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高二年级数学试卷
一、单选题
1.已知f(x)是函数f()的导函数，则m
3+2△-f0-（)
△x
A.2f'(3)
B.(3)
C.3f"(3)
D./B)
2.己知随机变量X服从正态分布N(2,σ2），若P(X<)=0.3,则P(2≤X≤3)=()
A.0.15
B.0.2
C.0.3
D.与的取值有关
3.设/-，则/)()
A.元
B.-π
C.π2
D.-π
4.为了研究某种商品的广告投入x和收益y之间的相关关系，某研究小组收集了5组样本数据如表所示，
得到线性回归方程为夕=x+0.28,则当广告投
x/万元
1
2
3
入为10万元时，收益的预测值为()万元
y万元
0.50
0.80
1.00
1.20
1.50
A.2.48
B.2.58
D
5.如图，在平行六面体ABCD-ABGD中，AB=AD=1,AC,=4,AA1=3,
∠AAB=LA4D=于，则∠BAD=（）
A哥
B.
c.
D
6.某学校有A,B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐如果第1天去A餐厅，那么第
2天去A餐厅的概率为0.6：如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.已知王同学第2
天去A餐厅用餐，则第1天去B餐厅的概率(
)
A品
B日
c
D
7.针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女
生人数是男生人爱的宁，男生追星的人数占男生人数的名，女生追星的人数占女生人数的行，若在犯
错误的概率不超过5%的前提下认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有(
六中：高二数学试卷：
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n(ad-be)
参考数据及公式如下：父(a+bc+a)a+cb+d'
P(x'zx.)
0.050
0.010
0.001
A.12人
B.11人
3.841
6.635
10.828
C.10人
D.18人
8.在正三棱锥P-ABC中，PA=AB=3,点M满足PM=xPA+yPB+(2-x-y)PC,则AM的
最小值为()
A.46
B.6
c.66
D.26
5
二、多选题
9.已知空间向量m=(2,-1,3),n=（-4,2,x),则下列选项中正确的是（)
A.当m∥元时，x=6
B.当m1n时，x=2
C.当x=-4时，m+=6
D.
当x=1时，cos(元，列=-6
6
10.下列说法中正确的是（)
A若P(=子P(a-子，则P(-号
B已知随机支量X满足D(X)=4,D(X+)=1,则a=寸
C.己知随机变量X,Y满足Y=3X,E(2X-1)=5,则E(Y)=9
9
D.从1,2,3,4,5,6,7这7个数中任取3个不同的数，则这3个不同的数的中位数为4的概率为
5
1.对于函数()-2，下列说法正确的有()
A.f(x)在x=E处取得极大值
B.f(x)只有一个零点
c.f(2)D.若f)c
三、填空题
12.如图，在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，E,F,G分别为DD,BD,BB
的中点，则C,E与FG所成的角的余弦值为
第1页（共2页）
CS扫描全能王
3亿人都在用的扫描App《高二年级数学试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A C B D A B ACD ACD
题号 11
答案 ABC
1．A
【分析】利用导数的定义可化简所求极限.
【详解】 ．
故选：A.
2．B
【分析】根据正态分布曲线对称性可知 ， ，即可求
的值.
【详解】因为随机变量 服从正态分布 ，所以曲线关于 对称，所以
.
故选：B
3．A
【详解】因为 ，所以
4．C
【分析】求得样本中心点，得到 ，即可求解.
【详解】由 ，
可得数据可得样本中心点为：
代入回归方程 ，解得： ，
所以当 时， ．
故选：C
5．B
【分析】由图及空间向量加法可得 ，后由题意及模长公式可得答案.
【详解】设 ，因为六面体 是平行六面体，
答案第 1页，共 2页
所以 ，因为 ，
代入计算可得：
，
故有：
，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 .
故选：B
6．D
【分析】由条件概率计算公式和全概率计算公式即可求解.
【详解】设 ：第 1天去 A餐厅， ：第 1天去 B餐厅， ：第 2天去 A餐厅，
由题意，第 1天随机选餐厅，
因此 ；
由题意 ， ，
，
又 ，
因此： .
7．A
【分析】设男生人数为 ，根据独立性检验的原理，列出不等式，求出 x的范围，结合题意
确定其值，即可求得答案.
