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3.5　指数与指数函数
一、 单选题
1 若a≥0，b∈R，则化简2log23＋()2＋的结果是(　　)
A. 3＋a＋b B. 3＋a＋|b|
C. 2＋a＋b D. 2＋a＋|b|
2 [2025宿迁期中]若a＝0.30.4，b＝0.40.3，c＝2log83，则a，b，c的大小关系为(　　)
A. cC. a3 [2026沭阳如东中学月考]已知函数f(x)＝则“1A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
4 [2025湖北月考]已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)＋2ex是偶函数，y＝f(x)－4e－x是奇函数，则f(x)的最小值为(　　)
A. e B. 2 C. 2 D. 2e
二、 多选题
5 [2026镇江实验高级中学月考]已知实数x，y满足<，则下列关系式中恒成立的是(　　)
A. e2x+1>e2y+1 B. sin x>sin y
C. x3>y3 D. 2x－2y>3－x－3－y
6 已知函数f(x)＝x(ex＋a·e－x)是奇函数或偶函数，则y＝f(x)的图象可能是(　　)
A B C D
7 已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，g(x)是定义域为R的奇函数，且f(x)＋g(x)＝2ex.函数F(x)＝f(2x)－2mf(x)在区间[0，＋∞)上的最小值为－11，则下列结论中正确的是(　　)
A. f(x)＝ex＋e－x B. g(x)在R上单调递减
C. m＝3 D. m＝－3或m＝3或m＝
三、 填空题
8 [2025扬州开学考试]已知函数f(x)＝x是偶函数，则实数a的值为________．
9 [2025前黄高级中学期初]设函数f(x)＝2x－2－x，则不等式f(x2)＋f(2x－3)<0的解集为________．
10 [2025北京第五十五中学月考]若函数f(x)＝当x∈(a，1)时，f(x)有最小值，则实数a的取值范围是________．
四、 解答题
11 [2025西安开学考试]已知函数f(x)＝(2x＋m)2＋1－m2.
(1) 当m＝2时，求f(x)的值域；
(2) 若f(x)的最小值为－3，求实数m的值；
(3) 在(2)的条件下，若不等式f(x)≤－8有实数解，求实数a的取值范围．
12 [2025长沙联考]已知函数f(x)＝是定义域为R的奇函数．
(1) 求a，b的值；
(2) 若方程f(4x＋1)＋f(t×2x+2)＝0恰有两个不相等的实数根，求实数t的取值范围．
3．5　指数与指数函数
1. B　解析：由2log23＝3，()2＝a，＝|b|，得2log23＋()2＋＝3＋a＋|b|.
2. C　解析：因为y＝0.3x在R上单调递减，所以a＝0.30.4<0.30.3，又y＝x0.3在区间(0，＋∞)上单调递增，所以0.30.3<0.40.3＝b<1，则a1，所以a3. B　解析：因为f(x)＝在R上单调递增，所以解得14. C　解析：因为y＝f(x)＋2ex是偶函数，所以f(x)＋2ex＝f(－x)＋2e－x，即f(x)－f(－x)＝2e－x－2ex①.又因为y＝f(x)－4e－x是奇函数，所以f(－x)－4ex＝－f(x)＋4e－x，即f(x)＋f(－x)＝4ex＋4e－x②，联立①②，得f(x)＝ex＋3e－x，由基本不等式，得f(x)＝ex＋3e－x≥2，当且仅当ex＝3e－x，即x＝ln 3时，等号成立，所以f(x)的最小值为2.
5. ACD　解析：因为<，所以x>y.对于A，因为y＝ex在R上是增函数，所以e2x+1>e2y+1，故A恒成立；对于B，当x＝π，y＝0时，x>y，sin x>sin y不成立，故B不恒成立；对于C，因为y＝x3在R上是增函数，所以x3>y3，故C恒成立；对于D，因为y＝2x为单调增函数，y＝3－x是单调减函数，所以y＝2x－3－x是R上的单调增函数，由x>y，得2x－3－x>2y－3－y，所以2x－2y>3－x－3－y，故D恒成立．故选ACD.
