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(共39张PPT)
第一章　抛体运动
第1节　认识曲线运动
学习目标
1．知道什么是曲线运动，会确定曲线运动中速度的方向，知道曲线运动是变速运动。
2．知道物体做曲线运动的条件和特点。
3．理解物体所受合力、运动轨迹和速度方向之间的关系。
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、随处可见的曲线运动
定义：我们把物体运动轨迹是_________的运动，叫作曲线运动。
二、曲线运动的速度方向
1．如图所示，质点沿曲线运动，某段时间从A运动到B，从A到B就是质点位移的方向，也就是这段时间内的平均速度方向。设想研究的时间段逐渐缩短，则B点逐渐向A点靠近，当B点非常非常接近A点时，可以认为质点在A点的瞬时速度方向沿曲线在A点的_________方向。
曲线
切线
2．在曲线运动中，当所取运动过程足够短时，质点在这一极短过程的运动就可视为直线运动。通过“化曲为直”，转换思维，可使问题得以简化。
3．质点做曲线运动，经过某一位置时的速度方向就是曲线在这一点的_________。
4．曲线运动的速度_________时刻在变化，所以曲线运动是一种_________。
三、物体做曲线运动的条件
当运动物体所受合外力的方向跟它的速度方向________________时，物体就做曲线运动。
切线方向
方向
变速运动
不在同一直线上
判断下列说法是否正确。
(1)曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动。 (　　)
(2)物体的速度不断改变，物体一定做曲线运动。 (　　)
(3)做曲线运动的物体的速度与物体所受合外力不可能在同一条直线上。(　　)
(4)做曲线运动的物体所受合外力的方向一定是变化的。 (　　)
(5)物体受恒力作用时不可能做曲线运动。 (　　)
√
×　
×　
×　
√
课堂深度探究
PART
02
第二部分
知识点一　曲线运动的性质和特点
图为砂轮打磨下来的炽热微粒飞离砂轮时的情形，微粒离开砂轮的时刻不同，飞离时的速度方向也不一样。
(1)微粒离开砂轮瞬间速度方向如何？
[提示]　微粒未离开砂轮前，随着砂轮一
起运动，轨迹为圆，离开砂轮瞬间速度
沿圆周上该点的切线方向，即沿离开砂轮时该点的切线方向。
(2)微粒在离开砂轮前速度是否变化？
[提示]　微粒在离开砂轮前速度是不断变化的。
(3)微粒做曲线运动时，加速度可以是零吗？为什么？
[提示]　不可以，微粒做曲线运动时，速度方向发生变化，即运动状态发生改变，微粒受到的合外力不为零。
1．曲线运动的速度方向
曲线运动中某时刻的速度方向就是该相应位置点的切线方向。
2．曲线运动是变速运动
由于做曲线运动的物体的速度方向时刻在变化，不管速度大小是否变化，因为速度是矢量，物体的速度时刻在变化，所以曲线运动一定是变速运动，一定有加速度，但加速度不一定变化。
3．曲线运动的分类
(1)匀变速曲线运动：加速度恒定的曲线运动，即物体在恒力作用下的曲线运动。
(2)变加速曲线运动：加速度不断变化的曲线运动，即物体在变力作用下的曲线运动。
√
角度1　曲线运动的特点
当一个物体做曲线运动时 (　　)
A．其速度方向一定发生变化
B．其速度的大小一定发生变化
C．其运动位移一定在增大
D．其加速度大小一定发生变化
[解析]　曲线运动中物体的速度方向沿曲线在这一点的切线方向，速度方向一定是时刻变化的，故A正确；
物体做曲线运动时，速度大小是可以不变的，故B错误；
物体做曲线运动时，其位移可以为0，可以增大，也可以减小，故C错误；
物体做曲线运动时，也可以受到恒力的作用，其加速度也可能是不变的，故D错误。
√
[解析]　根据物体做曲线运动时速度方向为该点的切线方向可知，经过c点时头部的速度方向与入水时的速度v的方向最接近。
√
角度2　曲线运动的性质
　　(2025·江苏徐州月考)物体做曲线运动，下列说法正确的是 (　　)
A．曲线运动不可能是匀变速运动
B．曲线运动速度大小时刻发生变化
C.曲线运动相同时间内速度改变量不可能相同
D．曲线运动速率可以不变
[解析]　曲线运动也可能是匀变速运动，A错误；
曲线运动速度大小不一定发生变化，即速率可以不变，B错误，D正确；
曲线运动相同时间内速度改变量也可能相同，C错误。
知识点二　物体做曲线运动的条件
如图所示，将圆弧形滑轨放在铺了一层白纸的平滑桌面上，使其底端与桌面相切，让钢球从圆弧形滑轨滚下获得一定的初速度。为便于观察，在离开滑轨处沿钢球运动方向用直尺在白纸上画一直线。图甲中将条形磁铁沿直线放置；图乙中将条形磁铁放在钢球运动路线的旁边。
(1)图甲中钢球从滑轨上滚下时，观察钢球做什么运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向有什么关系？
[提示] 　钢球做加速直线运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向相同。
(2)图乙中钢球从滑轨上滚下时，观察钢球做什么运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向有什么关系？
[提示]　钢球做曲线运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向不在同一条直线上。
物体做曲线运动的条件
(1)动力学条件：合外力与速度方向不共线。
(2)运动学条件：加速度与速度方向不共线。
√
　　下列说法正确的是 (　　)
A．物体受到的合外力方向与速度方向相同时，物体就做匀加速直线运动
B．物体受到的合外力方向与速度方向不共线时，物体做曲线运动
C．物体做曲线运动时，加速度和合力方向可能不同
D．受恒力作用的物体，不可能做曲线运动
[解析]　物体受到的合外力大小恒定，方向与速度方向相同时，物体做匀加速直线运动，故A错误；
物体受到的合外力方向与速度方向不共线时，物体做曲线运动，故B正确；
根据牛顿第二定律可知，物体做曲线运动时加速度和合力方向相同，故C错误；
受恒力作用的物体，可能做曲线运动，故D错误。
√
　　(2025·河南洛阳市期末)一个物体在三个恒力F1、F2、F3的共同作用下做匀速直线运动。若保持F1、F2不变，突然撤去F3，则该物体之后(　　)
A．可能做匀变速曲线运动
B．不可能继续做直线运动
C．可能继续做匀速直线运动
D．在相等时间内速度的变化量一定不相等
[解析]　物体做匀速直线运动的速度方向与F3的方向关系不明确，可能是相同、相反或不在同一条直线上，故保持F1、F2不变，突然撤去F3，则该物体之后可能做匀变速曲线运动，或匀变速直线运动，不可能继续做匀速直线运动，故A正确，B、C错误；
保持F1、F2不变，突然撤去F3，即之后的合力大小为F3，方向与F3的方向相反，故物体所受的合外力为恒力，根据牛顿第二定律可知F＝ma，物体的加速度恒定不变，根据Δv＝aΔt可知，在相等时间内速度的变化量一定相等，故D错误。
某质点从A点沿图中的曲线运动到B点，质点受力的大小为F。经过B点时，下列说法正确的是 (　　)
A．若力的方向突然与原来方向相反，它从B点开始可能沿图中虚线a运动
B．若力的方向突然与原来方向相反，它从B点开始可能沿图中虚线b运动
C．若力的方向突然沿B点切线向左，它从B点开始可能沿图中虚线c运动
D．若力的大小突然变为0，它从B点开始可能沿图中虚线d运动
√
[解析]　质点从A点沿图中的曲线运动到B点，曲线向下弯曲，可知F的方向指向轨迹的凹面，改变F的方向之后就指向原轨迹的凸面，所以改变F后物体的轨迹可能沿虚线a；若力的方向突然沿B点切线向左，此时力与速度方向共线，质点将沿虚线b做减速直线运动；若力的大小变为0，则质点将沿虚线b做匀速直线运动，故A正确，B、C、D错误。
知识点三　物体所受合力、速度和运动轨迹的关系
1．合外力与运动轨迹的关系
曲线运动的轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间，而且向合力的方向弯曲，即合力指向轨迹的凹侧。
2．确定曲线运动的轨迹的方法
(1)做曲线运动的物体，运动轨迹不断改变，其改变后的轨迹处在运动方向与合外力方向构成的夹角之间，且偏向合外力所指的一侧。
(2)若物体在恒力作用下做曲线运动，物体的运动轨迹越来越接近力的方向，但不会与力的方向相同。
3．合外力与速率的关系
若合力方向与速度方向的夹角为α，则
√
(2023·辽宁卷，T1)某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是 (　　)
[解析]　篮球做曲线运动，则篮球的速度与合力不在同一条直线上，且篮球的轨迹应向受力的一方发生偏转，故B、C、D错误；
当篮球的速度斜向右上方时，A选项符合条件，故A正确。
√
如图所示，质量为m的飞镖在空中做曲线运动，所受空气阻力大小为Ff，重力加速度为g，则其受力示意图可以表示为 (　　)
[解析]　重力方向竖直向下，阻力方向与速度方向相反，速度方向沿轨迹的切线方向，速度方向斜向下，阻力方向斜向上，则C正确，A、B、D错误。
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
√
1．(曲线运动的性质和特点)下列对于曲线运动的说法正确的是 (　　)
A．曲线运动一定是变速运动
B．速度变化的运动一定是曲线运动
C．加速度恒定的运动不可能是曲线运动
D．加速度变化的运动一定是曲线运动
解析：做曲线运动的物体，速度方向为曲线上点的切线方向，时刻改变，故曲线运动一定是变速运动，故A正确；
匀变速直线运动的速度时刻改变，故B错误；
物体做曲线运动的条件是物体所受合力的方向与速度方向不共线，合力大小可以不变也可以变化，因此加速度的大小可以不变也可以变化，所以加速度恒定的运动可能是曲线运动，加速度变化的运动不一定是曲线运动，故C、D错误。
√
2．(物体做曲线运动的条件)(2025·云南昆明市期末)在2024年11月珠海航展上，中国自主研制的新一代隐身战斗机歼-35A首次公开亮相。如图所示，歼-35A表演时先水平向左飞行，再沿曲线 abc飞行。若飞行轨迹在同一竖直面内且飞行速率不变，下列说法正确的是 (　　)
A．歼-35A在表演中做匀速运动
B．歼-35A在ab段做变速运动
C．歼-35A在ab段所受合力为零
D．歼-35A在bc段的加速度方向与速度方向在同一条直线上
解析：歼-35A在abc段做曲线运动，速度方向时刻改变，不是匀速运动，A错误；
歼-35A在ab段做曲线运动，速度方向改变，是变速运动，所受合力不为零，B正确，C错误；
歼-35A在bc段做曲线运动，加速度方向与速度方向不在同一条直线上，D错误。
√
3．(物体所受合力、速度和运动轨迹的关系)(2025·江苏连云港市合格考模拟)如图所示，“福建舰”正在海面上进行转弯作业，下列选项分别画出了“福建舰”沿曲线由M向N转弯(俯视图)时所受合力F的方向，其中可能正确的是 (　　)
解析： “福建舰”做的是曲线运动，受到的合力应该指向运动轨迹弯曲的内侧。
√
4．(物体所受合力、速度和运动轨迹的关系)如图所示，小钢球以初速度v0在光滑水平桌面上运动，由于受到磁铁的作用力而做图示的曲线运动到达B点。下面对磁铁所放的可能位置及小钢球运动性质说法正确的是(　　)
A．放在位置A处，小钢球做非匀变速曲线运动
B．放在位置B处，小钢球做匀速圆周运动
C．放在位置C处，小钢球做匀变速曲线运动
D．放在位置D处，小钢球做非匀变速曲线运动
解析：曲线运动的轨迹夹在速度方向与所受合外力方向之间，且合外力指向轨迹的凹侧面，由于小钢球受到磁场力的作用做曲线运动，而磁铁对小钢球是引力的作用，则磁铁可能放在位置A处，又小钢球离磁铁越近受到的磁场力越大，根据牛顿第二定律可知，小钢球做的是加速度逐渐变化的曲线运动，即小钢球做非匀变速曲线运动。(共23张PPT)
课后达标检测
√
√
√
根据上述可知A到B的竖直高度h＝xABsin 45°＝0.2 m，故B正确；
√
3．(2025·黑龙江省部分学校3月联考)如图所示，倾角为37°的斜面体固定在水平面上，小球A在斜面底端正上方以速度v1向右水平抛出，同时，小球B在斜面顶端以速度v2向左水平抛出，两球抛出点在同一水平线上，结果两球恰好落在斜面上的同一点，且A球落到斜面上时速度刚好与斜面垂直，不计小球的大小，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则v1∶v2等于 (　　)
A．4∶3 B．5∶4
C．8∶7 D．9∶8
√
题组2　与曲面相关的抛体运动
4．(多选)如图所示为竖直截面为半圆形的容器，O为圆心，且AB为沿水平方向的直径。一物体在A点以水平向右的初速度vA抛出，与此同时另一物体在B点以向左的水平初速度vB抛出，不计空气阻力，两物体都落到容器的同一点P。已知∠BAP＝37°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。下列说法正确的是 (　　)
A．B处物体比A处物体先到达P点
B．两物体一定同时到达P点
C．抛出时，两物体的速度大小之比为vA∶vB＝16∶9
D．抛出时，两物体的速度大小之比为vA∶vB＝4∶3
√
√
5．(多选)如图所示，一个半径R＝0.75 m的半圆柱体放在水平地面上，一小球从半圆柱体左端A点正上方的B点水平抛出(小球可视为质点)，恰好从半圆柱体上的C点掠过。已知O为半圆柱体中心，O、B、C在同一竖直平面内，OC与水平方向夹角为53°，重力加速度g取10 m/s2，则 (　　)
A．小球从B点运动到C点所用时间为0.3 s
B．小球从B点运动到C点所用时间为0.5 s
C．小球做平抛运动的初速度为4 m/s
D．小球做平抛运动的初速度为6 m/s
√
√
√
√
7．(多选)如图所示，在一倾角为θ的斜面顶端分别以v0和2v0水平抛出质量相同的两个小球，分别落在斜面上的B、C位置，不计空气阻力，则小球从飞出到落到斜面上的整个过程中，下列说法正确的是 (　　)
A．两小球在空中飞行的时间之比为1∶2
B．两小球在空中飞行的时间相同
C．两小球下落的高度之比为1∶3
D．落到斜面上的瞬时速度方向一定相同
√
因位移偏向角相同均为θ，根据2tan θ＝tan α，可知速度偏向角α相同，则落到斜面上的瞬时速度与水平方向的夹角相同，即落到斜面上的瞬时速度方向一定相同，故D正确。
8．(12分)(2025·江苏徐州市期末)如图所示，AB为固定斜面，倾角为30°，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落到B点。(空气阻力不计，重力加速度为g)
(1)求小球在空中飞行的时间及A、B间的距离。(6分)
(2)从抛出开始，经过多长时间小球与斜面间的距离最大？最大距离为多大？(6分)
9．(14分)如图所示，P处能持续水平向右发射初速度不同的小球。高度为h0 的挡板AB竖直放置，到P点的水平距离为L。挡板上端A与P点的高度差为h，可通过改变发球点P的竖直位置调整A、P两点的竖直高度差h。求：
(1)当h＝h0时，调节初速度可以让小球击中挡板上的不同位置，
①小球击中A点和B点的时间之比tA∶tB；(4分)
②小球能够击中挡板AB的初速度取值范围；(4分)
(2)当h取多大时，小球击中A点时速度取得最小值。(6分)专题提升课2　平抛运动的综合问题
微专题一　与斜面相关的平抛运动
角度1　对着斜面平抛
1．如果已知物体做平抛运动过程中某时刻的速度与斜面垂直，可运用分解速度的方法，关键是找到速度方向与斜面倾角的关系，构建速度的矢量三角形。
水平速度vx＝v0
竖直速度vy＝gt
合速度v＝ eq \r(v＋v)，tan θ＝。
2．如果要求以最短位移打到斜面，过抛出点作斜面的垂线，交于A点，即落到A点的位移最小。相当于已知位移方向，分解位移，x＝v0t，y＝gt2，tan θ＝＝。
　如图所示，以v0＝10 m/s的速度水平抛出的物体，飞行一段时间撞在斜面上，速度方向与斜面方向成60°角。已知斜面倾角θ＝30°，下列说法正确的是 (　　)
A．物体飞行时间为 s
B．物体撞击斜面时的速度大小为20 m/s
C．物体下降的高度为 m
D．物体飞行的水平位移为 m
[解析]　由几何关系可知，竖直速度vy＝v0tan 30°＝gt，则物体飞行时间t＝ s，故A错误；根据运动的分解，可得物体撞击斜面时的速度大小v＝＝ m/s，故B错误；根据竖直方向上的位移—时间公式，可得物体下降的距离h＝gt2＝×10×2 m＝ m，故C正确；根据水平方向上的运动学公式，可得物体飞行的水平位移x＝v0t＝10× m＝ m，故D错误。
[答案]　C
　(多选)A、B两球从如图所示位置分别以v1和v2水平抛出(图中虚线为竖直线)，两球落在斜面上同一个位置，已知A球在空中运动位移最短，B球垂直打在斜面上，A、B两球在空中运动时间分别为t1和t2，忽略空气阻力，则下列说法正确的是 (　　)
A．t1＝2t2　　　　 B．t1＝t2
C．v2＝2v1 D．v2＝v1
[解析]　A球在空中运动位移最短，则有tan θ＝＝ eq \f(v1t1,\f(1,2)gt)＝，B球垂直打在斜面上，则有tan θ＝＝，又xA＝v1t1＝xB＝v2t2，联立可得t1＝t2，v2＝v1。
[答案]　BD
角度2　顺着斜面平抛
1．如果从斜面抛出的物体又落到斜面上，则位移平行于斜面，可运用分解位移的方法，关键是找到分位移与斜面倾角的关系，构建位移的矢量三角形。
水平位移x＝v0t
竖直位移y＝gt2
合位移s＝，tan θ＝。
2．若从斜面外开始平抛，沿斜面方向落入斜面，则速度方向与斜面相切，分解速度，vx＝v0，vy＝gt，tan α＝＝。
　(多选)跳台滑雪是一项极具挑战的运动。如图所示，运动员甲、乙经过一段时间加速后以不同初速度从O点水平飞出，甲落在P点，乙落在Q点。已知运动员甲、乙在水平
方向的位移之比x甲∶x乙＝1∶2，忽略空气阻力，则运动员甲、乙 (　　)
A．下落时间之比为1∶
B．下落时间之比为1∶2
C．初速度v甲∶v乙＝1∶
D．初速度v甲∶v乙＝∶1
[解析]　甲、乙做平抛运动的位移与水平方向的夹角相等，等于斜面倾角，设斜面倾角为θ，水平分位移为x，竖直分位移为h，则有tan θ＝，故h甲∶h乙＝x甲∶x乙＝1∶2，设平抛运动的时间为t，由竖直方向的自由落体运动规律得h＝gt2，解得＝＝，故A正确，B错误；设平抛运动的初速度大小为v，由水平方向的匀速直线运动知x＝vt，可得＝×＝×＝，故C正确，D错误。
[答案]　AC
微专题二　与曲面相关的抛体运动
1．抛出点和落点都在圆面上。如图甲所示，一小球从与圆心等高的半圆形轨道的A点以v0水平向右抛出，落在半圆形轨道上的C点。
甲　　乙
2．抛出点在圆面外，落点在圆面上。如图乙所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点。
　如图所示为一半球形的碗，其中碗边缘两点M、N与圆心等高且在同一竖直面内。现将两个小球在M、N两点，分别以v1、v2的速度沿图示方向同时水平抛出，发现两球刚好落在碗上同一点Q，已知∠MOQ＝53°，不计空气阻力(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)。下列说法不正确的是 (　　)
A．两球抛出的速度大小之比为1∶4
B．若仅增大v2，则两球将在落入碗中之前相撞
C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在碗上同一点，两球抛出的速率之和就不变
D．若仅从N点水平抛出小球，无论如何改变抛出的速度，小球都不可能垂直打在碗上
[解析]　由几何知识可知，M的水平位移xM＝R－R cos 53°＝0.4R，N的水平位移xN＝R＋R cos 53°＝1.6R，由于二者在空中运动时间相等，所以二者的水平速度之比就等于其水平位移之比，即＝＝＝，A正确，不符合题意；若仅增大v2，水平运动的相遇时间变短，竖直方向上的位移会变小，故还没落在圆弧上，两小球可能在空中相遇，B正确，不符合题意；要使两小球落在圆弧的同一点上，则有xM＋xN＝2R，即(v1＋v2)t＝2R，落点不同，竖直方向上的位移不同，故运动时间t不同，所以v1＋v2不是定值，C错误，符合题意；如果小球能够垂直打在碗上，速度反向延长线应过圆心，水平位移应为2R，应打到M点，但由平抛运动知识可知，小球不可能打到M点，D正确，不符合题意。
[答案]　C
　如图所示，竖直面内有一以O为圆心的圆形区域，圆的半径R＝1.5 m，直径PQ与水平方向间的夹角θ＝37°。小球自P点水平射入圆形区域，不计空气阻力，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)若使小球从Q点射出，求其在圆形区域中运动时间t1。
(2)若使小球从Q点射出，求其到达Q点时的速度vQ大小。
(3)为使小球在圆形区域运动时间最长，求该小球进入圆形区域时的速度v大小。(计算结果可保留根式)
[解析]　(1)竖直方向上有h1＝2R sin 37°，
h1＝gt，解得t1＝0.6 s。
(2)水平方向上有x1＝2R cos 37°，vx＝
又vy＝gt1，vQ＝ eq \r(v＋v)
解得vQ＝2 m/s。
(3)平抛运动时间由高度决定，由分析可知，小球从圆形区域的最低点射出时，竖直方向分位移最大，运动时间最长。
由几何关系可知
h2＝R＋R sin 37°，h2＝gt，x2＝R cos 37°，x2＝vt2
联立解得水平速度v＝ m/s。
[答案]　(1)0.6 s　(2)2 m/s　(3) m/s
微专题三　平抛运动中的临界极值问题
1．问题特点
(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，表明题述过程中存在临界点。
(2)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”“取值范围”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点。
2．求解思路
(1)画出临界轨迹，找出临界状态对应的临界条件。
(2)分解速度或位移。
(3)列方程求解结果。
　(多选)如图所示，在某次比赛中，女排运动员将排球从底线A点的正上方以某一速度水平击出，排球正好擦着球网落在对方底线的B点上，且AB平行于边界CD。已知网高为h，球场的长度为s，不计空气阻力且排球可看成质点，则排球被击出时，击球点的高度H和水平初速度v分别为 (　　)
A．H＝h　　　　　 B．H＝h
C．v＝ D．v＝
[解析]　平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，有x＝vt，则排球从初位置到球网的位置与排球从初位置到落地的时间之比为t1∶t2＝∶s＝1∶2，在竖直方向上做自由落体运动，则有＝ eq \f(\f(1,2)gt,\f(1,2)gt)＝ eq \f(t,t)＝，解得H＝h，故A正确，B错误；球落在B点的过程中，有s＝vt2，所以水平初速度v＝＝＝，故C错误，D正确。
[答案]　AD
　宽为L的竖直障碍物上开有间距d＝0.6 m的矩形孔，其下沿离地高h＝1.2 m，离地高H＝2 m的质点与障碍物相距x。在障碍物以v0＝4 m/s匀速向左运动的同时，质点自由下落，g取10 m/s2。为使质点能穿过该孔，求：
(1)L的最大值；
(2)L＝0.6 m时，x的取值范围。
[解析]　(1)质点要穿过小孔，竖直方向经过小孔的上边时H－h－d＝gt
经过小孔下边时H－h＝gt
经过小孔的时间最多有Δt＝t2－t1＝0.2 s
水平方向v0Δt≥L
所以L最大值L m＝v0Δt＝0.8 m。
(2)当L＝0.6 m时，障碍物在水平方向的运动满足
v0t1≤x，v0t2≥x＋L
整理可得0.8 m≤x≤1 m。
[答案]　(1)0.8 m　(2)0.8 m≤x≤1 m
1．(与斜面相关的平抛运动)如图，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd。从a点正上方的O点以速度v0水平抛出一个小球，它落到斜面上b点。若小球从O点以速度2v0水平抛出，则它落在斜面上的(不计空气阻力) (　　)
A．b与c之间某一点　　　　 B．c点
C．c与d之间某一点 D．d点
解析：选A。过b作一条与水平面平行的直线，若没有斜面，当小球从O点以速度2v0水平抛出时，小球落在水平直线上时水平位移变为原来的2倍，则小球将落在所画水平线上一点，此点位于c点的正下方，但是现在有斜面的限制，小球将落在斜面上的b、c之间。
2．(与曲面相关的抛体运动)如图所示，一个倾角为45°的面与圆弧对接，斜面高度与圆弧半径相等，斜面的底端在圆心O的正下方。从斜面顶点以一定的初速度向右水平抛出一小球，则下列说法正确的是 (　　)
A．小球初速度不同，则运动时间一定不同
B．小球落到斜面和圆弧等高位置时，速度大小一定相等
C．小球落到斜面上时，其速度方向一定相同
D．小球落到圆弧面上时，其速度方向可能与该处圆的切线垂直
解析：选C。由平抛运动规律h＝gt2，x＝v0t，vy＝gt可知，小球落到斜面和圆弧等高位置时，运动时间相同，初速度不同，竖直方向分速度大小相等，故合速度大小不相等，故A、B错误；小球落到斜面上时，位移与水平方向夹角为45°，由平抛规律可知，速度与水平方向夹角满足tan α＝2tan 45°，故小球落到斜面上时，其速度方向与水平方向夹角为定值，故C正确；小球落到圆弧面上时，其速度方向若与该处圆的切线垂直，则速度的反向延长线一定过圆心，又因为平抛运动中速度的反向延长线过水平位移的中点，则水平位移为2R，竖直位移为零，与平抛运动性质不符，故D错误。
3．(平抛运动中的临界极值问题)(多选)如图所示，球网高出桌面H，把长为2L的桌面均分为左右两部分。小龙同学在乒乓球训练中，从球网左侧 处，将乒乓球沿垂直于网的方向水平击出，乒乓球恰好飞过网的上沿落到右侧边缘。不计空气对乒乓球的作用力，在此过程中下列说法正确的是 (　　)
A.击球点的高度与网高度之比为4∶1
B．乒乓球在网左、右两侧飞行时间之比为 1∶2　
C．乒乓球过网时与落到右侧桌边缘时速率之比为1∶3
D．乒乓球在网左、右两侧运动速度变化量之比为1∶2
解析：选BD。乒乓球在水平方向做匀速运动，网右侧的水平位移是左边水平位移的两倍，由x＝v0t得，乒乓球在网左、右两侧运动时间之比为1∶2，乒乓球在竖直方向做自由落体运动，根据h＝gt2可
知，击球点的高度h1＝gt，网高h2＝h1－gt，其中总时间t1与击球点到网的时间t2的关系t1＝3t2，所以击球点的高度与网高之比为 9∶8，故A错误，B正确；乒乓球在网左、右两侧运动时间之比为1∶2，竖直方向做自由落体运动，根据vy＝gt可知，乒乓球恰好通过网的上沿的竖直分速度与落到右侧桌边缘的竖直分速度之比为1∶3，根据v＝ eq \r(v＋v)可知，乒乓球过网时与落到桌边缘时速率之比不是1∶3，故C错误；在网右侧运动时间是在左侧的两倍，根据Δv＝gt可知，乒乓球在左、右两侧运动速度变化量之比为1∶2，故D正确。
4．(与斜面相关的抛体运动)某同学在某砖墙前的高处水平抛出一个石子，石子在空中运动的部分轨迹照片如图所示。从照片可看出石子恰好垂直打在一倾角为37°的斜坡上的A点。已知每块砖的平均厚度为8 cm，抛出点到A点竖直方向刚好相距250块砖，g取10 m/s2。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
(1)石子在空中运动的时间t；
(2)石子水平抛出的速度v0。
解析：(1)石子在空中运动时竖直方向有
250d＝gt2
解得t＝2 s。
(2)落到A点时，有tan 37°＝
解得v0＝15 m/s。
答案：(1)2 s　(2)15 m/s章末知识网络建构
[备选答案]
提示：将以下备选答案前的字母填入左侧正确的位置。
A．v0t
B．2tan α
C．v0cos θ
D．v0sin θ
E．gt2
F．gt
G．v0
答案：G　F　A　E　B　C　D
曲线运动的方向
曲线运动
物体做曲线运动的条件
遵从矢量运算法则
运动的合成与分解
小船过河
两个模型
关联速度
速度：v=
Uy=
0=02+(g)2
规律
抛体运动
位移：x=
y=,s=x2+y2
抛运动
两个
tan 0
(0:速度偏向角，a:位移偏向角)
重要
推论
某一时刻速度的反向延长线与水平位移的交点为
水平位移的中点
斜抛运动
速度：v0x=
,V0y=
(0为o与水平方向的夹角)
位移：x=ocos0·t,y=nsin0·t-
38t2
实验：探究平抛运动的特点1．(2024·江苏卷，T4)喷泉a、b形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b的 (　　)
A．加速度相同
B．初速度相同
C．最高点的速度相同
D．在空中的时间相同
解析：选A。不计空气阻力，喷泉喷出的水在空中只受重力，加速度均为重力加速度，故A正确；根据对称性可知在空中运动的时间t＝2，可知tb>ta，D错误；最高点的速度等于水平方向的分速度vx＝，由于水平方向的位移大小关系未知，无法判断最高点的速度大小关系，根据速度的合成可知无法判断初速度的大小，B、C错误。
2．如图所示，将一小球从水平地面以不同角度、相同大小的初速度v0抛出，不计空气阻力，则从抛出到落地的过程中，小球的初速度方向与地面间夹角较大时 (　　)
A.水平射程一定较大
B．落地速度一定较大
C．在空中运动时间一定较长
D．在相同时间内速度变化量一定较大
解析：选C。设小球运动时间为t，则根据斜抛的运动规律有x＝v0cos θ·t，v0sin θ＝g·，解得t＝，x＝ eq \f(vsin 2θ,g)，可知θ＝45°时，水平射程最大；小球的初速度方向与地面间夹角较大时在空中运动时间一定较长；根据对称性可知，落地速度v＝＝v0，则落地速度不变，故A、B错误，C正确。小球做斜抛运动，加速度为重力加速度，所以小球的初速度方向与地面间夹角较大时，在相同时间内速度变化量不变，故D错误。
3．(2025·江苏无锡市期末)如图所示，跳远可拆分为助跑、起跳、腾空、落地这四个过程，以下说法正确的是 (　　)
A．助跑过程中，地面对人产生滑动摩擦力作用，使运动员加速向前运动
B．起跳时，运动员对地面的压力大于重力
C．腾空上升阶段，运动员处于超重状态
D．腾空到最高点，运动员的速度为零
解析：选B。在助跑过程中，地面给人脚静摩擦力作用，使运动员加速向前运动，故A错误；在起跳时，运动员具有向上的加速度，地面对运动员的支持力大于重力，根据牛顿第三定律可知运动员对地面的压力大于重力，故B正确；在腾空上升阶段，运动员只受重力作用，具有向下的加速度，运动员处于失重状态，故C错误；运动员腾空做斜抛运动，所以在腾空的最高点，竖直方向速度为零，但水平速度不为零，故D错误。
4．(2025·河南南阳市期中)如图，小明分别在篮筐正前方的a、b位置投掷篮球，出手时篮球的高度相同，最终都垂直击中篮筐上的同一点。不考虑篮球旋转且不计空气阻力，下列说法正确的是 (　　)
A.在a处投掷时，篮球从出手到击中篮筐的时间更长
B．在b处投掷时，篮球击中篮筐的速度更大
C．在a处和b处篮球出手时的速率相比，b处的出手速率大
D．在a处和b处篮球出手后到垂直击中篮筐的过程中，篮球的速度变化率相同
解析：选D。由逆向思维可知，篮球从篮筐到a或b做平抛运动，由于出手时篮球的高度相同，所以无论篮球在a处投掷还是在b处投掷，篮球从出手到击中篮筐的时间相等，根据加速度的定义可知，在a处和b处篮球出手后到垂直击中篮筐的过程中，篮球的速度变化率相同，故A错误，D正确；篮球在a处投掷运动的水平位移大于在b处投掷运动的水平位移，水平方向篮球做匀速直线运动，则x＝vt，由于篮球运动时间相同，所以vxa>vxb，篮球击中篮筐时的速度为水平方向的出手速度，所以在a处投掷时，篮球击中篮筐的速度更大，故B、C错误。
5．(多选)(2024·江西卷，T8)一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处。如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为v0，末速度v沿x轴正方向。在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度vx和竖直方向分速度vy与时间t的关系，下列图像可能正确的是 (　　)
解析：选AD。小鱼在运动过程中只受重力作用，则小鱼在水平方向上做匀速直线运动，即vx为定值，则有水平位移x＝vxt，故A正确，C错误；小鱼在竖直方向上做竖直上抛运动，则y＝vy0t－gt2，vy＝vy0－gt，且最高点时竖直方向的速度为0，故B错误，D正确。
6．(多选)铅球比赛中，某选手把铅球投掷出去，铅球的飞行轨迹如图所示。已知从a点投掷出去时，初速度大小为v0，与水平方向的夹角为45°，铅球最终落到c点时速度大小为v，与地面的夹角为60°。重力加速度为g，不计空气阻力。下列判断正确的是 (　　)
A.铅球初、末速度大小之比＝
B．铅球初、末速度大小之比＝
C．铅球从抛出到落地经历的时间t＝
D．铅球从抛出到落地经历的时间t＝
解析：选AD。铅球做斜抛运动，水平方向上分运动为匀速直线运动，则有v0cos 45°＝v cos 60°，解得＝，故A正确，B错误；铅球竖直方向上做竖直上抛运动，则有－v sin 60°＝v0sin 45°－gt，解得t＝，故C错误，D正确。
7．在自由式滑雪比赛中，图甲是运动员从3 m高跳台斜向上冲出的运动示意图，图乙是运动员在空中运动时离跳台底部所在水平面的高度y随时间t变化的图线，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力且运动员可视为质点，则运动员 (　　)
