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题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D A C B A D A B AD ACD ABD
12. 13. 14.
15.解：（1）由 ，得愿意报名参加答题活动人数为 ，.........1 分
由 ，得愿意报名参加答题活动的男生人数为 ，.............2 分
愿意报名参加答题活动的女生人数为 ，............................3 分
所以 列联表为：
性别 男生 女生 合计
不愿报名参加答题活动 20 60 80
愿意报名参加答题活动 80 40 120
合计 100 100 200
由表知，从不愿意报名参加答题活动的学生中随机选择 1 人，选到女生的概率为：
. ..........................................................6 分
（2）零假设为 ：学生报名参加答题活动与性别无关，
则 ， ........................10 分
依据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，.......................12 分
即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.001...13 分
16. 解：（1）由题意可得 ， ，
又因为 ，则 ， ，
又 、 、 三点共线，则存在实数 使得 ，
即 ，
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由平面向量基本定理得 ，解得 ，所以实数 的值 .
（2）由平面向量数量积的定义可得 ，由题意可得 ，
所以 .
同理， ，
，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ．
17．解：（1）法一：因为数列 是等差数列，设公差为 ，
因为 ，所以 ，
即 ，解得 ，.............................................2
分
所以 ，
数列 的通项公式为 ． ........................................3 分
法二：因为 ，所以 ，解得 ，
所以公差 ， ...............................................2 分
所以 ，
数列 的通项公式为
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． ...........................................................3 分
由 ，当 时， ，得 ，.....................4 分
当 时， ，所以 ，
所以 ，即
，.....................................................6 分
又 ，所以 ．
所以数列 是首项为 1，公比为 3 的等比数列，所以 . ...............7
分
（2）由（1）知， ， ，
所以 ， ..........................
11 分
所以
． ..............................................
.14 分
故数列 的前 n 项和 . .......................................15
分
18. 解：（1）由题意得 的定义域为 ， ，
当 时， ，则 在区间 内单调递增；
当 时，由 ，得 ， （舍去），
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减．
所以当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
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当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
（2）(i)依题意，函数 的定义域为 ，
所以函数 有两个不同的零点，
可得方程 在 有两个不同根，
得到函数 与函数 的图象在 上有两个不同交点，
又 ，当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，所以 ．
又 有且只有一个零点是 1，且在 时， ，在 时， ，
如图， 的图象如图：
可见，要想函数 与函数 在图象 上有两
个不同交点，只需 ．
(ii)由(i)可知 分别为方程 的两个根，即
， ，
所以原式等价于 ．
因为 ， ，所以原式等价于 ．
又由 ， 作差得， ，即 ，
所以原式等价于 ．
因为 ，原式恒成立，即 恒成立，
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令 ， ，则不等式 在 上恒成立．
令 ，则 ．
当 时，可见 时， ，所以 在 上单调递增，
又 ， 在 恒成立，符合题意；
当 时，可见当 时， ；当 时， ，
所以 在 时单调递增，在 时单调递减．
又 ，所以 在 上不能恒小于 0，不符合题意，舍去．
综上所述，若不等式 恒成立，只须 ，又 ，所以 ．
19. 解：（1）因为平面 ，平面 平面 ， ，所以
．
所以直线 CD 在 内的投影为直线 AB，所以直线 CD 与 所成角为 ．
过 D 作 ，垂足为 F 因为 CD 平分 ，所以 ．
又 ，所以 ，所以 ．
又 ，所以 ．因为 ，所以 ，
所以直线 CD 与平面 所成角为 ．
（2）（ⅰ）曲线 是椭圆，
理由如下：由（1）可知， ，
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所以 F 是 AC 的中点，设 AB 的中点为 O，所以 ．
又 ，所以 ．在 内过 O 作 ，所以 ，
以 O 为原点，OG，OB，OF 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角
坐标系．
因为 ，所以 ，
设 ，又 ，则 ．
因为 ，
又 ，所以 ，
化简得 ，即 ，所以曲线 是椭圆．
（ⅱ）方法一：设 ．
在平面 内，因为 l 与 AB 不重合，可设 ，
由 ，得 ，
所以 ．
由对称性知，若存在定点 T 满足条件，
则 T 必在平面 与 的交线 AB 上，故可设 ．
若 ，则 ，即 ，
因为 ，
所以 ，
当 时，上式恒成立，所以 符合题意；
当 时，有 ，
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所以 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ．
因为上式对于任意的 恒成立，所以 ．