6. BC　解析：若y＝f(x)为偶函数，则－x(e－x＋a·ex)＝x(ex＋a·e－x)恒成立，所以x(1＋a)(ex＋e－x)＝0恒成立，故a＝－1，则f(x)＝x(ex－e－x)，所以当x>0时，f(x)>0，故C正确，D错误；若y＝f(x)为奇函数，则－x(e－x＋a·ex)＝－x(ex＋a·e－x)恒成立，所以x(a－1)·(ex－e－x)＝0恒成立，故a＝1，则f(x)＝x(ex＋e－x)，所以当x>0时，f(x)>0，故B正确，A错误．故选BC.
7. AC　解析：对于A，因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x).又g(x)为奇函数，所以g(－x)＝－g(x).因为f(x)＋g(x)＝2ex①，所以f(－x)＋g(－x)＝2e－x，即f(x)－g(x)＝2e－x②，由①②，得f(x)＝ex＋e－x，g(x)＝ex－e－x，故A正确；对于B，因为函数y＝ex，y＝－e－x在R上均为增函数，所以g(x)＝ex－e－x在R上单调递增，故B错误；对于C，D，因为f(2x)＝e2x＋e-2x＝(ex＋e－x)2－2，所以F(x)＝(ex＋e－x)2－2m(ex＋e－x)－2.又f(x)＝ex＋e－x≥2＝2，当且仅当ex＝e－x，即x＝0时，等号成立．令t＝ex＋e－x∈[2，＋∞)，则h(t)＝t2－2mt－2＝(t－m)2－m2－2(t≥2)，其图象的对称轴为直线t＝m.当m>2时，函数h(t)在区间[2，m]上单调递减，在区间[m，＋∞)上单调递增，则h(t)min＝h(m)＝－m2－2＝－11，解得m＝3或m＝－3(舍去)；当m≤2时，h(t)在区间[2，＋∞)上单调递增，则h(t)min＝h(2)＝2－4m＝－11，解得m＝>2，不符合题意．综上，m＝3，故C正确，D错误．故选AC.
8. －　解析：因为函数f(x)＝x是偶函数，且f(x)的定义域为R，所以f(－1)＝f(1)，即－1×＝1×，解得a＝－，所以f(x)＝x＝.又f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)是偶函数，满足题意，所以a＝－.
9. (－3，1)　解析：因为函数f(x)＝2x－2－x的定义域为R，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．又函数y＝2x是R上的增函数，y＝2－x是R上的减函数，所以f(x)是R上的增函数．不等式f(x2)＋f(2x－3)<0化为f(x2)<－f(2x－3)＝f(3－2x)，即x2<3－2x，解得－310. (－∞，0)　解析：由指数函数和二次函数的图象，得f(x)在区间(－∞，1)上的图象如图所示，显然当a<0时，f(x)≥f(0)＝1，此时f(x)有最小值；当0≤a<1时，f(x)>f(a)，没有最小值，所以实数a的取值范围为(－∞，0).
11. (1) 当m＝2时，f(x)＝(2x＋2)2－3.
设2x＝t>0，则h(t)＝(t＋2)2－3，t>0，
则函数h(t)在区间(0，＋∞)上单调递增，
所以h(t)>22－3＝1，
故f(x)的值域为(1，＋∞).
(2) 因为函数f(x)＝(2x＋m)2＋1－m2的最小值为－3，2x>0，
若m≥0，则f(x)在R上单调递增，没有最小值；
若m<0，则当2x＝－m时，f(x)取得最小值1－m2，
则－3＝1－m2，解得m＝－2或m＝2(舍去).
综上，实数m的值为－2.
(3) 由题意，得(2x－2)2－3≤－8有实数解，
整理，得≥2x＋－4，
要使此不等式有解，只需≥即可．
因为2x＋≥2＝6，当且仅当x＝log23时取等号，
所以＝6－4＝2，
所以≥2，解得0故实数a的取值范围为.
