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章末知识网络建构
[备选答案]
提示：将以下备选答案前的字母填入左侧正确的位置。
A．G
B．7.9
C．
D．6.67×10-11
答案：A　D
C　B
开普勒第一定律
轨道定律
开普勒定律
开普勒第二定律
面积定律
开普勒第三定律
周期定律
万有引力定律的发现
内容
万有引力定律
万有引力定律
公式：F=
引力常量G=
N·m2kg2
有引力定律
“称量”地球质量：M=
(或GM=gR2)
预言未知星体
计算中心天体质量：GMm=m
4π2
2
7T2r→M
计算天体质量
发现未知天体：如海王星的发现
预言哈雷彗星回归
第一宇宙速度：
km/s
宇宙速度
第二宇宙速度：11.2km/s
宇宙航行
第三宇宙速度：16.7km/s
人造地球卫星的运行：G
-ma=m
4T2
六3
mor=m2题组1　卫星变轨问题
1．卫星变轨发射示意图如图所示，椭圆轨道Ⅱ与圆轨道Ⅰ、Ⅲ分别相切于A、B两点。卫星沿轨道Ⅰ过A点的速度、加速度分别为v1、a1；卫星沿轨道Ⅱ过A点的速度、加速度分别为v2、a2，过B点的速度、加速度分别为v3、a3；卫星沿轨道Ⅲ过B点的速度、加速度分别为v4、a4。下列说法正确的是 (　　)
A.a1a3；v2＝v3
C．a3＝a4；v3>v4 D．a2>a4；v2>v4
解析：选D。卫星沿轨道Ⅰ、Ⅱ过A点时，万有引力相等，则根据牛顿第二定律可知，加速度相等，但是卫星过A点由轨道Ⅰ至轨道Ⅱ需要加速，则v1a3，卫星沿椭圆轨道Ⅱ由A点运动到B点，根据开普勒第二定律可知v2>v3，故B错误；卫星沿轨道Ⅱ、Ⅲ过B点时，万有引力相等，则根据牛顿第二定律可知，加速度相等，但是卫星过B点由轨道Ⅱ转移到轨道Ⅲ需要加速，则v3a4，根据G＝m解得v＝ ，可知v2>v4，故D正确。
2．小智利用元宇宙模拟载人飞船实现登月，飞船在轨道Ⅱ绕月球做匀速圆周运动，在M点变轨后进入登陆轨道Ⅰ，N点为登月着陆点，则下列说法正确的是 (　　)
A.飞船在轨道Ⅱ的速度可能大于7.9 km/s
B．飞船在轨道Ⅱ经过M点时的速度小于在轨道Ⅰ经过M点时的速度
C．飞船在轨道Ⅱ上的运行周期大于在轨道Ⅰ上的运行周期
D．小智登月后用一个弹簧测力计和一质量为m的砝码即可估测月球的质量
解析：选C。根据＝m解得v＝ ，可知飞船在轨道Ⅱ的速度小于月球的第一宇宙速度，又因为地球的第一宇宙速度为7.9 km/s大于月球的第一宇宙速度，所以飞船在轨道Ⅱ的速度小于7.9 km/s，故A错误；飞船在轨道Ⅱ经过M点时减速变轨可以进入轨道Ⅰ，所以飞船在轨道Ⅱ经过M点的速度大于在轨道Ⅰ经过M点时的速度，故B错误；根据＝mr解得T＝ ，可知飞船在轨道Ⅱ上的运行周期大于在轨道Ⅰ上的运行周期，故C正确；小智登月后用一个弹簧测力计和一质量为m的砝码，根据F＝mg可以计算出月球表面的重力加速度g，月球半径未知，根据＝mg可知，不能估测月球的质量，故D错误。
题组2　卫星相距“最近”“最远”问题
3．(多选)“火星合日”是指火星、太阳、地球三者之间形成一条直线时，从地球的方位观察，火星位于太阳的正后方，火星被太阳完全遮蔽的现象，如图所示。已知地球、火星绕太阳运动的方向相同，若把火星和地球绕太阳运动的轨道视为圆，火星绕太阳公转周期约等于地球公转周期的2倍，由此可知 (　　)
A.“火星合日”每年都会出现至少一次
B．“火星合日”不是每年都会出现
C．火星的公转半径约为地球公转半径的 　倍
D．火星的公转半径约为地球公转半径的8倍
解析：选BC。根据题意有t－t＝2π，解得t＝＝2T地，故“火星合日”约每2年出现一次，B正确，A错误；根据G＝mr得r＝，火星绕太阳公转周期约等于地球公转周期的2倍，则火星的公转半径约为地球公转半径的 　倍，C正确，D错误。
题组3　双星模型问题
4．(2025·河北沧州市期末)如图所示，“食双星”是两颗相距为d的恒星A、B，只在相互引力作用下绕连线上O点做匀速圆周运动，彼此掩食(像月亮挡住太阳)而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星。观察者在地球上通过望远镜观察“食双星”，视线与双星轨道共面。观测发现每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，已知引力常量为G，则恒星A、B的总质量为 (　　)
A. B．
C． D．
解析：选A。每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，则两恒星的运动周期为2T，根据万有引力提供向心力有G＝mArA，G＝mBrB，联立可得mA＋mB＝。
5．一个处于宁静态的中子星与红矮星组成的双星系统，中子星与红矮星的质量比约为2∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动，则此中子星绕O点运动的 (　　)
A.角速度大于红矮星的角速度
B．线速度小于红矮星的线速度
C．轨道半径大于红矮星的轨道半径
D．向心力大小约为红矮星的2倍
解析：选B。双星系统中，由于两星在相同时间内转过的角度相等，则双星系统的角速度相等，即中子星绕O点运动的角速度等于红矮星的角速度，A错误；根据＝m1ω2r1，＝m2ω2r2，解得＝，即星体质量越大，轨道半径越小，根据题意中子星质量大，可知中子星绕O点运动的轨道半径小于红矮星的轨道半径，C错误；根据v＝ωr知，双星系统角速度相等，中子星的轨道半径小一些，则中子星绕O点运动的线速度小于红矮星的线速度，B正确；双星系统中，由星体之间的万有引力提供向心力，可知中子星绕O点运动的向心力大小等于红矮星的向心力大小，D错误。
6．(多选)天文观测已经证实，三星系统是常见的，甚至在已知的大质量恒星群中占主导地位。如图所示，P、O、S三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，已知等边三角形边长为l，三颗星做匀速圆周运动的周期为T，引力常量为G，忽略其他星体对它们的引力作用，则 (　　)
A.三颗星的质量可能不相等
B．三颗星的质量均为
C．三颗星的线速度大小均为
D．任意一颗星所受的向心力大小为
解析：选BC。根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的合力指向圆心，则这两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于这两颗星到第三颗星的距离相同，故这两颗星的质量相同，同理可得三颗星的质量一定相同，故A错误；轨道半径等于等边三角形外接圆的半径r＝l，设三颗星的质量为m，根据牛顿第二定律可得 2cos 30°＝mr，解得三颗星的质量均为m＝，故B正确；线速度大小v＝＝，故C正确；任意一颗星所受的向心力大小F＝mr＝，故D错误。
7．(10分)如图所示，A是地球的同步卫星，另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h。已知地球半径为R，地球自转角速度为ω，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心。
(1)求卫星B的运行周期。(4分)
(2)若卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？(6分)
解析：(1)设地球质量为m地，地球表面上质量为m的物体所受的万有引力等于重力，即
G＝mg ①
设卫星B的运行周期为TB，质量为mB，根据牛顿第二定律有G＝mB eq \f(4π2,T)(R＋h) ②
联立①②解得TB＝2π 。
(2)卫星A的周期TA＝
设至少经过时间t，卫星A、B再一次相距最近，则
－＝1，解得t＝。
答案：(1)2π 　(2)
8．(12分)某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星体在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动。由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G，请计算：
(1)S1的加速度大小；(4分)
(2)S1的质量；(4分)
(3)双星的总质量。(4分)
解析：(1)S1的加速度大小
a＝r1ω2＝。
(2)根据万有引力提供向心力有
G＝m1r1，G＝m2r2
又r1＋r2＝r
解得m1＝，m2＝。
(3)双星的总质量m＝m1＋m2＝。
答案：(1)　(2)　(3)(共45张PPT)
第2节　万有引力定律
学习目标
1．知道太阳与行星间存在引力。　2.能利用开普勒定律和牛顿第三定律推导出太阳与行星之间引力的表达式。　3.理解万有引力定律的内容、含义及适用条件。　4.认识万有引力定律的普遍性，能应用万有引力定律解决实际问题。
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、苹果落地引发的思考
1．牛顿的思考
苹果由于受到地球的_________而落向地面；月球不沿直线运动而是绕地球做圆周运动，表明月球受到方向指向_________的向心力作用。
2．思考的结论
(1)月球必定受到_________对它的引力作用。
(2)苹果与月球在运动中受到的都是地球对它们的_________。
(3)行星围绕太阳运动的向心力是_________对行星的引力。
吸引力
地心
地球
引力
太阳
由牛顿第三定律知行星对太阳的引力F′也应与太阳的质量M成正比，即F′∝_________。所以F＝F′∝_________。
2．万有引力定律
(1)内容：任何两个物体之间都存在相互作用的_________，引力的大小与这两个物体的质量的乘积成_________，与这两个物体之间的距离的平方成_________。
(2)公式：F＝_________，式中G称为引力常量，是一个与物质种类无关的普适常量。
反比
引力
正比
三、引力常量
1．1798年，英国物理学家_________首先精确地测出了引力常量G的数值。
2．大小：G＝_________ N·m2/kg2。
3．意义：G的测出使万有引力定律的公式有了真正的实用价值。
卡文迪许
6.67×10-11
√
×　
√
√
课堂深度探究
PART
02
第二部分
知识点一　太阳和行星间的引力
1．两个理想化模型
(1)匀速圆周运动模型：由于太阳系中行星绕太阳做椭圆运动的轨迹的两个焦点靠得很近，行星的运动轨迹非常接近圆，所以将行星的运动看成匀速圆周运动。
(2)质点模型：由于天体间的距离很远，研究天体间的引力时将天体看成质点，即天体的质量集中在球心上。
2．推导过程
(1)太阳对行星的引力
3．太阳与行星间的引力特点
(1)太阳与行星间的引力大小与三个因素有关：太阳质量、行星质量、太阳与行星间的距离。太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线方向。
(2)太阳与行星间的引力是相互的，遵循牛顿第三定律。
√
(多选)下列关于太阳对行星的引力的说法正确的是 (　　)
A．太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力
B．太阳对行星的引力大小与太阳的质量成正比，与行星和太阳间的距离的二次方成反比
C．太阳对行星的引力规律是由实验得出的
D．太阳对行星的引力规律是由开普勒行星运动定律和行星绕太阳做匀速圆周运动的规律推导出来的
√
[解析]　太阳对行星的引力规律是牛顿将开普勒行星运动定律结合圆周运动规律推导出来的，它不是实验得出的，太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力，故A、D正确，C错误；
知识点二　月—地检验
1．检验目的
验证维持月球绕地球运动的力、使物体下落的力，与使地球绕太阳运动的力是同一种性质的力，遵循相同的规律。
2．理论分析
设地球半径为R，地球与月球间距离为r。
4．检验结果
理论分析与实际观测符合得很好。这表明，地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力是同一种性质的力，遵循相同的规律。
√
知识点三　对万有引力定律的理解
[提示]　r指的是两个质点间的距离。
2．引力常量G
(1)对G值的理解
①目前引力常量推荐的标准值G＝6.674 08(31)×10-11 N·m2/kg2，通常取G＝6.67×10-11 N·m2/kg2。
②引力常量有单位，单位符号为N·m2/kg2。
③意义：在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互作用力。
④因为引力常量G很小，我们日常生活中接触的物体的质量又不是很大，所以我们很难察觉到物体之间的引力。
(2)引力常量的测定
卡文迪许扭秤实验的工作原理是利用大球和小球间产生力矩，如图所示，此力矩与石英丝N的力矩平衡。万有引力的力矩使T形架转动，T形架转动时带动平面镜M也发生转动，进而使在镜面上反射出的光线发生偏转，从刻度尺上读出光线偏转时光点移动的距离，进而计算偏转角度。
(3)引力常量测定的意义
①卡文迪许利用扭秤装置通过改变小球的质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性。
②引力常量的确定使万有引力定律能够进行定量的计算，显示出真正的实用价值。
③卡文迪许扭秤实验是物理学上非常著名和重要的实验，扭秤实验巧妙地利用等效转换的思想，合理地将微小量进行放大，开创了测量弱力的新时代。
√
角度1　万有引力定律的理解和应用
　　下列关于万有引力的说法正确的是 (　　)
A．万有引力只存在天体之间，地球上的物体之间不存在万有引力
B．两物体质量不变，距离变为原来2倍，他们之间的万有引力变为原来的一半
C．甲、乙两物体的质量不等，但甲对乙的万有引力和乙对甲的万有引力大小相等
D．两物体之间的万有引力总是大小相等、方向相反的一对平衡力
[解析]　根据万有引力定律可知，自然界任何两个物体都是相互吸引的，天体间万有引力大，常见的普通物体间万有引力太小，对物体影响小，但不是不存在，故A错误；
两物体之间的万有引力总是一对大小相等、方向相反的作用力和反作用力，不是平衡力，故C正确，D错误。
√
万有引力定律不仅适用于天体之间，故D错误。
√
　　(2025·江苏镇江市期末)设地球的质量均匀分布，地球半径为R。现在距离地面R处静止释放一个小物块，当小物块落到地面时，正好掉进一条贯穿地心的细直管道，则物体由静止开始运动到地球球心的过程中，关于加速度大小说法正确的是 (　　)
A．一直变大　　　　 B．先变大后不变
C．先变大后变小 D．先不变后变小
√
√
角度3　引力常量的测量
　　物理学领域中具有普适性的一些常量，对物理学的发展有很大作用，引力常量G就是其中之一。1798年，卡文迪许首次利用如图所示的装置，比较精确地测量出了引力常量。下列说法错误的是 (　　)
A．引力常量不易测量的一个重要原因就
是地面上普通物体间的万有引力太微小
B．月球上的引力常量等于地球上的引力常量
C．这个实验装置巧妙地利用了放大原理，提高了测量精度
D．引力常量G的大小与两物体质量的乘积成反比，与两物体间距离的二次方成正比
[解析]　引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的万有引力太微小，A正确，不符合题意；
引力常量是固定不变的量，与在月球上还是在地球上无关，B正确，不符合题意；
这个实验装置巧妙地利用了放大原理，提高了测量精度，C正确，不符合题意；
引力常量G的大小为定值，与两物体质量的乘积以及两物体间距离的二次方无关，D错误，符合题意。
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
√
解析：牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许利用扭秤实验测得了引力常量，故A错误；
根据牛顿第三定律可知，两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对作用力和反作用力，故B正确；
√
√
3．(引力常量的测定)图甲是演示桌面在压力作用下发生形变的装置；图乙是演示玻璃瓶在压力作用下发生形变的装置；图丙是卡文迪许测定引力常量的装置。这三个实验共同体现了 (　　)
A．控制变量的办法
B．放大的思想
C.比较的方法
D．等效的方法
解析：三个实验都是将微小的物理量通过不同的方式放大了，即这三个实验共同体现了放大的思想。
√
√(共35张PPT)
单元过关检测(三)
√
一、单项选择题：本题共7小题，每小题4分，共28分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．牛顿经典力学与爱因斯坦的相对论是物理学史上的两座里程碑。关于经典力学与相对论，下列说法正确的是 (　　)
A．爱因斯坦的狭义相对论全面否定了牛顿经典力学
B．牛顿经典力学只适用于宏观低速领域
C．在不同惯性系中，真空中测得的光速不一样
D．在地面上观察，接近光速飞行的飞船在运动方向上会变长
解析：爱因斯坦的狭义相对论并没有全面否定牛顿经典力学，牛顿经典力学仍适用于宏观低速领域，故A错误，B正确；
在一切惯性系中，真空中测得的光速都一样，故C错误；
在地面上观察，接近光速飞行的飞船在运动方向上会变短，故D错误。
√
2．如图所示，一卫星绕地球运动，图中虚线为卫星的运行轨迹，A、B、C、D是轨迹上的四个位置，其中A距离地球最近，C距离地球最远，下列说法正确的是 (　　)
A．卫星在A点的速度最大
B．卫星在B点的速度最大
C．卫星在C点的速度最大
D．卫星在D点的速度最大
解析：A点为近地点，C点为远地点，根据开普勒第二定律，A点速度最大，C点的速度最小。
√
√
宇宙飞船绕地心做匀速圆周运动，飞船舱内物体处于完全失重状态，人对秤的压力为零，即N＝0，C、D错误。
√
√
6．2024年2月23日6时34分，我国综合性太阳探测卫星“夸父一号”拍摄到太阳爆发的第25太阳活动周迄今强度最大的耀斑。“夸父一号”卫星绕地球做匀速圆周运动，距地面高度约为720 km，运行一圈所用时间约为100分钟。如图所示，为了随时跟踪和观测太阳的活动，“夸父一号”在随地球绕太阳公转的过程中，需要其轨道平面始终与太阳保持固定的取向，使太阳光能照射到“夸父一号”，下列说法正确的是 (　　)
A．“夸父一号”的运行轨道平面平均每天转动的角度约为1°
B．“夸父一号”绕地球做圆周运动的
速度大于7.9 km/s
C．“夸父一号”绕地球做圆周运动的
向心加速度大于地球表面的重力加速度
D．由题干信息，根据开普勒第三定律，
可求出日地间平均距离
解析：因为“夸父一号”轨道要始终保持被太阳光照射到，则在一年之内转动360°，即轨道平面平均每天转动约1°，故A正确；
第一宇宙速度是所有绕地球做圆周运动的卫星的最大环绕速度，则“夸父一号”的速度小于7.9 km/s，故B错误；
“夸父一号”绕地球转动，地球绕太阳转动，中心天体不同，则根据题中信息不能求解地球与太阳间的距离，故D错误。
√
7．2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51 900 km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9 900 km，周期约为24 h，则鹊桥二号在捕获轨道运行时 (　　)
A．周期约为144 h
B．近月点的速度大于远月点的速度
C．近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D．近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
根据开普勒第二定律得，近月点的速度大于远月点的速度，B正确；
鹊桥二号在近月点从捕获轨道到冻结轨道进行近月制动，在捕获轨道运行时近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，C错误；
两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，鹊桥二号在捕获轨道运行时近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，D错误。
√
√
√
√
若01星减速，其做圆周运动需要的向心力小于卫星受到的万有引力，因此其轨道半径减小，不可能与02星相撞，故D错误。
√
10．如图中的L1、L2、L3、L4、L5所示，人们称为拉格朗日点。其中位于L1、L2、L3点上的飞行器，在太阳与地球共同引力作用下，可以几乎不消耗燃料与地球保持同步绕太阳做圆周运动。若发射一颗卫星定位于拉格朗日L1点，下列说法正确的是 (　　)
A．该卫星绕太阳运动的周期和地球自转周期相等
B．该卫星在L1点处于非平衡状态
C．该卫星绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加速度
D．该卫星在L1处所受太阳和地球引力的合力比其在L2处小
√
解析：因该卫星与地球保持同步绕太阳做圆周运动，所以该卫星绕太阳运动的周期和地球公转周期相等，故A错误；
该卫星在L1点做匀速圆周运动，所受合外力提供向心力，处于非平衡状态，故B正确；
根据向心加速度公式a＝ω2r，由于角速度相等，该卫星的轨道半径小于地球的轨道半径，则该卫星绕太阳运动的向心加速度小于地球绕太阳运动的向心加速度，故C错误；
卫星所受太阳和地球引力的合力提供向心力，根据F＝mω2r，由于角速度相等，该卫星在L1处的轨道半径小于在L2处的轨道半径，可知该卫星在L1处所受太阳和地球引力的合力比在L2处小，故D正确。
√
√
三、非选择题：本题共4小题，共48分。解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。