A．在空中相同时间内的位移相等
B．在空中相同时间内的速度变化量相等
C．冲出跳台的速度大小为14 m/s
D．在空中运动的时间为2.8 s
解析：选B。运动员在空中做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，在空中相同时间内的水平位移相等，竖直位移不相等，所以在空中相同时间内的位移不相等，故A错误；根据Δv＝gt，可知在空中相同时间内的速度变化量相等，故B正确；根据图像可知，1.4 s末上升到最高点，根据vy＝gt1，可知冲出跳台的竖直分速度大小vy＝14 m/s，则冲出跳台的速度大小满足v0＝ eq \r(v＋v)>vy＝14 m/s，故C错误；上升的高度h＝t＝9.8 m，则下降的时间t2＝＝ s＝1.6 s，在空中运动的时间T＝t1＋t2＝3 s，故D错误。
8．如图所示，A、B两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，落入篮筐时的速度方向相同，下列判断正确的是 (　　)
A．A比B先落入篮筐
B．A、B运动的最大高度相同
C．A在最高点的速度比B在最高点的速度小
D．A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同
解析：选D。若研究两个过程的逆过程，可看作篮球从篮筐沿同方向斜向上的斜抛运动，落到同一高度上的A、B两点，则A上升的高度较大，高度决定时间，可知A运动时间较长，即B先落入篮筐中，A、B错误；因为两球抛射角相同，A的射程较远，则A球的水平速度较大，即A在最高点的速度比B在最高点的速度大，C错误；由斜抛运动的对称性可知，当A、B上升到与篮筐相同高度时的速度方向相同，D正确。
9．(多选)(2025·湖南永州市期末)如图甲所示的是农场扬场机分离谷物示意图。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。不计空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是 (　　)
A．谷粒1和谷粒2在水平方向都做匀速直线运动
B．谷粒1和谷粒2在竖直方向都做自由落体运动
C．谷粒2从O到P的运动时间大于谷粒1从O到P的运动时间
D．谷粒2从O到P的运动时间等于谷粒1从O到P的运动时间
解析：选AC。谷粒1做平抛运动，谷粒2做斜抛运动，故谷粒1和谷粒2在水平方向都做匀速直线运动，故A正确；谷粒1在竖直方向做自由落体运动，有h＝gt，谷粒2在竖直方向做竖直上抛运动，设谷粒2的初速度与水平方向的夹角为θ，有h＝－v2t2sin θ＋gt，可得t2>t1，故C正确，B、D错误。
10．(12分)(2025·重庆市期末)限重空投项目是飞行器设计创新大赛中最精彩的，也是难度最大的。某次空投沙袋时飞行器速度与水平面的仰角θ＝30°，离地高度h＝15 m，速度v0＝20 m/s。沙袋相对于飞行器无初速度释放，忽略空气阻力对沙袋的影响，g取10 m/s2。求：
(1)沙袋离地面最大高度H；(4分)
(2)沙袋落地点到释放点的水平距离L。(4分)
(3)沙袋落地时的速度大小。(4分)
解析：(1)沙袋释放瞬间，沿竖直方向的分速度大小
vy＝v0sin θ＝10 m/s
方向竖直向上，
则沙袋上升到最高点时，距抛出点的竖直高度
h1＝ eq \f(v,2g)＝5 m
所以沙袋离地面最大高度
H＝h＋h1＝20 m。
(2)沙袋释放瞬间，沿水平方向的分速度大小
vx＝v0cos θ＝10 m/s
在竖直方向上，取竖直向上为正方向，则根据时间位移公式－h＝vyt－gt2
解得沙袋从抛出到落地，在竖直方向上运动的时间
t＝3 s
根据分运动的等时性可知，沙袋在水平方向上运动的时间也为3 s，沙袋在水平方向上做匀速直线运动，则沙袋落地点到释放点的水平距离
L＝vxt＝30 m。
(3)在竖直方向，有
vy′＝vy－gt＝－20 m/s
落地的速度v＝ eq \r(vy′2＋v)＝10 m/s。
答案：(1)20 m　(2)30 m　(3)10 m/s1．某兴趣小组在“研究小球平抛运动”的实验中：
(1)在如图甲所示的演示实验中，当用不同的力向右敲打弹簧片时，发现A、B两球总是同时落地，这说明________(填标号)。
A.平抛运动的轨迹是一条抛物线
B．平抛运动的飞行时间与抛出速度有关
C．平抛运动在水平方向的分运动是匀速直线运动
D．平抛运动在竖直方向的分运动是自由落体运动
(2)如图乙，将两个相同的斜槽固定在同一竖直平面内，末端均水平，斜槽2与光滑水平板平滑衔接，将两个相同的小钢球从斜槽上相同高度处同时由静止释放，观察到两球在水平面内相遇，即使改变释放的高度，观察到两球仍在水平面内相遇，这说明__________(填标号)。
A．平抛运动是匀变速运动
B．平抛运动的飞行时间与高度无关
C．平抛运动在水平方向的分运动是匀速直线运动
D．平抛运动在竖直方向的分运动是自由落体运动
(3)该小组同学利用频闪照相机拍摄到小球做平抛运动的频闪照片如图丙所示，图中背景正方形小方格的实际边长L＝10.0 cm，a、b、c、d是小球运动过程中的四个位置，重力加速度大小g取10 m/s2，则由照片可得小球做平抛运动的初速度大小v0＝________m/s，小球经过b点时的速度大小为________m/s。
解析：(1)A、B两球总是同时落地，说明在竖直方向小球B与自由下落的小球A同步，因此可以说明平抛的小球B在竖直方向做自由落体运动。
(2)将两个相同的小钢球从斜槽的同一高度同时由静止释放，到达轨道末端的速度相同，观察到两球在水平面内相遇，即使改变释放的高度，观察到两球仍在水平面内相遇，即在水平方向平抛的小球与在水平面匀速运动的小球同步，说明平抛运动在水平方向的分运动是匀速直线运动。
(3)由平抛运动的规律得竖直方向有
Δy＝ybc－yab＝g(Δt)2＝L
得Δt＝0.1 s
水平方向有v0＝＝2 m/s
竖直方向b点的瞬时速度等于a、c两点的平均速度，则
vby＝＝＝1.5 m/s
则小球经过b点时的速度大小
vb＝ eq \r(v＋v)＝2.5 m/s。
答案：(1)D　(2)C　(3)2　2.5
2．石老师在讲曲线运动时，做了“探究平抛运动的特点”实验。
(1)关于该实验下列说法正确的是________。
A．用折线连接描绘的点得到小球的运动轨迹
B．实验时应先确定x轴再确定y轴
C．斜槽轨道必须是光滑的
D．无需称出小球的质量
(2)小北在实验时得到如图所示的实验结果，图中的a、b、c、d为小球在平抛运动中的几个位置。相邻位置时间间隔相等，此时间间隔T＝________，该小球初速度大小为________。(已知图中每个小方格的边长为L，重力加速度为g)
解析：(1)为了减小误差，数据处理时，舍去偏差较大的点，用平滑的曲线连接描绘的点，得到小球的运动轨迹，故A错误；根据斜槽末端的重垂线所确定的竖直方向，先确定y轴，再确定x轴，故B错误；由于小球每次均从斜槽上同一位置由静止释放，则小球飞出斜槽末端的速度大小一定，可知，斜槽轨道的摩擦对实验没有影响，故C错误；实验中通过描点确定平抛运动的轨迹，根据轨迹确定小球抛出的初速度，无需称出小球的质量，故D正确。
(2)小球竖直方向上做自由落体运动，相邻相等时间间隔内的位移差一定，结合图像有Δy＝L＝gT2，解得T＝
小球水平方向做匀速直线运动，根据图像有2L＝v0T
结合上述解得v0＝2。
答案：(1)D　(2) 　2
3．某实验小组做“探究平抛运动的特点”实验。
(1)如图甲所示，用小锤击打弹性金属片，A球沿水平方向抛出，同时B球自由下落，通过________(选填“眼睛看”或“耳朵听”)方式比较它们落地时刻的先后更加合适。
(2)改变图甲整个装置高度H做同样的实验，发现位于同一高度的A、B两球总是同时落地。你认为“改变整个装置的高度H做同样的实验”这一步骤的物理意义在于________。
A．通过多次实验以减小实验误差
B．必要的步骤，否则不能得到相关的实验结论
C．此步骤可有可无，前面的过程已经能验证有关的实验结论
D．必要的步骤，更多的步骤可得到更多的结论
(3)某同学采用频闪摄影的方法拍摄到小球A做平抛运动的照片，如图乙所示，图中每个小方格的边长为L，分析可知，位置a________(选填“是”或“不是”)平抛运动的起点，小球运动到b点时的速度vb＝__________(用含有L和g的式子表示)。
解析：(1)用小锤击打弹性金属片，A球沿水平方向抛出，同时B球自由下落，通过耳朵听方式比较它们落地时刻的先后更加合适。
(2)改变题图甲整个装置高度H做同样的实验，发现位于同一高度的A、B两球总是同时落地。“改变整个装置的高度H做同样的实验”这一步骤是必要的步骤，否则不能得到相关的实验结论。
(3)竖直方向根据Δy＝gT2＝2L
可得T＝ ，
根据匀变速直线运动中间时刻速度等于该段过程的平均速度，可知小球运动到b点时的竖直分速度
vby＝＝＝
则小球运动到a点时的竖直分速度
vay＝vby－gT＝－g ＝0
可知位置a是平抛运动的起点；
小球的水平速度v0＝＝
则小球运动到b点时的速度
vb＝ eq \r(v＋v)＝2。
答案：(1)耳朵听　(2)B　(3)是　2
4．用图1装置做“探究平抛运动特点”的实验时，用小锤击打弹性金属片，A球沿水平方向抛出，同时B球自由落下。某次实验，频闪照片记录两小球在不同时刻的位置如图2所示。
(1)为了减小空气阻力的影响，实验所用的小球应选小________(选填“钢”或“塑料”)球。
(2)实验时，有以下两个步骤：a.用小锤击打弹性金属片，b.打开频闪仪。正确的操作顺序是________________(选填“先a后b”“先b后a”或“a和b同时”)。
(3)利用图2，根据任意时刻A、B两球__________相同，可判断A球竖直方向做自由落体运动，根据___________________________，
可判断A球水平方向做匀速直线运动。
(4)若实验所用小球直径为D，用刻度尺测得图2中小球直径为d，B球三个相邻时刻的竖直高度差分别为y1、y2，A球两个相邻时刻水平距离均为x，重力加速度为g。利用这些数据计算A球的平抛初速度为________________________________________________________________________。
解析：(1)为了减小空气阻力影响，小球应选用质量大、体积小的，即选用密度大的小球，可知，实验所用的小球应选小钢球。
(2)为了避免频闪照片记录区域上方出现大量的空白，实验时，应先打开频闪仪，再用小锤击打弹性金属片，即先b后a。
(3)B球做自由落体运动，利用题图2，根据任意时刻A、B两球竖直高度相同，可判断A球竖直方向做自由落体运动；根据A球相邻两位置水平距离相等，可判断A球水平方向做匀速直线运动。
(4)若实验所用小球直径为D，用刻度尺测得题图2中小球直径为d，则实际长度与频闪照片上长度的比例k＝，则B球三个相邻时刻的竖直高度差y1、y2，A球两个相邻时刻水平距离x，实际值分别为、、，令相邻小球之间的时间间隔为T，则有－＝gT2，＝v0T
解得v0＝x。
答案：(1)钢　(2)先b后a　(3)竖直高度　A球相邻两位置水平距离相等　(4)x
5．某实验小组利用图(a)所示装置验证小球平抛运动的特点。实验时，先将斜槽固定在贴有复写纸和白纸的木板边缘，调节槽口水平并使木板竖直；把小球放在槽口处，用铅笔记下小球在槽口时球心在木板上的水平投影点O，建立平面xOy坐标系。然后从斜槽上固定的位置释放小球，小球落到挡板上并在白纸上留下印迹，上下调节挡板进行多次实验。实验结束后，测量各印迹中心点O1、O2、O3…的坐标，并填入表格中，计算对应的x2值。
项目 O1 O2 O3 O4 O5 O6
y/cm 2.95 6.52 9.27 13.20 16.61 19.90
x/cm 5.95 8.81 10.74 12.49 14.05 15.28
x2/cm2 35.4 77.6 115.3 156.0 197.4 233.5
(1)根据表中数据，在图(b)给出的坐标纸上补上O4数据点，并绘制“y－x2”图线。
(2)由y－x2图线可知，小球下落的高度y与水平距离的平方x2成________(选填“线性”或“非线性”)关系，由此判断小球下落的轨迹是抛物线。
(3)由y－x2图线求得斜率k，小球平抛运动的初速度表达式为v0＝________(用斜率k和重力加速度g表示)。
(4)该实验得到的y－x2图线常不经过原点，可能的原因是___________。
解析：(1)根据表中数据在坐标纸上描出O4数据点，并绘制“y－x2”图线如图所示。
(2)由y－x2图线为一条倾斜的直线可知，小球下落的高度y与水平距离的平方x2成线性关系。
(3)根据平抛运动规律可得x＝v0t，y＝gt2，联立可得y＝g()2＝ eq \f(g,2v)x2，可知y－x2图线的斜率为k＝ eq \f(g,2v)，解得小球平抛运动的初速度为
v0＝。
(4)y－x2图线是一条直线，但常不经过原点，说明实验中测量的y值偏大或偏小一个定值，这是小球的水平射出点未与O点重合，位于坐标原点O上方或下方所造成的。
答案：(1)图见解析　(2)线性　(3)　(4)水平射出点未与O点重合(共42张PPT)
第5节　斜抛运动(选学)
学习目标
1．了解抛体运动的分类以及它们的运动规律。　2.通过运动的合成与分解知道斜抛运动的性质。
3．了解射程、射高等概念。
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、什么是斜抛运动
将物体以一定的初速度沿斜向抛出，不考虑空气的阻力，物体只在_________作用下所做的运动叫作斜抛运动。
二、斜抛运动的特点：斜抛运动的轨迹是一条_________。
重力
抛物线
三、斜抛运动的规律
1．在斜抛运动中，物体初速度方向与水平方向的夹角叫作抛射角，物体能达到的最大高度叫作射高，物体从抛出点落回同一高度的水平位移大小叫作射程。
2．当斜抛运动的抛射角一定时，随着初速度的增大，射高、射程均增大；当斜抛运动的初速度大小一定时，随着抛射角的增大，射高增大；当抛射角约为45°时，射程最大。
四、空气阻力对斜抛运动的影响
1．物体在空气中运动时，会受到空气阻力的作用。空气阻力对物体运动的影响有时可以忽略。但是，像子弹或炮弹等物体，由于其飞行速度很大，空气阻力对它们的运动就会产生很大的影响。
2．弹丸或抛射体在空气中运动的轨迹叫作弹道。
判断下列说法是否正确。
(1)斜抛运动和平抛运动在竖直方向上做的都是自由落体运动。 (　　)
(2)斜抛运动和平抛运动在水平方向上做的都是匀速直线运动。 (　　)
(3)斜抛运动和平抛运动的加速度相同。 (　　)
(4)斜上抛运动的物体到达最高点时，速度为零。 (　　)
√
×　
×　
√
课堂深度探究
PART
02
第二部分
知识点一　斜抛运动的理解
体育运动中投掷链球、铅球、铁饼、标枪等运动(如图所示)，都可以看作是斜上抛运动。
以抛出的铅球为例：
(1)铅球离开手后，如不考虑空气阻力，其受力情况、速度有何特点？
[提示]　不考虑空气阻力，铅球在水平方向不受力，在竖直方向只受重力，加速度为g，其初速度不为零，方向斜向上方。
(2)铅球在最高点的速度是零吗？
[提示]　不是。由于铅球在水平方向做匀速运动，所以铅球在最高点的速度等于水平方向的分速度。
斜抛运动的特点
(1)轨迹关于通过最高点的竖直线对称。
(2)同一高度速率相等。
(3)从某一点到最高点的时间与从最高点下降至该点同一高度处的时间相等。
√
如图所示，在排球场上发球运动员将排球斜向上击出，排球运动一段时间后落至A点。已知排球在空中运动轨迹的最高点为O点，排球可视为质点，忽略空气阻力的影响。关于排球运动过程中速度方向和受力方向，下列图中正确的是 (　　)
[解析]　排球在空中做曲线运动，速度方向为轨迹的切线方向，A正确，B错误；
排球在空中做曲线运动时，忽略空气阻力的影响，排球只受到重力作用，因此排球运动过程中受力方向始终竖直向下，C、D错误。
√
(2025·四川成都期末)如图所示为A、B两个小球从同一位置抛出的运动轨迹，它们上升的最大高度相同，但水平射程不同，不计空气阻力。下列说法正确的是 (　　)
A．A球在空中的运动时间比B球的短
B．A球的加速度比B球的大
C．经过最高点时A球的速度比B球的大
D．落地前瞬间A球的速度比B球的小
[解析]　不计空气阻力，两球都是只受重力，所以加速度相同，故B错误；
两球运动的最大高度相同，加速度相同，故飞行时间相同，故A错误；
由两条轨迹可以看出，B初速度大于A的初速度，在最高点竖直速度均为零，所以B在最高点的速度比A在最高点的速度大，故C错误；
根据抛体运动的特点，两者落地的竖直方向速度大小相等，而A初速度小于B的初速度，可得，A在落地时的速度比B在落地时的速度小，故D正确。
知识点二　斜抛运动的规律和分析方法
1．斜抛运动的规律
斜抛物体的运动轨迹如图所示。
3．分析思路
一般抛体运动问题的处理方法和平抛运动的处理方法相同，都是将运动分解为两个方向的简单的直线运动，分别为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。
角度1　斜抛运动基本规律的应用
　　从某高处以6 m/s的初速度、与水平方向成30°角斜向上抛出一石子，落地时石子的速度方向和水平线的夹角为60°，(忽略空气阻力，g取10 m/s2)求：
(1)石子在空中运动的时间；
[答案]　1.2 s
(2)石子的水平位移大小；
(3)石子抛出后，相对于抛出点能到达的最大高度；
[答案]　0.45 m
(4)抛出点离地面的高度。
[答案]　3.6 m
(2025·山东临沂市期末)第十四届全国冬季运动会于2月17日在内蒙古开幕。跳台滑雪是其中的项目之一，滑雪大跳台的赛道主要由助滑道、起跳区、着陆坡、停止区组成，如图甲所示，图乙为简化后的跳台滑雪赛道示意图，AD段为助滑道，DB为起跳区，与水平面的夹角α＝30°，BC段为倾角θ＝30°的着陆坡。一运动员从助滑道的起点A由静止开始下滑，到达点B时，借助设备和技巧，以与水平方向成30°角(起跳角)的方向起跳，最后落在着陆坡面的C点。已知该运动员在B点的起跳速度为20 m/s，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。
(1)运动员离开着陆坡面的最大距离是多少？
(2)求运动员落到C点的速度大小。
角度2　空气阻力对斜抛运动的影响
　　(多选)羽毛球是深受大众喜爱的体育运动。如图所示的是羽毛球飞行轨迹图，图中A、B为同一轨迹上等高的两点，P为该轨迹的最高点，则该羽毛球 (　　)
A．在A、B两点的速度大小相等
B．在AP上升阶段，羽毛球加速度的竖直分量大于重力加速度值
C．AP段的飞行时间小于PB段的飞行时间
D．整个飞行过程中经过P点时的速度最小
√
√
[解析]　由题可知，羽毛球在运动过程中受到空气阻力作用，且空气阻力做负功，所以机械能减小，所以A点速度大于B点的速度，故A错误；
当羽毛球所受重力与阻力的合力方向与速度方向垂直时，羽毛球的速度最小，而在最高点P时，合力方向与速度夹角为钝角，说明羽毛球速度最小应该在P点之后，故D错误；
由于存在空气阻力作用，AP段羽毛球处于上升阶段，其竖直向下的加速度大于重力加速度，而PB段羽毛球处于下降阶段，加速度的竖直分量小于重力加速度，故由于竖直方向的位移大小相等，所以AP段的飞行时间小于PB段的飞行时间，故B、C正确。
(1)足球运动至C点时的速度大小v0；
[答案]　20 m/s　
(2)A、B两点间的距离xAB。
[答案]　10 m
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
√
1．(斜抛运动的理解)(2025·河南洛阳市期末)如图是小球做斜抛运动的轨迹，C点是轨迹的最高点，A、B是轨迹上等高的两个点。下列说法正确的是(不计空气阻力) (　　)
A．该运动可以分解为水平方向的匀变速直线运动和竖直方向的匀速直线运动
B．小球在A点的速度与小球在B点的速度相同
C.整个运动过程中小球处于失重状态
D．小球从A到C的时间小于从C到B的时间
解析：该运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动，故A错误；
根据对称性可知，小球在A点的速度与小球在B点的速度大小相等，但方向不同，故B错误；
整个运动过程中，小球的加速度为重力加速度，处于失重状态，故C正确；
根据对称性可知，小球从A到C的时间等于从C到B的时间，故D错误。
√
2．(斜抛运动的基本规律)如图所示，滑板爱好者先后两次从坡道A点滑出做斜抛运动，两次腾空最大高度相同，分别落在B、C两点，A、B、C三点在同一水平面上，则 (　　)
A.两次滑出的速度方向相同
B．两次滑出的速度大小相同
C．两次到最高点时的速度相同
D．两次在空中经历的时间相同
滑板爱好者先后两次从坡道A点滑出后做斜抛运动，水平方向上有x＝vxt，因分别落在B、C两点，有xB>xC，则从A点滑出做斜抛运动时水平方向的初速度vxB>vxC，最高点时，竖直方向的分速度为零，到最高点时速度等于水平方向的初速度，可知两次到最高点时速度不相同，C错误；
√
3．(斜抛运动的分析)“打水漂”是一种常见的娱乐活动，以一定的高度水平扔出的瓦片，会反复在水面上弹跳前进，假设瓦片和水面相撞后，在水平和竖直方向速度大小均减小，以下四幅图有可能是瓦片轨迹的是(　　)题组1　曲线运动的性质和特点
1．(多选)(2025·重庆市期末)关于曲线运动，下列说法正确的是 (　　)
A．曲线运动一定是变速运动
B．做曲线运动的物体速度可能不变
C．做曲线运动的物体受力一定变化
D．做曲线运动的物体加速度可能不变
解析：选AD。曲线运动的速度方向发生变化，根据速度的矢量性可知，一定是变速运动，故A正确，B错误；做曲线运动的物体可能受到恒力作用，也可能受到变力作用，如果受到恒力作用则加速度不变，故C错误，D正确。
2．(2025·浙江省合格考)如图所示，篮球从运动员手中被投出后，沿着一条优美的曲线飞行。用箭头标注篮球经过图中a、b、c、d四点时的速度方向。速度方向标注正确的是 (　　)
A．a B．b
C．c D．d
解析：选C。曲线运动某点的速度方向应为该点的切线方向。
3．如图，质点沿曲线由M向N运动，现要研究质点经过P点时的瞬时速度，在曲线上依次取a、b、c三点，测量质点从P运动到a、b、c三点所发生的位移x1、x2、x3及分别所用时间t1、t2、t3，则下面判断正确的是 (　　)
A．反映的是质点从b点运动到c点过程的平均速度
B．、、中，更接近于质点在P点时的瞬时速度
C．质点在a、b、c三点所受到的合力方向必定相同
D．质点经过b点时所受合力可能为零
解析：选B。反映的是质点从P点运动到c点过程的平均速度，故A错误；、、中，t1更短，更接近于质点在P点时的瞬时速度，故B正确；质点做曲线运动，所受到的合力方向指向弯曲轨迹的内侧，但不能判断在a、b、c三点所受到的合力方向是否相同，故C错误；质点做曲线运动，合力不可能为零，故D错误。
题组2　物体做曲线运动的条件
4．一个物体在相互垂直的两个恒力作用下由静止开始运动，经过一段时间后，突然撤去一个力，则物体的运动情况是 (　　)
A．物体做匀变速曲线运动
B．物体做变加速曲线运动
C．物体做匀速直线运动
D．物体沿另一个力方向做匀加速直线运动
解析：选A。一个物体在相互垂直的恒力作用下运动，则合力恒定不变，故物体由静止开始沿两力的合力方向做匀加速直线运动。经过一段时间后，突然撤去一个力，则物体受力的方向变为剩余一个力方向，大小等于剩余一个力的大小。受力方向与此时的速度方向不共线，所以做曲线运动，因为此时所受合力的大小与方向不变，所以做匀变速曲线运动。
5．(2025·上海浦东新区期末)关于曲线运动，下列说法正确的是 (　　)
A．物体做曲线运动时，它的速度可能保持不变
B．物体只有受到一个方向不断改变的力的作用，才可能做曲线运动
C．做曲线运动的物体，所受合外力方向与速度方向肯定不在一条直线上
D．所受合外力方向与速度方向不在一条直线上的物体，肯定做变加速曲线运动
解析：选C。物体做曲线运动时，它的速度方向时刻在改变，故A错误；物体受恒力作用时仍然可以做曲线运动，故B错误；做曲线运动的条件为物体所受合外力方向与速度方向不在一条直线上，故C正确；所受合外力方向与速度方向不在一条直线上的物体，可能做匀变速曲线运动，故D错误。
题组3　物体所受合力、速度和运动轨迹的关系
6．如图所示为一玩具车在水平地面上的运动轨迹，从左向右的运动过程中玩具车的速度始终增加。玩具车在a点和b点所受合力的方向可能为 (　　)
解析：选B。小车做曲线运动，所受合外力指向曲线的凹侧，且小车沿轨道从左向右运动，速度一直增加，故合外力与运动方向的夹角为锐角。
7．某球员利用任意球破门，如图所示为足球的轨迹示意图。以下足球飞行经过P点时所受的合外力方向可能正确的是 (　　)
解析：选D。当物体所受的合外力与运动方向不在同一条直线上时，物体做曲线运动，并且轨迹向合外力方向弯曲。
8．(2025·江苏扬州市合格考模拟)短道速滑运动员在弯道加速滑行时，其所受合力与速度方向示意图正确的是 (　　)
解析：选A。物体做曲线运动时，某一点的速度方向在该点的曲线切线上，所受合力方向位于轨迹的凹侧，由于运动员在弯道加速滑行，所以此时合力方向与速度方向的夹角小于90°。
9．(2025·江苏盐城市合格考模拟)某质点从甲点沿如图所示的曲线运动到乙点，质点受力的大小为F。经过乙点后，若力的方向突然变为与原来相反的方向，则从乙开始运动的路径可能是沿 (　　)
A．乙甲 B．乙丙
C．乙丁 D．乙戊
解析：选B。从甲点沿曲线运动到乙点，曲线是向右下弯曲的，由合力应该指向轨迹的内侧，改变F的方向之后就应该是指向轨迹外侧，物体的运动轨迹应该是向左上方弯曲，可能出现乙丙的轨迹。
10．图甲为“玉兔二号”巡视器在月球上从O处行走到B处的照片，图乙为其运动轨迹示意图，OA段是直线，AB段是曲线，则巡视器 (　　)
A．在AB段运动时所受的合外力不为零
B．在AB段运动时加速度为零
C．OA段与AB段的平均速度相同
D．从O到B的位移大小等于OAB轨迹长度
解析：选A。巡视器在AB段做曲线运动，根据物体做曲线运动条件可知，巡视器所受的合外力不为零，加速度不为零，故A正确，B错误；OA段与AB段的位移方向不同，所以OA段与AB段的平均速度不相同，故C错误；从O到B的位移大小小于OAB轨迹长度，故D错误。
11．下面四个选项中的虚线均表示小鸟在竖直平面内沿曲线从左向右减速飞行的轨迹，小鸟在轨迹最低点时的速度v和空气对它的作用力F的方向可能正确的是 (　　)
解析：选C。根据曲线运动规律可知，速度方向沿曲线的切线方向，减速飞行说明重力和F的合力的方向指向运动轨迹的凹侧且与速度方向成钝角。
12．一个物体在水平面内拉力F作用下，沿着光滑水平面从A点运动到D点，其运动轨迹如虚线所示。下列说法正确的是 (　　)
A．AB段拉力F方向一定不变
B．BC段拉力F可能不为0
C．CD段拉力F与速度方向一致
D．全过程力F可能为恒力
解析：选B。物体在AB段做曲线运动，拉力F方向可能不变，可能改变，故A错误；物体在BC段做直线运动，若为变速运动，则拉力F不为0，故B正确；物体在CD段做曲线运动，拉力F方向与速度方向不在同一直线上，故C错误；物体在AB段拉力F方向指向曲线内侧，在BC段F方向与BC在同一直线上，在CD段拉力F方向指向曲线内侧，故拉力不可能为恒力，故D错误。
13．光滑水平面内，一质点在恒力作用下做曲线运动，轨迹如图中虚线所示，A、B为曲线上的两个点，则此恒力可能是图中的 (　　)
A．F1　　　　　　　 　 B．F2
C．F3 D．F4
解析：选A。根据质点做曲线运动的条件可知，质点在恒力作用下做曲线运动，恒力应在任何位置均指向曲线弯曲的内侧，结合题图可知，此恒力可能是图中的F1。(共40张PPT)
第4节　研究平抛运动的规律
学习目标
1．理解平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，知道其轨迹是抛物线。　2.通过运动的合成与分解分析平抛运动的规律。　3.能用平抛运动的规律解决相关问题。
课前知识梳理
PART
01
第一部分
平抛运动的理论探究
1．原理：在水平方向，由于惯性，物体将保持原来的速度做____________；在竖直方向，物体受重力的作用，且竖直方向的初速度为零，因此物体在竖直方向上做_______________。因此平抛运动可以分解为水平方向的_____________和竖直方向的_______________。
2．设物体水平抛出时的初速度为v0，则经过时间t，它的位置坐标分别是x＝_______，y＝_________。它的两个分速度分别是vx＝_________，vy＝_________。
3．平抛运动的轨迹是一条_________。
匀速直线运动
自由落体运动
匀速直线运动
自由落体运动
v0t
v0
gt
抛物线
判断下列说法是否正确。
(1)做平抛运动的物体只受重力，所以加速度保持不变。 (　　)
(2)只有沿竖直方向抛出的物体，才做匀变速运动。 (　　)
(3)水平抛出的物体，做变加速曲线运动。 (　　)
(4)平抛运动的初速度越大，物体下落得越快。 (　　)
(5)做平抛运动的物体，下落时间越长的速度越大。 (　　)
(6)做平抛运动的物体下落时，速度与水平方向的夹角越来越大。(　　)
√
×　
×　
×　
×　
√
课堂深度探究
PART
02
第二部分
知识点一　平抛运动的性质和特点
如图所示，一人正练习投掷飞镖，如果不计空气阻力。
(1)飞镖投出后，受力情况怎样？其加速度的大小和方向是怎样的？
[提示]　因忽略空气阻力，飞镖投出后，只受重力作用，其加速度大小为g，方向竖直向下。
(2)飞镖的运动是匀变速运动，还是变加速运动？运动轨迹如何？
[提示]　飞镖运动过程中，加速度是不变的，所以飞镖的运动是匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。
(3)为了研究问题方便，我们可以将平抛运动转化为哪两个方向的直线运动？
[提示]　可将平抛运动转化为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
1．平抛运动的性质：加速度为g的匀变速曲线运动。
2．平抛运动的特点
(1)受力特点：只受重力作用，不受其他力或其他力忽略不计。
(2)运动特点
①加速度：自由落体加速度为g，大小、方向均不变，故平抛运动是匀变速运动。
②速度：大小、方向时刻在变化，平抛运动是变速运动。
(3)轨迹特点：运动轨迹是抛物线。
(4)速度变化特点：任意两个相等的时间间隔内速度的变
化量相同，Δv＝gΔt，方向竖直向下，如图所示。
在一个无风的下午，一个小孩子手拿小纸片放在嘴边，将小纸片水平吹出。已知此小孩的身高约为1.25 m，当g取10 m/s2时，下列说法正确的是(　　)
A．小纸片做平抛运动
B．小纸片的下落时间可能为0.5 s
C．小纸片的下落时间可能为3 s
D．小纸片不可能竖直落地
√
关于平抛运动，下列说法正确的是 (　　)
A．因为平抛运动的轨迹是曲线，所以平抛运动不可能是匀变速运动
B．平抛运动速度的大小与方向不断变化，因而相等时间内速度的变化量也是变化的，加速度也不断变化
C．平抛运动可以分解为水平方向上的匀速直线运动与竖直方向上的竖直下抛运动
D．平抛运动是加速度恒为g的匀变速曲线运动
√
[解析]　做平抛运动的物体只受重力，其加速度恒为g，故平抛运动为匀变速曲线运动，A错误，D正确；
相等时间内速度的变化量Δv＝gΔt是相同的，B错误；
平抛运动可分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，C错误。
知识点二　平抛运动规律的应用
1．基本思路：研究曲线运动通常采用“化曲为直”的方法，即将平抛运动分解为竖直方向上的自由落体运动和水平方向上的匀速直线运动。
2．基本规律
角度1　平抛运动规律的应用
　　(2025·上海市期末)如图，飞机沿水平方向匀速飞行，每隔相同时间释放一包裹，一段时间后包裹在空中的位置关系应为 (　　)
√
[解析]　飞机沿水平方向做匀速直线运动，包裹做平抛运动，包裹水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，可知飞机与包裹在竖直方向始终位于同一条直线上，且在竖直方向上从上往下相邻包裹之间的间距逐渐增大，只有题图C符合要求。
(2025·江苏苏州市期末)一小球以初速度v0从空中某点水平抛出，落地时速度方向与水平地面的夹角θ＝60°。不计空气阻力，重力加速度为g。求：
(1)小球落地时竖直方向的分速度vy的大小；
(2)小球抛出点与落地点之间的水平距离x。
(2024·北京卷，T17)如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求：
(1)水从管口到水面的运动时间t；
(2)水从管口排出时的速度大小v0；
(3)管口单位时间内流出水的体积Q。
角度2　类平抛运动
　　(多选)如图所示，A、B两个质点以相同的水平速度v0抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1。B沿光滑斜面运动，落地点为P2。不计阻力，则从抛出点到落地点　 (　　)
A．A运动的时间长　 B．B运动的时间长
C．P1在x轴上较远 D．P2在x轴上较远
√
√
综合一练　平抛运动和其他运动的追及相遇问题
　　如图所示，在h＝500m的高空，以速度大小v1＝150 m/s水平飞行的轰炸机，正在追击一辆速度v2＝30 m/s 同向行驶的汽车，欲使飞机投下的炸弹击中汽车。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。
(1)飞机应在到汽车的水平距离多远处投弹？
[答案]　1 200 m　
(2)击中汽车时炸弹的速度v为多大(结果可保留根号)