12. (1) 因为f(x)＝是定义域为R的奇函数，
所以f(0)＝＝0，解得a＝1，所以f(x)＝.
因为f(1)＝＝－f(－1)＝－，解得b＝3，
所以f(x)＝.
因为f(－x)＝＝，
所以f(－x)＋f(x)＝0，满足题意．
故a，b的值分别为1，3.
(2) 由(1)，得f(x)＝＝，
易得f(x)在定义域内单调递减．
因为方程f(4x＋1)＋f(t×2x+2)＝0恰有两个不相等的实数根，
且奇函数f(x)是定义域为R的减函数，
所以4x＋1＋t×2x+2＝0有两个不相等的实数根，
即(2x)2＋1＋4t×2x＝0有两个不相等的实数根．
令2x＝q>0，
则q2＋4tq＋1＝0(q>0)有两个不同的正根，
所以解得t<－.
故实数t的取值范围为.(共41张PPT)
第三章
3.5　指数与指数函数
函数、导数及其应用
复习目标　1．了解指数幂的有关概念，理解指数幂的运算法则．2．理解指数函数的概念、图象与性质．
内容索引
核心体系
活动方案
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　基础引入
1 [2025南京一调]已知ax＝4，loga3＝y，则ax＋y的值为 (　　)
A．5　 B．6
C．7　 D．12
D
【解析】由loga3＝y，得ay＝3，所以ax＋y＝ax·ay＝4×3＝12．
D
A．(－∞，2]　 B．[2，＋∞)
C．(－∞，1]　 D．[1，＋∞)
A
A．m＝1 B．f(x)＝－1无解
C．f(x)是减函数 D．f(2 024)＋f(－2 023)＞0
ABD
活动二　典例悟法
题组一　指数式的运算化简
　　　 化简下列各式：
1
题组二　指数函数的图象与性质
　　　 (1) [2025安庆二模]已知函数f(x)＝a·2－|x|＋b的图象经过原点，且无限接近直线y＝2但又不与该直线相交，则下列说法中正确的是 (　　)
A．函数f(x)不具有奇偶性
B．a＝2
C．函数f(x)的值域为(－∞，2)
D．函数f(x)的单调增区间为[0，＋∞)
2
D
(2) 已知f(x)＝|2x－1|，当a＜b＜c时，有f(a)＞f(c)＞f(b)，则下列结论中一定正确的是 (　　)
A．a＜0，b＜0，c＜0　 B．a＜0，b＞0，c＞0
C．2－a＜2c　 D．1＜2a＋2c＜2
D
【解析】 作出函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示．因为a＜b＜c，且有f(a)＞f(c)＞f(b)，所以必有a＜0，0＜c＜1，且|2a－1|＞|2c－1|，所以1－2a＞2c－1，则2a＋2c＜2，显然2a＋2c＞1，故选D．
(3) 已知幂函数g(x)＝(2a－1)xa+2 的图象过函数f(x)＝32x＋b的图象所经过的定点，则实数b的值为 (　　)
A．－2　 B．1
C．2　 D．4
A
(4) (多选)下列结论中，正确的是 (　　　)
BCD
[2025北京卷·4]为得到函数y＝9x的图象，只需将函数y＝3x的图象上的所有点 (　　)
A
　　　 [2025湖南“长望浏宁”四县联考]已知函数f(x)＝e|x－1|＋1，则使得f(x－1)＜f(－x)成立的x的取值范围是 (　　)
3
B
A．(－∞，1)　 B．(1，＋∞)
C．(－∞，－3)　 D．(－3，＋∞)
A
【解析】当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝ex－1＝－f(x)；当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝1－e－x＝－f(x)；当x＝0时，f(x)＝0，所以f(x)为奇函数．又当x＞0时，f(x)＝1－ex单调递减，所以f(x)为R上的减函数．由f(2x)＋f(x－3)＞0，得f(2x)＞－f(x－3)＝f(3－x)，则2x＜3－x，解得x＜1，即原不等式的解集为(－∞，1)．
[2023新课标Ⅰ卷·4]设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则实数a的取值范围是 (　　)
A．(－∞，－2]　 B．[－2，0)
C．(0，2]　 D．[2，＋∞)
D
