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四川省射洪中学校2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题
一、单选题
1．小明有件不同的上衣、条不同的裤子、双不同的鞋子.他从中各选一件搭配，不同的穿法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
2．如图所示为的图象，则函数的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
3．离散型随机变量的分布列如下表格，则（ ）
0 1 2
A． B． C． D．
4．已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．的展开式中的常数项为（ ）
A．60 B．15 C．-15 D．-60
6．函数在上的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
7．某单位有5名员工（记为），需将这5人全部分配到甲、乙、丙3个不同的部门，要求每个部门至少分配1人，则不同的分配方案共有（ ）
A．72种 B．150种 C．243种 D．360种
8．已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设样本空间含有等可能的样本点，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，则下列描述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，则（ ）
A．是函数的极小值点
B．对，方程恒有两个不同的实数解
C．
D．存在，使得直线与曲线相切
三、填空题
12．设直线与曲线相切，则______．
13．2男3女站成一排拍照，若左、右两端恰好是一男一女，则不同的排法种数为__________ .
14．已知甲、乙参加驾照考试时，通过的概率分别为，，而且这人之间的考试互不影响．则在恰有人通过考试的条件下，甲通过考试的概率为________．
四、解答题
15．在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．
条件①：展开式中第3项的二项式系数是21；
条件②：展开式中第2项与第7项的二项式系数相等；
条件③：展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于64．
【选择多个条件解答，则按第一个条件计分】
问题：已知二项式，若________，求：
(1)的值；
(2)展开式中二项式系数最大的项．
16．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品．
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品中至少有1件是正品的取法有多少种？
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．
17．已知函数在处取极值.
(1)求的极大值和单调区间；
(2)若函数在区间上有且仅有一个零点，求的取值范围.
18．一个袋中装有2个红球和4个白球，这些球除了颜色以外完全相同．每次从袋中随机取出一个球，取出的球不放回．
(1)求第二次取出的是红球的概率；
(2)若第三次取球时发现取出的是红球，求此时袋中没有红球的概率；
(3)设2个红球都被取出时，已经取出的白球个数为，求的分布列和期望．
19．已知函数.
(1)若是的极大值点，求的值
(2)当时，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围；
(3)若对，不等式恒成立，其中为自然对数的底数，求的最小值.
参考答案
1．C
【详解】第一步选上衣有3种选法，第二步选裤子有4种选法，第三步选鞋子有2种选法，
所以共有种选法.
2．C
【详解】由导函数图象，知或时，，∴的减区间是，．
故选：C．
3．A
【详解】由，解得，
所以.
4．D
【详解】∵函数在内单调递增，
∴当时，恒成立，
即，
∴，
即a的取值范围为，
故选：D.
5．A
【详解】通项公式，由，
代入得.
6．A
【详解】，令，
则，因为在，在，
所以在单调递减，在单调递增，
因为，
所以最小值为.
故选：A.
7．B
【详解】分组为:先从5人中选3人作为一组，剩余2人各成一组，分组后分配到3个不同部门.
方案数种.
分组为:两个组人数相同，属于平均分组，需要消除重复排序，再分配到3个不同部门：
方案数.
将两类相加：种.
8．D
【详解】是函数，，，
是函数的零点，，
，，，
，
设，则，，
，，，
在上是单调递增函数，
由，，.
9．ABD
【详解】对于A，由题意可得，
所以，故A正确；
对于B，，
所以，故B正确；
对于C，因为，，
所以，故C错误；
对于D，因为，所以.故D正确.
故选：ABD.
10．ABC
【详解】对于A选项，通过对赋值，即可求出，故A正确；
对于B选项，通过对赋值，即可求出，故B正确；
对于C选项，通过对赋值，可得，
再结合B选项，可得，故C正确；
对于D选项，展开式的通项为，，故D错误.