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
√
1．(平抛运动规律的应用)(2024·湖北卷，T3)如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上，设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到 (　　)
A．荷叶a　 B．荷叶b
C．荷叶c　 D．荷叶d
√
2．(平抛运动规律的应用)(2025·云南卷，T3)如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则 (　　)
A．两颗鸟食同时抛出
B．在N点接到的鸟食后抛出
C．两颗鸟食平抛的初速度相同
D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大
在水平方向上，x＝v0t，在同一高度时，xOM′>xON′，故vMO>vNO，C错误，D正确。
3．(平抛运动和其他运动的追及相遇问题)(2025·辽宁辽阳市期末)辽阳市传统名点塔糖风味独特。一辆满载塔糖的货车以大小v0＝20 m/s的速度沿平直公路匀速行驶，遇紧急情况突然刹车，一塔糖(视为质点)从车顶沿货车前进的方向水平飞出并离开车顶。车顶距离地面的高度h＝2.45 m，塔糖落在货车前端的后方且落地点与停下的货车前端相距d＝12 m，货车刹车时的加速度大小恒为a＝8 m/s2，重力加速度大小g取10 m/s2，不计空气阻力，塔糖飞出后未与货车碰撞。求：
(1)塔糖在空中运动的时间t；
答案：0.7 s　
(2)塔糖刚飞出时到货车前端的水平距离x。
答案：1 m(共28张PPT)
课后达标检测
题组1　平抛运动的性质和特点
1．在实际生活中，最接近抛体运动的是 (　　)
A．手抛出的小石块
B．秋风吹落的树叶
C．在空中高速运动的炮弹
D．空中飞翔的纸飞机
√
解析：以一定的速度抛出的物体，只在重力作用下的运动，是抛体运动，如果有空气阻力，但空气的阻力跟重力相比可以忽略不计，也可以看成抛体运动。手抛出的小石块的运动最接近拋体运动，故A正确；
秋风吹落的树叶，空气的阻力不能忽略，因此不能看成抛体运动，故B错误；
物体在空气中运动，速度越大，阻力也越大，在空中高速运动的炮弹，由于阻力的影响，实际轨迹不再是抛物线，因此不能看成抛体运动，故C错误；
空中飞翔的纸飞机，空气的阻力不能忽略，因此不能看成抛体运动，故D错误。
√
2．做平抛运动的物体，在水平方向通过的最大距离取决于 (　　)
A．物体所受的重力和抛出点的高度
B．物体的初速度和抛出点的高度
C．物体所受的重力和初速度
D．物体所受的重力、高度和初速度
√
3．一小球被水平抛出，做平抛运动，若从小球被抛出开始计时，则小球在运动过程中 (　　)
A．做变加速曲线运动
B．加速度大小与时间成正比
C．速度大小与时间成正比
D．速度变化量的大小与时间成正比
解析：小球做平抛运动，运动过程中加速度不变，为重力加速度，即小球做匀变速曲线运动，速度的变化量Δv＝gt，所以速度变化量的大小与时间成正比，故A、B错误，D正确；
√
题组2　平抛运动规律的应用
4．(2024·海南卷，T3)在跨越河流表演中，一人骑车以25 m/s的速度水平冲出平台，恰好跨越宽x＝25 m的河流落在河对岸平台上，不计空气阻力，g取10 m/s2，则两平台的高度差h为 (　　)
A．0.5 m B．5 m
C．10 m D．20 m
√
√
√
√
8．如图所示，从水平面上A点正上方5 m处的O点水平向右抛出一个小球的同时，位于A点右方3 m 远处的物块B正以4 m/s2的加速度从静止开始做匀加速运动，恰好在P点被小球击中。重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，则 (　　)
A.物块B从开始运动到被击中的时间为1 s
B．小球的初速度越大，它在空中飞行的时间越长
C．小球的水平射程为2 m
D．小球击中物块B时的速度为10 m/s
√
9．(2025·云南玉溪市期末)某同学玩飞镖游戏，如图所示，他将飞镖从镖盘正前上方某位置以速度v1水平投出后，经时间t1，飞镖击中靶心正上方某位置；第二次将飞镖从同一位置以速度v2水平投出后，经时间t2飞镖击中靶心正下方某位置。不计空气阻力，飞镖可视为质点，下列关系式正确的是(　　)
A.v1>v2，t1v2，t1>t2
C．v1t2
√
10．如图所示，三个小球从同一高度处的O点分别以水平初速度v1、v2、v3抛出，落在水平面上的位置分别是A、B、C，O′是O在水平面上的投影点，且O′A∶O′B∶O′C＝1∶3∶5。若不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　)
A．v1∶v2∶v3＝1∶3∶5
B．三个小球下落的时间之比为1∶3∶5
C．三个小球从抛出到落地的位移大小之比为1∶3∶5
D．三个小球落地时的速度大小之比为1∶3∶5
水平位移之比为1∶3∶5，下降的高度相同，根据平行四边形定则知，落地时的位移之比不等于1∶3∶5，故C错误；
√
11．一架无人机以2 m/s的速度在5 m的高空水平飞行，从无人机上每隔0.5 s释放一个小球，先后共释放四个完全相同的小球。 若不计空气阻力，重力加速度g取 10 m/s2，下列说法正确的是 (　　)
A.第二个小球和第四个小球的下落所用时间均为1 s
B．第三个小球落地时的速度大小为10 m/s
C．第一个小球落地点与第四个小球的落地点间距为4 m
D．第一个小球和第二个小球在空中的任何时刻都不在同一竖直线上
第一个小球与第四个小球之间间隔1.5 s，故落地点的间距s＝v0Δt＝2 m/s×1.5 s＝3 m，C错误；
小球都做相同的平抛运动，水平方向都是相同速度的匀速直线运动，所以在空中任何时刻总是排成竖直的直线，D错误。
12．(12分)(2025·河南洛阳市期末)某课外兴趣小组借助传感器，研究一小球做平抛运动的规律。小球水平抛出0.5 s时速度方向与竖直方向成45°角，落地时速度方向与竖直方向成30°角，小球可看作质点，重力加速度g取10 m/s2，求(结果可以保留根式)：
(1)小球做平抛运动的初速度大小；(4分)
解析：当小球抛出0.5 s后小球的竖直分速度vy1＝gt1＝5 m/s，水平方向的分速度v0＝vy1tan 45°＝5 m/s。
答案：5 m/s
(2)小球抛出时距离地面的高度；(4分)
答案：3.75 m
(3)小球抛出点与落地点之间的水平距离。(4分)(共40张PPT)
第2节　运动的合成与分解
学习目标
1．理解合运动、分运动的概念，掌握运动的合成与分解的方法。　2.能利用运动的合成与分解的知识，判断合运动的轨迹和性质。　3.通过运动的合成与分解，初步体会把复杂运动分解为简单运动的物理思想。
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、矢量的合成与分解
1．方法：_________________是矢量合成与分解遵循的普遍法则。
2．力(运动)的合成与分解，既体现了矢量的运算法则，同时又反映了物理学研究问题的重要方法——等效替代。合成与分解本身也是研究物理问题的基本方法。
说明：等效替代是在保证某种效果(特性和关系)相同的前提下，将实际的、复杂的物理问题和物理过程转化为等效的、简单的、易于研究的物理问题和物理过程来研究和处理的方法。
等效替代既是科学家研究问题的方法，也是同学们在学习物理中常用的方法。
平行四边形定则
二、位移和速度的合成与分解
1．合运动与分运动：如果物体同时参与了几个运动，我们把这几个运动叫作分运动，____________叫作合运动。
2．位移的合成与分解：已知分位移求合位移叫作位移的_________；已知合位移求分位移叫作位移的_________，它们都遵循________________。
3．由于合运动与分运动对应的时间是相同的，而位移的合成与分解遵循平行四边形定则，那么，速度的合成与分解也必然遵循________________，如图所示。同样的，加速度的合成与分解也必然遵循平行四边形定则。
实际的运动
合成
分解
平行四边形定则
平行四边形定则
4．运动的合成与分解：已知_________求_________，叫作运动的合成；已知_________求_________，叫作运动的分解。运动的合成与分解包括位移、速度和加速度的合成与分解。
三、运动合成与分解的应用
研究比较复杂的运动时，常常可以把一个运动分解成两个或几个比较简单的运动，从而使问题变得容易解决。运动的合成与分解在生产、生活和科技中有广泛的应用。
分运动
合运动
合运动
分运动
×　
判断下列说法是否正确。
(1)合速度就是两个分速度的代数和。 (　　)
(2)合速度不一定大于任一分速度。 (　　)
(3)合位移一定大于任意一个分位移。 (　　)
(4)运动的合成就是把两个分运动加起来。 (　　)
(5)运动的分解就是把一个运动分成两个完全相同的运动。 (　　)
√
×　
×　
×　
课堂深度探究
PART
02
第二部分
知识点一　合运动与分运动
从你的铅笔盒里取一块橡皮，用一根细线拴住，把细线的另一端用图钉固定在竖直放置的木板上。按图中所示的方法，用铅笔靠着细线的左侧，沿直尺向右匀速移动，再向左移动，来回做几次，仔细观察橡皮的运动轨迹。结合实验现象说明：橡皮的实际运动与哪两个方向的运动有关？
[提示]　与水平方向和
竖直方向的运动有关。
1．对合运动与分运动的理解
物体的实际运动就是合运动，实际运动的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度。
2．合运动与分运动的关系
(1)等效性：各分运动的共同效果与合运动的效果相同。
(2)等时性：各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同。
(3)独立性：各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响。
(4)同体性：各分运动与合运动是同一物体的运动。
跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法正确的是 (　　)
A．水平风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．水平风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害
C.运动员下落时间与水平风力无关
D．运动员着地速度与水平风力无关
√
[解析]　运动员同时参与了两个分运动，竖直方向下落的运动和水平方向随风飘的运动，两个分运动同时发生，相互独立，水平方向的风力大小不影响竖直方向的运动，即落地时间不变，故A错误，C正确；
不论风力大小，运动员竖直方向的分运动不变，则下落时间和竖直方向下落的速度不变，但水平风力越大，运动员水平方向的速度越大，则落地的合速度越大，故B、D错误。
知识点二　运动的合成与分解
1．运动的合成与分解
(1)运动的合成：已知分运动求合运动的过程叫运动的合成。
(2)运动的分解：已知合运动求分运动的过程叫运动的分解。
(3)运动的合成与分解互为逆运算。
2．遵循的规律
位移、速度、加速度都是矢量，对它们进行合成与分解时可运用平行四边形定则或三角形定则。
(1)两分运动在同一直线上时，同向相加，反向相减。
(2)两分运动不在同一直线上，按照平行四边形定则进行合成或分解。
4．互成角度的两个直线运动的合成
角度1　运动的合成
　　下雨时，某外卖员在平直的道路上以 4 m/s 的速度骑行，已知雨滴以3 m/s的速度竖直下落，则该外卖员感觉到雨滴的速度的大小和方向分别是(　　)
A．3 m/s　竖直向下　 B．3 m/s　斜向下
C．5 m/s　竖直向下 D．5 m/s　斜向下
√
√
√
角度3　合运动的判断
　　现代化教学手段进入课堂后，教室里安装的黑板可以左右移动，杜老师用粉笔在黑板上竖直向下画一条直线，同时黑板以某一速度水平匀速移动，在黑板上所画抛物线轨迹如图所示。关于黑板的移动方向和粉笔在黑板上竖直方向的运动，下列判断正确的是 (　　)
A．黑板向左移动，粉笔向上匀加速运动
B．黑板向左移动，粉笔向下匀加速运动
C．黑板向右移动，粉笔向上匀加速运动
D．黑板向右移动，粉笔向下匀加速运动
√
[解析]　合运动轨迹为抛物线，说明合运动是由水平方向的匀速运动和竖直方向的匀加速直线运动合成的结果。抛物线是向下开口的，这表明粉笔在竖直方向上做向下的匀加速运动。水平方向速度向右，故黑板向左移动，粉笔获得相对黑板向右的水平分速度，故B符合题意。
知识点三　运动的合成与分解的综合问题
　　(多选)某质点在Oxy平面内运动。t＝0时刻，质点位于x轴上。它在x轴方向上运动的位移—时间图像如图甲所示，它在y轴方向上运动的速度—时间图像如图乙所示。下列说法正确的是 (　　)
A．质点的运动轨迹为曲线
B．t＝1 s时质点的速度大小为5 m/s
C．t＝1 s时质点的速度方向与x轴正向的夹角为45°
D．t＝1 s时质点的位置坐标为(9 m，6 m)
√
√
[解析]　由题图可知，在2 s内，质点沿x轴正方向以3 m/s的速度做匀速直线运动，沿y轴方向以 2 m/s 的初速度、1 m/s2的加速度做匀加速直线运动，由运动的合成知识可知，质点做匀变速曲线运动，A正确；
　　(2025·河南洛阳市期末)一质点在直角坐标系xOy所在平面内由O点开始运动，其沿坐标轴方向的两个分速度随时间变化如图所示，则 (　　)
A．3 s末质点速度的大小为7 m/s
B．前3 s内质点做匀变速直线运动，加速度大小为1 m/s2
C．3 s到4 s内质点做匀变速曲线运动，加速度大小为5 m/s2
D．3 s到4 s内质点的位移大小为7.5 m
√
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
1．(合运动与分运动)(多选)关于运动的合成，下列说法正确的是 (　　)
A．合运动的速度一定比每一个分运动的速度都大
B．两个速度不同的匀速直线运动的合运动一定是直线运动
C．各分运动的共同效果与合运动的效果不一定相同
D．两个分运动的时间，一定与它们的合运动的时间相等
√
√
解析：运动的合成是位移、速度、加速度等矢量的合成，但合矢量的大小不一定大于分矢量，A错误；
两个速度不同的匀速直线运动的加速度都为零，故合运动的加速度一定也为零，但合运动的速度不为零，故合运动一定是匀速直线运动，B正确；
由合运动与分运动的等效性知，C错误；
由合运动与分运动的等时性知，D正确。
√
2．(两个直线运动的合运动性质)下列说法正确的是 (　　)
A．做曲线运动物体的加速度可能为零
B．做曲线运动物体的加速度可能恒定不变
C.不在同一直线上的两个匀速直线运动的合运动可能是曲线运动
D．不在同一直线上的两个匀加速直线运动的合运动一定是曲线运动
解析：做曲线运动物体的速度一定发生变化，则物体的加速度不可能为零，但加速度可能是恒定不变的，故A错误，B正确。
不在同一直线上的两个匀速直线运动的合运动一定是直线运动，故C错误。
当两个匀变速直线运动的合加速度与合初速度的方向在同一直线上时，物体做直线运动；当两个匀变速直线运动的合加速度与合初速度的方向不在同一直线上时，物体做曲线运动，故D错误。
√
4．(运动的合成与分解)(多选)如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体R(R视为质点)。将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，R从坐标原点O以速度v0＝3 cm/s 匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动。测出某时刻R的坐标为(4 cm，6 cm)，则此时 (　　)
A．R的加速度大小为2 cm/s2
B．R的加速度大小为4 cm/s2
C．R的速度大小为4 cm/s
D．R的速度大小为5 cm/s
√
√题组1　两个互成角度的直线运动的合运动
1．(多选)关于不在同一条直线上两个运动的合成，下列说法正确的是 (　　)
A．两个直线运动的合运动一定是直线运动
B．两个匀速直线运动的合运动一定是直线运动
C．两个匀加速直线运动的合运动一定是直线运动
D．两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动一定是直线运动
解析：选BD。两个直线运动的合运动不一定是直线运动，故A错误；两个匀速直线运动的合运动一定是直线运动，因为合加速度为零，合运动为匀速直线运动，故B正确；两个匀加速直线运动的合初速度方向与合加速度方向如果不在同一条直线上，合运动为曲线运动，故C错误；两个初速度为零的匀加速直线运动，因为合初速度为零，合加速度不为零，则合运动是初速度为零的匀加速直线运动，故D正确。
2．如图所示，在马戏表演中，人顶着竖直杆水平向右做匀速运动，同时猴子沿竖直杆向上做初速度为零的匀加速直线运动，下列关于猴子相对地面的运动轨迹可能正确的是 (　　)
解析：选B。人顶着竖直杆水平向右做匀速运动，同时猴子沿竖直杆向上做初速度为零的匀加速直线运动，可知猴子的加速度方向竖直向上，由于猴子速度方向与加速度方向不在同一直线上，猴子做曲线运动，根据曲线运动的合外力指向轨迹的凹侧，可知猴子相对地面的运动轨迹可能正确的是图B。
3．如图所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中以速度v匀速上浮。红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管水平向右由静止做匀加速运动，则蜡块的轨迹可能是 (　　)
A.直线P　　　　　　　 B．曲线Q
C．曲线R D．无法确定
解析：选B。红蜡块在竖直方向上做匀速直线运动，在水平方向上做匀加速直线运动，所受合力方向水平向右，合力方向与合速度方向不共线，红蜡块的轨迹应为曲线，故A错误；由于做曲线运动的物体所受合力应指向轨迹弯曲的一侧，故B正确，C、D错误。
4．两个互成角度的匀变速直线运动，初速度分别为v1和v2，加速度分别为a1和a2，关于它们的合运动的轨迹，下列说法正确的是 (　　)
A．如果v1＝v2≠0，那么轨迹一定是直线
B．如果v1＝v2≠0，那么轨迹一定是曲线
C．如果a1＝a2，那么轨迹一定是直线
D．如果＝，那么轨迹一定是直线
解析：选D。物体做曲线运动的条件是合外力的方向(即合加速度的方向)与合速度的方向不在一条直线上。如果＝，那么合加速度的方向与合速度的方向一定在一条直线上，D正确。
题组2　运动的合成与分解
5．在一次消防演习中，消防员借助消防车上的梯子爬到高处救人。为了节省救援时间，在消防车匀速前进的同时，消防员沿倾斜的梯子匀速向上爬。关于消防员相对地面的运动，下列说法正确的是 (　　)
A．消防员做匀速直线运动
B．消防员做匀加速直线运动
C．消防员做匀加速曲线运动
D．消防员做速度大小不变的曲线运动
解析：选A。在消防车匀速前进的同时，消防员沿倾斜的梯子匀速向上爬，可知消防员相对地面沿水平方向做匀速直线运动，同时沿倾斜梯子做匀速直线运动，则消防员的合运动为匀速直线运动。
6．某商场内的自动扶梯以0.5 m/s的速度匀速运行，扶梯与水平面的夹角为30°，一顾客站立在扶梯台阶上相对扶梯静止，则顾客竖直方向的速度大小为 (　　)
A． m/s　　　　　　 B． m/s
C． m/s D． m/s
解析：选B。自动扶梯以0.5 m/s的速度匀速运行，扶梯与水平面夹角为30°，则顾客竖直方向的速度大小v′＝v sin 30°＝ m/s。
7．骑射项目是运动会上常见的一种娱乐项目，运动员骑在奔驰的马背上，弯弓射箭射击侧向的靶子目标M，其运动模型简化为如图所示的情境。假设运动员沿AB方向骑马的速度v1＝10 m/s，运动员静止时射出的弓箭速度v2＝4 m/s，直线跑道离固定目标M的最近距离d＝4 m，运动员射箭位置与靶子等高，且垂直于跑道AB方向射出弓箭。不计空气阻力和弓箭所受的重力，则运动员射出弓箭点的位置到O点的距离x为 (　　)
A.8 m B．10 m
C．12 m D．16 m
解析：选B。弓箭沿AB方向和垂直于AB方向均做匀速直线运动，有x＝v1t，d＝v2t，可知射出点在O点左侧，且到O点的距离x＝d＝10 m。
题组3　运动的合成与分解的综合问题
8．一迷你热气球以速度vy＝5 m/s从水平地面上匀速上升，同时热气球在水平方向上受一恒定风力作用，某段时间内，其在水平风力方向上的位置坐标随时间的变化图像如图所示，则当热气球上升到h＝5 m时，热气球到出发点的水平距离为 (　　)
A．2 m　　　　　　　 B． m
C．3.5 m D．4 m
解析：选A。当热气球上升到h＝5 m时，所用时间t＝＝1 s，热气球在水平方向受恒定的风力作用做匀加速运动，根据Δx＝aT2，解得a＝＝ m/s2＝4 m/s2，则当t＝1 s时，x＝at2＝×4×12 m＝2 m。
9．(多选)一物体在光滑的水平桌面上运动，其在相互垂直的x、y方向上的分速度随时间变化的图像分别如图甲、乙所示。下列说法正确的是 (　　)
A．物体做直线运动
B．物体做曲线运动
C．物体的初速度大小为8 m/s
D．物体的初速度大小为4 m/s
解析：选BD。由题图知，x方向的初速度沿x轴正方向，物体做匀速直线运动，加速度为零；y方向的初速度为零，物体做匀加速直线运动，加速度沿y轴正方向，则合运动的初速度方向在x轴方向上，合运动的加速度沿y轴正方向，与合初速度方向不在同一直线上，物体做匀变速曲线运动，故A错误，B正确。x方向的初速度为4 m/s，y方向的初速度为零，根据运动的合成与分解，可知物体初速度为4 m/s，故C错误，D正确。
10．在一端封闭、长约1 m的玻璃管内注满清水，水中放一个红蜡做的小圆柱体A，将玻璃管的开口端用橡胶塞塞紧(如图甲所示)。把玻璃管倒置(如图乙所示)，蜡块A沿玻璃管匀速上升，经时间t运动到玻璃管顶部。若在红蜡块上升过程中的某时刻，将玻璃管水平向右移动(如图丙所示)，下列说法正确的是 (　　)
A．玻璃管匀速移动时，蜡块做直线运动，运动到顶部时间大于t
B．玻璃管匀速移动时，蜡块做曲线运动，运动到顶部时间等于t
C．玻璃管加速移动时，蜡块做直线运动，运动到顶部时间大于t
D．玻璃管加速移动时，蜡块做曲线运动，运动到顶部时间等于t
解析：选D。玻璃管匀速移动时，蜡块水平方向和竖直方向都做匀速运动，则合运动为直线运动，根据运动的独立性原理可知，运动到顶部时间仍等于t，A、B错误；玻璃管加速移动时，蜡块水平方向做加速运动，竖直方向做匀速运动，合运动为曲线运动，即蜡块做曲线运动，运动到顶部时间仍等于t，C错误，D正确。
11．(多选)质量为4 kg的质点在xOy平面上做曲线运动，在x轴方向的速度图像和y轴方向的位移图像如图所示，下列说法正确的是 (　　)
A．质点的初速度大小为5 m/s
B．质点所受的合力大小为6 N
C．t＝0时，质点速度的方向与合外力方向垂直
D．2 s末质点速度大小为2 m/s
解析：选ABD。由题图可知，质点在x轴方向做匀变速直线运动，初速度vx0＝3 m/s，加速度ax＝1.5 m/s2，质点在y轴方向做匀速直线运动，速度大小vy＝4 m/s，则物体的初速度v0＝ eq \r(v＋v)＝5 m/s，根据牛顿第二定律得F＝max＝6 N，故A、B正确；质点所受合外力方向与加速度方向相同，沿x轴正方向，由上述分析可知，质点的初速度方向不沿y轴方向，故C错误； 2 s末质点在x轴方向的速度大小为6 m/s，则质点的速度v＝ m/s＝2 m/s，故D正确。
12．(多选)许多快递公司推出用无人机配送快递的方法，某次配送快递无人机在飞行过程中，水平方向速度vx及竖直方向速度vy与飞行时间t的关系图像如图甲、乙所示。关于无人机的运动，下列说法正确的是 (　　)
A．t2时刻，无人机运动到最高点
B．0到t1时间内，无人机做直线运动
C．t3时刻，无人机的速度大小为 eq \r(v＋v)
D．t3到t4时间内，无人机做匀变速曲线运动
解析：选BD。0到t4时间内，无人机速度一直为正，即一直向上运动，则t2时刻，无人机还没有运动到最高点，故A错误；0到t1时间内，无人机在水平方向做初速度为零的匀加速运动，在竖直方向也做初速度为零的匀加速运动，则合运动为匀加速直线运动，故B正确；t3时刻，无人机的水平速度为v0，竖直速度为v1，则合速度为 eq \r(v＋v)，故C错误；t3到t4时间内，无人机水平方向做速度为v0的匀速运动，竖直方向做匀减速运动，则合运动为匀变速曲线运动，故D正确。(共41张PPT)
专题提升课2　平抛运动的综合问题
专题深度剖析
PART
01
第一部分
微专题一　与斜面相关的平抛运动
√
√
√
√
√
微专题二　与曲面相关的抛体运动
1．抛出点和落点都在圆面上。如图甲所示，一小球从与圆心等高的半圆形轨道的A点以v0水平向右抛出，落在半圆形轨道上的C点。
2．抛出点在圆面外，落点在圆面上。如图乙所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点。
　　如图所示为一半球形的碗，其中碗边缘两点M、N与圆心等高且在同一竖直面内。现将两个小球在M、N两点，分别以v1、v2的速度沿图示方向同时水平抛出，发现两球刚好落在碗上同一点Q，已知∠MOQ＝53°，不计空气阻力(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)。下列说法不正确的是(　　)
A．两球抛出的速度大小之比为1∶4
B．若仅增大v2，则两球将在落入碗中之前相撞
C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在碗上
同一点，两球抛出的速率之和就不变
D．若仅从N点水平抛出小球，无论如何改变抛出的速度，小球都不可能垂直打在碗上
√
若仅增大v2，水平运动的相遇时间变短，竖直方向上的位移会变小，故还没落在圆弧上，两小球可能在空中相遇，B正确，不符合题意；
要使两小球落在圆弧的同一点上，则有xM＋xN＝2R，即(v1＋v2)t＝2R，落点不同，竖直方向上的位移不同，故运动时间t不同，所以v1＋v2不是定值，C错误，符合题意；
如果小球能够垂直打在碗上，速度反向延长线应过圆心，水平位移应为2R，应打到M点，但由平抛运动知识可知，小球不可能打到M点，D正确，不符合题意。
如图所示，竖直面内有一以O为圆心的圆形区域，圆的半径R＝1.5 m，直径PQ与水平方向间的夹角θ＝37°。小球自P点水平射入圆形区域，不计空气阻力，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)若使小球从Q点射出，求其在圆形区域中运动时间t1。
[答案]　0.6 s
(2)若使小球从Q点射出，求其到达Q点时的速度vQ大小。
(3)为使小球在圆形区域运动时间最长，求该小球进入圆形区域时的速度v大小。(计算结果可保留根式)
微专题三　平抛运动中的临界极值问题
1．问题特点
(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，表明题述过程中存在临界点。
(2)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”“取值范围”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点。
2．求解思路
(1)画出临界轨迹，找出临界状态对应的临界条件。
(2)分解速度或位移。
(3)列方程求解结果。
√
√
宽为L的竖直障碍物上开有间距d＝0.6 m的矩形孔，其下沿离地高h＝1.2 m，离地高H＝2 m的质点与障碍物相距x。在障碍物以v0＝4 m/s匀速向左运动的同时，质点自由下落，g取10 m/s2。为使质点能穿过该孔，求：
(1)L的最大值；
[答案]　0.8 m
(2)L＝0.6 m时，x的取值范围。
[解析]　当L＝0.6 m时，障碍物在水平方向的运动满足
v0t1≤x，v0t2≥x＋L
整理可得0.8 m≤x≤1 m。
[答案]　0.8 m≤x≤1 m
随堂巩固落实
PART
02
第二部分
1．(与斜面相关的平抛运动)如图，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd。从a点正上方的O点以速度v0水平抛出一个小球，它落到斜面上b点。若小球从O点以速度2v0水平抛出，则它落在斜面上的(不计空气阻力)(　　)
A．b与c之间某一点　　　　 B．c点
C．c与d之间某一点 D．d点
√
解析：过b作一条与水平面平行的直线，若没有斜面，当小球从O点以速度2v0水平抛出时，小球落在水平直线上时水平位移变为原来的2倍，则小球将落在所画水平线上一点，此点位于c点的正下方，但是现在有斜面的限制，小球将落在斜面上的b、c之间。
√
小球落到圆弧面上时，其速度方向若与该处圆的切线垂直，则速度的反向延长线一定过圆心，又因为平抛运动中速度的反向延长线过水平位移的中点，则水平位移为2R，竖直位移为零，与平抛运动性质不符，故D错误。
√
√
在网右侧运动时间是在左侧的两倍，根据Δv＝gt可知，乒乓球在左、右两侧运动速度变化量之比为1∶2，故D正确。
4．(与斜面相关的抛体运动)某同学在某砖墙前的高处水平抛出一个石子，石子在空中运动的部分轨迹照片如图所示。从照片可看出石子恰好垂直打在一倾角为37°的斜坡上的A点。已知每块砖的平均厚度为8 cm，抛出点到A点竖直方向刚好相距250块砖，g取10 m/s2。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
(1)石子在空中运动的时间t；
答案：2 s
(2)石子水平抛出的速度v0。
答案：15 m/s(共42张PPT)
单元过关检测(一)
√
解析：根据速度的合成与分解原则，可得竖直方向的速度vy＝v sin α。
√
2．第十五届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日－17日在珠海举行。航展首日，我国新型隐形战机歼-35A惊喜亮相，如图甲所示，这标志着我国已成为第二个同时拥有两款隐身战斗机服役的国家。假设35A某次飞行表演时正沿图乙所示轨迹加速运动，则飞机所受合力与速度关系可能为(　　)
解析：物体做曲线运动时，轨迹夹在速度方向与合力方向之间，且合力在轨迹的凹侧，由于隐形战机加速运动，故速度方向与合力方向夹角为锐角。
√
3．小明同学在国庆假期乘坐动车旅行，进站时动车可以看作匀减速直线运动。小明将一个小球由静止释放(如图所示)，不计空气阻力，则小球相对车厢下落的轨迹可能是 (　　)
解析：小球水平方向相对车厢向右以加速度大小为a做匀加速运动，竖直方向做自由落体运动，小球相对车厢做匀加速直线运动，轨迹为C。
√
4．一小船渡河，河宽100 m，水流速度为3 m/s，小船在静水中的速度为4 m/s，则 (　　)
A．小船不能垂直到达正对岸
B．小船渡河的时间最短为25 s
C．小船渡河的实际速度一定为7 m/s
D．小船船头始终垂直于河岸渡河，若渡河过程中水流速度变大，则渡河时间将变长
解析：因小船的静水速度大于水流速度，则小船能垂直到达正对岸，A错误；
只有船速和水流速度同向时小船渡河的实际速度才为7 m/s，因要渡河，则船实际渡河速度小于7 m/s，C错误；
小船船头始终垂直于河岸渡河，若渡河过程中水流速度变大，因垂直于河岸方向的分速度不变，则渡河时间不变，D错误。
√
√
6．某中学举办“套圈”活动。如图所示，小明同学站在标志线后以v0＝4 m/s的速度水平抛出一铁丝圈，正好套中静放在正前方水平地面上的饮料罐A。抛出时，铁丝圈位于标志线的正上方h＝0.45 m处，若铁丝圈、饮料罐均可视为质点，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，下列说法错误的是 (　　)
A．铁丝圈在空中运动的时间为0.3 s
B．饮料罐A与标志线的距离x＝1.2 m
C．铁丝圈落地前瞬间，速度大小为5 m/s
D．保持铁丝圈抛出位置不变，若要套中饮料罐B，水平抛出速度应变为6 m/s
饮料罐A与标志线的距离x＝v0t＝1.2 m，B正确，不符合题意；
√
7．网球运动员将球沿水平方向击出，球离开球拍后划出一条曲线向对方场地飞去，如图所示。网球可视为质点，不计空气阻力。下列说法正确的是 (　　)
A．网球的初速度越大，在空中运动时间越长
B．网球初位置越高，水平位移越大
C．网球在空中的速度变化量仅由抛出时的高度决定
D．网球的落地速度越大，说明抛出位置越高
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分。
8．骑马射箭是蒙古族传统的体育项目，如图甲所示，选手骑马沿如图乙所示直线O1O2匀速前进，速度大小为v1，运动员静止时射出的箭速度大小为v2，且有v2>v1，靶中心P到O1O2的距离为d，垂足为D，忽略箭在竖直方向的运动，下列说法正确的是 (　　)
√
√
解析：箭射出的同时，也要参与沿直线O1O2方向的匀速运动，若运动员瞄准靶心放箭，根据矢量合成可知，箭的合速度方向不会指向靶心，即箭不能命中靶心，故A错误；
箭射出的同时，箭有沿直线O1O2匀速前进的速度v1和沿射出方向匀速运动的速度v2，根据运动的合成可知，只要箭的合速度方向指向P点，均能射中靶心，由于v2大于v1，根据矢量合成规律可知，选手在到达D点之后某处把箭射出，也可能使箭的合速度方向指向P点，即不一定必须在到达D点之前某处把箭射出，故B错误；
√
9．如图所示，AB为半圆弧ACB的水平直径，C为ACB弧的中点，AB＝1.5 m，从A点水平抛出一小球，小球下落0.3 s后落到半圆弧ACB上，不计空气阻力，g取10 m/s2，则小球抛出的初速度v0可能为 (　　)