1．指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
2．(1) 指数幂的大小问题，常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．
(2) 与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．
题组三　指数函数的综合应用
　　　 已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1．
(1) 当a＝1时，求函数f(x)在区间[－3，0]上的值域；
(2) 若关于x的方程f(x)＝0有解，求实数a的取值范围．
4
　　　　　　1 已知函数f(x)＝3x＋λ·3－x(λ∈R)．
(1) 若f(x)为奇函数，求λ的值和此时不等式 f(x)＞1的解集；
(2) 若不等式f(x)≤6对x∈[0，2]恒成立，求实数λ的取值范围．
【解析】(1) 若f(x)为奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0，
即3x＋λ·3－x＋3－x＋λ·3x＝0，
化简，得(1＋λ)(3x＋3－x)＝0．
因为3x＋3－x＞0，
所以1＋λ＝0，解得λ＝－1，
所以f(x)＝3x－3－x．
(2) 若f(x)≤6对x∈[0，2]恒成立，
则λ≤6×3x－(3x)2在区间[0，2]上恒成立．
令3x＝m∈[1，9]，
则g(m)＝－m2＋6m，其图象的对称轴为直线m＝3，
所以g(m)在区间[1，3]上单调递增，在区间[3，9]上单调递减，
所以g(m)min＝g(9)＝－81＋54＝－27，
故实数λ的取值范围是(－∞，－27]．
　　　　　　2 对于变式训练1中的函数，若f(x)为偶函数，求不等式f(2x)－f(x)≤0的解集．
【解析】若f(x)＝3x＋λ·3－x为偶函数，
则f(x)＝f(－x)，
即3x＋λ·3－x＝3－x＋λ·3x，
整理，得(λ－1)·3x＝(λ－1)·3－x，
所以λ－1＝0，即λ＝1，
所以f(x)＝3x＋3－x．
所以f(2x)－f(x)≤0，即t2－t－2≤0，
则(t－2)(t＋1)≤0，解得－1≤t≤2．
又t≥2，所以t＝2，此时x＝0．
故f(2x)－f(x)≤0的解集为{0}．
　　　 [2026沭阳如东中学月考]已知函数f(x)＝4x＋m·2x，m∈R．
(1) 若m＝－3，解关于x的不等式f(x)＞4；
(2) 若函数y＝f(x)＋f(－x)的最小值为－4，求m的值．
5
【解析】(1) 当m＝－3时，f(x)＝4x－3·2x．
由f(x)＞4，得4x－3·2x＞4，
即(2x＋1)(2x－4)＞0．
因为2x＋1＞0，所以2x－4＞0，解得x＞2，
所以原不等式的解集为(2，＋∞)．
(2) 由题意，得y＝f(x)＋f(－x)＝(4x＋4－x)＋m(2x＋2－x)＝(2x＋2－x)2＋m(2x＋2－x)－2．
所以当t＝2，即x＝0时，ymin＝2m＋2，
所以2m＋2＝－4，解得m＝－3，符合题意；
综上，m的值为－3．
注意通过整体代换的解题策略将问题化归为指数函数问题来求解．
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复习目标　1. 了解指数幂的有关概念，理解指数幂的运算法则.2. 理解指数函数的概念、图象与性质．
指数与指数函数
活动一 基础引入
1 [2025南京一调]已知ax＝4，loga3＝y，则ax＋y的值为(　　)
A. 5 B. 6 C. 7 D. 12
2 函数y＝e2－x2的图象大致为(　　)
A B C D
3[2025济宁、枣庄二模]若函数f(x)＝在区间[1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－∞，2] B. [2，＋∞)
C. (－∞，1] D. [1，＋∞)
4 (多选)已知函数f(x)＝是奇函数，则下列说法中正确的是(　　)
A. m＝1
B. f(x)＝－1无解
C. f(x)是减函数
D. f(2 024)＋f(－2 023)>0
5 化简＋(lg 5)0＋的结果是________.
