72 km/h，运动员及自行车可视为质点，则 (　　)
A．自行车的速度一直保持不变
B．自行车沿圆弧轨道abc运动到b点时，
速度沿圆弧在该点的切线方向
C．整个过程中，自行车与轨道间的摩擦力方向始终与运动方向相反
D．自行车在圆弧轨道abc上运动时的合力方向不可能沿圆弧的切线方向
√
√
解析：沿圆弧轨道abc运动时，速度大小不变，但方向一直沿切线方向在改变，故速度在变，故A错误；
曲线运动某点的速度方向沿该点的切线方向，故自行车沿圆弧轨道abc运动到b点时，速度沿圆弧在该点的切线方向，故B正确；
自行车沿圆弧轨道abc运动时，摩擦力提供向心力，指向圆心，故C错误；
自行车在圆弧轨道abc上运动时的合力方向指向圆弧的圆心，故D正确。
√
√
5．如图，两个相同的小球在内表面光滑的漏斗形容器内做水平的圆周运动，甲的位置高于乙的位置。关于它们受到的向心力大小和周期大小，下列关系正确的是 (　　)
A.F甲＝F乙　T甲＝T乙
B．F甲＝F乙　T甲＞T乙
C．F甲＞F乙　T甲＝T乙
D．F甲＜F乙　T甲＞T乙
6．(8分)做匀速圆周运动的物体，质量为1 kg，10 s内沿半径为20 m的圆周运动100 m，物体做匀速圆周运动时，求：
(1)线速度的大小；(4分)
(2)向心力的大小。(4分)
答案：10 m/s
答案：5 N
√
题组2　变速圆周运动和一般曲线运动
7．(多选)如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需向心力是(　　)
A.绳的拉力
B．重力和绳拉力的合力
C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力
D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
√
解析：分析向心力来源时就沿着半径方向求合力即可，注意作出正确的受力分析图。如图所示，对小球进行受力分析，它受到重力和绳子的拉力作用，向心力是指向圆心方向的合力。因此，它可以是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以是各力沿绳方向的分力的合力。
√
8．如图所示，将完全相同的两小球A、B用长L＝0.8 m的细绳悬于以v＝4 m/s 向右匀速运动的小车顶部，两球分别与小车前后壁接触，由于某种原因，小车突然停止，此时两悬线的拉力之比FB∶FA为(g取 10 m/s2)(　　)
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
√
√
√
12．(12分)如图所示，小球通过细线绕圆心O在光滑水平面上做匀速圆周运动。已知小球质量m＝0.40 kg，线速度大小v＝1.0 m/s，细线长L＝0.25 m。
(1)求小球的角速度大小ω。(4分)
答案：4.0 rad/s　
(2)求细线对小球的拉力大小F。(4分)
答案：1.6 N　
(3)若细线最大能承受6.4 N的拉力，求小球运行的最大线速度。(4分)
答案：2.0 m/s章末知识网络建构
[备选答案]
提示：将以下备选答案前的字母填入左侧正确的位置。
A．　　　　 B．
C． D．＝
E． F．ωr
G．mω2r H．ω2r
答案：B　A　D　F
E　G　C　H
线速度：v=
△t
角速度：ω=
△
物理量及
△t
关系式
1'、f和n的关系：=
v和w的关系：=
匀速圆周运动
向心力：F=ma=
4π2
=mr
=m))
T2
向心加速度：a=
4m2
二r
=U)
T2
汽车过拱形桥、火车转弯
实际应用
“旋转秋千”
离心运动(共20张PPT)
课后达标检测
√
1.(2025·天津滨海新区期中)一倒立的圆锥筒，筒侧壁倾斜角度α不变。 一小球在筒的内壁做匀速圆周运动，球与筒内壁的摩擦可忽略，小球距离地面的高度为H，则下列说法正确的是 (　　)
A.H越高，小球做圆周运动的向心力越大
B．H越高，小球做圆周运动的线速度越小
C．H越高，小球做圆周运动的角速度越小
D．H越高，小球对侧壁的压力越小
解析：小球做匀速圆周运动，由重力mg和支持力FN的合力提供圆周运动的向心力，作出受力分析图如图所示，则向心力F＝mg tan α，由于m、α不变，向心力大小不变，故A错误；
√
√
解析：空间站内的物体都处于完全失重状态，可知圆周运动的轨道可处于任意平面内，故A正确；
若误将n－1圈记作n圈，则得到的质量偏小，故C错误；
若测R时未计入小球的半径，则R偏小，所测质量偏大，故D错误。
√
解析：对A分析可知，A的重力与B对A的支持力平衡，B对A的摩擦力提供A做圆周运动的向心力，则B对A的摩擦力指向圆心，根据牛顿第三定律可知，A对B的摩擦力方向背离圆心，A错误；
根据上述有fBA＝3mω2r，根据牛顿第三定律可知，A对B的摩擦力大小为3mω2r，该摩擦力为静摩擦力，因此物块B对物块A的摩擦力不一定为3μmg，B错误；
对AB整体分析有f＝(3m＋2m)ω2r＝5mω2r，C正确；
√
解析：物体A、B、C的角速度相等，由a＝ω2r，得物体C的向心加速度最大，故A错误；
A、B、C都没有滑动，静摩擦力提供向心力，根据Ff＝m物ω2r可知，物体B受到的静摩擦力最小，故B错误；
6．(8分)如图所示的装置绕竖直轴OO′匀速转动，细线与竖直方向夹角θ＝37°。已知小球质量m＝0.48 kg，细线长L＝0.5 m(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6)。求：
(1)装置转动的角速度大小ω；(4分)
解析：对小球受力分析，根据牛顿第二定律可知
mg tan θ＝mω2L sin θ
解得ω＝5 rad/s。
答案：5 rad/s　
(2)小球离地高度为0.45 m，某瞬间细线断开，则小球飞行的水平位移大小x。(4分)
答案：0.45 m
7．(8分)如图所示，在倾角α＝30°的光滑斜面上，有一长L＝0.4 m的细绳，一端固定在O点，另一端拴一质量m＝0.2 kg的小球。使小球在斜面上做圆周运动，g取10 m/s2。
(1)求小球通过最高点A时的最小速度。(4分)
(2)如果细绳能承受的最大拉力为9 N，小球通过最低点B时的最大速度为多大？(4分)
答案：4 m/s
8．(10分)如图所示，水平转盘的中心有一个光滑的竖直小圆孔，质量为m的物体A放在转盘上，物体A到圆孔的距离为r，物体A通过轻绳与物体B相连，物体B的质量也为m。若物体A与转盘间的动摩擦因数为μ(μ<1)，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则转盘转动的角速度ω在什么范围内，才能使物体A随转盘转动而不滑动？(重力加速度为g)
答案：见解析(共39张PPT)
第2节　匀速圆周运动的向心力和向心加速度
第1课时　实验：探究影响向心力大小的因素
学习目标
1．理解向心力是一种效果力，其效果是产生向心加速度，方向总是指向圆心。　
2．掌握探究向心力F的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。　
3．知道向心力大小与哪些因素有关，并能用来进行计算。　
4．知道什么是向心加速度，能用向心加速度的公式进行计算。
课前知识梳理
PART
01
第一部分
实验方案一　用绳和沙袋定性研究
如图甲所示，绳子的一端拴一个小沙袋(或其他小物体)，在离小沙袋重心40 cm的地方打一个绳结A，在离小沙袋重心80 cm的地方打另一个绳结B。同学甲看手表计时，同学乙按下列步骤操作：
步骤1：手握绳结A，如图乙所示，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，每秒运动1周。体会此时绳子拉力的大小。
步骤2：手仍然握绳结A，但使沙袋在水平面内每秒运动2周。体会此时绳子拉力的大小。
步骤3：改为手握绳结B，使沙袋在水平面内每秒运动1周。体会此时绳子拉力的大小。
步骤1和步骤2两者相比，可以比较在半径相同的情况下，向心力大小与角速度的关系。
步骤1和步骤3两者相比，可以比较在角速度相同的情况下，向心力大小与半径的关系。
实验方案二　利用向心力演示器探究
1．实验目的
(1)定性分析向心力大小的影响因素。
(2)学会使用向心力演示器。
(3)探究向心力与质量、角速度、半径的定量关系。
2．实验器材
向心力演示器
3．实验原理
控制变量法：物体的质量、角速度、转动半径对向心力均有影响。要研究一个因变量与三个自变量的关系，应先控制其中的两个自变量不变，先研究向心力与第三个自变量之间的关系。
4．物理量的测量
(1)向心力的测量：由轮塔中心标尺露出的等分格的读数读出。
(2)质量的测量：用天平直接测量。
(3)轨道半径的测量：根据长、短槽上的刻度读出小球到转轴的距离。
(4)角速度的测量：通过测量变速轮塔的直径确定角速度的比值。
典例分类讲解
PART
02
第二部分
题型一　用绳和沙袋定性研究
如图甲所示，同学们分小组探究影响向心力大小的因素。同学们用细绳系一纸杯(杯中有30 mL的水)在空中甩动，使纸杯在水平面内做圆周运动，来感受向心力。
(1)下列说法正确的是________。
A．保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将不变
B．保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将增大
C．保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变
D．保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将增大
BD
[解析]　由向心力公式F＝mω2r可得，当保持质量、绳长不变，增大转速，手对绳的拉力将增大，由牛顿第三定律可知，绳对手的拉力将增大，A错误，B正确；
保持质量、角速度不变，增大绳长，由向心力公式可知，手对绳的拉力将增大，由牛顿第三定律可知，绳对手的拉力将增大，C错误，D正确。
(2)如图乙所示，绳离杯心40 cm处打一结点A，80 cm处打一结点B，学习小组中一位同学看手表计时，另一位同学操作，其余同学记录实验数据。
操作一：手握绳结A，使杯在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小。
操作二：手握绳结B，使杯在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小。
操作三：手握绳结A，使杯在水平方向每秒运动2周，体会向心力的大小。
操作四：手握绳结A，再向杯中添加30 mL的水，使杯在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小。
操作二与一相比较：质量、角速度相同，向心力的大小与转动半径大小有关；
操作三与一相比较：质量、半径相同，向心力的大小与角速度的大小有关；
操作四与一相比较：________、________相同，向心力大小与________有关。
[解析]　操作四与一相比较，半径、角速度相同，水杯中的水质量不同，由向心力公式F＝mω2r可知，质量增大，向心力大小增大，即向心力大小与质量有关。
半径
角速度
质量
(2025·辽宁大连市期中)图甲所示的是向心力演示仪，可探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量、角速度和半径之间的关系。长槽的A、B处和短槽的C处到各自转轴中心的距离之比为2∶1∶1。变速轮塔自上而下有三种组合方式，左右每层半径之比由上至下分别为1∶1、2∶1和3∶1，如图乙所示。
(1)本实验的目的是探究向心力的大小与小球质量、角速度和半径之间的关系，下列实验中采用的实验方法与本实验相同的是________。
A．探究两个互成角度的力的合成规律
B．探究平抛运动的规律
C．探究加速度与力、质量的关系
BC
[解析]　探究向心力的大小与小球质量m、角速度ω和半径r之间的关系，采用的实验方法是控制变量法，探究两个互成角度的力的合成规律，采用的是等效替代的实验方法，故A错误；
探究平抛运动的规律采用的实验方法是控制变量法，故B正确；
探究加速度与力、质量的关系，采用的实验方法是控制变量法，故C正确。
(2)在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在A、C位置，探究向心力的大小与半径的关系，则需要将传动皮带调至第________(选填“一”“二”或“三”)层轮塔。
[解析]　在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在A、C位置，可知两小球做圆周运动的半径之比为2∶1，此时探究的是向心力大小与半径的关系，将控制两小球做圆周运动的角速度相等，则需要将传动皮带调至第一层轮塔。
一
(3)在另一次实验中，把两个质量相等的钢球放在B、C位置，传动皮带位于第三层，转动手柄，则当轮塔匀速转动时，左右两标尺露出的格子数之比约为________。
A．3∶1 B．1∶3
C．9∶1 D．1∶9
D
题型三　教材实验创新
某物理兴趣小组验证“向心力与线速度大小关系”的实验装置如图所示。
实验步骤如下：
①按照图示安装仪器，轻质细线上端固定在
力的传感器上，下端悬挂一小钢球。小钢球
静止时刚好位于光电门中央；
②将小钢球悬挂静止不动，此时力的传感器
示数为F1，用米尺量出细线长L；
③将小钢球拉到适当高度处且细线拉直，静止释放小钢球，光电计时器记录小钢球遮光时间t，力的传感器示数最大值为F；
④改变小钢球的释放位置，重复上述过程。
已知小钢球的直径是d，当地的重力加速度大小为g，请用上述测得的物理量表示：
B
[解析]　由题知，将小钢球悬挂静止不动，此时力的传感器示数为F1，小钢球经过光电门时力的传感器示数为F，则小钢球经过光电门时所受合力的表达式为F合 ＝ F－F1。
A
C
(4)处理实验数据时，在误差允许的范围内，小钢球经过光电门时所需向心力和所受合力的关系为__________(选填“相等”或“不相等”)，则能验证向心力与线速度大小的关系。
[解析]　处理实验数据时，在误差允许的范围内，小钢球经过光电门时所需向心力和所受合力的关系为相等，则能验证向心力与线速度大小的关系。
(5)本实验误差的主要来源为____________(选填“摆长测量”或“空气阻力”)。
相等
摆长测量
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
1．某同学用向心力演示器来探究物体做圆周运动所需向心力F的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。
(1)该同学应采用的实验方法是________。
A．理想实验法
B．控制变量法
C．等效替代法
D．理想模型法
解析：探究物体做圆周运动所需向心力F的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系，采用的实验方法是控制变量法。
B
(2)若要探究F与m之间的关系，应采用下列甲、乙、丙三图中的____________图。
解析：若要探究F与m之间的关系，应使两小球质量不相等，两小球做圆周运动半径和角速度相等，则应采用题图乙。
乙
(3)某次实验时，左右两标尺显示如图丁所示，此时左右两处小球所受向心力大小之比约为________。
A.1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．1∶5
解析：某次实验时，左右两标尺显示如题图丁所示，此时左右两处小球所受向心力大小之比约为1∶4。
C
(4)在探究F与ω之间的关系时，若左右两标尺显示如图丁所示，则左右变速轮塔半径之比为________。
A．1∶2 B．2∶1
C．3∶1 D．1∶3
B
(5)通过本实验可以得到的结论是________。
A．在r与ω一定的情况下，F与m成正比
B．在r与m一定的情况下，F与ω成反比
C．在m与ω一定的情况下，F与r成反比
D．在r与m一定的情况下，F与ω2成正比
解析：根据F＝mω2r，在r与ω一定的情况下，F与m成正比，故A正确；
在r与m一定的情况下，F与ω2成正比，故B错误，D正确；
在m与ω一定的情况下，F与r成正比，故C错误。
AD
2．某实验小组通过如图所示的装置验证向心力公式。一个体积较小、质量为m的滑块套在水平杆上，力传感器通过一根细绳连接滑块，用来测量绳中拉力F的大小，滑块的中心到转轴的距离为L，滑块随杆一起绕竖直杆做匀速圆周运动。通过力传感器获得细绳拉力F，利用秒表记录转动n圈的时间t。
(1)认为绳的张力充当向心力，如果F＝________(用题目所给物理量的字母表示)，则向心力的表达式得到验证。
(2)该小组验证向心力的表达式时，经多次实验，仪器正常，操作规范读数准确，发现拉力F的测量值与滑块的向心力的理论值相比________(选填“偏大”“偏小”或“相同”)，主要原因是_________________________。
偏小
滑块与水平杆之间有摩擦力(共23张PPT)
课后达标检测
√
题组1　车辆转弯问题
1．如图所示，山崖边的公路常被称为最险公路，一辆汽车欲安全通过此弯道公路(公路水平)，下列说法不正确的是 (　　)
A．若汽车以恒定的角速度转弯，选择内圈较为安全
B．若汽车以大小恒定的线速度转弯，选择外圈较为安全
C．汽车在转弯时受到重力、支持力
和摩擦力作用
D．汽车在转弯时受到重力、支持力、
摩擦力和向心力作用
解析：汽车在转弯时受到重力、支持力和摩擦力作用，其中摩擦力提供向心力，故C正确，与题意不符，D错误，与题意相符；
√
2．一汽车在水平地面上以恒定速率行驶，汽车通过如图所示的a、b、c三处时的向心力 (　　)
A.FaFb>Fc
C．Fa>Fc>Fb D．Fa＝Fb＝Fc
√
√
4．(多选)图为一汽车(质量一定)通过凹形桥(曲率半径一定)最低点时的示意图，下列判断正确的是 (　　)
A．汽车的角速度越大，对桥底的压力越大
B．汽车的速度越大，对桥底的压力越小
C．汽车的向心加速度越大，对桥底的压力越大
D．汽车的向心加速度越大，对桥底的压力越小
√
√
题组3　离心运动
5．一摩托车比赛转弯时的情形如图所示。转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动。对于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是 (　　)
A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B．摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去
D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
解析：摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，A错误；
摩托车正常转弯时可看作是做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明提供的向心力即合力小于需要的向心力，B正确；
摩托车将沿曲线做离心运动，C、D错误。
√
6．(多选)离心沉淀器可以加速物质的沉淀，它的示意图如图所示，试管中先装水，再加入粉笔粉末后搅拌均匀，当试管绕竖直轴高速旋转时，两个试管几乎成水平状态，然后可观察到粉笔粉末沉淀在试管的底端，则(　　)
A．旋转越快，试管的高度越低
B．粉笔粉末向试管底部运动是一种离心现象
C．旋转越快，粉笔粉末的沉淀现象越明显
D．旋转越快，粉笔粉末的沉淀现象越不明显
√
解析：对试管整体分析，整体受到的合力提供向心力，设试管中心线与竖直方向夹角为α，则提供的向心力为mg tan α，当转速增大时，需要的向心力增大，故角度α增大，管越高，A错误；
离心沉淀器是一种离心设备，不同的物质混合，当离心沉淀器工作时，会发生离心现象，B正确；
转速越快，离心运动越剧烈，粉笔粉末的沉淀现象越明显，C正确，D错误。
√
7．一质量为2.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104 N。当汽车经过半径为80 m的弯道时，下列判断正确的是 (　　)
A．汽车转弯时所受的力有重力、支持力、摩擦力和向心力
B．汽车转弯的速度为20 m/s时所需的向心力为1.4×104 N
C．汽车转弯的速度为20 m/s时汽车会发生侧滑
D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2
解析：汽车转弯时受到重力、地面的支持力以及地面给的摩擦力，其中摩擦力充当向心力，A错误；
√
√
9．(2025·天津南开区期中)钢架雪车是一项精彩刺激的冬奥会比赛项目，运动员从起跑区推动雪车起跑后俯卧在雪车上，经出发区、滑行区和减速区等一系列直道、弯道后到达终点，用时少者获胜。图(a)是比赛中一名运动员通过滑行区某弯道时的照片。假设可视为质点的运动员和车的总质量为m，其在弯道P处做水平面内圆周运动可简化为如图(b)所示的模型，车在P处的速率为v，弯道表面与水平面成θ角，此时车相对弯道无侧向滑动，不计摩擦阻力和空气阻力，重力加速
度大小为g。下列说法正确的是(　　)
√
10．(12分)现有一辆质量m＝9 000 kg的轿车，行驶在沥青铺设的公路上，g取10 m/s2。
(1)如果汽车在公路的水平弯道上以30 m/s的速度转弯，轮胎与地面间的径向最大静摩擦力为车重的0.6，若要汽车不向外发生侧滑，弯道的最小半径是多少？(4分)
答案：150 m
(2)如果汽车驶过半径R′＝90 m的一段凸形桥面
①若汽车以20 m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大？(4分)
答案：5×104 N
②若汽车在过最高点时不能脱离桥面，则汽车的速度不能超过多少？(4分)
答案：30 m/s(共25张PPT)
专题提升课3　竖直面内的圆周运动
专题深度剖析
PART
01
第一部分
微专题一　竖直面内的匀速圆周运动
(2025·四川成都市期中)如图所示，一长为l的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为m的小球，轻杆随转轴在竖直平面内做角速度为ω的匀速圆周运动，重力加速度为g。
(1)小球运动到最高点时，求杆对球的作用力。
(2)小球运动到水平位置A时，求杆对球的作用力。
[答案]　见解析
微专题二　竖直面内的变速圆周运动
模型1　轻绳模型
　　(多选)(2025·福建宁德市期末)杂技表演水流星如图所示，一根绳系着盛水的杯子，随着演员的抡动，杯子就在竖直平面做圆周运动，已知轨迹半径r＝0.4 m，水的质量为200 g，杯子的质量为50 g，绳子质量不计，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法正确的是 (　　)
A．杯子运动到最高点时，水刚好不落下，则最高点速度为4 m/s
B．当杯子到最高点速度为6 m/s时，则水
对杯子的弹力大小为16 N，方向竖直向下
C.杯子在运动过程中做的是变速圆周运动，
沿圆周下降过程速度增加是因为合力沿切
线方向的分力与速度同向
D．杯子在最低点时处于超重状态
√
√
杯子在运动过程中做的是变速圆周运动，沿圆周下降过程速度增加是因为其受到的合力沿切线方向的分力与速度同向，故C正确；
杯子在最低点时加速度方向竖直向上，此时杯子处于超重状态，故D正确。
　　图所示，半径R＝0.40 m的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与水平地面相切于圆环的端点A。一小球从A点冲上竖直半圆环，沿轨道运动到B点飞出，最后落在水平地面上的C点(图上未画)，g取10 m/s2。
(1)能实现上述运动时，小球在B点的最小速度是多少？
[答案]　2 m/s
(2)能实现上述运动时，A、C间的最小距离是多少？
[答案]　0.8 m
√
小球在圆周最高点的向心力可能由重力和轻杆作用力的合力来提供，不一定只由重力提供，故B错误；
在最低点，小球靠拉力和重力的合力提供向心力，合力向上，则拉力大于重力，故C错误；
由轻杆模型可知小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，最高点的速率为零，故D错误。
√
小球在水平线MN以下的管道中运动时，由于向心力的方向要指向圆心，则管壁必然要提供指向圆心的支持力，只有外壁才可以提供这个力，所以内侧管壁对小球没有作用力，C错误；
小球在水平线MN以上的管道中运动时，重力沿径向的分量必然参与提供向心力，故外侧管壁可能对小球有作用力，内侧管壁也可能对小球有作用力，还可能均无作用力，D错误。
随堂巩固落实
PART
02
第二部分
1．(竖直面内的匀速圆周运动)如图所示，在粗糙水平木板上放一个物块，使木板和物块一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，ab为水平直径，cd为竖直直径，在运动中木板始终保持水平，物块相对于木板始终静止，则 (　　)
A．物块始终受到三个力作用
B．物块受到的合外力始终指向圆心
C.在c、d两个位置，物块所受支持力相同，摩擦力为零
D．在a、b两个位置，物块所受摩擦力提供向心力，支持力为零
√
解析：物块在最高点c和最低点d均受重力和支持力两个力作用，两个力的合力提供向心力，故A错误；
物块做匀速圆周运动，合外力提供向心力，可知合外力始终指向圆心，故B正确；
在a、b两个位置，重力和支持力平衡，即N＝mg，物块所受静摩擦力提供向心力，故D错误。
√
3．(竖直面内的变速圆周运动)如图所示，轻质棒一端固定有质量为m的小球，棒长为R，现以棒的另一端O为圆心，使之在竖直平面内做圆周运动，那么当球运动至最高点，
(1)ω等于多少时，小球对棒的作用力为零？第1节　圆周运动
1．理解线速度、角速度、转速、周期等概念，会对它们进行定量计算。　2.知道线速度、角速度、周期之间的关系。　3.理解匀速圆周运动的概念和特点。　4.会分析常见传动装置中各物理量间的关系。
一、形形色色的圆周运动
1．定义：物体的运动轨迹是圆的运动叫作圆周运动。
2．转动与圆周运动：事实上，转动的物体上除轴外的任一质点都在绕轴做圆周运动。
二、描述匀速圆周运动的物理量
1．匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在任意相等时间内通过的圆弧长度都相等，这种运动就叫作匀速圆周运动。匀速圆周运动实际上是一种变速运动。
2．线速度：若在时间Δt内，做匀速圆周运动的质点通过的弧长是Δs，则可以用来描述匀速圆周运动的快慢，这个比就反映匀速圆周运动的线速度的大小，用公式表示为v＝。线速度是矢量，质点在圆周运动中任一点的线速度方向就是圆周上该点的切线方向。
3．角速度：对于做匀速圆周运动的质点，连接质点和圆心的半径所转过的角度Δφ跟所用时间Δt的比叫作匀速圆周运动的角速度，用ω来表示：ω＝。匀速圆周运动是角速度不变的运动。在国际单位制中，角速度的单位是弧度每秒，符号是rad/s。
说明：圆心角φ的大小可以利用弧长与半径的比来表示，其单位是弧度，用符号rad表示，周角是2π(rad)；平角是π(rad)；直角是(rad)。　
4．周期：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间叫作周期，用符号T表示。
5．物理意义：线速度是描述运动快慢和方向的物理量；角速度和周期都是描述匀速圆周运动转动快慢的物理量。
