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浙江省舟山市定海区第二中学2025-2026学年下学期期中七年级数学试卷
1．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能看作由其中一部分平移得到的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列图形中，与不是同位角的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列方程中：① ；② ；③ ；④ ，二元一次方程有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列计算中，正确的是(　　)
A． B． C． D．
5．如图，点在延长线上，下列条件能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知和是方程的两个解，则的值（　　）
A．30 B．0 C．5 D．6
7．已知，则代数式的值为（　　）
A．2020 B．2026 C．2024 D．2022
8．如图，将长方形的一角折叠，以（点在上，不与重合）为折痕，得到，连接，设的度数分别为，若，则之间的关系是（　　）
A． B．
C． D．
9．古书中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当．”翻译成现代文，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊一样多．”设甲有羊只，乙有羊只，则符合题意的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
10．将正方形①，正方形②，长方形③，长方形④按如图所示放入长方形中（相邻的长方形，正方形之间既无重叠，又无空隙），且．若已知长方形的周长，则不能确定周长的图形是（　　）
A．正方形① B．正方形② C．长方形③ D．长方形④
11．已知方程，若用含的代数式表示，则　 　．
12．若化简的结果中，的一次项系数是，则　 　．
13．已知 则 x=　 　.
14．方程是关于，的二元一次方程，则　 　．
15．对于实数，定义运算“※”如下；※，例如，5※．若※，则的值为　 　．
16．已知 是完全平方式，则 m=　 　.
17．如图，点是射线上一动点，连接，过点作交直线于点，若，，则　 　．
18．已知关于的方程的解如表：
… 0 1 …
… 4 2 …
关于的方程的解如表：
0 1 …
4 1 …
则关于的二元一次方程组的解是　 　．
19．计算
（1）
（2）
20．解方程组
（1）
（2）
21．计算：
（1）先化简，再求值，其中．
（2）已知，求，的值．
22．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，三角形的顶点均在格点上，按下列要求画图：
（1）过点作，使点也在格点上，且；
（2）在给定的方格纸中，平移三角形，使点落在点处，请画出平移后的三角形，使的对应点分别为．
（3）请求出三角形的面积．
23．如图，已知，．
（1）证明：；
（2）若平分，于点，，求的度数．
24．某班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳，经班长统计，需要购买足球的有12名同学，需要购买跳绳的有10名同学．
打折前一次性购物总金额 优惠措施
不超过800元 不优惠
超过800元，但不超过1200元 按总售价打九折
超过1200元 其中1200元部分打九折，超过1200元部分打八折
（1）请根据班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价．
（2）若班长到商店后发现该商店正在进行打折活动，请你根据如表的优惠方式，计算优惠后实际只需支付多少元？
（3）按照上题的优惠办法，班长用1400元钱全部购买跳绳和足球，恰好用完．其中足球不少于12个，跳绳不少于10条，请你设计出所有的购买方案．
25．已知，，．
（1）如图1，判断与的位置关系，并说明理由；
（2）作的平分线交于点，点为线段上一点，连接，的平分线交线段于点．如图2，若，，，求的度数；
（3）如图3，连接，在（2）的条件下，将射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为秒（），已知，请直接写出的平分线与三角形的边平行时的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】生活中的平移现象；图形的平移
【解析】【解答】解：甲骨文是中国的一种古老文字，也是汉字的早期形态，在给出的这些甲骨文中，符合“由图形的一部分平移得到整个图形”这一特征的是：
因此答案选：A．
【分析】移指图形上所有点都按照同一个方向移动相同距离，移动过程中不改变图形的形状、大小和方向。
2．【答案】B
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：A，C，D中的∠1与∠2是同位角，
B中的∠1与∠2不是同位角，
故选：B.
【分析】本题考查同位角是两个角都在截线的同旁，分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，结合图形，据此判断，即可求解.