活动二 典例悟法
题组一　指数式的运算化简
1 化简下列各式：
(1) ；
(2) a·b-2·÷；
(3) .
已知x－x-1＝2(x>0)，求下列各式的值：
(1) ；
(2) .
指数式化简的关键是必须要变成同底数幂进行运算．
题组二　指数函数的图象与性质
(1) [2025安庆二模]已知函数f(x)＝a·2－|x|＋b的图象经过原点，且无限接近直线y＝2但又不与该直线相交，则下列说法中正确的是(　　)
A. 函数f(x)不具有奇偶性
B. a＝2
C. 函数f(x)的值域为(－∞，2)
D. 函数f(x)的单调增区间为[0，＋∞)
(2) 已知f(x)＝|2x－1|，当a＜b＜c时，有f(a)＞f(c)＞f(b)，则下列结论中一定正确的是(　　)
A. a＜0，b＜0，c＜0 B. a＜0，b＞0，c＞0
C. 2－a＜2c D. 1＜2a＋2c＜2
(3) 已知幂函数g(x)＝(2a－1)xa+2 的图象过函数f(x)＝32x＋b的图象所经过的定点，则实数b的值为(　　)
A. －2 B. 1 C. 2 D. 4
(4) (多选)下列结论中，正确的是(　　)
A. 1.72.5＞1.73 B. ＞2－
C. 1.70.3＞0.93.1 D. <
[2025北京卷·4]为得到函数y＝9x的图象，只需将函数y＝3x的图象上的所有点(　　)
A. 横坐标变成原来的，纵坐标不变
B. 横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变
C. 纵坐标变成原来的，横坐标不变
D. 纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变
3 [2025湖南“长望浏宁”四县联考]已知函数f(x)＝e|x-1|＋1，则使得f(x－1)A. B. C. D.
[2025济南模拟]已知函数f(x)＝则f(2x)＋f(x－3)>0的解集是(　　)
A. (－∞，1) B. (1，＋∞)
C. (－∞，－3) D. (－3，＋∞)
[2023新课标Ⅰ卷·4]设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－∞，－2] B. [－2，0)
C. (0，2] D. [2，＋∞)
1. 指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
2. (1) 指数幂的大小问题，常利用指数函数的单调性及中间值(0或1).
(2) 与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．
题组三　指数函数的综合应用
4 已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1) 当a＝1时，求函数f(x)在区间[－3，0]上的值域；
(2) 若关于x的方程f(x)＝0有解，求实数a的取值范围．
1 已知函数f(x)＝3x＋λ·3－x(λ∈R).
(1) 若f(x)为奇函数，求λ的值和此时不等式 f(x)＞1的解集；
(2) 若不等式f(x)≤6对x∈[0，2]恒成立，求实数λ的取值范围．
2 对于变式训练1中的函数，若f(x)为偶函数，求不等式f(2x)－f(x)≤0的解集．
5 [2026沭阳如东中学月考]已知函数f(x)＝4x＋m·2x，m∈R.