说明：技术中常用转速来描述物体绕轴转动的快慢。转速是指转动物体转过的圈数与所用时间的比，常用符号n表示，转速的单位有转每秒，符号是r/s，或转每分(r/min)。角速度与转速的关系是ω＝2πn。
三、线速度、角速度和周期之间的关系
设一质点沿半径为r的圆周做匀速圆周运动，它在一个周期T内转过的弧长为2πr，转过的角度为2π，所以线速度和角速度分别为v＝、ω＝。联立两式得v＝rω。
判断下列说法是否正确。
(1)做匀速圆周运动的物体，相同时间内位移相同。 (　　)
(2)做匀速圆周运动的物体，其所受合外力不为零。 (　　)
(3)做匀速圆周运动的物体，其线速度不变。 (　　)
(4)做匀速圆周运动的物体，其角速度大小不变。 (　　)
(5)做匀速圆周运动的物体，周期越大，角速度越小。 (　　)
(6)匀速圆周运动是一种匀速运动。 (　　)
提示：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　(6)×
知识点一　圆周运动的物理量及相互关系
如图所示，有一个玩具陀螺，a、b、c是陀螺上的三个点；当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时：
(1)a、b、c三点角速度和周期各有什么关系？
(2)a、b、c三点做圆周运动的线速度大小有什么关系？
[提示]　(1)ωa＝ωb＝ωc，Ta＝Tb＝Tc。
(2)va＝vc＞vb。
1．物理量的定义
(1)线速度：单位时间(1 s内)转过的弧长。
(2)角速度：单位时间(1 s内)转过的圆心角。
(3)周期：转一圈所用的时间。
(4)频率(转速)：单位时间内转过的圈数。
2．各物理量之间的关系
(1)v＝＝＝2πnr
(2)ω＝＝＝2πn
(3)v＝ωr
3．物理量之间关系的分析技巧
(1)角速度、周期、转速之间关系的理解：物体做匀速圆周运动时，由ω＝＝2πn知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也唯一确定了。
(2)对线速度与角速度之间关系的理解：由v＝ωr知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝；ω一定时，v∝r。
(3)在讨论v、ω、r三者的关系时，应采用控制变量法，先保持其中一个量不变，再讨论另外两个量之间的关系。
角度1　物理量的求解
　汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长。某国产轿车的车轮半径约为30 cm，当该型号轿车在高速公路上行驶时，驾驶员面前的速率计的指针指在“120 km/h”上，可估算出该车车轮的转速约为 (　　)
A．1 000 r/s　　　　　 B．1 000 r/min
C．1 000 r/h D．2 000 r/s
[解析]　由题意知车的速度大小v＝120 km/h≈33.3 m/s，车轮半径约为r＝30 cm＝0.3 m，设转速为n，根据v＝2πrn，代入以上数据得n≈17.7 r/s＝1 060 r/min。
[答案]　B
　(2025·河北卷，T5)某同学在傍晚用内嵌多个彩灯的塑料绳跳绳，照片记录了彩灯在曝光时间内的运动轨迹，简图如图。彩灯的运动可视为匀速圆周运动，相机本次曝光时间是 s，圆弧对应的圆心角约为30°，则该同学每分钟摇绳的圈数约为 (　　)
A．90　　 B．120　
C．150　　 D．180
[解析]　根据题意可知跳绳的转动角速度ω＝＝ rad/s＝5π rad/s，故每分钟跳绳的圈数n＝＝150。
[答案]　C
　如图为车牌自动识别系统的直杆道闸，离地面高为1 m的细直杆可绕O在竖直面内匀速转动。汽车从自动识别线ab处到达直杆处的时间为3.3 s，自动识别系统的反应时间为0.3 s；汽车可看成高1.6 m的长方体，其左侧面底边在aa′直线上，且O到汽车左侧面的距离为0.6 m，要使汽车安全通过道闸，直杆转动的角速度至少为 (　　)
A. rad/s　　　　　　 B． rad/s
C． rad/s D． rad/s
[解析]　由题意可知，横杆转动的时间为t＝3.3 s－0.3 s＝3 s，在3 s的时间内，横杆上距离O点0.6 m的点(即a′点的正上方)至少要抬高的高度为h＝1.6 m－1 m＝0.6 m，则在此时间内横杆至少转过的角度为θ＝，直杆转动的角速度至少为ω＝＝ rad/s。
[答案]　D
角度2　物理量间的关系
　A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，如图所示，在相同的时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，以下说法不正确的是 (　　)
A.A、B运动的线速度大小之比为3∶4
B．A、B运动的角速度大小之比为3∶2
C．A、B运动的周期之比为2∶3
D．A、B做圆周运动的半径之比为8∶9
[解析]　根据v＝可知，A、B运动的线速度大小之比为4∶3，A错误，符合题意；根据ω＝可知，A、B运动的角速度大小之比为3∶2，B正确，不符合题意；根据T＝可知，A、B运动的周期之比为2∶3，C正确，不符合题意；根据r＝可知，A、B做圆周运动的半径之比为8∶9，D正确，不符合题意。
[答案]　A
知识点二　常见传动装置及特点
跷跷板的支点位于板的中点，两个小朋友坐在两端。
讨论：(1)在撬动跷跷板的某一时刻，两个小朋友的线速度的大小关系及角速度的大小关系如何？
(2)如果跷跷板的支点不在板的中点，线速度大小和角速度大小的关系如何？
[提示]　(1)线速度大小和角速度大小都相等。
(2)角速度大小相等，线速度大小不等。
1．三种传动装置
项目 同轴转动 皮带传动 齿轮传动
装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接(皮带不打滑)，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点 两个齿轮啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点
特点 角速度、周期相同 线速度大小相等 线速度大小相等
规律 线速度与半径成正比：＝ 角速度与半径成反比：＝。周期与半径成正比：＝ 角速度与半径成反比：＝。周期与半径成正比：＝
2.求解思路
(1)分清传动特点：若属于皮带传动或齿轮传动，则轮子边缘各点线速度大小相等；若属于同轴传动，则轮上各点的角速度相等。
(2)确定半径关系：根据装置中各点位置确定半径关系，或根据题意确定半径关系。
(3)选择公式分析：若线速度大小相等，则根据ω∝分析，若角速度大小相等，则根据v∝r分析。
角度1　皮带传动
　(多选)如图所示的传动装置中，A轮顺时针转动，并通过皮带带动B轮转动(皮带不打滑)。a、b分别是两轮边缘上的点，它们的线速度大小分别为va、vb，下列判断正确的是 (　　)
A．B轮顺时针转动　 B．B轮逆时针转动
C．va＝vb D．va＞vb
[解析]　由题图可知，B轮的转动方向与A轮转动方向一定是相反的，所以B轮逆时针转动，故A错误，B正确；a点与b点属于皮带传动，所以两点具有相等的线速度，即va＝vb，故C正确，D错误。
[答案]　BC
角度2　齿轮传动
　在如图所示的齿轮传动中，三个齿轮的半径之比为1∶2∶3，当齿轮转动时，小齿轮边缘的A点和大齿轮边缘的B点 (　　)
A．线速度大小之比为1∶3
B．角速度大小之比为3∶1
C．周期之比为1∶1
D．转速之比为1∶3
[解析]　由题意可知，当齿轮转动的时候，三个齿轮边缘在相同时间内转的齿数相等，即线速度大小相等，因此有vA∶vB＝1∶1，故A错误；由线速度与角速度关系公式v＝ωr，可知小齿轮边缘的A点和大齿轮边缘的B点的角速度之比ωA∶ωB＝3∶1，故B正确；由周期与角速度关系公式T＝，可知周期与角速度成反比，即TA∶TB＝1∶3，故C错误；根据转速与周期的关系式n＝，可得转速与周期成反比，即nA∶nB＝3∶1，故D错误。
[答案]　B
角度3　同轴转动
　(2025·河北石家庄市期末)如图所示，地球可看成一个质量分布均匀的球体，地球上的物体均随地球自转做匀速圆周运动。已知石家庄的纬度约为37°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则位于赤道和石家庄的物体P、Q随地球自转的角速度、线速度之比分别为 (　　)
A．1∶1，5∶3 B．1∶1，5∶4
C．5∶3，1∶1 D．5∶4，1∶1
[解析]　物体P、Q随地球自转，则物体P、Q的角速度相等；根据v＝ωr，可得物体P、Q的线速度大小之比vP∶vQ＝rP∶rQ＝R∶R cos 37°＝5∶4。
[答案]　B
角度4　混合传动
　如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA∶rB∶rC＝2∶1∶2。若皮带不打滑，则A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的 (　　)
A．角速度之比为1∶2∶2
B．角速度之比为1∶1∶2
C．线速度大小之比为1∶2∶2
D．线速度大小之比为1∶1∶1
[解析]　点a和点b是皮带传动边缘点，线速度大小相等，故va∶vb＝1∶1，根据v＝rω，有ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2，点b和点c是同轴转动，角速度相等，故ωb∶ωc＝1∶1，则ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2，A正确，B错误；点b和点c角速度相等，根据v＝rω，有vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2，则va∶vb∶vc＝1∶1∶2，C、D错误。
[答案]　A
知识点三　匀速圆周运动及周期性
1．对匀速圆周运动的理解
(1)匀中有变：由于匀速圆周运动是曲线运动，其速度方向沿着圆周的切线方向，所以物体做匀速圆周运动时，速度的方向时刻在变化。
(2)匀速的含义
①速度的大小不变，即速率不变；
②转动快慢不变，即角速度大小不变。
2．匀速圆周运动的周期性
(1)问题特点：匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同运动，其中一个是匀速圆周运动，另一个是其他形式的运动。一般处理这类问题时，要把一个物体运动的时间t，与圆周运动的周期T联系起来，才能更快解决问题。
(2)分析技巧
①抓住联系点：明确题中多个物体的运动性质；多个物体参与运动时，虽然每个运动独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移等。
②先特殊后一般：先考虑第一个周期的情况，再根据运动的周期性，考虑多个周期的规律。
角度1　对匀速圆周运动的理解
　(多选)下列关于匀速圆周运动的说法正确的是 (　　)
A．匀速圆周运动是线速度不变的运动
B．做匀速圆周运动的物体在连续相等时间内通过的路程相同
C．做匀速圆周运动的物体相等时间内的位移一定相同
D．做匀速圆周运动的物体角速度不变
[解析]　匀速圆周运动的线速度大小不变，方向变化，A错误；做匀速圆周运动的物体，线速度大小相等，相等时间内通过的弧长相等，路程相同，位移是矢量，大小相同，方向不一定相同，故B正确，C错误；做匀速圆周运动的物体，角速度不变，D正确。
[答案]　BD
角度2　匀速圆周运动的周期性
　如图所示，直径为d的纸质圆筒，以角速度ω绕中心轴匀速转动，把枪口对准圆筒轴线，使子弹穿过圆筒，结果发现圆筒上只有一个弹孔，忽略子弹重力、圆筒的阻力及空气阻力。
(1)子弹做什么运动？圆筒做什么运动？
(2)为什么圆筒上只有一个弹孔？
(3)子弹与圆筒的运动时间有何关系？
(4)子弹的速度v应满足什么条件？
[解析]　(1)子弹不受外力，子弹做匀速直线运动；圆筒匀速转动，圆筒做匀速圆周运动。
(2)子弹从进入的弹孔中射出，所以只留下了一个弹孔。
(3)圆筒的周期T＝
子弹的运动时间应为
t＝T＋nT＝π(n＝0，1，2，3，…)。
(4)子弹的速度应满足＝π(n＝0，1，2，3，…)
可解得v＝(n＝0，1，2，3，…)。
[答案]　(1)(2)见解析　(3)t＝π(n＝0，1，2，3，…)　(4)v＝(n＝0，1，2，3，…)
1．(圆周运动的物理量及相互关系)如图所示，秒针绕O点转动，A、B为秒针的两个端点。在转动时，A、B的角速度和线速度分别记为ωA、ωB和vA、vB，则 (　　)
A．ωA<ωB　　　　　 B．ωA>ωB
C．vAvB
解析：选C。A、B为秒针的两个端点，他们属于同轴转动，故A、B的角速度大小相等，A、B错误；转动过程中，A点的半径小于B的半径，根据线速度与角速度的关系v＝ωr，可得vA2．(常见传动装置及特点)如图所示为学生使用的修正带，修正带的核心结构为咬合良好的两个齿轮，大、小齿轮的齿数之比n1∶n2＝k∶1。A、B两点分别位于大、小齿轮的边缘，当使用修正带时，纸带的运动会带动两轮转动，则两轮转动时，A、B两点的 (　　)
A．角速度之比为1∶k
B．角速度之比为1∶1
C．线速度大小之比为1∶k
D．转速之比为k∶1
解析：选A。修正带靠齿轮传动，所以边缘线速度大小相等，故A、B两点的线速度大小之比为1∶1，故C错误；根据半径与齿轮关系得＝＝，由公式v＝ωr可得，A、B两点的角速度大小之比ωA∶ωB＝rB∶rA＝1∶k，故B错误，A正确；由公式ω＝2πn可得，转速之比nA∶nB＝ωA∶ωB＝1∶k，故D错误。
3．(匀速圆周运动及周期性)(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是 (　　)
A．相等的时间内通过的路程相等
B．相等的时间内通过的弧长相等
C．相等的时间内通过的位移相等
D．在任何相等的时间里，连接物体和圆心的半径转过的角度都相等
解析：选ABD。匀速圆周运动是指线速度大小不变的圆周运动，因此在相等时间内通过的路程相等，弧长相等，转过的角度也相等，A、B、D正确；相等时间内通过的位移大小相等，方向不一定相同，C错误。
4．(匀速运动的周期性)如图所示，竖直薄壁圆筒内壁光滑、半径为R，上部侧面A处开有小口，在小口A的正下方h处亦开有与A大小相同的小口B，小球从小口A沿切线方向水平射入筒内，使小球紧贴筒内壁运动，要使小球从B口处飞出，小球进入A口的最小速率v0为 (　　)
A．πR B．πR
C．πR D．πR
解析：选B。小球在竖直方向做自由落体运动，根据h＝gt2，可得小球在圆筒内的运动时间t＝ ，在水平方向，以圆周运动的规律来研究，运动的时间t＝n(n＝1，2，3，…)，联立可得v0＝＝nπR (n＝1，2，3，…)，当n＝1时，可得速度最小速率v0＝πR 。第3课时　向心加速度
一、向心加速度的方向
根据牛顿第二定律可知，做匀速圆周运动的物体，在向心力的作用下，必然要产生一个向心加速度，它的方向与向心力的方向相同，总是指向圆心。
二、向心加速度的大小
1．a＝＝ω2r。
2．对于某一做匀速圆周运动的物体来说，质量m以及圆周半径r、线速度v和角速度ω的大小一定时，向心力F和向心加速度a的大小不变，方向却时刻在改变，匀速圆周运动是加速度的方向不断改变的变加速运动。
三、向心加速度的求解
当线速度大小发生变化时，利用公式求向心加速度的大小。
(1)必须用质点在该时刻的瞬时速度值。
(2)对于做匀速圆周运动的物体，其向心加速度就是它的加速度，所受到的向心力就是它受
到的合力；对于做非匀速圆周运动的物体，它在某一时刻的向心加速度只是它的加速度的一个分量，另一个分量沿切线方向，称为切向加速度。
判断下列说法是否正确。
(1)匀速圆周运动是加速度不变的曲线运动。 (　　)
(2)匀速圆周运动的向心加速度的方向始终与速度方向垂直。 (　　)
(3)物体做匀速圆周运动时，速度变化量为零。 (　　)
(4)匀速圆周运动的向心加速度的方向指向圆心，大小不变。 (　　)
(5)变速圆周运动的向心加速度的方向不指向圆心，大小变化。 (　　)
(6)根据a＝ 知加速度a与半径r成反比。 (　　)
提示：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×　(6)×
知识点一　向心加速度的理解和方向
1．图甲中的小球与图乙中的运动员正在做匀速圆周运动，是否具有加速度？
2．做匀速圆周运动的物体的加速度方向如何确定？你的依据是什么？
3．除了用牛顿第二定律确定向心加速度的方向外，你还有什么方法可确定向心加速度的方向？
[提示]　1.具有加速度。
2．从动力学角度，由牛顿第二定律确定；加速度的方向与合外力方向一致。
3．从运动学角度，利用加速度的方向与速度变化量的方向一致确定加速度方向。
1．向心加速度的物理意义
描述匀速圆周运动线速度方向变化的快慢，不表示速度大小变化的快慢。
2．向心加速度的方向
总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变。
3．圆周运动的性质：不论向心加速度a的大小是否变化，a的方向是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动一定是非匀变速曲线运动。
　下列关于向心加速度的说法正确的是 (　　)
A．向心加速度的方向始终指向圆心
B．向心加速度的方向保持不变
C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D．在变速圆周运动中，向心加速度的方向不指向圆心
[解析]　无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，向心加速度的方向都时刻指向圆心，故向心加速度不恒定，故A正确，B、C、D错误。
[答案]　A
　(多选)下列说法正确的是 (　　)
A．向心加速度越大，说明做圆周运动的物体线速度的大小变化越快
B．向心加速度越大，说明做圆周运动的物体线速度的方向变化越快
C．向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直
D．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒量
[解析]　向心加速度是描述做圆周运动的物体线速度方向变化快慢的物理量，向心加速度越大，说明做圆周运动的物体线速度的方向变化越快，A错误，B正确；向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直，C正确；在匀速圆周运动中向心加速度方向不断变化，不是恒量，D错误。
[答案]　BC
知识点二　向心加速度的大小
如图所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不一样，A、B、C是它们边缘上的三个点，请思考：
(1)A和B两个点的向心加速度与半径有什么关系？
(2)B和C两个点的向心加速度与半径有什么关系？
[提示]　(1)A、B两个点的线速度大小相同，向心加速度与半径成反比。
(2)B、C两个点的角速度相同，向心加速度与半径成正比。
1．向心加速度的大小
根据牛顿第二定律F＝ma和向心力表达式F＝m可得，向心加速度的大小a＝或a＝ω2r。
2．对向心加速度表达式的理解
(1)向心加速度的几种表达式
(2)向心加速度的大小与半径的关系
①当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比。随频率的增大或周期的减小而增大。
②当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比。
③当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比。
④a与r的关系图像：如图所示，由a－r图像可以看出，a与r成正比还是反比，要看是ω恒定还是v恒定。
模型1　皮带传动模型
　如图是一皮带传动装置的示意图。右轮半径为r，A是它边缘上的一点。左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r。B点在小轮上，到小轮中心的距离为r。C点和D点分别位于小轮和大轮的边缘上。如果传动过程中皮带不打滑，那么下列选项正确的是 (　　)
A．A、B、C、D点的角速度之比为2∶1∶2∶1
B．A、B、C、D点的线速度之比为2∶1∶2∶4
C．A、B、C、D点的向心加速度之比为2∶1∶2∶4
D．A点和C点的线速度相同
[解析]　A、C点的线速度大小相等，故＝＝；又因为B、C、D点的角速度相等，则A、B、C、D点的角速度之比为2∶1∶1∶1，故A错误。B、C、D点的角速度相等，由v＝ωR得B、C、D点的线速度之比等于半径之比，B、C、D点的线速度之比为1∶2∶4；则A、B、C、D点的线速度之比为2∶1∶2∶4，故B正确。由a＝ω2R得，B、C、D点的向心加速度之比等于半径之比，B、C、D点的向心加速度之比为1∶2∶4；由a＝得，A、C点的向心加速度之比为半径的反比，故＝，得A、B、C、D点的向心加速度之比为4∶1∶2∶4，故C错误。A点和C点的线速度大小相等，方向不同，故D错误。
[答案]　B
　一部机器与电动机通过皮带连接，机器皮带轮的半径是电动机皮带轮半径的3倍，皮带与两轮之间不发生滑动。已知机器皮带轮边缘上一点的向心加速度大小为0.10 m/s2。
(1)电动机皮带轮与机器皮带轮的转速之比n1∶n2是多少？
(2)机器皮带轮上A点到转轴的距离为轮半径的一半，A点的向心加速度大小是多少？
(3)电动机皮带轮边缘上某点的向心加速度大小是多少？
[解析]　(1)由于皮带与两轮之间不发生滑动，所以两轮边缘上各点的线速度大小相等。设电动机皮带轮与机器皮带轮边缘上质点的线速度大小分别为v1、v2，角速度大小分别为ω1、ω2，边缘上质点运动的半径分别为r1、r2，则v1＝v2，v1＝ω1r1，v2＝ω2r2，又ω＝2πn，所以n1∶n2＝ω1∶ω2＝r2∶r1＝3∶1。
(2)A点的向心加速度aA＝ω×＝0.10× m/s2＝0.05 m/s2。
(3)电动机皮带轮边缘上质点的向心加速度a＝ eq \f(v,r1)＝ eq \f(v,r2)×＝0.1×3 m/s2＝0.3 m/s2。
[答案]　(1)3∶1　(2)0.05 m/s2　(3)0.3 m/s2
模型2　齿轮传动模型
　某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮，如图所示，其半径分别为r1、r2、r3，若甲轮匀速转动的角速度大小为ω，三个轮相互不打滑，则丙轮边缘上各点的向心加速度大小为 (　　)
A． eq \f(rω2,r1) B． eq \f(rω2,r3)
C． D． eq \f(rω2,r2)
[解析]　三轮相互不打滑，则三轮边缘上各点线速度大小相同，设为v，由甲轮可知v＝ωr1，则丙轮边缘上各点的向心加速度大小a＝＝ eq \f(rω2,r3)。
[答案]　B
模型3　同轴转动模型
　如图所示，撑开的雨伞上A、B两点到伞轴的距离分别为rA、rB，且rB＝2rA。当转动雨伞使A、B两点绕伞轴做匀速圆周运动时，A、B两点的 (　　)
A．周期之比为2∶1
B．角速度之比为2∶1
C．线速度之比为1∶1
D．向心加速度之比为1∶2
[解析]　由于伞为同一个轴，属于同轴转动，则A、B两点以相同的角速度绕伞轴做圆周运动，根据T＝可知，A、B两点周期相等，故A、B错误；根据v＝ωr可知vA∶vB＝rA∶rB＝1∶2，故C错误；根据a＝ω2r可知aA∶aB＝rA∶rB＝1∶2，故D正确。
[答案]　D
　(2025·广东珠海市期末)如图所示的是一种古老的舂米机。舂米时，稻谷放在石臼A中，横梁可以绕O转动，在横梁前端B处固定一舂米锤，脚踏在横梁另一端C点往下压时，舂米锤便向上抬起，然后提起脚，舂米锤就向下运动，击打A中的稻谷，使稻谷的壳脱落。已知OB>OC，则在横梁绕O转动过程中 (　　)
A.B、C的向心加速度满足aB>aC
B．B、C的角速度关系满足ωB<ωC
C．B、C的角速度关系满足ωB>ωC
D．B、C的线速度关系满足vB[解析]　B、C同轴转动，角速度关系满足ωB＝ωC，故B、C错误；根据a＝ω2r，由于OB>OC，则B、C的向心加速度满足aB>aC，故A正确；根据v＝ωr，由于OB>OC，则B、C的线速度关系满足vB>vC，故D错误。
[答案]　A
1．(向心加速度的理解)下列关于向心加速度的说法错误的是 (　　)
A．向心加速度的方向始终与速度方向垂直
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
解析：选C。向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向则沿圆周的切线方向，向心加速度的方向始终与速度方向垂直，A正确；向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，B正确；物体做匀速圆周运动时，只有向心加速度，加速度方向始终指向圆心，物体做变速圆周运动时，加速度的方向并不始终指向圆心，C错误，D正确。
2．(向心加速度的大小)甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为4∶9，转动的周期之比为3∶2，则它们的向心加速度之比为 (　　)
A．3∶2 B．16∶81
C．4∶9 D．9∶4
解析：选B。根据向心加速度公式a＝，代入数据可得 ＝，故B正确，A、C、D错误。
3．(向心加速度的大小)(多选)一个小孩坐在游乐场的旋转木马上，绕中心轴在水平面内做匀速圆周运动，圆周的半径为4.0 m，线速度为2.0 m/s，则小孩做圆周运动的 (　　)
A.角速度ω＝0.5 rad/s
B．周期T＝8π s
C．转速n＝ r/s
D．向心加速度a＝2 m/s2
解析：选AC。圆周的半径r＝4.0 m，线速度v＝2.0 m/s，则圆周运动的角速度ω＝＝0.5 rad/s，故A正确；圆周运动的周期T＝＝4π s，故B错误；转速n＝＝ r/s，故C正确；向心加速度a＝＝1 m/s2，故D错误。
4．(向心加速度的大小)(2025·江苏镇江市期末)如图所示，A、B两点分别位于大、小轮的边缘，C点位于A大轮半径的中点，大轮的半径是小轮的2倍，它们之间靠摩擦传动，接触面上没有滑动，则B、C两点的向心加速度大小之比为 (　　)
A．2∶1 B．4∶1
C．1∶2 D．1∶4
解析：选B。若B点的角速度为ω，则根据v＝ωr可知，A点的角速度为ω，A、C的角速度相等，可知C点的角速度为ω；根据a＝ω2r可知B、C两点的向心加速度大小之比为4∶1。题组1　圆周运动的物理量及相互关系
1．一个小孩坐在游乐场的旋转木马上，绕中心轴在水平面内做匀速圆周运动。圆周的半径为4.0 m，当他的线速度为2.0 m/s时，他的角速度ω为 (　　)
A．0.5 rad/s　　　　 B．1 rad/s
C．2 rad/s D．8 rad/s
解析：选A。根据题意可知，小孩绕中心轴在水平面内做匀速圆周运动，由公式v＝ωr可得，他的角速度ω＝＝ rad/s＝0.5 rad/s。
2．如图所示，汽车雨刮器在转动时，杆上A、B两点绕O点转动的角速度大小为ωA、ωB，线速度大小为vA、vB，则 (　　)
A．ωA<ωB，vA＝vB B．ωA>ωB，vA＝vB
C．ωA＝ωB，vAvB
解析：选D。杆上A、B两点绕O点转动，则两点的角速度相等，即ωA＝ωB，根据v＝ωr，rA>rB，可知vA>vB。
3．某高速公路收费站的ETC的直杆道闸的示意图如图所示，杆OP的长度为L，当小车靠近道闸时，杆OP绕O点转动放行，在杆OP从与水平方向成30°匀速转动到60°的过程中，P端的线速度大小为v，则该转动过程所用的时间为 (　　)