A.0.5 m/s B．1.5 m/s
C．3 m/s D．4.5 m/s
√
√
√
√
三、非选择题：本题共5小题，共54分。解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。
11．(9分)某同学分别用电磁实验装置和频闪相机研究平抛运动：
(1)如图甲所示，将小球a由斜槽上某一高度处静止释放，小球离开斜槽末端(水平)时撞开轻质接触式开关，被电磁铁吸住的小球b同时自由下落。结果发现a、b两球同时落地，这个演示实验说明： ___________。
解析：a、b两球同时落地，这个演示实验说明平抛运动在竖直方向的分运动是自由落体运动。
答案：见解析
(2)某次实验，用频闪照相记录两小球a、b在不同时刻的位置如图乙所示。若实验所用小球直径为D，用刻度尺测得照片中小球直径为d。图乙中b球运动过程中四个相邻时刻的竖直高度差分别为y0、y1、y2，a球两个相邻时刻水平距离x，重力加速度为g。在误差允许的范围内，y1＝________(用y0、y2表示)；利用这些数据计算a球平抛初速度为______________(用x、d、D、g、y1、y2表示)。
12．(10分)某小组用如图1所示的装置研究平抛运动。将坐标纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直硬板上，小球沿斜槽轨道滑下后从斜槽末端Q点飞出，落在水平挡板MN上，在坐标纸上挤压出一个痕迹点，移动挡板，依次重复上述操作，坐标纸上将留下一系列痕迹点。
(1)关于该实验应注意的问题，下列做法合理的是________。
A．应使小球每次从斜槽上同一位置由静止释放
B．调节挡板的高度时必须等间距变化
C.建立坐标系时，坐标原点应为斜槽口的末端
D．小球运动时不应与木板上的白纸(或方格纸)相接触
AD
解析：为了保证小球每次抛出的速度相同，应使小球每次从斜槽上同一位置由静止释放，故A正确；
调节挡板的高度时不需要等间距变化，故B错误；
建立坐标系时，坐标原点应为小球处于斜槽口末端时球心在白纸上的水平投影点，故C错误；
为了减小误差，小球运动时不应与木板上的白纸(或方格纸)相接触，故D正确。
(2)在该实验中，让小球多次从斜槽上滚下，在白纸上依次记下小球的位置，同学甲、乙得到的记录纸如图2所示，从图中明显看出甲的实验错误是________________，乙的记录纸中有两个点位于抛物线下方的原因是________________________。
解析：从题图2甲中明显看出甲的实验错误是小球抛出时的速度不是水平方向，即斜槽末端不水平；题图2乙的记录纸中有两个点位于抛物线下方的原因是静止释放小球的位置不同。
斜槽末端不水平
静止释放小球的位置不同
(3)丙同学不小心将记录实验的坐标纸弄破损，导致平抛运动的初始位置缺失。他选取轨迹上的某一点作为坐标原点O，建立xOy坐标系(x轴沿水平方向，y轴沿竖直方向)，如图3所示。在轨迹上选取A、B两点，坐标纸中每个小方格的边长为L，重力加速度为g，根据题中所给信息，可以求出小球从O点运动到A点所用的时间t＝________，小球做平抛运动的初速度v0＝________(计算结果均用L、g表示)。
13．(10分)如图所示，质量都为1 kg的两个物体A、B，用轻绳跨过定滑轮相连接，在水平力作用下，物体B沿水平地面向右运动，物体A恰以速度2 m/s匀速上升，已知物体B与水平面间的动摩擦因数为0.15，重力加速度g取10 m/s2，当物体B运动到使轻绳与水平方向成α＝37°时，(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
(1)物体B所受摩擦力的大小；(5分)
答案：0.6 N
(2)物体B的速度大小。(5分)
解析：根据平行四边形定则，将物体B的速度沿绳方向和垂直于绳方向进行分解有vA＝vB cos α
解得物体B的速度大小vB＝2.5 m/s。
答案：2.5 m/s
14．(11分)一架轰炸机在距地面1 125 m的高空以216 km/h的水平速度匀速飞行，现要炸掉敌方地上的一座军火库。重力加速度大小g取10 m/s2，求：
(1)炸弹应在轰炸机飞过军火库正上方多长时间之前投掷，才能击中目标；(5分)
答案：15 s
(2)从炸弹离开轰炸机到击中目标，轰炸机又飞行的距离。(6分)
解析：已知轰炸机水平运动速度
v0＝216 km/h＝60 m/s
所以轰炸机又飞行的距离
x＝v0t＝900 m。
答案：900 m
15．(14分)某科技小组进行模拟军事演练。A、B两地在同一高度，相距L＝3 440 m，从A地向B地发射一枚炮弹，初速度大小vA＝200 m/s，与水平方向成37°，炮弹发射后6 s，B地雷达发现炮弹，立即发出拦截弹进行拦截，已知拦截弹发出后8 s成功拦截，炮弹和拦截弹轨迹在同一竖直面内，运动过程中仅受重力，重力加速度大小g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)若不采取拦截措施，则炮弹将落在距B点多远处？(6分)
答案：400 m　
(2)求B地发出的拦截弹初速度的竖直分量大小。(8分)
答案：127.5 m/s第1节　认识曲线运动
1．知道什么是曲线运动，会确定曲线运动中速度的方向，知道曲线运动是变速运动
2．知道物体做曲线运动的条件和特点。
3．理解物体所受合力、运动轨迹和速度方向之间的关系。
一、随处可见的曲线运动
定义：我们把物体运动轨迹是曲线的运动，叫作曲线运动。
二、曲线运动的速度方向
1．如图所示，质点沿曲线运动，某段时间从A运动到B，从A到B就是质点位移的方向，也就是这段时间内的平均速度方向。设想研究的时间段逐渐缩短，则B点逐渐向A点靠近，当B点非常非常接近A点时，可以认为质点在A点的瞬时速度方向沿曲线在A点的切线方向。
2．在曲线运动中，当所取运动过程足够短时，质点在这一极短过程的运动就可视为直线运动。通过“化曲为直”，转换思维，可使问题得以简化。
3．质点做曲线运动，经过某一位置时的速度方向就是曲线在这一点的切线方向。
4．曲线运动的速度方向时刻在变化，所以曲线运动是一种变速运动。
三、物体做曲线运动的条件
当运动物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一直线上时，物体就做曲线运动。
判断下列说法是否正确。
(1)曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动。 (　　)
(2)物体的速度不断改变，物体一定做曲线运动。 (　　)
(3)做曲线运动的物体的速度与物体所受合外力不可能在同一条直线上。 (　　)
(4)做曲线运动的物体所受合外力的方向一定是变化的。 (　　)
(5)物体受恒力作用时不可能做曲线运动。 (　　)
提示：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
知识点一　曲线运动的性质和特点
图为砂轮打磨下来的炽热微粒飞离砂轮时的情形，微粒离开砂轮的时刻不同，飞离时的速度方向也不一样。
(1)微粒离开砂轮瞬间速度方向如何？
(2)微粒在离开砂轮前速度是否变化？
(3)微粒做曲线运动时，加速度可以是零吗？为什么？
[提示]　(1)微粒未离开砂轮前，随着砂轮一起运动，轨迹为圆，离开砂轮瞬间速度沿圆周上该点的切线方向，即沿离开砂轮时该点的切线方向。
(2)微粒在离开砂轮前速度是不断变化的。
(3)不可以，微粒做曲线运动时，速度方向发生变化，即运动状态发生改变，微粒受到的合外力不为零。
1．曲线运动的速度方向
曲线运动中某时刻的速度方向就是该相应位置点的切线方向。
2．曲线运动是变速运动
由于做曲线运动的物体的速度方向时刻在变化，不管速度大小是否变化，因为速度是矢量，物体的速度时刻在变化，所以曲线运动一定是变速运动，一定有加速度，但加速度不一定变化。
3．曲线运动的分类
(1)匀变速曲线运动：加速度恒定的曲线运动，即物体在恒力作用下的曲线运动。
(2)变加速曲线运动：加速度不断变化的曲线运动，即物体在变力作用下的曲线运动。
角度1　曲线运动的特点
　当一个物体做曲线运动时 (　　)
A．其速度方向一定发生变化
B．其速度的大小一定发生变化
C．其运动位移一定在增大
D．其加速度大小一定发生变化
[解析]　曲线运动中物体的速度方向沿曲线在这一点的切线方向，速度方向一定是时刻变化的，故A正确；物体做曲线运动时，速度大小是可以不变的，故B错误；物体做曲线运动时，其位移可以为0，可以增大，也可以减小，故C错误；物体做曲线运动时，也可以受到恒力的作用，其加速度也可能是不变的，故D错误。
[答案]　A
　跳水运动是一项难度很大又极具观赏性的运动，我国跳水队多次在国际跳水赛上摘金夺银，被誉为跳水“梦之队”。如图为运动员高台跳水过程中头部的运动轨迹示意图，a、b、c、d为轨迹上的四个点，则经过哪个点时头部的速度方向与入水时的速度v的方向最接近 (　　)
A．a点　　　　　　 B．b点
C．c点 D．d点
[解析]　根据物体做曲线运动时速度方向为该点的切线方向可知，经过c点时头部的速度方向与入水时的速度v的方向最接近。
[答案]　C
角度2　曲线运动的性质
　(2025·江苏徐州月考)物体做曲线运动，下列说法正确的是 (　　)
A．曲线运动不可能是匀变速运动
B．曲线运动速度大小时刻发生变化
C.曲线运动相同时间内速度改变量不可能相同
D．曲线运动速率可以不变
[解析]　曲线运动也可能是匀变速运动，A错误；曲线运动速度大小不一定发生变化，即速率可以不变，B错误，D正确；曲线运动相同时间内速度改变量也可能相同，C错误。
[答案]　D
知识点二　物体做曲线运动的条件
如图所示，将圆弧形滑轨放在铺了一层白纸的平滑桌面上，使其底端与桌面相切，让钢球从圆弧形滑轨滚下获得一定的初速度。为便于观察，在离开滑轨处沿钢球运动方向用直尺在白纸上画一直线。图甲中将条形磁铁沿直线放置；图乙中将条形磁铁放在钢球运动路线的旁边。
(1)图甲中钢球从滑轨上滚下时，观察钢球做什么运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向有什么关系？
(2)图乙中钢球从滑轨上滚下时，观察钢球做什么运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向有什么关系？
[提示]　(1)钢球做加速直线运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向相同。
(2)钢球做曲线运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向不在同一条直线上。
物体做曲线运动的条件
(1)动力学条件：合外力与速度方向不共线。
(2)运动学条件：加速度与速度方向不共线。
　下列说法正确的是 (　　)
A．物体受到的合外力方向与速度方向相同时，物体就做匀加速直线运动
B．物体受到的合外力方向与速度方向不共线时，物体做曲线运动
C．物体做曲线运动时，加速度和合力方向可能不同
D．受恒力作用的物体，不可能做曲线运动
[解析]　物体受到的合外力大小恒定，方向与速度方向相同时，物体做匀加速直线运动，故A错误；物体受到的合外力方向与速度方向不共线时，物体做曲线运动，故B正确；根据牛顿第二定律可知，物体做曲线运动时加速度和合力方向相同，故C错误；受恒力作用的物体，可能做曲线运动，故D错误。
[答案]　B
　(2025·河南洛阳市期末)一个物体在三个恒力F1、F2、F3的共同作用下做匀速直线运动。若保持F1、F2不变，突然撤去F3，则该物体之后 (　　)
A．可能做匀变速曲线运动
B．不可能继续做直线运动
C．可能继续做匀速直线运动
D．在相等时间内速度的变化量一定不相等
[解析]　物体做匀速直线运动的速度方向与F3的方向关系不明确，可能是相同、相反或不在同一条直线上，故保持F1、F2不变，突然撤去F3，则该物体之后可能做匀变速曲线运动，或匀变速直线运动，不可能继续做匀速直线运动，故A正确，B、C错误；保持F1、F2不变，突然撤去F3，即之后的合力大小为F3，方向与F3的方向相反，故物体所受的合外力为恒力，根据牛顿第二定律可知F＝ma，物体的加速度恒定不变，根据Δv＝aΔt可知，在相等时间内速度的变化量一定相等，故D错误。
[答案]　A
　某质点从A点沿图中的曲线运动到B点，质点受力的大小为F。经过B点时，下列说法正确的是 (　　)
A．若力的方向突然与原来方向相反，它从B点开始可能沿图中虚线a运动
B．若力的方向突然与原来方向相反，它从B点开始可能沿图中虚线b运动
C．若力的方向突然沿B点切线向左，它从B点开始可能沿图中虚线c运动
D．若力的大小突然变为0，它从B点开始可能沿图中虚线d运动
[解析]　质点从A点沿图中的曲线运动到B点，曲线向下弯曲，可知F的方向指向轨迹的凹面，改变F的方向之后就指向原轨迹的凸面，所以改变F后物体的轨迹可能沿虚线a；若力的方向突然沿B点切线向左，此时力与速度方向共线，质点将沿虚线b做减速直线运动；若力的大小变为0，则质点将沿虚线b做匀速直线运动，故A正确，B、C、D错误。
[答案]　A
知识点三　物体所受合力、速度和运动轨迹的关系
1．合外力与运动轨迹的关系
曲线运动的轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间，而且向合力的方向弯曲，即合力指向轨迹的凹侧。
2．确定曲线运动的轨迹的方法
(1)做曲线运动的物体，运动轨迹不断改变，其改变后的轨迹处在运动方向与合外力方向构成的夹角之间，且偏向合外力所指的一侧。
(2)若物体在恒力作用下做曲线运动，物体的运动轨迹越来越接近力的方向，但不会与力的方向相同。
3．合外力与速率的关系
若合力方向与速度方向的夹角为α，则
　(2023·辽宁卷，T1)某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是 (　　)
[解析]　篮球做曲线运动，则篮球的速度与合力不在同一条直线上，且篮球的轨迹应向受力的一方发生偏转，故B、C、D错误；当篮球的速度斜向右上方时，A选项符合条件，故A正确。
[答案]　A
　如图所示，质量为m的飞镖在空中做曲线运动，所受空气阻力大小为Ff，重力加速度为g，则其受力示意图可以表示为 (　　)
[解析]　重力方向竖直向下，阻力方向与速度方向相反，速度方向沿轨迹的切线方向，速度方向斜向下，阻力方向斜向上，则C正确，A、B、D错误。
[答案]　C
1．(曲线运动的性质和特点)下列对于曲线运动的说法正确的是 (　　)
A．曲线运动一定是变速运动
B．速度变化的运动一定是曲线运动
C．加速度恒定的运动不可能是曲线运动
D．加速度变化的运动一定是曲线运动
解析：选A。做曲线运动的物体，速度方向为曲线上点的切线方向，时刻改变，故曲线运动一定是变速运动，故A正确；匀变速直线运动的速度时刻改变，故B错误；物体做曲线运动的条件是物体所受合力的方向与速度方向不共线，合力大小可以不变也可以变化，因此加速度的大小可以不变也可以变化，所以加速度恒定的运动可能是曲线运动，加速度变化的运动不一定是曲线运动，故C、D错误。
2．(物体做曲线运动的条件)(2025·云南昆明市期末)在2024年11月珠海航展上，中国自主研制的新一代隐身战斗机歼 35A首次公开亮相。如图所示，歼 35A表演时先水平向左飞行，再沿曲线 abc飞行。若飞行轨迹在同一竖直面内且飞行速率不变，下列说法正确的是 (　　)
A．歼 35A在表演中做匀速运动
B．歼 35A在ab段做变速运动
C．歼 35A在ab段所受合力为零
D．歼 35A在bc段的加速度方向与速度方向在同一条直线上
解析：选B。歼 35A在abc段做曲线运动，速度方向时刻改变，不是匀速运动，A错误；歼 35A在ab段做曲线运动，速度方向改变，是变速运动，所受合力不为零，B正确，C错误；歼 35A在bc段做曲线运动，加速度方向与速度方向不在同一条直线上，D错误。
3．(物体所受合力、速度和运动轨迹的关系)(2025·江苏连云港市合格考模拟)如图所示，“福建舰”正在海面上进行转弯作业，下列选项分别画出了“福建舰”沿曲线由M向N转弯(俯视图)时所受合力F的方向，其中可能正确的是 (　　)
解析：选B。“福建舰”做的是曲线运动，受到的合力应该指向运动轨迹弯曲的内侧。
4．(物体所受合力、速度和运动轨迹的关系)如图所示，小钢球以初速度v0在光滑水平桌面上运动，由于受到磁铁的作用力而做图示的曲线运动到达B点。下面对磁铁所放的可能位置及小钢球运动性质说法正确的是 (　　)
A．放在位置A处，小钢球做非匀变速曲线运动
B．放在位置B处，小钢球做匀速圆周运动
C．放在位置C处，小钢球做匀变速曲线运动
D．放在位置D处，小钢球做非匀变速曲线运动
解析：选A。曲线运动的轨迹夹在速度方向与所受合外力方向之间，且合外力指向轨迹的凹侧面，由于小钢球受到磁场力的作用做曲线运动，而磁铁对小钢球是引力的作用，则磁铁可能放在位置A处，又小钢球离磁铁越近受到的磁场力越大，根据牛顿第二定律可知，小钢球做的是加速度逐渐变化的曲线运动，即小钢球做非匀变速曲线运动。第4节　研究平抛运动的规律
1．理解平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，知道其轨迹是抛物线。　2.通过运动的合成与分解分析平抛运动的规律。　3.能用平抛运动的规律解决相关问题。
平抛运动的理论探究
1．原理：在水平方向，由于惯性，物体将保持原来的速度做匀速直线运动；在竖直方向，物体受重力的作用，且竖直方向的初速度为零，因此物体在竖直方向上做自由落体运动。因此平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
2．设物体水平抛出时的初速度为v0，则经过时间t，它的位置坐标分别是x＝v0t，y＝gt2。它的两个分速度分别是vx＝v0，vy＝gt。
3．平抛运动的轨迹是一条抛物线。
判断下列说法是否正确。
(1)做平抛运动的物体只受重力，所以加速度保持不变。 (　　)
(2)只有沿竖直方向抛出的物体，才做匀变速运动。 (　　)
(3)水平抛出的物体，做变加速曲线运动。 (　　)
(4)平抛运动的初速度越大，物体下落得越快。 (　　)
(5)做平抛运动的物体，下落时间越长的速度越大。 (　　)
(6)做平抛运动的物体下落时，速度与水平方向的夹角越来越大。 (　　)
提示：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√
知识点一　平抛运动的性质和特点
如图所示，一人正练习投掷飞镖，如果不计空气阻力。
(1)飞镖投出后，受力情况怎样？其加速度的大小和方向是怎样的？
(2)飞镖的运动是匀变速运动，还是变加速运动？运动轨迹如何？
(3)为了研究问题方便，我们可以将平抛运动转化为哪两个方向的直线运动？
[提示]　 (1)因忽略空气阻力，飞镖投出后，只受重力作用，其加速度大小为g，方向竖直向下。
(2)飞镖运动过程中，加速度是不变的，所以飞镖的运动是匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。
(3)可将平抛运动转化为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
1．平抛运动的性质：加速度为g的匀变速曲线运动。
2．平抛运动的特点
(1)受力特点：只受重力作用，不受其他力或其他力忽略不计。
(2)运动特点
①加速度：自由落体加速度为g，大小、方向均不变，故平抛运动是匀变速运动。
②速度：大小、方向时刻在变化，平抛运动是变速运动。
(3)轨迹特点：运动轨迹是抛物线。
(4)速度变化特点：任意两个相等的时间间隔内速度的变化量相同，Δv＝gΔt，方向竖直向下，如图所示。
　在一个无风的下午，一个小孩子手拿小纸片放在嘴边，将小纸片水平吹出。已知此小孩的身高约为1.25 m，当g取10 m/s2时，下列说法正确的是 (　　)
A．小纸片做平抛运动
B．小纸片的下落时间可能为0.5 s
C．小纸片的下落时间可能为3 s
D．小纸片不可能竖直落地
[解析]　由于小纸片很轻，受空气阻力影响较大，则不会做平抛运动，若只受重力，则h＝gt2，解得t＝0.5 s，但由于存在空气阻力作用，则下落时间大于0.5 s，可能为3 s，同时由于空气阻力作用，水平方向速度可能减小为零，则可能竖直落地，只有C符合题意。
[答案]　C
　关于平抛运动，下列说法正确的是 (　　)
A．因为平抛运动的轨迹是曲线，所以平抛运动不可能是匀变速运动
B．平抛运动速度的大小与方向不断变化，因而相等时间内速度的变化量也是变化的，加速度也不断变化
C．平抛运动可以分解为水平方向上的匀速直线运动与竖直方向上的竖直下抛运动
D．平抛运动是加速度恒为g的匀变速曲线运动
[解析]　做平抛运动的物体只受重力，其加速度恒为g，故平抛运动为匀变速曲线运动，A错误，D正确；相等时间内速度的变化量Δv＝gΔt是相同的，B错误；平抛运动可分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，C错误。
[答案]　D
知识点二　平抛运动规律的应用
1．基本思路：研究曲线运动通常采用“化曲为直”的方法，即将平抛运动分解为竖直方向上的自由落体运动和水平方向上的匀速直线运动。
2．基本规律
项目 速度 位移
水平分运动 vx＝v0 x＝v0t
竖直分运动 vy＝gt y＝gt2
合运动 大小：v＝ eq \r(v＋(gt)2)方向：与水平方向夹角为θ，tan θ＝＝ 大小：s＝方向：与水平方向夹角为α，tan α＝＝
图示
3.两个推论
(1)平抛运动某一时刻速度与水平方向夹角为θ，位移与水平方向夹角为α，则tan θ＝2tan α。
证明：因为tan θ＝＝，tan α＝＝，所以tan θ＝2tan α。
(2)做平抛运动的物体在任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
证明：如图所示，P点速度的反向延长线交OB于A点。则 ＝v0t，＝＝gt2·＝v0t。
可见 ＝。
角度1　平抛运动规律的应用
　(2025·上海市期末)如图，飞机沿水平方向匀速飞行，每隔相同时间释放一包裹，一段时间后包裹在空中的位置关系应为 (　　)
[解析]　飞机沿水平方向做匀速直线运动，包裹做平抛运动，包裹水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，可知飞机与包裹在竖直方向始终位于同一条直线上，且在竖直方向上从上往下相邻包裹之间的间距逐渐增大，只有题图C符合要求。
[答案]　C
　(2025·江苏苏州市期末)一小球以初速度v0从空中某点水平抛出，落地时速度方向与水平地面的夹角θ＝60°。不计空气阻力，重力加速度为g。求：
(1)小球落地时竖直方向的分速度vy的大小；
(2)小球抛出点与落地点之间的水平距离x。
[解析]　(1)落地时速度方向与水平地面的夹角θ＝60°，则有tan θ＝，解得vy＝v0。
(2)竖直方向有vy＝gt，解得t＝
则小球抛出点与落地点之间的水平距离
x＝v0t＝ eq \f(\r(3)v,g)。
[答案]　(1)v0　(2) eq \f(\r(3)v,g)
　(2024·北京卷，T17)如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求：
(1)水从管口到水面的运动时间t；
(2)水从管口排出时的速度大小v0；
(3)管口单位时间内流出水的体积Q。
[解析]　(1)水在空中做平抛运动，由平抛运动规律得，竖直方向有h＝gt2
解得水从管口到水面的运动时间t＝。
(2)由平抛运动规律得，水平方向有d＝v0t
解得水从管口排出时的速度大小v0＝d。
(3)管口单位时间内流出水的体积
Q＝Sv0＝Sd。
[答案]　(1) 　(2)d　(3)Sd
角度2　类平抛运动
　(多选)如图所示，A、B两个质点以相同的水平速度v0抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1。B沿光滑斜面运动，落地点为P2。不计阻力，则从抛出点到落地点　 (　　)
A．A运动的时间长　 B．B运动的时间长
C．P1在x轴上较远 D．P2在x轴上较远
[解析]　A做平抛运动，运动的时间tA＝，B做类平抛运动，运动的时间tB＝，可知B运动的时间长，A错误，B正确；A水平位移xA＝v0，B水平位移xB＝v0，可知P2在x轴上较远，C错误，D正确。
[答案]　BD
综合一练　平抛运动和其他运动的追及相遇问题
　如图所示，在h＝500m的高空，以速度大小v1＝150 m/s水平飞行的轰炸机，正在追击一辆速度v2＝30 m/s 同向行驶的汽车，欲使飞机投下的炸弹击中汽车。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。
(1)飞机应在到汽车的水平距离多远处投弹？
(2)击中汽车时炸弹的速度v为多大(结果可保留根号)
[解析]　(1)炸弹在竖直方向做自由落体运动，有
h＝gt2
炸弹在水平方向上飞行的距离x1＝v1t
在此段时间内汽车向前行驶的距离x2＝v2t
飞机投弹时到汽车距离Δx＝x1－x2
解得Δx＝1 200 m。
(2)炸弹落到水平面时，竖直方向的速度vy＝gt
落到水平面时的速度大小v＝ eq \r(v＋v)
解得v＝50 m/s。
[答案]　(1)1 200 m　(2)50 m/s
1．(平抛运动规律的应用)(2024·湖北卷，T3)如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上，设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到 (　　)
A．荷叶a　 B．荷叶b
C．荷叶c　 D．荷叶d
解析：选C。青蛙做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，则有x＝vt，h＝gt2，可得v＝x，因此水平位移越小、竖直高度越大时初速度越小，因此它应跳到荷叶c上面。
2．(平抛运动规律的应用)(2025·云南卷，T3)如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则 (　　)
A．两颗鸟食同时抛出
B．在N点接到的鸟食后抛出
C．两颗鸟食平抛的初速度相同
D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大
解析：选D。鸟食做平抛运动，在竖直方向上，h＝gt2，hN>hM则tN>tM，因同时接到鸟食所以在N点接到的鸟食先抛出，A、B错误；在水平方向上，x＝v0t，在同一高度时，xOM′>xON′，故vMO>vNO，C错误，D正确。
3．(平抛运动和其他运动的追及相遇问题)(2025·辽宁辽阳市期末)辽阳市传统名点塔糖风味独特。一辆满载塔糖的货车以大小v0＝20 m/s的速度沿平直公路匀速行驶，遇紧急情况突然刹车，一塔糖(视为质点)从车顶沿货车前进的方向水平飞出并离开车顶。车顶距离地面的高度h＝2.45 m，塔糖落在货车前端的后方且落地点与停下的货车前端相距d＝12 m，货车刹车时的加速度大小恒为a＝8 m/s2，重力加速度大小g取10 m/s2，不计空气阻力，塔糖飞出后未与货车碰撞。求：
(1)塔糖在空中运动的时间t；
(2)塔糖刚飞出时到货车前端的水平距离x。
解析：(1)塔糖在竖直方向上做自由落体运动，有
h＝gt2，解得t＝0.7 s。
(2)货车刹车后，塔糖在水平方向上的位移大小
x1＝v0t，解得x1＝14 m
设货车刹车后做匀减速直线运动的位移大小为x2，有v＝2ax2，解得x2＝25 m
又x＝x1＋d－x2，解得x＝1 m。
答案：(1)0.7 s　(2)1 m第5节　斜抛运动(选学)
1．了解抛体运动的分类以及它们的运动规律。　2.通过运动的合成与分解知道斜抛运动的性质。
3．了解射程、射高等概念。
一、什么是斜抛运动
将物体以一定的初速度沿斜向抛出，不考虑空气的阻力，物体只在重力作用下所做的运动叫作斜抛运动。
二、斜抛运动的特点：斜抛运动的轨迹是一条抛物线。
三、斜抛运动的规律
1．在斜抛运动中，物体初速度方向与水平方向的夹角叫作抛射角，物体能达到的最大高度叫作射高，物体从抛出点落回同一高度的水平位移大小叫作射程。
2．当斜抛运动的抛射角一定时，随着初速度的增大，射高、射程均增大；当斜抛运动的初速度大小一定时，随着抛射角的增大，射高增大；当抛射角约为45°时，射程最大。
四、空气阻力对斜抛运动的影响
1．物体在空气中运动时，会受到空气阻力的作用。空气阻力对物体运动的影响有时可以忽略。但是，像子弹或炮弹等物体，由于其飞行速度很大，空气阻力对它们的运动就会产生很大的影响。
2．弹丸或抛射体在空气中运动的轨迹叫作弹道。
判断下列说法是否正确。
(1)斜抛运动和平抛运动在竖直方向上做的都是自由落体运动。 (　　)
(2)斜抛运动和平抛运动在水平方向上做的都是匀速直线运动。 (　　)
(3)斜抛运动和平抛运动的加速度相同。 (　　)
(4)斜上抛运动的物体到达最高点时，速度为零。 (　　)
提示：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
知识点一　斜抛运动的理解
体育运动中投掷链球、铅球、铁饼、标枪等运动(如图所示)，都可以看作是斜上抛运动。
以抛出的铅球为例：
(1)铅球离开手后，如不考虑空气阻力，其受力情况、速度有何特点？
(2)铅球在最高点的速度是零吗？
[提示]　(1)不考虑空气阻力，铅球在水平方向不受力，在竖直方向只受重力，加速度为g，其初速度不为零，方向斜向上方。
(2)不是。由于铅球在水平方向做匀速运动，所以铅球在最高点的速度等于水平方向的分速度。
斜抛运动的特点
(1)轨迹关于通过最高点的竖直线对称。
(2)同一高度速率相等。
(3)从某一点到最高点的时间与从最高点下降至该点同一高度处的时间相等。
　如图所示，在排球场上发球运动员将排球斜向上击出，排球运动一段时间后落至A点。已知排球在空中运动轨迹的最高点为O点，排球可视为质点，忽略空气阻力的影响。关于排球运动过程中速度方向和受力方向，下列图中正确的是 (　　)
[解析]　排球在空中做曲线运动，速度方向为轨迹的切线方向，A正确，B错误；排球在空中做曲线运动时，忽略空气阻力的影响，排球只受到重力作用，因此排球运动过程中受力方向始终竖直向下，C、D错误。
[答案]　A
　(2025·四川成都期末)如图所示为A、B两个小球从同一位置抛出的运动轨迹，它们上升的最大高度相同，但水平射程不同，不计空气阻力。下列说法正确的是 (　　)
A．A球在空中的运动时间比B球的短
B．A球的加速度比B球的大
C．经过最高点时A球的速度比B球的大
D．落地前瞬间A球的速度比B球的小
[解析]　不计空气阻力，两球都是只受重力，所以加速度相同，故B错误；两球运动的最大高度相同，加速度相同，故飞行时间相同，故A错误；由两条轨迹可以看出，B初速度大于A的初速度，在最高点竖直速度均为零，所以B在最高点的速度比A在最高点的速度大，故C错误；根据抛体运动的特点，两者落地的竖直方向速度大小相等，而A初速度小于B的初速度，可得，A在落地时的速度比B在落地时的速度小，故D正确。
[答案]　D
知识点二　斜抛运动的规律和分析方法
1．斜抛运动的规律
斜抛物体的运动轨迹如图所示。
(1)速度规律
水平速度：vx＝v0x＝v0cos θ
竖直速度：vy＝v0y－gt＝
v0sin θ－gt
t时刻的速度大小为v＝ eq \r(v＋v)。
(2)位移规律
水平位移：x＝v0xt＝v0t cos θ
竖直位移：y＝v0t sin θ－gt2
t时间内的位移大小为x合＝，与水平方向成α角，且tan α＝。
2．射高和射程
(1)斜抛运动的飞行时间：t＝＝。
(2)射高：h＝ eq \f(v0,2g)＝ eq \f(vsin2θ,2g)。
(3)射程：x＝v0t cosθ＝ eq \f(2vsin θcos θ,g)＝ eq \f(vsin 2θ,g)。
对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，xmax＝ eq \f(v,g)。
3．分析思路
一般抛体运动问题的处理方法和平抛运动的处理方法相同，都是将运动分解为两个方向的简单的直线运动，分别为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。
角度1　斜抛运动基本规律的应用
　从某高处以6 m/s的初速度、与水平方向成30°角斜向上抛出一石子，落地时石子的速度方向和水平线的夹角为60°，(忽略空气阻力，g取10 m/s2)求：
(1)石子在空中运动的时间；
(2)石子的水平位移大小；
(3)石子抛出后，相对于抛出点能到达的最大高度；
(4)抛出点离地面的高度。
[解析]　(1)如图所示
石子落地时的速度方向和水平线的夹角为60°，则
＝tan 60°＝
即vy＝vx＝v0cos 30°＝9 m/s
取竖直向上为正方向，落地时竖直方向的速度向下，则－vy＝v0sin 30°－gt
得t＝1.2 s。
(2)石子在水平方向上做匀速直线运动
x＝v0t cos 30°＝ m。
(3)当石子速度的竖直分量减为0时，到达最大高度处，则
v0y＝v0sin 30°＝3 m/s
由v＝2gh
得h＝0.45 m。
(4)抛出点离地面的高度
h1＝|v0t sin 30°－gt2|＝3.6 m。
[答案]　(1)1.2 s　(2) m　(3)0.45 m
(4)3.6 m