3．【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】① ，含有未知数的项的次数是2，不符合二元一次方程的定义，故不符合题意；
② ，不是整式方程不符合题意；
③ ，是二元一次方程，符合题意；
④ ，是二元一次方程，符合题意；
综上③④符合题意，共2个．
故答案为：B．
【分析】根据二元一次方程的定义，逐项判断即可。
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故答案为：D .
【分析】根据合并同类项、同底数幂乘法、完全平方公式、积的乘方的运算法则逐项判断解答即可．
5．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：、∵，
∴，不符合题意；
、∵，
∴，符合题意；
、∵，
∴，不符合题意；
、∵，
∴，不符合题意；
故选：．
【分析】
依据平行线的判定方法就能推出结论.
6．【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：因为和都满足方程，因此可以得到方程组：
将方程①和方程②相加，可得，
等式两边同时除以5，就可以得到
故选：D
【分析】方程的解就是满足方程的数值，将这两组x和y的解代入原方程，可得到一个关于m、n的二元方程组，最终将两式子相加就能得到m-n的值。
7．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
，
已知，
将其整体代入可得原式
．
故选：B
【分析】本题可以先根据整式运算法则化简所求式子，再结合已知条件整体代入求值即可.
8．【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质；平行线的应用-求角度；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
，，
又，
，
结合，可得，
又，已知，因此，整理得，
根据折叠的性质可知：，，
在中，由直角三角形两锐角互余可得：，
将角度关系代入得：，
移项整理可得：．
故选：C
【分析】先利用长方形的性质得到对边平行，四个内角为直角，再结合平行线的性质和已知角度，推导得到；接着根据折叠的性质得到折叠前后对应角相等，再结合直角三角形的内角关系建立等式，最终整理得到．
9．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甲有羊只，乙有羊只．
甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”
；
乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊就一样多．”
．
联立两方程组成方程组．
故选：C．
【分析】
设甲拥有的羊的数量为只，乙拥有的羊的数量为只，结合题目给出的两个条件：一是甲从乙处得到9只羊之后，甲的羊的总数会是乙剩余羊数量的两倍；二是乙从甲处得到9只羊之后，甲和乙的羊的数量相等，就可以列出包含、的二元一次方程组，即可完成本题的列式求解.
10．【答案】B
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：设长方形的周长为，
由图可知：设，，
∵
∴，，
∴；
∴长方形的周长为：，
解得：，
∴，
∴正方形①的周长为：
∵，，
∴长方形③的周长为：
则
∴正方形②的周长为，无法计算出来；
∵
∴
∵，
∴
∴长方形④的周长为
故选：B
【分析】
设长方形的周长为，同时设，，先结合长方形的周长公式列出等式，推导出，由此可以进一步得到，方便后续正方形周长的计算；接下来推导可得，已知，代入长方形周长公式计算可得：，由此即可得到最终答案.
11．【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：移项可得：，
整理得：，
系数化为1后得到：．
故填：
【分析】要把这个二元一次方程改写成用含x的式子表示y的形式，只需要先把含x的项移到等式的右侧，再将等式两边同时除以-2，就可以得到结果．
12．【答案】
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：先将原式展开计算：，
已知乘积中的一次项系数为，
因此可以列出关于m的方程：，
求解该方程，可得：．
故填：-3
【分析】本题先按照多项式乘多项式的运算法则展开原式，再结合题目给出的“x的一次项系数为”这一条件，建立关于m的方程，即可求出m的值．
13．【答案】3
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
，
，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：3 .
【分析】利用同底数幂的乘法和幂的乘方解答即可．
14．【答案】5
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：因为是关于x、y的二元一次方程，
，
求解绝对值方程，可得或，
求解不等式，可得，
因此最终得到．
故填：5
【分析】本题依据二元一次方程的定义求解：二元一次方程要求含有两个未知数，且未知数的次数都为1，同时未知数的系数不能为0，据此可得y的次数等于1，x的系数不为0，据此列出对应的方程和不等式，求解后即可得到m的值．
15．【答案】2
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：已知新运算规则为，且满足等式，
根据新定义的运算规则，可将该式转化为方程：，
将方程左侧展开，可得，
去掉括号并合并同类项后，得到一元一次方程：，
对该方程移项、将系数化为1，最终解得.