A．　 B．
C．　 D．
解析：选D。P点做匀速圆周运动，转动所用时间为t＝×＝。
4．一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，则下列说法不正确的是 (　　)
A．角速度为0.5 rad/s
B．转速为0.5 r/s
C．运动轨迹的半径为 m
D．频率为0.5 Hz
解析：选A。由题意知v＝4 m/s，T＝2 s，根据角速度与周期的关系可知ω＝＝π rad/s，A错误；由T＝得，转速n＝＝ r/s＝0.5 r/s，B正确；由v＝ωr得，r＝＝ m，C正确；由频率与周期的关系得f＝＝0.5 Hz，D正确。
5．如图所示，摩天轮高128 m，匀速运行一周需用时45 min。其匀速转动的角速度大小为 (　　)
A. rad/s B． rad/s
C． rad/s D． rad/s
解析：选B。摩天轮匀速转动的角速度大小ω＝＝ rad/s。
题组2　常见传动装置及特点
6．如图所示的是一皮带传动装置，右轮的半径为r，左轮的半径为2r，a、b分别是两轮边缘上的点，c是左轮轮盘上的一点，它到左轮中心的距离为r。若在传动过程中，皮带不打滑，则 (　　)
A．a点与b点的周期相等
B．a点与b点的角速度大小相等
C．a点与c点的线速度大小相等
D．b点与c点的周期相等
解析：选D。a、b分别是两轮边缘上的点，靠传送带传动，两点的线速度相等，根据ω＝可知，由于a、b的半径不相等，所以a点与b点的角速度大小不相等，又T＝，所以a点与b点的周期也不相等，故A、B错误；a、b的线速度相等，b、c属于同轴转动，角速度相等，根据v＝ωR可知b、c的线速度不相等，所以a点与c点的线速度大小不相等，故C错误；b、c属于同轴转动，周期相等，故D正确。
7．如图所示，两小球固定在一根长为L的杆两端，绕杆上的O点做圆周运动。当小球A的速度为vA时，小球B的速度为vB，则O点到小球A的距离为 (　　)
A． B．
C． D．
解析：选A。两小球A、B同轴转动，角速度大小相等，则有ω＝＝，又rA＋rB＝L，联立可得rA＝。
题组3　匀速圆周运动及周期性
8．关于物体做匀速圆周运动的速度，下列说法正确的是 (　　)
A．速度的大小和方向都改变
B．速度的大小和方向都不变
C．速度的大小不变，方向改变
D．速度的大小改变，方向不变
解析：选C。物体做匀速圆周运动的速度大小不变，但方向始终沿圆周的切线方向，即方向时刻在变化，故C正确，A、B、D错误。
9．火车以20 m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10 s内匀速转过了约10°。在此10 s时间内，下列对火车的说法正确的是 (　　)
A．运动路程为300 m B．加速度为零
C．角速度约为1 rad/s D．周期约为360 s
解析：选D。火车以20 m/s的速率转弯，可看成做匀速圆周运动，则在10 s内的路程为s＝vt＝200 m，A错误；火车做曲线运动，速度在不断变化，因此加速度一定不为零，B错误；指南针在10 s内匀速转过了约10°，又10°＝×2π rad＝ rad，根据角速度的定义可得角速度约为ω＝ rad/s＝ rad/s，C错误；根据角速度与周期的关系可得周期约为T＝＝ s＝360 s，D正确。
10．明代出版的《天工开物》一书中记载：“其湖池不流水，或以牛力转盘，或聚数人踏转。”并附有牛力齿轮翻车的图画如图所示，翻车通过齿轮传动，将湖水翻入农田。已知A、B齿轮啮合且齿轮之间不打滑，B、C齿轮同轴，若A、B、C三齿轮半径的大小关系为rA>rB>rC，则 (　　)
A．齿轮A的角速度比齿轮C的角速度大
B．齿轮A、B的角速度大小相等
C．齿轮B、C边缘的线速度大小相等
D．齿轮A边缘的线速度比齿轮C边缘的线速度大
解析：选D。根据题意可知，A、B齿轮啮合且齿轮之间不打滑，则齿轮A、B边缘的线速度大小相等，由v＝ωr可知，由于rA>rB则有ωA<ωB，由于B、C齿轮同轴，齿轮B、C的角速度大小相等，则有ωA<ωB＝ωC，故A、B错误；由于B、C齿轮同轴，齿轮B、C的角速度大小相等，由v＝ωr可知，由于rB>rC，则有vB>vC，可得vA＝vB>vC，故C错误，D正确。
11．变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度。某一变速自行车齿轮转动结构示意图如图所示，图中A轮有48齿，B轮有42齿，C轮有18齿，D轮有12齿，则 (　　)
A.该车可变换两种不同挡位
B．该车可变换五种不同挡位
C．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝1∶4
D．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝4∶1
解析：选C。A轮通过链条分别与C、D轮连接，自行车可有两种不同的挡位，B轮分别与C、D轮连接，又可有两种不同的挡位，所以该车可变换四种不同挡位，故A、B错误；皮带类传动边缘点线速度相等，又因齿轮的齿数与齿轮的半径大小成正比，故前齿轮的齿数与转动角速度的乘积等于后齿轮齿数与转动角速度的乘积，当A轮与D轮组合时，两轮边缘线速度大小相等，则有NA·ωA＝ND·ωD，解得ωA∶ωD＝ND∶NA＝12∶48＝1∶4，故C正确，D错误。
12．(12分)已知飞镖到圆盘的距离为L，且对准圆盘边缘上的A点水平抛出，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘以垂直于盘面且过盘心O点的水平轴匀速转动。若飞镖恰好击中A点，空气阻力忽略不计，重力加速度为g，求：
(1)飞镖打中A点所需的时间；(4分)
(2)圆盘的半径r；(4分)
(3)圆盘转动角速度的可能值。(4分)
解析：(1)飞镖水平抛出，在水平方向做匀速直线运动，
因此t＝。
(2)飞镖击中A点时，A恰好在最下方：
2r＝gt2，r＝ eq \f(gL2,4v)。
(3)飞镖击中A点，则A点转过的角度满足：
θ＝ωt＝2π(k＝0，1，2，…)
故ω＝(k＝0，1，2，…)。
答案：(1)　(2) eq \f(gL2,4v)　(3)(k＝0，1，2，…)题组1　向心力
1．(多选)下列关于向心力的说法正确的是 (　　)
A．物体由于做圆周运动而产生了一个向心力
B．向心力不改变圆周运动中物体线速度的大小
C．做匀速圆周运动的物体的向心力即其所受的合外力
D.做圆周运动的物体所受各力的合力一定充当向心力
解析：选BC。物体做圆周运动就需要有向心力，向心力是由外界提供的，不是物体本身产生的，故A错误；向心力总是与速度方向垂直，不做功、不能改变速度的大小，但改变速度的方向，故B正确；做匀速圆周运动的物体的向心力是以效果命名的，是由物体所受合外力提供的，故C正确；在非匀速圆周运动中，其向心力是由合外力指向圆心的分力提供的，故D错误。
2．(2023·全国甲卷，T17)一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期与轨道半径成反比，则n等于 (　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C。质点做匀速圆周运动，根据题意设周期T＝，合外力提供向心力，有F合＝F＝mr，联立可得F＝r3，其中为常数，r的指数为3，故题中n＝3。
3．(多选) 一名运动员骑自行车沿如图所示的水平轨道运动，其中abc为一段圆弧轨道，自行车上的码表示数一直为72 km/h，运动员及自行车可视为质点，则 (　　)
A．自行车的速度一直保持不变
B．自行车沿圆弧轨道abc运动到b点时，速度沿圆弧在该点的切线方向
C．整个过程中，自行车与轨道间的摩擦力方向始终与运动方向相反
D．自行车在圆弧轨道abc上运动时的合力方向不可能沿圆弧的切线方向
解析：选BD。沿圆弧轨道abc运动时，速度大小不变，但方向一直沿切线方向在改变，故速度在变，故A错误；曲线运动某点的速度方向沿该点的切线方向，故自行车沿圆弧轨道abc运动到b点时，速度沿圆弧在该点的切线方向，故B正确；自行车沿圆弧轨道abc运动时，摩擦力提供向心力，指向圆心，故C错误；自行车在圆弧轨道abc上运动时的合力方向指向圆弧的圆心，故D正确。
4．如图所示的是一种新型高速列车，当它转弯时，车厢会自动倾斜，提供转弯需要的向心力；假设这种新型列车以360 km/h的速度在水平面内转弯，弯道半径为1.5 km，则质量为75 kg的乘客在列车转弯过程中所受到的合外力为 (　　)
A．0　　　　　　　　 B．1 000 N
C．500 N D．500 N
解析：选D。列车拐弯时做圆周运动，乘客所受的合力F合＝m，又360 km/h＝100 m/s，1.5 km＝1 500 m，得F合＝75× N＝500 N。
5．如图，两个相同的小球在内表面光滑的漏斗形容器内做水平的圆周运动，甲的位置高于乙的位置。关于它们受到的向心力大小和周期大小，下列关系正确的是 (　　)
A.F甲＝F乙　T甲＝T乙
B．F甲＝F乙　T甲＞T乙
C．F甲＞F乙　T甲＝T乙
D．F甲＜F乙　T甲＞T乙
解析：选B。如图所示，分析小球的受力可知，弹力和重力合力提供向心力，满足mg tan θ＝mr，两小球质量相同，故向心力相同，由于甲小球做圆周运动的轨道半径大于乙小球的轨道半径，故甲的周期大于乙的周期，故B符合题意。
6．(8分)做匀速圆周运动的物体，质量为1 kg，10 s内沿半径为20 m的圆周运动100 m，物体做匀速圆周运动时，求：
(1)线速度的大小；(4分)
(2)向心力的大小。(4分)
解析：(1)线速度大小v＝＝ m/s＝10 m/s。
(2)向心力的大小F＝＝ N＝5 N。
答案：(1)10 m/s　(2)5 N
题组2　变速圆周运动和一般曲线运动
7．(多选)如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需向心力是 (　　)
A.绳的拉力
B．重力和绳拉力的合力
C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力
D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
解析：选CD。分析向心力来源时就沿着半径方向求合力即可，注意作出正确的受力分析图。如图所示，对小球进行受力分析，它受到重力和绳子的拉力作用，向心力是指向圆心方向的合力。因此，它可以是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以是各力沿绳方向的分力的合力。
8．如图所示，将完全相同的两小球A、B用长L＝0.8 m的细绳悬于以v＝4 m/s 向右匀速运动的小车顶部，两球分别与小车前后壁接触，由于某种原因，小车突然停止，此时两悬线的拉力之比FB∶FA为(g取 10 m/s2) (　　)
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
解析：选C。FB＝mg，FA＝mg＋m＝3mg，所以FB∶FA＝1∶3。
9．(2024·广东卷，T5)如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动。若v过大，插销会卡进固定的端盖，使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止，v的最大值为 (　　)
A．r B．l
C．r D．l
解析：选A。由题意可知当插销刚卡进固定端盖时弹簧的伸长量Δx＝，根据胡克定律有F＝kΔx＝，插销与卷轴同轴转动，角速度相同，对插销，由弹力提供向心力有F＝mlω2，对卷轴有v＝rω，联立解得v＝r。
10．一种玩具的结构如图所示，竖直放置的光滑圆环的半径R＝ m，环上有一穿孔的小球m，小球只能沿环做无摩擦的滑动。如果圆环绕着通过环心的竖直轴O1O2以ω＝ rad/s的角速度旋转，则小球相对于环静止时和环心O的连线与O1O2的夹角θ为(g取10 m/s2) (　　)
A．30° B．45°
C．60° D．75°
解析：选A。小球受到重力mg和圆环的支持力FN两个力的作用，两个力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有mgtan θ＝mω2Rsin θ，可得cos θ＝＝，故θ＝30°。
11．质量不计的轻质弹性杆P插在桌面上，杆端套有一个质量为m的小球，今使小球沿水平方向做半径为R的匀速圆周运动，角速度为ω，如图所示，则杆的上端受到的作用力大小为 (　　)
A．m ω2R
B．
C．
D．不能确定
解析：选C。小球在重力和杆的作用力下做匀速圆周运动，这两个力的合力充当向心力必指向圆心，如图所示。用力的合成法可得杆的作用力F＝ eq \r((mg)2＋F)＝，根据牛顿第三定律可知，小球对杆的上端的反作用力F′＝F，C正确。
12．(12分)如图所示，小球通过细线绕圆心O在光滑水平面上做匀速圆周运动。已知小球质量m＝0.40 kg，线速度大小v＝1.0 m/s，细线长L＝0.25 m。
(1)求小球的角速度大小ω。(4分)
(2)求细线对小球的拉力大小F。(4分)
(3)若细线最大能承受6.4 N的拉力，求小球运行的最大线速度。(4分)
解析：(1)小球的角速度大小
ω＝＝ rad/s＝4.0 rad/s。
(2)细线对小球的拉力提供向心力，根据牛顿第二定律得F＝m＝0.40× N＝1.6 N。
(3)细线对小球的拉力提供向心力，根据牛顿第二定律得F m＝m，
解得v m＝ ＝2.0 m/s。
答案：(1)4.0 rad/s　 (2)1.6 N　(3)2.0 m/s1.(2025·天津滨海新区期中)一倒立的圆锥筒，筒侧壁倾斜角度α不变。 一小球在筒的内壁做匀速圆周运动，球与筒内壁的摩擦可忽略，小球距离地面的高度为H，则下列说法正确的是 (　　)
A.H越高，小球做圆周运动的向心力越大
B．H越高，小球做圆周运动的线速度越小
C．H越高，小球做圆周运动的角速度越小
D．H越高，小球对侧壁的压力越小
解析：选C。小球做匀速圆周运动，由重力mg和支持力FN的合力提供圆周运动的向心力，作出受力分析图如图所示，则向心力F＝mg tan α，由于m、α不变，向心力大小不变，故A错误；根据牛顿第二定律得F＝m，H越高，r越大，F不变，则v越大，故B错误；由mg tan α＝mrω2得ω＝，则知H越高，r越大，ω越小，故C正确；侧壁对小球的支持力FN＝不变，则小球对侧壁的压力不变，故D错误。
2．如图所示，一半径为R的光滑圆环处于竖直平面内，A是与圆心等高点，圆环上套着一个可视为质点的、质量为m的小球。现使圆环绕其竖直直径转动，小球和圆环圆心O的连线与竖直方向的夹角记为θ，转速不同，小球静止在圆环上的位置可能不同。当圆环以角速度ω匀速转动且小球与圆环相对静止时 (　　)
A.ω＝　　　　 B．ω＝
C．ω＝ D．ω＝
解析：选B。对小球受力分析，受到重力和弹力作用，由力的合成法则和牛顿第二定律可知mg tan θ＝mω2R sin θ，可得ω＝。
3．(2023·北京卷，T10)在太空实验室中可以利用匀速圆周运动测量小球质量。如图所示，不可伸长的轻绳一端固定于O点，另一端系一待测小球，使其绕O做匀速圆周运动，用力传感器测得绳上的拉力为F，用停表测得小球转过n圈所用的时间为t，用刻度尺测得O点到球心的距离为圆周运动的半径R。下列说法正确的是 (　　)
A.圆周运动轨道可处于任意平面内
B．小球的质量为
C．若误将n－1圈记作n圈，则所得质量偏大
D．若测R时未计入小球半径，则所得质量偏小
解析：选A。空间站内的物体都处于完全失重状态，可知圆周运动的轨道可处于任意平面内，故A正确；根据F＝mω2R，ω＝，解得小球质量m＝，故B错误；若误将n－1圈记作n圈，则得到的质量偏小，故C错误；若测R时未计入小球的半径，则R偏小，所测质量偏大，故D错误。
4．(2025·河北保定市部分)如图所示，叠放在水平转台上的物体A、B随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B的质量分别为3m、2m，A与B、B与转台间的动摩擦因数都为μ，A和B离转台中心的距离都为r，重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是 (　　)
A．A对B的摩擦力沿水平方向指向圆心O点
B．物块B对物块A的摩擦力一定为3μmg
C．转台对物块B的摩擦力的大小一定为5mω2r
D．转台的角速度一定满足ω≤
解析：选C。对A分析可知，A的重力与B对A的支持力平衡，B对A的摩擦力提供A做圆周运动的向心力，则B对A的摩擦力指向圆心，根据牛顿第三定律可知，A对B的摩擦力方向背离圆心，A错误；根据上述有fBA＝3mω2r，根据牛顿第三定律可知，A对B的摩擦力大小为3mω2r，该摩擦力为静摩擦力，因此物块B对物块A的摩擦力不一定为3μmg，B错误；对AB整体分析有f＝(3m＋2m)ω2r＝5mω2r，C正确；根据题意，结合上述有fBA＝3mω2r≤μ·3mg，f＝5mω2r≤μ·5mg，解得ω≤，D错误。
5．如图所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，它们与圆台之间的动摩擦因数均为μ，A的质量为2m，B、C的质量均为m，A、B离轴心的距离为R，C离轴心的距离为2R，重力加速度为g，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则当圆台旋转时(设A、B、C都没有滑动) (　　)
A．物体A的向心加速度最大
B．物体B受到的静摩擦力最大
C．物体C开始滑动的临界角速度为
D．当圆台转速增大时，B比A先滑动
解析：选C。物体A、B、C的角速度相等，由a＝ω2r，得物体C的向心加速度最大，故A错误；A、B、C都没有滑动，静摩擦力提供向心力，根据Ff＝m物ω2r可知，物体B受到的静摩擦力最小，故B错误；静摩擦力达到最大值时对应开始滑动的临界角速度，对物体C，有μmg＝mω·2R，解得ωC＝，故C正确；同理可得物体A、B开始滑动的临界角速度分别为ωA＝，ωB＝，当圆台转速增大时，物体A、B同时滑动，故D错误。
6．(8分)如图所示的装置绕竖直轴OO′匀速转动，细线与竖直方向夹角θ＝37°。已知小球质量m＝0.48 kg，细线长L＝0.5 m(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6)。求：
(1)装置转动的角速度大小ω；(4分)
(2)小球离地高度为0.45 m，某瞬间细线断开，则小球飞行的水平位移大小x。(4分)
解析：(1)对小球受力分析，根据牛顿第二定律可知
mg tan θ＝mω2L sin θ
解得ω＝5 rad/s。
(2)细线断开后小球做平抛运动，则落地时运动的时间
t＝＝ s＝0.3 s
水平位移x＝vt，v＝ωL sin θ
解得x＝0.45 m。
答案：(1)5 rad/s　(2)0.45 m
7．(8分)如图所示，在倾角α＝30°的光滑斜面上，有一长L＝0.4 m的细绳，一端固定在O点，另一端拴一质量m＝0.2 kg的小球。使小球在斜面上做圆周运动，g取10 m/s2。
(1)求小球通过最高点A时的最小速度。(4分)
(2)如果细绳能承受的最大拉力为9 N，小球通过最低点B时的最大速度为多大？(4分)
解析：(1)小球通过最高点A的速度最小时，只受重力和支持力，绳子上拉力为零，即mg sin α＝m eq \f(v,L)，则vA＝＝ m/s。
(2)小球通过最低点B的速度最大时，绳子拉力达到最大值，有T－mg sin α＝m eq \f(v,L)，解得vB＝4 m/s。
答案：(1) m/s　(2)4 m/s
8．(10分)如图所示，水平转盘的中心有一个光滑的竖直小圆孔，质量为m的物体A放在转盘上，物体A到圆孔的距离为r，物体A通过轻绳与物体B相连，物体B的质量也为m。若物体A与转盘间的动摩擦因数为μ(μ<1)，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则转盘转动的角速度ω在什么范围内，才能使物体A随转盘转动而不滑动？(重力加速度为g)
解析：当A将要沿转盘背离圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向指向圆心，此时A做圆周运动的向心力等于绳的拉力与静摩擦力的合力，即
F＋Ffmax＝mrω
由于B静止，故有F＝mg
又因为Ffmax＝μFN＝μmg
联立解得ω1＝
当A将要沿转盘向圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向背离圆心，此时A做圆周运动的向心力为
F－Ffmax＝mrω
由于B静止，故有F＝mg
又因为Ffmax＝μFN＝μmg
联立解得ω2＝
故要使A随转盘一起转动而不滑动，角速度ω的范围为
≤ω≤。
答案：见解析(共23张PPT)
课后达标检测
√
1．(2025·湖南长沙市期末)在“探究向心力的大小与质量、角速度和半径之间的关系”的实验中。
(1)在研究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时主要用到的方法是________。
A．理想实验法　
B．等效替代法
C．控制变量法
D．演绎法
解析：在研究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时，由于可变量较多，因此主要用到的方法是控制变量法。
(2)如图所示，A、B都为质量相同的钢球，图中所示是在研究向心力的大小F与________的关系。
A．质量m　　B．角速度ω　　　C．半径r
解析：由题图可知，A、B为质量相同的钢球，两球都分别放在转动半径相同的位置上，因此实验是在研究向心力的大小F与角速度ω的关系。
√
(3)如图所示，若图中标尺上黑白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值为1∶4，由圆周运动知识可以判断与皮带连接的变速轮塔相对应的半径之比为__________。
2∶1
2．(2025·安徽蚌埠市期中)如图所示为向心力演示器，用来探究小球做圆周运动所需向心力F的大小与质量m、角速度ω、轨道半径r之间的关系，当皮带分别套在两边轮塔(从上往下数)第一层、第二层和第三层时，左右两轮塔角速度之比分别为1∶1、1∶2、1∶3，小球在A、B、C处绕转轴转动时的半径比为1∶2∶1。
(1)当探究向心力大小与半径的关系时，应将皮带置于________(选填“第一层”“第二层”或“第三层”)，将两个相同的小球分别置于________和________处(后两空用图中A、B、C表示)。
解析：根据控制变量法，当探究向心力大小与半径的关系时，应控制角速度不变，故将皮带置于第一层；转动半径不同，故将两个相同的小球分别置于B和C处。
第一层
B
C
(2)当探究向心力大小与角速度的关系时，应将两个相同的小球分别置于________和________处(用图中A、B、C表示)。若将皮带置于第二层，则左右套筒露出的格数之比应为________。
A
C
1∶4
3．用如图所示的实验装置来探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系，转动手柄使变速轮塔匀速转动，槽内的球做匀速圆周运动。横臂的挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺上的红白相间的等分格。请回答相关问题：
(1)左、右筒露出标尺上的红白相间的等分格之比表示的是_____________。
A．A、B两球的向心力之比
B．A、B两球的线速度之比
C．A、B两球的角速度之比
解析：左、右筒露出标尺上的红白相间的等分格之比表示的是A、B两球的向心力之比。
√
√
4．(2025·浙江温州市期中)在“探究向心力大小的表达式”实验中，如图甲所示为向心力演示仪及配套小球，图中1、2、3为放置小球的卡槽，卡槽1和3到各自转轴的距离相等；变速轮塔由左、右两部分构成，两侧各有三个半径不等的圆盘。实验中左、右圆盘可通过皮带连接，转动转子时左、右套筒下降，标尺露出的格子数可显示小球转动过程中向心力的大小。
(1)结合图甲所示，完成下列问题：
①本实验采用的实验方法是__________。
A．等效法　　B．控制变量法　　C．模拟法
解析：本实验探究向心力与质量、半径和角速度之间的关系，先控制其中两个物理量不变，探究向心力与另一个物理量的关系，则采用的实验方法是控制变量法。
√
②在小球质量和转动半径相同的情况下，逐渐加速转动手柄到一定速度后保持匀速转动。此时左、右标尺露出的红白相间等分标记的比值等于两小球的______________(选填“线速度大小”“角速度平方”或“周期平方”)之比；在加速转动手柄过程中，左、右标尺露出红白相间等分标记的比值__________(选填“不变”“变大”或“变小”)。
解析：根据F＝mω2r，在小球质量和转动半径相同的情况下，逐渐加速转动手柄到一定速度后保持匀速转动。此时左、右标尺露出的红白相间等分标记的比值等于两小球的角速度平方之比。在加速转动手柄过程中，小球质量不变，两变速盘的半径之比不变，则两小球的角速度平方之比不变，左、右标尺露出红白相间等分标记的比值不变。
角速度平方
不变
5．某同学用如图所示的装置探究物体做圆周运动的向心力大小与半径、线速度、质量的关系。用一根细线系住钢球，另一端连接在固定于铁架台上端的力传感器上，直径为d的钢球静止于A点，将光电门固定在A的正下方。钢球底部竖直地粘住一片宽度为x的遮光条。
(1)用天平测出钢球质量，用刻度尺测出摆线长度。
(2)将钢球拉至不同位置由静止释放，读出钢球经过A点时力传感器的读数F及光电门的遮光时间t，算出钢球速度的平方值，具体数据见下表：
项目 1 2 3 4 5
F/N 0.124 0.143 0.162 0.181 0.200
v2/(m2·s-2) 2.0 4.0 5.8 8.0 10.1
请在下面的坐标图中，画出F－v2的关系图像。
解析：画出F－v2的关系图像如图所示。
答案：见解析图
(3)由图像可知，钢球所受的重力为________N。
(4)若图线的斜率为k，钢球质量为m，重力加速度为g，则F与v2的关系式为_______________(用所给物理量的符号表示)。
0.104
F＝kv2＋mg
解析：产生误差的主要原因是光电门测出的是遮光条通过时的速度，大于钢球球心通过最低点的速度，即速度测大了。
光电门测出的是遮光条通过时的速度，大于钢球球心通过最低点的速度1．(2025·湖南长沙市期末)在“探究向心力的大小与质量、角速度和半径之间的关系”的实验中。
(1)在研究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时主要用到的方法是________。
A．理想实验法　
B．等效替代法
C．控制变量法
D．演绎法
(2)如图所示，A、B都为质量相同的钢球，图中所示是在研究向心力的大小F与________的关系。
A．质量m　　B．角速度ω　　　C．半径r
(3)如图所示，若图中标尺上黑白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值为1∶4，由圆周运动知识可以判断与皮带连接的变速轮塔相对应的半径之比为__________。
解析：(1)在研究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时，由于可变量较多，因此主要用到的方法是控制变量法。