　(2025·山东临沂市期末)第十四届全国冬季运动会于2月17日在内蒙古开幕。跳台滑雪是其中的项目之一，滑雪大跳台的赛道主要由助滑道、起跳区、着陆坡、停止区组成，如图甲所示，图乙为简化后的跳台滑雪赛道示意图，AD段为助滑道，DB为起跳区，与水平面的夹角α＝30°，BC段为倾角θ＝30°的着陆坡。一运动员从助滑道的起点A由静止开始下滑，到达点B时，借助设备和技巧，以与水平方向成30°角(起跳角)的方向起跳，最后落在着陆坡面的C点。已知该运动员在B点的起跳速度为20 m/s，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。
(1)运动员离开着陆坡面的最大距离是多少？
(2)求运动员落到C点的速度大小。
[解析]　(1)运动员起跳时沿垂直于斜面方向的初速度
vy′＝v0cos 30°＝10 m/s
重力加速度在垂直于斜面方向的分加速度大小
g′＝g cos 30°＝5 m/s2
离斜面最远时，垂直于斜面方向的速度为零，则离斜面的最远距离
h＝＝10 m。
(2)运动到离斜面最远的时间
t′＝＝2 s
由于运动时间的对称性，则运动员落到C点的时间
t＝2t′＝4 s
运动员落到C点的水平方向速度大小
vx＝v0cos 30°＝10 m/s
运动员落到C点的竖直方向速度大小
vy1＝－vy＋gt＝30 m/s
运动员落到C点的速度大小
vC＝ eq \r(v＋v)＝20 m/s。
[答案]　(1)10 m　(2)20 m/s
角度2　空气阻力对斜抛运动的影响
　(多选)羽毛球是深受大众喜爱的体育运动。如图所示的是羽毛球飞行轨迹图，图中A、B为同一轨迹上等高的两点，P为该轨迹的最高点，则该羽毛球 (　　)
A．在A、B两点的速度大小相等
B．在AP上升阶段，羽毛球加速度的竖直分量大于重力加速度值
C．AP段的飞行时间小于PB段的飞行时间
D．整个飞行过程中经过P点时的速度最小
[解析]　由题可知，羽毛球在运动过程中受到空气阻力作用，且空气阻力做负功，所以机械能减小，所以A点速度大于B点的速度，故A错误；当羽毛球所受重力与阻力的合力方向与速度方向垂直时，羽毛球的速度最小，而在最高点P时，合力方向与速度夹角为钝角，说明羽毛球速度最小应该在P点之后，故D错误；由于存在空气阻力作用，AP段羽毛球处于上升阶段，其竖直向下的加速度大于重力加速度，而PB段羽毛球处于下降阶段，加速度的竖直分量小于重力加速度，故由于竖直方向的位移大小相等，所以AP段的飞行时间小于PB段的飞行时间，故B、C正确。
[答案]　BC
角度3　逆向思维法分析斜上抛运动
　如图所示，足球比赛中运动员将足球从地面上的A点踢出，足球在最高点以大小为
v0的速度垂直打在横梁上的C点，反向弹回瞬间的速度大小为，运动员再向前跑一段距离在B点正上方用头球破门。已知C点离地面的高度H＝2.45 m，A点与球门线间距离xA＝14 m，运动员顶球时球离地面的高度h＝1.65 m，重力加速度g取10 m/s2，足球受到空气的阻力忽略不计。求：
(1)足球运动至C点时的速度大小v0；
(2)A、B两点间的距离xAB。
[解析]　(1)足球从A点到C点可看成逆过程的平抛运动，则有
H＝gt2，xA＝v0t
联立解得足球运动至C点时的速度大小
v0＝20 m/s。
(2)足球从C点反弹后做平抛运动，竖直方向有
H－h＝gt′2
解得t′＝0.4 s
水平方向有xBC＝t′＝4 m
则A、B两点间的距离
xAB＝xA－xBC＝10 m。
[答案]　(1)20 m/s　(2)10 m
1．(斜抛运动的理解)(2025·河南洛阳市期末)如图是小球做斜抛运动的轨迹，C点是轨迹的最高点，A、B是轨迹上等高的两个点。下列说法正确的是(不计空气阻力) (　　)
A．该运动可以分解为水平方向的匀变速直线运动和竖直方向的匀速直线运动
B．小球在A点的速度与小球在B点的速度相同
C.整个运动过程中小球处于失重状态
D．小球从A到C的时间小于从C到B的时间
解析：选C。该运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动，故A错误；根据对称性可知，小球在A点的速度与小球在B点的速度大小相等，但方向不同，故B错误；整个运动过程中，小球的加速度为重力加速度，处于失重状态，故C正确；根据对称性可知，小球从A到C的时间等于从C到B的时间，故D错误。
2．(斜抛运动的基本规律)如图所示，滑板爱好者先后两次从坡道A点滑出做斜抛运动，两次腾空最大高度相同，分别落在B、C两点，A、B、C三点在同一水平面上，则 (　　)
A.两次滑出的速度方向相同
B．两次滑出的速度大小相同
C．两次到最高点时的速度相同
D．两次在空中经历的时间相同
解析：选D。设腾空时间为t，腾空的最大高度h＝g·＝gt2，得t＝2，因两次腾空最大高度相同，则两次在空中经历的时间相同，D正确；滑板爱好者先后两次从坡道A点滑出后做斜抛运动，水平方向上有x＝vxt，因分别落在B、C两点，有xB>xC，则从A点滑出做斜抛运动时水平方向的初速度vxB>vxC，最高点时，竖直方向的分速度为零，到最高点时速度等于水平方向的初速度，可知两次到最高点时速度不相同，C错误；两次从A点滑
出做斜抛运动时竖直方向的初速度vy＝g＝相同，因水平速度不同，则两次滑出的速度大小v＝ eq \r(v＋v)不同，B错误；设滑出的速度方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝，由水平速度不同，竖直速度相同可知两次滑出的速度方向不相同，A错误。
3．(斜抛运动的分析)“打水漂”是一种常见的娱乐活动，以一定的高度水平扔出的瓦片，会反复在水面上弹跳前进，假设瓦片和水面相撞后，在水平和竖直方向速度大小均减小，以下四幅图有可能是瓦片轨迹的是 (　　)
解析：选C。瓦片和水面相撞后，在水平方向，速度大小减小，而在竖直方向，碰撞后并不能原速弹回，而是速度变小，可知小球竖直上升的高度逐渐减小，根据t＝2，可知瓦片在空中的时间逐渐减小，水平方向有x＝vxt，可知瓦片在空中通过水平位移逐渐减小，C正确。(共27张PPT)
课后达标检测
1．某兴趣小组在“研究小球平抛运动”的实验中：
(1)在如图甲所示的演示实验中，当用不同的力向右敲打弹簧片时，发现A、B两球总是同时落地，这说明________(填标号)。
A.平抛运动的轨迹是一条抛物线
B．平抛运动的飞行时间与抛出速度有关
C．平抛运动在水平方向的分运动是匀速直线运动
D．平抛运动在竖直方向的分运动是自由落体运动
解析：A、B两球总是同时落地，说明在竖直方向小球B与自由下落的小球A同步，因此可以说明平抛的小球B在竖直方向做自由落体运动。
D
(2)如图乙，将两个相同的斜槽固定在同一竖直平面内，末端均水平，斜槽2与光滑水平板平滑衔接，将两个相同的小钢球从斜槽上相同高度处同时由静止释放，观察到两球在水平面内相遇，即使改变释放的高度，观察到两球仍在水平面内相遇，这说明__________(填标号)。
A．平抛运动是匀变速运动
B．平抛运动的飞行时间与高度无关
C．平抛运动在水平方向的分运动是匀速直线运动
D．平抛运动在竖直方向的分运动是自由落体运动
C
解析：将两个相同的小钢球从斜槽的同一高度同时由静止释放，到达轨道末端的速度相同，观察到两球在水平面内相遇，即使改变释放的高度，观察到两球仍在水平面内相遇，即在水平方向平抛的小球与在水平面匀速运动的小球同步，说明平抛运动在水平方向的分运动是匀速直线运动。
(3)该小组同学利用频闪照相机拍摄到小球做平抛运动的频闪照片如图丙所示，图中背景正方形小方格的实际边长L＝10.0 cm，a、b、c、d是小球运动过程中的四个位置，重力加速度大小g取10 m/s2，则由照片可得小球做平抛运动的初速度大小v0＝________m/s，小球经过b点时的速度大小为________m/s。
2
2.5
√
2．石老师在讲曲线运动时，做了“探究平抛运动的特点”实验。
(1)关于该实验下列说法正确的是________。
A．用折线连接描绘的点得到小球的运动轨迹
B．实验时应先确定x轴再确定y轴
C．斜槽轨道必须是光滑的
D．无需称出小球的质量
解析：为了减小误差，数据处理时，舍去偏差较大的点，用平滑的曲线连接描绘的点，得到小球的运动轨迹，故A错误；
根据斜槽末端的重垂线所确定的竖直方向，先确定y轴，再确定x轴，故B错误；
由于小球每次均从斜槽上同一位置由静止释放，则小球飞出斜槽末端的速度大小一定，可知，斜槽轨道的摩擦对实验没有影响，故C错误；
实验中通过描点确定平抛运动的轨迹，根据轨迹确定小球抛出的初速度，无需称出小球的质量，故D正确。
(2)小北在实验时得到如图所示的实验结果，图中的a、b、c、d为小球在平抛运动中的几个位置。相邻位置时间间隔相等，此时间间隔T＝________，该小球初速度大小为________。(已知图中每个小方格的边长为L，重力加速度为g)
3．某实验小组做“探究平抛运动的特点”实验。
(1)如图甲所示，用小锤击打弹性金属片，A球沿水平方向抛出，同时B球自由下落，通过________(选填“眼睛看”或“耳朵听”)方式比较它们落地时刻的先后更加合适。
解析：用小锤击打弹性金属片，A球沿水平方向抛出，同时B球自由下落，通过耳朵听方式比较它们落地时刻的先后更加合适。
耳朵听
(2)改变图甲整个装置高度H做同样的实验，发现位于同一高度的A、B两球总是同时落地。你认为“改变整个装置的高度H做同样的实验”这一步骤的物理意义在于________。
A．通过多次实验以减小实验误差
B．必要的步骤，否则不能得到相关的实验结论
C．此步骤可有可无，前面的过程已经能验证有关的实验结论
D．必要的步骤，更多的步骤可得到更多的结论
B
解析：改变题图甲整个装置高度H做同样的实验，发现位于同一高度的A、B两球总是同时落地。“改变整个装置的高度H做同样的实验”这一步骤是必要的步骤，否则不能得到相关的实验结论。
(3)某同学采用频闪摄影的方法拍摄到小球A做平抛运动的照片，如图乙所示，图中每个小方格的边长为L，分析可知，位置a________(选填“是”或“不是”)平抛运动的起点，小球运动到b点时的速度vb＝__________(用含有L和g的式子表示)。
是
4．用图1装置做“探究平抛运动特点”的实验时，用小锤击打弹性金属片，A球沿水平方向抛出，同时B球自由落下。某次实验，频闪照片记录两小球在不同时刻的位置如图2所示。
(1)为了减小空气阻力的影响，实验所用的小球应选小________(选填“钢”或“塑料”)球。
解析：为了减小空气阻力影响，小球应选用质量大、体积小的，即选用密度大的小球，可知，实验所用的小球应选小钢球。
(2)实验时，有以下两个步骤：a.用小锤击打弹性金属片，b.打开频闪仪。正确的操作顺序是________________(选填“先a后b”“先b后a”或“a和b同时”)。
解析：为了避免频闪照片记录区域上方出现大量的空白，实验时，应先打开频闪仪，再用小锤击打弹性金属片，即先b后a。
钢
先b后a
(3)利用图2，根据任意时刻A、B两球__________相同，可判断A球竖直方向做自由落体运动，根据___________________________，
可判断A球水平方向做匀速直线运动。
解析：B球做自由落体运动，利用题图2，根据任意时刻A、B两球竖直高度相同，可判断A球竖直方向做自由落体运动；根据A球相邻两位置水平距离相等，可判断A球水平方向做匀速直线运动。
(4)若实验所用小球直径为D，用刻度尺测得图2中小球直径为d，B球三个相邻时刻的竖直高度差分别为y1、y2，A球两个相邻时刻水平距离均为x，重力加速度为g。利用这些数据计算A球的平抛初速度为__________。
竖直高度
A球相邻两位置水平距离相等
5．某实验小组利用图(a)所示装置验证小球平抛运动的特点。实验时，先将斜槽固定在贴有复写纸和白纸的木板边缘，调节槽口水平并使木板竖直；把小球放在槽口处，用铅笔记下小球在槽口时球心在木板上的水平投影点O，建立平面xOy坐标系。然后从斜槽上固定的位置释放小球，小球落到挡板上并在白纸上留下印迹，上下调节挡板进行多次实验。实验结束后，测量各印迹中心点O1、O2、O3…的坐标，并填入表格中，计算对应的x2值。
项目 O1 O2 O3 O4 O5 O6
y/cm 2.95 6.52 9.27 13.20 16.61 19.90
x/cm 5.95 8.81 10.74 12.49 14.05 15.28
x2/cm2 35.4 77.6 115.3 156.0 197.4 233.5
(1)根据表中数据，在图(b)给出的坐标纸上补上O4数据点，并绘制“y－x2”图线。
解析：根据表中数据在坐标纸上描出O4数据点，并绘制“y－x2”图线如图所示。
答案：图见解析
(2)由y－x2图线可知，小球下落的高度y与水平距离的平方x2成________(选填“线性”或“非线性”)关系，由此判断小球下落的轨迹是抛物线。
解析：由y－x2图线为一条倾斜的直线可知，小球下落的高度y与水平距离的平方x2成线性关系。
线性
(3)由y－x2图线求得斜率k，小球平抛运动的初速度表达式为v0＝________(用斜率k和重力加速度g表示)。
(4)该实验得到的y－x2图线常不经过原点，可能的原因是
_______________________。
解析：y－x2图线是一条直线，但常不经过原点，说明实验中测量的y值偏大或偏小一个定值，这是小球的水平射出点未与O点重合，位于坐标原点O上方或下方所造成的。
水平射出点未与O点重合(共20张PPT)
课后达标检测
√
题组1　曲线运动的性质和特点
1．(多选)(2025·重庆市期末)关于曲线运动，下列说法正确的是 (　　)
A．曲线运动一定是变速运动
B．做曲线运动的物体速度可能不变
C．做曲线运动的物体受力一定变化
D．做曲线运动的物体加速度可能不变
解析：曲线运动的速度方向发生变化，根据速度的矢量性可知，一定是变速运动，故A正确，B错误；
做曲线运动的物体可能受到恒力作用，也可能受到变力作用，如果受到恒力作用则加速度不变，故C错误，D正确。
√
√
2．(2025·浙江省合格考)如图所示，篮球从运动员手中被投出后，沿着一条优美的曲线飞行。用箭头标注篮球经过图中a、b、c、d四点时的速度方向。速度方向标注正确的是 (　　)
A．a B．b
C．c D．d
解析：曲线运动某点的速度方向应为该点的切线方向。
√
质点做曲线运动，所受到的合力方向指向弯曲轨迹的内侧，但不能判断在a、b、c三点所受到的合力方向是否相同，故C错误；
质点做曲线运动，合力不可能为零，故D错误。
√
题组2　物体做曲线运动的条件
4．一个物体在相互垂直的两个恒力作用下由静止开始运动，经过一段时间后，突然撤去一个力，则物体的运动情况是 (　　)
A．物体做匀变速曲线运动
B．物体做变加速曲线运动
C．物体做匀速直线运动
D．物体沿另一个力方向做匀加速直线运动
解析：一个物体在相互垂直的恒力作用下运动，则合力恒定不变，故物体由静止开始沿两力的合力方向做匀加速直线运动。经过一段时间后，突然撤去一个力，则物体受力的方向变为剩余一个力方向，大小等于剩余一个力的大小。受力方向与此时的速度方向不共线，所以做曲线运动，因为此时所受合力的大小与方向不变，所以做匀变速曲线运动。
√
5．(2025·上海浦东新区期末)关于曲线运动，下列说法正确的是 (　　)
A．物体做曲线运动时，它的速度可能保持不变
B．物体只有受到一个方向不断改变的力的作用，才可能做曲线运动
C．做曲线运动的物体，所受合外力方向与速度方向肯定不在一条直线上
D．所受合外力方向与速度方向不在一条直线上的物体，肯定做变加速曲线运动
解析：物体做曲线运动时，它的速度方向时刻在改变，故A错误；
物体受恒力作用时仍然可以做曲线运动，故B错误；
做曲线运动的条件为物体所受合外力方向与速度方向不在一条直线上，故C正确；
所受合外力方向与速度方向不在一条直线上的物体，可能做匀变速曲线运动，故D错误。
√
题组3　物体所受合力、速度和运动轨迹的关系
6．如图所示为一玩具车在水平地面上的运动轨迹，从左向右的运动过程中玩具车的速度始终增加。玩具车在a点和b点所受合力的方向可能为(　　)
解析：小车做曲线运动，所受合外力指向曲线的凹侧，且小车沿轨道从左向右运动，速度一直增加，故合外力与运动方向的夹角为锐角。
√
7．某球员利用任意球破门，如图所示为足球的轨迹示意图。以下足球飞行经过P点时所受的合外力方向可能正确的是 (　　)

解析：当物体所受的合外力与运动方向不在同一条直线上时，物体做曲线运动，并且轨迹向合外力方向弯曲。
√
8．(2025·江苏扬州市合格考模拟)短道速滑运动员在弯道加速滑行时，其所受合力与速度方向示意图正确的是 (　　)
解析：物体做曲线运动时，某一点的速度方向在该点的曲线切线上，所受合力方向位于轨迹的凹侧，由于运动员在弯道加速滑行，所以此时合力方向与速度方向的夹角小于90°。
√
9．(2025·江苏盐城市合格考模拟)某质点从甲点沿如图所示的曲线运动到乙点，质点受力的大小为F。经过乙点后，若力的方向突然变为与原来相反的方向，则从乙开始运动的路径可能是沿 (　　)
A．乙甲 B．乙丙
C．乙丁 D．乙戊
解析：从甲点沿曲线运动到乙点，曲线是向右下弯曲的，由合力应该指向轨迹的内侧，改变F的方向之后就应该是指向轨迹外侧，物体的运动轨迹应该是向左上方弯曲，可能出现乙丙的轨迹。
√
10．图甲为“玉兔二号”巡视器在月球上从O处行走到B处的照片，图乙为其运动轨迹示意图，OA段是直线，AB段是曲线，则巡视器 (　　)
A．在AB段运动时所受的合外力不为零
B．在AB段运动时加速度为零
C．OA段与AB段的平均速度相同
D．从O到B的位移大小等于OAB轨迹长度
解析：巡视器在AB段做曲线运动，根据物体做曲线运动条件可知，巡视器所受的合外力不为零，加速度不为零，故A正确，B错误；
OA段与AB段的位移方向不同，所以OA段与AB段的平均速度不相同，故C错误；
从O到B的位移大小小于OAB轨迹长度，故D错误。
√
11．下面四个选项中的虚线均表示小鸟在竖直平面内沿曲线从左向右减速飞行的轨迹，小鸟在轨迹最低点时的速度v和空气对它的作用力F的方向可能正确的是(　　)
解析：根据曲线运动规律可知，速度方向沿曲线的切线方向，减速飞行说明重力和F的合力的方向指向运动轨迹的凹侧且与速度方向成钝角。
√
12．一个物体在水平面内拉力F作用下，沿着光滑水平面从A点运动到D点，其运动轨迹如虚线所示。下列说法正确的是 (　　)
A．AB段拉力F方向一定不变
B．BC段拉力F可能不为0
C．CD段拉力F与速度方向一致
D．全过程力F可能为恒力
解析：物体在AB段做曲线运动，拉力F方向可能不变，可能改变，故A错误；
物体在BC段做直线运动，若为变速运动，则拉力F不为0，故B正确；
物体在CD段做曲线运动，拉力F方向与速度方向不在同一直线上，故C错误；
物体在AB段拉力F方向指向曲线内侧，在BC段F方向与BC在同一直线上，在CD段拉力F方向指向曲线内侧，故拉力不可能为恒力，故D错误。
√
13．光滑水平面内，一质点在恒力作用下做曲线运动，轨迹如图中虚线所示，A、B为曲线上的两个点，则此恒力可能是图中的 (　　)
A．F1　　　　　　　 　 B．F2
C．F3 D．F4
解析：根据质点做曲线运动的条件可知，
质点在恒力作用下做曲线运动，恒力应在任何
位置均指向曲线弯曲的内侧，结合题图可知，此恒力可能是图中的F1。专题提升课1　运动合成与分解的两类模型
微专题一　“小船过河”模型
1．小船渡河模型
小船的实际运动是船随水流的运动(速度为v水)和船在静水中的运动(速度为v船)的合运动。船的航行方向是实际运动的方向，即合速度的方向。两个方向的运动情况相互独立、互不影响。
2．两类最值问题
(1)渡河时间最短问题
水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度。因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可。由图甲可知，t短＝，此时船渡河的位移x＝，位移方向满足tan θ＝。
(2)渡河位移最短问题
情况一：v水＜v船
最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝，船头与上游河岸夹角θ满足 v船cos θ＝v水，即cos θ＝，如图乙所示。
情况二：v水＞v船
合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。如图丙所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短。由图可知 sin α＝，最短航程为x＝＝d。此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且 cos θ′＝。
　一轮船的船头始终指向垂直于河岸的方向，并以一定的速度向对岸行驶，水匀速流动，则关于轮船通过的路程、渡河经历的时间与水流速度的关系，下列说法正确的是　 (　　)
A．水流速度越大，路程越长，时间越长
B．水流速度越大，路程越短，时间越短
C．渡河时间与水流速度无关
D．路程与水流速度无关
[解析]　因为船垂直于河岸方向的速度不变，即船速不变，设两侧河岸间距为d，则渡河时间t＝，而水流方向是垂直于这个方向的，在这个方向上没有分速度，所以不论水速多大，渡河时间不变；水速越大，则水流方向的位移x就越大，根据路程s＝可知，水流速度越大，路程越长。
[答案]　C
　(2025·上海市期末)如图，从河岸M驶向对岸N，已知船在静水中的速度v大于水速u，图中航程最短的是 (　　)
[解析]　由于船在静水中的速度v大于水速u，则当船的合速度方向垂直于河岸时，驶向正对岸的航程最短，此时船头斜向上游。
[答案]　B
　2024年9月27日“运河争辉”乌篷船马拉松邀请赛在浙江绍兴浙东运河越城区段举行。已知小船在静水中的速度为4 m/s，现让船渡过某条河，若此河的两岸是理想的平行线，河宽d＝200 m，水流速度为3 m/s，方向与河岸平行。
(1)欲使小船以最短时间渡河，最短时间是多少？小船的位移多大？
(2)欲使小船以最短位移渡河，渡河所用时间是多少？
(3)若河水因涨水导致水流速度变为6 m/s，小船在静水中的速度为4 m/s不变，此种情况下渡河最短位移及渡河时间分别为多少？
[解析]　(1)当船以静水中的速度垂直于河岸过河时，渡河时间最短，如图甲所示
最短时间tmin＝＝50 s
这时小船的合速度
v＝ eq \r(v＋v)＝5 m/s
此种情况下小船过河的位移
l＝vtmin＝250 m。
(2)船在静水的速度大于水流速度，那么最短位移为河宽，如图乙所示
这种情况下，小船的合速度
v′＝ eq \r(v－v)＝ m/s
＝ m/s
当过河位移最短时过河的时间
t′＝＝ s。
(3)若水流速度v水′＝6 m/s，则v船此种情况下过河如图丙所示
当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，大小
l′＝＝300 m
这种情况下，小船的合速度
v″＝ eq \r(v水′2－v)＝2 m/s
过河时间t″＝＝ s＝30 s。
[答案]　(1)50 s　250 m　(2) s　(3)300 m　30 s
微专题二　“速度关联”模型
1．“关联”模型
关联速度问题一般是指物拉绳(或杆)和绳(或杆)拉物问题。高中阶段研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长且不可压缩的，即绳或杆的长度不会改变。绳、杆等连接的两个物体在运动过程中，其速度通常是不一样的，但两个物体沿绳或杆方向的速度大小相等，我们称之为关联速度。
2．解题步骤
(1)先确定合运动，即物体的实际运动。
(2)确定合运动的两个实际作用效果，一是沿绳(或杆)方向的平动效果(改变速度的大小)；二是沿垂直于绳(或杆)方向的转动效果(改变速度的方向)。即将实际速度分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)方向的两个分量。
(3)按平行四边形定则进行分解，作出运动矢量图。
(4)根据沿绳(或杆)方向的速度相等列方程求解。
3．常见模型
模型1　绳牵连物体模型
　如图所示，一辆货车利用跨过定滑轮的缆绳提升一箱货物，货车匀速向左运动时，货物的速度 (　　)
A．逐渐减小　　　 　 B．逐渐增大
C．先减小后增大 D．先增大后减小
[解析]　将汽车的速度进行分解，分解为沿着绳方向的v∥和垂直于绳方向的v⊥，如图所示，可知货物的速度与车沿着绳方向的分速度大小始终相等，则有v货＝v∥＝v cos θ，随着汽车前进，θ角减小，cos θ增大，由此可知货物的速度逐渐增大。
[答案]　B
　(2025·湖南长沙市期中)如图所示，阻拦索绕过定滑轮与阻尼器连接，阻拦系统通过阻拦索对飞机施加一作用力，使飞机在模拟甲板上短距离滑行后停止，飞机挂钩与阻拦索间不滑动。若某一时刻两端阻拦索夹角是θ，飞机沿中线运动速度为v，则阻尼器中的阻拦索绳移动的速度大小是 (　　)
A．v绳＝ B．v绳＝
C．v绳＝v cos D．v绳＝v cos θ
[解析]　将飞机的速度分解为沿阻拦索方向的速度和垂直于阻拦索方向的速度，可知v绳＝v cos 。
[答案]　C
模型2　杆牵连物体模型
　如图所示，圆环与水平杆AB固定在同一竖直平面内，小球P、Q用小铰链(图中未画出)分别与轻杆两端相连，P沿圆环运动的同时Q可沿杆AB运动。若P沿环运动至最低点时的速度大小为v，此时轻杆与水平杆AB间的夹角为θ，Q的速度大小为 (　　)
A．v cos θ B．v
C． D．
[解析]　若P沿环运动至最低点时的速度大小为v，此时小球P的速度方向刚好处于水平方向，设小球Q的速度为vQ，两球沿轻杆方向的分速度相等，则有v cosθ＝vQ cos θ，解得Q的速度大小vQ＝v。
[答案]　B
　(2025·广西南宁市期中)如图所示，直杆一端可绕固定轴O无摩擦转动，另一端始终靠在物块B上，B的表面光滑，控制物块B使其由静止开始水平向左做a＝0.4 m/s2的匀加速直线运动，在t＝2 s时，直杆与竖直面的夹角θ＝37°，端点A的速度为(sin 37°＝0.6) (　　)
A．1.0 m/s B．0.8 m/s
C．0.64 m/s D．0.6 m/s
[解析]　根据题意可知，在t＝2 s时，B的速度大小v＝at＝0.8 m/s，端点A的速度分解如图所示，有vA＝＝1.0 m/s。
[答案]　A
1．(“小船过河”模型)两岸平行的河流，宽度为300 m，各处河水流速均为4 m/s。小船在静水中的速度为5 m/s，则 (　　)
A．若小船要以最短时间过河，则航程为300 m
B．若船头与上游河岸夹角合适，则过河所需的时间可能为55 s
C．若小船要以最短航程过河，则所需的时间为100 s
D．船头垂直于河岸过河时，如果途中河水流速突然增大，则过河时间将增大
解析：选C。船头垂直于河岸过河时，渡河时间最短，小船最短过河时间t1＝＝60 s＞55 s，故过河所需的时间不可能为55 s，此时航程l＝ eq \f(\r(v＋v),v船)d＝60 m，故A、B错误；由于船速大于水速，要航程最短，则需船的合速度垂直于河岸，此时过河所需时间t2＝ eq \f(d,\r(v－v))＝ s＝100 s，故C正确；船头垂直于河岸过河时，如果途中河水流速突然增大，由以上分析可知，过河时间不变，故D错误。
2．(“速度关联”模型)如图所示，汽车在岸上用轻绳拉船。若汽车行进速度为v，拉船的绳与水平方向夹角为，则船的速度为 (　　)
A．v　　　　　　　 B．v
C．v D．2v
解析：选D。根据速度的分解可得，此时船的速度v′＝＝2v。
3．(“速度关联”模型)如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，现用一支铅笔贴着细线的左侧水平向右以速度v0匀速移动，运动过程中保持铅笔的高度不变，悬挂橡皮的那段细线始终保持竖直。当细线与竖直方向夹角为θ＝30°时，橡皮的速度大小为 (　　)
A．v0　　　　　　 B．2v0
C．v0 D．
解析：选A。将铅笔与绳子接触的点的速度分解为沿绳方向和垂直于绳方向，如图所示，则沿绳子方向上的分速度v绳＝v0sin θ＝，则橡皮在竖直方向上的速度大小vy＝v绳＝，合速度大小v＝ eq \r(v＋v)＝v0，故A符合题意。
4．(“速度关联”模型)如图所示，一根长为L的直杆一端抵在墙角，一端倚靠在物块的光滑竖直侧壁上，物块向左以速度大小v运动时，直杆绕O点在竖直面内转动且始终与物块间有弹力。当直杆与水平方向的夹角为θ时，则 (　　)
A．A点速度大小也为v
B．A点速度大小与θ有关
C．A点速度方向与θ无关
D．A点速度方向与OA成θ角
解析：选B。直杆与物块接触点的实际运动即合运动为在A点垂直于杆指向左下方的运动，其速度沿水平方向上的速度分量等于v，即v＝vA sin θ，则vA＝。第2节　运动的合成与分解
1．理解合运动、分运动的概念，掌握运动的合成与分解的方法。　2.能利用运动的合成与分解的知识，判断合运动的轨迹和性质。　3.通过运动的合成与分解，初步体会把复杂运动分解为简单运动的物理思想。
一、矢量的合成与分解
1．方法：平行四边形定则是矢量合成与分解遵循的普遍法则。
2．力(运动)的合成与分解，既体现了矢量的运算法则，同时又反映了物理学研究问题的重要方法——等效替代。合成与分解本身也是研究物理问题的基本方法。
说明：等效替代是在保证某种效果(特性和关系)相同的前提下，将实际的、复杂的物理问题和物理过程转化为等效的、简单的、易于研究的物理问题和物理过程来研究和处理的方法。
等效替代既是科学家研究问题的方法，也是同学们在学习物理中常用的方法。
二、位移和速度的合成与分解
1．合运动与分运动：如果物体同时参与了几个运动，我们把这几个运动叫作分运动，实际的运动叫作合运动。
2．位移的合成与分解：已知分位移求合位移叫作位移的合成；已知合位移求分位移叫作位移的分解，它们都遵循平行四边形定则。
3．由于合运动与分运动对应的时间是相同的，而位移的合成与分解遵循平行四边形定则，那么，速度的合成与分解也必然遵循平行四边形定则，如图所示。同样的，加速度的合成与分解也必然遵循平行四边形定则。
4．运动的合成与分解：已知分运动求合运动，叫作运动的合成；已知合运动求分运动，叫作运动的分解。运动的合成与分解包括位移、速度和加速度的合成与分解。
三、运动合成与分解的应用
研究比较复杂的运动时，常常可以把一个运动分解成两个或几个比较简单的运动，从而使问
题变得容易解决。运动的合成与分解在生产、生活和科技中有广泛的应用。
判断下列说法是否正确。
(1)合速度就是两个分速度的代数和。 (　　)
(2)合速度不一定大于任一分速度。 (　　)
(3)合位移一定大于任意一个分位移。 (　　)
(4)运动的合成就是把两个分运动加起来。 (　　)
(5)运动的分解就是把一个运动分成两个完全相同的运动。 (　　)
提示：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×
知识点一　合运动与分运动
从你的铅笔盒里取一块橡皮，用一根细线拴住，把细线的另一端用图钉固定在竖直放置的木板上。按图中所示的方法，用铅笔靠着细线的左侧，沿直尺向右匀速移动，再向左移动，来回做几次，仔细观察橡皮的运动轨迹。结合实验现象说明：橡皮的实际运动与哪两个方向的运动有关？
[提示]　与水平方向和竖直方向的运动有关。
1．对合运动与分运动的理解
物体的实际运动就是合运动，实际运动的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度。
2．合运动与分运动的关系
(1)等效性：各分运动的共同效果与合运动的效果相同。
(2)等时性：各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同。
(3)独立性：各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响。
(4)同体性：各分运动与合运动是同一物体的运动。
　跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法正确的是 (　　)
A．水平风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．水平风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害
C.运动员下落时间与水平风力无关
D．运动员着地速度与水平风力无关
[解析]　运动员同时参与了两个分运动，竖直方向下落的运动和水平方向随风飘的运动，两个分运动同时发生，相互独立，水平方向的风力大小不影响竖直方向的运动，即落地时间不变，故A错误，C正确；不论风力大小，运动员竖直方向的分运动不变，则下落时间和竖直方向下落的速度不变，但水平风力越大，运动员水平方向的速度越大，则落地的合速度越大，故B、D错误。
[答案]　C
知识点二　运动的合成与分解
1．运动的合成与分解
(1)运动的合成：已知分运动求合运动的过程叫运动的合成。
(2)运动的分解：已知合运动求分运动的过程叫运动的分解。
(3)运动的合成与分解互为逆运算。
2．遵循的规律
位移、速度、加速度都是矢量，对它们进行合成与分解时可运用平行四边形定则或三角形定则。
(1)两分运动在同一直线上时，同向相加，反向相减。
(2)两分运动不在同一直线上，按照平行四边形定则进行合成或分解。
3．合运动的性质判断
(1)加速度(大小、方向)
(2)加速度(方向)与速度方向
4．互成角度的两个直线运动的合成
分运动 合运动 矢量图 条件
两个匀速直线运动 匀速直线运动 a＝0
一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 a与v成α角
两个初速度为零的匀加速直线运动 初速度为零的匀加速直线运动 v0＝0
两个初速度不为零的匀加速直线运动 匀变速直线运动 a与v方向相同
匀变速曲线运动 a与v成α角
角度1　运动的合成
　下雨时，某外卖员在平直的道路上以 4 m/s 的速度骑行，已知雨滴以3 m/s的速度竖直下落，则该外卖员感觉到雨滴的速度的大小和方向分别是 (　　)
A．3 m/s　竖直向下　 B．3 m/s　斜向下
C．5 m/s　竖直向下 D．5 m/s　斜向下