12．(10分)2024年5月，嫦娥六号探测器在我国文昌成功发射，之后进入地月转移轨道，5月8日探测器成功实施近月制动，顺利进入环月轨道飞行，做周期为T的匀速圆周运动，之后登陆月球，完成月球背面采样任务后成功返回。若探测器登陆月球后，采集的质量为m的土壤静置在月球表面的水平压力传感器上，传感器的示数为F。已知月球半径为r，引力常量为G，求：
(1)月球表面的重力加速度及月球质量；(6分)
(2)环月轨道距月球表面的高度。(4分)
(2)倘若太阳能收缩成球形黑洞，求该黑洞的最大半径。(8分)
14．(12分)假设航天员登陆某星球后，在该星球表面一倾角为θ的斜坡上，以初速度v0水平抛出一个小球，小球经过时间t0落回斜坡，小球运动示意图如图所示，已知该星球的半径为R，引力常量为G，忽略航天员的身高，不考虑空气阻力和星球自转，求：
(1)该星球表面的重力加速度大小；(4分)
(2)该星球的平均密度。(8分)
15．(14分)设地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G，将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体，不考虑空气的影响。若把一质量为m的物体放在地球表面的不同位置，由于地球自转，它对地面的压力会有所不同。
(1)若把物体放在北极的地表，求地表对该物体的支持力的大小F1。(4分)
(2)若把物体放在赤道的地表，求该物体对地表压力的大小F2′。(4分)
(3)假设要发射一颗卫星，要求卫星定位于第(2)问所述物体的上方，且与物体间距离始终不变，请求出卫星距地面的高度h。(6分)(共44张PPT)
第3节　预言未知星体　计算天体质量
学习目标
1．理解“称量地球质量”的基本思路，了解万有引力定律在天文学上的重要应用。
2．会用万有引力定律计算天体的质量和密度。
3．理解计算太阳质量的基本思路，能将天体问题中的对象和过程转换成相关模型后进行求解。
4．掌握综合运用万有引力定律和圆周运动知识分析具体问题的方法。
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、预言彗星回归
1．哈雷根据引力理论，对1682年出现的哈雷彗星的轨道运动进行了计算，指出了不同年份出现的情况，并预言它再次出现的时间。
2．1743年，克雷洛计算了遥远的木星和土星对哈雷彗星运动规律的影响，指出了哈雷彗星运动经过_________的时间。
3．总之，由万有引力理论可以预知哈雷彗星每次临近地球的时间，并且经过验证都是正确的。
近日点
二、预言未知星体
1．已发现天体的轨道推算
18世纪，人们观测发现天王星的运动轨道与由_______________计算出来的轨道之间存在明显的偏差。
2．未知天体的发现：根据已发现的天体的运动轨道结合万有引力定律推算出还没发现的未知天体的轨道，如_________就是这样发现的。
万有引力定律
海王星
万有引力
万有引力
公转周期T
距离r
√
×　
×　
×　
×　
判断下列说法是否正确。
(1)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力。 (　　)
(2)若只知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的半径，则可以求出太阳的质量。 (　　)
(3)牛顿被称作第一个称出地球质量的人。 (　　)
(4)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量。(　　)
(5)海王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的。 (　　)
课堂深度探究
PART
02
第二部分
知识点一　万有引力和重力的关系
如图所示，人站在地球(地球被视为规则的球体)的不同位置，比如赤道、两极或者其他位置，人随地球的自转而做半径不同的匀速圆周运动，请思考：
(1)人在地球的不同位置，受到的万有引力大小一样吗？
(2)人在地球的不同位置，哪个力提供向心力？大小相同吗？受到的重力大小一样吗？
[提示]　万有引力的一个分力提供人随地球转动需要的向心力；在地球的不同位置，向心力不同；重力是万有引力的另一个分力，所以人在地球的不同位置，受的重力大小不一样。
√
√
知识点二　天体质量的计算
(2)“借助外援法”：借助绕中心天体(如地球)做圆周运动的行星或卫星的运动周期T和轨道半径r计算中心天体的质量，依据是万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力。
常见的情况如下：
√
√
√
知识点三　天体密度的计算
√
航天员在半径为R的某星球表面将一小钢球以v0的初速度竖直向上抛出，测得小钢球上升的最大高度为h。不计空气阻力，忽略该星球的自转，R远大于h，该星球为密度均匀的球体，引力常量为G。求：
(1)该星球表面的重力加速度g的大小；
(2)该星球的质量M；
(3)该星球的密度ρ。
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
√
√
2．(天体质量的计算)(2024·新课标卷，T16)天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的 (　　)
A．0.001 B．0.1
C．10倍 D．1 000倍
√
√题组1　对开普勒定律的理解
1．关于行星运动的规律，下列说法正确的是 (　　)
A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的中心处
B．行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大
C．离太阳的平均距离越大的行星，绕太阳公转的周期越大
D．不同轨道上的行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等
解析：选C。根据开普勒第一定律可知，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的焦点处，故A错误；根据开普勒第二定律可知，行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越小，故B错误；根据开普勒第三定律可知，离太阳的平均距离越大的行星，绕太阳公转的周期越大，故C正确；根据开普勒第二定律可知，对于同一行星，行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，故D错误。
2．对于宇宙天体和开普勒定律的理解，下列说法正确的是 (　　)
A．太阳是宇宙的中心，处于静止状态，地球及其他行星都绕太阳运动
B．行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上
C．行星距离太阳越近，其运动速率越小
D．行星围绕太阳运动的轨道半径跟它公转周期成正比
解析：选B。由开普勒定律可知，所有行星绕太阳做椭圆运动，太阳不是宇宙的中心，太阳围绕银河系中心旋转，而银河系不过是宇宙中千亿个星系中微不足道的一个，故A错误；行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上，故B正确；根据开普勒第二定律，行星距离太阳越近，其运动速率越大，故C错误；根据开普勒第三定律，行星围绕太阳运动的轨道半径的三次方跟它公转周期的二次方成正比，故D错误。
3．百武彗星是人类第一次探测到发射X射线的彗星，它的近日点仅0.1 AU，周期很长(200年以上)。已知地球的轨道半径为1 AU，只考虑行星与太阳间的作用力，下列说法正确的是 (　　)
A．百武彗星在近日点的速度比在远日点的速度小
B．百武彗星轨道的半长轴大于地球的轨道半径
C．太阳处在百武彗星椭圆轨道的中心点上
D．在远离太阳的过程中，百武彗星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积逐渐增大
解析：选B。由开普勒第二定律可知，百武彗星在近日点的速度比在远日点的速度大，故A错误；根据开普勒第三定律＝k可知，由于百武彗星轨道的周期大于地球公转周期，所以百武彗星轨道的半长轴大于地球的轨道半径，故B正确；太阳处在百武彗星椭圆轨道的焦点上，故C错误；由开普勒第二定律可知在远离太阳的过程中，百武彗星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积不变，故D错误。
4．(2025·江西南昌市期末)2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面的探月任务提供地月间中继通讯。如图所示，a、b、c、d为鹊桥二号在轨道上运行时经过的四个位置，则经过的四个位置中动能最大的是 (　　)
A．a点 B．b点
C．c点 D．d点
解析：选A。鹊桥二号围绕月球做椭圆运动，根据开普勒第二定律可知，近日点a点的速度最大，动能最大。
题组2　开普勒定律的应用
5．已知两个行星的质量m1＝2m2，公转周期T1＝2T2，则它们绕太阳运动轨道的半长轴之比为 (　　)
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
解析：选C。根据开普勒第三定律知＝k，又因为公转周期T1＝2T2，则它们绕太阳运动的轨道的半长轴之比＝ eq \r(3,\f(T,T))＝。
6．地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆。天文学家哈雷成功预言哈雷彗星的回归，哈雷彗星最近出现的时间是1986年，预测下次飞近地球将在2061年。哈雷彗星轨道的半长轴约为地球公转半径的 (　　)
A．8倍 B．18倍
C．28倍 D．38倍
解析：选B。根据题意可知，哈雷彗星的周期T哈＝(2061－1986)年＝75年，根据开普勒第三定律有 eq \f(R,T)＝ eq \f(R,T)，解得R哈≈18R地。
7．(多选)如图所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中 (　　)
A．从P到M所用的时间小于
B．从Q到N阶段，速率逐渐变小
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，速率先变小后变大
解析：选ACD。根据开普勒第二定律可知，海王星在近日点速率最大，在远日点速率最小，故B错误，C、D正确；从P到Q的时间为半个周期，则从P到M运动的速率大于从M到Q的速率，则从P到M所用时间小于，A正确。
8．如图所示的是火星绕太阳运动的椭圆轨道，M、N、P是火星依次经过的三个位置，F1、F2为椭圆的两个焦点。火星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，火星与太阳中心的连线扫过的面积分别为S1和S2。已知由M→N→P的过程中，火星速率逐渐减小。下列判断正确的是 (　　)
A．太阳位于焦点F2处
B．S1C．在M和N处，火星的角速度ωM<ωN
D．在N和P处，火星的动能EkN解析：选B。已知由M→N→P的过程中，火星速率逐渐减小，根据开普勒第二定律可知，火星到太阳的距离越来越大，即太阳位于焦点F1处，故A错误；火星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，速率逐渐减小，所以火星由M到N的运动时间小于由N到P的运动时间，根据开普勒第二定律可知火星与太阳中心的连线在单位时间内扫过的面积相等，因此S1vN>vP，rN>rM，所以火星的角速度ωM>ωN，火星的动能EkN＞EkP，故C、D错误。
9．(2025·山西大同市期末)月球运行轨道为如图所示的绕地球E运动的椭圆轨道，地球E位于椭圆的一个焦点上。轨道上标记了月球经过相等时间间隔的位置。只考虑月球与地球间的相互作用，则下列说法正确的是 (　　)
A．面积S1>S2
B．月球在轨道A点的速度小于在B点的速度
C．k＝，其中k为常数，a为椭圆半长轴
D．k＝，其中k为常数，b为椭圆半短轴
解析：选C。由开普勒第二定律知，月球经过相等时间间隔与地球连线所扫过的面积相等，则S1＝S2，且可得从近地点到远地点的过程中速度在逐渐减小，所以月球在轨道A点的速度大于在B点的速度，故A、B错误；由开普勒第三定律知，月球绕地球运动的轨道半长轴的三次方与公转周期的平方成正比，故C正确，D错误。
10．如图所示，地球卫星P绕地球做匀速圆周运动，地球相对卫星P的张角θ＝2α，相对另一卫星Q的张角为4α，则P与Q的周期之比为 (　　)
A． B．
C． D．
解析：选D。根据几何关系可知卫星P的轨道半径r1＝，卫星Q的轨道半径r2＝，根据开普勒第三定律＝k，可知P与Q的周期之比为 ，故D正确，A、B、C错误。
11．假设站在地球赤道某地的人，恰能在日落后4h的时候，观察到自己头顶正上方被阳光照亮的一颗人造地球卫星。若该卫星在赤道平面内做匀速圆周运动，已知地球同步卫星(运行周期与地球自转周期相同)绕地球运行的轨道半径约为地球半径的6倍，则该卫星绕地球运行的周期约为 (　　)
A．2 h B．3.5 h
C．4.6 h D．6.2 h
解析：选C。如图所示，太阳光可认为是平行光，O是地心，人开始在A点，这时刚好日落，因为经过24 h地球转一圈，所以经过4 h，地球转了60°，即∠AOC＝60°，此时人已经到了B点，卫星在人的正上方C点，太阳光正好能照到卫星，由几何关系得该卫星的轨道半径r＝OC＝2OA＝2R，设此卫星的运行周期为T1，地球自转的周期为T2，则地球同步卫星的周期也为T2，依据常识知道T2＝24 h；根据开普勒第三定律有 eq \f(T,T)＝，代入数据得T1≈4.6 h，故C正确，A、B、D错误。
12．(多选)(2025·山西长治市期末)如图所示，土卫一(M)和土卫二(E)是土星(S)的两个卫星，土卫二绕土星的公转半径约为土卫一公转半径的2倍，某一时刻两卫星呈如图所示位置，且公转方向均为逆时针方向，则在土卫一公转一周的时间内，关于两卫星的位置关系，下列图像大致正确的是 (　　)
解析：选AD。由开普勒第三定律可知 eq \f(r,T)＝ eq \f(r,T)，其中rE＝2rM，解得TE＝2TM，在土卫一公转一周的时间内，土卫二公转了＝≈0.35圈。专题提升课5　天体运动的热点问题
微专题一　卫星变轨问题
1．变轨问题概述
(1)稳定运行
卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，即G＝m。
(2)变轨运行
当卫星由于某种原因，其速度v突然变化时，F引和m不再相等，会出现以下两种情况：
①当F引＞m时，卫星做近心运动；
②当F引＜m时，卫星做离心运动。
2．两种常见形式
(1)渐变
由于某个因素的影响使卫星的轨道半径发生缓慢的变化，由于半径变化缓慢，卫星每一周的运动仍可以看成是匀速圆周运动。
①关键要点：轨道半径r减小(近心运动)。
这种变轨运动的起因是阻力使卫星速度减小，所需要的向心力减小了，而万有引力大小没有变，因此卫星将做近心运动，即轨道半径r将减小。
②各个物理参量的变化：当轨道半径r减小时，卫星线速度v、角速度ω、向心加速度a增大，周期T减小。
(2)突变
由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其到达预定的轨道。
发射同步卫星时，通常先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1，在P点第一次点火加速，在短时间内将速率由v1增加到v2，使卫星进入椭圆轨道Ⅱ；卫星运行到远地点Q时的速率为v3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v3增加到v4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动。
3．对接问题
(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接
如图甲所示，低轨道飞船通过合理加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接。
(2)同一轨道上的飞船和空间站对接
如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度。
角度1　卫星变轨问题
　“神舟十八号”载人飞船与“天和”核心舱完成对接过程的示意图如图所示，“天和”核心舱处于半径为r3的圆轨道Ⅲ，“神舟十八号”飞船处于半径为r1的圆轨道Ⅰ，运行周期为T1，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B处与“天和”核心舱对接，则“神舟十八号”飞船 (　　)
A．由轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ需在B点减速
B．沿轨道Ⅱ运行的周期T2＝T1
C．在轨道Ⅰ上A点的加速度大于在轨道Ⅱ上A点的加速度
D．在轨道Ⅲ上B点的线速度大于在轨道Ⅱ上B点的线速度
[解析]　由低轨道Ⅱ进入高轨道Ⅲ需在B点点火加速，则在轨道Ⅲ上B点的线速度大于在轨道Ⅱ上B点的线速度，故A错误，D正确；根据开普勒第三定律可得 eq \f(r,T)＝ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r1＋r3,2)))3,T)，可得沿轨道Ⅱ运行的周期T2＝T1，故B错误；根据牛顿第二定律可得＝ma，解得a＝，由于M、r都相同，则在轨道Ⅰ上A点的加速度等于在轨道Ⅱ上A点的加速度，故C错误。
[答案]　D
角度2　飞船与空间站对接问题
　北京时间2024年1月17日22时27分，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10 min后，飞船与火箭成功分离，进入预定轨道。之后飞船的太阳能帆板顺利展开工作，发射取得圆满成功。后续，天舟七号货运飞船与在轨运行的空间站组合体进行交会对接。若对接前两者在同一轨道上运动，下列说法正确的是 (　　)
A．对接前天舟七号的运行速率大于空间站组合体的运行速率
B．对接前天舟七号的向心加速度小于空间站组合体的向心加速度
C．天舟七号通过加速可实现与空间站组合体在原轨道上对接
D．天舟七号先减速后加速可实现与空间站组合体在原轨道上对接
[解析]　对接前两者在同一轨道上运动，由万有引力提供向心力可知G＝m＝ma，解得v＝，a＝G，同一轨道，运行速率、向心加速度相等，A、B错误；飞船与空间站组合体在同一轨道上，此时飞船受到的万有引力等于向心力，若让飞船加速，则所需要的向心力变大，万有引力不变，所以飞船做离心运动，不能实现对接，C错误；天舟七号先减速做近心运动，进入较低的轨道，后加速做离心运动，轨道半径变大，可以实现对接，D正确。
[答案]　D
微专题二　卫星相距“最近”“最远”问题
两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb。
若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图甲所示。
(1)若经过时间t，两环绕天体与中心天体连线转过的角度相差2π的整数倍，则两环绕天体又相距最近，即满足＝2nπ(n＝1，2，3，…)。
(2)若经过时间t，两环绕天体与中心天体连线转过的角度相差π的奇数倍，则两环绕天体相距最远(如图乙所示)，即满足＝π＋2nπ(n＝0，1，2，…)。
　三颗人造卫星A、B、C都在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动，此时A、B相距最近，如图所示。已知卫星B的运动周期为T，则 (　　)
A．C加速可追上同一轨道上的A
B．A、C的向心加速度大于B的向心加速度
C．从图示时刻到A、B再次相距最近所需时间小于T
D．相同时间内，B与地心连线扫过的面积小于A与地心连线扫过的面积
[解析]　卫星C加速后做离心运动，轨道变高，不可能追上同一轨道上的卫星A，故A错误；根据万有引力提供向心力G＝ma，可得a＝，A、C的半径大，故A、C的向心加速度小于B的向心加速度，故B错误；A、B再次相距最近时，有t－t＝2π，可得t＝＞T，故C错误；根据万有引力提供向心力 G＝m，可得v＝，相同时间内，卫星与地心连线扫过的面积S＝r·vΔt＝Δt，由题图可知B的半径小，因此相同时间内，B与地心连线扫过的面积小于A与地心连线扫过的面积，故D正确。
[答案]　D
　(多选)赤道平面内的某颗卫星自西向东绕地球做圆周运动，该卫星离地面的高度小于地球同步卫星的高度，赤道上一观测者发现，该卫星连续两次出现在观测者正上方的最小时间间隔为t。已知地球自转周期为T0，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，由此可知该卫星绕地球运动的周期T和离地面的高度H为 (　　)
A．T＝
B．T＝
C．H＝ eq \r(3,\f(gR2t2T,4π2(t＋T0)2))－R
D．H＝ eq \r(3,\f(gR2t2T,4π2(t－T0)2))－R
[解析]　由题意可知t＝2π，解得T＝，由万有引力提供向心力有G＝m(R＋H)，又在地表处有g＝，联立解得H＝ eq \r(3,\f(gR2t2T,4π2(t＋T0)2))－R，故选AC。
[答案]　AC
微专题三　双星模型和多星模型
1．双星模型
(1)两个离得比较近的天体，在彼此间的引力作用下绕两者连线上的某一点做圆周运动(如图所示)。
(2)各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即G＝m1ωr1，G＝m2ωr2。
(3)两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。
(4)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝，与星体运动的线速度成正比。
2．多星模型
