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第三章
3.1　函数及其表示
函数、导数及其应用
复习目标　1．理解函数的概念，了解构成函数的要素．2．掌握求函数定义域、解析式的常用方法．
内容索引
核心体系
活动方案
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　基础引入
1 [2025四川期中]下列各组函数表示同一函数的是 (　　)

C．f(x)＝2x，f(m)＝2m D．f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1
C
【解析】对于A，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，两个函数的定义域不一致，故A错误；对于B，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，两个函数的定义域不一致，故B错误；对于C，满足同一函数的所有条件，故C正确；对于D，f(x)和g(x)的对应关系不同，故D错误．
A
ABD
4 [2026如皋期初]若函数f(x－1)的定义域为[－1，2]，则函数f(x＋2)的定义域为_____________．
[－4，－1]
【解析】由－1≤x≤2，得－2≤x－1≤1，所以函数f(x)的定义域为[－2，1]．由－2≤x＋2≤1，得－4≤x≤－1，所以函数f(x＋2)的定义域为[－4，－1]．
5 [2025扬州中学期中]已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝9x＋4，则f(x)的解析式为____________________________．
f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2
活动二　典例悟法
题组一　求函数的定义域
　　　 求下列函数的定义域：
1
所以lg (5－x2)≥0，
所以lg (5－x2)≥lg 1且5－x2＞0．
因为y＝lg x在区间(0，＋∞)上单调递增，
所以5－x2≥1，
解得－2≤x≤2，
所以函数f(x)的定义域为[－2，2]．
所以ln (x－1)≠0，
即ln (x－1)≠ln 1，且x－1＞0，
解得x＞1且x≠2，
所以函数f(x)的定义域为(1，2)∪(2，＋∞)．
2
【解析】由题意，得mx2＋mx＋1≥0对一切实数都成立．
①若m＝0，则1≥0恒成立，符合题意；
解得0＜m≤4．
综上，实数m的取值范围是[0，4]．
　　　　　　求函数f(x)＝lg (mx2＋mx＋1)(m∈R)的定义域．
【解析】由题意，得mx2＋mx＋1＞0．
①当m＝0时，1＞0恒成立，
所以函数f(x)的定义域为R；
②当m＞0时，若Δ＝m2－4m＜0，
解得0＜m＜4，
则mx2＋mx＋1＞0恒成立，
所以函数f(x)的定义域为R；
求函数的定义域，在无特别限制下就是使得函数解析式有意义的自变量的取值范围．
A．(1，8]　 B．[－4，1)∪(1，8]
C．(1，2]　 D．[－1，1)∪(1，2]
3
D
　　　　　　已知f(x2－1)的定义域为[1，3]，则f(2x－1)的定义域
为________．
1 如何求复合函数的定义域？
求复合函数定义域的方法
1．若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．
2．若已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在区间[a，b]上的值域．
题组二　求函数的解析式
(2) 已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求函数f(x)的解析式；
(3) 已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，求当－1≤x≤0时，函数f(x)的解析式；
4
(2) 因为f(x)为二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
又f(0)＝c＝0，所以f(x)＝ax2＋bx．
因为f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
2 如何求函数的解析式？
求函数解析式的常用方法
1．待定系数法：若已知函数的类型，则可用待定系数法．
2．凑配法：已知复合函数f(g(x))的解析式，将f(g(x))改写成关于g(x)的表达式，最后将g(x)换成x，注意函数的定义域．
3．换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，令t＝g(x)，反解出x，代入原式可得f(t)，改写即得f(x)，要注意新元的取值范围．
5．赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而求出函数解析式．
谢谢观看
Thank you for watching3．1　函数及其表示
一、 单选题
1 [2025南通月考]若集合A＝{x|y＝}，B＝{x||x－1|∈A}，则A∩B等于(　　)
A. [0，1] B. [－1，2] C. [0，2] D. [－1，1]
2 [2025扬州中学开学考试]已知函数y＝f(x)的定义域为[－1，4]，则y＝的定义域为(　　)
A. [－5，5] B.
C. (1，5] D.
3 若函数f(cos x)＝cos x＋cos 2x，则f的值为(　　)
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
4 [2026南阳一中期初]已知函数y＝x2－3x－4的定义域是[－1，m]，值域为，则实数m的取值范围是(　　)