综上，存在点 T 满足 ，或 时，符合题意．
方法二：设
在平面 内，因为 l 与 AB 不重合，可设： ，
由 ，得 ，
所以 ．
由对称性知，若存在定点 T 满足条件，则 T 必在平面 与 的交线 AB 上，故可设
．
当 T 与 B 重合时，因为 ，又 PT， ，所以 ．
所以当 时，符合题意．
当 T 与 B 不重合时，过 B 作 ，垂足分别为 ．连接 ，
则因为 ，所以 ．
又 ，所以 平面 ，
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所以 ，同理 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以直线 BT 平分 ，
又 BT 在 y 轴上，所以在平面 内直线 PT，QT 的倾斜角互补，
在平面 内，设直线 PT，QT 的斜率分别为 ，
则 ，
对于任意的 恒成立，所以 ．
综上，存在点 T 满足 ，或 时，符合题意．
答案第 8 页 共 8 页数 学
（120 分钟 150 分）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．抛物线 的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ， ， ，那么 的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．若直线 平面 ，则下列结论中成立的个数是（ ）
① 内的所有直线与 异面； ② 内的所有直线与 都相交；
③ 内存在唯一的直线与 平行； ④ 内不存在与 平行的直线．
A．0 B．1 C．2 D．3
6. 已知事件 A，B 满足 ， ，若 A 与 B 互斥，记 ，若 A 与
B 相互独立，记 ，则 （ ）
A．0 B．0.1 C．0.14 D．0.24
7. 已知圆 O 与直线 l 相切于点 A，点 P，Q 同时从点 A 出发，点 P
沿着直线 l 向右 点 Q 沿着圆周按逆时针以相同的速率运动.连接
OA，OQ，OP，OP 与圆 O 交于点 B，如图所示，记图中两个阴影部分
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的面积分别为 ， .当点 Q 运动到点 A 时，点 P 也停止运动，在这个过程中， ， 的
大小关系是（ ）
A． B． C． D．先 ，再 ，最后
8． 的展开式中，共有多少项（ ）
A．45 B．55 C．120 D．165
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。
9．设 为复数 为虚数单位），下列命题正确的有（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
10．如图，点 是函数 的图象与直线 相邻的三个交
点，且 ，则（ ）
A． B．
C．函数 在 上单调递减
D．若将函数 的图象沿 轴平移 个单位后关于 y 轴对称，则 的最小值为
11. 将编号为 1，2，……，n 的 n 个小球放入编号为 1，2，……，2n 的 2n 个盒子中，每
个盒子至多放一个小球，且对任意 ， 号球所在的盒子编号小于 号
球所在的盒子编号，记 为 号球放入编号为 k 的盒子的概率，下列说法正确的有
（ ）
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A．当 时，共有 6 种放小球的方法
B．当 时，2 号球放入的盒子编号不小于 3 的方法共有 16 种
C．当 时， D．当 时， 在 处取得最大值
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知两个变量 和 之间具有较强的线性相关关系，且 关于 的经验回归方程为
，由它计算出成对样本数据 对应的残差为 0.12，则 ______．
13．函数 的图象关于点 对称，且 ，则 ______．
14. 如图，圆心为 的三个两两外切的圆均与直线
相切，其中圆 的半径为 ，三个圆的半径大小成等比数列，
则 的面积大小为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤。
15.（13 分）某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与 AI 知识有关的网络答题活动，
为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生 女生各取 100 人.现从这 200 名学生中随机
选 1 名学生，设事件 为“选到的学生愿意报名参加答题活动”，事件 为“选到的学生
为男生”，且 .
(1)根据已知条件，完成下列 列联表.从不愿意报名参加答题活动的学生中随机选择
1 人，设选到女生的概率为 ，求 的值；
性别 男生 女生 合计
不愿报名参加答题活动
愿意报名参加答题活动
合计
(2)依据小概率值 的独立性检验，该校学生报名参加答题活动是否与性别有关.
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参考公式与数据： ，其中 .
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16.（15 分）如图，设 、 是平面内相交成 角的两条数轴， 、 分别是 轴、
轴正方向同向的单位向量，若向量 ，则把有序数对 叫做向量 在
坐标系 中的坐标．假设 ．
(1)设 、 ，若 、 、 三点共线，求实数 的值；
(2)设 ，求 的面积．
17.（15 分）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，数列 的前
项和为 ，满足 ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)已知数列 满足： ，求数列 的前 n 项和 ．
18.（17 分）已知函数 ．
(1)若函数 ，求函数 的单调区间；
(2)若函数 有两个不同的零点，记两个零点分别为 ，且 ．
(i)求 的取值范围；
(ii)已知 ，若不等式 恒成立，求 的取值范围．
19.（17 分）在 中， 的平分线交 AB 于点 D，
．平面 过直线 AB，且与 所在的平面垂直．
(1)求直线 CD 与平面 所成角的大小；
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(2)设点 ，且 ，记 E 的轨迹为曲线 ，以 AB 中点 O 为原点，建立适当
的坐标系．
(i)判断 是什么曲线，并求出 的轨迹方程；
(ii)不与直线 AB 重合的直线 l 过点 D 且交 于 P，Q 两点，试问：在平面：内是否存
在定点 T，使得无论 l 绕点 D 如何转动，总有 ？若存在，指出点 T 的位置；
若不存在，说明理由．

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