(1)多颗星体在同一轨道平面上绕同一点做匀速圆周运动，每颗星体做匀速圆周运动所需的向心力由其他星体对该星体的万有引力的合力提供。
(2)每颗星体转动的方向都相同，运行周期、角速度都相等。
　双星由两颗绕着共同的中心旋转的恒星组成。在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统。如图所示，若某双星系统的A、B两颗恒星绕其连线上的O点做匀速圆周运动，且AO>OB，则下列说法正确的是 (　　)
A．A的角速度小于B的角速度
B．A的质量小于B的质量
C．A的线速度小于B的线速度
D．A的向心加速度小于B的向心加速度
[解析]　双星系统的特点是角速度相同，周期相同，故A错误；设A的质量为mA，B的质量为mB，A、B间的距离为L，AO为r1，OB为r2，A、B系统的角速度为ω，则根据万有引力充当向心力有G＝mAω2r1，G＝mBω2r2，解得＝＝，而AO>OB，由此可知A的质量小于B的质量，故B正确；根据v＝ωr，AO>OB，可知A的线速度大于B的线速度，故C错误；设A的向心加速度为aA，B的向心加速度为aB，根据牛顿第二定律有G＝mAaA，G＝mBaB，解得aA＝，aB＝，而mB>mA，则可得aA>aB，故D错误。
[答案]　B
　(多选)图甲是一对相互环绕旋转的、质量不等的双黑洞系统，其示意图如图乙所示。双黑洞A、B在相互之间的万有引力的作用下，绕其连线上的O点做匀速圆周运动。若双黑洞的质量之比mA∶mB＝n∶1，则 (　　)
A．黑洞A、B做圆周运动的角速度之比为 1∶1　
B．黑洞A、B做圆周运动的向心力大小之比为n2∶1
C．黑洞A、B做圆周运动的半径之比为1∶n
D．黑洞A、B做圆周运动的线速度之比为 1∶n2　
[解析]　由于二者绕连线上同一点做匀速圆周运动，二者角速度相等，彼此间的万有引力提供向心力，则二者做圆周运动的向心力之比为1∶1，故有mArAω2＝mBrBω2，解得＝＝，故A、C正确，B错误；由线速度与角速度的关系可知，当角速度相同时，二者做圆周运动的线速度与半径成正比，故二者线速度之比为 1∶n，故D错误。
[答案]　AC
　宇宙中存在一些离其他星体较远、质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在这样一种直线三星的构成形式，如图所示，三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为L的圆轨道上运行。以下说法正确的是 (　　)
A．直线三星系统中，环绕星做圆周运动的线速度大小为
B．直线三星系统中，环绕星做圆周运动的周期为4π
C．中央星对环绕星的万有引力提供环绕星做圆周运动的全部向心力
D．如果环绕半径变为原来的4倍，周期将变为原来的
[解析]　中央星以及另外一个环绕星对环绕星的万有引力之和提供环绕星做圆周运动的全部向心力，则有G＋G＝m＝mL，解得v＝ ，T＝4π ，A、C错误，B正确；根据T＝4π ，如果环绕半径变为原来的4倍，周期将变为原来的8倍，D错误。
[答案]　B
1．(卫星变轨问题)如图所示的是飞船绕月飞行的轨迹简化示意图，则下列说法正确的是 (　　)
A.飞船在轨道1上的速度大于月球的第一宇宙速度
B．飞船从轨道2进入轨道1时需在P点减速
C．若要能成功发射，飞船的发射速度应大于11.2 km/s
D．飞船在轨道2上经过P点的加速度小于在轨道1上经过P点的加速度
解析：选B。月球的第一宇宙速度为飞船绕月做匀速圆周运动的最大速度，故飞船在轨道1上的速度小于月球的第一宇宙速度，A错误；飞船从轨道2进入轨道1时需在P点减速，B正确；若要能成功发射，飞船的发射速度应大于7.9 km/s，小于11.2 km/s，C错误；由牛顿第二定律可得a＝G，飞船在轨道2上经过P点时和在轨道1上经过P点时轨道半径r相同，故加速度相同，D错误。
2．(卫星变轨问题)2024年4月26日，神舟十八号与中国空间站顺利对接，对接过程可简化如下：如图所示，神舟十八号发射后在停泊轨道Ⅰ上进行数据确认，后择机经转移轨道Ⅱ完成与轨道Ⅲ上的中国空间站的交会对接。已知停泊轨道Ⅰ半径近似为地球半径R，中国空间站轨道Ⅲ距地面的高度为h，P、Q分别为轨道Ⅱ的近地点和远地点，则神舟十八号 (　　)
A．在轨道Ⅰ上的速度大于第一宇宙速度
B．在轨道Ⅰ上的运行周期大于地球同步卫星周期
C．在轨道Ⅱ上P、Q两点的加速度大小之比为(R＋h)∶R
D．在轨道Ⅱ上P、Q两点的速率之比为(R＋h)∶R
解析：选D。第一宇宙速度是最大环绕速度，故在轨道Ⅰ上的速度小于第一宇宙速度，故A错误；根据开普勒第三定律k＝可知在轨道Ⅰ上的运行周期小于地球同步卫星周期，故B错误；在轨道Ⅱ上P、Q两点的加速度大小G＝maP，G＝maQ，在轨道Ⅱ上P、Q两点的加速度大小之比＝，故C错误；由开普勒第二定律可知，飞船在转移轨道上P、Q两点附近极短时间内扫过的面积相等，即vPΔt·R＝vQΔt(R＋h)，解得＝，故D正确。
3．(卫星相距“最近”问题)小明站在地球赤道上某点，每经过时间，卫星A经过头顶上空一次。已知地球的自转周期为T，卫星A轨道平面与赤道平面重合，且运动方向与地球自转方向相同，则A卫星的运动周期为 (　　)
A．　 B．　
C．　 D．
解析：选B。由题意可知，每经过一段时间，卫星A比地球多转一圈；设卫星A的运动周期为TA，则·＝2π，解得TA＝T，故B正确。
4．(双星模型问题)(多选)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统。设某双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示。若AOA．星球A的质量大于B的质量
B．星球A的向心力大于B的向心力
C.星球A的线速度小于B的线速度
D．双星的总质量一定时，双星之间的距离越大，其转动周期越大
解析：选ACD。设A、B的质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，双星间的距离为L，角速度ω相同，满足 G＝m1r1ω2＝m2r2ω2，整理得m1r1＝m2r2，星球A的轨道半径较小，故质量较大，故A正确；向心力为两星球间的万有引力，故A的向心力大小一定等于B的向心力大小，故B错误；根据线速度与角速度的关系v＝rω可知，A的线速度一定小于B的线速度，故C正确；由r1＋r2＝L，结合A选项的分析可得r1＝L，又由ω＝得m1＋m2＝，由此可判断，双星的总质量一定时，双星之间的距离L越大，其转动周期T越大，故D正确。第2节　万有引力定律
1．知道太阳与行星间存在引力。　2.能利用开普勒定律和牛顿第三定律推导出太阳与行星之间引力的表达式。　3.理解万有引力定律的内容、含义及适用条件。　4.认识万有引力定律的普遍性，能应用万有引力定律解决实际问题。
一、苹果落地引发的思考
1．牛顿的思考
苹果由于受到地球的吸引力而落向地面；月球不沿直线运动而是绕地球做圆周运动，表明月球受到方向指向地心的向心力作用。
2．思考的结论
(1)月球必定受到地球对它的引力作用。
(2)苹果与月球在运动中受到的都是地球对它们的引力。
(3)行星围绕太阳运动的向心力是太阳对行星的引力。
二、万有引力定律的建立
1．太阳与行星间的引力
如图所示，行星绕太阳做匀速圆周运动，则行星运动的向心力F＝m，又v＝，因此F＝4π2，由开普勒第三定律知，是常量，由此可得F∝。
由牛顿第三定律知行星对太阳的引力F′也应与太阳的质量M成正比，即F′∝。所以F＝F′∝。
2．万有引力定律
(1)内容：任何两个物体之间都存在相互作用的引力，引力的大小与这两个物体的质量的乘积成正比，与这两个物体之间的距离的平方成反比。
(2)公式：F＝G，式中G称为引力常量，是一个与物质种类无关的普适常量。
三、引力常量
1．1798年，英国物理学家卡文迪许首先精确地测出了引力常量G的数值。
2．大小：G＝6.67×10-11 N·m2/kg2。
3．意义：G的测出使万有引力定律的公式有了真正的实用价值。
判断下列说法是否正确。
(1)行星绕太阳运动的向心力来自太阳对行星的吸引力。 (　　)
(2)把行星绕太阳的运动看作匀速圆周运动时，匀速圆周运动的规律同样适用于行星运动。 (　　)
(3)太阳与行星间作用力的公式F＝G也适用于行星与它的卫星之间。 (　　)
(4)两个普通物体间感受不到万有引力，这说明万有引力只存在于天体之间。 (　　)
提示：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
知识点一　太阳和行星间的引力
1．两个理想化模型
(1)匀速圆周运动模型：由于太阳系中行星绕太阳做椭圆运动的轨迹的两个焦点靠得很近，行星的运动轨迹非常接近圆，所以将行星的运动看成匀速圆周运动。
(2)质点模型：由于天体间的距离很远，研究天体间的引力时将天体看成质点，即天体的质量集中在球心上。
2．推导过程
(1)太阳对行星的引力
(2)太阳与行星间的引力
3．太阳与行星间的引力特点
(1)太阳与行星间的引力大小与三个因素有关：太阳质量、行星质量、太阳与行星间的距离。太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线方向。
(2)太阳与行星间的引力是相互的，遵循牛顿第三定律。
　(多选)下列关于太阳对行星的引力的说法正确的是 (　　)
A．太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力
B．太阳对行星的引力大小与太阳的质量成正比，与行星和太阳间的距离的二次方成反比
C．太阳对行星的引力规律是由实验得出的
D．太阳对行星的引力规律是由开普勒行星运动定律和行星绕太阳做匀速圆周运动的规律推导出来的
[解析]　太阳对行星的引力规律是牛顿将开普勒行星运动定律结合圆周运动规律推导出来的，它不是实验得出的，太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力，故A、D正确，C错误；根据太阳对行星的引力公式F＝G可知，太阳对行星的引力大小与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比，故B错误。
[答案]　AD
知识点二　月—地检验
1．检验目的
验证维持月球绕地球运动的力、使物体下落的力，与使地球绕太阳运动的力是同一种性质的力，遵循相同的规律。
2．理论分析
设地球半径为R，地球与月球间距离为r。
对月—地系统有＝m月a月，对物—地系统有＝m物g，则a月＝g，已知r＝60 R，g＝9.8 m/s2，则a月＝g≈2.7×10-3 m/s2。
3．实际观测
月球绕地球运动的周期T＝27.3天，地球与月球间距离r＝3.8×108 m，则月球运动的向心加速度a月＝r≈2.7×10-3 m/s2，与理论分析结果一致。
4．检验结果
理论分析与实际观测符合得很好。这表明，地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力是同一种性质的力，遵循相同的规律。
　1687年牛顿在总结了前人研究成果的基础上推理得出了万有引力定律，并通过“月—地检验”，证明了地球对地面苹果的引力与地球对月球的引力具有相同的性质，遵循同样的规律。那么在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，要完成“月—地检验”，需要验证 (　　)
A.月球表面的重力加速度约为地球表面的
B．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的
C．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的
D．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的
[解析]　设地球质量为M，地球半径为R，月球质量为m月，苹果质量为m0，若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，则需验证 G＝m月a月，G＝m0g，即＝，故D正确，A、B、C错误。
[答案]　D
知识点三　对万有引力定律的理解
无论是太阳与行星、地球与月球以及任何物体之间都存在万有引力。
(1)公式F＝G中r的含义是什么？
(2)任何两个物体之间的万有引力都能利用公式F＝G计算出来吗？
[提示]　(1)r指的是两个质点间的距离。
(2)不能。万有引力定律的表达式F＝G只适用于质点之间、质量分布均匀的球体之间的计算，形状不规则、质量分布不均匀的物体间r不易确定。
1．F＝G的适用条件
(1)万有引力定律的公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力。
(2)质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中r是两个球体球心间的距离。
(3)一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体球心到质点的距离。
2．引力常量G
(1)对G值的理解
①目前引力常量推荐的标准值G＝6.674 08(31)×10-11 N·m2/kg2，通常取G＝6.67×10-11 N·m2/kg2。
②引力常量有单位，单位符号为N·m2/kg2。
③意义：在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互作用力。
④因为引力常量G很小，我们日常生活中接触的物体的质量又不是很大，所以我们很难察觉到物体之间的引力。
(2)引力常量的测定
卡文迪许扭秤实验的工作原理是利用大球和小球间产生力矩，如图所示，此力矩与石英丝N的力矩平衡。万有引力的力矩使T形架转动，T形架转动时带动平面镜M也发生转动，进而使在镜面上反射出的光线发生偏转，从刻度尺上读出光线偏转时光点移动的距离，进而计算偏转角度。利用石英丝N的扭转力矩和扭转角度的关系，求出扭转力矩，从而求出大球和小球间的万有引力。利用F＝G，即G＝，比较准确地得出了G的数值。
(3)引力常量测定的意义
①卡文迪许利用扭秤装置通过改变小球的质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性。
②引力常量的确定使万有引力定律能够进行定量的计算，显示出真正的实用价值。
③卡文迪许扭秤实验是物理学上非常著名和重要的实验，扭秤实验巧妙地利用等效转换的思想，合理地将微小量进行放大，开创了测量弱力的新时代。
角度1　万有引力定律的理解和应用
　下列关于万有引力的说法正确的是 (　　)
A．万有引力只存在天体之间，地球上的物体之间不存在万有引力
B．两物体质量不变，距离变为原来2倍，他们之间的万有引力变为原来的一半
C．甲、乙两物体的质量不等，但甲对乙的万有引力和乙对甲的万有引力大小相等
D．两物体之间的万有引力总是大小相等、方向相反的一对平衡力
[解析]　根据万有引力定律可知，自然界任何两个物体都是相互吸引的，天体间万有引力大，常见的普通物体间万有引力太小，对物体影响小，但不是不存在，故A错误；根据万有引力定律公式F＝G可知，两物体质量不变，距离变为原来2倍，他们之间的万有引力变为原来的，故B错误；两物体之间的万有引力总是一对大小相等、方向相反的作用力和反作用力，不是平衡力，故C正确，D错误。
[答案]　C
　(2025·天津河北区合格考模拟)将月球视为质量分布均匀的球体，其质量为M，半径为R。嫦娥六号探测器在距月球表面高度为h的环月圆轨道做匀速圆周运动。下列说法正确的是 (　　)
A．在该轨道上嫦娥六号探测器受到月球的万有引力大小为G
B．在该轨道上嫦娥六号探测器受到月球的万有引力大小为G
C．在该轨道上嫦娥六号探测器受到月球的万有引力大小为G
D．万有引力定律只适用于天体之间的相互作用
[解析]　在该轨道上嫦娥六号探测器到月心的距离为R＋h，受到月球的万有引力大小F＝G，故A、B错误，C正确；万有引力定律不仅适用于天体之间，故D错误。
[答案]　C
　(2025·江苏镇江市期末)设地球的质量均匀分布，地球半径为R。现在距离地面R处静止释放一个小物块，当小物块落到地面时，正好掉进一条贯穿地心的细直管道，则物体由静止开始运动到地球球心的过程中，关于加速度大小说法正确的是 (　　)
A．一直变大　　　　 B．先变大后不变
C．先变大后变小 D．先不变后变小
[解析]　设小物块到地面的高度为h，则其落到地面之前，有a＝＝＝可知，该过程加速度逐渐变大，根据质量均匀分布的球壳对球壳内任一位置处的物体的万有引力为零，可知小物体进入管道后a＝＝＝Gρπr，其中，r为小物块到地心的距离，可知该过程加速度变小。
[答案]　C
角度2　填补法的应用
　(2025·河北保定市期末)如图所示，一质量分布均匀的球体，半径为R，现从其内部挖出一半径为的小球体，放置于原球体右侧位置，已知O1、O2、O3在一条直线上，且O2、O3相距2R，引力常量为G，挖出的小球体质量为m，则挖出的小球体跟球体剩余部分之间的万有引力大小为 (　　)
A． B．
C． D．
[解析]　根据题意可知被挖出的小球体的体积为原球体的，质量也为原球体的，则原球体质量为8m。根据割补法可知，没挖之前球体对小球体的引力减去被挖部分对小球体的引力，就是剩余部分对小球体的引力，则挖出的小球体跟球体剩余部分之
间的万有引力大小F＝－＝，故B正确，A、C、D错误。
[答案]　B
角度3　引力常量的测量
　物理学领域中具有普适性的一些常量，对物理学的发展有很大作用，引力常量G就是其中之一。1798年，卡文迪许首次利用如图所示的装置，比较精确地测量出了引力常量。下列说法错误的是 (　　)
A．引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的万有引力太微小
B．月球上的引力常量等于地球上的引力常量
C．这个实验装置巧妙地利用了放大原理，提高了测量精度
D．引力常量G的大小与两物体质量的乘积成反比，与两物体间距离的二次方成正比
[解析]　引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的万有引力太微小，A正确，不符合题意；引力常量是固定不变的量，与在月球上还是在地球上无关，B正确，不符合题意；这个实验装置巧妙地利用了放大原理，提高了测量精度，C正确，不符合题意；引力常量G的大小为定值，与两物体质量的乘积以及两物体间距离的二次方无关，D错误，符合题意。
[答案]　D
1．(万有引力定律的理解)(2025·河北邯郸市期末)下列关于万有引力定律说法正确的是 (　　)
A．牛顿发现了万有引力定律，伽利略测得了引力常量
B．两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对作用力和反作用力
C.根据表达式F＝G可知，当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大
D．根据表达式F＝G得G＝，由此可知引力常量G与F、r、m1、m2有关
解析：选B。牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许利用扭秤实验测得了引力常量，故A错误；根据牛顿第三定律可知，两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对作用力和反作用力，故B正确；F＝G适用于两质点之间的万有引力，当r趋近于零时，两物体已经不能够看为质点，该表达式不适用，故C错误；根据F＝G可以得到G＝，但G是一个常量，该常量与F、r、m1、m2无关，故D错误。
2．(万有引力定律的应用)(2025·江苏省合格考)天宫二号是我国自主研发的第二个空间实验室，若天宫二号质量为m，在离地球表面高度为h的轨道上正常运行，地球质量为M、半径为R，G为引力常量，则地球对天宫二号万有引力的大小为 (　　)
A．G　　　　 B．G
C．G D．G
解析：选D。根据F＝G，题中r＝R＋h，则地球对天宫二号万有引力的大小为G。
3．(引力常量的测定)图甲是演示桌面在压力作用下发生形变的装置；图乙是演示玻璃瓶在压力作用下发生形变的装置；图丙是卡文迪许测定引力常量的装置。这三个实验共同体现了 (　　)
A．控制变量的办法
B．放大的思想
C.比较的方法
D．等效的方法
解析：选B。三个实验都是将微小的物理量通过不同的方式放大了，即这三个实验共同体现了放大的思想。
4．(填补法的应用)(多选)一个质量均匀分布的球体，半径为2r，在其内部挖去一个半径为r的球形空穴，其表面与球面相切，如图所示。已知挖去小球的质量为m，在球心和空穴中心连线上，到球心距离d＝6r处有一质量为m2的质点，若被挖去的小球挖去前对m2的万有引力为F1，剩余部分对m2的万有引力为F2，则 (　　)
A．F2＝G B．F2＝G
C．＝ D．＝
解析：选BD。被挖部分对质点的引力F1＝G＝，由球体内部挖去一个半径为r的球形空穴，挖去小球的质量为m，可知球体密度ρ＝，设挖去之前球体的质量为M，则M＝ρV＝×＝8m，故挖去前的球体对质点的引力F总＝G＝G＝，挖去后剩余部分的引力F2＝F总－F1＝－＝，所以＝。题组1　太阳和行星间的引力
1．(2025·江苏扬州市期末)关于万有引力定律和开普勒定律的说法正确的是 (　　)
A．无论m1和m2是否相等，它们之间的万有引力大小都相等
B．在m1和m2之间放入第三个物体m3，则m1和m2间的万有引力将增大
C．由开普勒第三定律得＝k，k为中心天体的质量
D．火星与太阳中心连线和地球与太阳中心连线在相同时间内扫过的面积相等
解析：选A。根据牛顿第三定律可知，无论m1和m2是否相等，它们之间的万有引力大小都相等，故A正确；根据万有引力表达式F＝可知，在m1和m2之间放入第三个物体m3，则m1和m2间的万有引力不变，故B错误；由开普勒第三定律得＝k，k为与中心天体质量有关的值，但不是中心天体的质量，故C错误；根据开普勒第二定律可知，同一行星与太阳中心连线在相同时间内扫过的面积相等，但火星与太阳中心连线和地球与太阳中心连线在相同时间内扫过的面积不相等，故D错误。