11．AB
【详解】函数 的定义域为，且，
令，解得
当时，，所以，单调递减；
当时，，所以，单调递增；
则是函数的极小值点，故A 正确；
对于B，的极小值为，
当时，，，当时，，
结合图像可知对，方程恒有两个不同解成立，故B正确；
对于C，由于当时，单调递增，所以，则，
即,所以，故C不正确；
对于D，设切点为，切线斜率为，
切线方程为：，
因为切线过，代入得：
化简得：，
整理得：，即，
令，，
则，所以在和上单调递增，
所以当时，，当时，，
则当时，无解，
即不存在，使得直线与曲线相切，故D不正确；
12．
【详解】设切点为，
因为，所以切线的斜率，
又因为，
从而，解得，
所以．
故答案为：.
13．72
【详解】由2男3女站成一排拍照，左、右两端恰好是一男一女，
先排左、右两端，有（种）排法，
再排中间3个位置，有（种）排法，
所以不同的排法种数为种.
14．
【详解】设事件：恰有人通过考试，事件：甲通过考试，
则，
，
则，
故答案为：.
15．(1)条件选择见解析，；
(2).
【详解】（1）选条件①，展开式中第3项的二项式系数是21，则，
而，所以.
选条件②，展开式中第2项与第7项的二项式系数相等，则，
所以.
选条件③，展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于64，则，
所以.
（2）由（1）知，，则展开式中二项式系数最大的项是第4项和第5项，
即，
所以展开式中二项式系数最大的项.
16．(1)
(2)
【详解】（1）已知甲箱中共有8件产品，任取2件的取法为：种，
2个产品中至少有1件是正品的对立事件为2件均为次品，取法为：种，
这2个产品中至少有1件是正品的取法为：种．
（2）从甲中取2个正品，概率为，此时乙箱中有6件正品3件次品，
抽到正品的概率为；
从甲中取1个正品1个次品，概率为，此时乙箱中有5件正品4件次品，
抽到正品的概率为；
从甲中取2个次品，概率为，此时乙箱中有4件正品5件次品，
抽到正品的概率为；
．
17．(1)的单调递增区间为，，单调递减区间为，极大值.
(2).
【详解】（1）记的导函数为，则，
因此由是极值点知，可得，
此时，故列表如下：
1
+ 0 - 0 +
增 极大值 减 极小值 增
由表知的单调递增区间为，，单调递减区间为，
且在处取到极大值.
（2）同上可列表如下：
1 3
+ 0 - 0 +
增 极大值 减 极小值 增
由表知在上只有一个零点当且仅当或，
解得.
18．(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【详解】（1）第二次取出的是红球是两个互斥事件的和事件，
分别为第一次取出红球，第二次取出红球；第一次取出白球，第二次取出红球；
所以概率．
（2）记第三次取球时发现取出的是红球为事件，第三次取球后袋中无红球为事件，
则，
，所以．
（3）由题意，的可能取值为0，1，2，3，4，
则，，
，
，
所以分布列为：
0 1 2 3 4
所以．
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）
又得，
当时，，此时是极大值点
当时，，此时是极小值点
；
（2），则，
令得，即在递减；
令得，即在递增，
故最小值为，
①当，即时，恒成立，故无零点，不满足题意；
②当，即时，当时恒成立，故有1个零点，不满足题意；
③当，即时，，且，（或者时，），
由零点的存在性定理可知在上有1个零点，
又，则，
则在上递增，上递减，
则，即，则，当且仅当时取等，
则，（或者时，），
故由零点的存在性定理可知在上有1个零点，即在上有两个零点，
综上：有两个零点，则.
（3），则，
令，则，
①当时，， 的最小值为，的最小值为；
②当时，，则在递减，且时，，
故不能恒成立；
③当时，令可得，即在上递增，
令可得，即在上递减，
故，
则，
故，
令，故，
令，
则，
令可得，即在递减；
令可得，即在递增则，
则的最小值为，当且仅当时取得等号.
综上可知，的最小值为.

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