故填：2
【分析】本题按照题目给出的新定义运算规则，列出关于的一元一次方程，再求解方程即可得到答案.
16．【答案】7或-5
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：，且该多项式是完全平方式，
，
，
当时，
，
解得，
当时，
，
解得，
综上，或．
故答案为：7或-5 .
【分析】根据完全平方式的特征得到，求出m的值解答即可.
17．【答案】或．
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-求角度；分类讨论
【解析】【解答】解：分情况进行讨论：
情况一：当点D在线段上时，如图：
∵，根据平行线的性质，同位角相等，
∴，
已知，
因此；
情况二：当点D在的延长线上时，如图：
∵，根据平行线的性质可得同位角相等，
∴，
已知，
因此；
综上，的度数为或．
故填：或
【分析】本题需要根据点D的位置分两种情况讨论：点D在线段上，以及点D在的延长线上，先利用平行线的性质得到的度数，再结合角的和差关系计算即可得到最终答案．
18．【答案】
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：从表格数据可以得到，原方程组的解是，
我们把需要求解的这个关于的二元一次方程组进行变形整理：
对第一个方程移项调整后，可以得到，等式两边同时除以3，得到，
对第二个方程整理变形后，得到，等式两边同时除以3，得到，
对照已知原方程组的解，我们可以得到新的方程组，
去分母整理后得到，
把两个方程相加，可得，解得，
把代入方程，计算得到，
因此这个待求方程组的解为．
故填：
【分析】首先根据给定表格得到已知方程组的解，再把需要求解的方程组整理变形，通过对应关系得到关于x、y的新方程组，最后解这个新方程组即可得到结果.
19．【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式
．
【知识点】整式的混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）先运算同底数幂的乘法、积的乘方，然后合并同类项解答即可；
（2）先运算积的乘方逆运算、乘方，然后加减解答即可．
20．【答案】（1）解：
得，解得，
将代入②得，解得 ，
所以方程组的解为；
（2）解：
①式去分母得，
得，
得
得，解得，
将代入得，解得，
所以方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）先将原方程变形，再利用加减消元法求解即可.
（1）解：
得，
解得，
将代入②得，
解得 ，
所以方程组的解为；
（2）解：
①式去分母得，
得，
得
得，
解得，
将代入得，
解得，
所以方程组的解为．
21．【答案】（1）解：
当时，原式；
（2）解：∵，
∴
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式，平方差公式进行计算，再合并同类项，最后将字母的值代入进行计算即可求解；
（2）根据完全平方公式变形，即可求解．
（1）解：
当时，原式；
（2）解：∵，
∴
22．【答案】（1）解：如图，线段即为所求；
（2）解：三角形如图所示：
（3）解：连接，如图所示：
∴三角形的面积．
【知识点】三角形的面积；平移的性质；作图﹣平移
【解析】【分析】本题考查网格中的作图问题，包含平行线段作图、平移作图，以及网格中三角形面积的计算，确定作图的规律是解决本题的关键。
（1）观察图形可得，点向右平移2个单位、再向上平移4个单位后得到点，结合要求，且，可知将点同样向右平移2个单位长度，向上平移4个单位长度即可得到点，连接后即可得到符合要求的线段；
（2）根据一组对应点的位置，可以确定平移规则：将△ABC的所有点向右平移6个单位长度，向上平移3个单位长度，依次得到对应点后即可作出符合要求的△DEF。
（3）最后使用割补法，在网格中列式计算即可得到三角形的面积。
（1）解：如图，线段即为所求；
（2）解：三角形如图所示：
（3）解：连接，如图所示：
∴三角形的面积．
23．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
由（1）可知，
∴，
∵，平分，
∴，
由（1）可知，
∴

【知识点】垂线的概念；角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）已知，根据“同位角相等，两直线平行”，可推出；再根据“两直线平行，内错角相等”，可得。结合题目给出的，等量代换可得，最后根据“同旁内角互补，两直线平行”，即可推出；
（2）根据已知条件，结合平行线的性质，可以推得，再结合第一问的结论得到，代入，即可计算出的度数．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
由（1）可知，
∴，
∵，平分，
∴，
由（1）可知，
∴．
24．【答案】（1）解：设足球的单价为元，跳绳的单价为元，
根据题意可列方程组，解得
答：足球的单价为100元，跳绳的单价为20元.