2．太阳与行星间的引力大小F＝G，其中G为比例系数，M和m分别为太阳和行星的质量，r为两者之间的距离，由此关系式可知G的单位是 (　　)
A．N·m2/kg2　　　　 B．N·kg2/m2
C．m4/(kg·s2) D．kg·m/s2
解析：选A。太阳与行星间的引力大小F＝G，则G＝，故G的单位为＝＝。
3．关于太阳与行星间引力的公式F＝，下列说法正确的是 (　　)
A．公式中的G是引力常量，是人为规定的
B．太阳与行星间的引力是一对平衡力
C．公式中的G是比例系数，与太阳、行星都没有关系
D．公式中的G是比例系数，与太阳的质量有关
解析：选C。太阳与行星间引力的公式F＝，公式中的G是引力常量，不是人为规定的，与太阳、行星都没有关系，故A、D错误，C正确；太阳与行星间的引力是一对相互作用力，故B错误。
题组2　月—地检验
4．“月—地检验”为万有引力定律的发现提供了事实依据。已知地球半径为R，地球中心与月球中心的距离r＝60R，下列说法正确的是 (　　)
A．卡文迪许为了检验万有引力定律的正确性首次进行了“月—地检验”
B．“月—地检验”表明地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是不同性质的力
C．月球由于受到地球对它的万有引力而产生的加速度与月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度相等
D．由万有引力定律可知，月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度是地面重力加速度的
解析：选C。牛顿为了检验万有引力定律的正确性，首次进行了“月—地检验”，故A错误；“月—地检验”表明地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同种性质的力，故B错误；月球由于受到地球对它的万有引力而产生的加速度与月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度相等，所以证明了万有引力定律的正确性，故C正确；物体在地球表面所受的重力等于所受地球的万有引力，则有m0g＝，月球在引力提供的向心力作用下绕地球做匀速圆周运动，则有＝ma，联立以上两式可得a∶g＝1∶3 600，故D错误。
题组3　对万有引力定律的理解
5．如图所示，两个质量均匀分布的小球半径分别为R1、R2，相距R，质量为m1、m2，则两球间的万有引力大小为 (　　)
A．G eq \f(m1m2,R) B．G
C．G D．G eq \f(m1m2,R)
解析：选B。两个质量均匀分布的小球可以看作质量位于球心的质点，两球间的万有引力大小F＝G。
6．地球、月球的质量分别为M、m。某卫星从地球奔向月球过程中，当它所受到的地球、月球的引力的合力为零时，它到地球中心的距离和它到月球中心的距离之比为 (　　)
A. B．
C． D．
解析：选A。设卫星到地球中心的距离与到月球中心的距离分别为r1、r2，卫星质量为m′，则卫星所受地球、月球引力平衡G eq \f(Mm′,r)＝G eq \f(mm′,r)，解得＝。
7．万有引力定律的发现，是17世纪自然科学最伟大的成果之一。它把地面上物体运动的规律和天体运动的规律统一起来，在天文学上和宇宙航行计算方面有着广泛的运用。现有两个质地均匀完全相同的实心球，它们间的万有引力为F，若两球心间的距离变为原来的两倍，则此时两球间的万有引力变为 (　　)
A． B．
C． D．
解析：选A。两个质地均匀完全相同的实心球，它们间的万有引力为F，则有F＝G，两球心间的距离变为原来的两倍，则此时两球间的万有引力变为F′＝G，解得F′＝。
8．将地球看成均匀球体，已知均匀球体对球外物体的万有引力相当于将球体的质量集中于球心的质点对物体的万有引力。假设在紧贴地球表面处挖去一半径为(R为地球半径)的球，如图所示，在图中A点放置一质量为m的质点，则该质点在挖空前后受到的万有引力的比值为 (　　)
A． B．
C． D．
解析：选A。未挖前，在A处的质点受到的万有引力F1＝G，挖去部分对A处质点的万有引力F2＝G·＝G，故A处质点在挖空前后受到的万有引力的比值＝。
9．如图所示，三颗质量均为m的地球卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上。设地球质量为M，半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是 (　　)
A．地球对一颗卫星的引力大小为
B．一颗卫星对地球的引力大小为
C．两颗卫星之间的引力大小为
D．三颗卫星对地球引力的合力大小为
解析：选C。根据题意，由万有引力定律可得，地球与每一颗卫星之间的引力大小F＝，故A、B错误；由几何关系可得，两颗卫星之间的距离d＝r，由万有引力定律可得，两颗卫星之间的引力大小F1＝＝，故C正确；卫星对地球的引力均沿卫星、地球间的连线向外，由于三颗卫星的质量大小相等，对地球的引力大小相等，又因为三颗卫星等间隔分布，根据几何关系可知，地球受到三个卫星的引力大小相等、方向成120°角，所以合力为0，故D错误。
10．假设在地球周围有质量相等的A、B两颗地球卫星，已知地球半径为R，卫星A距地面高度为R，卫星B距地面高度为2R，卫星B受到地球的万有引力大小为F，则卫星A受到地球的万有引力大小为 (　　)
A． B．
C． D．4F
解析：选C。卫星B距地心3R，根据万有引力定律的表达式，可知卫星B受到的万有引力F＝＝；卫星A距地心2R，受到的万有引力F′＝＝，则有F′＝F，故A、B、D错误，C正确。
11．(2025·重庆北碚区期末)北半球二十四个节气时地球在公转轨道上的示意图如图所示，其中冬至时地球离太阳最近。仅考虑太阳对地球的引力，关于地球绕太阳公转的过程，下列说法正确的是 (　　)
A.在夏至位置地球所受万有引力最大
B．在立春位置，根据万有引力定律可得G＝m
C．地球自转周期的平方与轨道半长轴三次方的比值是一个仅与太阳质量有关的常数
D．经过近日点、远日点两位置的瞬时速度大小之比约为1.03
解析：选D。根据F＝，由题图可知，在夏至位置地球离太阳最远，所受万有引力最小，故A错误；由于地球绕太阳做椭圆运动，不是匀速圆周运动，所以在立春位置G≠m，故B错误；根据开普勒第三定律可知，地球公转周期的平方与轨道半长轴三次方的比值是一个仅与太阳质量有关的常数，故C错误；根据开普勒第二定律可知，经过近日点、远日点两位置的瞬时速度大小之比＝＝≈1.03，故D正确。
12．(8分)如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为R。如果从球的正中心挖去一个直径为R的球，放在相距为d的地方。求两球之间的引力大小。
解析：根据匀质球的质量与其半径的关系
M＝ρ×πR3
可知两部分的质量分别为
m＝ρ×π＝，M′＝M－m＝
根据万有引力定律可知，这时两球之间的引力为
F＝G＝。
答案：(共45张PPT)
第4节　人造卫星　宇宙速度
第5节　太空探索(选学)(略)
学习目标
1．了解人造地球卫星的最初构想，会推导第一宇宙速度。
2．知道同步卫星和其他卫星的区别，会分析人造地球卫星的受力和运动情况。
3．了解发射速度与环绕速度的区别与联系，理解天体运动中的能量观。
4．会应用万有引力定律分析卫星运行规律。
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、从幻想到现实——人造卫星
1．卫星是一些自然的或人工的在太空中绕行星运动的物体。
2．人造卫星用于通信、气象、侦察、导航和其他许多领域内的科学研究。
二、宇宙速度
1．第一宇宙速度：使卫星能环绕地球运行所需的_________速度，其大小为v1＝_________ km/s，又称环绕速度。
2．第二宇宙速度：使人造卫星脱离_________的引力束缚，不再绕_________运行，从_________表面发射所需的最小速度，其大小为v2＝_________km/s，又称脱离速度。
最小
7.9
地球
地球
地球
11.2
3．第三宇宙速度：使物体脱离_________的束缚而飞离太阳系，从地球表面发射所需的最小速度，其大小为v3＝_________km/s，也叫逃逸速度。
说明：对于椭圆而言，偏心率等于两焦点的距离的一半与半长轴的比值。可以看出，偏心率越小，椭圆越趋近于圆。
太阳
16.7
判断下列说法是否正确。
(1)在地面上发射人造卫星的最小速度是7.9 km/s。 (　　)
(2)在地面上发射火星探测器的速度应为 11.2 km/s(3)要发射离开太阳系的探测器，所需发射速度至少为16.7 km/s。(　　)
(4)要发射一颗月球卫星，在地面的发射速度应大于16.7 km/s。 (　　)
(5)地球的静止轨道卫星一定位于赤道的正上方。　 (　　)
(6)地球同步卫星的周期与地球自转的周期相同。 (　　)
√
×　
√
√
√
√
课堂深度探究
PART
02
第二部分
知识点一　对宇宙速度的理解
发射卫星，要有足够大的速度才行。
(1)怎样求地球的第一宇宙速度？不同星球的第一宇宙速度是否相同？
(2)把卫星发射到更高的轨道上需要的发射速度越大还是越小？
[提示]　轨道越高，需要的发射速度越大。
4．对第一宇宙速度的理解
(1)“最小发射速度”：向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难，因为发射卫星要克服地球对它的引力。近地轨道是人造卫星的最低运行轨道，而近地轨道的发射速度就是第一宇宙速度，所以第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度。
√
[解析]　要发射一颗绕地球运行的卫星，发射速度既不能低于第一宇宙速度，否则无法发射成功；也不能超过第二宇宙速度，否则将会克服地球引力，永远离开地球，故发射速度v的取值范围为7.9 km/s≤v<11.2 km/s。
√
√
知识点二　卫星运行规律分析
如图所示，在地球的周围，有许多的卫星在不同的轨道上绕地球转动。
(1)这些卫星的轨道平面有什么特点？
[提示]　轨道平面过地心。
(2)这些卫星的线速度、角速度、周期、
向心加速度等跟什么因素有关呢？
[提示]　与轨道半径有关。
1．卫星运动遵循的规律：卫星绕地球沿椭圆轨道运动时，地心在椭圆的一个焦点上，卫星的周期和半长轴的关系遵循开普勒第三定律。
2．卫星轨道的圆心：卫星绕地球沿圆形轨道运动时，因为地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球运动的向心力，而万有引力指向地心，所以地心是卫星圆轨道的圆心。
3．卫星的轨道：卫星的轨道平面可以在赤道平面内(如静止轨道卫星)，可以通过两极上空(如极地卫星)，也可以和赤道平面成任意角度。
角度1　卫星运行参量分析
　　(2025·湖北卷，T2)甲、乙两行星绕某恒星做圆周运动，甲的轨道半径比乙的小。忽略两行星之间的万有引力作用，下列说法正确的是 (　　)
A．甲运动的周期比乙的小
B．甲运动的线速度比乙的小
C．甲运动的角速度比乙的小
D．甲运动的向心加速度比乙的小
√
角度2　航天器内的失重现象
　　(2025·江苏连云港合格考模拟)如图所示，在梦天实验舱航天员演示奇妙“乒乓球”实验过程中，小水球“飘”在空中来回运动而未“下落”，则小水球 (　　)
A．处于超重状态　 B．处于完全失重状态
C．处于平衡状态 D．不受地球引力作用
√
[解析]　因万有引力充当做圆周运动的向心力，则小水球“飘”在空中来回运动而未“下落”，小水球处于完全失重状态，但仍受地球的引力作用。
知识点三　近地卫星、静止卫星和赤道上物体
(4)向心力：近地卫星和静止卫星都只受万有引力作用，由万有引力提供向心力，满足由万有引力提供向心力的天体的运行规律。赤道上的物体由万有引力和地面支持力的合力提供向心力，它的运动规律不同于卫星的运动规律。
2．地球静止卫星
(1)概念：相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星，叫作地球静止卫星。
(2)特点
①确定的转动方向：和地球自转方向一致。
②确定的周期：和地球自转周期相同，即T＝24 h。
③确定的角速度：等于地球自转的角速度。
④确定的轨道平面：所有的静止卫星都在赤道的正上方，其轨道平面必须与赤道平面重合。
⑤确定的高度：离地面高度固定不变(3.6×104 km)。
⑥确定的环绕速率：线速度大小一定(3.1×103 m/s)。
√
　　(2025·江苏南京市期末)如图所示，A表示地球静止卫星，B为运行轨道比A低的一颗卫星，C为地球赤道表面上的一个物体，关于它们的线速度、角速度、运行周期和加速度的比较，下列关系式正确的是 (　　)
A．ωA>ωB>ωC　　　　 B．vB>vC>vA
C．aB>aA>aC D．TA>TC>TB
√
　　北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统。其中北斗—G4为一颗地球静止轨道卫星，北斗—IGSO2为一颗倾斜同步轨道卫星，北斗—M3为一颗中圆地球轨道卫星(轨道半径小于静止轨道半径)，下列说法正确的是 (　　)
A．北斗—G4和北斗—IGSO2都相对地面静止
B．北斗—G4和北斗—IGSO2的轨道半径相等
C.北斗—M3与北斗—G4的周期平方之比等于高度三次方之比
D. 北斗—M3的线速度比北斗—IGSO2的线速度小
[解析]　北斗—G4为一颗地球静止轨道卫星，可知北斗—G4相对地面静止；北斗—IGSO2为一颗倾斜同步轨道卫星，则北斗—IGSO2的周期等于地球自转周期，但北斗—IGSO2相对地面不是静止的，故A错误。
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
√
√
解析：火星探测器前往火星，脱离地球引力束缚，但还在太阳系内，发射速度应大于第二宇宙速度、小于第三宇宙速度，A、B错误，C正确；
√
解析：由题意可知，冒险家是以无动力状态在近地轨道绕行观察，即运行轨道的半径等于星球半径，故星球第一宇宙速度为v，故C正确，不符合题意；
√
3．(地球同步卫星)(2025·北京西城区期中)关于地球同步卫星，下列说法正确的是 (　　)
A．地球同步卫星只是依靠惯性运动
B．质量不同的地球同步卫星轨道高度不同
C．质量不同的地球同步卫星线速度不同
D．所有地球同步卫星的加速度大小相同
解析：地球同步卫星受到的地球对其的万有引力，为其圆周运动提供向心力，A错误；
√
4．(近地卫星、静止卫星和赤道上物体)(多选)如图所示，a为放在赤道上相对于地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径)，c为地球的静止卫星。下列关于a、b、c的说法正确的是 (　　)
A．b卫星转动的线速度大于7.9 km/s
B．a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度的大小关系为aa＞ab＞ac
C．a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Ta＝Tc>Tb
D．在b、c中，b的线速度较大
√(共23张PPT)
课后达标检测
√
题组1　卫星变轨问题
1．卫星变轨发射示意图如图所示，椭圆轨道Ⅱ与圆轨道Ⅰ、Ⅲ分别相切于A、B两点。卫星沿轨道Ⅰ过A点的速度、加速度分别为v1、a1；卫星沿轨道Ⅱ过A点的速度、加速度分别为v2、a2，过B点的速度、加速度分别为v3、a3；卫星沿轨道Ⅲ过B点的速度、加速度分别为v4、a4。下列说法正确的是(　　)
A.a1a3；v2＝v3
C．a3＝a4；v3>v4 D．a2>a4；v2>v4
解析：卫星沿轨道Ⅰ、Ⅱ过A点时，万有引力相等，则根据牛顿第二定律可知，加速度相等，但是卫星过A点由轨道Ⅰ至轨道Ⅱ需要加速，则v1卫星沿椭圆轨道Ⅱ过A点的万有引力大于过B点的万有引力，根据牛顿第二定律，可知a2>a3，卫星沿椭圆轨道Ⅱ由A点运动到B点，根据开普勒第二定律可知v2>v3，故B错误；
卫星沿轨道Ⅱ、Ⅲ过B点时，万有引力相等，则根据牛顿第二定律可知，加速度相等，但是卫星过B点由轨道Ⅱ转移到轨道Ⅲ需要加速，则v3√
2．小智利用元宇宙模拟载人飞船实现登月，飞船在轨道Ⅱ绕月球做匀速圆周运动，在M点变轨后进入登陆轨道Ⅰ，N点为登月着陆点，则下列说法正确的是 (　　)
A.飞船在轨道Ⅱ的速度可能大于7.9 km/s
B．飞船在轨道Ⅱ经过M点时的速度小于
在轨道Ⅰ经过M点时的速度
C．飞船在轨道Ⅱ上的运行周期大于在轨道Ⅰ上的运行周期
D．小智登月后用一个弹簧测力计和一质量为m的砝码即可估测月球的质量
飞船在轨道Ⅱ经过M点时减速变轨可以进入轨道Ⅰ，所以飞船在轨道Ⅱ经过M点的速度大于在轨道Ⅰ经过M点时的速度，故B错误；
√
√
√
√
5．一个处于宁静态的中子星与红矮星组成的双星系统，中子星与红矮星的质量比约为2∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动，则此中子星绕O点运动的 (　　)
A.角速度大于红矮星的角速度
B．线速度小于红矮星的线速度
C．轨道半径大于红矮星的轨道半径
D．向心力大小约为红矮星的2倍
解析：双星系统中，由于两星在相同时间内转过的角度相等，则双星系统的角速度相等，即中子星绕O点运动的角速度等于红矮星的角速度，A错误；
根据v＝ωr知，双星系统角速度相等，中子星的轨道半径小一些，则中子星绕O点运动的线速度小于红矮星的线速度，B正确；
双星系统中，由星体之间的万有引力提供向心力，可知中子星绕O点运动的向心力大小等于红矮星的向心力大小，D错误。
√
√
解析：根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的合力指向圆心，则这两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于这两颗星到第三颗星的距离相同，故这两颗星的质量相同，同理可得三颗星的质量一定相同，故A错误；
7．(10分)如图所示，A是地球的同步卫星，另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h。已知地球半径为R，地球自转角速度为ω，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心。
(1)求卫星B的运行周期。(4分)
(2)若卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？(6分)
8．(12分)某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星体在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动。由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G，请计算：
(1)S1的加速度大小；(4分)
(2)S1的质量；(4分)
(3)双星的总质量。(4分)(共26张PPT)
课后达标检测
√
题组1　对宇宙速度的理解
1．某探月飞行器发射后进入离近月点约100公里的环月轨道。关于该飞行器的发射速度，下列说法正确的是 (　　)
A．小于第一宇宙速度
B．介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
C．介于第二宇宙速度和第三宇宙速度之间
D．大于第三宇宙速度
解析：该飞行器进入离近月点约100公里的环月轨道后，仍围绕地球做椭圆运动，未摆脱地球的引力束缚，故该飞行器的发射速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间，故B正确，A、C、D错误。
√
√
√
题组2　卫星运行规律的分析
4．中国空间站运行周期约为90分钟。北斗系统的GEO卫星是地球同步卫星，空间站和GEO卫星绕地球均可视为匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　)
A．GEO卫星可以在地面任何一点的正上方，但离地心的距离是一定的
B．空间站的轨道半径比GEO卫星的轨道半径大
C.空间站的线速度比GEO卫星的线速度大
D．空间站的向心加速度比GEO卫星的向心加速度小
解析：北斗系统的GEO卫星是地球同步卫星，根据同步卫星规律可知，GEO卫星位于赤道正上方，离地心的距离是一定的，故A错误；
√
√
√
题组3　近地卫星、静止轨道卫星和赤道上物体
6．下列关于地球静止轨道卫星的说法正确的是 (　　)
A．静止轨道卫星定点在地球上空某处，各个静止轨道卫星的角速度相同，但线速度可以不同
B．不同国家发射静止轨道卫星的地点不同，这些卫星的轨道不一定在同一平面内
C．为避免静止轨道卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同轨道上
D．静止轨道卫星只能运行在赤道上空某一恒定高度上
不同国家发射静止轨道卫星的地点不同，但轨道固定不变，所以这些卫星轨道一定在同一平面内，故B错误；
静止轨道卫星运行轨道为位于地球赤道平面上空的圆形轨道，轨道固定不变，故C错误；
由上分析可知，静止轨道卫星只能运行在赤道上空某一恒定高度上，故D正确。
√
√
√
8．羲和号是我国首颗可24小时全天候对太阳进行观测的试验卫星。可认为羲和号绕地球做匀速圆周运动，每24小时绕地球运行n圈(n>1)，轨道平面与赤道平面垂直，轨道如图所示。关于羲和号，下列说法正确的是(　　)
A.线速度大于第一宇宙速度
B．角速度大于地球同步卫星的角速度
C．向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度
D．发射速度大于第二宇宙速度
解析：地球第一宇宙速度等于地面表面轨道卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度，是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大运行速度，则羲和号的线速度小于第一宇宙速度，故A错误；