A. (0，4] B.
C. D.
二、 多选题
5 [2025黑龙江开学考试]下列各组函数中，是同一个函数的是(　　)
A. f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1
B. f(x)＝与g(x)＝x
C. f(x)＝与g(x)＝
D. f(x)＝x与g(x)＝
6 [2025临沂十八中月考]下列说法中，正确的是(　　)
A. 若f(x)的定义域为[－2，2]，则f(2x－1)的定义域为
B. 函数y＝的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)
C. 函数y＝2x＋的值域为
D. 函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[－2，2]上的值域为[4，12]
7 [2025广州育才中学期中]下列命题中，正确的是(　　)
A. 函数y＝(x≥1)的值域为
B. 若函数f(2x－1)的定义域为[－1，1]，则函数y＝的定义域为(1，2]
C. 若函数f(x)＝x2的定义域A R，值域B＝{4}，则满足条件的f(x)有3个
D. 若函数f＝x2＋，且f(m)＝4，则实数m的值为
三、 填空题
8 [2025连云港期中]函数f(x)＝的定义域是________．
9 [2025南昌二模]已知函数f(x)＝且f(a)＝4，则实数a＝________．
10 已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，则f(x)＝________．
四、 解答题
11 已知函数f(x)满足f(x)＝(x≠1).
(1) 求f(2－x)的解析式；
(2) 求f＋f＋f＋…＋f＋f＋f的值．
12 [2025盐城开学考试]已知二次函数f(x)满足f(x)＝f(－4－x)，f(0)＝3，且f(x)的图象被x轴截得的线段长度是2.
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 若x>0，求g(x)＝的最大值．
3．1　函数及其表示
1. A　解析：由y＝，得－x2＋1≥0，解得－1≤x≤1，所以A＝[－1，1].因为|x－1|∈A，所以－1≤|x－1|≤1，显然－1≤|x－1|恒成立．由|x－1|≤1，解得0≤x≤2，所以B＝[0，2]，所以A∩B＝[0，1].
2. B　解析：因为函数y＝f(x)的定义域为[－1，4]，所以解得13. B　解析：因为f(cos x)＝cos x＋cos 2x＝cos x＋2cos2x－1，所以f(x)＝x＋2x2－1(－1≤x≤1)，则f＝＋2×－1＝0，所以f＝f(0)＝－1.
4．B　解析：因为函数y＝x2－3x－4＝－的图象开口向上，其对称轴为直线x＝，f＝－，且f(－1)＝f(4)＝0，所以由图象，得实数m的取值范围是.
5. AC　解析：对于A，函数f(x)＝x2－2x－1的定义域为R，g(s)＝s2－2s－1的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故A正确；对于B，函数f(x)＝＝－x的定义域为{x|x≤0}，g(x)＝x的定义域为{x|x≤0}，定义域相同，对应关系不同，不是同一个函数，故B错误；对于C，函数f(x)＝＝1的定义域{x|x≠0}，g(x)＝＝1的定义域{x|x≠0}，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故C正确；对于D，函数f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝＝|x|的定义域为R，定义域相同，对应关系不同，不是同一个函数，故D错误．故选AC.
6. AC　解析：对于A，因为f(x)的定义域为[－2，2]，所以－2≤2x－1≤2，解得－≤x≤，即f(2x－1)的定义域为，故A正确；对于B，y＝＝－1－，所以y≠－1，即函数y＝的值域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，故B错误；对于C，令t＝，则x＝1－t2，t≥0，所以y＝2(1－t2)＋t＝－2＋，t≥0，则当t＝时，该函数取得最大值，所以函数y＝2x＋的值域为，故C正确；对于D，f(x)＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，其图象的对称轴为直线x＝1，且f(1)＝3，f(－2)＝12，所以函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[－2，2]上的值域为[3，12]，故D错误．故选AC.