（2）解：（元）
答：优惠后实际仅需支付1240元.
（3）解：设购买足球个，购买跳绳条，总花费为元，
根据题意可知，，，
因此可得，总花费超过了1200元，满足分段优惠的条件
根据优惠规则可列方程：，
解方程可得，
因此可得，即，
因此可得
解这个方程组，得到
最终得到
当时，，
当时，，
当时，，
因此，购买方案共有3个：购买足球12个，购买跳绳20条；购买足球13个，购买跳绳15条；购买足球14个，购买跳绳10条．
【知识点】一元一次不等式组的应用；有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设足球的单价为元，跳绳的单价为元，结合题目给出的条件列出二元一次方程组，计算出两种商品的单价；
（2）根据题目给出的优惠规则，直接计算总花费即可得到结果；
（3）设购买足球个，购买跳绳条，设总的购买费用为元，结合题意可以得到，再结合优惠方案可以推出，最后列出不等式组就能求出符合要求的购买方案．
（1）解：设足球的单价是元，跳绳的单价是元，
由题意得，
解得．
答：足球的单价是100元，跳绳的单价是20元．
（2）解：（元）．
答：优惠后实际只需支付1240元．
（3）解：设购买足球个，购买跳绳条，购买的总价为元，
由题意得，，，
∵，
∴，
解得，
∴，即，
∴，
解得，
∴，
当时，，
当时，，
当时，，
∴购买方案共有3个：购买足球12个，购买跳绳20条；购买足球13个，购买跳绳15条；购买足球14个，购买跳绳10条．
25．【答案】（1）解：结论是，推导过程如下：
已知，
根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”，可以得到，
题目中已经给出条件，
对上述等式进行等量代换后，可以得到，
最后根据平行线的判定定理“同旁内角互补，两直线平行”，就能推出.
（2） 解：如下图，过点作，
由题意可知平分，，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为平分，
所以，
因为，，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以.
（3）的值为或或．
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：（3）解：①当旋转到，时，如下图，
因为，，所以根据平行线性质可知，
因为，所以，
因为平分，所以，
由（2）可知旋转前，
所以旋转角为，所以；
②当旋转到，时，如下图，
由（2）可知，又因为，所以根据平行线性质可知，
因为，所以可知，
因为平分，所以可知，
由（2）可知旋转前，所以旋转角为，
所以可知；
③当旋转到，时，如下图，
因为，所以根据平行线性质可知，
因为平分，所以，
所以，
由（2）可知旋转前，所以旋转角为，
所以可得．
综上所述：的值为或或．
【分析】 （1）利用平行线的性质与判定定理得出角度想等的结论；
（2）过点作，利用平行线的性质与角平分线的定义，将角度等量关系传递，再根据角的计算，即可求解；
（3）分三种情况讨论：当旋转到，时；当旋转到，时；当旋转到，时，利用平行线的性质和角平分线的性质进行角度求解即可
（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如下图，过点作，
∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：①当旋转到，时，如下图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
由（2）可知旋转前，
∴旋转角为，
∴；
②当旋转到，时，如下图，
由（2）可知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
由（2）可知旋转前，
∴旋转角为，
∴；
③当旋转到，时，如下图，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
由（2）可知旋转前，
∴旋转角为，
∴．
综上所述：的值为或或．
1 / 1浙江省舟山市定海区第二中学2025-2026学年下学期期中七年级数学试卷
1．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能看作由其中一部分平移得到的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】生活中的平移现象；图形的平移
【解析】【解答】解：甲骨文是中国的一种古老文字，也是汉字的早期形态，在给出的这些甲骨文中，符合“由图形的一部分平移得到整个图形”这一特征的是：
因此答案选：A．
【分析】移指图形上所有点都按照同一个方向移动相同距离，移动过程中不改变图形的形状、大小和方向。
2．下列图形中，与不是同位角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：A，C，D中的∠1与∠2是同位角，
B中的∠1与∠2不是同位角，
故选：B.