【详解】设男生人数为 ，则女生人数为 ,依题意可得列联表如下：
追星
性 合
喜欢追 不喜欢追
别 计
星 星
答案第 1页，共 2页
男
生
女
生
合
计
若在犯错误的概率不超过 5%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则 ，
由 ，解得 ，
因为 ， 为整数，所以若在犯错误的概率不超过 5%的前提下认为是否喜欢追星和性别有
关，
则 x至少为 12，即男生至少有 12人.
故选：A.
8. 在正三棱锥 中， ，点 满足
，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，延长 至点 ，使得
，得到 ，结合空
间向量的共面定理，得到 四点共面，把 到平面 的距离转化为点 到平
面 的距离的一半，结合正四棱锥的性质，即可求解.
【详解】如图所示，延长 至点 ，使得
，
答案第 1页，共 2页
所以 ，
又由 ，所以 四点共面，
所以 的最小值，即为点 到平面 的距离，
因为点 是 的中点，则点 到平面 的距离是点 到平面 的距离的一半，
又因为 ，所以三棱锥 为正三棱锥，
取等边 的中心为 ，连接 ，可得 平面 ，
所以 即为点 到平面 的距离，
在等边 ，因为 ，可得 ，
在直角 中，可得 ，
即点 到平面 的距离为 ，所以 的最小值为 .
故选：B.
9．ACD
【分析】对于 A，利用空间向量平行的性质即可判断；对于 B，利用空间向量垂直的坐标表
示即可判断；对于 C，根据空间向量坐标运算计算出 ，利用模长公式计算，从而得以
判断；对于 D，利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可判断.
【详解】对 A， ， 存在实数 ，使得 ，则
，即 ，
解得 ， ，故 A正确；
答案第 1页，共 2页
对 B， ， ，即 ，解得 ，故 B错误；
对 C，当 时， ， ，
，故 C正确；
对 D，当 时， ， ，
，故 D正确.
故选：ACD.
10. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若 ， ，则
B. 已知随机变量 满足 ， ，则
C. 已知随机变量 ， 满足 ， ，则
D. 从 1，2，3，4，5，6，7这 7个数中任取 3个不同的数，则这 3个不同的数的中位数为
4的概率为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用条件根概率公式计算判断 A；利用方差的性质计算判断 B；利用数学期望的性
质计算判断 C；利用古典概型概率公式计算可判断 D.
【详解】A选项，由 ，有 ，A选项正确；
B选项， ，∴ ， ，故 B选项错误；
C选项，∵ ，∴ ， ，
C选项正确；
D选项，从 7个数中任取 3个数，则基本事件总数为 ，而这 3个数的中位数是 4的
基本事件数为 ，故这 3个不同的数的中位数为 4的概率为 ，D选项正确.
故选：ACD.
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11．ABC
【分析】对 A，利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值即可判断；对 B，利
用函数的单调性和函数值的范围即可判断；对 C，利用函数的单调性比较出函数值的大小关
系即可判断；对 D，利用不等式恒成立，参数分离法即可求解．
【详解】对于 A，函数 ， ，
令 ，即 ，解得 ，
当 时， ，故 在 上为单调递增函数，
当 时， ，故 在 上为单调递减函数，
在 时取得极大值 ，故 A正确；
对于 B， 在 上为单调递增函数， ，函数 在 上有唯
一零点，
当 时， 恒成立，即函数 在 上没有零点，故 有唯一
零点，故 B正确；
对于 C， 在 上为单调递减函数， ， ，故 C正确；
对于D，由 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
设 ，则 ，令 ，解得： ，
当 时， ，函数 在 上单调递增；
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时，函数 取得最大值，最大值为 ， ，故 D错误．
12．
【分析】建立空间直角坐标系，分别求得 ，再利用向量的
夹角公式求解.
【详解】解：建立如图所示空间直角坐标系：
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则
，
， ，
所以 ，
即 与 FG所成的角的余弦值为 .
故答案为：
13．
【分析】根据表中数据求出 ，进而得出 的值，代入公式计算即可
得出答案.
【详解】由已知可得， ，
，
则 ，
，
所以， .
故答案为： .
14．
【分析】根据题意，设 为“第一次摸到黑球”， 为“第一次摸到白球”， 为“第二次摸到
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白球”，求得 和 ，结合全概率公式，即
可求解.