(2)由题图可知，A、B为质量相同的钢球，两球都分别放在转动半径相同的位置上，因此实验是在研究向心力的大小F与角速度ω的关系。
(3)实验显示出两个小球所受向心力的比为1∶4，由向心力公式可得mωrA∶mωrB＝1∶4，其中rA＝rB，解得ωA∶ωB＝1∶2，由于两轮塔是皮带传动，则两轮边缘的线速度大小相等，则有ωARA∶ωBRB＝1∶1，可得RA∶RB＝2∶1。
答案：(1)C　(2)B　(3)2∶1
2．(2025·安徽蚌埠市期中)如图所示为向心力演示器，用来探究小球做圆周运动所需向心力F的大小与质量m、角速度ω、轨道半径r之间的关系，当皮带分别套在两边轮塔(从上往下数)第一层、第二层和第三层时，左右两轮塔角速度之比分别为1∶1、1∶2、1∶3，小球在A、B、C处绕转轴转动时的半径比为1∶2∶1。
(1)当探究向心力大小与半径的关系时，应将皮带置于________(选填“第一层”“第二层”或“第三层”)，将两个相同的小球分别置于________和________处(后两空用图中A、B、C表示)。
(2)当探究向心力大小与角速度的关系时，应将两个相同的小球分别置于________和________处(用图中A、B、C表示)。若将皮带置于第二层，则左右套筒露出的格数之比应为________。
解析：(1)根据控制变量法，当探究向心力大小与半径的关系时，应控制角速度不变，故将皮带置于第一层；转动半径不同，故将两个相同的小球分别置于B和C处。
(2)当探究向心力大小与角速度的关系时，应控制半径一样，故当探究向心力大小与角速度的关系时，应将两个相同的小球分别置于A和C处；若将皮带置于第二层，则两个相同的小球受到的向心力之比F1∶F2＝ωr∶ωr＝ω∶ω＝1∶4，故左右套筒露出的格数之比应为1∶4。
答案：(1)第一层　B　C　(2)A　C　1∶4
3．用如图所示的实验装置来探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系，转动手柄使变速轮塔匀速转动，槽内的球做匀速圆周运动。横臂的挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺上的红白相间的等分格。请回答相关问题：
(1)左、右筒露出标尺上的红白相间的等分格之比表示的是_____________。
A．A、B两球的向心力之比
B．A、B两球的线速度之比
C．A、B两球的角速度之比
(2)A、B为两个相同的小球，放在图示的位置。转动手柄时，图中筒的标尺上露出的红白相间的等分格的比值为1∶4，则可以判断与皮带连接的左、右变速轮塔对应的半径之比为__________。
A．16∶1　　 B．4∶1
C．2∶1　　 D．∶1
解析：(1)左、右筒露出标尺上的红白相间的等分格之比表示的是A、B两球的向心力之比。
(2)由向心力的表达式F＝mω2r可知，在小球的质量m相同、转动半径r也相同的情况下，与皮带连接的两个变速轮塔的角速度之比＝＝1∶2，两个变速轮塔是通过皮带传动，即两变速轮塔边缘点的线速度大小相等，结合线速度与角速度的关系v＝ωr可知，两变速轮塔的半径之比＝＝2∶1。
答案： (1)A　(2)C
4．(2025·浙江温州市期中)在“探究向心力大小的表达式”实验中，如图甲所示为向心力演示仪及配套小球，图中1、2、3为放置小球的卡槽，卡槽1和3到各自转轴的距离相等；变速轮塔由左、右两部分构成，两侧各有三个半径不等的圆盘。实验中左、右圆盘可通过皮带连接，转动转子时左、右套筒下降，标尺露出的格子数可显示小球转动过程中向心力的大小。
(1)结合图甲所示，完成下列问题：
①本实验采用的实验方法是__________。
A．等效法　　B．控制变量法　　C．模拟法
②在小球质量和转动半径相同的情况下，逐渐加速转动手柄到一定速度后保持匀速转动。此时左、右标尺露出的红白相间等分标记的比值等于两小球的______________(选填“线速度大小”“角速度平方”或“周期平方”)之比；在加速转动手柄过程中，左、右标尺露出红白相间等分标记的比值__________(选填“不变”“变大”或“变小”)。
(2)某小组想进一步探究，采用图乙所示的装置，滑块套在水平杆上，随水平杆一起绕竖直杆做匀速圆周运动，力传感器通过一细绳连接滑块，用来测量向心力F的大小。滑块上固定一遮光片，宽度为d，光电门可以记录遮光片通过的时间Δt，测得旋转半径为r。滑块随杆做匀速圆周运动，每经过光电门一次，通过力传感器和光电门就同时获得一组向心力F和时间Δt的数据，以F为纵坐标，以为横坐标，可在坐标纸中描出数据点作一条如图丙所示直线，图线斜率为k，则滑块的质量为__________(用k、r、d表示)。
解析：(1)①本实验探究向心力与质量、半径和角速度之间的关系，先控制其中两个物理量不变，探究向心力与另一个物理量的关系，则采用的实验方法是控制变量法。
②根据F＝mω2r，在小球质量和转动半径相同的情况下，逐渐加速转动手柄到一定速度后保持匀速转动。此时左、右标尺露出的红白相间等分标记的比值等于两小球的角速度平方之比。在加速转动手柄过程中，小球质量不变，两变速盘的半径之比不变，则两小球的角速度平方之比不变，左、右标尺露出红白相间等分标记的比值不变。
(2)根据题意有F＝m，推得F＝·，故F－图线的斜率k＝，故m＝。
答案：(1)①B　②角速度平方　不变　(2)
5．某同学用如图所示的装置探究物体做圆周运动的向心力大小与半径、线速度、质量的关系。用一根细线系住钢球，另一端连接在固定于铁架台上端的力传感器上，直径为d的钢球静止于A点，将光电门固定在A的正下方。钢球底部竖直地粘住一片宽度为x的遮光条。
(1)用天平测出钢球质量，用刻度尺测出摆线长度。
(2)将钢球拉至不同位置由静止释放，读出钢球经过A点时力传感器的读数F及光电门的遮光时间t，算出钢球速度的平方值，具体数据见下表：
项目 1 2 3 4 5
F/N 0.124 0.143 0.162 0.181 0.200
v2/(m2·s-2) 2.0 4.0 5.8 8.0 10.1
请在下面的坐标图中，画出F－v2的关系图像。
(3)由图像可知，钢球所受的重力为________N。
(4)若图线的斜率为k，钢球质量为m，重力加速度为g，则F与v2的关系式为___________(用所给物理量的符号表示)。
(5)某同学通过进一步学习知道了向心力的公式，发现实验中使用公式m求得钢球经过A点的向心力比测量得到的向心力大，你认为产生误差的主要原因是______________________。
解析：(2)画出F－v2的关系图像如图所示。
(3)根据F－mg＝m，整理有F＝mg＋v2
由上述式子，结合图像可知，图线的纵截距为钢球所受的重力，即mg＝0.104 N。
(4)由之前的分析可知图像的解析式为F＝mg＋v2，若图线的斜率为k，钢球的质量为m，重力加速度为g，则F与v2的关系式可改写为F＝kv2＋mg。
(5)产生误差的主要原因是光电门测出的是遮光条通过时的速度，大于钢球球心通过最低点的速度，即速度测大了。
答案：(2)见解析图　(3)0.104　(4)F＝kv2＋mg
(5)光电门测出的是遮光条通过时的速度，大于钢球球心通过最低点的速度(共25张PPT)
课后达标检测
√
由线速度与角速度关系公式可得v＝ωR，可知线速度大小不变，可方向时刻改变，B错误；
座舱做匀速圆周运动，由向心力公式可得，其合力大小F＝mω2R，座舱所受合力提供向心力，即重力与摩天轮对座舱的作用力的合力提供向心力，因此座舱受摩天轮作用力的大小不是mg，C错误，D正确。
√
2．在雪村游客经常玩“泼水成冰”的游戏，把一杯开水沿弧线均匀快速地泼向空中。图甲所示是某游客玩“泼水成冰”游戏的瞬间，其示意图如图乙所示。泼水过程中杯子的运动可看成匀速圆周运动，人的手臂伸直，在0.5 s内带动杯子旋转了180°，人的臂长约为0.7 m。下列说法不正确的是 (　　)
A．杯子在旋转时的线速度大小为1.4π m/s
B．杯子在旋转时的角速度大小为2π rad/s
C．泼水时杯子的旋转方向为逆时针方向
D．P位置飞出的小水珠加速度沿2方向
由题图中的轨迹可知，杯子中的水沿逆时针方向，所以杯子的旋转方向为逆时针，故C正确；
因为水珠在杯中可看成做匀速圆周运动，则在P点小水珠的加速度方向指向圆心，与2方向垂直，故D错误。
√
3．(多选)如图所示，长0.5 m的轻质细杆，一端固定有一个质量为3 kg的小球，另一端由电动机带动，使杆绕O在竖直平面内做匀速圆周运动，小球的速率为2 m/s。g取10 m/s2，下列说法正确的是 (　　)
A．小球通过最高点时，对杆的拉力大小是6 N
B．小球通过最高点时，对杆的压力大小是6 N
C．小球通过最低点时，对杆的拉力大小是24 N
D．小球通过最低点时，对杆的拉力大小是54 N
√
√
√
5．质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过轨道最高点而不脱离轨道的最小速度是v，重力加速度为g，则当小球以3v的速度经过最高点时，对轨道压力的大小是 (　　)
A．0 B．3mg
C．5mg D．8mg
√
√
√
解析：圆形管道内壁能支撑小球，小球能够通过最高点时的最小速度为0，A正确，B错误；
√
8．(2025·广东佛山市期末)如图所示，质量为1.6 kg、半径为0.5 m的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球A和B(均可视为质点)的直径略小于细圆管的内径(内径远小于细圆管半径)。它们的质量分别为mA＝1 kg、mB＝2 kg。某时刻，小球A、B分别位于圆管最低点和最高点，且A的速度大小vA＝3 m/s，此时杆对圆管的弹力为0，则B球的速度大小vB为(g取10 m/s2)(　　)
A．2 m/s B．4 m/s
C．6 m/s D．8 m/s
√
小球做变速圆周运动，在小球运动的过程中，除最高点和最低点合外力提供向心力，其他位置都是合外力的分力提供向心力，C错误；
小球在最高点时加速度向下，则处于失重状态，D错误。
√
解析：由题图乙知，当v2＝0时，对小球有mg＝FN＝10 N，解得小球的质量m＝1 kg，故A错误；
11．(14分)(2025·天津滨海新区期中)如图，一个质量为0.6 kg的小球以某一初速度从P点水平抛出， 恰好从光滑圆弧ABC的A 点的切线方向进入圆弧(不计空气阻力， 进入圆弧时无机械能损失)。已知圆弧的半径 R＝0.3 m，θ＝60°，小球到达A 点时的速度 v＝4 m/s。(g取10 m/s2)求：
(1)小球做平抛运动的初速度大小v0；(4分)
解析：小球恰好从光滑圆弧ABC的A点的切线
方向进入圆弧，则小球到A点的速度与水平方
向的夹角为θ，所以v0＝vx＝v cos θ＝2 m/s。
答案：2 m/s
(2)P点与A点的竖直高度；(4分)
答案：0.6 m
(3)若小球到达圆弧最高点C时的速度vC＝2 m/s，则小球在最高点C时对轨道的压力。(6分)
答案：2 N，方向竖直向上单元过关检测(二)
(时间：75分钟　分值：100分)
一、单项选择题：本题共7小题，每小题4分，共28分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．夏季易发生洪涝灾害，当道路受损严重时，人们多采用航空救援。如图所示是航空救援直升机正在向受灾中心运送救援人员。a、b是螺旋桨上同一叶片上的两点，当叶片转动时 (　　)
A.两点的角速度ωa<ωb
B．两点的线速度vaC．两点的周期TaD．两点的向心加速度aa＝ab
解析：选B。a、b是螺旋桨上同一叶片上的两点，所以a、b两点的角速度相等，周期相等；根据v＝ωr，a＝ω2r，由于ra2．如图所示，一个内壁光滑圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，小球A紧贴内壁在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，下列说法正确的是 (　　)
A．小球受到重力、弹力和向心力
B．小球受到的弹力大于小球所受的重力
C．小球受到的合力等于零
D．小球受到的弹力小于小球的向心力
解析：选B。小球受重力、弹力两力的作用，向心力是根据效果命名的，不能说物体受到向心力，受力分析如图所示，两力的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力，由图可知，小球受到的弹力大于小球所受的重力，小球受到的弹力大于小球做圆周运动的向心力。
3．图甲为一辆汽车在水平路面上做匀速圆周运动，图乙为一架飞机在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是 (　　)
A．图甲中的汽车受到的力有重力、路面的支持力和向心力
B．若图甲中的汽车速度超过一定限度，则汽车会向弯道内侧侧滑
C．图乙中飞机运动所需的向心力由重力和空气对它的作用力的合力提供
D．图乙中飞机的速度大小不变，因此飞机受到的合力为0
解析：选C。向心力是效果力，并不是物体受到的力，故A错误；若题图甲中的汽车速度超过一定限度，摩擦力不足以提供向心力，会做离心运动，向弯道的外侧侧滑，故B错误；题图乙中飞机在水平面内做匀速圆周运动，合外力恰好提供向心力且不为零，运动所需的向心力由重力和空气对它的作用力的合力提供，故C正确，D错误。
4．如图所示，细绳穿过竖直的管子拴住一个小球，让小球在A高度处做水平面内的匀速圆周运动，现用力将细绳缓慢下拉，使小球在B高度处做水平面内的匀速圆周运动，不计一切摩擦，则 (　　)
A．线速度vA>vB　　
B．角速度ωA>ωB
C．向心加速度aAD．向心力FA>FB
解析：选C。设绳子与竖直方向的夹角为θ，对小球受力分析有Fn＝mg tan θ＝ma，由题图可看出小球从A高度到B高度θ增大，则有aA5．如图所示，已知两个小物块A、B的质量分别为2m和m，随圆盘一起在水平面内做匀速圆周运动，它们轨道半径之比rA∶rB＝1∶2，小物块A、B与圆盘之间的动摩擦因数相同，则下列说法错误的是 (　　)
A.小物块A所受摩擦力的方向与轨迹圆相切
B．小物块A、B所受向心力大小相等
C．小物块A、B的向心加速度大小之比为1∶2　
D．若逐渐增大圆盘角速度，小物块B首先相对于圆盘滑动
解析：选A。物块做匀速圆周运动，靠静摩擦力提供向心力，可知物块A所受的摩擦力方向指向圆心，A错误，符合题意；A、B的角速度相等，根据Fn＝mω2r知，A、B的质量之比为2∶1，半径之比为1∶2，则向心力大小相等，B正确，不符合题意；根据an＝ω2r知，半径之比为1∶2，角速度相等，则向心加速度之比为1∶2，C正确，不符合题意；根据μmg＝mω2r，得发生相对滑动的临界角速度ω＝，因为B的半径大，则发生相对滑动的临界角速度小，增大圆盘的角速度，小物块B首先发生相对滑动，D正确，不符合题意。
6．如图所示，整个装置可绕中心轴转动，两质量不同的小球穿在光滑的杆上，并用轻绳相连，稳定时角速度为ω，两球转动半径R1∶R2＝1∶2，下列说法正确的是 (　　)
A．P、Q两球的线速度之比为2∶1
B．P、Q两球的质量之比为1∶2
C．P、Q两球的向心加速度之比为1∶2
D．P、Q两球运动的周期之比为2∶1
解析：选C。两球的角速度相等，由v＝ωr可得P、Q两球的线速度之比vP∶vQ＝R1∶R2＝1∶2，故A错误；轻绳的作用力提供两球做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律得T＝mPω2R1＝mQω2R2可得P、Q两球的质量之比mP∶mQ＝R2∶R1＝2∶1，故B错误；由an＝ω2r可得P、Q两球的向心加速度之比aP∶aQ＝R1∶R2＝1∶2，故C正确；由T＝可得P、Q两球运动的周期之比TP∶TQ＝1∶1，故D错误。
7．如图甲所示，轻杆的一端固定一小球(可视为质点)，另一端套在光滑的水平轴O上，水平轴的正上方有一速度传感器(图中未画出)，可以测量小球通过最高点时的速度大小v，水平轴O处有一力传感器(图中未画出)，可以测量小球通过最高点时水平轴受到的杆的作用力F，若取竖直向下为F的正方向，在最低点时给小球不同的初速度，得到的F－v2(v为小球在最高点时的速度)图像如图乙所示，重力加速度大小g取10 m/s2。下列说法正确的是 (　　)
A．小球的质量为10 kg
B．轻杆的长度为1.8 m
C．若小球通过最高点时的速度大小为3.6 m/s，则轻杆对小球的作用力大小为6.4 N
D．若小球通过最高点时的速度大小为6 m/s，则小球受到的合力为0
解析：选C。设杆的长度为L，水平轴受到的杆的作用力F与杆对小球的作用力大小相等、方向相反，因此对小球受力分析有－F＋mg＝m，整理可得F＝－v2＋mg，对比题图乙可得m＝1 kg，L＝3.6 m，故A、B错误；当v＝3.6 m/s时，解得F＝6.4 N，则杆对小球的作用力大小为6.4 N，故C正确；若小球通过最高点时的速度大小为6 m/s，则小球受到的合力F合＝m＝10 N，故D错误。
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分。
8．修正带是一种常见的学习用具，是通过两个齿轮的相互咬合进行工作的，其原理可简化为如图所示的模型。A、B是转动的两个齿轮边缘的两点，C是大齿轮上的一点，若A、B、C的轨迹半径之比为2∶3∶2，则下列说法正确的是 (　　)
A.A、B的线速度大小之比为2∶3
B．A、B的角速度大小之比为3∶2
C．A、C的周期之比为3∶2
D．A、C的向心加速度大小之比为9∶4
解析：选BD。修正带是通过两个齿轮的相互咬合进行工作的，边缘点的线速度大小相等，即A、B的线速度大小之比为1∶1，故A错误；A、B的线速度相等，根据线速度与角速度的关系有ω＝，则A、B的角速度大小之比为3∶2，故B正确；B、C的周期相等，对A、B根据角速度与周期的公式有T＝，可知A、C的周期之比为2∶3，故C错误；根据向心加速度的公式a＝r，可知A、C的向心加速度大小之比为9∶4，故D正确。
9．有一个杂技节目叫“笼中飞车”，演员骑着摩托车在一个固定封闭的球形大铁笼中高速骑行，若我们把演员与摩托车看成质点P，其质量为m。演员在虚线水平圆周上以角速度ω做匀速圆周运动，O1为铁笼的球心，O2为虚线轨道的圆心，O1P与竖直方向的夹角为θ，且此时刚好无横向摩擦力(横向即垂直于摩托车前进方向)，则下列说法正确的是 (　　)
A.演员与摩托车的向心力指向O1
B．演员与摩托车的向心力指向O2
C．演员与摩托车的向心力大小为mg tan θ
D．摩托车受重力，弹力和向心力的作用
解析：选BC。演员与摩托车的向心力应指向轨迹圆的圆心，即O2，故A错误，B正确；由于此时刚好无横向摩擦力，则可知由重力和铁笼的弹力组成的合力给演员与摩托车提供向心力，受力如图所示，则演员与摩托车的向心力大小F＝mg tan θ，故C正确；摩托车受到自身的重力、演员对摩托车的作用力、铁笼的弹力，合力提供向心力，故D错误。
10．如图所示，两个完全相同的小滑块甲和乙放在水平转盘的同一条半径上，转盘的半径为R，甲到圆心O的距离为，乙到圆心O的距离为，小滑块甲、乙与转盘之间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力且两滑块始终在转盘内。当转盘以角速度ω转动时，下列说法正确的是 (　　)
A．相对转盘滑动前，甲、乙所受摩擦力大小与转盘角速度ω成正比
B．相对转盘滑动前，同一时刻甲、乙所受静摩擦力大小之比为1∶2
C．转盘角速度ω为时，滑块甲即将开始滑动
D．转盘角速度ω为时，甲、乙所受摩擦力大小相等
解析：选BD。滑动前甲、乙所受摩擦力大小与转盘角速度平方ω2成正比，故A错误；同一时刻甲、乙所受静摩擦力分别为f1＝mω2·，f2＝mω2·，故B正确；甲开始滑动时，有μmg＝mω·，解得ω1＝，乙开始滑动时，有μmg＝mω·，解得ω2＝，ω1>，所以此时还没有达到甲开始滑动的临界角速度，故C错误；由于大于甲要滑动的临界角速度，此时甲、乙都开始滑动，所受的摩擦力都等于滑动摩擦力μmg，故D正确。
三、非选择题：本题共5小题，共54分。解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。
11．(10分)某学习小组利用如图所示的装置“探究向心力大小的表达式”实验，所用向心力演示器如图(a)所示，待选小球是质量均为2m的球1、球2和质量为m的球3，标尺1和2可以显示出两球所受向心力的大小。图(b)是演示器部分原理示意图，其中皮带轮①、④的半径相同，轮②的半径是轮①的1.6倍，轮③的半径是轮①的2倍，轮⑤的半径是轮④的0.8，轮⑥的半径是轮④的0.5；两转臂上黑白格的长度相等；A、B、C为三根固定在转臂上的挡板可与转臂上做圆周运动的实验球产生挤压，从而提供向心力。
(1)在探究向心力F的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时我们主要用到了物理学中的________。
A．理想实验法　　　 B．等效替代法
C．控制变量法 D．演绎法
(2)若两个钢球的质量和运动半径相等，图中标尺上黑白相间的等分格显示出A、C位置两钢球所受向心力的比值为1∶4，则轮塔1和轮塔2转动的角速度之比为___________。
(3)利用此装置探究向心力与角速度之间的关系，某同学测出数据后作图，为了能简单明了地观察出向心力与角速度的关系，最适合做的图像是________。
A．F－　　　　　　 B．F－ω
C．F－ D．F－ω2
(4)若将球1、2分别放在挡板B、C位置，将皮带与轮①和轮④相连则是在研究向心力的大小F与________的关系。
A.转动半径r B．质量m
C．角速度ω D．线速度v
(5)若将球1、3分别放在挡板B、C位置，转动手柄时标尺1和标尺2示数的比值为1∶4，则可判断与皮带连接的变速轮塔为________。
A．①和④ B．②和⑤
C．③和⑥ D．③和④
解析：(1)在研究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时主要用到了物理学中的控制变量法。
(2)若两个钢球的质量和运动半径相等，图中标尺上黑白相间的等分格显示出A、C位置两钢球所受向心力的比值为1∶4，即＝ eq \f(ω,ω)＝，则轮塔1和轮塔2转动的角速度之比＝。
(3)根据F＝mω2r可知，为了能简单明了地观察出向心力与角速度的关系，最适合做的图像是F－ω2。
(4)若将球1、2分别放在挡板B、C位置，将皮带与轮①和轮④相连，两个小球的质量相等，角速度相等，是在研究向心力的大小F与转动半径r的关系。
(5)若将球1、3分别放在挡板B、C位置，可知转动半径之比为2∶1，又球1、3质量之比为2∶1，标尺1和标尺2的比值即向心力大小为1∶4，根据F＝mω2r，可知转动的角速度之比为1∶4，故与皮带连接的变速轮塔为③和⑥。
答案：(1)C　(2)1∶2　(3)D　(4)A　(5)C
12．(6分)某物理兴趣小组利用传感器进行探究向心力大小与线速度大小的表达式，实验装置原理如图甲所示。装置中水平直槽能随竖直转轴一起转动，将滑块放在水平直槽上，用细线将滑块与固定的力传感器连接。当滑块随水平直槽一起匀速转动时，细线的拉力提供滑块做圆周运动需要的向心力。拉力的大小可以通过力传感器测得，滑块转动的线速度大小可以通过速度传感器测得。
(1)滑块和速度传感器的总质量为0.2 kg，保持滑块到竖直转轴的距离不变，仅改变竖直转轴转动的快慢，测得多组力传感器的示数F及速度传感器的示数v，根据实验数据得到的F－v2图像如图乙所示，图像没有过坐标原点的原因是______________，滑块到竖直转轴的距离为___________m。
(2)若去掉细线，将滑块置于距离竖直转轴0.8 m处，为保证滑块不相对水平直槽滑动，滑块随水平直槽转动的最大线速度为________ m/s。
解析：(1)若水平直槽不光滑，则滑块转动过程中当角速度较小时只有静摩擦力提供向心力，随着角速度增大摩擦力逐渐增大，当摩擦力达到最大值时，继续增大转速绳子开始出现拉力，则有F＋fmax＝m，得F＝m－fmax，图像不过坐标原点。根据F＝m－fmax，可知图像的斜率k＝，解得滑块到竖直转轴的距离r＝＝ m＝0.6 m。
(2)由图像可知，开始产生绳子拉力时，有fmax＝m eq \f(v,r)，其中fmax＝1 N，若去掉细线，将滑块置于距离竖直转轴0.8 m处，为保证滑块不动，设转轴转动的最大线速度为vm，则有fmax＝m eq \f(v,r1)，
联立可得vm＝2 m/s。
答案：(1)水平直槽不光滑　0.6　(2)2
13．(10分)清代乾隆的《冰嬉赋》用“躄躠”(可理解为低身斜体)二字揭示了滑冰的动作要领。500 m短道速滑世界纪录由我国运动员创造并保持。在创造纪录的比赛中，求：
(1)运动员由静止出发，先沿直道加速滑行，前8 m用时2 s。该过程可视为匀加速直线运动，此过程加速度大小；(2分)
(2)运动员途中某次过弯时的运动可视为半径为10 m的匀速圆周运动，速度大小为14 m/s。已知运动员的质量为73 kg，此次过弯时所需的向心力大小；(4分)
(3)运动员通过侧身来调整身体与水平冰面的夹角，使场地对其作用力指向身体重心而实现平稳过弯，如图所示。运动员在(2)问中过弯时身体与水平面的夹角θ的大小。(不计空气阻力，重力加速度大小取10 m/s2，tan 22°＝0.40、tan 27°＝0.51、tan 32°＝0.62、tan 37°＝0.75)(4分)
解析：(1)设运动员运动过程中的加速度大小为a，根据x＝at2，解得a＝4 m/s2。
(2)根据F向＝m，解得F向＝1 430.8 N。
(3)设场地对运动员的作用力大小为F，受力如图所示
根据牛顿第二定律可得
F向＝
解得tan θ＝≈0.51
可得θ＝27°。
答案：(1)4 m/s2　(2)1 430.8 N　(3)27°
14．(12分)如图所示，光滑的矩形金属框MNQP处于竖直平面内，一根长为L的轻绳一端固定在M点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿过竖直边PQ。已知轻绳与竖直方向的夹角为θ，MN、PQ足够长，重力加速度为g。
(1)若金属框静止不动，求小球对轻绳的拉力大小F。(2分)
(2)若小球和金属框一起在竖直平面内水平向左做匀加速直线运动，PQ边对小球的作用力恰好为零，求金属框的加速度大小a。(6分)
(3)若金属框绕MN边匀速转动，PQ边对小球的作用力恰好为零，求金属框转动的角速度大小ω。(4分)
解析：(1)当金属框和小球静止不动时，设轻绳对小球的拉力大小F1，竖直方向有
F1cos θ＝mg
由牛顿第三定律可得
F＝F1
解得小球对轻绳的拉力大小
F＝。
(2)当小球和金属框一起向左做匀加速运动时，对小球受力分析有mg tan θ＝ma，解得a＝g tan θ。
(3)当小球绕MN边做匀速圆周运动时，有
mg tan θ＝mω2r
由几何关系得r＝L sin θ
解得ω＝ 。
答案：(1)　(2)g tan θ　(3)
15．(16分)“水流星”是中国传统民间杂技艺术，杂技演员用一根绳子兜着装有水的两个碗，迅速地旋转着绳子做各种精彩表演，即使碗底朝上，碗里的水也不会洒出来。假设碗中水的质量均为m，绳子长度为2L，绳子的长度远大于碗的大小，重力加速度为g，不计空气阻力。现杂技演员手拿绳子的中点，让两碗在竖直平面内做圆周运动(如图甲所示)，若碗通过最高点时，正上方碗内的水恰好对碗无压力。
(1)求图甲中两碗线速度的大小。(4分)
(2)求图甲中正下方碗内的水对碗的压力。(6分)
(3)若两只碗绕绳的中点在水平面内做匀速圆周运动(如图乙所示)，已知绳与竖直方向的夹角为θ，求碗和水的角速度大小。(6分)
解析：(1)由题意可知，碗通过最高点时，重力恰好提供向心力，此时两碗线速度大小相同，设线速度为v
对上方碗中的水mg＝m