【分析】本题考查同位角是两个角都在截线的同旁，分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，结合图形，据此判断，即可求解.
3．下列方程中：① ；② ；③ ；④ ，二元一次方程有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】① ，含有未知数的项的次数是2，不符合二元一次方程的定义，故不符合题意；
② ，不是整式方程不符合题意；
③ ，是二元一次方程，符合题意；
④ ，是二元一次方程，符合题意；
综上③④符合题意，共2个．
故答案为：B．
【分析】根据二元一次方程的定义，逐项判断即可。
4．下列计算中，正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故答案为：D .
【分析】根据合并同类项、同底数幂乘法、完全平方公式、积的乘方的运算法则逐项判断解答即可．
5．如图，点在延长线上，下列条件能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：、∵，
∴，不符合题意；
、∵，
∴，符合题意；
、∵，
∴，不符合题意；
、∵，
∴，不符合题意；
故选：．
【分析】
依据平行线的判定方法就能推出结论.
6．已知和是方程的两个解，则的值（　　）
A．30 B．0 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：因为和都满足方程，因此可以得到方程组：
将方程①和方程②相加，可得，
等式两边同时除以5，就可以得到
故选：D
【分析】方程的解就是满足方程的数值，将这两组x和y的解代入原方程，可得到一个关于m、n的二元方程组，最终将两式子相加就能得到m-n的值。
7．已知，则代数式的值为（　　）
A．2020 B．2026 C．2024 D．2022
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
，
已知，
将其整体代入可得原式
．
故选：B
【分析】本题可以先根据整式运算法则化简所求式子，再结合已知条件整体代入求值即可.
8．如图，将长方形的一角折叠，以（点在上，不与重合）为折痕，得到，连接，设的度数分别为，若，则之间的关系是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质；平行线的应用-求角度；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
，，
又，
，
结合，可得，
又，已知，因此，整理得，
根据折叠的性质可知：，，
在中，由直角三角形两锐角互余可得：，
将角度关系代入得：，
移项整理可得：．
故选：C
【分析】先利用长方形的性质得到对边平行，四个内角为直角，再结合平行线的性质和已知角度，推导得到；接着根据折叠的性质得到折叠前后对应角相等，再结合直角三角形的内角关系建立等式，最终整理得到．
9．古书中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当．”翻译成现代文，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊一样多．”设甲有羊只，乙有羊只，则符合题意的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甲有羊只，乙有羊只．
甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”
；
乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊就一样多．”
．
联立两方程组成方程组．
故选：C．
【分析】
设甲拥有的羊的数量为只，乙拥有的羊的数量为只，结合题目给出的两个条件：一是甲从乙处得到9只羊之后，甲的羊的总数会是乙剩余羊数量的两倍；二是乙从甲处得到9只羊之后，甲和乙的羊的数量相等，就可以列出包含、的二元一次方程组，即可完成本题的列式求解.