7. ABC　解析：对于A，y＝＝＝－，当x≥1时，2x＋1≥3，则0<≤，则－≤－<0，所以y＝－∈，即函数y＝(x≥1)的值域为，故A正确；对于B，对于函数f(2x－1)，－1≤x≤1，则－3≤2x－1≤1，所以函数f(x)的定义域为[－3，1]，所以解得10时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝(x>0)，即x＝1时，等号成立；当x<0时，x＋＝－[(－x)＋]≤－2＝－2，当且仅当－x＝－(x<0)，即x＝－1时，等号成立，所以f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞).由f(m)＝m2－2＝4，解得m＝±，故D错误．故选ABC.
8. {x|－4≤x≤2}　解析：由题意，得8－2x－x2≥0，解得－4≤x≤2，则其定义域为{x|－4≤x≤2}．
9. 2　解析：当a≥0时，f(a)＝2a＝4，解得a＝2；当a<0时，f(a)＝a＋2＝4，解得a＝2，与a<0矛盾，此时a无解．故a＝2.
10. x2＋x　解析：设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).因为f(0)＝0，所以c＝0.又f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋b＋a＝ax2＋(b＋1)x＋1，所以解得所以f(x)＝x2＋x.
11. (1) 因为f(x)＝(x≠1)，
所以f(2－x)＝＝，其中2－x≠1，即x≠1.
故f(2－x)＝(x≠1).
(2) 由(1)，得f(x)＋f(2－x)＝＋＝0，
所以f＋f＋f＋…＋f＋f＋f＝f＋f＋f＋…＋f＋f＋f＝0.
12. (1) 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
由f(0)＝c＝3，得f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0).
因为f(x)＝f(－4－x)，
所以ax2＋bx＋3＝a(－4－x)2＋b(－4－x)＋3，
整理，得(4a－b)x＋2(4a－b)＝0，
所以4a－b＝0，即b＝4a，
所以f(x)＝ax2＋4ax＋3(a≠0).
设方程f(x)＝ax2＋4ax＋3＝0的两个根为x1，x2.
由题意，得即
解得a＝1，
故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2＋4x＋3.
(2) 由题意，得g(x)＝＝＝.
因为x>0，所以≤＝＝，当且仅当x＝，即x＝时，等号成立，
故f(x)的最大值为.3．1　函数及其表示
复习目标　1. 理解函数的概念，了解构成函数的要素.2. 掌握求函数定义域、解析式的常用方法．
函数
活动一 基础引入
1 [2025四川期中]下列各组函数表示同一函数的是(　　)
A. f(x)＝x，g(x)＝
B. f(x)＝1，g(x)＝x0
C. f(x)＝2x，f(m)＝2m
D. f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1
2 若f＝2x＋1，则f(3)的值为(　　)
A. 3 B. 5
C. D. 7
3 (多选)[2025邯郸武安一中期中]已知函数f(x)＝则下列关于函数f(x)的说法中正确的是(　　)
A. f(f(－1))＝1
B. 若f(x)＝3，则x的值是
C. f(x)<1的解集为(－∞，1)
D. f(x)的值域为(－∞，4)
4 [2026如皋期初]若函数f(x－1)的定义域为[－1，2]，则函数f(x＋2)的定义域为________．
5 [2025扬州中学期中]已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝9x＋4，则f(x)的解析式为__________________．
活动二 典例悟法
题组一　求函数的定义域
1 求下列函数的定义域：
(1) f(x)＝；
(2) f(x)＝.
2 若函数f(x)＝的定义域为一切实数，求实数m的取值范围．
求函数f(x)＝lg (mx2＋mx＋1)(m∈R)的定义域．
求函数的定义域，在无特别限制下就是使得函数解析式有意义的自变量的取值范围．
3 [2026盐城东台一中期初]已知函数f(x)的定义域为[－2，4]，则y＝的定义域为(　　)
A. (1，8] B. [－4，1)∪(1，8]
C. (1，2] D. [－1，1)∪(1，2]
已知f(x2－1)的定义域为[1，3]，则f(2x－1)的定义域为________．
求复合函数定义域的方法
1. 若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．
2. 若已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在区间[a，b]上的值域．
题组二　求函数的解析式
4 (1) 已知f(＋1)＝x＋2，求函数f(x)的解析式；
(2) 已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求函数f(x)的解析式；
(3) 已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋1)＝2f(x).若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，求当－1≤x≤0时，函数f(x)的解析式；
(4) 已知f(x)的定义域为{x|x≠0}，满足3f(x)＋5f＝＋1，求函数f(x)的解析式．
求函数解析式的常用方法
1. 待定系数法：若已知函数的类型，则可用待定系数法．
2. 凑配法：已知复合函数f(g(x))的解析式，将f(g(x))改写成关于g(x)的表达式，最后将g(x)换成x，注意函数的定义域．
3. 换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，令t＝g(x)，反解出x，代入原式可得f(t)，改写即得f(x)，要注意新元的取值范围．
4. 方程思想：已知关于f(x)与f或f(－x)等的表达式，构造另一个等式，通过方程组求解．
5. 赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而求出函数解析式．
3．1　函数及其表示
1. C　解析：对于A，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，两个函数的定义域不一致，故A错误；对于B，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，两个函数的定义域不一致，故B错误；对于C，满足同一函数的所有条件，故C正确；对于D，f(x)和g(x)的对应关系不同，故D错误．