解得v＝。
(2)设正下方碗对水的支持力大小为FN，水所受的合力提供向心力，对下方碗中的水
FN－mg＝m，解得FN＝2mg
由牛顿第三定律知，正下方碗内的水对碗的压力大小为2mg，方向竖直向下。
(3)设碗的质量为M，绳的拉力为F，竖直方向：
F cos θ＝(M＋m)g
水平方向：F sin θ ＝(M＋m)ω2r
其中r＝L sin θ
联立可得ω＝。
答案：(1)　(2)2mg，方向竖直向下
(3)1．如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动。座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱 (　　)
A.运动周期为
B．线速度始终保持不变
C．受摩天轮作用力的大小始终为mg
D．所受合力的大小始终为mω2R
解析：选D。由角速度与周期的关系可知T＝，A错误；由线速度与角速度关系公式可得v＝ωR，可知线速度大小不变，可方向时刻改变，B错误；座舱做匀速圆周运动，由向心力公式可得，其合力大小F＝mω2R，座舱所受合力提供向心力，即重力与摩天轮对座舱的作用力的合力提供向心力，因此座舱受摩天轮作用力的大小不是mg，C错误，D正确。
2．在雪村游客经常玩“泼水成冰”的游戏，把一杯开水沿弧线均匀快速地泼向空中。图甲所示是某游客玩“泼水成冰”游戏的瞬间，其示意图如图乙所示。泼水过程中杯子的运动可看成匀速圆周运动，人的手臂伸直，在0.5 s内带动杯子旋转了180°，人的臂长约为0.7 m。下列说法不正确的是 (　　)
A．杯子在旋转时的线速度大小为1.4π m/s
B．杯子在旋转时的角速度大小为2π rad/s
C．泼水时杯子的旋转方向为逆时针方向
D．P位置飞出的小水珠加速度沿2方向
解析：选D。由题意可得，杯子圆周运动的周期为1.0 s，半径为0.7 m，杯子的线速度v＝＝1.4π m/s，故A正确；角速度ω＝＝2π rad/s，故B正确；由题图中的轨迹可知，杯子中的水沿逆时针方向，所以杯子的旋转方向为逆时针，故C正确；因为水珠在杯中可看成做匀速圆周运动，则在P点小水珠的加速度方向指向圆心，与2方向垂直，故D错误。
3．(多选)如图所示，长0.5 m的轻质细杆，一端固定有一个质量为3 kg的小球，另一端由电动机带动，使杆绕O在竖直平面内做匀速圆周运动，小球的速率为2 m/s。g取10 m/s2，下列说法正确的是 (　　)
A．小球通过最高点时，对杆的拉力大小是6 N
B．小球通过最高点时，对杆的压力大小是6 N
C．小球通过最低点时，对杆的拉力大小是24 N
D．小球通过最低点时，对杆的拉力大小是54 N
解析：选BD。设在最高点杆表现为拉力，则有F＋mg＝m，得F＝－6 N，则杆表现为支持力，大小为6 N，根据牛顿第三定律可知小球对杆表现为压力，大小为 6 N，A错误，B正确；在最低点，杆表现为拉力，有F－mg＝m，得F＝54 N，根据牛顿第三定律可知小球通过最低点时，对杆的拉力大小是54 N，C错误，D正确。
4．如图所示，在竖直平面内的圆形轨道半径为r，质量为m的小物块以速度v通过轨道的最高点P。已知重力加速度为g，则小物块在P点受到轨道对它的压力大小为 (　　)
A．m　　　　　 　 B．m－mg
C．mg－m D．m＋mg
解析：选B。在P点由牛顿第二定律可知mg＋F＝m，解得F＝m－mg，B正确。
5．质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过轨道最高点而不脱离轨道的最小速度是v，重力加速度为g，则当小球以3v的速度经过最高点时，对轨道压力的大小是 (　　)
A．0 B．3mg
C．5mg D．8mg
解析：选D。当小球经过内轨道最高点时不脱离轨道的最小速度是v，此时小球仅受重力，重力充当向心力，有mg＝m；当小球以速度3v经过内轨道最高点时，小球受重力G和向下的弹力FN，合外力充当向心力，有mg＋FN＝m；又由牛顿第三定律得，小球对轨道的压力与轨道对小球的弹力相等，FN′＝FN；由以上三式得，FN′＝8mg，D正确。
6．(多选)(2025·云南曲靖市期末)如图甲所示，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的速度大小为v，此时绳子的拉力大小为FT，拉力FT与速度的平方v2的关系图像如图乙所示。图像中的数据a和b，包括重力加速度g都为已知量，假设小球质量为m，圆周轨道半径为r，则以下说法正确的是 (　　)
A．a＝2gr
B．b＝mg
C．＝
D．利用数据a、b和g能够求出小球的质量和圆周轨迹半径
解析：选BD。在最高点时由牛顿第二定律可知FT＋mg＝m，解得FT＝v2－mg，当FT＝0时，a＝v2＝gr，当v2＝2a时，b＝FT＝mg，可得＝，小球的质量m＝，圆周轨迹半径r＝。
7．(2025·内蒙古呼和浩特市期中)如图所示，质量为m的小球(可视为质点)，在半径为R的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是　 (　　)
A．小球能够到达最高点时的最小速度为0
B．小球能够通过最高点时的最小速度为
C．如果小球在最低点时的速度大小为5，则小球通过最低点时对管道的外壁的作用力为6mg
D．如果小球在最高点时的速度大小为2，则此时小球对管道的内壁的作用力为3mg
解析：选A。圆形管道内壁能支撑小球，小球能够通过最高点时的最小速度为0，A正确，B错误； 如果小球在最低点时的速度大小为5，根据牛顿第二定律得FN1－mg＝m，解得FN1＝26mg，则小球通过最低点时对管道的外壁的作用力为26mg，C错误；如果小球在最高点时的速度大小为2，根据牛顿第二定律得FN2＋mg＝m eq \f(v,R)，解得FN2＝3mg，则此时小球对管道的外壁的作用力为3mg，D错误。
8．(2025·广东佛山市期末)如图所示，质量为1.6 kg、半径为0.5 m的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球A和B(均可视为质点)的直径略小于细圆管的内径(内径远小于细圆管半径)。它们的质量分别为mA＝1 kg、mB＝2 kg。某时刻，小球A、B分别位于圆管最低点和最高点，且A的速度大小vA＝3 m/s，此时杆对圆管的弹力为0，则B球的速度大小vB为(g取10 m/s2) (　　)
A．2 m/s B．4 m/s
C．6 m/s D．8 m/s
解析：选B。对A分析，根据牛顿第二定律有FA－mAg＝mA eq \f(v,r)，可得，圆管对小球A的弹力FA＝28 N，方向向上，则小球A对圆管的弹力F1＝FA＝28 N，方向向下，对圆管分析，则有F2＝F1＋m管g，解得小球B对圆管的弹力F2＝44 N，方向向上，则圆管对小球B的弹力FB＝F2＝44 N，方向向下，对小球B分析，有FB＋mBg＝mB eq \f(v,r)，解得小球B的速度vB＝4 m/s。
9．(2025·河北邯郸市期末)如图所示，桌面上放置一内壁光滑的固定竖直圆环轨道，质量为M，半径为R。可视为质点的小球在轨道内做圆周运动，其质量为m。小球在轨道最高点的速度大小为v0，重力加速度为g，不计空气阻力，则 (　　)
A．当v0＝时，轨道对小球无支持力
B．当v0＝时，轨道对桌面的压力为(M－m)g
C．小球做圆周运动的过程中，合外力提供向心力
D．小球在最高点时处于超重状态
解析：选B。当v0＝时，对小球受力分析，得mg＋FNm＝m eq \f(v,R)＝2mg，得FNm＝mg，根据牛顿第三定律，小球对圆环的作用力与圆环对小球的作用力大小相等、方向相反，对圆环轨道受力分析，得FNM＋FNm′＝Mg，则FNM＝(M－m)g，同理，由牛顿第三定律可知，轨道对桌面的压力为(M－m)g，A错误，B正确；小球做变速圆周运动，在小球运动的过程中，除最高点和最低点合外力提供向心力，其他位置都是合外力的分力提供向心力， C错误；小球在最高点时加速度向下，则处于失重状态，D错误。
10．(2025·福建宁德市期末)如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为r的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点时的速度大小为v，其FN－v2图像如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2，小球可视为质点，不计一切阻力，则下列说法正确的是 (　　)
A．小球的质量为2 kg
B．小球做圆周运动的半径为2.5 m
C．v2＝2v时，在最高点杆对小球的弹力大小为40 N
D．v2＝v时，小球的向心加速度大小为10 m/s2
解析：选B。由题图乙知，当v2＝0时，对小球有mg＝FN＝10 N，解得小球的质量m＝1 kg，故A错误；当v2＝25 m2·s-2时，FN＝0，根据牛顿第二定律有mg＝m，解得小球做圆周运动的半径r＝2.5 m，故B正确；由题图乙可知，当v2＝v时，FN＝10 N，根据牛顿第二定律有FN＋mg＝m eq \f(v,r)，解得v＝50 m2·s-2，当v2＝2v时，根据牛顿第二定律有FN′＋mg＝m，解得此时杆对小球的弹力大小FN′＝30 N，故C错误；当v2＝v时，小球的向心加速度大小a＝ eq \f(v,r)＝20 m/s2，故D错误。
11．(14分)(2025·天津滨海新区期中)如图，一个质量为0.6 kg的小球以某一初速度从P点水平抛出， 恰好从光滑圆弧ABC的A 点的切线方向进入圆弧(不计空气阻力， 进入圆弧时无机械能损失)。已知圆弧的半径 R＝0.3 m，θ＝60°，小球到达A 点时的速度 v＝4 m/s。(g取10 m/s2)求：
(1)小球做平抛运动的初速度大小v0；(4分)
(2)P点与A点的竖直高度；(4分)
(3)若小球到达圆弧最高点C时的速度vC＝2 m/s，则小球在最高点C时对轨道的压力。(6分)
解析：(1)小球恰好从光滑圆弧ABC的A点的切线方向进入圆弧，则小球到A点的速度与水平方向的夹角为θ，所以
v0＝vx＝v cos θ＝2 m/s。
(2)小球到A点的竖直分速度
vy＝v sin θ＝2 m/s
由平抛运动规律得
v＝2gh
解得P点与A点的竖直高度h＝0.6 m。
(3)C点时，由圆周运动向心力公式得
FNC＋mg＝m eq \f(v,R)
代入数据得FNC＝2 N
根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力大小
FNC′＝FNC＝2 N
方向竖直向上。
答案：(1)2 m/s　(2)0.6 m　(3)2 N，方向竖直向上第3节　圆周运动的实例分析
第4节　圆周运动与人类文明(选学)(略)
1．根据所学知识分析生活中的各种圆周运动现象，了解其向心力来源。　2.通过向心力公式的推导，分析汽车过拱形桥和凹形路面时的受力以及火车转弯问题。3.通过观察洗衣机的脱水筒分析离心运动，掌握物体做离心运动的条件。　4.观察生活中的离心现象，了解其在生活中的应用，并知道离心运动所带来的危害。
一、汽车通过拱形桥
1．向心力来源：汽车在竖直方向上所受重力和桥面的支持力的合力提供向心力。
2．动力学关系
(1)如图甲所示，汽车在拱形桥的最高点时，满足的关系为mg－N＝，N＝mg－，由牛顿第三定律可知，汽车对桥面的压力大小等于桥对汽车的支持力，因此汽车在拱形桥上运动时，对桥的压力小于其所受的重力。当v＝时，其压力为零。
甲
　乙
(2)如图乙所示，汽车经过凹形桥的最低点时，满足的关系为N－mg＝，N＝mg＋，由牛顿第三定律可知，汽车对桥的压力大小等于桥对汽车的支持力，因此汽车过凹形桥时，对桥的压力大于其所受的重力。
二、“旋转秋千”
“旋转秋千”运动可简化为圆锥摆模型，如图所示。
1．向心力来源：小球所受重力和悬线拉力的合力提供向心力。
2．动力学关系
mgtan_α＝mω2r，又r＝lsin_α，则ω＝ ，所以cos α＝，由此式可知，α与角速度ω和绳长l有关，在绳长l一定的情况下，角速度ω越大，α越大。
三、火车转弯
1．火车在弯道上的运动特点
火车车轮内侧突出的轮缘在铁轨上可以起到限定方向的作用，如果让火车在水平路基上转弯，外轨对轮缘的弹力提供火车转弯的向心力，轮缘与外轨间的作用力很大，铁轨与轮缘极易受损，故实际在转弯处，火车的外轨略高于内轨。
2．向心力来源
依据弯道半径和设计的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由重力和支持力的合力来提供。
四、离心运动
1．定义：物体沿圆周运动的切线方向飞出或远离圆心而去的运动。
2．原因：合外力提供的向心力消失或不足。
3．离心机械：利用离心运动的机械。
4．应用：脱水筒、离心机。
判断下列说法是否正确。
(1)火车弯道的半径很大，故火车转弯需要的向心力很小。 (　　)
(2)火车转弯时的向心力一定是由重力与铁轨支持力的合力提供的。 (　　)
(3)汽车驶过拱形桥最高点，对桥的压力可能等于零。 (　　)
(4)汽车过拱形桥或凹形路面时，向心加速度的方向都是竖直向上的。 (　　)
(5)做圆周运动的物体突然失去向心力时沿切线方向远离圆心。 (　　)
提示：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√
知识点一　车辆转弯问题
1．火车转弯时的运动是圆周运动，分析火车的运动回答下列问题：
(1)如果轨道是水平的，火车转弯时受到哪些力的作用？需要的向心力由谁来提供？
(2)靠这种方式使火车转弯有哪些危害？如何改进？
2．摩托车在平直公路转弯和火车转弯，它们的共同点是什么？提供向心力的方式一样吗？
[提示]　1.(1)火车受重力、支持力、牵引力、摩擦力和外轨对火车的弹力作用，弹力提供火车转弯所需的向心力。
(2)对确定的弯道，火车转弯时速度越大，需要的向心力越大，容易造成对外轨的损坏，甚至造成火车脱轨。可以把弯道处建成外高内低的斜面，由重力和支持力的合力提供向心力。
2．摩托车在平直公路转弯和火车转弯都需要向心力。摩托车转弯时其所受摩擦力可以提供向心力，火车质量太大，轮缘与外轨间的相互作用力太大，铁轨和车轮极易受损，需要设置特别的轨道，由所受重力和支持力的合力提供向心力。
1．火车转弯问题
(1)火车在弯道上的运动特点
火车在弯道上运动时实际上是在水平面内做圆周运动，由于其质量巨大，需要很大的向心力。
(2)转弯轨道受力与火车速度的关系
①若火车转弯时，火车所受支持力与重力的合力提供向心力，如图甲所示，有mg tan θ＝m eq \f(v,R)，则v0＝，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面的夹角，v0为转弯处的规定速度。此时，内外轨道对火车均无侧向挤压作用。
②若火车行驶速度v0＞，外轨对轮缘有侧压力。
③若火车行驶速度v0＜，内轨对轮缘有侧压力。
2．汽车转弯问题
(1)水平地面上转弯汽车、摩托车和自行车在水平地面上转弯，其向心力都是由地面的摩擦力提供的，受力分析如图乙所示，这时车所受重力和地面对车的支持力平衡，当Ff达到最大时，即有Ffmax＝μmg＝m eq \f(v,R)，所以车辆转弯的安全速度v≤vmax＝。
(2)外高内低斜面式弯道转弯此种情况与火车垫高外轨的情况类似，车辆转弯时所需向心力由其所受重力mg和支持力FN的合力F合提供，如图丙所示。由F合＝mg tan θ＝ eq \f(mv,R)可得规定速度v0＝。若车速v＞，车轮受到沿斜面向下的摩擦力作用；若车速v＜，车轮受到沿斜面向上的摩擦力作用。
角度1　火车转弯问题
　(多选)在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨，其简意图如图所示。当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为θ，则 (　　)
A．该弯道的半径r＝
B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变
C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
D．当火车速率小于v时，外轨将受到轮缘的挤压
[解析]　由题意知，其所受重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得mgtan θ＝m，解得r＝，v＝，可知火车规定的行驶速度与质量无关，A、B正确；当火车速率大于v时，重力和支持力的合力不够提供向心力，此时外轨对火车有侧压力，轮缘挤压外轨，C错误；当火车速率小于v时，重力和支持力的合力大于所需的向心力，此时内轨对火车有侧压力，轮缘挤压内轨，D错误。
[答案]　AB
角度2　汽车转弯问题
　为了使汽车快速安全通过弯道，高速公路转弯处的路面通常设计成外侧高、内侧低。已知某高速公路转弯处是一圆弧，圆弧半径r＝850 m，路面的倾角θ＝6°(tan 6°＝0.105)，汽车与路面间的动摩擦因数μ＝0.6，则在该弯道处 (　　)
A．汽车受到重力、支持力和向心力
B．汽车所需的向心力等于其所受地面的支持力
C．当汽车速度等于120 km/h时，汽车会受到平行于路面指向弯道内侧的摩擦力
D．若汽车速度小于60 km/h，汽车会向内侧滑动
[解析]　汽车受到重力、支持力和摩擦力，这些力的合力提供向心力，故A错误；汽车所需的向心力等于其所受地面的支持力和摩擦力的合力的水平分力，故B错误；结合上述，对汽车进行分析有mg tan θ＝m，解得v≈30 m/s＝108 km/h，当速度大于108 km/h时，汽车会受到沿路面指向内侧的摩擦力，故C正确；根据题中给出的数据可知mg sin θ<μmg cos θ，所以无论汽车以什么速度过弯道都不会向内侧滑动，故D错误。
[答案]　C
角度3　其他转弯问题
　骑行是一项深受人们热爱的运动，如图是场地自行车比赛的圆形赛道。路面与水平面的夹角为13.5°，圆周的半径为60 m，某运动员骑自行车在该赛道上做匀速圆周运动。已知sin 13.5°＝0.233，tan 13.5°＝0.240，g取10 m/s2，则下列说法正确的是 (　　)
A．该运动员在骑行过程中，所受合外力为零
B．该运动员在骑行过程中，所受合外力沿路面向下
C.若该运动员以12 m/s的速度骑行，则其不受路面给的侧向摩擦力
D．若该运动员以 m/s的速度骑行，则其不受路面给的侧向摩擦力
[解析]　该运动员在骑行过程中在该赛道上做匀速圆周运动，所受的合外力提供向心力，指向圆心，故A、B错误；当其不受路面给的侧向摩擦力时，重力和路面的支持力提供向心力，有mg tan 13.5°＝m，得v＝＝12 m/s，故C正确，D错误。
[答案]　C
知识点二　汽车过桥问题
1．向心力来源：汽车通过拱形桥最高点和凹形路面最低点时，在竖直方向所受重力和支持力的合力提供向心力。
2．若汽车质量为m，桥面圆弧半径为R，汽车在最高点或最低点速率为v，则压力的分析与讨论如下
比较项目 汽车过拱形桥 汽车过凹形路面
受力分析
指向圆心为正方向 G－FN＝mFN＝G－m FN－G＝mFN＝G＋m
牛顿第三定律 F压＝FN＝G－m F压＝FN＝G＋m
讨论 v增大，F压减小；当v增大到 时，F压＝0 v增大，F压增大
　(2025·陕西西安市期中)如图所示，一辆质量为m的汽车先过一段凹形桥，再过一段拱形桥，M、N分别为桥的最低点和最高点，且汽车通过M、N两点时的速度均不为0。汽车在通过两种桥面的过程中均未脱离桥面，下列说法正确的是 (　　)
A．汽车通过M点时处于失重状态
B．汽车通过M点时的加速度可能为0
C．汽车通过N点时，无论速度多大，对桥面始终有压力
D．汽车通过N点时对桥面的压力一定比通过M点时对桥面的压力小
[解析]　汽车通过M点时，根据牛顿第二定律可知FN－mg＝ma＝m，加速度方向竖直向上，故此时汽车处于超重状态，故A错误；由于汽车通过M、N两点时的速度均不为0，故此时汽车加速度大小不为0，故B错误；汽车通过N点时，根据牛顿第二定律可知mg－FN＝m，若mg＝m，即v＝时，此时桥面对汽车的支持力为0，根据牛顿第三定律可知，此时汽车对桥面的压力为0，故C错误；根据牛顿第三定律可知，桥面对汽车的支持力等于汽车对桥面的压力，由上述可知在M点时FM压＝mg＋m，FN压＝mg－m，故汽车通过N点时对桥面的压力一定比通过M点时对桥面的压力小，故D正确。
[答案]　D
　有一辆质量为800 kg的小汽车驶上圆弧半径为50 m的拱桥，不考虑空气阻力，g取10 m/s2。(地球半径约为6 400 km)
(1)汽车到达桥顶时速度为5 m/s，汽车对桥的压力是多大？
(2)汽车以多大速度经过桥顶时恰好腾空，对桥没有压力？
(3)汽车对地面的压力过小是不安全的。从这个角度讲，汽车过桥时的速度不能过大。对于同样的车速，拱桥圆弧的半径大些比较安全，还是小些比较安全？
(4)如果拱桥的半径增大到与地球半径R一样，汽车要在桥面上腾空，速度要多大？
[解析]　(1)如图所示，汽车在桥顶部做圆周运动，重力mg和支持力FN的合力提供向心力，即mg－FN＝m
汽车所受支持力FN＝mg－m＝7.6×103 N，根据牛顿第三定律，汽车对桥顶的压力大小也是7.6×103 N。
(2)根据题意，当汽车对桥顶没有压力，即FN＝0时，对应的速度为v′，则v′＝＝ m/s≈22.4 m/s≈80.6 km/h。
(3)汽车在桥顶部做圆周运动，重力mg和支持力FN的合力提供向心力，即mg－FN＝m
汽车所受支持力FN＝mg－m
对于相同的行驶速度，拱桥圆弧半径越大，桥面所受压力越大，汽车行驶越安全。
(4)根据第(2)问的结论，对应的速度v1＝＝ m/s＝8×103 m/s＝8 km/s。
[答案]　(1)7.6×103 N　(2)80.6 km/h　(3)半径越大越安全　(4)8 km/s
知识点三　离心运动
链球比赛中，高速旋转的链球被放手后会飞出(如图甲所示)；雨天，当你旋转自己的雨伞时，会发现水滴沿着伞的边缘切线飞出(如图乙所示)。
(1)链球飞出后受什么力？
(2)你能说出水滴沿着伞的边缘切线飞出的原因吗？
(3)物体做离心运动的条件是什么？
[提示]　(1)重力和空气阻力。
(2)旋转雨伞时，雨滴也随着运动起来，但伞面上的雨滴受到的力不足以提供其做圆周运动的向心力，雨滴由于惯性要保持其原来的速度方向而沿切线方向飞出。
(3)物体受到的合力不足以提供其做圆周运动所需的向心力。
1．物体做离心运动的原因：提供向心力的合外力突然消失，或者合外力不能提供足够的向心力。
注意：物体做离心运动并不是物体受到离心力作用，而是由于合外力不能提供足够的向心力。所谓“离心力”实际上并不存在。
2．合外力与向心力的关系(如图所示)
(1)若F合＝mrω2或F合＝，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”。
(2)若F合＞mrω2或F合＞，物体做半径变小的近心运动，即“提供过度”，也就是“提供”大于“需要”。
(3)若0＜F合＜mrω2或0＜F合＜，则合外力不足以将物体拉回到原轨道上，而做离心运动，即“需要”大于“提供”或“提供不足”。
(4)若F合＝0，则物体做直线运动。
　(多选)滚筒洗衣机里衣物随着滚筒做高速匀速圆周运动，以达到脱水的效果。滚筒截面如图所示，下列说法正确的是 (　　)
A．衣物运动到最低点B点时处于超重状态
B．衣物和水都做离心运动
C．衣物运动到最高点A点时脱水效果更好
D．衣物运动到最低点B点时脱水效果更好
[解析]　衣物运动到最低点B点时，加速度指向圆心，竖直向上，衣物处于超重状态，故A正确；衣物受到筒的支持力和重力，做圆周运动，水所受合力不
足以提供向心力，做离心运动，故B错误；根据牛顿第二定律可知，在最低点有FN1－mg＝m，在最高点有FN2＋mg＝m，则FN1＞FN2，衣物运动到最低点B点时脱水效果更好，故C错误，D正确。
[答案]　AD
　如图所示，一个杯子放在水平餐桌转盘上随转盘做匀速圆周运动，角速度恒定，则 (　　)
A．杯子受重力、支持力、摩擦力和向心力作用
B．杯子受到的摩擦力方向始终指向转盘中心
C．杯子离转盘中心越近越容易做离心运动
D．若给杯子中加水，则杯子更容易做离心运动
[解析]　杯子受到重力、支持力和摩擦力三个力的作用，向心力不是杯子的实际受力，故A错误；杯子做匀速圆周运动，向心力由摩擦力提供，始终指向转盘中心，故B正确；因杯子做匀速圆周运动，则有Ff＝mω2r，杯子离转盘中心越近，所需摩擦力越小，不会达到最大静摩擦力，越不容易做离心运动，故C错误；根据Ff＝mω2r≤μmg可知，给杯子中加水，杯子并不会更容易做离心运动，故D错误。
[答案]　B
1．(车辆转弯问题)如图所示，一汽车正在道路上转弯，弯道处的路面是倾斜的且与水平面所成夹角为θ。汽车在该弯道处以 10 m/s 的速率转弯时，沿倾斜路面恰好没有上、下滑动的趋势。已知汽车在弯道上做圆周运动的半径为40 m，重力加速度取 10 m/s2，则tan θ的值为 (　　)
A．　　　　　　　　 B．
C． D．
解析：选A。对汽车根据牛顿第二定律得F＝m，同时有tan θ＝，代入数值联立解得tan θ＝。
2．(车辆转弯问题)如图所示，某公路急转弯处是一圆弧，路面外高内低，当轿车行驶的速率为vc时，轿车恰好没有向公路内、外两侧滑动的趋势，则在该弯道处 (　　)
A．有质量更大的卡车经过时，与轿车相比，vc的值变小
B．路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
C.车速高于vc时，车辆就会向外侧滑动
D．车速高于vc，但不超出某一最高限度时，车辆便不会向外侧滑动
解析：选D。由题意知，轿车在该弯道处受力如图所示，根据牛顿第二定律可得mg tan θ＝ eq \f(mv,R)，解得vc＝，可知质量更大的卡车经过时，与轿车相比，vc的值不变；路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值不变，故A、B错误。车速高于vc时，重力和支持力的合力不足以提供向心力，车辆有向外侧滑动的趋势，车辆受到指向内侧的静摩擦力，所以只要速度不超出最高限度，车辆不会向外侧滑动，故C错误，D正确。
3．(离心运动)如图所示，光滑的水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动，若小球到达P点时F突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是 (　　)
A．F突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B．F突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．F突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
D．F突然变小，小球将沿轨迹Pc逐渐靠近圆心
解析：选A。若F突然消失，小球所受合力突变为零，将沿切线方向匀速飞出，A正确；若F突然变小不足以提供所需向心力，小球将做逐渐远离圆心的离心运动，B、D错误；若F突然变大，超过了所需向心力，小球将做逐渐靠近圆心的运动，C错误。(共21张PPT)
课后达标检测
√
题组1　圆周运动的物理量及相互关系
1．一个小孩坐在游乐场的旋转木马上，绕中心轴在水平面内做匀速圆周运动。圆周的半径为4.0 m，当他的线速度为2.0 m/s时，他的角速度ω为(　　)
A．0.5 rad/s　　　　 B．1 rad/s
C．2 rad/s D．8 rad/s
√
2．如图所示，汽车雨刮器在转动时，杆上A、B两点绕O点转动的角速度大小为ωA、ωB，线速度大小为vA、vB，则 (　　)
A．ωA<ωB，vA＝vB B．ωA>ωB，vA＝vB