【详解】设 为“第一次摸到黑球”， 为“第一次摸到白球”， 为“第二次摸到白球”，
则 ,
若第一次摸到黑球（放回），第二次摸到白球的概率为 ，
若第一次摸到白球（不放回），第二次摸到白球的概率为 ，
由全概率公式，可得 .
15. 企业为了更加了解某设备的维修成本，统计此设备的使用年限 x（单位：年）和所支出
的维修费用 y（单位：万元）的有关资料如下表所示：
使用年限 x/年 2 3 4 5 6
维修费用 y/万元 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
（1）求线性回归方程 的系数 ， ；
（2）估计当使用年限为 8年时，维修费用是多少.
参考公式：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
， .
【答案】（1） ， ；
（2）9.92万元.
【解析】
【分析】（1）根据表中数据结合公式即可求出；
（2）将 代入回归方程即可求出.
【小问 1详解】
由已知数据制成下表：
答案第 1页，共 2页
i 1 2 3 4 5 合计
2 3 4 5 6 20
2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25
由此可得 ， ，
，
；
【小问 2详解】
回归直线方程为 ，
当 时， .
故估计当使用年限为 8年时，维修费用是 9.92万元.
16．
【详解】（1）连接 ，设 ，则 ，
， ，
则 ，
解得 ，则 为 的中点，由 分别为 的中点，
于是 ，即 ，则四边形 为
平行四边形，
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，又 平面 平面 ，
所以 平面 .
（2）法一：由（1）可知 ，则 ，得 ，
因此 ，则 ，有 ，
又 ， 平面 ，
则有 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 .
法二：因为 ，过点 作 轴 平面 ，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
在 中， ，
在 中， ，
设 ，所以由 可得： ，
可得： ，所以 ，
则 ，所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，得 ，
令 ，则 ，所以 ，
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设平面 的法向量为 ，
则 ，得 ，
令 ，则 ，所以 ，
，
所以平面 平面 BEF；
17．(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）设 分别表示事件“所选的题目为篮球相关知识的题目”、“所选的题目为
足球相关知识的题目”、“所选的题目为排球相关知识的题目”，结合全概率公式即可求解；
（2）确定 的可能取值，求得对应概率即可求解；
【详解】（1）设 “甲同学所选的题目回答正确”，
设 分别表示事件“所选的题目为篮球相关知识的题目”、
“所选的题目为足球相关知识的题目”、“所选的题目为排球相关知识的题目”，
根据题意得 ， ， ，
， ， ；
所以
（2）由题意可知， 的可能取值为 ，1，8，15
则 ，
，
，
，
所以 的分布列为：
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1 8 15
所以 .
18．【详解】（1）
以 D为坐标原点，以 , , 的方向分别为 , , 轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
因为 ， ，
所以 ， ，即 ， ，
又因为 ， 平面 , 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 .
（2）设 ，则 ， ，
因为 ，所以 ，解得 ，所以 .
（i） ， ，设平面 BDE的一个法向量是 ，
则 ，即 ，令 ，得 ，
易知平面 的一个法向量是 ，
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设平面 与平面 BDE 所成二面角的大小为 ，
则 ，所以 ，
所以平面 与平面 BDE 所成二面角的正弦值是 ；
（ii）由（i）知，平面 BDE的一个法向量是 ， ，
设点 A到平面 BDE 的距离为 ，则 ，
所以点 A到平面 BDE 的距离为 .
19．(1)
(2) 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ； 时， 取得极小值
(3)2.
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可；
（2）求导，根据导数可得函数 的单调区间，根据极值的概念可得极值；
（3）分离参数，令 ， ，求导根据导数及对勾函数性
质可解.
【详解】（1）当 时， ，
则 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
（2）由（1）知 .
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增.
又 ，所以当 时， ，即
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所以 在区间 上单调递减；
当 时， ，即 ，
所以 在区间 上单调递增，
所以当 时， 取得极小值 .
（3） ，即 恒成立，等价于 恒成立，
即 恒成立.
令 ，令 ，
易知 在 上单调递增，且 ，
所以存在 ，使得 ，即 .
当 时， ，当 时，
所以 在区间 上单调递减， 在区间 上单调递增，
所以 .
又 在 上单调递减，所以 ，
即 ，所以 ，
又因为 ，所以 的最大值为 2.
答案第 1页，共 2页

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