[解析]　外卖员感觉到雨滴的速度是雨滴相对于外卖员的速度，矢量图如图，由勾股定理可知，雨滴相对于外卖员的速度大小v雨对人＝ ＝5 m/s，方向斜向下，故A、B、C错误，D正确。
[答案]　D
　如图，一质点在恒力作用下经过时间t从a点运动到b点，速度大小由v0变为2v0，速度方向偏转60°角，则质点的加速度大小为 (　　)
A.　　　　　　 B．
C． D．
[解析]　根据矢量运算规则，利用三角形定则如图所示，可得速度的变化量Δv＝ eq \r((2v0)2－v)＝v0，则质点的加速度大小a＝＝，故C符合题意。
[答案]　C
角度2　运动的分解
　如图，商场内某顾客站在自动扶梯上随扶梯一起上行，扶梯与水平面夹角为30°，速度大小为1 m/s，将速度沿水平和竖直方向分解，则顾客在竖直方向的分速度大小为 (　　)
A．0.5 m/s B．0.6 m/s
C． m/s D．0.8 m/s
[解析]　根据几何关系可知＝sin 30°，解得vy＝vsin 30°＝0.5 m/s。
[答案]　A
角度3　合运动的判断
　现代化教学手段进入课堂后，教室里安装的黑板可以左右移动，杜老师用粉笔在黑板上竖直向下画一条直线，同时黑板以某一速度水平匀速移动，在黑板上所画抛物线轨迹如图所示。关于黑板的移动方向和粉笔在黑板上竖直方向的运动，下列判断正确的是 (　　)
A．黑板向左移动，粉笔向上匀加速运动
B．黑板向左移动，粉笔向下匀加速运动
C．黑板向右移动，粉笔向上匀加速运动
D．黑板向右移动，粉笔向下匀加速运动
[解析]　合运动轨迹为抛物线，说明合运动是由水平方向的匀速运动和竖直方向的匀加速直线运动合成的结果。抛物线是向下开口的，这表明粉笔在竖直方向上做向下的匀加速运动。水平方向速度向右，故黑板向左移动，粉笔获得相对黑板向右的水平分速度，故B符合题意。
[答案]　B
知识点三　运动的合成与分解的综合问题
　(多选)某质点在Oxy平面内运动。t＝0时刻，质点位于x轴上。它在x轴方向上运动的位移—时间图像如图甲所示，它在y轴方向上运动的速度—时间图像如图乙所示。下列说法正确的是 (　　)
A．质点的运动轨迹为曲线
B．t＝1 s时质点的速度大小为5 m/s
C．t＝1 s时质点的速度方向与x轴正向的夹角为45°
D．t＝1 s时质点的位置坐标为(9 m，6 m)
[解析]　由题图可知，在2 s内，质点沿x轴正方向以3 m/s的速度做匀速直线运动，沿y轴方向以 2 m/s 的初速度、1 m/s2的加速度做匀加速直线运动，由运动的合成知识可知，质点做匀变速曲线运动，A正确；t＝1 s时，质点在y轴方向的速度vy＝v0＋at＝2 m/s＋1×1 m/s＝3 m/s，则t＝1 s时质点的速度大小v＝ eq \r(v＋v)＝ m/s＝3 m/s，B错误；设质点的速度方向与x轴正向的夹角为θ，且满足tan θ＝＝1，则t＝1 s时质点的速度方向与x轴正向的夹角θ＝45°，C正确；t＝1 s时，质点在x轴上的位置x＝9 m，质点在y轴上的分位移y＝t＝×1 m＝2.5 m，所以，t＝1 s时质点的位置坐标为(9 m，2.5 m)，D错误。
[答案]　AC
　(2025·河南洛阳市期末)一质点在直角坐标系xOy所在平面内由O点开始运动，其沿坐标轴方向的两个分速度随时间变化如图所示，则 (　　)
A．3 s末质点速度的大小为7 m/s
B．前3 s内质点做匀变速直线运动，加速度大小为1 m/s2
C．3 s到4 s内质点做匀变速曲线运动，加速度大小为5 m/s2
D．3 s到4 s内质点的位移大小为7.5 m
[解析]　3 s末质点x轴方向和y轴方向的分速度分别为3 m/s、4 m/s，根据矢量的合成可知v＝ eq \r(v＋v)＝5 m/s，故A错误；初始质点y轴方向有速度，x轴方向有加速度，二者不共线，则质点做匀变速曲线运动，加速度a＝＝1 m/s2，故B错误；3 s到4 s内质点x轴和y轴方向的加速度分别为ax＝＝3 m/s2，ay＝＝4 m/s2，合加速度a′＝ eq \r(a＋a)＝5 m/s2，与x轴方向的夹角tan θ＝＝，3 s末，速度与x轴方向夹角tan α＝＝，可知3 s到4 s内质点做匀变速直线运动，加速度大小为5 m/s2，故C错误；3 s末质点的速度为5 m/s，加速度为5 m/s2，做匀变速直线运动，则3 s到4 s质点的位移大小x＝vt＋a′t2＝7.5 m，故D正确。
[答案]　D
1．(合运动与分运动)(多选)关于运动的合成，下列说法正确的是 (　　)
A．合运动的速度一定比每一个分运动的速度都大
B．两个速度不同的匀速直线运动的合运动一定是直线运动
C．各分运动的共同效果与合运动的效果不一定相同
D．两个分运动的时间，一定与它们的合运动的时间相等
解析：选BD。运动的合成是位移、速度、加速度等矢量的合成，但合矢量的大小不一定大于分矢量，A错误；两个速度不同的匀速直线运动的加速度都为零，故合运动的加速度一定也为零，但合运动的速度不为零，故合运动一定是匀速直线运动，B正确；由合运动与分运动的等效性知，C错误；由合运动与分运动的等时性知，D正确。
2．(两个直线运动的合运动性质)下列说法正确的是 (　　)
A．做曲线运动物体的加速度可能为零
B．做曲线运动物体的加速度可能恒定不变
C.不在同一直线上的两个匀速直线运动的合运动可能是曲线运动
D．不在同一直线上的两个匀加速直线运动的合运动一定是曲线运动
解析：选B。做曲线运动物体的速度一定发生变化，则物体的加速度不可能为零，但加速度可能是恒定不变的，故A错误，B正确。不在同一直线上的两个匀速直线运动的合运动一定是直线运动，故C错误。当两个匀变速直线运动的合加速度与合初速度的方向在同一直线上时，物体做直线运动；当两个匀变速直线运动的合加速度与合初速度的方向不在同一直线上时，物体做曲线运动，故D错误。
3．(运动的合成与分解)(2025·辽宁辽阳市期末)如图所示，在浩瀚的大海上，帆板在海面上以大小为v的速度朝正东方向航行，帆船以大小为v的速度朝正北方向航行。若以帆船为参考系，则下列说法正确的是 (　　)
A．帆板朝正南方向航行，速度大小为v
B．帆板朝正东方向航行，速度大小为v
C.帆板朝南偏东30°方向航行，速度大小为2v
D．帆板朝北偏东30°方向航行，速度大小为2v
解析：选C。以帆船为参考系，帆板具有向东的速度v和向南的速度v，二者的合速度v合＝＝2v，tan α＝＝，所以α＝30°，即速度方向为南偏东30°。
4．(运动的合成与分解)(多选)如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体R(R视为质点)。将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，R从坐标原点O以速度v0＝3 cm/s 匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动。测出某时刻R的坐标为(4 cm，6 cm)，则此时 (　　)
A．R的加速度大小为2 cm/s2
B．R的加速度大小为4 cm/s2
C．R的速度大小为4 cm/s
D．R的速度大小为5 cm/s
解析：选AD。y轴方向上，R做匀速直线运动，x轴方向上，R做初速度为零的匀加速直线运动，则y＝v0t＝6 cm，x＝at2＝4 cm，解得t＝2 s，a＝2 cm/s2，故A正确，B错误；x轴方向上，R的速度大小vx＝at＝4 cm/s，R的速度大小v＝ eq \r(v＋v)＝5 cm/s，故C错误，D正确。(共24张PPT)
课后达标检测
√
1．(2024·江苏卷，T4)喷泉a、b形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b的 (　　)
A．加速度相同
B．初速度相同
C．最高点的速度相同
D．在空中的时间相同
解析：不计空气阻力，喷泉喷出的水在空中只受重力，加速度均为重力加速度，故A正确；
√
2．如图所示，将一小球从水平地面以不同角度、相同大小的初速度v0抛出，不计空气阻力，则从抛出到落地的过程中，小球的初速度方向与地面间夹角较大时 (　　)
A.水平射程一定较大
B．落地速度一定较大
C．在空中运动时间一定较长
D．在相同时间内速度变化量一定较大
小球做斜抛运动，加速度为重力加速度，所以小球的初速度方向与地面间夹角较大时，在相同时间内速度变化量不变，故D错误。
√
3．(2025·江苏无锡市期末)如图所示，跳远可拆分为助跑、起跳、腾空、落地这四个过程，以下说法正确的是 (　　)
A．助跑过程中，地面对人产生滑动摩擦力作用，使运动员加速向前运动
B．起跳时，运动员对地面的压力大于重力
C．腾空上升阶段，运动员处于超重状态
D．腾空到最高点，运动员的速度为零
解析：在助跑过程中，地面给人脚静摩擦力作用，使运动员加速向前运动，故A错误；
在起跳时，运动员具有向上的加速度，地面对运动员的支持力大于重力，根据牛顿第三定律可知运动员对地面的压力大于重力，故B正确；
在腾空上升阶段，运动员只受重力作用，具有向下的加速度，运动员处于失重状态，故C错误；
运动员腾空做斜抛运动，所以在腾空的最高点，竖直方向速度为零，但水平速度不为零，故D错误。
√
4．(2025·河南南阳市期中)如图，小明分别在篮筐正前方的a、b位置投掷篮球，出手时篮球的高度相同，最终都垂直击中篮筐上的同一点。不考虑篮球旋转且不计空气阻力，下列说法正确的是 (　　)
A.在a处投掷时，篮球从出手到击中篮筐的时间更长
B．在b处投掷时，篮球击中篮筐的速度更大
C．在a处和b处篮球出手时的速率相比，b处的出手速率大
D．在a处和b处篮球出手后到垂直击中篮筐的过程中，
篮球的速度变化率相同
解析：由逆向思维可知，篮球从篮筐到a或b做平抛运动，由于出手时篮球的高度相同，所以无论篮球在a处投掷还是在b处投掷，篮球从出手到击中篮筐的时间相等，根据加速度的定义可知，在a处和b处篮球出手后到垂直击中篮筐的过程中，篮球的速度变化率相同，故A错误，D正确；
篮球在a处投掷运动的水平位移大于在b处投掷运动的水平位移，水平方向篮球做匀速直线运动，则x＝vt，由于篮球运动时间相同，所以vxa>vxb，篮球击中篮筐时的速度为水平方向的出手速度，所以在a处投掷时，篮球击中篮筐的速度更大，故B、C错误。
√
5．(多选)(2024·江西卷，T8)一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处。如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为v0，末速度v沿x轴正方向。在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度vx和竖直方向分速度vy与时间t的关系，下列图像可能正确的是 (　　)
√
解析：小鱼在运动过程中只受重力作用，则小鱼在水平方向上做匀速直线运动，即vx为定值，则有水平位移x＝vxt，故A正确，C错误；
√
√
√
7．在自由式滑雪比赛中，图甲是运动员从3 m高跳台斜向上冲出的运动示意图，图乙是运动员在空中运动时离跳台底部所在水平面的高度y随时间t变化的图线，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力且运动员可视为质点，则运动员 (　　)
A．在空中相同时间内的位移相等
B．在空中相同时间内的速度变化量相等
C．冲出跳台的速度大小为14 m/s
D．在空中运动的时间为2.8 s
解析：运动员在空中做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，在空中相同时间内的水平位移相等，竖直位移不相等，所以在空中相同时间内的位移不相等，故A错误；
根据Δv＝gt，可知在空中相同时间内的速度变化量相等，故B正确；
√
8．如图所示，A、B两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，落入篮筐时的速度方向相同，下列判断正确的是 (　　)
A．A比B先落入篮筐
B．A、B运动的最大高度相同
C．A在最高点的速度比B在最高点的速度小
D．A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同
解析：若研究两个过程的逆过程，可看作篮球从篮筐沿同方向斜向上的斜抛运动，落到同一高度上的A、B两点，则A上升的高度较大，高度决定时间，可知A运动时间较长，即B先落入篮筐中，A、B错误；
因为两球抛射角相同，A的射程较远，则A球的水平速度较大，即A在最高点的速度比B在最高点的速度大，C错误；
由斜抛运动的对称性可知，当A、B上升到与篮筐相同高度时的速度方向相同，D正确。
√
9．(多选)(2025·湖南永州市期末)如图甲所示的是农场扬场机分离谷物示意图。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。不计空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是 (　　)
A．谷粒1和谷粒2在水平方向都做匀速直线运动
B．谷粒1和谷粒2在竖直方向都做自由落体运动
C．谷粒2从O到P的运动时间大于谷粒1从O到P的运动时间
D．谷粒2从O到P的运动时间等于谷粒1从O到P的运动时间
√
解析：谷粒1做平抛运动，谷粒2做斜抛运动，故谷粒1和谷粒2在水平方向都做匀速直线运动，故A正确；
10．(12分)(2025·重庆市期末)限重空投项目是飞行器设计创新大赛中最精彩的，也是难度最大的。某次空投沙袋时飞行器速度与水平面的仰角θ＝30°，离地高度h＝15 m，速度v0＝20 m/s。沙袋相对于飞行器无初速度释放，忽略空气阻力对沙袋的影响，g取10 m/s2。求：
(1)沙袋离地面最大高度H；(4分)
答案：20 m　
(2)沙袋落地点到释放点的水平距离L。(4分)
(3)沙袋落地时的速度大小。(4分)第3节　探究平抛运动的特点
一、什么是平抛运动？
定义：物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气的阻力，物体只在重力作用下所做的运动，叫作平抛运动。
二、描绘平抛运动的轨迹
1．实验仪器：定位板、轨道、记录面板、重垂线、接球挡板、调平螺丝。
2．实验操作
(1)如图所示，将实验仪器置于桌面，调节调平螺丝，观察重垂线，使面板处于竖直平面内，卡好定位板。装好平抛轨道，使轨道的抛射端处于水平位置。
(2)在描迹记录纸后衬垫一张复写纸或打字蜡纸，并用压纸板将它们紧贴固定在面板上。使横坐标x轴在水平方向上，纵坐标y轴沿竖直方向向下，并注意使坐标原点的位置在平抛物体(钢球)的中心离开轨道处。
(3)把接球挡板置于最上方一格。
(4)将定位板在某一位置固定好。钢球紧靠定位板释放，球沿轨道向下运动，以一定的初速度由轨道的平直部分水平抛出。下落的钢球打在接球挡板上，由于挡板平面向记录面板倾斜，小球将挤压记录纸，留下一个迹点。
(5)将接球挡板向下移动一格，重复上述操作方法，得到第二个印迹点，如此继续下移接球挡板，直至最低点，即可得到平抛的钢球下落时的一系列迹点。
(6)改变定位板的位置，即可改变钢球平抛的初速度，重复上述实验操作步骤，便可获得另一系列迹点。
3．描绘平抛运动的轨迹
取下记录纸，将各次实验所记录的点分别用平滑曲线连接起来，即可得到以不同的初速度做平抛运动的小钢球的轨迹图线，如图所示。
4．注意事项
(1)实验中必须调整轨道末端水平，以使小球离开斜槽后做平抛运动。
(2)记录面板必须处在竖直面内，与小球运动轨迹所在的竖直面平行，使小球靠近记录纸但不接触。
(3)小球每次必须从斜槽上同一位置滚下。
(4)坐标原点不是轨道的末端，而是小球的中心离开轨道处。
(5)若用白纸作为记录纸，可事先用铅笔在纸上画出x轴和y轴两条坐标轴。
5．其他方案喷水法　如图所示，倒置的饮料瓶内装着水，瓶塞内插着两根两端开口的细管，其中一根弯成水平，且水平端加接一根更细的硬管作为喷嘴。水从喷嘴中射出，在空中形成弯曲的细水柱，它显示了平抛运动的轨迹，可在装置一侧竖直放置一玻璃板，将平抛运动的轨迹描在玻璃板上。
三、平抛运动的实验研究
1．竖直方向的分运动
如图所示的仪器称为平抛竖落仪。把它固定在铁架台上，B球被弹片夹住，A球放在弹片右边的水平平台上，两球处于同一高度。用小锤击打弹片，A球沿水平方向抛出，同时B球被释放，做自由落体运动。
保持仪器的高度不变，而改变打击弹片的力度，就是改变小球A抛出时的初速度。比较各次实验结果，可发现各次都与做自由落体运动的小球B同时落地，但各次A球落地点的距离远近不同，这说明平抛物体抛出时的水平初速度的大小不影响在空中运动的时间，只影响水平分运动的位移。
改变仪器离地的高度，再多次重复上面的实验，A、B两球仍然是同时落地，这说明做平抛运动的物体沿竖直方向的分运动与自由落体运动相同。
2．水平方向的分运动
截取钢珠做平抛运动的部分图像，如图(a)所示。以抛出点为原点，以抛出时初速度方向为x轴正方向，以竖直向下为y轴正方向建立平面直角坐标系，如图(b)所示。
　　　
在图(b)的直角坐标系中，我们把小球各位置的x坐标和y坐标都标示出来，分别为x1、x2、x3、x4、x5及y1、y2、y3、y4、y5，它们分别是做平抛运动的小球的两个分运动各个时刻已发生位移的数值。测量沿x方向各段相等时间间隔内的位移值，发现Ox1＝x1x2＝x2x3＝x3x4＝x4x5，可以认为沿x方向的分运动
是匀速运动；测量沿y方向各段相等时间间隔内的位移值，发现Oy1∶y1y2∶y2y3∶y3y4∶y4y5≈1∶3∶5∶7∶9，可以认为沿y方向的分运动是初速度为零的匀加速直线运动。
四、计算平抛运动的初速度
1．平抛轨迹完整(即含有抛出点)
在轨迹上任取一点，测出该点离原点的水平位移x及竖直位移y，就可求出初速度v0。
因x＝v0t，y＝gt2，故v0＝x 。
2．平抛轨迹残缺(即无抛出点)
在轨迹上任取三点A、B、C(如图所示)，使A、B间及B、C间的水平距离相等，由平抛运动的规律可知A、B间与B、C间所用时间相等，设为t，则Δh＝hBC－hAB＝gt2，所以t＝，所以初速度v0＝＝x 。
题型一　教材原型实验
角度1　用平抛竖落仪研究平抛运动
　某学习小组做探究平抛运动规律的实验。
(1)在图甲中用小锤敲击弹性金属片，观察到a、b两个小球同时落地，则说明平抛运动在竖直方向上做____________运动。
(2)在图乙中将相同的两个小铁球P、Q分别吸在电磁铁C、D上，切断电源，P、Q同时沿着相同的斜槽滚下，观察到P、Q两个小球撞在一起，则说明做平抛运动的小铁球在水平方向上做____________运动。
(3)利用频闪相机拍摄图甲中a小球运动过程，经处理后得到如图丙所示的点迹图像。图中O为坐标原点，B点在两坐标线交点，坐标xB＝40 cm，yB＝20 cm，A、C点均在坐标线的中点。重力加速度g取10 m/s2，则平抛小球在B点处的瞬时速度大小vB＝________m/s(结果保留根式)。
[解析]　(1)由于任意高度，做平抛运动和自由落体运动的两个小球都会同时落地，说明平抛运动在竖直方向上做自由落体运动。
(2)在题图乙中同时断电后P、Q两个小球同时沿着斜槽滚下，观察到P、Q两个小球撞在一起，则说明做平抛运动的小铁球在水平方向上做匀速直线运动。
(3)根据题图丙中的几何关系可知，A点的纵坐标为5 cm，B点的纵坐标为20 cm，C点的纵坐标为45 cm
因此A、B的竖直距离yAB＝15 cm＝0.15 m
B、C之间的竖直距离yBC＝25 cm＝0.25 m
则竖直方向上，由运动学公式可知yBC－yAB＝gT2
在水平方向上v0＝
竖直方向上vBy＝
则vB＝ eq \r(v＋v)，解得vB＝2 m/s。
[答案]　(1)自由落体　(2)匀速直线　(3)2
角度2　用描迹法研究平抛运动
　用如图甲所示装置研究平拋运动。将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直硬板上，钢球沿斜槽轨道PQ滑下后从Q点飞出，落在水平挡板MN上，钢球侧面会在白纸上挤压出一个痕迹点，移动挡板，从同一位置重新释放钢球，如此重复，白纸上将留下一系列痕迹点，即可描出钢球做平抛运动的轨迹，进而研究平抛运动的规律。
根据实验原理，回答以下问题：
(1)实验前，应将小球放在斜槽末端，根据小球的运动情况，调节支脚螺丝，使斜槽末端________。
(2)该实验中，在取下白纸前，应确定坐标原点O的位置，并建立直角坐标系，下列图像中坐标原点和坐标系的建立正确的是________。
(3)该实验中，将白纸换成方格纸，每个小方格边长L＝5 cm。实验记录了小球在运动中的3个点迹，如图乙所示，则小球在B点的速度大小是__________m/s(重力加速度g取10 m/s2，结果保留2位有效数字)。
[解析]　(1)实验前，应将小球放在斜槽末端，根据小球的运动情况，调节支脚螺丝，使斜槽末端水平。
(2)该实验中坐标原点O的位置，应该是小球在斜槽末端时球心的投影点，y轴用重垂线来确定，故C正确，A、B错误。
(3)相邻两点间的时间间隔
T＝＝＝ s＝0.1 s
B点的竖直速度vy＝＝ m/s＝1.5 m/s
水平速度v0＝＝ m/s＝2 m/s
则B点的速度vB＝ eq \r(v＋v)＝2.5 m/s。
[答案]　(1)水平　(2)C　(3)2.5
角度3　用频闪照相法研究平抛运动
　用频闪照相技术拍下的两小球运动的频闪照片如图所示，拍摄时，光源的闪光频率为10 Hz，a球从A点水平抛出的同时，b球自B点开始下落，背景的小方格为相同的正方形。重力加速度g取10 m/s2，不计阻力。
(1)根据照片显示的信息，下列说法正确的是________。
A．只能确定b球的运动是自由落体运动
B．不能确定a球沿竖直方向的运动是自由落体运动
C．只能确定a球沿水平方向的运动是匀速直线运动
D．可以确定a球在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动
(2)根据照片信息可求出a球的水平速度大小为________m/s；当a球与b球运动了________s时，它们之间的距离最小。
[解析]　(1)因为相邻两点间的时间间隔相等，水平位移相等，知a球在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上的运动规律与b球运动规律相同，知竖直方向上a球做自由落体运动，故D正确，A、B、C错误。
(2)设小方格的边长为L，根据Δy＝gT2＝10×0.01 m＝0.1 m，可知2L＝0.1 m，则平抛运动的初速度v0＝＝ m/s＝1 m/s。因为两球在竖直方向上都做自由落体运动，所以竖直方向位移之差恒定，当小球a运动到与b在同一竖直线上时，距离最短，则t＝＝ s＝0.2 s。
[答案]　(1)D　(2)1　0.2
题型二　教材实验创新
　如图所示，小明利用家中物品制作了一个研究平抛运动规律的装置。在水平桌面上用硬练习本做成一个斜面，使小钢球从斜面上某一位置滚下，钢球沿桌面飞出后做平抛运动。实验步骤如下：
a．将贴好白纸的案板竖直放置于P处；
b．将小钢球沾上墨水后由静止释放，小球飞出后碰到案板并在白纸上留下痕迹B；
c．将案板从P处靠近书桌平移0.1 m，重复步骤b，留下痕迹A；
d．将案板从P处远离书桌平移0.1 m，重复步骤b，留下痕迹C；
e．用刻度尺量出A、B、C三点的距离hAB＝0.15 m，hBC＝0.25 m，通过以上数据即可粗略求出小球离开书桌时初速度的大小。重力加速度g取10 m/s2，回答下列问题：
(1)关于实验操作，下列说法正确的是________。
A．书桌要调整水平
B．小球每次都从同一位置由静止释放
C．必须用秒表记录时间
D．案板可以不竖直放置
(2)根据实验数据，可得小球离开桌面时初速度的大小v0＝________m/s。
(3)若因为操作不当，把案板从P处靠近书桌平移0.1 m后，案板没有竖直，向右倾斜一较小角度，其他操作无误，则求出的离开桌面时初速度比实际值________(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。
[解析]　(1)要保证小球做平抛运动，书桌要调整水平，A正确；由于要记录小球的运动轨迹，必须重复多次，才能画出几个点，因此为了保证每次平抛的轨迹相同，所以要求小球每次从同一高度释放，B正确；本实验测量小球轨迹即可，无需测量时间，C错误；案板必须竖直放置，以防止打到案板上的点之间的水平位移不同， D错误。
(2)根据竖直方向做自由落体运动，有Δh＝gT2
可得T＝ ＝0.1 s
水平方向做匀速直线运动v0＝＝1.0 m/s。
(3)案板没有竖直，向右倾斜一较小角度，则测得的hAB比实际距离小，则得到的时间T偏大，根据v0＝可知，计算的初速度偏小。
[答案]　(1)AB　(2)1.0　(3)偏小
　(2025·山东济南市期末)某实验小组利用图甲所示装置测量小球在离开水平桌面边缘O点时做平抛运动的初速度。在地面上沿抛出的速度方向水平放置一把刻度尺，让悬挂在抛出点O处的重锤的投影恰好落在刻度尺的零刻度线上，利用小球在刻度尺上的落点位置，就可以直观地得到小球做平抛运动的初速度，并可以制成图乙所示的速度标尺(图中P点为重锤的投影位置)。
(1)由标尺信息可知，小球在空中的飞行时间为__________。
(2)桌面离地面的高度________m(重力加速度g取9.8 m/s2)(保留3位有效数字)。
(3)关于该速度标尺，下列说法正确的是________。
A．增大桌面离地面高度，速度刻度的间距将变大
B．增大桌面离地面高度，速度刻度的间距将变小
C.增大桌面上倾斜轨道的倾角，速度刻度的间距将变大
D．增大桌面上倾斜轨道的倾角，速度刻度的间距将变小
[解析]　(1)由标尺信息可知，小球在空中的飞行时间t＝＝0.5 s。
(2)桌面离地面的高度h＝gt2≈1.23 m。
(3)增大桌面离地面高度，则运动时间增加，根据x＝v0t可知，速度刻度的间距将变大，A正确，B错误；增大桌面上倾斜轨道的倾角，因小球释放的位置不确定，则小球到达斜槽底端时的速度不一定变大，也不一定减小，根据x＝v0t可知，速度刻度的间距不一定变大，也不一定减小，C、D错误。
[答案]　(1)0.5 s　(2)1.23　(3)A
1．(2025·江西南昌市期末)图甲是一个能够定性平抛运动及其特点的实验装置，用小锤敲击弹性金属片，小球A就沿水平方向飞出，做平抛运动；同时小球B被松开，做自由落体运动。然后再采用乙图的方式定量研究平抛运动，得到了如图丙坐标系中的几个点。
(1)甲图所示的实验说明了平抛的小球在竖直方向上做__________运动。
(2)在调节轨道时，发现水平仪中的气泡在右侧，此时应将轨道的右端调__________(选填“高”或“低”)。
(3)同学用专业相机以200帧/秒拍摄照片如图丙所示，并从视频中每n帧选取一帧进行处理得到如图所示的抛体运动“频闪图片”，测得坐标纸的方格边长为9 mm，由图像可知n＝________(n为整数，g取10 m/s2)，得到平抛运动的初速度为__________m/s。
解析：(1)题图甲两球同时落地，说明了平抛的小球在竖直方向上做自由落体运动。
(2)水平仪右端有气泡，说明右端偏高，则应把右端调低。
(3)小球在竖直方向上做自由落体运动，根据逐差法公式Δy＝gT2，由题图丙可知Δy＝9 mm＝0.009 m，相邻两点的时间间隔相等，设为T，T＝＝ s＝0.03 s，因为相机以200帧/秒拍摄照片，即每0.005 s拍摄一帧，每n帧的时间为0.005n s，可得0.005n s＝0.03 s，解得n＝6；在水平方向上，小球做匀速直线运动，平抛运动的初速度v0＝＝＝0.6 m/s。
答案：(1)自由落体　(2)低　(3)6　0.6
2．(2025·内蒙古鄂尔多斯市期中)高中课外兴趣小组在做“研究平抛物体的运动”实验中，准备了以下实验器材：图钉、铅笔、弧形斜槽、小球、薄木板、铁架台、重垂线。
(1)实验过程还需要下列器材中的________。(填正确答案标号)
A．刻度尺　　　　　 B．天平
C．秒表 D．白纸
(2)图甲是“研究平抛物体的运动”的实验装置简图，关于实验中的操作及要求，下列说法正确的是________。(填正确答案标号)
A．斜槽轨道末端可以不水平
B．斜槽轨道不必光滑
C．本实验不需要平衡摩擦力
D．小球每次不用从斜槽上同一高度释放
(3)如图乙所示，为一次实验记录中的一部分，图中背景方格的边长表示实际长度8 mm。从图像上分析，记录间隔T＝________s；小球做平抛运动的水平初速度大小是________m/s，小球从抛出运动到B点时，已经在空中飞行了________s。(此问g取10 m/s2)
解析：(1)需要刻度尺测量实验记录点间距离，A正确；实验是“研究平抛物体的运动”因而不需要测量小球的质量，即不需要天平，B错误；实验不需要测量小球运动的时间，即不需要秒表，C错误；实验需要白纸记录物体做平抛运动的轨迹，D正确。
(2)为使小球离开斜槽轨道末端做平抛运动，则斜槽轨道末端一定水平，A错误；为使小球每次做平抛运动的初速度相等，小球每次要从斜槽上同一高度由静止释放，斜槽轨道不必光滑，B正确，D错误；本实验不需要平衡摩擦力，C正确。
(3)如题图乙所示，方格的边长为8 mm，由匀变速直线运动的推论Δy＝gT2可得T＝＝＝0.04 s；小球做平抛运动的水平初速度大小v0＝＝0.6 m/s，小球从抛出运动到B点时，由匀变速直线运动在某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，可得在竖直方向的分速度vB＝＝0.8 m/s，可得小球从抛出到运动到B点时，已经在空中飞行时间t＝＝0.08 s。
答案：(1)AD　(2)BC　(3)0.04　0.6　0.08(共44张PPT)
第3节　探究平抛运动的特点
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、什么是平抛运动？
定义：物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气的阻力，物体只在重力作用下所做的运动，叫作平抛运动。
二、描绘平抛运动的轨迹
1．实验仪器：定位板、轨道、记录面板、重垂线、接球挡板、调平螺丝。
2．实验操作
(1)如图所示，将实验仪器置于桌面，调节调平螺丝，观察重垂线，使面板处于竖直平面内，卡好定位板。装好平抛轨道，使轨道的抛射端处于水平位置。
(2)在描迹记录纸后衬垫一张复写纸或打字蜡纸，并用压纸板将它们紧贴固定在面板上。使横坐标x轴在水平方向上，纵坐标y轴沿竖直方向向下，并注意使坐标原点的位置在平抛物体(钢球)的中心离开轨道处。
(3)把接球挡板置于最上方一格。
(4)将定位板在某一位置固定好。钢球紧靠定位板释放，球沿轨道向下运动，以一定的初速度由轨道的平直部分水平抛出。下落的钢球打在接球挡板上，由于挡板平面向记录面板倾斜，小球将挤压记录纸，留下一个迹点。
(5)将接球挡板向下移动一格，重复上述操作方法，得到第二个印迹点，如此继续下移接球挡板，直至最低点，即可得到平抛的钢球下落时的一系列迹点。
(6)改变定位板的位置，即可改变钢球平抛的初速度，重复上述实验操作步骤，便可获得另一系列迹点。
3．描绘平抛运动的轨迹
取下记录纸，将各次实验所记录的点分别用平滑曲线连接起来，即可得到以不同的初速度做平抛运动的小钢球的轨迹图线，如图所示。
4．注意事项
(1)实验中必须调整轨道末端水平，以使小球离开斜槽后做平抛运动。
(2)记录面板必须处在竖直面内，与小球运动轨迹所在的竖直面平行，使小球靠近记录纸但不接触。
(3)小球每次必须从斜槽上同一位置滚下。
(4)坐标原点不是轨道的末端，而是小球的中心离开轨道处。
(5)若用白纸作为记录纸，可事先用铅笔在纸上画出x轴和y轴两条坐标轴。
5．其他方案喷水法　如图所示，倒置的饮料瓶内装着水，瓶塞内插着两根两端开口的细管，其中一根弯成水平，且水平端加接一根更细的硬管作为喷嘴。水从喷嘴中射出，在空中形成弯曲的细水柱，它显示了平抛运动的轨迹，可在装置一侧竖直放置一玻璃板，将平抛运动的轨迹描在玻璃板上。
三、平抛运动的实验研究
1．竖直方向的分运动
如图所示的仪器称为平抛竖落仪。把它固定在铁架台上，B球被弹片夹住，A球放在弹片右边的水平平台上，两球处于同一高度。用小锤击打弹片，A球沿水平方向抛出，同时B球被释放，做自由落体运动。
保持仪器的高度不变，而改变打击弹片的力度，就是
改变小球A抛出时的初速度。比较各次实验结果，可
发现各次都与做自由落体运动的小球B同时落地，但各
次A球落地点的距离远近不同，这说明平抛物体抛出时
的水平初速度的大小不影响在空中运动的时间，只影响水平分运动的位移。
改变仪器离地的高度，再多次重复上面的实验，A、B两球仍然是同时落地，这说明做平抛运动的物体沿竖直方向的分运动与自由落体运动相同。
2．水平方向的分运动
截取钢珠做平抛运动的部分图像，如图(a)所示。以抛出点为原点，以抛出时初速度方向为x轴正方向，以竖直向下为y轴正方向建立平面直角坐标系，如图(b)所示。
在图(b)的直角坐标系中，我们把小球各位置的x坐标和y坐标都标示出来，分别为x1、x2、x3、x4、x5及y1、y2、y3、y4、y5，它们分别是做平抛运动的小球的两个分运动各个时刻已发生位移的数值。测量沿x方向各段相等时间间隔内的位移值，发现Ox1＝x1x2＝x2x3＝x3x4＝x4x5，可以认为沿x方向的分运动是匀速运动；测量沿y方向各段相等时间间隔内的位移值，发现Oy1∶y1y2∶y2y3∶y3y4∶y4y5≈1∶3∶5∶7∶9，可以认为沿y方向的分运动是初速度为零的匀加速直线运动。
典例分类讲解
PART
02
第二部分
题型一　教材原型实验
角度1　用平抛竖落仪研究平抛运动
　　某学习小组做探究平抛运动规律的实验。
(1)在图甲中用小锤敲击弹性金属片，观察到a、b两个小球同时落地，则说明平抛运动在竖直方向上做____________运动。