C．ωA＝ωB，vAvB
解析：杆上A、B两点绕O点转动，则两点的角速度相等，即ωA＝ωB，根据v＝ωr，rA>rB，可知vA>vB。
√
√
√
√
题组2　常见传动装置及特点
6．如图所示的是一皮带传动装置，右轮的半径为r，左轮的半径为2r，a、b分别是两轮边缘上的点，c是左轮轮盘上的一点，它到左轮中心的距离为r。若在传动过程中，皮带不打滑，则 (　　)
A．a点与b点的周期相等
B．a点与b点的角速度大小相等
C．a点与c点的线速度大小相等
D．b点与c点的周期相等
a、b的线速度相等，b、c属于同轴转动，角速度相等，根据v＝ωR可知b、c的线速度不相等，所以a点与c点的线速度大小不相等，故C错误；
b、c属于同轴转动，周期相等，故D正确。
√
√
题组3　匀速圆周运动及周期性
8．关于物体做匀速圆周运动的速度，下列说法正确的是 (　　)
A．速度的大小和方向都改变
B．速度的大小和方向都不变
C．速度的大小不变，方向改变
D．速度的大小改变，方向不变
解析：物体做匀速圆周运动的速度大小不变，但方向始终沿圆周的切线方向，即方向时刻在变化，故C正确，A、B、D错误。
√
9．火车以20 m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10 s内匀速转过了约10°。在此10 s时间内，下列对火车的说法正确的是(　　)
A．运动路程为300 m B．加速度为零
C．角速度约为1 rad/s D．周期约为360 s
解析：火车以20 m/s的速率转弯，可看成做匀速圆周运动，则在10 s内的路程为s＝vt＝200 m，A错误；
火车做曲线运动，速度在不断变化，因此加速度一定不为零，B错误；
√
10．明代出版的《天工开物》一书中记载：“其湖池不流水，或以牛力转盘，或聚数人踏转。”并附有牛力齿轮翻车的图画如图所示，翻车通过齿轮传动，将湖水翻入农田。已知A、B齿轮啮合且齿轮之间不打滑，B、C齿轮同轴，若A、B、C三齿轮半径的大小关系为rA>rB>rC，则 (　　)
A．齿轮A的角速度比齿轮C的角速度大
B．齿轮A、B的角速度大小相等
C．齿轮B、C边缘的线速度大小相等
D．齿轮A边缘的线速度比齿轮C边缘的线速度大
解析：根据题意可知，A、B齿轮啮合且齿轮之间不打滑，则齿轮A、B边缘的线速度大小相等，由v＝ωr可知，由于rA>rB则有ωA<ωB，由于B、C齿轮同轴，齿轮B、C的角速度大小相等，则有ωA<ωB＝ωC，故A、B错误；
由于B、C齿轮同轴，齿轮B、C的角速度大小相等，由v＝ωr可知，由于rB>rC，则有vB>vC，可得vA＝vB>vC，故C错误，D正确。
√
11．变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度。某一变速自行车齿轮转动结构示意图如图所示，图中A轮有48齿，B轮有42齿，C轮有18齿，D轮有12齿，则 (　　)
A.该车可变换两种不同挡位
B．该车可变换五种不同挡位
C．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝1∶4
D．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝4∶1
解析：A轮通过链条分别与C、D轮连接，自行车可有两种不同的挡位，B轮分别与C、D轮连接，又可有两种不同的挡位，所以该车可变换四种不同挡位，故A、B错误；
皮带类传动边缘点线速度相等，又因齿轮的齿数与齿轮的半径大小成正比，故前齿轮的齿数与转动角速度的乘积等于后齿轮齿数与转动角速度的乘积，当A轮与D轮组合时，两轮边缘线速度大小相等，则有NA·ωA＝ND·ωD，解得ωA∶ωD＝ND∶NA＝12∶48＝1∶4，故C正确，D错误。
12．(12分)已知飞镖到圆盘的距离为L，且对准圆盘边缘上的A点水平抛出，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘以垂直于盘面且过盘心O点的水平轴匀速转动。若飞镖恰好击中A点，空气阻力忽略不计，重力加速度为g，求：
(1)飞镖打中A点所需的时间；(4分)
(2)圆盘的半径r；(4分)
(3)圆盘转动角速度的可能值。(4分)第2课时　向心力
一、什么是向心力
1．感受向心力：用细绳拴接一个小物体，在光滑桌面上抡动细绳，使小物体做圆周运动，会感觉到手对小物体的拉力的方向指向圆心。减小旋转速度而保持半径不变，拉力减小；增大旋转半径而保持旋转速度不变，拉力增大；换质量较大的物体进行实验，拉力增大。
2．圆周运动实例分析
(1)月球绕地球做匀速圆周运动，月球受地球的力是引力，方向由月球中心指向地球中心。
(2)游乐场里的“旋转秋千”在水平面内做匀速圆周运动，受重力和吊绳的拉力，这两个力的合力指向圆周运动的圆心。
3．向心力的含义：做匀速圆周运动的物体受到方向始终指向圆心的合力。
4．向心力的来源：向心力可以由弹力提供，也可以由其他性质的力提供；可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供。
二、向心力的大小
1．向心力的公式：F＝mω2r或F＝m。
2．向心力的方向：始终指向圆心，与速度方向垂直。
3．向心力的作用：只改变速度的方向，不改变速度的大小。
判断下列说法是否正确。
(1)做匀速圆周运动的物体的向心力是恒力。 (　　)
(2)向心力和重力、弹力一样，都是根据性质命名的。 (　　)
(3)向心力可以是物体受到的某一个力，也可以是物体受到的合力。 (　　)
(4)变速圆周运动的向心力并不指向圆心。 (　　)
提示：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
知识点一　向心力
1．自行车转弯时的运动可看作匀速圆周运动，观察此图，思考以下问题：
哪个力充当自行车转弯时做圆周运动的向心力？
2．如图所示，汽车正在匀速率转弯，小球正在绳子拉力作用下做匀速圆周运动，请思考：
　
(1)它们的向心力分别是由什么力提供的？
(2)物体做匀速圆周运动时，它所受的向心力的大小、方向有什么特点？
[提示]　1.地面对自行车的静摩擦力提供自行车转弯时的向心力。
2．(1)汽车转弯时的向心力由地面对汽车的静摩擦力提供，小球的向心力由重力和绳子拉力的合力提供。(2)大小不变，方向时刻改变。
1．方向
无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力。
2．作用效果：改变线速度的方向。
3．来源
(1)向心力是根据力的作用效果命名的，它可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质的力提供，也可以由它们的合力提供，还可以由某个力的分力提供。
(2)物体做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与线速度方向垂直且指向圆心。
　向心力不是具有特定性质的某种力，任何性质的力都可以作为向心力，做匀速圆周运动的物体，所受的合力提供向心力。
角度1　对向心力的理解
　下列关于向心力的说法正确的是 (　　)
A．物体由于做圆周运动而产生了向心力
B．向心力就是物体受到的合力
C．做匀速圆周运动的物体的向心力是不变的
D．向心力改变做圆周运动的物体的速度方向
[解析]　物体做圆周运动就需要有向心力，向心力是由外界提供的，不是由物体本身产生的，A错误；匀速圆周运动中由合力提供向心力，变速圆周运动中合力与向心力是不同的，B错误；向心力始终指向圆心，方向时刻在改变，即向心力是变化的，C错误；向心力的方向与速度方向垂直，不改变速度的大小，只改变速度的方向，D正确。
[答案]　D
　如图所示，内壁光滑的锥形圆筒固定在水平地面上，小球沿内壁在某一水平面内做匀速圆周运动，该小球的向心力 (　　)
A.由重力和支持力的合力提供
B．由重力、支持力和摩擦力的合力提供
C．只由重力提供
D．只由支持力提供
[解析]　圆筒内壁光滑，小球做匀速圆周运动，合力完全提供向心力，因此小球所受重力和支持力的合力来提供向心力。
[答案]　A
角度2　向心力的大小
　有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿光滑圆台形表演台的侧壁高速行驶，在水平面内做匀速圆周运动。图中粗线圆表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h。如果增大高度h，则下列关于摩托车的说法正确的是 (　　)
A.对侧壁的压力FN增大
B．做圆周运动的周期T不变
C．做圆周运动的向心力Fn增大
D．做圆周运动的线速度增大
[解析]　对摩托车受力分析，如图所示，摩托车所受合力提供向心力，当h增大后，摩托车做圆周运动的轨道半径增大，侧壁对摩托车的支持力满足F＝，可知，随着半径的增大，对侧壁压力FN不变，A错误；根据＝mr可知，随着半径的增大，摩托车的运动周期将增大，B错误；摩托车的重力不变，侧壁给的支持力不变，合力不变，合力提供向心力，故向心力不变，C错误；根据＝m可知，随着半径的增大，摩托车的线速度也增大，D正确。
[答案]　D
知识点二　匀速圆周运动模型
　画出各图中物体A的受力示意图，并分析其所受向心力的来源。
[解析]　题图a、题图b、题图c中，向心力由物体所受的重力和绳子拉力的合力提供，也可以认为是由绳子拉力的一个分力提供，拉力的另一个分力与重力平衡；题图d中，向心力由绳子的拉力提供；题图e中，向心力由物体所受的静摩擦力提供；题图f中，向心力由侧壁对物体的支持力提供；题图g中，向心力由物体所受的重力和斜面的支持力的合力提供，也可以认为是由支持力的水平分力提供，其竖直分力与重力平衡；题图h中，向心力由飞机所受的重力和空气对飞机的“推举力”的合力提供，这个“推举力”的本质是弹力，弹力总与接触面垂直，所以飞机机身有一定的倾角；它们的受力示意图如图所示；通过以上分析可以清楚看到，向心力不是某种性质力，而是由重力、弹力、摩擦力这些性质力的合力或分力来提供。
　
　　　　　　
[答案]　见解析
　如图所示，完全相同的A、B两物块置于绕竖直轴匀速转动的水平圆盘上，两物块始终相对于圆盘静止，A离圆盘中心较远，则两物块 (　　)
A.线速度大小相同　　　
B．角速度相同
C．向心力相同
D．同时发生滑动
[解析]　由于A、B两物块在同一转盘上无相对运动，因此它们的角速度相同，根据线速度与角速度的关系v＝ωr可知，由于两物块到中心的距离不同，所以线速度大小不同，故A错误，B正确；根据向心力公式F＝mω2r可以知道，质量相等、角速度相等的条件下，半径不同则向心力不同，由于物块A距离中心较远，因此物块A所需的向心力较大，会先发生滑动，故C、D错误。
[答案]　B
　一个圆盘在水平面内匀速转动，角速度是3 rad/s。盘面上距圆盘中心0.2 m的位置有一个质量为0.1 kg的小物体随圆盘一起做匀速圆周运动，如图所示。已知小物体与盘面间的动摩擦因数为0.5，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2。
(1)求小物体的线速度大小。
(2)求小物体的向心力大小。
(3)当圆盘的角速度增加到多大时，小物体会相对于圆盘滑动？
[解析]　(1)小物体的线速度大小
v＝ωr＝3×0.2 m/s＝0.6 m/s。
(2)小物体的向心力大小
F＝mω2r＝0.1×32×0.2 N＝0.18 N。
(3)当小物体刚好相对于圆盘滑动时，最大静摩擦力提供向心力，则有Ffm＝mωr
又Ffm＝μFN＝μmg
联立可得ω1＝5 rad/s。
[答案]　(1)0.6 m/s　(2)0.18 N　(3)5 rad/s
知识点三　变速圆周运动和一般曲线运动
荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，当秋千由上向下荡时：
(1)此时小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？
(2)绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗？运动过程中，公式F＝m＝mω2r还适用吗？
[提示]　(1)小朋友做的是变速圆周运动。
(2)小朋友荡到最低点时，绳子拉力与重力的合力指向悬挂点，在其他位置，合力不指向悬挂点。运动过程中公式F＝m＝mω2r仍然适用。
1．变速圆周运动
(1)受力特点：变速圆周运动中合外力不指向圆心，合力F产生改变速度大小和方向两个作用效果。即
(2)向心力公式：某一点的向心力仍可用F＝m＝mω2r公式求解，只不过v、ω都是指那一点的瞬时物理量。
2．一般曲线运动
在分析质点经过曲线上某位置的运动时，把包含该位置的曲线上的一小段看成某个圆周的一部分，对该部分用F＝m＝mω2r求解。只是不同位置对应的“圆周运动”的“圆心”和“半径”不同。
　如图所示，某物体沿 光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点过程中，物体的速率逐渐增大，则 (　　)
A．物体的合外力为零
B．物体的合力大小不变，方向始终指向圆心O
C．物体的合外力就是向心力
D．物体的合力方向始终与其运动方向不垂直(最低点除外)
[解析]　物体做加速曲线运动，合力不为零，A错误；物体做速度大小变化的圆周运动，合力不指向圆心，合力沿半径方向的分力提供向心力，合力沿切线方向的分力使物体速度变大，即除在最低点外，物体的速度方向与合力方向间的夹角为锐角，合力方向与速度方向不垂直，B、C错误，D正确。
[答案]　D
1．(向心力)(多选)关于匀速圆周运动的向心力，下列说法正确的是 (　　)
A．向心力是指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果命名的
B．向心力可以是多个力的合力，也可以是其中的一个力或某一个力的分力
C．对稳定的圆周运动，向心力是一个恒力
D．向心力的效果是改变质点的线速度大小和方向
解析：选AB。向心力是指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果命名的，A正确；向心力可以是多个力的合力，也可以是其中的一个力或某一个力的分力，B正确；向心力的方向总是指向圆心，方向不断变化，是一个变力，C错误；向心力的效果是改变质点的线速度方向，不改变线速度的大小，D错误。
2．(向心力来源的分析)如图所示，一圆柱形容器绕其轴线匀速转动，内部有A、B两个物体，均与容器的接触面间始终保持相对静止。当转速增大后(A、B与容器接触面间仍相对静止)，下列说法正确的是 (　　)
A.两物体受到的摩擦力都增大
B．两物体受到的摩擦力大小都不变
C．物体A受到的摩擦力增大，物体B受到的摩擦力大小不变
D．物体A受到的摩擦力大小不变，物体B受到的摩擦力增大
解析：选D。容器绕其轴线转动时，两个物体随容器一起转动，以A为研究对象，在水平方向上，容器施加的弹力提供A做圆周运动的向心力；在竖直方向，重力和静摩擦力平衡，所以当转速增大后，物体A受到的摩擦力大小保持不变。以B为研究对象，水平方向的静摩擦力提供向心力，由f＝F＝mω2r得，其受到的摩擦力随着转速的增大而增大，故D正确。
3．(变速圆周运动)如图所示，一圆盘可绕一通过圆心且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一块橡皮，橡皮块随圆盘一起转动(俯视为逆时针)。某段时间内圆盘转速不断增大，但橡皮块仍相对于圆盘静止。在这段时间内，关于橡皮块所受摩擦力Ff的方向的四种表示(俯视图)中，正确的是 (　　)
解析：选C。因为圆盘转速不断增大，所以橡皮块将随圆盘一起做加速圆周运动，此时摩擦力Ff既要提供指向圆心的向心力，又要提供与运动方向相同的切向力，所以合力方向应该指向轨道内侧且与速度方向成锐角，故C正确。第2节　匀速圆周运动的向心力和向心加速度
1．理解向心力是一种效果力，其效果是产生向心加速度，方向总是指向圆心。　
2．掌握探究向心力F的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。　
3．知道向心力大小与哪些因素有关，并能用来进行计算。　
4．知道什么是向心加速度，能用向心加速度的公式进行计算。
第1课时　实验：探究影响向心力大小的因素
实验方案一　用绳和沙袋定性研究
如图甲所示，绳子的一端拴一个小沙袋(或其他小物体)，在离小沙袋重心40 cm的地方打一个绳结A，在离小沙袋重心80 cm的地方打另一个绳结B。同学甲看手表计时，同学乙按下列步骤操作：
步骤1：手握绳结A，如图乙所示，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，每秒运动1周。体会此时绳子拉力的大小。
步骤2：手仍然握绳结A，但使沙袋在水平面内每秒运动2周。体会此时绳子拉力的大小。
步骤3：改为手握绳结B，使沙袋在水平面内每秒运动1周。体会此时绳子拉力的大小。
步骤1和步骤2两者相比，可以比较在半径相同的情况下，向心力大小与角速度的关系。
步骤1和步骤3两者相比，可以比较在角速度相同的情况下，向心力大小与半径的关系。
实验方案二　利用向心力演示器探究
1．实验目的
(1)定性分析向心力大小的影响因素。
(2)学会使用向心力演示器。
(3)探究向心力与质量、角速度、半径的定量关系。
2．实验器材
向心力演示器
3．实验原理
控制变量法：物体的质量、角速度、转动半径对向心力均有影响。要研究一个因变量与三个自变量的关系，应先控制其中的两个自变量不变，先研究向心力与第三个自变量之间的关系。
4．物理量的测量
(1)向心力的测量：由轮塔中心标尺露出的等分格的读数读出。
(2)质量的测量：用天平直接测量。
(3)轨道半径的测量：根据长、短槽上的刻度读出小球到转轴的距离。
(4)角速度的测量：通过测量变速轮塔的直径确定角速度的比值。
5．实验结论
精确的实验表明，向心力大小可以表示为F＝mω2r或者F＝m。
题型一　用绳和沙袋定性研究
　如图甲所示，同学们分小组探究影响向心力大小的因素。同学们用细绳系一纸杯(杯中有30 mL的水)在空中甩动，使纸杯在水平面内做圆周运动，来感受向心力。
(1)下列说法正确的是________。
A．保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将不变
B．保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将增大
C．保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变
D．保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将增大
(2)如图乙所示，绳离杯心40 cm处打一结点A，80 cm处打一结点B，学习小组中一位同学看手表计时，另一位同学操作，其余同学记录实验数据。
操作一：手握绳结A，使杯在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小。
操作二：手握绳结B，使杯在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小。
操作三：手握绳结A，使杯在水平方向每秒运动2周，体会向心力的大小。
操作四：手握绳结A，再向杯中添加30 mL的水，使杯在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小。
操作二与一相比较：质量、角速度相同，向心力的大小与转动半径大小有关；
操作三与一相比较：质量、半径相同，向心力的大小与角速度的大小有关；
操作四与一相比较：________、________相同，向心力大小与________有关。
[解析]　(1)由向心力公式F＝mω2r可得，当保持质量、绳长不变，增大转速，手对绳的拉力将增大，由牛顿第三定律可知，绳对手的拉力将增大，A错误，B正确；保持质量、角速度不变，增大绳长，由向心力公式可知，手对绳的拉力将增大，由牛顿第三定律可知，绳对手的拉力将增大，C错误，D正确。
(2)操作四与一相比较，半径、角速度相同，水杯中的水质量不同，由向心力公式F＝mω2r可知，质量增大，向心力大小增大，即向心力大小与质量有关。
[答案]　(1)BD　(2)半径　角速度　质量
题型二　利用向心力演示器探究
　(2025·辽宁大连市期中)图甲所示的是向心力演示仪，可探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量、角速度和半径之间的关系。长槽的A、B处和短槽的C处到各自转轴中心的距离之比为2∶1∶1。变速轮塔自上而下有三种组合方式，左右每层半径之比由上至下分别为1∶1、2∶1和3∶1，如图乙所示。
(1)本实验的目的是探究向心力的大小与小球质量、角速度和半径之间的关系，下列实验中采用的实验方法与本实验相同的是________。
A．探究两个互成角度的力的合成规律
B．探究平抛运动的规律
C．探究加速度与力、质量的关系
(2)在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在A、C位置，探究向心力的大小与半径的关系，则需要将传动皮带调至第________(选填“一”“二”或“三”)层轮塔。
(3)在另一次实验中，把两个质量相等的钢球放在B、C位置，传动皮带位于第三层，转动手柄，则当轮塔匀速转动时，左右两标尺露出的格子数之比约为________。
A．3∶1 B．1∶3
C．9∶1 D．1∶9
[解析]　(1)探究向心力的大小与小球质量m、角速度ω和半径r之间的关系，采用的实验方法是控制变量法，探究两个互成角度的力的合成规律，采用的是等效替代的实验方法，故A错误；探究平抛运动的规律采用的实验方法是控制变量法，故B正确；探究加速度与力、质量的关系，采用的实验方法是控制变量法，故C正确。
(2)在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在A、C位置，可知两小球做圆周运动的半径之比为2∶1，此时探究的是向心力大小与半径的关系，将控制两小球做圆周运动的角速度相等，则需要将传动皮带调至第一层轮塔。
(3)在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在B、C位置，可知两小球做圆周运动的半径相等，传动皮带位于第三层，根据v＝ωR，可知两小球做圆周运动的角速度之比ω左∶ω右＝1∶3，根据F＝mω2r，可得当塔轮匀速转动时，左右两标尺露出的格子数之比约为F左∶F右＝ω∶ω＝1∶9。
[答案]　(1)BC　(2)一　(3)D
题型三　教材实验创新
　某物理兴趣小组验证“向心力与线速度大小关系”的实验装置如图所示。
实验步骤如下：
①按照图示安装仪器，轻质细线上端固定在力的传感器上，下端悬挂一小钢球。小钢球静止时刚好位于光电门中央；
②将小钢球悬挂静止不动，此时力的传感器示数为F1，用米尺量出细线长L；
③将小钢球拉到适当高度处且细线拉直，静止释放小钢球，光电计时器记录小钢球遮光时间t，力的传感器示数最大值为F；
④改变小钢球的释放位置，重复上述过程。
已知小钢球的直径是d，当地的重力加速度大小为g，请用上述测得的物理量表示：
(1)小钢球经过光电门时瞬时速度表达式为________。
A．　　　　　　　　 B．
C． D．
(2)小钢球经过光电门时所受合力的表达式为__________。
A．F－F1 B．F＋F1
C．F1 D．F
(3)小钢球经过光电门时所需向心力的表达式为__________。
A． B．
C． D．
(4)处理实验数据时，在误差允许的范围内，小钢球经过光电门时所需向心力和所受合力
的关系为__________(选填“相等”或“不相等”)，则能验证向心力与线速度大小的关系。
(5)本实验误差的主要来源为____________(选填“摆长测量”或“空气阻力”)。
[解析]　(1)由题知小钢球的直径为d，小钢球遮光时间为t，则小钢球经过光电门时瞬时速度表达式为。
(2)由题知，将小钢球悬挂静止不动，此时力的传感器示数为F1，小钢球经过光电门时力的传感器示数为F，则小钢球经过光电门时所受合力的表达式为F合 ＝ F－F1。
(3)小钢球经过光电门时所需向心力的表达式为F向＝m＝。
(4)处理实验数据时，在误差允许的范围内，小钢球经过光电门时所需向心力和所受合力的关系为相等，则能验证向心力与线速度大小的关系。
(5)根据以上分析，只需要满足F－F1＝，则本实验误差的主要来源为摆长测量。
[答案]　(1)B　(2)A　(3)C　(4)相等　(5)摆长测量
1．某同学用向心力演示器来探究物体做圆周运动所需向心力F的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。
(1)该同学应采用的实验方法是________。
A．理想实验法
B．控制变量法
C．等效替代法
D．理想模型法
(2)若要探究F与m之间的关系，应采用下列甲、乙、丙三图中的____________图。
(3)某次实验时，左右两标尺显示如图丁所示，此时左右两处小球所受向心力大小之比约为________。
A.1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．1∶5
(4)在探究F与ω之间的关系时，若左右两标尺显示如图丁所示，则左右变速轮塔半径之比为________。
A．1∶2 B．2∶1
C．3∶1 D．1∶3
(5)通过本实验可以得到的结论是________。
A．在r与ω一定的情况下，F与m成正比
B．在r与m一定的情况下，F与ω成反比
C．在m与ω一定的情况下，F与r成反比
D．在r与m一定的情况下，F与ω2成正比
解析：(1)探究物体做圆周运动所需向心力F的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系，采用的实验方法是控制变量法。
(2)若要探究F与m之间的关系，应使两小球质量不相等，两小球做圆周运动半径和角速度相等，则应采用题图乙。
(3)某次实验时，左右两标尺显示如题图丁所示，此时左右两处小球所受向心力大小之比约为1∶4。
(4)在探究F与ω之间的关系时，应控制两球质量和做圆周运动半径相同，根据F＝mω2r，若左右两标尺显示如题图丁所示，则有ω左∶ω右＝＝1∶2，根据v＝ωr，由于左右变速轮塔边缘线速度大小相等，则左右变速轮塔半径之比R左∶R右＝ω右∶ω左＝2∶1。
(5)根据F＝mω2r，在r与ω一定的情况下，F与m成正比，故A正确；在r与m一定的情况下，F与ω2成正比，故B错误，D正确；在m与ω一定的情况下，F与r成正比，故C错误。
答案：(1)B　(2)乙　(3)C　(4)B　(5)AD
2．某实验小组通过如图所示的装置验证向心力公式。一个体积较小、质量为m的滑块套在水平杆上，力传感器通过一根细绳连接滑块，用来测量绳中拉力F的大小，滑块的中心到转轴的距离为L，滑块随杆一起绕竖直杆做匀速圆周运动。通过力传感器获得细绳拉力F，利用秒表记录转动n圈的时间t。
(1)认为绳的张力充当向心力，如果F＝________(用题目所给物理量的字母表示)，则向心力的表达式得到验证。
(2)该小组验证向心力的表达式时，经多次实验，仪器正常，操作规范读数准确，发现拉力F的测量值与滑块的向心力的理论值相比________(选填“偏大”“偏小”或“相同”)，主要原因是___________。
解析：(1) 滑块转动的周期T＝，绳的张力充当向心力，由向心力公式F＝mr，得F＝mL，若该式成立，则向心力的表达式得到验证。