2. A　解析：因为f＝2x＋1，所以f(3)＝f＝2×1＋1＝3.
3. ABD　解析：对于A，因为f(x)＝所以f(－1)＝－1＋2＝1，则f(f(－1))＝f(1)＝12＝1，故A正确；对于B，当x≤－1时，由f(x)＝x＋2＝3，解得x＝1(舍去)；当－14. [－4，－1]　解析：由－1≤x≤2，得－2≤x－1≤1，所以函数f(x)的定义域为[－2，1].由－2≤x＋2≤1，得－4≤x≤－1，所以函数f(x＋2)的定义域为[－4，－1].
5. f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2　解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b，则k2x＋kb＋b＝9x＋4，即解得或故f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2.
例1　(1) 因为f(x)＝，
所以lg (5－x2)≥0，
所以lg (5－x2)≥lg 1且5－x2>0.
因为y＝lg x在区间(0，＋∞)上单调递增，
所以5－x2≥1，解得－2≤x≤2，
所以函数f(x)的定义域为[－2，2].
(2) 因为f(x)＝，所以ln (x－1)≠0，
即ln (x－1)≠ln 1，且x－1>0，
解得x>1且x≠2，
所以函数f(x)的定义域为(1，2)∪(2，＋∞).
例2　由题意，得mx2＋mx＋1≥0对一切实数都成立．
①若m＝0，则1≥0恒成立，符合题意；
②若m≠0，则解得0综上，实数m的取值范围是[0，4].
变式训练　由题意，得mx2＋mx＋1>0.
①当m＝0时，1>0恒成立，
所以函数f(x)的定义域为R；
②当m>0时，若Δ＝m2－4m<0，解得0则mx2＋mx＋1>0恒成立，所以函数f(x)的定义域为R；
③当m≥4时，由mx2＋mx＋1>0，
解得x<或x>；
④当m<0时，由mx2＋mx＋1>0，
解得综上，当0≤m<4时，函数f(x)的定义域为R；当m≥4时，函数f(x)的定义域为(－∞，)∪(，＋∞)；当m<0时，函数f(x)的定义域为(，).
例3　D　解析：由题意，得解得－1≤x≤2且x≠1.故所求函数的定义域为[－1，1)∪(1，2].
变式训练　　解析：由f(x2－1)的定义域为[1，3]，得x∈[1，3]，所以x2∈[1，9]，所以x2－1∈[0，8]，所以f(x)的定义域为[0，8].由2x－1∈[0，8]，得2x∈[1，9]，则x∈，所以f(2x－1)的定义域为.
例4　(1) 因为f(＋1)＝x＋2，
所以f(＋1)＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1.
令t＝＋1(t≥1)，则f(t)＝t2－1(t≥1)，
所以f(x)＝x2－1(x≥1).
(2) 因为f(x)为二次函数，
所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
又f(0)＝c＝0，所以f(x)＝ax2＋bx.
因为f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以解得
所以f(x)＝x2＋x.
(3) 当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1，
所以f(x)＝＝(x＋1)(1－x－1)＝－(x＋1).
(4) 因为3f(x)＋5f＝＋1，①
所以3f＋5f(x)＝3x＋1.②
由①＋②，得8f(x)＋8f＝3x＋＋2，③
由②－×③，得2f(x)＝x－＋，
所以f(x)＝x－＋.

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