羲和号的发射速度大于第一宇宙速度小于第二宇宙速度，故D错误。
9．有科幻作品提及太空电梯，设想中太空电梯可连接地球赤道上的固定基地与其正上方同步轨道上的空间站B，若升降舱A因出现故障被迫留在图示位置，下列说法正确的是 (　　)
A．太空电梯上各点线速度大小均相同
B．升降舱A的角速度大于空间站B的角速度
C．升降舱A的周期等于空间站B的周期
D．若升降舱A突然脱离电梯，将做离心运动
√
解析：根据题意可知，太空电梯上各点角速度大小均相同，根据v＝rω可知，升降舱A的角速度等于空间站B的角速度，线速度大小不相同，故A、B错误；
√
10．(2025·湖南长沙市期末)为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国于2011年10月发射了第一颗火星探测器“萤火一号”。假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T2。火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，引力常量为G。仅利用以上数据，可以计算出 (　　)
A.火星公转的轨道半径
B．“萤火一号”的质量
C．火星对“萤火一号”的引力
D．火星表面的重力加速度
11．(8分)(2025·江苏镇江市期中)已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑地球自转的影响(此时可认为重力与万有引力相等)，地球视为均匀球体。物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的速度叫作第一宇宙速度。
(1)计算地球的质量M。(4分)
(2)计算第一宇宙速度的大小v1。(4分)题组1　万有引力和重力的关系
1．假设有一星球的密度与地球相同，但它表面处的重力加速度是地球表面重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的 (　　)
A．　　　　　　　　　 B．4倍
C．16倍 D．64倍
解析：选D。由＝mg，得M＝，所以ρ＝＝＝，又ρ＝ρ地，即＝，得R＝4R地，故＝· eq \f(G,g地R)＝64，故D正确。
2．已知地球半径为R，引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，将地球视为质量均匀分布的球体，忽略地球自转的影响，则地球质量等于 (　　)
A．　　　　　　 　　 B．
C． D．
解析：选A。地球表面物体所受重力与万有引力相等，有G＝mg，可得地球质量M＝。
题组2　天体质量的计算
3．已知某卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，线速度大小为v，引力常量为G，则地球的质量为 (　　)
A． B．
C． D．
解析：选C。设地球的质量为M，卫星的质量为m、轨道半径为r，根据T＝可得r＝，根据万有引力提供向心力有G＝m，联立解得M＝，故C正确，A、B、D错误。
4．若天和核心舱运行在距地球表面高度为h的圆形轨道上，其运行周期为T，引力常量为G，地球的半径为R，则地球的质量为 (　　)
A． B．
C． D．
解析：选C。天和核心舱绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有G＝m(R＋h)，解得地球的质量M＝。
5．(多选)航天员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处。若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比R星∶R地 ＝ 1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g′，空气阻力不计，则 (　　)
A．g′∶g ＝ 1∶5
B．g′∶g ＝ 5∶2
C．M星∶M地 ＝ 1∶20
D．M星∶M地 ＝ 1∶80
解析：选AD。设初速度为v0，由对称性可知在地球表面竖直上抛的小球在空中运动的时间t＝，在某星球同理，因此得＝＝，故A正确，B错误；在地球表面由 G eq \f(M地m,R)＝mg，得M地＝ eq \f(gR,G)，在某星球同理，则＝ eq \f(g′R,gR)＝×2＝，故C错误，D正确。
题组3　天体密度的计算
6．(2025·云南昆明市期末)已知嫦娥六号在环月圆轨道上运行的周期为T，轨道半径与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为 (　　)
A．k3 B．k
C．(1＋k)3 D．
解析：选A。根据＝m(kR)，又ρ＝，解得ρ＝k3。
7．若月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，并且已知月球绕地球运动的轨道半径r、绕地球运动的周期T，引力常量为G，由此可以知道 (　　)
A．月球的质量m＝
B．地球的质量M＝
C．月球的平均密度ρ＝
D．地球的平均密度ρ′＝
解析：选B。根据万有引力提供向心力有G＝m，可知只能求出中心天体的质量，不能求出环绕天体的质量，解得地球的质量M＝，A错误，B正确；由于不知道月球和地球的半径大小，所以无法求出它们的平均密度， C、D错误。
8．若你站在月球上，用刻度尺测出某点距月球表面的高度为h，用秒表测出小球从该点由静止下落到月球表面的时间为t，已知月球的半径为R，引力常量为G，球的体积公式V＝πr3(其中r为球的半径)，则月球的平均密度为 (　　)
A． B．
C． D．
解析：选B。小球在月球表面做自由落体运动，有h＝g月t2，月球表面上的物体，受到的重力mg月＝G，其中月球的质量M＝ρV＝ρπR3，联立求得月球的平均密度ρ＝。
9．月球，地球唯一的一颗天然卫星，是太阳系中第五大的卫星。假设航天员登月后，观测羽毛的自由落体运动，得到羽毛的速度v随时间t变化的图像如图所示。已知月球半径为R，引力常量为G，则 (　　)
A．月球表面的重力加速度大小为
B．月球表面的重力加速度大小为
C．月球的平均密度为
D．月球的平均密度为
解析：选D。由v－t图线斜率表示加速度可得月球表面的重力加速度大小g＝，故A、B错误；根据月球表面上的物体受到的万有引力等于重力得＝mg，月球密度ρ＝，则月球的平均密度ρ＝，故C错误，D正确。
10．(2025·四川成都市期末)我国“嫦娥六号”航天器于2024年5月3日在海南文昌发射中心发射升空。航天器在近月轨道上绕月球的运动可视为匀速圆周运动，经过时间t(小于绕行周期)，运动的弧长为s，航天器与月球中心连线扫过的角度为θ(弧度)，引力常量为G，则 (　　)
A．航天器的轨道半径为
B．航天器的环绕周期为
C．月球的质量为
D．月球的密度为
解析：选C。根据题意可得ω＝，v＝，所以r＝R＝＝，故A错误；航天器的环绕周期T＝＝，故B错误；根据G＝mω2r，联立可得M＝，故C正确；月球的密度ρ＝＝＝，故D错误。
11．(11分)(2025·广西南宁市期末)已知某星球半径为R且质量分布均匀，星球两极表面的重力加速度大小为g，赤道表面重力加速度大小为ng(n<1)，引力常量为G。求：
(1)静止在该星球赤道水平面上质量为m的物体所受支持力FN大小；(3分)
(2)该星球的密度ρ；(5分)
(3)该星球自转的周期T。(3分)
解析：(1)根据平衡条件，静止在该星球赤道水平面上质量为m的物体所受支持力大小等于物体的重力，FN＝nmg。
(2)在星球两极表面，根据万有引力与重力的关系G＝mg
该星球的体积V＝πR3
该星球的密度ρ＝
联立解得ρ＝。
(3)对静止在该星球赤道水平面上质量为m的物体，根据牛顿第二定律
mg－nmg＝mR
解得T＝2π。
答案：(1)nmg　(2)　(3)2π
12．(12分)(2025·江苏扬州市期中)已知中国空间站沿圆形轨道运行，经过时间t，其绕地球球心转过的角度为θ，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑地球自转，求：
(1)空间站的角速度ω；(4分)
(2)地球质量M；(4分)
(3)空间站所在圆轨道距地面的高度h。(4分)
解析：(1)根据角速度的定义可知空间站的角速度ω＝。
(2)地球表面的万有引力等于重力
G＝m0g
解得地球的质量M＝。
(3)空间站沿圆形轨道运行，万有引力提供向心力
G＝mω2(R＋h)
又因为ω＝
解得h＝－R。
答案：(1)　(2)　(3)－R(共24张PPT)
课后达标检测
√
题组1　对开普勒定律的理解
1．关于行星运动的规律，下列说法正确的是 (　　)
A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的中心处
B．行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大
C．离太阳的平均距离越大的行星，绕太阳公转的周期越大
D．不同轨道上的行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等
解析：根据开普勒第一定律可知，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的焦点处，故A错误；
根据开普勒第二定律可知，行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越小，故B错误；
根据开普勒第三定律可知，离太阳的平均距离越大的行星，绕太阳公转的周期越大，故C正确；
根据开普勒第二定律可知，对于同一行星，行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，故D错误。
√
2．对于宇宙天体和开普勒定律的理解，下列说法正确的是 (　　)
A．太阳是宇宙的中心，处于静止状态，地球及其他行星都绕太阳运动
B．行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上
C．行星距离太阳越近，其运动速率越小
D．行星围绕太阳运动的轨道半径跟它公转周期成正比
解析：由开普勒定律可知，所有行星绕太阳做椭圆运动，太阳不是宇宙的中心，太阳围绕银河系中心旋转，而银河系不过是宇宙中千亿个星系中微不足道的一个，故A错误；
行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上，故B正确；
根据开普勒第二定律，行星距离太阳越近，其运动速率越大，故C错误；
根据开普勒第三定律，行星围绕太阳运动的轨道半径的三次方跟它公转周期的二次方成正比，故D错误。
√
3．百武彗星是人类第一次探测到发射X射线的彗星，它的近日点仅0.1 AU，周期很长(200年以上)。已知地球的轨道半径为1 AU，只考虑行星与太阳间的作用力，下列说法正确的是 (　　)
A．百武彗星在近日点的速度比在远日点的速度小
B．百武彗星轨道的半长轴大于地球的轨道半径
C．太阳处在百武彗星椭圆轨道的中心点上
D．在远离太阳的过程中，百武彗星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积逐渐增大
解析：由开普勒第二定律可知，百武彗星在近日点的速度比在远日点的速度大，故A错误；
太阳处在百武彗星椭圆轨道的焦点上，故C错误；
由开普勒第二定律可知在远离太阳的过程中，百武彗星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积不变，故D错误。
√
4．(2025·江西南昌市期末)2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面的探月任务提供地月间中继通讯。如图所示，a、b、c、d为鹊桥二号在轨道上运行时经过的四个位置，则经过的四个位置中动能最大的是 (　　)
A．a点 B．b点
C．c点 D．d点
解析：鹊桥二号围绕月球做椭圆运动，
根据开普勒第二定律可知，近日点a点的速度最大，动能最大。
√
√
6．地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆。天文学家哈雷成功预言哈雷彗星的回归，哈雷彗星最近出现的时间是1986年，预测下次飞近地球将在2061年。哈雷彗星轨道的半长轴约为地球公转半径的 (　　)
A．8倍 B．18倍
C．28倍 D．38倍
√
√
√
解析：根据开普勒第二定律可知，海王星在近日点速率最大，在远日点速率最小，故B错误，C、D正确；
8．如图所示的是火星绕太阳运动的椭圆轨道，M、N、P是火星依次经过的三个位置，F1、F2为椭圆的两个焦点。火星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，火星与太阳中心的连线扫过的面积分别为S1和S2。已知由M→N→P的过程中，火星速率逐渐减小。下列判断正确的是(　　)
A．太阳位于焦点F2处
B．S1C．在M和N处，火星的角速度ωM<ωN
D．在N和P处，火星的动能EkN√
解析：已知由M→N→P的过程中，火星速率逐渐减小，根据开普勒第二定律可知，火星到太阳的距离越来越大，即太阳位于焦点F1处，故A错误；
火星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，速率逐渐减小，所以火星由M到N的运动时间小于由N到P的运动时间，根据开普勒第二定律可知火星与太阳中心的连线在单位时间内扫过的面积相等，因此S1因v＝ωr，vM>vN>vP，rN>rM，所以火星的角速度ωM>ωN，火星的动能EkN＞EkP，故C、D错误。
√
解析：由开普勒第二定律知，月球经过相等时间间隔与地球连线所扫过的面积相等，则S1＝S2，且可得从近地点到远地点的过程中速度在逐渐减小，所以月球在轨道A点的速度大于在B点的速度，故A、B错误；
由开普勒第三定律知，月球绕地球运动的轨道半长轴的三次方与公转周期的平方成正比，故C正确，D错误。
√
√
11．假设站在地球赤道某地的人，恰能在日落后4h的时候，观察到自己头顶正上方被阳光照亮的一颗人造地球卫星。若该卫星在赤道平面内做匀速圆周运动，已知地球同步卫星(运行周期与地球自转周期相同)绕地球运行的轨道半径约为地球半径的6倍，则该卫星绕地球运行的周期约为(　　)
A．2 h B．3.5 h
C．4.6 h D．6.2 h
√
12．(多选)(2025·山西长治市期末)如图所示，土卫一(M)和土卫二(E)是土星(S)的两个卫星，土卫二绕土星的公转半径约为土卫一公转半径的2倍，某一时刻两卫星呈如图所示位置，且公转方向均为逆时针方向，则在土卫一公转一周的时间内，关于两卫星的位置关系，下列图像大致正确的是(　　)
√第1节　天体运动
1．了解人类对行星运动规律的认识历程。　2.知道开普勒定律的内容。
3．能用开普勒定律分析一些简单的行星运动问题。
一、中国古代对宇宙的认识
浑天说是我国古代宇宙理论的主流学说。
二、地心说与日心说
1．地心说：托勒密认为，地球位于宇宙的中心，是静止不动的，其他天体围绕地球转动。
2．日心说：哥白尼认为，地球和别的行星一样，围绕太阳运行，只有太阳固定在这个体系的中心。
三、开普勒行星运动定律
定律 内容 公式或图示
开普勒第一定律 所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律 从太阳到行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积
开普勒第三定律 行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比是一个常量 公式：＝k，k是一个与行星无关的常量
判断下列说法是否正确。
(1)各行星围绕太阳运动的速率是不变的。 (　　)
(2)开普勒定律仅适用于行星绕太阳的运动。 (　　)
(3)行星轨道的半长轴越长，行星的公转周期越长。 (　　)
(4)可认为地球围绕太阳做圆周运动。 (　　)
(5)行星绕太阳运动一周的时间内，它与太阳的距离是不变的。 (　　)
(6)公式 ＝k，只适用于轨道是椭圆的运动。 (　　)
提示：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×　(6)×
知识点一　对开普勒定律的理解
1．行星的轨道问题
行星的轨道都是椭圆，如图甲所示。不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的，太阳处在椭圆的一个焦点上，如图乙所示，即所有轨道都有一个共同的焦点——太阳。
2．速度大小问题
(1)如图丙所示，如果时间间隔相等，由开普勒第二定律知，面积SA＝SB，可见离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大。
(2)近日点、远日点分别是行星距离太阳的最近点、最远点。同一行星在近日点速度最大，在远日点速度最小。
　　
3．公转周期的长短问题
(1)如图丁所示，由＝k知，椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长。常量k与行星无关，只与太阳有关。
(2)该定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕地球的运动，此时常量k与卫星无关，只与地球有关，也就是说k值大小由中心天体决定。
　火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，由开普勒行星运动定律可知 (　　)
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．木星和火星绕太阳运行速度的大小始终不变
C.太阳在火星与木星公转的椭圆轨道的同一个焦点上
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
[解析]　根据开普勒第一定律可知，太阳位于木星运行轨道的焦点位置，A错误；根据开普勒第二定律可知，木星和火星绕太阳运行速度的大小不是始终不变，在离太阳较近时速度较大，离太阳较远时速度较小，B错误；根据开普勒第一定律可知，太阳相对于所有行星轨道的位置是不变的，太阳在所有行星轨道的同一个焦点上，C正确；根据开普勒第二定律可知，相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积相等，但是不等于木星与太阳连线扫过的面积，D错误。
[答案]　C
　(2025·江苏扬州市期末)某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图所示，E和F是椭圆轨道的两个焦点，行星在A点的速度比在B点的速度大，则太阳位于 (　　)
A．F点　　　　　　 B．E点
C．B点 D．A点
[解析]　根据开普勒第一定律与第二定律可知，行星绕太阳运行的轨迹是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上，太阳与行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等，从而可以得到，行星在近日点速度大，在远日点速度小，所以A点为近日点，太阳在E点。
[答案]　B
　(多选)关于开普勒行星运动第三定律的公式＝k，以下理解正确的是 (　　)
A．k是一个与中心天体有关、与其他行星无关的量
B．若地球绕太阳运转轨道的半长轴为r地，周期为T地；月球绕地球运转轨道的半长轴为r月，周期为T月，则 eq \f(r,T)＝ eq \f(r,T)
C．T表示行星运动的自转周期
D．T表示行星运动的公转周期
[解析]　k只与中心天体有关，与其他行星无关，故A正确；地球和月球不是绕同一个中心天体运动，所以 eq \f(r,T)≠ eq \f(r,T)，故B错误；T表示行星运动的公转周期，故C错误，D正确。
[答案]　AD
知识点二　开普勒定律的应用
1．适用范围：天体的运动可近似看成匀速圆周运动，开普勒第三定律既适用于做椭圆运动的天体，也适用于做圆周运动的天体。
2．应用：知道了行星到太阳的距离，就可以由开普勒第三定律计算或比较行星绕太阳运行的周期。反之，知道了行星的公转周期，也可以计算或比较其到太阳的距离。
3．k值：表达式 ＝k中的常数k，只与中心天体的质量有关。如研究行星绕太阳运动时，常数k只与太阳的质量有关；研究卫星绕地球运动时，常数k只与地球的质量有关。
　(2025·江西南昌市一模)2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样之旅。如图，假设嫦娥六号在环月椭圆轨道上沿图中箭头方向运动，只受到月球的引力，ab为椭圆轨道长轴，cd为椭圆轨道短轴。某时刻嫦娥六号位于c点，则再经过二分之一周期它将位于轨道的 (　　)
A．b点　　　　　 B．d点
C．bd之间 D．ad之间
[解析]　根据开普勒第二定律，近月点速度快，远月点速度慢，可知嫦娥六号在弧cbd上的平均速度小于在弧dac上的平均速度，弧cbd的长度为环月椭圆轨道周长的一半，故再经过二分之一周期它将位于轨道的bd之间。
[答案]　C
　(2025·江苏南通市期中)木星有4颗卫星是伽利略发现的，称为伽利略卫星，其中两颗卫星绕木星做圆周运动的周期之比为1∶4，则这两颗卫星的轨道半径之比为 (　　)
A． B．
C． D．
[解析]　卫星绕木星做圆周运动，根据开普勒第三定律有 eq \f(r,T)＝ eq \f(r,T)，解得＝。
[答案]　D
1．(对开普勒第二定律的理解)(多选)下列对开普勒第二定律理解正确的是 (　　)
A．行星绕太阳的运动，一定是匀速曲线运动
B．行星绕太阳的运动，一定是变速曲线运动
C．行星绕太阳运动时，由于角速度相等，故在近日点处的线速度小于它在远日点处的线速度
D．行星绕太阳运动时，由于它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，故它在近日点的线速度大于它在远日点的线速度