(1) 若m＝－3，解关于x的不等式f(x)>4；
(2) 若函数y＝f(x)＋f(－x)的最小值为－4，求m的值．
注意通过整体代换的解题策略将问题化归为指数函数问题来求解．
3．5　指数与指数函数
1. D　解析：由loga3＝y，得ay＝3，所以ax＋y＝ax·ay＝4×3＝12.
2. D　解析：函数y＝f(x)＝e2－x2的定义域为R，且f(－x)＝e2－(－x)2＝e2－x2＝f(x)，所以y＝f(x)＝e2－x2为偶函数，排除A，C；又由指数函数性质可知e2－x2>0，即y>0，排除B，故选D.
3. A　解析：令u＝x2－ax，则y＝，且y＝在R上单调递减．要使f(x)＝在区间[1，＋∞)上单调递减，则u＝x2－ax在区间[1，＋∞)上单调递增，所以≤1，解得a≤2.
4. ABD　解析：对于A，易知函数f(x)的定义域为R，又f(x)为奇函数，所以f(0)＝＝0，解得m＝1.经检验，m＝1满足题意，故A正确；对于B，由f(x)＝－1，得＝－1，即2x＝0，显然无解，故B正确；对于C，f(x)＝＝＝1－，易知y＝2x＋1为单调增函数，由复合函数的单调性可知f(x)为增函数，故C错误；对于D，因为f(x)为奇函数，所以f(2 023)＋f(－2 023)＝0，结合C可得f(2 024)>f(2 023)，所以f(2 024)＋f(－2 023)>f(2 023)＋f(－2 023)＝0，故D正确．故选ABD.
5. 　解析：原式＝＋1＋＝＋1＋＝.　
例1　(1) 原式＝＝＝＝ab-1＝.
(2) 原式＝×(－3)÷2×a－－b-2-1+＝－a－b－.
(3) 原式＝＝a－－－·b＋－＝.
变式训练　
(1) 因为x>0，x－x-1＝2，
所以(x－x-1)2＝12，即x2－2＋x-2＝12，
所以x2＋x-2＝14，
所以(x＋x-1)2＝x2＋2＋x-2＝14＋2＝16.
显然当x>0时，x＋x-1>0，
所以x＋x-1＝4，
所以＝＝＝.
(2) 由(1)，得x＋x-1＝4，
所以(x＋x－)2＝x＋2＋x-1＝4＋2＝6.
显然x＋x－>0，所以x＋x－＝，
所以＝＝.
例2　(1) D　解析：因为函数f(x)的定义域为R，且f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故A错误；由函数f(x)的图象过原点，得f(0)＝0，即a＋b＝0，所以f(x)＝a(2－|x|－1).因为－1<2－|x|－1≤0，且f(x)的图象无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，所以a<0，且0≤a(2|x|－1)<－a，则a＝－2，所以b＝2，所以f(x)＝－2·2－|x|＋2＝故B，C错误；显然f(x)的单调增区间为[0，＋∞)，故D正确．
(2) D　解析： 作出函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示．因为a＜b＜c，且有f(a)＞f(c)＞f(b)，所以必有a＜0，0＜c＜1，且|2a－1|＞|2c－1|，所以1－2a＞2c－1，则2a＋2c＜2，显然2a＋2c＞1，故选D.
(3) A　解析： 因为函数g(x)＝(2a－1)xa+2为幂函数，所以2a－1＝1，解得a＝1，所以g(x)＝x3.因为函数f(x)＝32x＋b的图象过定点，所以－＝1，解得b＝－2.
(4) BCD　解析： 因为y＝1.7x为增函数，所以1.72.5＜1.73，故A错误；2－＝，y＝为减函数，所以＞＝2－，故B正确；因为1.70.3＞1，0.93.1∈(0，1)，所以1.70.3＞0.93.1，故C正确；因为y＝为减函数，所以＜.又y＝x在区间(0，＋∞)上单调递增，所以<，所以<<，故D正确．故选BCD.
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A　解析：因为y＝9x＝32x，所以将函数y＝3x的图象上所有点的横坐标变成原来的，纵坐标不变，即可得到函数y＝9x的图象．
例3　B　解析：因为f(x)＝e|x-1|＋1，所以f(2－x)＝e|2-x-1|＋1＝e|1-x|＋1＝f(x)，即函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．当x≥1时，f(x)＝ex-1＋1单调递增，所以函数f(x)在区间(－∞，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增．因为f(x－1)，即x的取值范围是.
变式训练　A　解析：当x>0时，－x<0，f(－x)＝ex－1＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝1－e－x＝－f(x)；当x＝0时，f(x)＝0，所以f(x)为奇函数．又当x>0时，f(x)＝1－ex单调递减，所以f(x)为R上的减函数．由f(2x)＋f(x－3)>0，得f(2x)>－f(x－3)＝f(3－x)，则2x<3－x，解得x<1，即原不等式的解集为(－∞，1).