10．将正方形①，正方形②，长方形③，长方形④按如图所示放入长方形中（相邻的长方形，正方形之间既无重叠，又无空隙），且．若已知长方形的周长，则不能确定周长的图形是（　　）
A．正方形① B．正方形② C．长方形③ D．长方形④
【答案】B
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：设长方形的周长为，
由图可知：设，，
∵
∴，，
∴；
∴长方形的周长为：，
解得：，
∴，
∴正方形①的周长为：
∵，，
∴长方形③的周长为：
则
∴正方形②的周长为，无法计算出来；
∵
∴
∵，
∴
∴长方形④的周长为
故选：B
【分析】
设长方形的周长为，同时设，，先结合长方形的周长公式列出等式，推导出，由此可以进一步得到，方便后续正方形周长的计算；接下来推导可得，已知，代入长方形周长公式计算可得：，由此即可得到最终答案.
11．已知方程，若用含的代数式表示，则　 　．
【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：移项可得：，
整理得：，
系数化为1后得到：．
故填：
【分析】要把这个二元一次方程改写成用含x的式子表示y的形式，只需要先把含x的项移到等式的右侧，再将等式两边同时除以-2，就可以得到结果．
12．若化简的结果中，的一次项系数是，则　 　．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：先将原式展开计算：，
已知乘积中的一次项系数为，
因此可以列出关于m的方程：，
求解该方程，可得：．
故填：-3
【分析】本题先按照多项式乘多项式的运算法则展开原式，再结合题目给出的“x的一次项系数为”这一条件，建立关于m的方程，即可求出m的值．
13．已知 则 x=　 　.
【答案】3
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
，
，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：3 .
【分析】利用同底数幂的乘法和幂的乘方解答即可．
14．方程是关于，的二元一次方程，则　 　．
【答案】5
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：因为是关于x、y的二元一次方程，
，
求解绝对值方程，可得或，
求解不等式，可得，
因此最终得到．
故填：5
【分析】本题依据二元一次方程的定义求解：二元一次方程要求含有两个未知数，且未知数的次数都为1，同时未知数的系数不能为0，据此可得y的次数等于1，x的系数不为0，据此列出对应的方程和不等式，求解后即可得到m的值．
15．对于实数，定义运算“※”如下；※，例如，5※．若※，则的值为　 　．
【答案】2
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：已知新运算规则为，且满足等式，
根据新定义的运算规则，可将该式转化为方程：，
将方程左侧展开，可得，
去掉括号并合并同类项后，得到一元一次方程：，
对该方程移项、将系数化为1，最终解得.
故填：2
【分析】本题按照题目给出的新定义运算规则，列出关于的一元一次方程，再求解方程即可得到答案.
16．已知 是完全平方式，则 m=　 　.
【答案】7或-5
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：，且该多项式是完全平方式，
，
，
当时，
，
解得，
当时，
，
解得，
综上，或．
故答案为：7或-5 .
【分析】根据完全平方式的特征得到，求出m的值解答即可.
17．如图，点是射线上一动点，连接，过点作交直线于点，若，，则　 　．
【答案】或．
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-求角度；分类讨论
【解析】【解答】解：分情况进行讨论：
情况一：当点D在线段上时，如图：
∵，根据平行线的性质，同位角相等，
∴，
已知，
因此；
情况二：当点D在的延长线上时，如图：
∵，根据平行线的性质可得同位角相等，
∴，
已知，
因此；
综上，的度数为或．
故填：或
【分析】本题需要根据点D的位置分两种情况讨论：点D在线段上，以及点D在的延长线上，先利用平行线的性质得到的度数，再结合角的和差关系计算即可得到最终答案．
18．已知关于的方程的解如表：
… 0 1 …
… 4 2 …
关于的方程的解如表：
0 1 …
4 1 …
则关于的二元一次方程组的解是　 　．
【答案】
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：从表格数据可以得到，原方程组的解是，
我们把需要求解的这个关于的二元一次方程组进行变形整理：
对第一个方程移项调整后，可以得到，等式两边同时除以3，得到，
对第二个方程整理变形后，得到，等式两边同时除以3，得到，
对照已知原方程组的解，我们可以得到新的方程组，
去分母整理后得到，
把两个方程相加，可得，解得，
把代入方程，计算得到，
因此这个待求方程组的解为．
故填：
【分析】首先根据给定表格得到已知方程组的解，再把需要求解的方程组整理变形，通过对应关系得到关于x、y的新方程组，最后解这个新方程组即可得到结果.