解析：选BD。根据开普勒第二定律可知，行星与太阳连线在相等时间内扫过的面积相等，故离太阳近时运动速度大，离太阳远时运动速度小，所以行星绕太阳运动时，一定是变速曲线运动。
2．(开普勒第二定律的应用)如图所示，某颗小行星绕太阳依次从a→b→c→d→a运动。在轨道上这四个位置中，该行星运动速率最大的是 (　　)
A．a　　　　　　　　 B．b
C．c D．d
解析：选A。根据开普勒第二定律可知，行星和太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，a点离太阳最近，相等时间内通过的弧长最长，速率最大。
3．(开普勒第三定律的应用)已知地球绕太阳运动的公转周期为1年，某行星绕太阳运行轨道的半长轴是地球的4倍，根据开普勒第三定律可求得该行星的公转周期为 (　　)
A．16年 B．8年
C．4年 D．2年
解析：选B。设地球运动轨道的半长轴为r，根据开普勒第三定律得＝ eq \f(r3,T)，可得T＝8T地，则该行星的公转周期为8年。(共3张PPT)
章末知识网络建构
答案：A　D　C　B
感谢观看
THANKS第3节　预言未知星体　计算天体质量
1．理解“称量地球质量”的基本思路，了解万有引力定律在天文学上的重要应用。
2．会用万有引力定律计算天体的质量和密度。
3．理解计算太阳质量的基本思路，能将天体问题中的对象和过程转换成相关模型后进行求解。
4．掌握综合运用万有引力定律和圆周运动知识分析具体问题的方法。
一、预言彗星回归
1．哈雷根据引力理论，对1682年出现的哈雷彗星的轨道运动进行了计算，指出了不同年份出现的情况，并预言它再次出现的时间。
2．1743年，克雷洛计算了遥远的木星和土星对哈雷彗星运动规律的影响，指出了哈雷彗星运动经过近日点的时间。
3．总之，由万有引力理论可以预知哈雷彗星每次临近地球的时间，并且经过验证都是正确的。
二、预言未知星体
1．已发现天体的轨道推算
18世纪，人们观测发现天王星的运动轨道与由万有引力定律计算出来的轨道之间存在明显的偏差。
2．未知天体的发现：根据已发现的天体的运动轨道结合万有引力定律推算出还没发现的未知天体的轨道，如海王星就是这样发现的。
三、计算天体质量
1．地球质量的计算
利用地球表面的物体：若不考虑地球自转，已知引力常量G、地球半径R和重力加速度g，质量为m的物体受到的重力等于地球对物体的万有引力，即mg＝，则可以计算地球的质量M＝。
2．太阳质量的计算
利用某一质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动：行星与太阳间的万有引力提供向心力，即G＝，由此可得太阳质量mS＝，可见只要测出行星的公转周期T以及它和太阳之间的距离r，就可以计算出太阳的质量。
判断下列说法是否正确。
(1)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力。 (　　)
(2)若只知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的半径，则可以求出太阳的质量。 (　　)
(3)牛顿被称作第一个称出地球质量的人。 (　　)
(4)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量。 (　　)
(5)海王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的。 (　　)
提示：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
知识点一　万有引力和重力的关系
如图所示，人站在地球(地球被视为规则的球体)的不同位置，比如赤道、两极或者其他位置，人随地球的自转而做半径不同的匀速圆周运动，请思考：
(1)人在地球的不同位置，受到的万有引力大小一样吗？
(2)人在地球的不同位置，哪个力提供向心力？大小相同吗？受到的重力大小一样吗？
[提示]　(1)根据万有引力定律F＝G可知，人在地球的不同位置，受到的万有引力大小一样。
(2)万有引力的一个分力提供人随地球转动需要的向心力；在地球的不同位置，向心力不同；重力是万有引力的另一个分力，所以人在地球的不同位置，受的重力大小不一样。
1．重力为地球引力的分力
如图甲所示，设地球的质量为m地、半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球吸引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得F＝G。
图中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力，F2就是物体的重力mg，故一般情况mg＜G。
eq \o(\s\up7(),\s\do5(甲))　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(　乙))
2．重力和万有引力的大小关系
(1)重力与纬度的关系如图乙所示。
①在赤道：F－N＝mrω2，N＝mg，故mg＝G－mrω2，由于F向＝mrω2最大，则mg最小。
②在两极：由于F向＝mrω2＝0，故mg＝G最大。
③在地面上其他位置，mg＜G，向心力F1＝mrω2随着纬度的增大而减小，重力逐渐增大，直到等于地球对物体的万有引力。
(2)重力、重力加速度与高度的关系。
由于地球的自转角速度很小，所以一般情况下可忽略自转的影响。
①在地球表面：mg＝G，g＝，g为常数。
②在距地面h处：mg′＝G，g′＝，高度h越大，重力越小，重力加速度g′越小。
　(2025·重庆市期中)已知物体在均匀球壳内部任意一点受到的万有引力为零。若地球质量分布均匀，半径为R，当某个物体下降到距离地球表面某一深度时，其所在位置的重力加速度为地球表面处重力加速度的，则该位置到地球球心的距离为 (　　)
A．R　 B．R　
C．R　 D．R
[解析]　根据万有引力定律，距离地表某一深度h时，有＝mg′，＝＝，G＝mg，g′＝g，联立可得距离地表h＝R，则该位置到地心距离为R。
[答案]　A
　天文学家发现遥远星空中的某颗半径为R绕通过两极的轴自转的行星两极处的重力加速度为g，而赤道处的重力加速度为两极处重力加速度的，则该行星自转的角速度为 (　　)
A． 　　　　　 B．
C． D．
[解析]　对于该行星两极处的物体m，可得＝mg，对于赤道处的物体m′，可得G－m′ω2R＝m′·g，解得该行星自转的角速度ω＝ 。
[答案]　B
知识点二　天体质量的计算
天体质量的计算
(1)“自力更生法”：若已知天体(如地球)的半径R和表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg＝G，解得天体质量为m地＝，因g、R是天体自身的参量，故称“自力更生法”。
(2)“借助外援法”：借助绕中心天体(如地球)做圆周运动的行星或卫星的运动周期T和轨道半径r计算中心天体的质量，依据是万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力。
常见的情况如下：
万有引力提供向心力 中心天体的质量 说明
G＝m M＝ r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和周期
G＝mrω2 M＝
G＝mr M＝
角度1　“自力更生法”求天体质量
　如果你站在月球上，由静止释放质量为m的物体，物体在t秒内下落了h米，若已知月球的半径为R、引力常量为G，根据以上给出的物理量得出月球的质量为 (　　)
A．mg　　　　　　　 B．
C．　　 D．
[解析]　物体做自由落体运动有h＝g月t2，根据万有引力与重力的关系G＝mg月，解得月球的质量M＝。
[答案]　B
　假如人类发现了某星球，人类登上该星球后，进行了如下实验：在固定的竖直光滑圆轨道内部，一小球恰好能做完整的圆周运动，小球在最高点时的速度为v，轨道半径为r。若已测得该星球的半径为R，引力常量为G，则该星球的质量为 (　　)
A．　　　　　　　 B．
C． D．
[解析]　设小球的质量为m，该星球的质量为M，该星球表面的重力加速度为g，因小球恰好做完整的圆周运动，由牛顿第二定律以及向心力公式可得mg＝，解得g＝，对于该星球表面质量为m′的物体，万有引力近似等于其重力，即m′g＝，由此可得M＝。
[答案]　D
角度2　“借助外援法”求天体质量
　某卫星绕地球做匀速圆周运动，运行的周期为T，运行轨道离地球表面的高度为h，地球的半径为R，引力常量为G，则地球的质量可表示为 (　　)
A．　　　　 B．
C． D．
[解析]　根据G＝m(R＋h)可得地球的质量M＝。
[答案]　B
知识点三　天体密度的计算
　天体密度的计算
(1)利用天体表面的重力加速度求天体密度，由mg＝G 和M＝ρ·，得ρ＝。
(2)利用天体的卫星求天体密度
若已知中心天体的半径R，环绕天体的卫星的运转周期T，轨道半径r，则可得G＝mr，中心天体质量M＝ρ·πR3，联立可得ρ＝。当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ＝。
　(2025·安徽马鞍山市期中)在未来的某一天，我国载人探月飞船嫦娥x号飞临月球，先在月球表面附近的圆轨道上绕月球做周期为T的匀速圆周运动，然后逐渐调整并安全登月。航天员出舱后沿竖直方向做了一次跳跃，不计空气阻力，他腾空的高度为h，腾空时间为t，引力常量为G。由此可计算出 (　　)
A．月球的质量为
B．月球的半径为
C．月球的平均密度为
D．飞船在近月圆轨道上运行的线速度大小为
[解析]　根据h＝g，解得g＝，根据mg＝G，G＝mR，M＝ρπR3，解得R＝，M＝，ρ＝，A、C错误，B正确；根据v＝，解得v＝，D错误。
[答案]　B
　航天员在半径为R的某星球表面将一小钢球以v0的初速度竖直向上抛出，测得小钢球上升的最大高度为h。不计空气阻力，忽略该星球的自转，R远大于h，该星球为密度均匀的球体，引力常量为G。求：
(1)该星球表面的重力加速度g的大小；
(2)该星球的质量M；
(3)该星球的密度ρ。
[解析]　(1)根据题意，由速度位移关系公式，有v＝2gh
解得该星球表面的重力加速度
g＝ eq \f(v,2h)。
(2)静止在该星球表面的物体，根据重力等于万有引力，有G＝mg
解得星球的质量M＝ eq \f(vR2,2Gh)。
(3)星球的体积V＝
故该星球的密度ρ＝＝ eq \f(3v,8πhGR)。
[答案]　(1) eq \f(v,2h)　(2) eq \f(vR2,2Gh)　(3) eq \f(3v,8πhGR)
1．(天体质量的计算)(2025·北京丰台区期末)某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径是r，周期是T，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则地球的质量为 (　　)
A． B．
C． D．
解析：选C。根据＝mg，解得M＝，故A、B错误；由＝mr，解得M＝，故C正确，D错误。
2．(天体质量的计算)(2024·新课标卷，T16)天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的 (　　)
A．0.001 B．0.1
C．10倍 D．1 000倍
解析：选B。设红矮星质量为M1，行星质量为m1，运行轨道半径为r1，周期为T1；太阳的质量为M2，地球质量为m2，运行轨道半径为r2，周期为T2，则G eq \f(M1m1,r)＝m1 eq \f(4π2,T)r1，G eq \f(M2m2,r)＝m2 eq \f(4π2,T)r2，联立可得＝3·2，解得≈0.1。
3．(天体密度的计算)2020年诺贝尔物理学奖一半授予罗杰·彭罗斯，另外一半授予莱因哈德·根泽尔和安德里亚·格兹，其中莱因哈德·根泽尔和安德里亚·格兹发现了银河系中心的超大质量的黑洞。若该黑洞半径为太阳半径的k倍，距黑洞中心为r的某一星体以速度v绕黑洞旋转，已知引力常量为G，太阳半径为R，则黑洞的密度为 (　　)
A． B．
C． D．
解析：选D。设黑洞质量为M黑，星体质量为m，该星体由万有引力提供向心力有G＝m，又M黑＝ρ·πR，且R黑＝kR，联立可得ρ＝。
4．(天体密度的计算)(2024·海南卷，T6)嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为 (　　)
A．　　　　 　 B．
C． D．(1＋k)3
解析：选D。设月球半径为R，质量为M，对嫦娥六号，根据G＝m·(k＋1)R，月球的体积V＝πR3，月球的平均密度ρ＝，联立可得ρ＝(1＋k)3。(共25张PPT)
课后达标检测
√
√
√
√
√
5．(多选)航天员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处。若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比R星∶R地 ＝ 1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g′，空气阻力不计，则 (　　)
A．g′∶g ＝ 1∶5 B．g′∶g ＝ 5∶2
C．M星∶M地 ＝ 1∶20 D．M星∶M地 ＝ 1∶80
√
√
√
由于不知道月球和地球的半径大小，所以无法求出它们的平均密度， C、D错误。
√
√
√
11．(11分)(2025·广西南宁市期末)已知某星球半径为R且质量分布均匀，星球两极表面的重力加速度大小为g，赤道表面重力加速度大小为ng(n<1)，引力常量为G。求：
(1)静止在该星球赤道水平面上质量为m的物体所受支持力FN大小；(3分)
解析：根据平衡条件，静止在该星球赤道水平面上质量为m的物体所受支持力大小等于物体的重力，FN＝nmg。
答案：nmg　
(2)该星球的密度ρ；(5分)
(3)该星球自转的周期T。(3分)
12．(12分)(2025·江苏扬州市期中)已知中国空间站沿圆形轨道运行，经过时间t，其绕地球球心转过的角度为θ，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑地球自转，求：
(1)空间站的角速度ω；(4分)
(2)地球质量M；(4分)
(3)空间站所在圆轨道距地面的高度h。(4分)第4节　人造卫星　宇宙速度
第5节　太空探索(选学)(略)
1．了解人造地球卫星的最初构想，会推导第一宇宙速度。
2．知道同步卫星和其他卫星的区别，会分析人造地球卫星的受力和运动情况。
3．了解发射速度与环绕速度的区别与联系，理解天体运动中的能量观。
4．会应用万有引力定律分析卫星运行规律。
一、从幻想到现实——人造卫星
1．卫星是一些自然的或人工的在太空中绕行星运动的物体。
2．人造卫星用于通信、气象、侦察、导航和其他许多领域内的科学研究。
二、宇宙速度
1．第一宇宙速度：使卫星能环绕地球运行所需的最小速度，其大小为v1＝7.9 km/s，又称环绕速度。
2．第二宇宙速度：使人造卫星脱离地球的引力束缚，不再绕地球运行，从地球表面发射所需的最小速度，其大小为v2＝11.2km/s，又称脱离速度。
3．第三宇宙速度：使物体脱离太阳的束缚而飞离太阳系，从地球表面发射所需的最小速度，其大小为v3＝16.7km/s，也叫逃逸速度。
说明：对于椭圆而言，偏心率等于两焦点的距离的一半与半长轴的比值。可以看出，偏心率越小，椭圆越趋近于圆。
判断下列说法是否正确。
(1)在地面上发射人造卫星的最小速度是7.9 km/s。 (　　)
(2)在地面上发射火星探测器的速度应为 11.2 km/s(3)要发射离开太阳系的探测器，所需发射速度至少为16.7 km/s。 (　　)
(4)要发射一颗月球卫星，在地面的发射速度应大于16.7 km/s。 (　　)
(5)地球的静止轨道卫星一定位于赤道的正上方。　 (　　)
(6)地球同步卫星的周期与地球自转的周期相同。 (　　)
提示：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√　(6)√
知识点一　对宇宙速度的理解
发射卫星，要有足够大的速度才行。
(1)怎样求地球的第一宇宙速度？不同星球的第一宇宙速度是否相同？
(2)把卫星发射到更高的轨道上需要的发射速度越大还是越小？
[提示]　(1)根据G＝m，得v＝ ；可见第一宇宙速度由地球的质量和半径决定，不同星球的第一宇宙速度不同。
(2)轨道越高，需要的发射速度越大。
1．第一宇宙速度：第一宇宙速度是人造卫星近地环绕地球做匀速圆周运动的速度。
2．第一宇宙速度的两种推导方法
对于近地人造卫星，轨道半径r近似等于地球半径R≈6 400 km，卫星在轨道处所受的万有引力近似等于卫星在地面上所受的重力，g取9.8 m/s2。
方法一：
方法二：
3．决定因素
由第一宇宙速度的计算式v＝可以看出，第一宇宙速度的值由中心天体决定，第一宇宙速度的大小取决于中心天体的质量M和半径R，与卫星无关。
4．对第一宇宙速度的理解
(1)“最小发射速度”：向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难，因为发射卫星要克服地球对它的引力。近地轨道是人造卫星的最低运行轨道，而近地轨道的发射速度就是第一宇宙速度，所以第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度。
(2)“最大环绕速度”：在所有环绕地球做匀速圆周运动的卫星中，近地卫星的轨道半径最小，由G＝m可得v＝，轨道半径越小，线速度越大，所以在这些卫星中，第一宇宙速度是所有环绕地球做匀速圆周运动的卫星的最大环绕速度。
　(2025·江苏省合格考模拟)如图所示，在地面附近要发射一颗绕地球运行的卫星，发射速度 (　　)
A．v＝7.9 km/s　　　
B．v＝11.2 km/s
C．7.9 km/s≤v<11.2 km/s
D．11.2 km/s≤v<16.7 km/s
[解析]　要发射一颗绕地球运行的卫星，发射速度既不能低于第一宇宙速度，否则无法发射成功；也不能超过第二宇宙速度，否则将会克服地球引力，永远离开地球，故发射速度v的取值范围为7.9 km/s≤v<11.2 km/s。
[答案]　C
　(多选)(2024·湖南卷，T7)2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集，并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。已知月球表面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的。关于返回舱在该绕月轨道上的运动，下列说法正确的是 (　　)
A．其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度
B．其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度
C.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的
D．其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的 倍
[解析]　根据G＝m，G＝mg，结合题意可知v月＝，v地＝，代入题中数据可得v月＝v地，故A错误，B正确；根据T＝·r可得T月＝T地，故C错误，D正确。
[答案]　BD
知识点二　卫星运行规律分析
如图所示，在地球的周围，有许多的卫星在不同的轨道上绕地球转动。
(1)这些卫星的轨道平面有什么特点？
(2)这些卫星的线速度、角速度、周期、向心加速度等跟什么因素有关呢？
[提示]　(1)轨道平面过地心。
(2)与轨道半径有关。
1．卫星运动遵循的规律：卫星绕地球沿椭圆轨道运动时，地心在椭圆的一个焦点上，卫星的周期和半长轴的关系遵循开普勒第三定律。
2．卫星轨道的圆心：卫星绕地球沿圆形轨道运动时，因为地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球运动的向心力，而万有引力指向地心，所以地心是卫星圆轨道的圆心。
3．卫星的轨道：卫星的轨道平面可以在赤道平面内(如静止轨道卫星)，可以通过两极上空(如极地卫星)，也可以和赤道平面成任意角度。
4．运行参量
(1)由G＝m得v＝ ，h越大，轨道半径越大，线速度越小。
(2)由G＝mω2(R＋h)得ω＝，h越大，轨道半径越大，角速度越小。
(3)由G＝m(R＋h)得T＝，h越大，轨道半径越大，周期越大。
(4)由G＝ma得a＝，h越大，轨道半径越大，向心加速度越小。
角度1　卫星运行参量分析
　(2025·湖北卷，T2)甲、乙两行星绕某恒星做圆周运动，甲的轨道半径比乙的小。忽略两行星之间的万有引力作用，下列说法正确的是 (　　)
A．甲运动的周期比乙的小
B．甲运动的线速度比乙的小
C．甲运动的角速度比乙的小
D．甲运动的向心加速度比乙的小
[解析]　由题意可知，r甲v乙，ω甲>ω乙，a甲>a乙，A正确。
[答案]　A
角度2　航天器内的失重现象
　(2025·江苏连云港合格考模拟)如图所示，在梦天实验舱航天员演示奇妙“乒乓球”实验过程中，小水球“飘”在空中来回运动而未“下落”，则小水球 (　　)
A．处于超重状态　 B．处于完全失重状态
C．处于平衡状态 D．不受地球引力作用
[解析]　因万有引力充当做圆周运动的向心力，则小水球“飘”在空中来回运动而未“下落”，小水球处于完全失重状态，但仍受地球的引力作用。
[答案]　B
知识点三　近地卫星、静止卫星和赤道上物体
1．三者比较
(1)轨道半径：近地卫星与赤道上物体的轨道半径相同，均等于地球半径，静止卫星的轨道半径较大。
(2)运行周期：静止卫星与赤道上物体的运行周期相同，由T＝2π可知，近地卫星的周期小于静止卫星的周期。
(3)向心加速度：由a＝G知，静止卫星的加速度小于近地卫星的加速度。由a＝ω2r＝()2r知，静止卫星的加速度大于赤道上物体的加速度。