[解析]　由于任意高度，做平抛运动和自由落体运动的两个小球都会同时落地，说明平抛运动在竖直方向上做自由落体运动。
(2)在图乙中将相同的两个小铁球P、Q分别吸在电磁铁C、D上，切断电源，P、Q同时沿着相同的斜槽滚下，观察到P、Q两个小球撞在一起，则说明做平抛运动的小铁球在水平方向上做____________运动。
[解析]　在题图乙中同时断电后P、Q两个小球同时沿着斜槽滚下，观察到P、Q两个小球撞在一起，则说明做平抛运动的小铁球在水平方向上做匀速直线运动。
自由落体
匀速直线
(3)利用频闪相机拍摄图甲中a小球运动过程，经处理后得到如图丙所示的点迹图像。图中O为坐标原点，B点在两坐标线交点，坐标xB＝40 cm，yB＝20 cm，A、C点均在坐标线的中点。重力加速度g取10 m/s2，则平抛小球在B点处的瞬时速度大小vB＝________m/s(结果保留根式)。
[解析]　根据题图丙中的几何关系可知，A点的纵坐标为5 cm，B点的纵坐标为20 cm，C点的纵坐标为45 cm
因此A、B的竖直距离yAB＝15 cm＝0.15 m
B、C之间的竖直距离yBC＝25 cm＝0.25 m
则竖直方向上，由运动学公式可知yBC－yAB＝gT2
角度2　用描迹法研究平抛运动
　　用如图甲所示装置研究平拋运动。将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直硬板上，钢球沿斜槽轨道PQ滑下后从Q点飞出，落在水平挡板MN上，钢球侧面会在白纸上挤压出一个痕迹点，移动挡板，从同一位置重新释放钢球，如此重复，白纸上将留下一系列痕迹点，即可描出钢球做平抛运动的轨迹，进而研究平抛运动的规律。
根据实验原理，回答以下问题：
(1)实验前，应将小球放在斜槽末端，根据小球的运动情况，调节支脚螺丝，使斜槽末端________。
[解析]　实验前，应将小球放在斜槽末端，根据小球的运动情况，调节支脚螺丝，使斜槽末端水平。
(2)该实验中，在取下白纸前，应确定坐标原点O的位置，并建立直角坐标系，下列图像中坐标原点和坐标系的建立正确的是________。
水平
C
[解析]　该实验中坐标原点O的位置，应该是小球在斜槽末端时球心的投影点，y轴用重垂线来确定，故C正确，A、B错误。
(3)该实验中，将白纸换成方格纸，每个小方格边长L＝5 cm。实验记录了小球在运动中的3个点迹，如图乙所示，则小球在B点的速度大小是__________m/s(重力加速度g取10 m/s2，结果保留2位有效数字)。
2.5
角度3　用频闪照相法研究平抛运动
　　用频闪照相技术拍下的两小球运动的频闪照片如图所示，拍摄时，光源的闪光频率为10 Hz，a球从A点水平抛出的同时，b球自B点开始下落，背景的小方格为相同的正方形。重力加速度g取10 m/s2，不计阻力。
(1)根据照片显示的信息，下列说法正确的是________。
A．只能确定b球的运动是自由落体运动
B．不能确定a球沿竖直方向的运动是自由落体运动
C．只能确定a球沿水平方向的运动是匀速直线运动
D．可以确定a球在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动
[解析]　因为相邻两点间的时间间隔相等，水平位移相等，知a球在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上的运动规律与b球运动规律相同，知竖直方向上a球做自由落体运动，故D正确，A、B、C错误。
D
(2)根据照片信息可求出a球的水平速度大小为________m/s；当a球与b球运动了________s时，它们之间的距离最小。
1
0.2
题型二　教材实验创新
　　如图所示，小明利用家中物品制作了一个研究平抛运动规律的装置。在水平桌面上用硬练习本做成一个斜面，使小钢球从斜面上某一位置滚下，钢球沿桌面飞出后做平抛运动。实验步骤如下：
a．将贴好白纸的案板竖直放置于P处；
b．将小钢球沾上墨水后由静止释放，
小球飞出后碰到案板并在白纸上留下痕迹B；
c．将案板从P处靠近书桌平移0.1 m，重复步骤b，留下痕迹A；
d．将案板从P处远离书桌平移0.1 m，重复步骤b，留下痕迹C；
e．用刻度尺量出A、B、C三点的距离hAB＝0.15 m，hBC＝0.25 m，通过以上数据即可粗略求出小球离开书桌时初速度的大小。重力加速度g取10 m/s2，回答下列问题：
(1)关于实验操作，下列说法正确的是________。
A．书桌要调整水平
B．小球每次都从同一位置由静止释放
C．必须用秒表记录时间
D．案板可以不竖直放置
[解析]　要保证小球做平抛运动，书桌要调整水平，A正确；
由于要记录小球的运动轨迹，必须重复多次，才能画出几个点，因此为了保证每次平抛的轨迹相同，所以要求小球每次从同一高度释放，B正确；
本实验测量小球轨迹即可，无需测量时间，C错误；
案板必须竖直放置，以防止打到案板上的点之间的水平位移不同， D错误。
AB
(2)根据实验数据，可得小球离开桌面时初速度的大小v0＝________m/s。
1.0
(3)若因为操作不当，把案板从P处靠近书桌平移0.1 m后，案板没有竖直，向右倾斜一较小角度，其他操作无误，则求出的离开桌面时初速度比实际值________(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。
偏小
　　(2025·山东济南市期末)某实验小组利用图甲所示装置测量小球在离开水平桌面边缘O点时做平抛运动的初速度。在地面上沿抛出的速度方向水平放置一把刻度尺，让悬挂在抛出点O处的重锤的投影恰好落在刻度尺的零刻度线上，利用小球在刻度尺上的落点位置，就可以直观地得到小球做平抛运动的初速度，并可以制成图乙所示的速度标尺(图中P点为重锤的投影位置)。
(1)由标尺信息可知，小球在空中的飞行时间为__________。
(2)桌面离地面的高度________m(重力加速度g取9.8 m/s2)(保留3位有效数字)。
0.5 s
1.23
(3)关于该速度标尺，下列说法正确的是________。
A．增大桌面离地面高度，速度刻度的间距将变大
B．增大桌面离地面高度，速度刻度的间距将变小
C.增大桌面上倾斜轨道的倾角，速度刻度的间距将变大
D．增大桌面上倾斜轨道的倾角，速度刻度的间距将变小
[解析]　增大桌面离地面高度，则运动时间增加，根据x＝v0t可知，速度刻度的间距将变大，A正确，B错误；
增大桌面上倾斜轨道的倾角，因小球释放的位置不确定，则小球到达斜槽底端时的速度不一定变大，也不一定减小，根据x＝v0t可知，速度刻度的间距不一定变大，也不一定减小，C、D错误。
A
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
1．(2025·江西南昌市期末)图甲是一个能够定性平抛运动及其特点的实验装置，用小锤敲击弹性金属片，小球A就沿水平方向飞出，做平抛运动；同时小球B被松开，做自由落体运动。然后再采用乙图的方式定量研究平抛运动，得到了如图丙坐标系中的几个点。
(1)甲图所示的实验说明了平抛的小球在竖直方向上做__________运动。
解析：题图甲两球同时落地，说明了平抛的小球在竖直方向上做自由落体运动。
(2)在调节轨道时，发现水平仪中的气泡在右侧，此时应将轨道的右端调__________(选填“高”或“低”)。
解析：水平仪右端有气泡，说明右端偏高，则应把右端调低。
自由落体
低
(3)同学用专业相机以200帧/秒拍摄照片如图丙所示，并从视频中每n帧选取一帧进行处理得到如图所示的抛体运动“频闪图片”，测得坐标纸的方格边长为9 mm，由图像可知n＝________(n为整数，g取10 m/s2)，得到平抛运动的初速度为__________m/s。
6
0.6
2．(2025·内蒙古鄂尔多斯市期中)高中课外兴趣小组在做“研究平抛物体的运动”实验中，准备了以下实验器材：图钉、铅笔、弧形斜槽、小球、薄木板、铁架台、重垂线。
(1)实验过程还需要下列器材中的________。(填正确答案标号)
A．刻度尺　　　　　 B．天平
C．秒表 D．白纸
解析：需要刻度尺测量实验记录点间距离，A正确；
实验是“研究平抛物体的运动”因而不需要测量小球的质量，即不需要天平，B错误；
实验不需要测量小球运动的时间，即不需要秒表，C错误；
实验需要白纸记录物体做平抛运动的轨迹，D正确。
AD
(2)图甲是“研究平抛物体的运动”的实验装置简图，关于实验中的操作及要求，下列说法正确的是________。(填正确答案标号)
A．斜槽轨道末端可以不水平
B．斜槽轨道不必光滑
C．本实验不需要平衡摩擦力
D．小球每次不用从斜槽上同一高度释放
解析：为使小球离开斜槽轨道末端做平抛运动，则斜槽轨道末端一定水平，A错误；
为使小球每次做平抛运动的初速度相等，小球每次要从斜槽上同一高度由静止释放，斜槽轨道不必光滑，B正确，D错误；
本实验不需要平衡摩擦力，C正确。
BC
(3)如图乙所示，为一次实验记录中的一部分，图中背景方格的边长表示实际长度8 mm。从图像上分析，记录间隔T＝________s；小球做平抛运动的水平初速度大小是________m/s，小球从抛出运动到B点时，已经在空中飞行了________s。(此问g取10 m/s2)
0.04
0.6
0.08题组1　“小船过河”模型
1．一条两岸平行的小河，河水自西向东流动，各处流速相同，一小船船头垂直于河岸行驶，下列说法正确的是 (　　)
A．若小船速度不变，小船可能做曲线运动
B．若小船速度不变，小船可能做匀变速直线运动
C．若小船沿垂直于河岸方向的初速度为零、加速度不为零且不变，小船做匀变速曲线运动
D．若小船沿垂直于河岸方向的初速度为零、加速度不为零且不变，小船可能做变加速曲线运动
解析：选C。因水流速度处处相同，若小船速度不变，依据运动的合成可知，小船实际速度恒定，故小船做匀速直线运动，故A、B错误；若小船沿垂直于河岸方向的初速度为零、加速度不为零且不变，则加速度与速度不共线，小船会做匀变速曲线运动，故C正确，D错误。
2．某人想乘坐一条小木船渡河，若河面宽300 m，水流速度为3 m/s，木船相对静水速度为2 m/s，则此人渡河所需的最短时间为 (　　)
A．60 s　　　　　　 　 B．100 s
C．150 s D．300 s
解析：选C。根据分运动的独立性与等时性可知，当船头指向垂直于河岸时，渡河时间最短，可知最短时间tmin＝＝ s＝150 s。
3．一小船在静水中的速度为4 m/s，它在一条河宽160 m、水流速度为3 m/s 的河流中渡河，则该小船 (　　)
A．不能到达正对岸
B．渡河的最短时间为32 s
C．以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为120 m
D．以最短位移渡河时，渡河时间为40 s
解析：选C。由于小船在静水中的速度大于水流速度，则合速度方向可以垂直于河岸，小船能到达正对岸，故A错误；当船头垂直于河岸时，渡河时间最短，则有tmin＝＝ s＝40 s，以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小x＝v水tmin＝3×40 m＝120 m，故B错误，C正确；以最短位移渡河时，合速度方向垂直于河岸，合速度大小v合＝ m/s＝ m/s，则渡河时间t＝＝ s＝ s，故D错误。
4．一小船在静水中的速度为3 m/s，它在一条河宽为150 m、流速为5 m/s的河流中渡河，则下列说法正确的是 (　　)
A．小船渡河时间不少于60 s
B．小船以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为150 m
C．小船以最短位移渡河时，位移大小为250 m
D．小船以最短位移渡河时，用时为60 s
解析：选C。当船在静水中的速度垂直于河岸时渡河时间最短tmin＝＝50 s，故A错误；船以最短时间渡河时沿水流方向的位移大小x＝v水tmin＝250 m，故B错误；因为水流速度大于船在静水中的速度，所以船不能垂直渡河，如图所示，当合速度与静水速度的方向垂直时，设合速度与水流速度的夹角为θ，此时渡河位移最短，则sin θ＝＝，则渡河的最短位移大小x1＝＝250 m，故C正确；若船以最短位移渡河，则用时t＝＝ s＝62.5 s ，故D错误。
题组2　“速度关联”模型
5．如图所示，细棒AB水平放置在地面，A端紧挨着墙面。现让棒的A端沿着墙面匀速上移，当A端与B端的速度大小之比为时，AB棒与地面的夹角为 (　　)
A.30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选A。因AB两点沿棒的方向的分速度相等，可知vB cos α＝vA sin α，其中vB＝vA，可得α＝30°，故A符合题意。
6．(多选)生活中运送装修材料时，常采用图中的滑轮装置。向右做匀速直线运动的工作人员A通过一根绕过定滑轮的轻绳吊起装修材料B，设工作人员和装修材料的速度大小分别为vA和vB，则下列说法正确的是 (　　)
A.vAB．vA>vB
C．物块B处于超重状态
D．物块B处于失重状态
解析：选BC。工作人员A的运动可分解为沿绳方向和垂直于绳方向的两个运动，设斜拉绳子与水平方向的夹角为θ，由几何关系可得vB＝vA cos θ，所以vA>vB，故B正确，A错误；工作人员A向右做匀速直线运动，vA不变，斜拉绳子与水平方向的夹角θ减小，则cos θ增大，所以vB增大，即物块B向上做加速直线运动，处于超重状态，故C正确，D错误。
7．(多选)(2025·吉林松原五校期末联考)生活中人们通常利用定滑轮来升降物体。如图所示，一根轻质不可伸长的细绳绕过光滑的定滑轮，细绳的一端系着质量为m的重物A，另一端由人握着以速度v向左匀速移动。经过图示位置时，细绳与水平方向的夹角为α，则在人向左匀速移动过程中，下列说法正确的是 (　　)
A．重物加速上升
B．重物以速度v匀速上升
C．细绳对重物的拉力有可能等于它的重力
D．若α＝60°，则人与重物的速度大小之比为2∶1
解析：选AD。将人的速度分解为沿细绳方向和垂直于细绳方向，重物A的速度等于沿绳方向的速度，则有v物＝v cos α，由于人向左以速度v匀速移动的过程α逐渐减小，cos α逐渐增大，则重物向上做加速运动，故A正确，B错误；由于重物向上做加速运动，所以重物所受合力向上，则细绳对重物的拉力始终大于它的重力，故C错误；若α＝60°时，则人与重物的速度大小之比v∶v物＝1∶cos 60°＝2∶1，故D正确。
8．火灾逃生的首要原则是离开火灾现场，如图所示是火警设计的一种让当事人快捷逃离现场的救援方案：用一根不变形的轻杆MN支撑在楼面平台AB上，N端在水平地面上向右以v0匀速运动，被救助的人员紧抱在M端随轻杆一起向平台B端靠近，平台高为h，当CN＝2h时，被救人员向B点运动的速率是 (　　)
A．v0 B．v0
C．v0 D．v0
解析：选C。将N端的速度v0进行分解，设此时v0与MN方向的夹角为θ，如图所示，则人的速度等于v0沿杆的分量，即v人＝v0cos θ，根据几何关系可得cos θ＝＝ ，解得v人＝ v0。
9．(多选)(2025·黑龙江鸡西市密山市期末)如图所示，沿水平地面向右运动的汽车通过跨过定滑轮的轻绳将重物匀速提起的过程中，下列说法正确的是 (　　)
A．汽车做加速运动
B．汽车做减速运动
C．汽车对地面的压力减小
D．汽车对地面的压力增大
解析：选BD。设绳子与水平方向的夹角为θ，将车的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，沿绳子方向的速度等于重物的速度，根据平行四边形定则得v物＝v cos θ，重物被匀速提起的过程中，绳子与水平方向的夹角θ减小，所以汽车的速度减小，向右减速， 故A错误，B正确；对汽车在竖直方向有T sin θ＋N＝mg，绳子的拉力T与重物的重力相等且不变，拉力与水平方向的夹角θ减小，则N增大，根据牛顿第三定律可知汽车对地面的压力增大，故C错误，D正确。
10．如图所示，一条两岸平直的小河，宽L＝100 m，河水流速的大小处处相等，一人驾驶小船由渡口A驶向渡口B，船头始终垂直于河岸。已知船在静水中航速恒定，且船在静水中的速度与河水的流速之比为1∶2，若该船到达对岸需要50 s，以地面为参考系，下列说法正确的是 (　　)
A.河水流速大小为2 m/s
B．船的合速度大小为2 m/s
C．船的位移大小为100 m
D．船渡河的轨迹是一条直线，且与河岸的夹角等于30°
解析：选C。船在静水中的速度大小v船＝＝ m/s＝2 m/s，船在静水中的速度与河水的流速之比为 1∶2，则河水流速大小v水＝2v船＝4 m/s，船的合速度大小v合＝ eq \r(v＋v)＝2 m/s，船的位移大小s合＝v合t＝2×50 m＝100 m，船渡河的轨迹是一条直线，设与河岸的夹角为θ，则有tan θ＝＝<，可得θ<30°，C正确，A、B、D错误。
11．如图所示，不可伸长的刚性连杆AB、OA可绕图中A、B、O三处的转轴转动，OA杆长为L，小球A以速度v0沿逆时针方向做匀速圆周运动时，滑块B沿直线做往复运动，当连杆AB与水平方向的夹角为α，AB杆与OA杆的夹角为β时，滑块B的速度大小为 (　　)
A． B．
C． D．
解析：选D。如图所示，小球A和滑块B沿杆方向的分速度相等，则有v0cos θ＝v cos α，其中cos θ＝cos (β－90°)＝sin β，解得滑块B的速度大小v＝。
12．(2025·辽宁辽阳市期末)假日期间，小王去海边游玩。在小王乘坐的小船渡过某段紧挨平直海岸、宽度为300 m的水域的过程中，小船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，海水沿海岸方向的流速与船到海岸的距离的关系如图乙所示，则关于小船船头垂直于海岸渡过这段水域的运动，下列说法正确的是 (　　)
A．渡海时间为100 s
B．渡海位移大于300 m
C．最大速度为3.5 m/s
D．运动轨迹为直线
解析：选B。垂直于海岸渡海时间t＝＝200 s，故A错误；由题图可知，最大速度vm＝ m/s＝2.5 m/s，故C错误；船在沿海岸方向做变速运动，在垂直于海岸方向上做匀速直线运动，两分运动的合运动为曲线运动，则渡海位移大于300 m，故B正确，D错误。题组1　与斜面相关的平抛运动
1．(2025·安徽马鞍山市期中)如图所示，若质点以初速度v0水平抛出后，落在倾角θ＝30°的斜面上，要求质点的抛出点到达斜面的位移最小，则质点的飞行时间为 (　　)
A． B．
C． D．
解析：选D。要求质点的抛出点到达斜面的位移最小，则质点的位移与斜面垂直，根据几何知识有tan θ＝，根据平抛运动规律有x＝v0t，y＝gt2，联立可得t＝。
2．(多选)如图所示，一质量m＝2 kg的小球从倾角θ＝45°的斜面A处以v0＝1 m/s的速度水平抛出，落在斜面上的B点。不计空气阻力，重力加速度g取 10 m/s2，下列说法正确的是 (　　)
A．小球从A运动到B的时间为0.1 s
B．A到B的竖直高度为0.2 m
C．小球在B的速度为 m/s
D．A、B之间的距离为0.4 m
解析：选BC。小球做平抛运动，则有xABsin 45°＝gt2，xABcos 45°＝v0t，解得t＝0.2 s，xAB＝ m，故A、D错误；根据上述可知A到B的竖直高度h＝xABsin 45°＝0.2 m，故B正确；根据速度合成可知，小球在B的速度v＝ eq \r(v＋(gt)2)＝ m/s，故C正确。
3．(2025·黑龙江省部分学校3月联考)如图所示，倾角为37°的斜面体固定在水平面上，小球A在斜面底端正上方以速度v1向右水平抛出，同时，小球B在斜面顶端以速度v2向左水平抛出，两球抛出点在同一水平线上，结果两球恰好落在斜面上的同一点，且A球落到斜面上时速度刚好与斜面垂直，不计小球的大小，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则v1∶v2等于 (　　)
A．4∶3 B．5∶4
C．8∶7 D．9∶8
解析：选D。小球A垂直打在斜面上，如图所示，根据几何关系可得tan 37°＝，对于小球B，tan 37°＝＝，联立得v1∶v2＝9∶8。
题组2　与曲面相关的抛体运动
4．(多选)如图所示为竖直截面为半圆形的容器，O为圆心，且AB为沿水平方向的直径。一物体在A点以水平向右的初速度vA抛出，与此同时另一物体在B点以向左的水平初速度vB抛出，不计空气阻力，两物体都落到容器的同一点P。已知∠BAP＝37°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。下列说法正确的是 (　　)
A．B处物体比A处物体先到达P点
B．两物体一定同时到达P点
C．抛出时，两物体的速度大小之比为vA∶vB＝16∶9
D．抛出时，两物体的速度大小之比为vA∶vB＝4∶3
解析：选BC。根据题意两物体竖直方向下落高度相等，则有xAPsin 37°＝gt2，可知两物体一定同时到达P点，故A错误，B正确；物体做平抛运动，水平方向有xAPcos 37°＝vAt，xAPtan 37°sin 37°＝vBt，结合上述解得vA∶vB＝16∶9，故C正确，D错误。
5．(多选)如图所示，一个半径R＝0.75 m的半圆柱体放在水平地面上，一小球从半圆柱体左端A点正上方的B点水平抛出(小球可视为质点)，恰好从半圆柱体上的C点掠过。已知O为半圆柱体中心，O、B、C在同一竖直平面内，OC与水平方向夹角为53°，重力加速度g取10 m/s2，则 (　　)
A．小球从B点运动到C点所用时间为0.3 s
B．小球从B点运动到C点所用时间为0.5 s
C．小球做平抛运动的初速度为4 m/s
D．小球做平抛运动的初速度为6 m/s
解析：选AC。小球做平抛运动，飞行过程中恰好与半圆柱体相切于C点，根据几何关系可知，小球在C点时速度方向与水平方向的夹角为37°，设位移方向与水平方向的夹角为θ，则有tan θ＝＝，又水平位移x＝1.6R，tan θ＝＝，R＝0.75 m，解得y＝0.45 m，根据y＝gt2得t＝0.3 s，根据水平位移x＝1.6R＝v0t，得v0＝4 m/s。
题组3　平抛运动中的临界极值问题
6．(多选)如图所示，乒乓球台长度为2L、中间位置的球网高度为h，运动员在球台边缘O正上方将球水平发出，球反弹后掠过球网恰好落在对方球台边缘P处。已知球落到台面上反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，不考虑乒乓球的旋转和空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是 (　　)
A.发球点距O点的高度为h
B．发球点距O点的高度为h
C．发球速度大小为L
D．发球速度大小为L
解析：选AC。乒乓球反弹到最高点的逆过程可看作平抛运动，则从最高点到下落到高h处时间为t，则v0t＝，H－h＝gt2，又从抛出到第一次落到球台有L＝v0t′，H＝gt′2，联立解得H＝h，v0＝L 。
7．(多选)如图所示，在一倾角为θ的斜面顶端分别以v0和2v0水平抛出质量相同的两个小球，分别落在斜面上的B、C位置，不计空气阻力，则小球从飞出到落到斜面上的整个过程中，下列说法正确的是 (　　)
A．两小球在空中飞行的时间之比为1∶2
B．两小球在空中飞行的时间相同
C．两小球下落的高度之比为1∶3
D．落到斜面上的瞬时速度方向一定相同
解析：选AD。两小球落在同一斜面上，位移偏向角相同均为θ，由位移三角形可知tan θ＝＝，因两小球的初速度之比为1∶2，可知飞行时间之比为1∶2，故A正确，B错误；平抛运动的竖直分运动为自由落体运动，有y＝gt2，两小球的飞行时间之比为1∶2，则竖直位移之比为1∶4，故C错误；因位移偏向角相同均为θ，根据2tan θ＝tan α，可知速度偏向角α相同，则落到斜面上的瞬时速度与水平方向的夹角相同，即落到斜面上的瞬时速度方向一定相同，故D正确。
8．(12分)(2025·江苏徐州市期末)如图所示，AB为固定斜面，倾角为30°，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落到B点。(空气阻力不计，重力加速度为g)
(1)求小球在空中飞行的时间及A、B间的距离。(6分)
(2)从抛出开始，经过多长时间小球与斜面间的距离最大？最大距离为多大？(6分)
解析：(1)位移与水平方向的夹角为30°，则有
tan 30°＝ eq \f(\f(1,2)gt,v0t1)
解得运动的时间t1＝
AB间的距离s＝
解得s＝ eq \f(4v,3g)。
(2)当小球的速度方向与斜面平行时，距离斜面最远，根据tan 30°＝＝
解得经历的时间
t2＝
将小球的速度和加速度分解为沿斜面方向和垂直于斜面方向，则有
vy′＝v0sin 30°，ay＝g cos 30°
则最大距离H＝＝ eq \f(\r(3)v,12g)。
答案：(1)　 eq \f(4v,3g)　(2)　 eq \f(\r(3)v,12g)
9．(14分)如图所示，P处能持续水平向右发射初速度不同的小球。高度为h0 的挡板AB竖直放置，到P点的水平距离为L。挡板上端A与P点的高度差为h，可通过改变发球点P的竖直位置调整A、P两点的竖直高度差h。求：
(1)当h＝h0时，调节初速度可以让小球击中挡板上的不同位置，
①小球击中A点和B点的时间之比tA∶tB；(4分)
②小球能够击中挡板AB的初速度取值范围；(4分)
(2)当h取多大时，小球击中A点时速度取得最小值。(6分)
解析：(1)①当h＝h0时，根据h＝gt2
若小球打在挡板A点，小球在空中飞行的时间
tA＝
若小球打在挡板B点，小球在空中飞行的时间
tB＝2
刚好打在挡板A点和B点的时间之比tA∶tB＝1∶。
②打在A点的小球初速度大小v0A＝＝L
打在B点的小球初速度大小v0B＝＝
则小球的初速度范围应满足 ≤v≤L。
(2)从P点到A点有h＝gt2，v0A＝
解得v0A＝L ，v＝2gh
解得vA＝ eq \r(v＋v)＝
由数学知识可得当＝2gh时，vA有最小值，
则h＝L。
答案：(1)①1∶　② ≤v≤L
(2)L(共25张PPT)
课后达标检测
题组1　两个互成角度的直线运动的合运动
1．(多选)关于不在同一条直线上两个运动的合成，下列说法正确的是(　　)
A．两个直线运动的合运动一定是直线运动
B．两个匀速直线运动的合运动一定是直线运动
C．两个匀加速直线运动的合运动一定是直线运动
D．两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动一定是直线运动
√
√
解析：两个直线运动的合运动不一定是直线运动，故A错误；
两个匀速直线运动的合运动一定是直线运动，因为合加速度为零，合运动为匀速直线运动，故B正确；
两个匀加速直线运动的合初速度方向与合加速度方向如果不在同一条直线上，合运动为曲线运动，故C错误；
两个初速度为零的匀加速直线运动，因为合初速度为零，合加速度不为零，则合运动是初速度为零的匀加速直线运动，故D正确。
√
2．如图所示，在马戏表演中，人顶着竖直杆水平向右做匀速运动，同时猴子沿竖直杆向上做初速度为零的匀加速直线运动，下列关于猴子相对地面的运动轨迹可能正确的是 (　　)
解析：人顶着竖直杆水平向右做匀速运动，同时猴子沿竖直杆向上做初速度为零的匀加速直线运动，可知猴子的加速度方向竖直向上，由于猴子速度方向与加速度方向不在同一直线上，猴子做曲线运动，根据曲线运动的合外力指向轨迹的凹侧，可知猴子相对地面的运动轨迹可能正确的是图B。
√
3．如图所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中以速度v匀速上浮。红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管水平向右由静止做匀加速运动，则蜡块的轨迹可能是 (　　)
A.直线P　　　　　　　 B．曲线Q
C．曲线R D．无法确定
解析：红蜡块在竖直方向上做匀速直线运动，在水平方向上做匀加速直线运动，所受合力方向水平向右，合力方向与合速度方向不共线，红蜡块的轨迹应为曲线，故A错误；
由于做曲线运动的物体所受合力应指向轨迹弯曲的一侧，故B正确，C、D错误。
√
√
题组2　运动的合成与分解
5．在一次消防演习中，消防员借助消防车上的梯子爬到高处救人。为了节省救援时间，在消防车匀速前进的同时，消防员沿倾斜的梯子匀速向上爬。关于消防员相对地面的运动，下列说法正确的是 (　　)
A．消防员做匀速直线运动
B．消防员做匀加速直线运动
C．消防员做匀加速曲线运动
D．消防员做速度大小不变的曲线运动
解析：在消防车匀速前进的同时，消防员沿倾斜的梯子匀速向上爬，可知消防员相对地面沿水平方向做匀速直线运动，同时沿倾斜梯子做匀速直线运动，则消防员的合运动为匀速直线运动。
√
√
7．骑射项目是运动会上常见的一种娱乐项目，运动员骑在奔驰的马背上，弯弓射箭射击侧向的靶子目标M，其运动模型简化为如图所示的情境。假设运动员沿AB方向骑马的速度v1＝10 m/s，运动员静止时射出的弓箭速度v2＝4 m/s，直线跑道离固定目标M的最近距离d＝4 m，运动员射箭位置与靶子等高，且垂直于跑道AB方向射出弓箭。不计空气阻力和弓箭所受的重力，则运动员射出弓箭点的位置到O点的距离x为 (　　)
A.8 m B．10 m
C．12 m D．16 m
√
√
9．(多选)一物体在光滑的水平桌面上运动，其在相互垂直的x、y方向上的分速度随时间变化的图像分别如图甲、乙所示。下列说法正确的是(　　)
A．物体做直线运动
B．物体做曲线运动
C．物体的初速度大小为8 m/s
D．物体的初速度大小为4 m/s
√
解析：由题图知，x方向的初速度沿x轴正方向，物体做匀速直线运动，加速度为零；y方向的初速度为零，物体做匀加速直线运动，加速度沿y轴正方向，则合运动的初速度方向在x轴方向上，合运动的加速度沿y轴正方向，与合初速度方向不在同一直线上，物体做匀变速曲线运动，故A错误，B正确。
x方向的初速度为4 m/s，y方向的初速度为零，根据运动的合成与分解，可知物体初速度为4 m/s，故C错误，D正确。
√
10．在一端封闭、长约1 m的玻璃管内注满清水，水中放一个红蜡做的小圆柱体A，将玻璃管的开口端用橡胶塞塞紧(如图甲所示)。把玻璃管倒置(如图乙所示)，蜡块A沿玻璃管匀速上升，经时间t运动到玻璃管顶部。若在红蜡块上升过程中的某时刻，将玻璃管水平向右移动(如图丙所示)，下列说法正确的是 (　　)
A．玻璃管匀速移动时，蜡块做直线运动，运动到顶部时间大于t
B．玻璃管匀速移动时，蜡块做曲线运动，运动到顶部时间等于t
C．玻璃管加速移动时，蜡块做直线运动，
运动到顶部时间大于t
D．玻璃管加速移动时，蜡块做曲线运动，
运动到顶部时间等于t
解析：玻璃管匀速移动时，蜡块水平方向和竖直方向都做匀速运动，则合运动为直线运动，根据运动的独立性原理可知，运动到顶部时间仍等于t，A、B错误；
玻璃管加速移动时，蜡块水平方向做加速运动，竖直方向做匀速运动，合运动为曲线运动，即蜡块做曲线运动，运动到顶部时间仍等于t，C错误，D正确。
√
√
√
质点所受合外力方向与加速度方向相同，沿x轴正方向，由上述分析可知，质点的初速度方向不沿y轴方向，故C错误；
√
√
解析：0到t4时间内，无人机速度一直为正，即一直向上运动，则t2时刻，无人机还没有运动到最高点，故A错误；
0到t1时间内，无人机在水平方向做初速度为零的匀加速运动，在竖直方向也做初速度为零的匀加速运动，则合运动为匀加速直线运动，故B正确；
t3到t4时间内，无人机水平方向做速度为v0的匀速运动，竖直方向做匀减速运动，则合运动为匀变速曲线运动，故D正确。单元过关检测(一)
(时间：75分钟　分值：100分)
一、单项选择题：本题共7小题，每小题4分，共28分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．炮弹从炮口射出时的速度大小为v，方向与水平方向成α角，如图所示。把这个速度沿水平和竖直方向分解，其竖直分速度的大小是 (　　)
A．v sin α　　　　　　　 B．v cos α
C． D．
解析：选A。根据速度的合成与分解原则，可得竖直方向的速度vy＝v sin α。
2．第十五届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日－17日在珠海举行。航展首日，我国新型隐形战机歼 35A惊喜亮相，如图甲所示，这标志着我国已成为第二个同时拥有两款隐身战斗机服役的国家。假设35A某次飞行表演时正沿图乙所示轨迹加速运动，则飞机所受合力与速度关系可能为 (　　)
解析：选A。物体做曲线运动时，轨迹夹在速度方向与合力方向之间，且合力在轨迹的凹侧，由于隐形战机加速运动，故速度方向与合力方向夹角为锐角。
3．小明同学在国庆假期乘坐动车旅行，进站时动车可以看作匀减速直线运动。小明将一个小球由静止释放(如图所示)，不计空气阻力，则小球相对车厢下落的轨迹可能是 (　　)
解析：选C。小球水平方向相对车厢向右以加速度大小为a做匀加速运动，竖直方向做自由落体运动，小球相对车厢做匀加速直线运动，轨迹为C。
4．一小船渡河，河宽100 m，水流速度为3 m/s，小船在静水中的速度为4 m/s，则 (　　)
A．小船不能垂直到达正对岸
B．小船渡河的时间最短为25 s
C．小船渡河的实际速度一定为7 m/s
D．小船船头始终垂直于河岸渡河，若渡河过程中水流速度变大，则渡河时间将变长
解析：选B。因小船的静水速度大于水流速度，则小船能垂直到达正对岸，A错误；当船头垂直于河岸时渡河时间最短，则小船渡河的最短时间tmin＝＝ s＝25 s，B正确；只有船速和水流速度同向时小船渡河的实际速度才为7 m/s，因要渡河，则船实际渡河速度小于7 m/s，C错误；小船船头始终垂直于河岸渡河，若渡河过程中水流速度变大，因垂直于河岸方向的分速度不变，则渡河时间不变，D错误。