19．计算
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式
．
【知识点】整式的混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）先运算同底数幂的乘法、积的乘方，然后合并同类项解答即可；
（2）先运算积的乘方逆运算、乘方，然后加减解答即可．
20．解方程组
（1）
（2）
【答案】（1）解：
得，解得，
将代入②得，解得 ，
所以方程组的解为；
（2）解：
①式去分母得，
得，
得
得，解得，
将代入得，解得，
所以方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）先将原方程变形，再利用加减消元法求解即可.
（1）解：
得，
解得，
将代入②得，
解得 ，
所以方程组的解为；
（2）解：
①式去分母得，
得，
得
得，
解得，
将代入得，
解得，
所以方程组的解为．
21．计算：
（1）先化简，再求值，其中．
（2）已知，求，的值．
【答案】（1）解：
当时，原式；
（2）解：∵，
∴
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式，平方差公式进行计算，再合并同类项，最后将字母的值代入进行计算即可求解；
（2）根据完全平方公式变形，即可求解．
（1）解：
当时，原式；
（2）解：∵，
∴
22．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，三角形的顶点均在格点上，按下列要求画图：
（1）过点作，使点也在格点上，且；
（2）在给定的方格纸中，平移三角形，使点落在点处，请画出平移后的三角形，使的对应点分别为．
（3）请求出三角形的面积．
【答案】（1）解：如图，线段即为所求；
（2）解：三角形如图所示：
（3）解：连接，如图所示：
∴三角形的面积．
【知识点】三角形的面积；平移的性质；作图﹣平移
【解析】【分析】本题考查网格中的作图问题，包含平行线段作图、平移作图，以及网格中三角形面积的计算，确定作图的规律是解决本题的关键。
（1）观察图形可得，点向右平移2个单位、再向上平移4个单位后得到点，结合要求，且，可知将点同样向右平移2个单位长度，向上平移4个单位长度即可得到点，连接后即可得到符合要求的线段；
（2）根据一组对应点的位置，可以确定平移规则：将△ABC的所有点向右平移6个单位长度，向上平移3个单位长度，依次得到对应点后即可作出符合要求的△DEF。
（3）最后使用割补法，在网格中列式计算即可得到三角形的面积。
（1）解：如图，线段即为所求；
（2）解：三角形如图所示：
（3）解：连接，如图所示：
∴三角形的面积．
23．如图，已知，．
（1）证明：；
（2）若平分，于点，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
由（1）可知，
∴，
∵，平分，
∴，
由（1）可知，
∴

【知识点】垂线的概念；角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）已知，根据“同位角相等，两直线平行”，可推出；再根据“两直线平行，内错角相等”，可得。结合题目给出的，等量代换可得，最后根据“同旁内角互补，两直线平行”，即可推出；
（2）根据已知条件，结合平行线的性质，可以推得，再结合第一问的结论得到，代入，即可计算出的度数．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
由（1）可知，
∴，
∵，平分，
∴，
由（1）可知，
∴．
24．某班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳，经班长统计，需要购买足球的有12名同学，需要购买跳绳的有10名同学．
打折前一次性购物总金额 优惠措施
不超过800元 不优惠
超过800元，但不超过1200元 按总售价打九折
超过1200元 其中1200元部分打九折，超过1200元部分打八折
（1）请根据班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价．
（2）若班长到商店后发现该商店正在进行打折活动，请你根据如表的优惠方式，计算优惠后实际只需支付多少元？
（3）按照上题的优惠办法，班长用1400元钱全部购买跳绳和足球，恰好用完．其中足球不少于12个，跳绳不少于10条，请你设计出所有的购买方案．
【答案】（1）解：设足球的单价为元，跳绳的单价为元，
根据题意可列方程组，解得
答：足球的单价为100元，跳绳的单价为20元.