(2)滑块做圆周运动时，滑块受到水平杆的摩擦力，设滑块受水平杆的摩擦力大小是Ff，方向沿水平杆指向圆心，对滑块由牛顿第二定律可得F＋Ff＝mL，解得F＝mL－Ff，可知拉力F的测量值与滑块的向心力的理论值相比偏小。偏小的主要原因是滑块与水平杆间有摩擦力，会产生实验误差。
答案：(1)　(2)偏小　滑块与水平杆之间有摩擦力专题提升课4　水平面和斜面内的圆周运动
微专题一　水平面内的圆周运动
角度1　水平面内圆周运动特点
1．运动轨迹是水平面内的圆。
2．合外力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力为零，物体在水平面内做匀速圆周运动。
　如图所示，质量分别为3m、m的小球A、B固定在长L的轻杆两端，轻杆置于水平桌面上可绕中心O转动，不计阻力。当轻杆以角速度ω匀速转动时，下列说法正确的是 (　　)
A．转轴所受杆的弹力方向指向B球
B．两球所需要的向心力大小不相等
C．转轴所受杆的弹力大小为2mω2L
D．保持转动角速度不变，任一球的质量增大，转轴所受杆的拉力增大
[解析]　对于A球而言，有FA＝3mω2·，方向指向圆心；对于B球而言，有FB＝mω2·，方向也指向圆心；则对于O点，则有转轴所受弹力的大小F＝FA－FB＝mω2L，方向指向A，两球的向心力是不相等的，A、C错误，B正确。由于F＝FA－FB，FA＝mAω2，FB＝mBω2，故当A球质量增大时，转轴受到杆的弹力增大；B球质量增大时，转轴受到杆的弹力减小，D错误。
[答案]　B
　有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ，游玩者与座椅的总质量为m，将游玩者和座椅看作一质点，不计钢绳的重力和空气阻力，重力加速度为g。求：
(1)游玩者与座椅的向心力大小；
(2)转盘转动的角速度。
[解析]　(1)游玩者与座椅的向心力由重力与绳子拉力的合力提供，其受力分析如图所示，根据几何关系可得F向＝mg tan θ。
(2)根据几何关系可知游玩者与座椅一起做圆周运动的半径R＝r＋L sin θ
根据向心力公式可得
mg tan θ＝mω2(r＋L sin θ)
解得ω＝ 。
[答案]　(1)mg tan θ　(2)
角度2　与摩擦力有关的临界问题
1．物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有f＝，静摩擦力的方向一定指向圆心。
2．如果除摩擦力外还有其他力，如绳两端连接物体，其中一个物体竖直悬挂，另外一个物体在水平面内做匀速圆周运动，此时存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向分别为沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。
　如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速转动，A、B间的动摩擦因数μA大于圆盘与B间的动摩擦因数μB，则下列说法正确的是 (　　)
A．A、B都有沿切线方向向后滑动的趋势
B．B运动所需的向心力大于A运动所需的向心力
C．圆盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍
D．缓慢增加圆盘转动的角速度，A可能从B上滑出
[解析]　A、B所受静摩擦力指向圆心，则两物体都有沿半径方向向外滑动的趋势，A错误；根据F向＝mω2r可知，B运动所需的向心力等于A运动所需的向心力，B错误；对AB整体分析fB＝2mω2r，对A分析fA＝mω2r，即圆盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍，C正确；AB整体将要发生滑动时，μB·2mg＝2mωr，当A将要发生滑动时，μA·mg＝mωr，因为μA>μB，则ω2>ω1，即缓慢增加圆盘转动角速度，B先产生滑动，D错误。
[答案]　C
　(多选)(2025·湖南邵阳市期末)如图所示，A、B两个材料相同的物体放在水平旋转的圆盘上，A的质量为m，B的质量为2m，B离轴距离为R，A离轴距离为2R，两物体始终相对盘静止，则 (　　)
A．A与B的线速度大小之比为2∶1
B．A与B的角速度之比为1∶1
C．A与B的向心加速度大小之比为1∶1
D．在转盘转速增加时，A比B先开始滑动
[解析]　A与B的角速度均等于圆盘的角速度，则有ωA∶ωB＝1∶1，根据v＝ωr，可得vA∶vB＝2R∶R＝2∶1，故A、B正确；根据a＝ω2r，可得aA∶aB＝2R∶R＝2∶1，故C错误；由静摩擦力提供向心力可得f＝ma，可得A与B所受摩擦力大小相等，最大静摩擦力fm＝μmg，A的质量小，最大静摩擦力小，所以A比B先滑动，故D正确。
[答案]　ABD
角度3　与弹力有关的临界问题
压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零。绳中拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳中拉力恰好为最大承受力等。
　质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的B点和A点，如图所示。绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l。当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动。下列说法正确的是 (　　)
A.a绳的张力可能为零
B．a绳的张力随角速度的增大而增大
C．当角速度ω＞时，b绳将出现弹力
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
[解析]　由于小球所受重力不为零，则a绳的张力不可能为零，b绳的张力可能为零，故A错误；由于a绳的张力在竖直方向的分力等于重力，角θ不变，所以a绳张力不变，b绳的张力随角速度的增大而增大，故B错误；若b绳中的张力为零，设a绳中的张力为F，对小球有，F sin θ＝mg，F cos θ＝mω2l，解得ω＝ ，即当角速度ω＞时，b绳将出现弹力，故C正确；若ω＝ ，则b绳突然被剪断时，a绳的弹力不发生变化，故D错误。
[答案]　C
　如图所示，在光滑的圆锥体顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30°，小球以速率v绕圆锥体轴线做水平圆周运动。
(1)当v1＝ 时，求细线对小球的拉力大小。
(2)当v2＝ 时，求细线对小球的拉力大小。
[解析]　小球离开圆锥面的临界条件为圆锥体对小球的支持力N＝0
此时对小球受力分析如图甲所示
设此时小球的线速度为v0，则F＝m eq \f(v,r)＝m eq \f(v,Lsin 30°)＝mgtan 30°，解得v0＝ 。
(1)因v1对小球受力分析，如图乙所示
分解得T′sin 30°－Ncos 30°＝m eq \f(v,Lsin 30°)，
T′cos 30°＋Nsin 30°＝mg，解得T′＝mg。
(2)因为v2>v0，则小球离开圆锥面，对小球受力分析，如图丙所示
有T″sin α＝m eq \f(v,Lsin α)，T″cos α＝mg
解得T″＝2mg。
[答案]　(1)mg　(2)2mg
微专题二　斜面内的圆周运动
1．常见模型
(1)如图甲所示，静摩擦力控制下的圆周运动
(2)如图乙所示，轻绳控制下的圆周运动
(3)如图丙所示，轻杆控制下的圆周运动
　　
2．分析方法：这类问题的特点是重力的分力和其他力的合力提供向心力，运动和受力情况比较复杂。由于重力沿斜面的分力不变，在斜面内做圆周运动的物体的速率不断变化，运动情况与竖直面内的圆周运动类似，所以通常分析物体在最高点和最低点的受力情况求临界状态。物体在斜面上运动时，若受摩擦力，还要参照水平面内圆周运动的临界问题分析摩擦力的突变问题，如静摩擦力的方向变化、静摩擦力变为滑动摩擦力。
　如图所示，倾角为30°的倾斜圆盘绕垂直于盘面的轴以角速度ω匀速转动，盘面上有一个离转轴距离为r、质量为m的小物体(可视为质点)随圆盘一起转动。PQ、MN是小物体轨迹圆互相垂直的两条直径，P、Q、M、N是圆周上的四个点，且P是轨迹圆上的最高点，Q是轨迹圆上的最低点，则 (　　)
A．小物体所受静摩擦力最大值为mω2r＋mg
B．小物体在P点最容易发生滑动
C．在最高点P处，小物体所受静摩擦力一定指向圆心
D．在M处，小物体所受静摩擦力大小mω2r
[解析]　A物体在P点受重力和静摩擦力以及支持力，沿斜面方向的合力提供向心力，所以摩擦力可能背离圆心，也可能指向圆心，所以背离圆心时mg sin 30°－f＝mω2r，解得f＝mg－mω2r，当摩擦力指向圆心时mg sin 30°＋f＝mω2r，解得f＝mω2r－mg，物体在Q点时合力提供向心力，所以摩擦力沿斜面向上，根据牛顿第二定律f－mg sin 30°＝mω2r，解得f＝mω2r＋mg，所以小物体所受静摩擦力最大值为mω2r＋mg，即小物体在Q点最容易发生滑动，故A正确，B、C错误；小物体在M点所受的合力提供向心力，所以f2＝(mω2r)2＋(mg sin 30°)2，解得f＝m，故D错误。
[答案]　A
1．(水平面内的圆周运动)(2025·江苏扬州市期末)游乐园有一种游戏设施叫作“魔盘”，游戏规则是：缓慢增大水平魔盘角速度，谁最后被甩出去，谁就会赢得比赛。下列四位同学想赢得比赛，其他条件相同的情况下 (　　)
A．甲同学认为应该抱一重物
B．乙同学认为躺着比坐着好
C．丙同学认为靠近边缘好
D．丁同学认为靠近中心好
解析：选D。根据圆周运动规律可知，物体不被甩出的最大转速μmg＝mω2r，解得ω＝，由此可知，人不被甩出的临界角速度与转动半径和动摩擦因数有关，跟质量无关，与坐着或者躺着无关，A、B错误；根据上述分析，对于同一位学生，最大静摩擦力不变，越靠近边缘所需要的向心力就越大，当静摩擦力小于其圆周运动所需要的向心力时，学生就会被甩出去，故越靠近中心越好， C错误，D正确。
2．(水平面内的圆周运动)(多选)如图所示，MN为光滑放置的水平圆盘，圆盘的半径为1 m，圆盘中心O处有一光滑小孔，穿过小孔的两端各系着一个质量相等的小球A和B，小球A在圆盘面上做匀速圆周运动(g取10 m/s2)，下列关于A、B的运动情况正确的是 (　　)
A．小球A的运动半径为0.2 m时，它的角速度是5 rad/s
B．小球A的运动半径为0.2 m时，它的角速度是10 rad/s
C．当A球的角速度为2.5 rad/s时，A球的轨迹半径为0.8 m，此时B球保持静止
D．当A球的角速度为2.5 rad/s时，A球的轨迹半径为0.4 m，此时B球保持静止
解析：选AC。对A球分析可知mg＝mωr1，解得ω1＝5 rad/s，A正确，B错误；当A球的角速度为2.5 rad/s时，假设此时B球保持静止，则对A，mg＝mωr2，可得A球的轨迹半径r2＝0.8 m，C正确，D错误。
3．(斜面内的圆周运动)(多选)如图所示，在倾角为30°的光滑斜面上，有一长为l的轻杆，杆的一端固定着一个质量为m的小球，绕另一端垂直于斜面的光滑轴做圆周运动，运动到最高点时速度为，则 (　　)
A．在最高点时，杆对球的作用力为0
B．在最高点时，杆对球的作用沿杆向上
C．在最高点时，杆对球的作用沿杆向下
D．在最高点时，杆对球的作用力为mg
解析：选CD。在最高点有F＋mg sin 30°＝m，解得F＝mg，说明杆对球的作用力沿杆向下，大小为mg，故C、D正确。(共3张PPT)
章末知识网络建构
答案：B　A　D　F
E　G　C　H
感谢观看
THANKS(共50张PPT)
第二章　匀速圆周运动
第1节　圆周运动
学习目标
1．理解线速度、角速度、转速、周期等概念，会对它们进行定量计算。　2.知道线速度、角速度、周期之间的关系。　3.理解匀速圆周运动的概念和特点。　4.会分析常见传动装置中各物理量间的关系。
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、形形色色的圆周运动
1．定义：物体的运动轨迹是_________的运动叫作圆周运动。
2．转动与圆周运动：事实上，转动的物体上除轴外的任一质点都在绕轴做圆周运动。
圆
二、描述匀速圆周运动的物理量
1．匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在任意相等时间内通过的_________都相等，这种运动就叫作匀速圆周运动。匀速圆周运动实际上是一种变速运动。
2．线速度：若在时间Δt内，做匀速圆周运动的质点通过的弧长是Δs，则可以用_________来描述匀速圆周运动的快慢，这个比就反映匀速圆周运动的线速度的大小，用公式表示为v＝_________。线速度是矢量，质点在圆周运动中任一点的线速度方向就是圆周上该点的_________方向。
圆弧长度
切线
3．角速度：对于做匀速圆周运动的质点，连接质点和圆心的半径所转过的角度Δφ跟所用时间Δt的比叫作匀速圆周运动的角速度，用ω来表示：_________。匀速圆周运动是角速度不变的运动。在国际单位制中，角速度的单位是弧度每秒，符号是rad/s。
4．周期：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的_________叫作周期，用符号T表示。
5．物理意义：线速度是描述运动_________和_________的物理量；角速度和周期都是描述匀速圆周运动_________的物理量。
说明：技术中常用转速来描述物体绕轴转动的快慢。转速是指转动物体转过的圈数与所用时间的比，常用符号n表示，转速的单位有转每秒，符号是r/s，或转每分(r/min)。角速度与转速的关系是ω＝2πn。
时间
快慢
方向
转动快慢
三、线速度、角速度和周期之间的关系
设一质点沿半径为r的圆周做匀速圆周运动，它在一个周期T内转过的弧长为2πr，转过的角度为2π，所以线速度和角速度分别为_________、_________。联立两式得_________。
v＝rω
判断下列说法是否正确。
(1)做匀速圆周运动的物体，相同时间内位移相同。 (　　)
(2)做匀速圆周运动的物体，其所受合外力不为零。 (　　)
(3)做匀速圆周运动的物体，其线速度不变。 (　　)
(4)做匀速圆周运动的物体，其角速度大小不变。 (　　)
(5)做匀速圆周运动的物体，周期越大，角速度越小。 (　　)
(6)匀速圆周运动是一种匀速运动。 (　　)
√
×　
×　
×　
√
√
课堂深度探究
PART
02
第二部分
知识点一　圆周运动的物理量及相互关系
如图所示，有一个玩具陀螺，a、b、c是陀螺上的三个点；当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时：
(1)a、b、c三点角速度和周期各有什么关系？
[提示]　ωa＝ωb＝ωc，Ta＝Tb＝Tc。
(2)a、b、c三点做圆周运动的线速度大小有什么关系？
[提示]　va＝vc＞vb。
1．物理量的定义
(1)线速度：单位时间(1 s内)转过的弧长。
(2)角速度：单位时间(1 s内)转过的圆心角。
(3)周期：转一圈所用的时间。
(4)频率(转速)：单位时间内转过的圈数。
(3)在讨论v、ω、r三者的关系时，应采用控制变量法，先保持其中一个量不变，再讨论另外两个量之间的关系。
√
角度1　物理量的求解
　　汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长。某国产轿车的车轮半径约为30 cm，当该型号轿车在高速公路上行驶时，驾驶员面前的速率计的指针指在“120 km/h”上，可估算出该车车轮的转速约为 (　　)
A．1 000 r/s　　　　　 B．1 000 r/min
C．1 000 r/h D．2 000 r/s
[解析]　由题意知车的速度大小v＝120 km/h≈33.3 m/s，车轮半径约为r＝30 cm＝0.3 m，设转速为n，根据v＝2πrn，代入以上数据得n≈17.7 r/s＝1 060 r/min。
√
√
√
角度2　物理量间的关系
　　A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，如图所示，在相同的时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，以下说法不正确的是 (　　)
A.A、B运动的线速度大小之比为3∶4
B．A、B运动的角速度大小之比为3∶2
C．A、B运动的周期之比为2∶3
D．A、B做圆周运动的半径之比为8∶9
知识点二　常见传动装置及特点
跷跷板的支点位于板的中点，两个小朋友坐在两端。
讨论：(1)在撬动跷跷板的某一时刻，两个小朋友的线速度的大小关系及角速度的大小关系如何？
[提示]　线速度大小和角速度大小都相等。
(2)如果跷跷板的支点不在板的中点，线速度
大小和角速度大小的关系如何？
[提示]　角速度大小相等，线速度大小不等。
1．三种传动装置
√
角度1　皮带传动
　　(多选)如图所示的传动装置中，A轮顺时针转动，并通过皮带带动B轮转动(皮带不打滑)。a、b分别是两轮边缘上的点，它们的线速度大小分别为va、vb，下列判断正确的是 (　　)
A．B轮顺时针转动　 B．B轮逆时针转动
C．va＝vb D．va＞vb
√
[解析]　由题图可知，B轮的转动方向与A轮转动方向一定是相反的，所以B轮逆时针转动，故A错误，B正确；
a点与b点属于皮带传动，所以两点具有相等的线速度，即va＝vb，故C正确，D错误。
角度2　齿轮传动
　　在如图所示的齿轮传动中，三个齿轮的半径之比为1∶2∶3，当齿轮转动时，小齿轮边缘的A点和大齿轮边缘的B点 (　　)
A．线速度大小之比为1∶3
B．角速度大小之比为3∶1
C．周期之比为1∶1
D．转速之比为1∶3
√
[解析]　由题意可知，当齿轮转动的时候，三个齿轮边缘在相同时间内转的齿数相等，即线速度大小相等，因此有vA∶vB＝1∶1，故A错误；
由线速度与角速度关系公式v＝ωr，可知小齿轮边缘的A点和大齿轮边缘的B点的角速度之比ωA∶ωB＝3∶1，故B正确；
角度3　同轴转动
　　(2025·河北石家庄市期末)如图所示，地球可看成一个质量分布均匀的球体，地球上的物体均随地球自转做匀速圆周运动。已知石家庄的纬度约为37°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则位于赤道和石家庄的物体P、Q随地球自转的角速度、线速度之比分别为 (　　)
A．1∶1，5∶3 B．1∶1，5∶4
C．5∶3，1∶1 D．5∶4，1∶1
[解析]　物体P、Q随地球自转，则物体P、Q的角速度相等；根据v＝ωr，可得物体P、Q的线速度大小之比vP∶vQ＝rP∶rQ＝R∶R cos 37°＝5∶4。
√
角度4　混合传动
　　如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA∶rB∶rC＝2∶1∶2。若皮带不打滑，则A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的 (　　)
A．角速度之比为1∶2∶2
B．角速度之比为1∶1∶2
C．线速度大小之比为1∶2∶2
D．线速度大小之比为1∶1∶1
√
[解析]　点a和点b是皮带传动边缘点，线速度大小相等，故va∶vb＝1∶1，根据v＝rω，有ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2，点b和点c是同轴转动，角速度相等，故ωb∶ωc＝1∶1，则ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2，A正确，B错误；
点b和点c角速度相等，根据v＝rω，有vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2，则va∶vb∶vc＝1∶1∶2，C、D错误。
知识点三　匀速圆周运动及周期性
1．对匀速圆周运动的理解
(1)匀中有变：由于匀速圆周运动是曲线运动，其速度方向沿着圆周的切线方向，所以物体做匀速圆周运动时，速度的方向时刻在变化。
(2)匀速的含义
①速度的大小不变，即速率不变；
②转动快慢不变，即角速度大小不变。
2．匀速圆周运动的周期性
(1)问题特点：匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同运动，其中一个是匀速圆周运动，另一个是其他形式的运动。一般处理这类问题时，要把一个物体运动的时间t，与圆周运动的周期T联系起来，才能更快解决问题。
(2)分析技巧
①抓住联系点：明确题中多个物体的运动性质；多个物体参与运动时，虽然每个运动独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移等。
②先特殊后一般：先考虑第一个周期的情况，再根据运动的周期性，考虑多个周期的规律。
√
角度1　对匀速圆周运动的理解
　　(多选)下列关于匀速圆周运动的说法正确的是 (　　)
A．匀速圆周运动是线速度不变的运动
B．做匀速圆周运动的物体在连续相等时间内通过的路程相同
C．做匀速圆周运动的物体相等时间内的位移一定相同
D．做匀速圆周运动的物体角速度不变
√
[解析]　匀速圆周运动的线速度大小不变，方向变化，A错误；
做匀速圆周运动的物体，线速度大小相等，相等时间内通过的弧长相等，路程相同，位移是矢量，大小相同，方向不一定相同，故B正确，C错误；
做匀速圆周运动的物体，角速度不变，D正确。
角度2　匀速圆周运动的周期性
　　如图所示，直径为d的纸质圆筒，以角速度ω绕中心轴匀速转动，把枪口对准圆筒轴线，使子弹穿过圆筒，结果发现圆筒上只有一个弹孔，忽略子弹重力、圆筒的阻力及空气阻力。
(1)子弹做什么运动？圆筒做什么运动？
[解析]　子弹不受外力，子弹做匀速直线
运动；圆筒匀速转动，圆筒做匀速圆周运动。
[答案]　见解析
(2)为什么圆筒上只有一个弹孔？
[解析]　子弹从进入的弹孔中射出，所以只留下了一个弹孔。
(3)子弹与圆筒的运动时间有何关系？
[答案]　见解析
(4)子弹的速度v应满足什么条件？
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
√
1．(圆周运动的物理量及相互关系)如图所示，秒针绕O点转动，A、B为秒针的两个端点。在转动时，A、B的角速度和线速度分别记为ωA、ωB和vA、vB，则 (　　)
A．ωA<ωB　　　　　 B．ωA>ωB
C．vAvB
解析：A、B为秒针的两个端点，他们属于同轴转动，故A、B的角速度大小相等，A、B错误；
转动过程中，A点的半径小于B的半径，根据线速度与角速度的关系v＝ωr，可得vA√
2．(常见传动装置及特点)如图所示为学生使用的修正带，修正带的核心结构为咬合良好的两个齿轮，大、小齿轮的齿数之比n1∶n2＝k∶1。A、B两点分别位于大、小齿轮的边缘，当使用修正带时，纸带的运动会带动两轮转动，则两轮转动时，A、B两点的 (　　)
A．角速度之比为1∶k
B．角速度之比为1∶1
C．线速度大小之比为1∶k
D．转速之比为k∶1
解析：修正带靠齿轮传动，所以边缘线速度大小相等，故A、B两点的线速度大小之比为1∶1，故C错误；
由公式ω＝2πn可得，转速之比nA∶nB＝ωA∶ωB＝1∶k，故D错误。
√
3．(匀速圆周运动及周期性)(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是 (　　)
A．相等的时间内通过的路程相等
B．相等的时间内通过的弧长相等
C．相等的时间内通过的位移相等
D．在任何相等的时间里，连接物体和圆心的半径转过的角度都相等
解析：匀速圆周运动是指线速度大小不变的圆周运动，因此在相等时间内通过的路程相等，弧长相等，转过的角度也相等，A、B、D正确；
相等时间内通过的位移大小相等，方向不一定相同，C错误。
√
√
√专题提升课3　竖直面内的圆周运动
微专题一　竖直面内的匀速圆周运动
　(2025·四川成都市期中)如图所示，一长为l的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为m的小球，轻杆随转轴在竖直平面内做角速度为ω的匀速圆周运动，重力加速度为g。
(1)小球运动到最高点时，求杆对球的作用力。
(2)小球运动到水平位置A时，求杆对球的作用力。
[解析]　(1)因转动的角速度大小未知，故小球在最高点时，杆对球的作用力F1方向不能确定。
当F1＝0时则有mg＝mω2l，解得ω＝。
若ω＞，杆对小球的拉力大小F1方向竖直向下，则有F1＋mg＝mω2l，解得F1＝m(ω2l－g)
若ω＝，F1＝0，杆对小球恰好无作用力
若ω＜ ，杆对小球的支持力大小F1方向竖直向上，则有mg－F1＝mω2l，解得F1＝m(g－ω2l)。
(2)小球运动到水平位置A处时，杆对球的竖直方向分力Fy＝mg，水平分力Fx＝mω2l，故杆对球的作用力大小F2＝ eq \r(F＋F)＝m。设该作用力与水平方向夹角为θ，则有tan θ＝＝＝，故在位置A处杆对球的作用力方向斜向右上，与水平方向夹角θ的正切值为。
[答案]　见解析
微专题二　竖直面内的变速圆周运动
项目 轻绳模型 轻杆模型
常见类型 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球
过最高点的临界条件 由mg＝m eq \f(v,r)得v临＝ v临＝0
讨论分析 (1)能过最高点时，v≥ ，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN(2)不能过最高点时，v＜，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道，如图所示 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心(2)当0＜v＜时，－FN＋mg＝m，FN背离圆心，随v的增大而减小(3)当v＝时，FN＝0(4)当v＞时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大
模型1　轻绳模型
　(多选)(2025·福建宁德市期末)杂技表演水流星如图所示，一根绳系着盛水的杯子，随着演员的抡动，杯子就在竖直平面做圆周运动，已知轨迹半径r＝0.4 m，水的质量为200 g，杯子的质量为50 g，绳子质量不计，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法正确的是 (　　)
A．杯子运动到最高点时，水刚好不落下，则最高点速度为4 m/s
B．当杯子到最高点速度为6 m/s时，则水对杯子的弹力大小为16 N，方向竖直向下
C.杯子在运动过程中做的是变速圆周运动，沿圆周下降过程速度增加是因为合力沿切线方向的分力与速度同向
D．杯子在最低点时处于超重状态
[解析]　杯子运动到最高点时，水刚好不落下，对水则有mg＝m，所以杯子在最高点时的速度v＝＝2 m/s，故A错误；当杯子到最高点速度为6 m/s时，对水根据牛顿第二定律有FN＋mg＝m，解得FN＝16 N，即杯子对水的弹力为16 N，方向竖直向下，根据牛顿第三定律可得水对杯子的弹力大小为16 N，方向竖直向上，故B错误；杯子在运动过程中做的是变速圆周运动，沿圆周下降过程速度增加是因为其受到的合力沿切线方向的分力与速度同向，故C正确；杯子在最低点时加速度方向竖直向上，此时杯子处于超重状态，故D正确。
[答案]　CD
　如图所示，半径R＝0.40 m的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与水平地面相切于圆环的端点A。一小球从A点冲上竖直半圆环，沿轨道运动到B点飞出，最后落在水平地面上的C点(图上未画)，g取10 m/s2。