5．如图所示，圆弧形凹槽固定在水平地面上，其中ABC是以O为圆心的一段圆弧，位于竖直平面内。现有一小球从水平桌面的边缘P点向右水平飞出，该小球恰好能从A点沿圆弧的切线方向进入凹槽。OA与竖直方向的夹角为θ1，PA与竖直方向的夹角为θ2。下列选项正确的是 (　　)
A．tan θ1tan θ2＝2 B．＝2
C．＝2 D．＝2
解析：选A。小球在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，小球在A点时速度与水平方向的夹角为θ1，则tan θ1＝＝，位移与竖直方向的夹角为θ2，则tan θ2＝＝＝，则tan θ1tan θ2＝×＝2。
6．某中学举办“套圈”活动。如图所示，小明同学站在标志线后以v0＝4 m/s的速度水平抛出一铁丝圈，正好套中静放在正前方水平地面上的饮料罐A。抛出时，铁丝圈位于标志线的正上方h＝0.45 m处，若铁丝圈、饮料罐均可视为质点，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，下列说法错误的是 (　　)
A．铁丝圈在空中运动的时间为0.3 s
B．饮料罐A与标志线的距离x＝1.2 m
C．铁丝圈落地前瞬间，速度大小为5 m/s
D．保持铁丝圈抛出位置不变，若要套中饮料罐B，水平抛出速度应变为6 m/s
解析：选D。铁丝圈在空中运动的时间t＝＝0.3 s，A正确，不符合题意；饮料罐A与标志线的距离x＝v0t＝1.2 m，B正确，不符合题意；铁丝圈落地前瞬间，速度大小v＝ eq \r(v＋(gt)2)＝5 m/s，C正确，不符合题意；保持铁丝圈抛出位置不变，若要套中饮料罐B，水平抛出速度应变为v0′＝＝5 m/s，D错误，符合题意。
7．网球运动员将球沿水平方向击出，球离开球拍后划出一条曲线向对方场地飞去，如图所示。网球可视为质点，不计空气阻力。下列说法正确的是 (　　)
A．网球的初速度越大，在空中运动时间越长
B．网球初位置越高，水平位移越大
C．网球在空中的速度变化量仅由抛出时的高度决定
D．网球的落地速度越大，说明抛出位置越高
解析：选C。竖直方向有h＝gt2，解得t＝，可知网球的飞行时间与初速度无关，故A错误；水平方向有x＝v0t＝v0，可知网球水平位移与高度和初速度有关，初位置越高，初速度小，水平位移不见得越大，故B错误；网球在水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，速度变化量只在竖直方向，有v＝2gh，解得Δv＝vy＝，可知，网球在空中的速度变化量仅由抛出时的高度决定，故C正确；水平方向有vx＝v0，则落地速度v＝ eq \r(v＋(\r(2gh))2)＝ eq \r(v＋2gh)，可知，落地速度的大小与初速度和抛出点的高度有关，高度相同，则初速度越大，落地速度越大，故D错误。
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分。
8．骑马射箭是蒙古族传统的体育项目，如图甲所示，选手骑马沿如图乙所示直线O1O2匀速前进，速度大小为v1，运动员静止时射出的箭速度大小为v2，且有v2>v1，靶中心P到O1O2的距离为d，垂足为D，忽略箭在竖直方向的运动，下列说法正确的是 (　　)
A．为保证箭能命中靶心，选手应瞄准靶心放箭
B．为保证箭能命中靶心，选手必须在到达D点之前某处把箭射出
C．为保证箭能命中靶心，且运动时间最短，箭射中靶心的最短时间为
D．为保证箭能命中靶心，且运动位移最短，箭射中靶心的时间为 eq \f(d,\r(v－v))
解析：选CD。箭射出的同时，也要参与沿直线O1O2方向的匀速运动，若运动员瞄准靶心放箭，根据矢量合成可知，箭的合速度方向不会指向靶心，即箭不能命中靶心，故A错误；箭射出的同时，箭有沿直线O1O2匀速前进的速度v1和沿射出方向匀速运动的速度v2，根据运动的合成可知，只要箭的合速度方向指向P点，均能射中靶心，由于v2大于v1，根据矢量合成规律可知，选手在到达D点之后某处把箭射出，也可能使箭的合速度方向指向P点，即不一定必须在到达D点之前某处把箭射出，故B错误；根据分运动的独立性与等时性可知，当箭垂直于直线O1O2方向射出时用时最短，则箭运动的最短时间tmin＝，故C正确；由于v2大于v1，可知当箭的实际位移垂直于直线O1O2时位移最短，最短位移大小为d，此时的时间t＝ eq \f(d,\r(v－v))，故D正确。
9．如图所示，AB为半圆弧ACB的水平直径，C为ACB弧的中点，AB＝1.5 m，从A点水平抛出一小球，小球下落0.3 s后落到半圆弧ACB上，不计空气阻力，g取10 m/s2，则小球抛出的初速度v0可能为 (　　)
A.0.5 m/s B．1.5 m/s
C．3 m/s D．4.5 m/s
解析：选AD。小球做平抛运动，根据h＝gt2，可得下落0.3 s的高度h＝0.45 m，因圆弧半径为0.75 m，则小球运动的水平距离可能为x＝R＋＝1.35 m，则平抛运动的初速度v0＝＝ m/s＝4.5 m/s，水平距离还可能为x1＝R－＝0.15 m，则平抛运动的初速度v01＝＝0.5 m/s。
10．如图所示，倾角为θ的斜面固定在水平面上，从斜面顶端以速度v0水平抛出一小球，经过时间t0恰好落在斜面底端，速度是 v，不计空气阻力。下列说法正确的是 (　　)
A．若以速度2v0水平抛出小球，则落地时间为t0
B．若以速度2v0水平抛出小球，则落地时速度方向与v同向
C．若以速度v0水平抛出小球，则撞击斜面时间为t0
D．若以速度v0水平抛出小球，则撞击斜面时速度方向与v同向
解析：选ACD。由题意可知，小球以速度v0水平抛出后恰好落在斜面底端，由h＝gt有t0＝，所以当以速度2v0抛出后必然落在水平面上，由于抛出点距离水平面的高度相同，故t＝t0，速度方向与水平方向的夹角tan θ＝，由于竖直速度相同，水平速度不同，则落在水平面上的速度方向和落在斜面上速度方向不同，故 A正确，B错误；小球落在斜面上的速度与水平方向夹角的正切值tan β＝2tan θ，可知速度方向与水平方向夹角正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，位移与水平方向夹角θ不变，若以速度v0水平抛出小球，小球必然落在斜面上，设速度与斜面的夹角为β′，由平抛运动的规律可知tan β′＝2tan θ，所以β＝β′，所以小球撞击斜面时速度方向与 v同向，故D正确；根据tan β＝＝，由于落在斜面上的小球速度方向与水平方向的夹角β一定，故初速度为时，时间t＝，C正确。
三、非选择题：本题共5小题，共54分。解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。
11．(9分)某同学分别用电磁实验装置和频闪相机研究平抛运动：
(1)如图甲所示，将小球a由斜槽上某一高度处静止释放，小球离开斜槽末端(水平)时撞开轻质接触式开关，被电磁铁吸住的小球b同时自由下落。结果发现a、b两球同时落地，这个演示实验说明： ___________。
(2)某次实验，用频闪照相记录两小球a、b在不同时刻的位置如图乙所示。若实验所用小球直径为D，用刻度尺测得照片中小球直径为d。图乙中b球运动过程中四个相邻时刻的竖直高度差分别为y0、y1、y2，a球两个相邻时刻水平距离x，重力加速度为g。在误差允许的范围内，y1＝________(用y0、y2表示)；利用这些数据计算a球平抛初速度为________(用x、d、D、g、y1、y2表示)。
解析：(1)a、b两球同时落地，这个演示实验说明平抛运动在竖直方向的分运动是自由落体运动。
(2)因为竖直方向为自由落体运动，所以等时间段内的位移差为定值，所以y2－y1＝y1－y0，则y1＝；若实验所用小球直径为D，用刻度尺测得题图乙中小球直径为d，则实际长度与频闪照片上长度的比例为k＝，则b球三个相邻时刻的竖直高度差y1、y2，a球两个相邻时刻水平距离x，实际值分别为、、，令相邻时刻之间的时间间隔为T，则有＝gT2，＝v0T，解得v0＝x。
答案：(1)见解析　(2)　x
12．(10分)某小组用如图1所示的装置研究平抛运动。将坐标纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直硬板上，小球沿斜槽轨道滑下后从斜槽末端Q点飞出，落在水平挡板MN上，在坐标纸上挤压出一个痕迹点，移动挡板，依次重复上述操作，坐标纸上将留下一系列痕迹点。
(1)关于该实验应注意的问题，下列做法合理的是________。
A．应使小球每次从斜槽上同一位置由静止释放
B．调节挡板的高度时必须等间距变化
C.建立坐标系时，坐标原点应为斜槽口的末端
D．小球运动时不应与木板上的白纸(或方格纸)相接触
(2)在该实验中，让小球多次从斜槽上滚下，在白纸上依次记下小球的位置，同学甲、乙得到的记录纸如图2所示，从图中明显看出甲的实验错误是________________，乙的记录纸中有两个点位于抛物线下方的原因是________________。
(3)丙同学不小心将记录实验的坐标纸弄破损，导致平抛运动的初始位置缺失。他选取轨迹上的某一点作为坐标原点O，建立xOy坐标系(x轴沿水平方向，y轴沿竖直方向)，如图3所示。在轨迹上选取A、B两点，坐标纸中每个小方格的边长为L，重力加速度为g，根据题中所给信息，可以求出小球从O点运动到A点所用的时间t＝________，小球做平抛运动的初速度v0＝________(计算结果均用L、g表示)。
解析：(1)为了保证小球每次抛出的速度相同，应使小球每次从斜槽上同一位置由静止释放，故A正确；调节挡板的高度时不需要等间距变化，故B错误；建立坐标系时，坐标原点应为小球处于斜槽口末端时球心在白纸上的水平投影点，故C错误；为了减小误差，小球运动时不应与木板上的白纸(或方格纸)相接触，故D正确。
(2)从题图2甲中明显看出甲的实验错误是小球抛出时的速度不是水平方向，即斜槽末端不水平；题图2乙的记录纸中有两个点位于抛物线下方的原因是静止释放小球的位置不同。
(3)竖直方向，根据Δy＝yAB－yOA＝5L－3L＝gt2，可得小球从O点运动到A点所用的时间t＝，水平方向，根据x＝4L＝v0t，可得小球做平抛运动的初速度v0＝2。
答案：(1)AD　(2)斜槽末端不水平　静止释放小球的位置不同　(3)　2
13．(10分)如图所示，质量都为1 kg的两个物体A、B，用轻绳跨过定滑轮相连接，在水平力作用下，物体B沿水平地面向右运动，物体A恰以速度2 m/s匀速上升，已知物体B与水平面间的动摩擦因数为0.15，重力加速度g取10 m/s2，当物体B运动到使轻绳与水平方向成α＝37°时，(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
(1)物体B所受摩擦力的大小；(5分)
(2)物体B的速度大小。(5分)
解析：(1)物体A匀速运动，可得
T＝mg
当轻绳与水平方向成α＝37°时，对物体B进行受力分析，根据共点力平衡，有
mg＝FN＋T sin α，f＝μFN
解得f＝0.6 N。
(2)根据平行四边形定则，将物体B的速度沿绳方向和垂直于绳方向进行分解有vA＝vB cos α
解得物体B的速度大小vB＝2.5 m/s。
答案：(1)0.6 N　(2)2.5 m/s
14．(11分)一架轰炸机在距地面1 125 m的高空以216 km/h的水平速度匀速飞行，现要炸掉敌方地上的一座军火库。重力加速度大小g取10 m/s2，求：
(1)炸弹应在轰炸机飞过军火库正上方多长时间之前投掷，才能击中目标；(5分)
(2)从炸弹离开轰炸机到击中目标，轰炸机又飞行的距离。(6分)
解析：(1)设炸弹从投掷到击中目标的时间为t，根据自由落体运动的公式h＝gt2
代入数据得t＝＝15 s
由于炸弹是在轰炸机飞过军火库正上方之前投掷的，所以炸弹应在轰炸机飞过军火库正上方15 s之前投掷，才能击中目标。
(2)已知轰炸机水平运动速度
v0＝216 km/h＝60 m/s
所以轰炸机又飞行的距离
x＝v0t＝900 m。
答案：(1)15 s　(2)900 m
15．(14分)某科技小组进行模拟军事演练。A、B两地在同一高度，相距L＝3 440 m，从A地向B地发射一枚炮弹，初速度大小vA＝200 m/s，与水平方向成37°，炮弹发射后6 s，B地雷达发现炮弹，立即发出拦截弹进行拦截，已知拦截弹发出后8 s成功拦截，炮弹和拦截弹轨迹在同一竖直面内，运动过程中仅受重力，重力加速度大小g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)若不采取拦截措施，则炮弹将落在距B点多远处？(6分)
(2)求B地发出的拦截弹初速度的竖直分量大小。(8分)
解析：(1)若无拦截，A处炮弹在空中运动时间
t＝
水平方向x＝vA cos 37°·t
解得x＝3 840 m
落地点到B点的距离
s＝x－L＝400 m。
(2)由题意可知，在炮弹发出
t1＝6 s＋8 s＝14 s时被拦截
拦截弹运动时间t2＝8 s，设拦截弹的初速度大小为vB，竖直方向
vAt1sin 37°－gt＝vByt2－gt
解得vBy＝127.5 m/s。
答案：(1)400 m　(2)127.5 m/s(共3张PPT)
章末知识网络建构
答案：G　F　A　E　B　C　D
感谢观看
THANKS(共33张PPT)
专题提升课1　运动合成与分解的两类模型
专题深度剖析
PART
01
第一部分
微专题一　“小船过河”模型
1．小船渡河模型
小船的实际运动是船随水流的运动(速度为v水)和船在静水中的运动(速度为v船)的合运动。船的航行方向是实际运动的方向，即合速度的方向。两个方向的运动情况相互独立、互不影响。
　　一轮船的船头始终指向垂直于河岸的方向，并以一定的速度向对岸行驶，水匀速流动，则关于轮船通过的路程、渡河经历的时间与水流速度的关系，下列说法正确的是　 (　　)
A．水流速度越大，路程越长，时间越长
B．水流速度越大，路程越短，时间越短
C．渡河时间与水流速度无关
D．路程与水流速度无关
√
　　(2025·上海市期末)如图，从河岸M驶向对岸N，已知船在静水中的速度v大于水速u，图中航程最短的是 (　　)
[解析]　由于船在静水中的速度v大于水速u，则当船的合速度方向垂直于河岸时，驶向正对岸的航程最短，此时船头斜向上游。
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　　2024年9月27日“运河争辉”乌篷船马拉松邀请赛在浙江绍兴浙东运河越城区段举行。已知小船在静水中的速度为4 m/s，现让船渡过某条河，若此河的两岸是理想的平行线，河宽d＝200 m，水流速度为3 m/s，方向与河岸平行。
(1)欲使小船以最短时间渡河，最短时间是多少？小船的位移多大？
[答案]　50 s　250 m
(2)欲使小船以最短位移渡河，渡河所用时间是多少？
(3)若河水因涨水导致水流速度变为6 m/s，小船在静水中的速度为4 m/s不变，此种情况下渡河最短位移及渡河时间分别为多少？
微专题二　“速度关联”模型
1．“关联”模型
关联速度问题一般是指物拉绳(或杆)和绳(或杆)拉物问题。高中阶段研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长且不可压缩的，即绳或杆的长度不会改变。绳、杆等连接的两个物体在运动过程中，其速度通常是不一样的，但两个物体沿绳或杆方向的速度大小相等，我们称之为关联速度。
2．解题步骤
(1)先确定合运动，即物体的实际运动。
(2)确定合运动的两个实际作用效果，一是沿绳(或杆)方向的平动效果(改变速度的大小)；二是沿垂直于绳(或杆)方向的转动效果(改变速度的方向)。即将实际速度分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)方向的两个分量。
(3)按平行四边形定则进行分解，作出运动矢量图。
(4)根据沿绳(或杆)方向的速度相等列方程求解。
3．常见模型
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模型1　绳牵连物体模型
　　如图所示，一辆货车利用跨过定滑轮的缆绳提升一箱货物，货车匀速向左运动时，货物的速度 (　　)
A．逐渐减小　　　 　 B．逐渐增大
C．先减小后增大 D．先增大后减小
[解析]　将汽车的速度进行分解，分解为沿着绳方向的v∥和垂直于绳方向的v⊥，如图所示，可知货物的速度与车沿着绳方向的分
速度大小始终相等，则有v货＝v∥＝v cos θ，随着汽车前
进，θ角减小，cos θ增大，由此可知货物的速度逐渐增大。
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[解析]　若P沿环运动至最低点时的速度大小为v，此时小球P的速度方向刚好处于水平方向，设小球Q的速度为vQ，两球沿轻杆方向的分速度相等，则有v cosθ＝vQ cos θ，解得Q的速度大小vQ＝v。
　　(2025·广西南宁市期中)如图所示，直杆一端可绕固定轴O无摩擦转动，另一端始终靠在物块B上，B的表面光滑，控制物块B使其由静止开始水平向左做a＝0.4 m/s2的匀加速直线运动，在t＝2 s时，直杆与竖直面的夹角θ＝37°，端点A的速度为(sin 37°＝0.6) (　　)
A．1.0 m/s B．0.8 m/s
C．0.64 m/s D．0.6 m/s
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随堂巩固落实
PART
02
第二部分
1．(“小船过河”模型)两岸平行的河流，宽度为300 m，各处河水流速均为4 m/s。小船在静水中的速度为5 m/s，则 (　　)
A．若小船要以最短时间过河，则航程为300 m
B．若船头与上游河岸夹角合适，则过河所需的时间可能为55 s
C．若小船要以最短航程过河，则所需的时间为100 s
D．船头垂直于河岸过河时，如果途中河水流速突然增大，则过河时间将增大
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船头垂直于河岸过河时，如果途中河水流速突然增大，由以上分析可知，过河时间不变，故D错误。
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4．(“速度关联”模型)如图所示，一根长为L的直杆一端抵在墙角，一端倚靠在物块的光滑竖直侧壁上，物块向左以速度大小v运动时，直杆绕O点在竖直面内转动且始终与物块间有弹力。当直杆与水平方向的夹角为θ时，则 (　　)
A．A点速度大小也为v
B．A点速度大小与θ有关
C．A点速度方向与θ无关
D．A点速度方向与OA成θ角
√(共25张PPT)
课后达标检测
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题组1　“小船过河”模型
1．一条两岸平行的小河，河水自西向东流动，各处流速相同，一小船船头垂直于河岸行驶，下列说法正确的是 (　　)
A．若小船速度不变，小船可能做曲线运动
B．若小船速度不变，小船可能做匀变速直线运动
C．若小船沿垂直于河岸方向的初速度为零、加速度不为零且不变，小船做匀变速曲线运动
D．若小船沿垂直于河岸方向的初速度为零、加速度不为零且不变，小船可能做变加速曲线运动
解析：因水流速度处处相同，若小船速度不变，依据运动的合成可知，小船实际速度恒定，故小船做匀速直线运动，故A、B错误；
若小船沿垂直于河岸方向的初速度为零、加速度不为零且不变，则加速度与速度不共线，小船会做匀变速曲线运动，故C正确，D错误。
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2．某人想乘坐一条小木船渡河，若河面宽300 m，水流速度为3 m/s，木船相对静水速度为2 m/s，则此人渡河所需的最短时间为 (　　)
A．60 s　　　　　　 　 B．100 s
C．150 s D．300 s
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3．一小船在静水中的速度为4 m/s，它在一条河宽160 m、水流速度为3 m/s 的河流中渡河，则该小船 (　　)
A．不能到达正对岸
B．渡河的最短时间为32 s
C．以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为120 m
D．以最短位移渡河时，渡河时间为40 s
解析：由于小船在静水中的速度大于水流速度，则合速度方向可以垂直于河岸，小船能到达正对岸，故A错误；
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4．一小船在静水中的速度为3 m/s，它在一条河宽为150 m、流速为5 m/s的河流中渡河，则下列说法正确的是 (　　)
A．小船渡河时间不少于60 s
B．小船以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为150 m
C．小船以最短位移渡河时，位移大小为250 m
D．小船以最短位移渡河时，用时为60 s
船以最短时间渡河时沿水流方向的位移大小x＝v水tmin＝250 m，故B错误；
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6．(多选)生活中运送装修材料时，常采用图中的滑轮装置。向右做匀速直线运动的工作人员A通过一根绕过定滑轮的轻绳吊起装修材料B，设工作人员和装修材料的速度大小分别为vA和vB，则下列说法正确的是 (　　)
A.vAB．vA>vB
C．物块B处于超重状态
D．物块B处于失重状态
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解析：工作人员A的运动可分解为沿绳方向和垂直于绳方向的两个运动，设斜拉绳子与水平方向的夹角为θ，由几何关系可得vB＝vA cos θ，所以vA>vB，故B正确，A错误；
工作人员A向右做匀速直线运动，vA不变，斜拉绳子与水平方向的夹角θ减小，则cos θ增大，所以vB增大，即物块B向上做加速直线运动，处于超重状态，故C正确，D错误。
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7．(多选)(2025·吉林松原五校期末联考)生活中人们通常利用定滑轮来升降物体。如图所示，一根轻质不可伸长的细绳绕过光滑的定滑轮，细绳的一端系着质量为m的重物A，另一端由人握着以速度v向左匀速移动。经过图示位置时，细绳与水平方向的夹角为α，则在人向左匀速移动过程中，下列说法正确的是 (　　)
A．重物加速上升
B．重物以速度v匀速上升
C．细绳对重物的拉力有可能等于它的重力
D．若α＝60°，则人与重物的速度大小之比为2∶1
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解析：将人的速度分解为沿细绳方向和垂直于细绳方向，重物A的速度等于沿绳方向的速度，则有v物＝v cos α，由于人向左以速度v匀速移动的过程α逐渐减小，cos α逐渐增大，则重物向上做加速运动，故A正确，B错误；
由于重物向上做加速运动，所以重物所受合力向上，则细绳对重物的拉力始终大于它的重力，故C错误；若α＝60°时，则人与重物的速度大小之比v∶v物＝1∶cos 60°＝2∶1，故D正确。
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9．(多选)(2025·黑龙江鸡西市密山市期末)如图所示，沿水平地面向右运动的汽车通过跨过定滑轮的轻绳将重物匀速提起的过程中，下列说法正确的是 (　　)
A．汽车做加速运动
B．汽车做减速运动
C．汽车对地面的压力减小
D．汽车对地面的压力增大
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解析：设绳子与水平方向的夹角为θ，将车的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，沿绳子方向的速度等于重物的速度，根据平行四边形定则得v物＝v cos θ，重物被匀速提起的过程中，绳子与水平方向的夹角θ减小，所以汽车的速度减小，向右减速， 故A错误，B正确；
对汽车在竖直方向有T sin θ＋N＝mg，绳子的拉力T与重物的重力相等且不变，拉力与水平方向的夹角θ减小，则N增大，根据牛顿第三定律可知汽车对地面的压力增大，故C错误，D正确。
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12．(2025·辽宁辽阳市期末)假日期间，小王去海边游玩。在小王乘坐的小船渡过某段紧挨平直海岸、宽度为300 m的水域的过程中，小船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，海水沿海岸方向的流速与船到海岸的距离的关系如图乙所示，则关于小船船头垂直于海岸渡过这段水域的运动，下列说法正确的是 (　　)
A．渡海时间为100 s
B．渡海位移大于300 m
C．最大速度为3.5 m/s
D．运动轨迹为直线
船在沿海岸方向做变速运动，在垂直于海岸方向上做匀速直线运动，两分运动的合运动为曲线运动，则渡海位移大于300 m，故B正确，D错误。题组1　平抛运动的性质和特点
1．在实际生活中，最接近抛体运动的是 (　　)
A．手抛出的小石块
B．秋风吹落的树叶
C．在空中高速运动的炮弹
D．空中飞翔的纸飞机
解析：选A。以一定的速度抛出的物体，只在重力作用下的运动，是抛体运动，如果有空气阻力，但空气的阻力跟重力相比可以忽略不计，也可以看成抛体运动。手抛出的小石块的运动最接近拋体运动，故A正确；秋风吹落的树叶，空气的阻力不能忽略，因此不能看成抛体运动，故B错误；物体在空气中运动，速度越大，阻力也越大，在空中高速运动的炮弹，由于阻力的影响，实际轨迹不再是抛物线，因此不能看成抛体运动，故C错误；空中飞翔的纸飞机，空气的阻力不能忽略，因此不能看成抛体运动，故D错误。
2．做平抛运动的物体，在水平方向通过的最大距离取决于 (　　)
A．物体所受的重力和抛出点的高度
B．物体的初速度和抛出点的高度
C．物体所受的重力和初速度
D．物体所受的重力、高度和初速度
解析：选B。对于做平抛运动的物体，在水平方向上有x＝v0t；在竖直方向上有h＝gt2；所以水平位移x＝v0 ，所以水平方向通过的最大距离取决于物体的高度和初速度，B正确。
3．一小球被水平抛出，做平抛运动，若从小球被抛出开始计时，则小球在运动过程中 (　　)
A．做变加速曲线运动
B．加速度大小与时间成正比
C．速度大小与时间成正比
D．速度变化量的大小与时间成正比
解析：选D。小球做平抛运动，运动过程中加速度不变，为重力加速度，即小球做匀变速曲线运动，速度的变化量Δv＝gt，所以速度变化量的大小与时间成正比，故A、B错误，D正确；小球在竖直方向上做自由落体运动，在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向的分速度vy＝gt，水平方向的分速度为v0，则实际速度vt＝ eq \r(v＋g2t2)，所以速度大小与时间不成正比，故C错误。
题组2　平抛运动规律的应用
4．(2024·海南卷，T3)在跨越河流表演中，一人骑车以25 m/s的速度水平冲出平台，恰好跨越宽x＝25 m的河流落在河对岸平台上，不计空气阻力，g取10 m/s2，则两平台的高度差h为 (　　)
A．0.5 m B．5 m
C．10 m D．20 m
解析：选B。车做平抛运动，设运动时间为t，竖直方向h＝gt2，水平方向x＝v0t，其中，x＝25 m、v0＝25 m/s，解得h＝5 m。
5．水上乐园有一末端水平的滑梯，人从滑梯顶端由静止开始滑下后落入水中。如图所示，人滑到滑梯末端时速度大于v＝4 m/s，末端到水面的高度h＝1.0 m。重力加速度g取10 m/s2，将人视为质点，不计摩擦和空气阻力。则人的落水点到滑梯末端的水平距离为 (　　)
A．4.0 m B．4.5 m
C．5.0 m D．5.5 m
解析：选A。人从滑梯顶端由静止滑到滑梯末端速度v＝4 m/s，从滑梯末端水平飞出后做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，根据h＝gt2可知落水时间t＝＝ s，水平方向做匀速直线运动，则人的落水点距离滑梯末端的水平距离x＝vt＝4.0 m。
6．(2024·1月浙江选考，T8)如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为 (　　)
A． B．
C． D．(＋1)D
解析：选C。设出水孔到水桶中心距离为x，则x＝v0，水落到桶底A点时有x＋＝v0，解得v0＝。
7．如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是 (　　)
A．将击中P点，t大于
B．将击中P点，t等于
C．将击中P点上方，t大于
D．将击中P点下方，t等于
解析：选B。由于子弹水平射出后做平抛运动，小积木做自由落体运动，二者竖直方向运动状态相同，所以子弹将击中P点；子弹水平方向做匀速直线运动，由L＝vt可得t＝，B正确。
8．如图所示，从水平面上A点正上方5 m处的O点水平向右抛出一个小球的同时，位于A点右方3 m 远处的物块B正以4 m/s2的加速度从静止开始做匀加速运动，恰好在P点被小球击中。重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，则 (　　)
A.物块B从开始运动到被击中的时间为1 s
B．小球的初速度越大，它在空中飞行的时间越长
C．小球的水平射程为2 m
D．小球击中物块B时的速度为10 m/s
解析：选A。小球在空中做平抛运动，竖直方向有h＝gt2，解得t＝ ＝ s＝1 s，可知小球在空中飞行的时间与小球的初速度无关，物块B从开始运动到被击中的时间为1 s，故A正确，B错误；物块B的位移xB＝at2＝×4×12 m＝2 m，则小球的水平射程x＝3 m＋xB＝5 m，故C错误；小球的初速度v0＝＝ m/s＝5 m/s，小球击中物块B时的竖直分速度vy＝gt＝10 m/s，则小球击中物块B时的速度v＝ eq \r(v＋v)＝5 m/s，故D错误。
9．(2025·云南玉溪市期末)某同学玩飞镖游戏，如图所示，他将飞镖从镖盘正前上方某位置以速度v1水平投出后，经时间t1，飞镖击中靶心正上方某位置；第二次将飞镖从同一位置以速度v2水平投出后，经时间t2飞镖击中靶心正下方某位置。不计空气阻力，飞镖可视为质点，下列关系式正确的是 (　　)
A.v1>v2，t1v2，t1>t2
C．v1t2
解析：选A。两次飞镖从同一位置水平投出，均做平抛运动，第一次击中靶心正上方某位置，第二次击中靶心正下方某位置，有h1v2。
10．如图所示，三个小球从同一高度处的O点分别以水平初速度v1、v2、v3抛出，落在水平面上的位置分别是A、B、C，O′是O在水平面上的投影点，且O′A∶O′B∶O′C＝1∶3∶5。若不计空气阻力，则下列说法正确的是 (　　)
A．v1∶v2∶v3＝1∶3∶5
B．三个小球下落的时间之比为1∶3∶5
C．三个小球从抛出到落地的位移大小之比为1∶3∶5
D．三个小球落地时的速度大小之比为1∶3∶5
解析：选A。由于三个小球做平抛运动的高度相同，根据h＝gt2知，运动的时间相同，由于水平位移之比为1∶3∶5，根据v0＝知，初速度之比v1∶v2∶v3＝1∶3∶5，故A正确，B错误；水平位移之比为1∶3∶5，下降的高度相同，根据平行四边形定则知，落地时的位移之比不等于1∶3∶5，故C错误；三个小球做平抛运动的时间相等，根据vy＝gt知，三个小球落地时的竖直分速度相等，而水平速度之比为v1∶v2∶v3＝1∶3∶5，根据平行四边形定则知，落地时的速度大小之比不等于1∶3∶5，故D错误。
11．一架无人机以2 m/s的速度在5 m的高空水平飞行，从无人机上每隔0.5 s释放一个小球，先后共释放四个完全相同的小球。 若不计空气阻力，重力加速度g取 10 m/s2，下列说法正确的是 (　　)
A.第二个小球和第四个小球的下落所用时间均为1 s
B．第三个小球落地时的速度大小为10 m/s
C．第一个小球落地点与第四个小球的落地点间距为4 m
D．第一个小球和第二个小球在空中的任何时刻都不在同一竖直线上
解析：选A。每个小球都做相同的平抛运动，由 h＝gt2知，落地时间t＝＝1 s，A正确；小球落地的速度v＝ eq \r(v＋v)＝ eq \r(v＋2gh)＝ m/s，B错误；第一个小球与第四个小球之间间隔1.5 s，故落地点的间距s＝v0Δt＝2 m/s×1.5 s＝3 m，C错误；小球都做相同的平抛运动，水平方向都是相同速度的匀速直线运动，所以在空中任何时刻总是排成竖直的直线，D错误。
12．(12分)(2025·河南洛阳市期末)某课外兴趣小组借助传感器，研究一小球做平抛运动的规律。小球水平抛出0.5 s时速度方向与竖直方向成45°角，落地时速度方向与竖直方向成30°角，小球可看作质点，重力加速度g取10 m/s2，求(结果可以保留根式)：
(1)小球做平抛运动的初速度大小；(4分)
(2)小球抛出时距离地面的高度；(4分)
(3)小球抛出点与落地点之间的水平距离。(4分)
解析：(1)当小球抛出0.5 s后小球的竖直分速度vy1＝gt1＝5 m/s，水平方向的分速度
v0＝vy1tan 45°＝5 m/s。
(2)小球落地时竖直方向的分速度vy2＝＝5 m/s，小球抛出时距离地面的高度h＝ eq \f(v,2g)＝3.75 m。
(3)小球下落时间t＝＝ s，小球落地时的水平位移x＝v0t＝ m。
答案：(1)5 m/s　(2)3.75 m　(3) m

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