（2）解：（元）
答：优惠后实际仅需支付1240元.
（3）解：设购买足球个，购买跳绳条，总花费为元，
根据题意可知，，，
因此可得，总花费超过了1200元，满足分段优惠的条件
根据优惠规则可列方程：，
解方程可得，
因此可得，即，
因此可得
解这个方程组，得到
最终得到
当时，，
当时，，
当时，，
因此，购买方案共有3个：购买足球12个，购买跳绳20条；购买足球13个，购买跳绳15条；购买足球14个，购买跳绳10条．
【知识点】一元一次不等式组的应用；有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设足球的单价为元，跳绳的单价为元，结合题目给出的条件列出二元一次方程组，计算出两种商品的单价；
（2）根据题目给出的优惠规则，直接计算总花费即可得到结果；
（3）设购买足球个，购买跳绳条，设总的购买费用为元，结合题意可以得到，再结合优惠方案可以推出，最后列出不等式组就能求出符合要求的购买方案．
（1）解：设足球的单价是元，跳绳的单价是元，
由题意得，
解得．
答：足球的单价是100元，跳绳的单价是20元．
（2）解：（元）．
答：优惠后实际只需支付1240元．
（3）解：设购买足球个，购买跳绳条，购买的总价为元，
由题意得，，，
∵，
∴，
解得，
∴，即，
∴，
解得，
∴，
当时，，
当时，，
当时，，
∴购买方案共有3个：购买足球12个，购买跳绳20条；购买足球13个，购买跳绳15条；购买足球14个，购买跳绳10条．
25．已知，，．
（1）如图1，判断与的位置关系，并说明理由；
（2）作的平分线交于点，点为线段上一点，连接，的平分线交线段于点．如图2，若，，，求的度数；
（3）如图3，连接，在（2）的条件下，将射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为秒（），已知，请直接写出的平分线与三角形的边平行时的值．
【答案】（1）解：结论是，推导过程如下：
已知，
根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”，可以得到，
题目中已经给出条件，
对上述等式进行等量代换后，可以得到，
最后根据平行线的判定定理“同旁内角互补，两直线平行”，就能推出.
（2） 解：如下图，过点作，
由题意可知平分，，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为平分，
所以，
因为，，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以.
（3）的值为或或．
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：（3）解：①当旋转到，时，如下图，
因为，，所以根据平行线性质可知，
因为，所以，
因为平分，所以，
由（2）可知旋转前，
所以旋转角为，所以；
②当旋转到，时，如下图，
由（2）可知，又因为，所以根据平行线性质可知，
因为，所以可知，
因为平分，所以可知，
由（2）可知旋转前，所以旋转角为，
所以可知；
③当旋转到，时，如下图，
因为，所以根据平行线性质可知，
因为平分，所以，
所以，
由（2）可知旋转前，所以旋转角为，
所以可得．
综上所述：的值为或或．
【分析】 （1）利用平行线的性质与判定定理得出角度想等的结论；
（2）过点作，利用平行线的性质与角平分线的定义，将角度等量关系传递，再根据角的计算，即可求解；
（3）分三种情况讨论：当旋转到，时；当旋转到，时；当旋转到，时，利用平行线的性质和角平分线的性质进行角度求解即可
（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如下图，过点作，
∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：①当旋转到，时，如下图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
由（2）可知旋转前，
∴旋转角为，
∴；
②当旋转到，时，如下图，
由（2）可知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
由（2）可知旋转前，
∴旋转角为，
∴；
③当旋转到，时，如下图，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
由（2）可知旋转前，
∴旋转角为，
∴．
综上所述：的值为或或．
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