(1)能实现上述运动时，小球在B点的最小速度是多少？
(2)能实现上述运动时，A、C间的最小距离是多少？
[解析]　(1)小球在B点速度最小时，小球与半圆环轨道间的弹力恰好等于0，此时小球仅受竖直向下的重力作用，根据牛顿第二定律有mg＝m eq \f(v,R)，解得vmin＝＝2 m/s。
(2)小球从B点水平飞出做平抛运动，小球以最小速度平抛时距离最小。设小球做平抛运动的时间为t，A、C间最小距离为x，则水平方向有x＝vmint，竖直方向有2R＝gt2，由此解得t＝0.4 s，x＝0.8 m。
[答案]　(1)2 m/s　(2)0.8 m
模型2　轻杆模型
　(2025·江西宜春市期末)如图所示，用长为L的轻杆连着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法正确的是 (　　)
A．小球在最高点时轻杆受到的作用力可能为零
B．小球在圆周最高点的向心力只由重力提供
C．小球过最低点轻杆对小球的拉力可能等于小球的重力
D．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为
[解析]　当小球在最高点时的速度v＝，此时小球靠重力提供向心力，轻杆受到的作用力为零，故A正确；小球在圆周最高点的向心力可能由重力和轻杆作用力的合力来提供，不一定只由重力提供，故B错误；在最低点，小球靠拉力和重力的合力提供向心力，合力向上，则拉力大于重力，故C错误；由轻杆模型可知小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，最高点的速率为零，故D错误。
[答案]　A
　如图甲所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动。当小球运动到圆形管道的最高点时，管道对小球的弹力与在最高点时的速度平方的关系如图乙所示(取竖直
向下为正方向)。MN为通过圆心的一条水平线。不计小球半径、管道的粗细，重力加速度为g。下列说法正确的是 (　　)
A．管道的半径为
B．小球的质量为
C．小球在MN以下的管道中运动时，内侧管壁对小球可能有作用力
D．小球在MN以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
[解析]　由题图乙可知，当v2＝b时，FN＝0，此时mg＝m，解得R＝，A错误；当v2＝0时，此时FN＝mg＝a，所以m＝，B正确；小球在水平线MN以下的管道中运动时，由于向心力的方向要指向圆心，则管壁必然要提供指向圆心的支持力，只有外壁才可以提供这个力，所以内侧管壁对小球没有作用力，C错误；小球在水平线MN以上的管道中运动时，重力沿径向的分量必然参与提供向心力，故外侧管壁可能对小球有作用力，内侧管壁也可能对小球有作用力，还可能均无作用力，D错误。
[答案]　B
1．(竖直面内的匀速圆周运动)如图所示，在粗糙水平木板上放一个物块，使木板和物块一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，ab为水平直径，cd为竖直直径，在运动中木板始终保持水平，物块相对于木板始终静止，则 (　　)
A．物块始终受到三个力作用
B．物块受到的合外力始终指向圆心
C.在c、d两个位置，物块所受支持力相同，摩擦力为零
D．在a、b两个位置，物块所受摩擦力提供向心力，支持力为零
解析：选B。物块在最高点c和最低点d均受重力和支持力两个力作用，两个力的合力提供向心力，故A错误；物块做匀速圆周运动，合外力提供向心力，可知合外力始终指向圆心，故B正确；在最高点和最低点，摩擦力是零，重力和支持力的合力提供向心力，在位置c，根据牛顿第二定律得mg－Nc＝m，所以Ncmg，C错误；在a、b两个位置，重力和支持力平衡，即N＝mg，物块所受静摩擦力提供向心力，故D错误。
2．(竖直面内的变速圆周运动)如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动。圆环半径为R，小球半径不计，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环。当其通过最高点时下列表述不正确的是(重力加速度为g) (　　)
A．小球对圆环的压力大小等于mg
B．重力mg提供小球做圆周运动所需的向心力
C．小球的线速度大小等于
D．小球的向心加速度大小等于g
解析：选A。因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力为零，只受重力作用，即重力mg提供小球做圆周运动所需的向心力，则有mg＝m＝ma即v＝，a＝g，A错误，B、C、D正确。
3．(竖直面内的变速圆周运动)如图所示，轻质棒一端固定有质量为m的小球，棒长为R，现以棒的另一端O为圆心，使之在竖直平面内做圆周运动，那么当球运动至最高点，
(1)ω等于多少时，小球对棒的作用力为零？
(2)ω等于多少时，小球对棒的压力为mg
(3)ω等于多少时，小球对棒的拉力为mg
解析：(1)在最高点，如果小球对棒作用力为零，小球做圆周运动的向心力由重力充当，由牛顿第二定律有mg＝mω2R，解得ω＝。
(2)在最高点，小球对棒的压力为mg时，由牛顿第三定律可知，棒对小球的支持力为mg，则由牛顿第二定律有mg－mg＝mω2R，解得ω＝ 。
(3)在最高点，小球对棒的拉力为mg时，由牛顿第三定律可知，棒对小球的拉力为mg，则由牛顿第二定律有mg＋mg＝mω2R，解得ω＝ 。
答案：(1)　(2) 　(3)(共23张PPT)
课后达标检测
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题组1　向心加速度的理解和方向
1．下列关于向心加速度的说法正确的是 (　　)
A．向心加速度越大，物体速率变化得越快
B．向心加速度的大小与轨道半径成反比
C．向心加速度的方向始终与速度方向垂直
D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量
解析：向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小，故A错误；
向心加速度为沿半径方向的加速度，方向时刻改变，指向圆心，且方向垂直于速度方向，故C正确，D错误。
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2．关于匀速圆周运动的说法正确的是 (　　)
A．匀速圆周运动是匀速运动
B．匀速圆周运动是变速运动
C．匀速圆周运动的加速度不变
D．匀速圆周运动的线速度不变
解析：匀速圆周运动速度大小不变，方向变化，是变速运动，A错误，B正确；
匀速圆周运动的加速度方向始终指向圆心，方向时刻在改变，C错误；
匀速圆周运动的线速度是矢量，方向时刻改变，D错误。
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由a＝ω2r知，当角速度ω一定时，向心加速度a与半径r成正比，D正确。
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题组2　向心加速度的大小
4．(2025·浙江宁波市期末)如图所示，当风扇匀速转动时，到转轴距离相同的a、b两点　 (　　)
A.线速度相同
B．转动周期相同
C．角速度不相同
D．向心加速度大小不同
解析：a、b两点随风扇转动，角速度、周期均相同，线速度是矢量，两点的运动方向不同，所以线速度不同。根据a＝ω2r可知，向心加速度大小相同，方向不同。
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6. “旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm处的点向心加速度大小约为 (　　)
A．10 m/s2 B． 100 m/s2
C．1 000 m/s2 D．10 000 m/s2
解析：纽扣上各点绕其中心做圆周运动的角速度相等，已知n＝50 r/s，则a＝ω2r＝(2πn)2r＝4×π2×502×1×10-2 m/s2≈1×103 m/s2，C正确。
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7．如图所示，一个圆盘在水平面内匀速转动，盘面上有两个小物块A、B，它们到圆盘中心的距离分别为r和2r，它们随圆盘一起匀速转动，关于小物块A、B各物理量之比正确的是 (　　)
A．角速度之比ωA∶ ωB＝1∶1
B．周期之比TA∶ TB＝1∶2
C．线速度之比vA∶ vB＝1∶1
D．向心加速度之比aA∶ aB＝2∶1
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8．如图所示，A、B两点分别位于大、小轮的边缘上，C点位于大轮半径的中点，大轮的半径是小轮的2倍，它们之间靠摩擦传动，接触面上没有滑动，则 (　　)
A．A、B两点角速度大小之比为2∶1
B．A、B两点向心加速度大小之比为2∶1
C．B、C两点角速度大小之比为2∶1
D．B、C两点向心加速度大小之比为2∶1
解析：由题意可知，同缘传动边缘点线速度相等，故A与B的线速度的大小相同，即vA＝vB，A、C两点为同轴转动，角速度相等，即ωA＝ωC，根据v＝ωr，结合题意可得ωB∶ωA∶ωC＝2∶1∶1，故C正确，A错误；
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9．如图所示，走时准确的时钟，分针与秒针由转动轴到针尖的长度之比是3∶4，则下列说法正确的是 (　　)
A.分针与秒针的角速度之比为12∶1
B．分针与秒针的周期之比为1∶60
C．分针针尖与秒针针尖的线速度大小之比为1∶80　
D．分针针尖与秒针针尖的向心加速度大小之比为1∶480
根据v＝ωr，分针针尖与秒针针尖的线速度大小之比v1∶v2＝1∶80，故C正确；
根据a＝ω2r，分针针尖与秒针针尖的向心加速度大小之比a1∶a2＝1∶4 800，故D错误。
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10．(多选)(2025·河北秦皇岛市期末)大型游乐装置“大摆锤”的简图如图所示，摆锤a和配重锤b分别固定在摆臂两端，并可绕摆臂上的转轴O在纸面内转动。若a、b到O的距离之比为2∶1，在摆臂匀速转动的过程中，下列说法正确的是 (　　)
A．a、b的线速度大小之比为2∶1
B．a、b的角速度大小之比为1∶2
C．a、b的向心加速度大小之比为2∶1
D．a、b的向心加速度大小之比为1∶4
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解析：a、b两点同轴转动，所以角速度相等，根据v＝ωr，可得a、b的线速度大小之比va∶vb＝ra∶rb＝2∶1，根据a＝ω2r，可得a、b的向心加速度大小之比aa∶ab＝ra∶rb＝2∶1。
11．(多选)如图所示，有一个很大的圆形餐桌，水平桌面中间嵌着一可绕中心轴O转动的圆盘，圆盘上A处放一质量为m的菜盘，B处放一质量为0.5m的菜盘，OA＝2OB，圆盘匀速转动，两菜盘均视为质点且不打滑。下列说法正确的是 (　　)
A．A、B两处菜盘的周期之比为1∶2
B．A、B两处菜盘的线速度大小之比为2∶1
C．A、B两处菜盘的向心加速度大小之比为 4∶1　
D．A、B两处菜盘受到的静摩擦力大小之比为4∶1
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同理，根据v＝ωr，依题意，由rA＝2rB可知，A、B两处菜盘的线速度大小之比为2∶1，故B正确；
根据a＝ω2r可知，A、B两处菜盘的向心加速度大小之比为2∶1，故C错误；
12．(12分)如图所示，轮O1、O3固定在同一转轴上，轮O1、O2用皮带连接且不打滑。在O1、O2、O3三个轮的边缘各取一点，分别为A、B、C，已知三个轮的半径之比r1∶r2∶r3＝2∶1∶1。求：
(1)A、B、C三点的角速度之比ωA∶ωB∶ωC；(6分)
解析：A、C同轴转动，角速度相等，A、B两点靠
皮带传动，线速度大小相等，根据v＝rω，
有ωA∶ωB＝r2∶r1＝1∶2
所以A、B、C三点的角速度之比ωA∶ωB∶ωC＝1∶2∶1。
答案：1∶2∶1　
(2)A、B、C三点的向心加速度大小之比aA∶aB∶aC。(6分)
解析：A、B两点靠皮带传动，线速度大小相等，A、C同轴转动，角速度相等，根据v＝rω，有vA∶vC＝r1∶r3＝2∶1
所以A、B、C三点的线速度大小之比vA∶vB∶vC＝2∶2∶1
根据a＝vω，可知A、B、C三点的加速度大小之比
aA∶aB∶aC＝2∶4∶1。
答案：2∶4∶1(共33张PPT)
专题提升课4　水平面和斜面内的圆周运动
专题深度剖析
PART
01
第一部分
微专题一　水平面内的圆周运动
角度1　水平面内圆周运动特点
1．运动轨迹是水平面内的圆。
2．合外力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力为零，物体在水平面内做匀速圆周运动。
　　如图所示，质量分别为3m、m的小球A、B固定在长L的轻杆两端，轻杆置于水平桌面上可绕中心O转动，不计阻力。当轻杆以角速度ω匀速转动时，下列说法正确的是 (　　)
A．转轴所受杆的弹力方向指向B球
B．两球所需要的向心力大小不相等
C．转轴所受杆的弹力大小为2mω2L
D．保持转动角速度不变，任一球的质量增大，转轴所受杆的拉力增大
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有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ，游玩者与座椅的总质量为m，将游玩者和座椅看作一质点，不计钢绳的重力和空气阻力，重力加速度为g。求：
(1)游玩者与座椅的向心力大小；
[解析]　游玩者与座椅的向心力由重力
与绳子拉力的合力提供，其受力分析如
图所示，根据几何关系可得F向＝mg tan θ。
[答案]　mg tan θ
(2)转盘转动的角速度。
2．如果除摩擦力外还有其他力，如绳两端连接物体，其中一个物体竖直悬挂，另外一个物体在水平面内做匀速圆周运动，此时存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向分别为沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。
如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速转动，A、B间的动摩擦因数μA大于圆盘与B间的动摩擦因数μB，则下列说法正确的是 (　　)
A．A、B都有沿切线方向向后滑动的趋势
B．B运动所需的向心力大于A运动所需的向心力
C．圆盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍
D．缓慢增加圆盘转动的角速度，A可能从B上滑出
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[解析]　A、B所受静摩擦力指向圆心，则两物体都有沿半径方向向外滑动的趋势，A错误；
根据F向＝mω2r可知，B运动所需的向心力等于A运动所需的向心力，B错误；
对AB整体分析fB＝2mω2r，对A分析fA＝mω2r，即圆盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍，C正确；
(多选)(2025·湖南邵阳市期末)如图所示，A、B两个材料相同的物体放在水平旋转的圆盘上，A的质量为m，B的质量为2m，B离轴距离为R，A离轴距离为2R，两物体始终相对盘静止，则 (　　)
A．A与B的线速度大小之比为2∶1
B．A与B的角速度之比为1∶1
C．A与B的向心加速度大小之比为1∶1
D．在转盘转速增加时，A比B先开始滑动
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[解析]　A与B的角速度均等于圆盘的角速度，则有ωA∶ωB＝1∶1，根据v＝ωr，可得vA∶vB＝2R∶R＝2∶1，故A、B正确；
根据a＝ω2r，可得aA∶aB＝2R∶R＝2∶1，故C错误；由静摩擦力提供向心力可得f＝ma，可得A与B所受摩擦力大小相等，最大静摩擦力fm＝μmg，A的质量小，最大静摩擦力小，所以A比B先滑动，故D正确。
角度3　与弹力有关的临界问题
压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零。绳中拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳中拉力恰好为最大承受力等。
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[解析]　由于小球所受重力不为零，则a绳的张力不可能为零，b绳的张力可能为零，故A错误；
由于a绳的张力在竖直方向的分力等于重力，角θ不变，所以a绳张力不变，b绳的张力随角速度的增大而增大，故B错误；
[答案]　2mg
微专题二　斜面内的圆周运动
1．常见模型
(1)如图甲所示，静摩擦力控制下的圆周运动
(2)如图乙所示，轻绳控制下的圆周运动
(3)如图丙所示，轻杆控制下的圆周运动
2．分析方法：这类问题的特点是重力的分力和其他力的合力提供向心力，运动和受力情况比较复杂。由于重力沿斜面的分力不变，在斜面内做圆周运动的物体的速率不断变化，运动情况与竖直面内的圆周运动类似，所以通常分析物体在最高点和最低点的受力情况求临界状态。物体在斜面上运动时，若受摩擦力，还要参照水平面内圆周运动的临界问题分析摩擦力的突变问题，如静摩擦力的方向变化、静摩擦力变为滑动摩擦力。
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随堂巩固落实
PART
02
第二部分
1．(水平面内的圆周运动)(2025·江苏扬州市期末)游乐园有一种游戏设施叫作“魔盘”，游戏规则是：缓慢增大水平魔盘角速度，谁最后被甩出去，谁就会赢得比赛。下列四位同学想赢得比赛，其他条件相同的情况下(　　)
A．甲同学认为应该抱一重物
B．乙同学认为躺着比坐着好
C．丙同学认为靠近边缘好
D．丁同学认为靠近中心好
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根据上述分析，对于同一位学生，最大静摩擦力不变，越靠近边缘所需要的向心力就越大，当静摩擦力小于其圆周运动所需要的向心力时，学生就会被甩出去，故越靠近中心越好， C错误，D正确。
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√题组1　车辆转弯问题
1．如图所示，山崖边的公路常被称为最险公路，一辆汽车欲安全通过此弯道公路(公路水平)，下列说法不正确的是 (　　)
A．若汽车以恒定的角速度转弯，选择内圈较为安全
B．若汽车以大小恒定的线速度转弯，选择外圈较为安全
C．汽车在转弯时受到重力、支持力和摩擦力作用
D．汽车在转弯时受到重力、支持力、摩擦力和向心力作用
解析：选D。汽车在转弯时受到重力、支持力和摩擦力作用，其中摩擦力提供向心力，故C正确，与题意不符，D错误，与题意相符；汽车转弯时，径向的静摩擦力提供向心力有一个最大静摩擦力的限制，所需向心力越小，则汽车越安全，根据公式F＝m＝mω2r易知，汽车以恒定的角速度转弯，选择内圈时，轨道半径较小，所需向心力较小，较为安全，汽车以大小恒定的线速度转弯，选择外圈时，轨道半径较大，所需向心力较小，较为安全，故A、B正确，与题意不符。
2．一汽车在水平地面上以恒定速率行驶，汽车通过如图所示的a、b、c三处时的向心力 (　　)
A.FaFb>Fc
C．Fa>Fc>Fb D．Fa＝Fb＝Fc
解析：选A。汽车在水平地面上以恒定速率行驶，通过题图所示的a、b、c三处时半径逐渐减小，故由向心力F＝m，解得Fa题组2　汽车过桥问题
3．如图所示，当汽车通过拱桥顶点的速度为10 m/s时，车对桥顶的压力为车所受重力的 。如果要使汽车在粗糙的桥面行驶至桥顶时，不受摩擦力作用，则汽车通过桥顶的速度应为(g取10 m/s2) (　　)
A．15 m/s　　　　　 B．20 m/s
C．25 m/s D．30 m/s
解析：选B。当v＝10 m/s时，mg－mg＝m，当N＝0时，mg＝m eq \f(v,R)，联立解得v1＝20 m/s。
4．(多选)图为一汽车(质量一定)通过凹形桥(曲率半径一定)最低点时的示意图，下列判断正确的是 (　　)
A．汽车的角速度越大，对桥底的压力越大
B．汽车的速度越大，对桥底的压力越小
C．汽车的向心加速度越大，对桥底的压力越大
D．汽车的向心加速度越大，对桥底的压力越小
解析：选AC。根据FN－mg＝ma＝mω2r＝m，结合牛顿第三定律可知，汽车的角速度越大，对桥底的压力越大；汽车的速度越大，对桥底的压力越大；汽车的向心加速度越大，对桥底的压力越大。
题组3　离心运动
5．一摩托车比赛转弯时的情形如图所示。转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动。对于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是 (　　)
A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B．摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去
D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
解析：选B。摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，A错误；摩托车正常转弯时可看作是做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明提供的向心力即合力小于需要的向心力，B正确；摩托车将沿曲线做离心运动，C、D错误。
6．(多选)离心沉淀器可以加速物质的沉淀，它的示意图如图所示，试管中先装水，再加入粉笔粉末后搅拌均匀，当试管绕竖直轴高速旋转时，两个试管几乎成水平状态，然后可观察到粉笔粉末沉淀在试管的底端，则 (　　)
A．旋转越快，试管的高度越低
B．粉笔粉末向试管底部运动是一种离心现象
C．旋转越快，粉笔粉末的沉淀现象越明显
D．旋转越快，粉笔粉末的沉淀现象越不明显
解析：选BC。对试管整体分析，整体受到的合力提供向心力，设试管中心线与竖直方向夹角为α，则提供的向心力为mg tan α，当转速增大时，需要的向心力增大，故角度α增大，管越高，A错误；离心沉淀器是一种离心设备，不同的物质混合，当离心沉淀器工作时，会发生离心现象，B正确；转速越快，离心运动越剧烈，粉笔粉末的沉淀现象越明显，C正确，D错误。
7．一质量为2.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104 N。当汽车经过半径为80 m的弯道时，下列判断正确的是 (　　)
A．汽车转弯时所受的力有重力、支持力、摩擦力和向心力
B．汽车转弯的速度为20 m/s时所需的向心力为1.4×104 N
C．汽车转弯的速度为20 m/s时汽车会发生侧滑
D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2
解析：选D。汽车转弯时受到重力、地面的支持力以及地面给的摩擦力，其中摩擦力充当向心力，A错误；当最大静摩擦力充当向心力时，速度为临界速度，大于这个速度则发生侧滑，根据牛顿第二定律可知f＝m，解得v＝ ＝20 m/s，所以汽车转弯的速度为20 m/s时，所需的向心力小于1.4×104 N，汽车不会发生侧滑，B、C错误；汽车能安全转弯的向心加速度a＝＝ m/s2＝7 m/s2，即汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2，D正确。
8．(多选)一个质量为m的物体(体积可忽略)，在半径为R的光滑半球顶点处以水平速度v0运动，如图所示，则下列说法正确的是 (　　)
A．若v0＝，则物体对半球顶点无压力
B．若v0＝ ，则物体对半球顶点的压力为mg
C．若v0＝0，则物体对半球顶点的压力为mg
D．若v0＝0，则物体对半球顶点的压力为零
解析：选AC。设物体受到的支持力为N，若v0＝，根据mg－N＝m eq \f(v,R)，得N＝0，由牛顿第三定律知物体对半球顶点无压力，A正确；若v0＝ ，根据mg－N＝m eq \f(v,R)，得N＝mg，由牛顿第三定律知物体对半球顶点的压力为mg，B错误；若v0＝0，根据牛顿第二定律mg－N＝m eq \f(v,R)＝0，得N＝mg，由牛顿第三定律知物体对半球顶点的压力为mg，C正确，D错误。
9．(2025·天津南开区期中)钢架雪车是一项精彩刺激的冬奥会比赛项目，运动员从起跑区推动雪车起跑后俯卧在雪车上，经出发区、滑行区和减速区等一系列直道、弯道后到达终点，用时少者获胜。图(a)是比赛中一名运动员通过滑行区某弯道时的照片。假设可视为质点的运动员和车的总质量为m，其在弯道P处做水平面内圆周运动可简化为如图(b)所示的模型，车在P处的速率为v，弯道表面与水平面成θ角，此时车相对弯道无侧向滑动，不计摩擦阻力和空气阻力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是 (　　)
A．在P处车对弯道的压力大小为mg cos θ
B．在P处运动员和车的向心加速度大小为g tan θ
C．在P处运动员和车做圆周运动的半径为
D．若雪车在更靠近轨道内侧的位置无侧滑通过该处弯道，则速率比原来大
解析：选B。对人和车受力分析，如图所示，根据几何关系FN＝，根据牛顿第三定律，可知车对弯道的压力大小F压＝，故A错误；根据牛顿第二定律可得mg tan θ＝m＝ma，解得R＝，a＝g tan θ，故B正确，C错误；若雪车滑行的位置更加靠近轨道内侧，则圆周运动的半径减小，根据mg tan θ＝m可知，其速率比原来小，故D错误。
10．(12分)现有一辆质量m＝9 000 kg的轿车，行驶在沥青铺设的公路上，g取10 m/s2。
(1)如果汽车在公路的水平弯道上以30 m/s的速度转弯，轮胎与地面间的径向最大静摩擦力为车重的0.6，若要汽车不向外发生侧滑，弯道的最小半径是多少？(4分)
(2)如果汽车驶过半径R′＝90 m的一段凸形桥面
①若汽车以20 m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大？(4分)
②若汽车在过最高点时不能脱离桥面，则汽车的速度不能超过多少？(4分)
解析：(1)对汽车进行受力分析，由静摩擦力提供向心力，则有0.6mg＝m eq \f(v,Rmin)，解得Rmin＝150 m。
(2)①对汽车进行受力分析，由沿半径方向的合力提供向心力，则有
mg－FN1＝m eq \f(v,R′)
根据牛顿第三定律有
FN2＝FN1
解得FN2＝5×104 N。
②若汽车在过最高点时不能脱离桥面，当速度最大时，恰好由重力提供向心力，则有
mg＝m eq \f(v,R′)
解得vmax＝30 m/s。
答案：(1)150 m　(2)①5×104 N　②30 m/s

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