(4)向心力：近地卫星和静止卫星都只受万有引力作用，由万有引力提供向心力，满足由万有引力提供向心力的天体的运行规律。赤道上的物体由万有引力和地面支持力的合力提供向心力，它的运动规律不同于卫星的运动规律。
2．地球静止卫星
(1)概念：相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星，叫作地球静止卫星。
(2)特点
①确定的转动方向：和地球自转方向一致。
②确定的周期：和地球自转周期相同，即T＝24 h。
③确定的角速度：等于地球自转的角速度。
④确定的轨道平面：所有的静止卫星都在赤道的正上方，其轨道平面必须与赤道平面重合。
⑤确定的高度：离地面高度固定不变(3.6×104 km)。
⑥确定的环绕速率：线速度大小一定(3.1×103 m/s)。
　(2025·江苏南京市期末)如图所示，A表示地球静止卫星，B为运行轨道比A低的一颗卫星，C为地球赤道表面上的一个物体，关于它们的线速度、角速度、运行周期和加速度的比较，下列关系式正确的是 (　　)
A．ωA>ωB>ωC　　　　 B．vB>vC>vA
C．aB>aA>aC D．TA>TC>TB
[解析]　地球静止卫星与赤道共平面且相对赤道上的物体静止，因此地球静止卫星的周期与赤道上物体随地球自转的周期相同，即ωA＝ωC，TA＝TC，由v＝ωr，a＝ω2r，可得vA>vC，aA>aC，根据G＝m＝mω2r＝mr＝ma，可得v＝，ω＝，T＝，a＝，显然vB>vA，ωB>ωA，TBaA，综合可得ωA＝ωC<ωB，TA＝TC>TB，vB>vA>vC，aB>aA>aC，故A、B、D错误，C正确。
[答案]　C
　北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统。其中北斗—G4为一颗地球静止轨道卫星，北斗—IGSO2为一颗倾斜同步轨道卫星，北斗—M3为一颗中圆地球轨道卫星(轨道半径小于静止轨道半径)，下列说法正确的是 (　　)
A．北斗—G4和北斗—IGSO2都相对地面静止
B．北斗—G4和北斗—IGSO2的轨道半径相等
C.北斗—M3与北斗—G4的周期平方之比等于高度三次方之比
D. 北斗—M3的线速度比北斗—IGSO2的线速度小
[解析]　北斗—G4为一颗地球静止轨道卫星，可知北斗—G4相对地面静止；北斗—IGSO2为一颗倾斜同步轨道卫星，则北斗—IGSO2的周期等于地球自转周期，但北斗—IGSO2相对地面不是静止的，故A错误。根据＝mr可得T＝，由于北斗—G4和北斗—IGSO2的周期相等，则北斗—G4和北斗—IGSO2的轨道半径相等，故B正确。根据开普勒第三定律＝k，可知北斗—M3与北斗—G4的周期平方之比等于轨道半径三次方之比，故C错误。根据＝m可得v＝，由于中圆地球轨道卫星轨道半径小于静止轨道半径，则北斗—M3的线速度比北斗—IGSO2的线速度大，故D错误。
[答案]　B
1．(对宇宙速度的理解)(多选)已知火星的质量约为地球质量的，火星的半径约为地球半径的。下列关于火星探测器的说法正确的是 (　　)
A．发射速度只要大于第一宇宙速度即可
B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以
C．发射速度应大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度
D．环绕火星运行的最大速度约为地球第一宇宙速度的
解析：选CD。火星探测器前往火星，脱离地球引力束缚，但还在太阳系内，发射速度应大于第二宇宙速度、小于第三宇宙速度，A、B错误，C正确；由G＝m得v＝，已知火星的质量约为地球质量的，火星的半径约为地球半径的，可得火星的第一宇宙速度与地球第一宇宙速度之比＝＝＝，D正确。
2．(宇宙速度的分析)(2025·江苏无锡市期中)一次宇宙冒险家到达一个未知星球，首先以无动力状态在近地轨道绕行观察，飞行速度为v，测得环绕周期为T。下列计算不正确的是 (　　)
A．星球质量为
B．星球半径为
C.星球第一宇宙速度为v
D．星球表面重力加速度为
解析：选A。由题意可知，冒险家是以无动力状态在近地轨道绕行观察，即运行轨道的半径等于星球半径，故星球第一宇宙速度为v，故C正确，不符合题意；根据v＝解得r＝，根据万有引力定律有G＝m，解得M＝，故A错误，符合题意，B正确，不符合题意；在星球表面有G＝mg，联立解得g＝，故D正确，不符合题意。
3．(地球同步卫星)(2025·北京西城区期中)关于地球同步卫星，下列说法正确的是 (　　)
A．地球同步卫星只是依靠惯性运动
B．质量不同的地球同步卫星轨道高度不同
C．质量不同的地球同步卫星线速度不同
D．所有地球同步卫星的加速度大小相同
解析：选D。地球同步卫星受到的地球对其的万有引力，为其圆周运动提供向心力，A错误；卫星做匀速圆周运动，由地球的万有引力提供向心力，则有G＝m(R＋h)，解得h＝－R，所有同步卫星轨道高度都一样，B错误；同理可得G＝m＝ma，解得v＝，a＝，线速度、加速度大小也相等，C错误，D正确。
4．(近地卫星、静止卫星和赤道上物体)(多选)如图所示，a为放在赤道上相对于地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径)，c为地球的静止卫星。下列关于a、b、c的说法正确的是 (　　)
A．b卫星转动的线速度大于7.9 km/s
B．a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度的大小关系为aa＞ab＞ac
C．a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Ta＝Tc>Tb
D．在b、c中，b的线速度较大
解析：选CD。b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，根据万有引力定律有＝m，解得v＝，又由＝mg可得v＝，与第一宇宙速度大小相同，即v＝7.9 km/s，故A错误；地球赤道上的物体与静止卫星具有相同的角速度，所以ωa＝ωc，根据a＝rω2，可知c的向心加速度大于a的向心加速度，根据a＝得b的向心加速度大于c的向心加速度，即ab>ac>aa，故B错误；卫星c为地球静止卫星，所以Ta＝Tc，根据T＝2π ，得c的周期大于b的周期，即Ta＝Tc>Tb，故C正确；在b、c中，根据v＝可知b的线速度比c的线速度大，故D正确。(共26张PPT)
课后达标检测
√
解析：根据牛顿第三定律可知，无论m1和m2是否相等，它们之间的万有引力大小都相等，故A正确；
根据开普勒第二定律可知，同一行星与太阳中心连线在相同时间内扫过的面积相等，但火星与太阳中心连线和地球与太阳中心连线在相同时间内扫过的面积不相等，故D错误。
√
√
太阳与行星间的引力是一对相互作用力，故B错误。
√
解析：牛顿为了检验万有引力定律的正确性，首次进行了“月—地检验”，故A错误；
“月—地检验”表明地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同种性质的力，故B错误；
月球由于受到地球对它的万有引力而产生的加速度与月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度相等，所以证明了万有引力定律的正确性，故C正确；
√
√
√
√
√
卫星对地球的引力均沿卫星、地球间的连线向外，由于三颗卫星的质量大小相等，对地球的引力大小相等，又因为三颗卫星等间隔分布，根据几何关系可知，地球受到三个卫星的引力大小相等、方向成120°角，所以合力为0，故D错误。
√
√
根据开普勒第三定律可知，地球公转周期的平方与轨道半长轴三次方的比值是一个仅与太阳质量有关的常数，故C错误；
12．(8分)如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为R。如果从球的正中心挖去一个直径为R的球，放在相距为d的地方。求两球之间的引力大小。(共29张PPT)
第三章　万有引力定律
第1节　天体运动
学习目标
1．了解人类对行星运动规律的认识历程。　2.知道开普勒定律的内容。
3．能用开普勒定律分析一些简单的行星运动问题。
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、中国古代对宇宙的认识
浑天说是我国古代宇宙理论的主流学说。
二、地心说与日心说
1．地心说：托勒密认为，_________位于宇宙的中心，是静止不动的，其他天体围绕_________转动。
2．日心说：哥白尼认为，地球和别的行星一样，围绕_________运行，只有_________固定在这个体系的中心。
地球
地球
太阳
太阳
三、开普勒行星运动定律
椭圆
椭圆
焦点
相等的面积
半长轴
公转周期
无关
√
×　
×　
×　
×　
√
课堂深度探究
PART
02
第二部分
知识点一　对开普勒定律的理解
1．行星的轨道问题
行星的轨道都是椭圆，如图甲所示。不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的，太阳处在椭圆的一个焦点上，如图乙所示，即所有轨道都有一个共同的焦点——太阳。
2．速度大小问题
(1)如图丙所示，如果时间间隔相等，由开普勒第二定律知，面积SA＝SB，可见离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大。
(2)近日点、远日点分别是行星距离太阳的最近点、最远点。同一行星在近日点速度最大，在远日点速度最小。
　　火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，由开普勒行星运动定律可知(　　)
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．木星和火星绕太阳运行速度的大小始终不变
C.太阳在火星与木星公转的椭圆轨道的同一个焦点上
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
√
[解析]　根据开普勒第一定律可知，太阳位于木星运行轨道的焦点位置，A错误；
根据开普勒第二定律可知，木星和火星绕太阳运行速度的大小不是始终不变，在离太阳较近时速度较大，离太阳较远时速度较小，B错误；
根据开普勒第一定律可知，太阳相对于所有行星轨道的位置是不变的，太阳在所有行星轨道的同一个焦点上，C正确；
根据开普勒第二定律可知，相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积相等，但是不等于木星与太阳连线扫过的面积，D错误。
(2025·江苏扬州市期末)某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图所示，E和F是椭圆轨道的两个焦点，行星在A点的速度比在B点的速度大，则太阳位于(　　)
A．F点　　　　　　 B．E点
C．B点 D．A点
[解析]　根据开普勒第一定律与第二定律可知，行星绕太阳运行的轨迹是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上，太阳与行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等，从而可以得到，行星在近日点速度大，在远日点速度小，所以A点为近日点，太阳在E点。
√
√
√
[解析]　k只与中心天体有关，与其他行星无关，故A正确；
T表示行星运动的公转周期，故C错误，D正确。
知识点二　开普勒定律的应用
1．适用范围：天体的运动可近似看成匀速圆周运动，开普勒第三定律既适用于做椭圆运动的天体，也适用于做圆周运动的天体。
2．应用：知道了行星到太阳的距离，就可以由开普勒第三定律计算或比较行星绕太阳运行的周期。反之，知道了行星的公转周期，也可以计算或比较其到太阳的距离。
　　(2025·江西南昌市一模)2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样之旅。如图，假设嫦娥六号在环月椭圆轨道上沿图中箭头方向运动，只受到月球的引力，ab为椭圆轨道长轴，cd为椭圆轨道短轴。某时刻嫦娥六号位于c点，则再经过二分之一周期它将位于轨道的(　　)
A．b点　　　　　 B．d点
C．bd之间 D．ad之间
√
[解析]　根据开普勒第二定律，近月点速度快，远月点速度慢，可知嫦娥六号在弧cbd上的平均速度小于在弧dac上的平均速度，弧cbd的长度为环月椭圆轨道周长的一半，故再经过二分之一周期它将位于轨道的bd之间。
√
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
1．(对开普勒第二定律的理解)(多选)下列对开普勒第二定律理解正确的是(　　)
A．行星绕太阳的运动，一定是匀速曲线运动
B．行星绕太阳的运动，一定是变速曲线运动
C．行星绕太阳运动时，由于角速度相等，故在近日点处的线速度小于它在远日点处的线速度
D．行星绕太阳运动时，由于它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，故它在近日点的线速度大于它在远日点的线速度
√
√
解析：根据开普勒第二定律可知，行星与太阳连线在相等时间内扫过的面积相等，故离太阳近时运动速度大，离太阳远时运动速度小，所以行星绕太阳运动时，一定是变速曲线运动。
√
2．(开普勒第二定律的应用)如图所示，某颗小行星绕太阳依次从a→b→c→d→a运动。在轨道上这四个位置中，该行星运动速率最大的是(　　)
A．a　　　　　　　　 B．b
C．c D．d
解析：根据开普勒第二定律可知，行星和太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，a点离太阳最近，相等时间内通过的弧长最长，速率最大。
√
3．(开普勒第三定律的应用)已知地球绕太阳运动的公转周期为1年，某行星绕太阳运行轨道的半长轴是地球的4倍，根据开普勒第三定律可求得该行星的公转周期为 (　　)
A．16年 B．8年
C．4年 D．2年题组1　对宇宙速度的理解
1．某探月飞行器发射后进入离近月点约100公里的环月轨道。关于该飞行器的发射速度，下列说法正确的是 (　　)
A．小于第一宇宙速度
B．介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
C．介于第二宇宙速度和第三宇宙速度之间
D．大于第三宇宙速度
解析：选B。该飞行器进入离近月点约100公里的环月轨道后，仍围绕地球做椭圆运动，未摆脱地球的引力束缚，故该飞行器的发射速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间，故B正确，A、C、D错误。
2．设某探月卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面。已知月球的质量约为地球质量的 ，月球的半径约为地球半径的 ，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则该探月卫星绕月运行的最大速率约为 (　　)
A.0.4 km/s　　　　　 B．1.8 km/s
C．11 km/s D．36 km/s
解析：选B。星球的第一宇宙速度即为围绕星球做圆周运动的轨道半径为该星球半径时的环绕速度，由万有引力提供向心力即可得出这一最大环绕速度。卫星所需的向心力由万有引力提供，即G＝m，得v＝ ，又由＝、＝，故月球和地球上第一宇宙速度之比＝，故v月＝7.9× km/s≈1.8 km/s，B正确。
3．已知某半径为r0的质量分布均匀的天体，测得它的一个卫星的圆轨道半径为r，卫星运行的周期为T，则在该天体表面的第一宇宙速度的大小是 (　　)
A． B． eq \r(\f(4π2r3,T2r))
C． eq \r(\f(4π2r3,T2r)) D． eq \r(\f(4π2r2,T2r))
解析：选A。卫星做圆周运动，由万有引力提供向心力得＝mr，解得GM＝，根据第一宇宙速度的定义可得 eq \f(GMm,r)＝m，解得v＝。
题组2　卫星运行规律的分析
4．中国空间站运行周期约为90分钟。北斗系统的GEO卫星是地球同步卫星，空间站和GEO卫星绕地球均可视为匀速圆周运动，下列说法正确的是 (　　)
A．GEO卫星可以在地面任何一点的正上方，但离地心的距离是一定的
B．空间站的轨道半径比GEO卫星的轨道半径大
C.空间站的线速度比GEO卫星的线速度大
D．空间站的向心加速度比GEO卫星的向心加速度小
解析：选C。北斗系统的GEO卫星是地球同步卫星，根据同步卫星规律可知，GEO卫星位于赤道正上方，离地心的距离是一定的，故A错误；根据开普勒第三定律k＝可知空间站的轨道半径比GEO卫星的轨道半径小，故B错误；根据万有引力提供向心力有G＝m，可得v＝，可知空间站的线速度比GEO卫星的线速度大，故C正确；根据万有引力提供向心力有G＝ma，可得a＝，空间站的向心加速度比GEO卫星的向心加速度大，故D错误。
5．(多选)如图所示，地球半径为R，甲、乙两颗人造卫星绕地球做圆周运动，甲离地面的高度为R，乙离地面的高度为2R。下列说法正确的是 (　　)
A.甲、乙做圆周运动的速率之比＝
B．甲、乙做圆周运动的速率之比＝
C．甲、乙做圆周运动的周期之比＝
D．甲、乙做圆周运动的周期之比＝
解析：选AC。根据万有引力提供向心力可知G＝m，解得v＝，故＝＝，A正确，B错误；又因为G＝m·r，则T＝，故＝ eq \r(\f(r,r))＝，C正确，D错误。
题组3　近地卫星、静止轨道卫星和赤道上物体
6．下列关于地球静止轨道卫星的说法正确的是 (　　)
A．静止轨道卫星定点在地球上空某处，各个静止轨道卫星的角速度相同，但线速度可以不同
B．不同国家发射静止轨道卫星的地点不同，这些卫星的轨道不一定在同一平面内
C．为避免静止轨道卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同轨道上
D．静止轨道卫星只能运行在赤道上空某一恒定高度上
解析：选D。静止轨道卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可得＝mω2r，解得r＝，由于各个静止轨道卫星的角速度相同，则轨道半径相同，根据v＝ωr可知它们的线速度大小相同，故A错误；不同国家发射静止轨道卫星的地点不同，但轨道固定不变，所以这些卫星轨道一定在同一平面内，故B错误；静止轨道卫星运行轨道为位于地球赤道平面上空的圆形轨道，轨道固定不变，故C错误；由上分析可知，静止轨道卫星只能运行在赤道上空某一恒定高度上，故D正确。
7．(多选)量子卫星成功运行后，我国将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信，构建天地一体化的量子保密通信与科学实验体系。假设量子卫星轨道在赤道平面，如图所示。已知量子卫星的轨道半径是地球半径的m倍，静止卫星的轨道半径是地球半径的n倍，图中P点是地球赤道上一点。下列说法正确的是 (　　)
A.静止卫星与量子卫星的运行周期之比为
B．静止卫星与P点的速度之比为n∶1
C.静止卫星与量子卫星的速度之比为
D．量子卫星与P点的速度之比为
解析：选AB。根据G＝mr可知T＝2π，故静止卫星与量子卫星的运行周期之比为 ，故A正确；赤道上P点周期与静止卫星周期相同，根据v＝可知静止卫星与P点的速度之比为n∶1，故B正确；根据G＝m可知v＝ ，故静止卫星与量子卫星的速度之比为 ，故C错误；综上所述可知v静＝nvP，则＝，则量子卫星与P点的速度之比为 ，故D错误。
8．羲和号是我国首颗可24小时全天候对太阳进行观测的试验卫星。可认为羲和号绕地球做匀速圆周运动，每24小时绕地球运行n圈(n>1)，轨道平面与赤道平面垂直，轨道如图所示。关于羲和号，下列说法正确的是 (　　)
A.线速度大于第一宇宙速度
B．角速度大于地球同步卫星的角速度
C．向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度
D．发射速度大于第二宇宙速度
解析：选B。地球第一宇宙速度等于地面表面轨道卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度，是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大运行速度，则羲和号的线速度小于第一宇宙速度，故A错误；根据万有引力提供向心力可得＝mr＝mω2r＝ma，可得T＝，ω＝，a＝，由题意可知羲和号的周期小于同步卫星的周期，则羲和号的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，羲和号的角速度大于地球同步卫星的角速度，羲和号的向心加速度大于地球同步卫星的向心加速度，故B正确，C错误；羲和号的发射速度大于第一宇宙速度小于第二宇宙速度，故D错误。
9．有科幻作品提及太空电梯，设想中太空电梯可连接地球赤道上的固定基地与其正上方同步轨道上的空间站B，若升降舱A因出现故障被迫留在图示位置，下列说法正确的是 (　　)
A．太空电梯上各点线速度大小均相同
B．升降舱A的角速度大于空间站B的角速度
C．升降舱A的周期等于空间站B的周期
D．若升降舱A突然脱离电梯，将做离心运动
解析：选C。根据题意可知，太空电梯上各点角速度大小均相同，根据v＝rω可知，升降舱A的角速度等于空间站B的角速度，线速度大小不相同，故A、B错误；根据T＝可知，升降舱A的周期等于空间站B的周期，故C正确；根据G＝mω2r可知，升降舱A所在位置的卫星角速度大于现在升降舱A的角速度，所以若升降舱A突然脱离电梯，万有引力大于所需向心力，将做近心运动，故D错误。
10．(2025·湖南长沙市期末)为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国于2011年10月发射了第一颗火星探测器“萤火一号”。假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T2。火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，引力常量为G。仅利用以上数据，可以计算出 (　　)