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D　解析：因为函数y＝2x在R上单调递增，函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，所以函数y＝x(x－a)＝－在区间(0，1)上单调递减，所以≥1，解得a≥2，所以实数a的取值范围是[2，＋∞).
例4　(1) 当a＝1时，f(x)＝2×4x－2x－1.
令2x＝t，
由x∈[－3，0]，得t∈，
则g(t)＝2t2－t－1，其图象的对称轴为直线 t＝，
所以g(t)在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以g(t)min＝g＝2×－－1＝－，
g(t)max＝g(1)＝2×1－1－1＝0.
综上，f(x)在区间[－3，0]上的值域为.
(2) 令2x＝m，m∈(0，＋∞).
若f(x)＝0有解，
则2a·m2－m－1＝0在区间(0，＋∞)上有解，
即a＝＋在区间(0，＋∞)上有解．
令＝b∈(0，＋∞)，
所以y＝b2＋b＝－，
所以y＝b2＋b在区间(0，＋∞)上单调递增，
则y的值域为(0，＋∞)，
故实数a的取值范围是(0，＋∞).
变式训练1　(1) 若f(x)为奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0，
即3x＋λ·3－x＋3－x＋λ·3x＝0，
化简，得(1＋λ)(3x＋3－x)＝0.
因为3x＋3－x>0，
所以1＋λ＝0，解得λ＝－1，
所以f(x)＝3x－3－x.
令3x＝t>0，则f(x)>1，即t－>1，
解得t<或t>.
又因为t>0，所以t>，
即3x>，所以x>log3，
所以f(x)>1的解集为.
(2) 若f(x)≤6对x∈[0，2]恒成立，
则λ≤6×3x－(3x)2在区间[0，2]上恒成立．
令3x＝m∈[1，9]，
则g(m)＝－m2＋6m，其图象的对称轴为直线 m＝3，
所以g(m)在区间[1，3]上单调递增，在区间[3，9]上单调递减，
所以g(m)min＝g(9)＝－81＋54＝－27，
故实数λ的取值范围是(－∞，－27].
变式训练2　若f(x)＝3x＋λ·3－x为偶函数，
则f(x)＝f(－x)，
即3x＋λ·3－x＝3－x＋λ·3x，
整理，得(λ－1)·3x＝(λ－1)·3－x，
所以λ－1＝0，即λ＝1，
所以f(x)＝3x＋3－x.
令3x＋3－x＝t≥2＝2(当且仅当x＝0时取等号)，则f(2x)＝t2－2，
所以f(2x)－f(x)≤0，即t2－t－2≤0，
则(t－2)(t＋1)≤0，解得－1≤t≤2.
又t≥2，所以t＝2，此时x＝0.
故f(2x)－f(x)≤0的解集为{0}．
例5　(1) 当m＝－3时，f(x)＝4x－3·2x.
由f(x)>4，得4x－3·2x>4，
即(2x＋1)(2x－4)>0.
因为2x＋1>0，所以2x－4>0，解得x>2，
所以原不等式的解集为(2，＋∞).
(2) 由题意，得y＝f(x)＋f(－x)＝(4x＋4－x)＋m(2x＋2－x)＝(2x＋2－x)2＋m(2x＋2－x)－2.
令t＝2x＋2－x，则t＝2x＋2－x≥2＝2，当且仅当x＝0时，等号成立，
所以y＝g(t)＝t2＋mt－2＝－－2，t≥2.
当－≤2，即m≥－4时，g(t)在区间[2，＋∞)上单调递增，
所以当t＝2，即x＝0时，ymin＝2m＋2，
所以2m＋2＝－4，解得m＝－3，符合题意；
当－>2，即m<－4时，g(t)在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当t＝－时，ymin＝－－2，
所以－－2＝－4，解得m＝±2，不符合题意，舍去．
综上，m的值为－3.

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