A.火星公转的轨道半径
B．“萤火一号”的质量
C．火星对“萤火一号”的引力
D．火星表面的重力加速度
解析：选D。设火星质量为M，半径为R，根据G＝m(R＋h)，当高度为h1时G＝m(R＋h1) eq \f(4π2,T)，当高度为h2时G＝m(R＋h2)，联立可得火星的质量M 和火星半径R，根据＝mg，可求得火星表面的重力加速度g。“萤火一号”的质量m无法求出，所以火星对“萤火一号”的引力不能算出，也无法求出火星公转轨道的半径。
11．(8分)(2025·江苏镇江市期中)已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑地球自转的影响(此时可认为重力与万有引力相等)，地球视为均匀球体。物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的速度叫作第一宇宙速度。
(1)计算地球的质量M。(4分)
(2)计算第一宇宙速度的大小v1。(4分)
解析：(1)根据题意可知，在地球表面的物体重力等于受到的万有引力，则有
G＝mg，解得M＝。
(2)根据题意，由万有引力提供向心力有
G＝m eq \f(v,R)，又有G＝mg
联立解得v1＝。
答案：(1)　(2)(共40张PPT)
专题提升课5　天体运动的热点问题
专题深度剖析
PART
01
第一部分
微专题一　卫星变轨问题
2．两种常见形式
(1)渐变
由于某个因素的影响使卫星的轨道半径发生缓慢的变化，由于半径变化缓慢，卫星每一周的运动仍可以看成是匀速圆周运动。
①关键要点：轨道半径r减小(近心运动)。
这种变轨运动的起因是阻力使卫星速度减小，所需要的向心力减小了，而万有引力大小没有变，因此卫星将做近心运动，即轨道半径r将减小。
②各个物理参量的变化：当轨道半径r减小时，卫星线速度v、角速度ω、向心加速度a增大，周期T减小。
(2)突变
由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其到达预定的轨道。
发射同步卫星时，通常先将卫星发送到近地
轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率
为v1，在P点第一次点火加速，在短时间内将
速率由v1增加到v2，使卫星进入椭圆轨道Ⅱ；卫星运行到远地点Q时的速率为v3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v3增加到v4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动。
√
[解析]　由低轨道Ⅱ进入高轨道Ⅲ需在B点点火加速，则在轨道Ⅲ上B点的线速度大于在轨道Ⅱ上B点的线速度，故A错误，D正确；
角度2　飞船与空间站对接问题
　　北京时间2024年1月17日22时27分，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10 min后，飞船与火箭成功分离，进入预定轨道。之后飞船的太阳能帆板顺利展开工作，发射取得圆满成功。后续，天舟七号货运飞船与在轨运行的空间站组合体进行交会对接。若对接前两者在同一轨道上运动，下列说法正确的是(　　)
A．对接前天舟七号的运行速率大于空间站组合体的运行速率
B．对接前天舟七号的向心加速度小于空间站组合体的向心加速度
C．天舟七号通过加速可实现与空间站组合
体在原轨道上对接
D．天舟七号先减速后加速可实现与空间站
组合体在原轨道上对接
√
飞船与空间站组合体在同一轨道上，此时飞船受到的万有引力等于向心力，若让飞船加速，则所需要的向心力变大，万有引力不变，所以飞船做离心运动，不能实现对接，C错误；
天舟七号先减速做近心运动，进入较低的轨道，后加速做离心运动，轨道半径变大，可以实现对接，D正确。
微专题二　卫星相距“最近”“最远”问题
两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb。
若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图甲所示。
√
三颗人造卫星A、B、C都在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动，此时A、B相距最近，如图所示。已知卫星B的运动周期为T，则(　　)
A．C加速可追上同一轨道上的A
B．A、C的向心加速度大于B的向心加速度
C．从图示时刻到A、B再次相距最近所需时间小于T
D．相同时间内，B与地心连线扫过的面积小于A与
地心连线扫过的面积
[解析]　卫星C加速后做离心运动，轨道变高，不可能追上同一轨道上的卫星A，故A错误；
√
√
微专题三　双星模型和多星模型
2．多星模型
(1)多颗星体在同一轨道平面上绕同一点做匀速圆周运动，每颗星体做匀速圆周运动所需的向心力由其他星体对该星体的万有引力的合力提供。
(2)每颗星体转动的方向都相同，运行周期、角速度都相等。
√
　　双星由两颗绕着共同的中心旋转的恒星组成。在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统。如图所示，若某双星系统的A、B两颗恒星绕其连线上的O点做匀速圆周运动，且AO>OB，则下列说法正确的是 (　　)
A．A的角速度小于B的角速度
B．A的质量小于B的质量
C．A的线速度小于B的线速度
D．A的向心加速度小于B的向心加速度
[解析]　双星系统的特点是角速度相同，周期相同，故A错误；
根据v＝ωr，AO>OB，可知A的线速度大于B的线速度，故C错误；
　　(多选)图甲是一对相互环绕旋转的、质量不等的双黑洞系统，其示意图如图乙所示。双黑洞A、B在相互之间的万有引力的作用下，绕其连线上的O点做匀速圆周运动。若双黑洞的质量之比mA∶mB＝n∶1，则(　　)
A．黑洞A、B做圆周运动的角速度之比为 1∶1　
B．黑洞A、B做圆周运动的向心力大小之比为n2∶1
C．黑洞A、B做圆周运动的半径之比为1∶n
D．黑洞A、B做圆周运动的线速度之比为 1∶n2　
√
√
由线速度与角速度的关系可知，当角速度相同时，二者做圆周运动的线速度与半径成正比，故二者线速度之比为 1∶n，故D错误。
√
随堂巩固落实
PART
02
第二部分
1．(卫星变轨问题)如图所示的是飞船绕月飞行的轨迹简化示意图，则下列说法正确的是 (　　)
A.飞船在轨道1上的速度大于月球的第一宇宙速度
B．飞船从轨道2进入轨道1时需在P点减速
C．若要能成功发射，飞船的发射速度应大于11.2 km/s
D．飞船在轨道2上经过P点的加速度小于在轨道1上经
过P点的加速度
√
解析：月球的第一宇宙速度为飞船绕月做匀速圆周运动的最大速度，故飞船在轨道1上的速度小于月球的第一宇宙速度，A错误；
飞船从轨道2进入轨道1时需在P点减速，B正确；
若要能成功发射，飞船的发射速度应大于7.9 km/s，小于11.2 km/s，C错误；
2．(卫星变轨问题)2024年4月26日，神舟十八号与中国空间站顺利对接，对接过程可简化如下：如图所示，神舟十八号发射后在停泊轨道Ⅰ上进行数据确认，后择机经转移轨道Ⅱ完成与轨道Ⅲ上的中国空间站的交会对接。已知停泊轨道Ⅰ半径近似为地球半径R，中国空间站轨道Ⅲ距地面的高度为h，P、Q分别为轨道Ⅱ的近地点和远地点，则神舟十八号 (　　)
A．在轨道Ⅰ上的速度大于第一宇宙速度
B．在轨道Ⅰ上的运行周期大于地球同步卫星周期
C．在轨道Ⅱ上P、Q两点的加速度大小之比为(R＋h)∶R
D．在轨道Ⅱ上P、Q两点的速率之比为(R＋h)∶R
√
解析：第一宇宙速度是最大环绕速度，故在轨道Ⅰ上的速度小于第一宇宙速度，故A错误；
√
4．(双星模型问题)(多选)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统。设某双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示。若AOA．星球A的质量大于B的质量
B．星球A的向心力大于B的向心力
C.星球A的线速度小于B的线速度
D．双星的总质量一定时，双星之间的
距离越大，其转动周期越大
√
√
√
向心力为两星球间的万有引力，故A的向心力大小一定等于B的向心力大小，故B错误；
根据线速度与角速度的关系v＝rω可知，A的线速度一定小于B的线速度，故C正确；单元过关检测(三)
(时间：75分钟　分值：100分)
一、单项选择题：本题共7小题，每小题4分，共28分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．牛顿经典力学与爱因斯坦的相对论是物理学史上的两座里程碑。关于经典力学与相对论，下列说法正确的是 (　　)
A．爱因斯坦的狭义相对论全面否定了牛顿经典力学
B．牛顿经典力学只适用于宏观低速领域
C．在不同惯性系中，真空中测得的光速不一样
D．在地面上观察，接近光速飞行的飞船在运动方向上会变长
解析：选B。爱因斯坦的狭义相对论并没有全面否定牛顿经典力学，牛顿经典力学仍适用于宏观低速领域，故A错误，B正确；在一切惯性系中，真空中测得的光速都一样，故C错误；在地面上观察，接近光速飞行的飞船在运动方向上会变短，故D错误。
2．如图所示，一卫星绕地球运动，图中虚线为卫星的运行轨迹，A、B、C、D是轨迹上的四个位置，其中A距离地球最近，C距离地球最远，下列说法正确的是 (　　)
A．卫星在A点的速度最大
B．卫星在B点的速度最大
C．卫星在C点的速度最大
D．卫星在D点的速度最大
解析：选A。A点为近地点，C点为远地点，根据开普勒第二定律，A点速度最大，C点的速度最小。
3．2024年6月4日，嫦娥六号上升器携带月球样品自月球背面起飞，成功进入预定环月轨道。若上升器的质量为m、离月球表面的高度为h，月球的质量为M、半径为R，引力常量为G，则月球对上升器的万有引力的大小为 (　　)
A．　　　　　　　 B．
C． D．
解析：选B。根据万有引力定律得F＝。
4．一宇宙飞船绕地心做半径为r的匀速圆周运动，飞船舱内有一质量为m的人站在可称体重的台秤上。用R表示地球的半径，g表示地球表面处的重力加速度，g′表示宇宙飞船所在处的地球引力加速度，N表示人对秤的压力，下列关系式正确的是 (　　)
A．g′＝ B．g′＝g
C．N＝mg D．N＝mg
解析：选B。忽略地球的自转，在地球表面处万有引力等于重力，有＝mg，宇宙飞船所在处有＝mg′，可得g′＝g，A错误，B正确；宇宙飞船绕地心做匀速圆周运动，飞船舱内物体处于完全失重状态，人对秤的压力为零，即N＝0，C、D错误。
5．有一颗中高轨道极地卫星绕地球做圆周运动，其轨道半径为地球同步卫星轨道半径的四分之一，已知地球自转周期为T。某时刻该卫星正好位于赤道上某建筑物正上方，以该时刻为计时起点，该卫星下一次位于该建筑物正上方的时间为 (　　)
A． B．T
C．2T D．4T
解析：选B。设该中高轨道极地卫星绕地球做圆周运动的周期为T1，半径为R1，地球同步卫星轨道半径为R，则根据开普勒第三定律有＝ eq \f(R,T)，根据题意有R＝4R1，则可得T1＝，极地轨道卫星其轨道平面与赤道平面垂直，根据周期关系可知，地球自转一周，该卫星转8周，则可知当地球转过半周时，该卫星恰好转了4周回到起始点，此刻地球赤道上的建筑物离该卫星最远，因此当地球刚好转过一周时，该卫星再次转过4周，此时恰好与地球赤道上的建筑物再次相遇，由此可知，该卫星下一次位于该建筑物正上方的时间为T。
6．2024年2月23日6时34分，我国综合性太阳探测卫星“夸父一号”拍摄到太阳爆发的第25太阳活动周迄今强度最大的耀斑。“夸父一号”卫星绕地球做匀速圆周运动，距地面高度约为720 km，运行一圈所用时间约为100分钟。如图所示，为了随时跟踪和观测太阳的活动，“夸父一号”在随地球绕太阳公转的过程中，需要其轨道平面始终与太阳保持固定的取向，使太阳光能照射到“夸父一号”，下列说法正确的是 (　　)
A．“夸父一号”的运行轨道平面平均每天转动的角度约为1°
B．“夸父一号”绕地球做圆周运动的速度大于7.9 km/s
C．“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表面的重力加速度
D．由题干信息，根据开普勒第三定律，可求出日地间平均距离
解析：选A。因为“夸父一号”轨道要始终保持被太阳光照射到，则在一年之内转动360°，即轨道平面平均每天转动约1°，故A正确；第一宇宙速度是所有绕地球做圆周运动的卫星的最大环绕速度，则“夸父一号”的速度小于7.9 km/s，故B错误；根据G＝ma可知，“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故C错误；“夸父一号”绕地球转动，地球绕太阳转动，中心天体不同，则根据题中信息不能求解地球与太阳间的距离，故D错误。
7．2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51 900 km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9 900 km，周期约为24 h，则鹊桥二号在捕获轨道运行时 (　　)
A．周期约为144 h
B．近月点的速度大于远月点的速度
C．近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D．近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
解析：选B。冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球，根据开普勒第三定律得 eq \f(T,R)＝ eq \f(T,R)，整理得T2＝T1 eq \r(\f(R,R))≈288 h，A错误；根据开普勒第二定律得，近月点的速度大于远月点的速度，B正确；鹊桥二号在近月点从捕获轨道到冻结轨道进行近月制动，在捕获轨道运行时近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，C错误；两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，鹊桥二号在捕获轨道运行时近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，D错误。
二、多项选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分。
8．火星与地球的质量比为a，半径比为b，则它们的第一宇宙速度之比和表面的重力加速度之比分别是　 (　　)
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
解析：选BC。由G＝mg可得g＝，知＝，由G＝m，结合gR2＝GM，可得v＝，知＝＝，故B、C正确，A、D错误。
9．在无地面网络时，某手机可通过天通一号卫星系统进行通话。如图所示，天通一号目前由01、02、03共三颗地球同步卫星组网而成，已知地球半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，同步卫星运行的周期为T，引力常量为G。下列说法正确的是 (　　)
A．地球的质量为
B．三颗卫星运行的半径为
C．三颗卫星运行的线速度大小均为
D．若01星减速，则有可能与正常运行的02星相撞
解析：选AB。在地球表面G＝mg，解得地球的质量M＝，故A正确；设同步卫星轨道半径为r，根据万有引力提供向心力，则G＝mr，解得r＝，故B正确；同步卫星线速度的大小v＝，根据上述结论可得v＝，故C错误；若01星减速，其做圆周运动需要的向心力小于卫星受到的万有引力，因此其轨道半径减小，不可能与02星相撞，故D错误。
10．如图中的L1、L2、L3、L4、L5所示，人们称为拉格朗日点。其中位于L1、L2、L3点上的飞行器，在太阳与地球共同引力作用下，可以几乎不消耗燃料与地球保持同步绕太阳做圆周运动。若发射一颗卫星定位于拉格朗日L1点，下列说法正确的是 (　　)
A．该卫星绕太阳运动的周期和地球自转周期相等
B．该卫星在L1点处于非平衡状态
C．该卫星绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加速度
D．该卫星在L1处所受太阳和地球引力的合力比其在L2处小
解析：选BD。因该卫星与地球保持同步绕太阳做圆周运动，所以该卫星绕太阳运动的周期和地球公转周期相等，故A错误；该卫星在L1点做匀速圆周运动，所受合外力提供向心力，处于非平衡状态，故B正确；根据向心加速度公式a＝ω2r，由于角速度相等，该卫星的轨道半径小于地球的轨道半径，则该卫星绕太阳运动的向心加速度小于地球绕太阳运动的向心加速度，故C错误；卫星所受太阳和地球引力的合力提供向心力，根据F＝mω2r，由于角速度相等，该卫星在L1处的轨道半径小于在L2处的轨道半径，可知该卫星在L1处所受太阳和地球引力的合力比在L2处小，故D正确。
11．“登月计划”是近两年我国航天工作的重点，前期工作中查找数据有以下信息：月球的半径约是地球半径的，质量约是地球质量的，已知地球表面的重力加速度是g，地球的半径为R，引力常量为G，若航天员在地面上能向上竖直跳起的最大高度是h，忽略自转的影响，下列说法正确的是 (　　)
A．月球的密度为
B．月球表面的重力加速度是
C．月球的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为
D．航天员以与在地球上相同的初速度在月球上起跳后，能达到的最大高度是
解析：选AC。在星球表面上，根据G＝mg，可得g＝，则月球表面与地球表面重力加速度之比＝· eq \f(R,R)＝×42＝，则月球表面的重力加速度g月＝g地＝g，在月球表面，根据G eq \f(M月m′,R)＝m′g月，月球的密度ρ＝ eq \f(M月,\f(4,3)πR)，结合R月＝R，解得ρ＝，故A正确，B错误；根据mg＝m，得第一宇宙速度v＝，则月球的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比＝＝＝，故C正确；物体做竖直上抛运动时，上升的最大高度h＝ eq \f(v,2g)，则航天员以相同的初速度在月球上起跳后和地球上起跳后上升的最大高度之比＝＝，则在月球上上升的最大高度h月＝h地＝h，故D错误。
三、非选择题：本题共4小题，共48分。解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。
12．(10分)2024年5月，嫦娥六号探测器在我国文昌成功发射，之后进入地月转移轨道，5月8日探测器成功实施近月制动，顺利进入环月轨道飞行，做周期为T的匀速圆周运动，之后登陆月球，完成月球背面采样任务后成功返回。若探测器登陆月球后，采集的质量为m的土壤静置在月球表面的水平压力传感器上，传感器的示数为F。已知月球半径为r，引力常量为G，求：
(1)月球表面的重力加速度及月球质量；(6分)
(2)环月轨道距月球表面的高度。(4分)
解析：(1)质量为m的土壤在月球上的重力F＝mg
月球表面的重力加速度g＝
对月球表面的物体有G＝mg，解得M＝。
(2)对环月轨道上的物体
G＝m12(r＋H)
环月轨道距月球表面的高度H＝－r。
答案：(1)　　(2)－r
13．(12分)第一宇宙速度又叫作环绕速度，第二宇宙速度又叫作逃逸速度，逃逸速度是环绕速度的倍；逃逸速度大于或等于光速的天体即为黑洞。太阳的质量为M，引力常量为G，真空光速为c。
(1)已知太阳半径为R，求太阳的环绕速度。(4分)　
(2)倘若太阳能收缩成球形黑洞，求该黑洞的最大半径。(8分)
解析：(1)假设卫星绕太阳表面做圆周运动，由万有引力提供向心力，则有＝m，解得v＝。
(2)假设卫星绕黑洞表面做圆周运动，由万有引力提供向心力，则有 eq \f(GMm,R)＝m eq \f(v,R黑洞)
根据题意，太阳收缩成球形黑洞后逃逸速度v2＝v1
解得v2＝，其中v2≥c，
解得R黑洞≤可知，黑洞最大半径
Rm＝。
答案：(1)　(2)
14．(12分)假设航天员登陆某星球后，在该星球表面一倾角为θ的斜坡上，以初速度v0水平抛出一个小球，小球经过时间t0落回斜坡，小球运动示意图如图所示，已知该星球的半径为R，引力常量为G，忽略航天员的身高，不考虑空气阻力和星球自转，求：
(1)该星球表面的重力加速度大小；(4分)
(2)该星球的平均密度。(8分)
解析：(1)小球做平抛运动，水平方向有x＝v0t0
竖直方向有h＝gt
从抛出到落到斜坡上由几何关系有
tan θ＝
解得g＝。
(2)在星球表面上万有引力和重力的关系为
＝mg
该星球的体积V＝
所以该星球的密度ρ＝＝。
答案：(1)　(2)
15．(14分)设地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G，将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体，不考虑空气的影响。若把一质量为m的物体放在地球表面的不同位置，由于地球自转，它对地面的压力会有所不同。
(1)若把物体放在北极的地表，求地表对该物体的支持力的大小F1。(4分)
(2)若把物体放在赤道的地表，求该物体对地表压力的大小F2′。(4分)
(3)假设要发射一颗卫星，要求卫星定位于第(2)问所述物体的上方，且与物体间距离始终不变，请求出卫星距地面的高度h。(6分)
解析：(1)物体放在北极的地表，根据万有引力等于重力可得G＝mg
物体相对地心是静止的则有F1＝mg
因此有F1＝G。
(2)放在赤道表面的物体相对地心做圆周运动，根据牛顿第二定律G－F2＝mR
解得F2′＝F2＝G－mR。
(3)为满足题目要求，该卫星的轨道平面必须在赤道平面内，且做圆周运动的周期等于地球自转周期T，以卫星为研究对象，根据牛顿第二定律
G＝m(R＋h)
解得卫星距地面的高度h＝－R。
答案：(1)G　(2)G－mR
(3)－R

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