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2025-2026学年中考专题三种类型几何最值问题
类型一：利用 “两点之间线段最短” 求最值
一、填空题
1.如图，长方体的长为20cm，宽为15cm，高为10cm，点B离点C为6cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是
2.如图，在矩形ABCD中，，，F为AB的中点，E是线段BC上一动点，连接FE，把沿直线FE折叠得，连接BP并延长交直线CD于点G，连接CP，当CP最小时， .
3.如图，在中，，，，D为AC的中点，P为BC上一动点，连接PA，PD，则的最大值为 .
4.如图，在四边形ABCD中，，，，连结对角线已知，，E是BC边上一点，连结DE，F是DE的中点，连结CF，BF，则的最小值为 .
5.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，A为x轴正半轴上一点，，，D为AB边的中点，P为对角线OB上一点，连接PC，PD，当时，点P的坐标为 .
6.如图，在菱形ABCD中，，，E为线段AC上的动点，四边形DAEF为平行四边形，则的最小值为 .
二．解答题
7．模型分析
问题：如图，点P是半径为r的⊙O上的一动点，点A，B为⊙O外的定点，且r＝k OA（0＜k＜1），求PB+k PA（0＜k＜1）的最小值．
解题思路：
一找：找带有系数k的线段PA；
二构：在线段OA上取一点C，构造△POC∽△AOP；
1．在线段OA上截取OC，使OC＝k r；
2．连接PC，OP，证明△POC∽△AOP；
三转化：通过相似三角形的对应边成比例，将k AP转化为PC；
四求解：使得PB+k PA＝PB+PC，利用“两点之间线段最短”得出PB+k PA的最小值即为BC的长．
请根据“解题思路”写出求PB+k PA最小值的完整过程．
8．问题提出：如图①，△ABC是边长为1的等边三角形，P为△ABC内部一点，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值．
方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．
问题解决：如图②，将△BPA绕点B逆时针旋转60°至△BP′A′，连接PP′，A′C，记A′C与AB交于点D，易知BA′＝BA＝BC＝1，∠A′BC＝∠A′BA+∠ABC＝120°，由BP′＝BP，∠P′BP＝60°，可知△P′BP为等边三角形，有PB＝P′P．故．因此，当A′，P′，P，C共线时，PA+PB+PC有最小值，最小值是．
学以致用：（1）如图③，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝4，CA＝3，P为△ABC内部一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是　 　 ．
（2）如图④，在△ABC中，∠BAC＝45°，，CA＝3，P为△ABC内部一点，连接PA，PB，PC，求的最小值．
9．综合与实践
问题情境
如图1，在太空探索中，宇航员需要从空间站A出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源站补充燃料，最后返回空间站B．为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径．
问题解决
数学建模：如图2，若只需在能源站补充燃料，可作B关于能源站直线l的对称点B'，连接AB'与直线l的交点即为最优燃料点C，此时路径AC+CB最短．
推理论证：如图3，在直线l上另取任意一点C'，连接AC'，BC'，B'C'，只要说明AC+CB＜AC'+C'B'即可．
证明：∵直线l是点B，B'的对称轴，点C，C'在l上，
∴CB＝　 　 ，C′B＝　 　 ．
∴AC+CB＝AC+CB'＝　 　 ．
∵在△AC'B'中，AB'＜AC'+C'B'，
∴　 　 ＜AC'+C'B'，即AC+CB最小．
（1）本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决．请补全上述推理论证．
（2）请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图1中画出最短路径．
（3）如图4，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC．若点P在AD上移动，点Q在AC上移动，如何确定PC+PQ的最小值？
类型二：利用 “垂线段最短” 求最值
一、填空题
1.如图，在中，CD为AB边上的中线，，E为AC上任意一点，，若DE最小值为2时，则DC的长为 .
2.如图，在中，，，点P为边AC上异于A的一点，以PA，PB为邻边作 PAQB，则线段PQ的最小值是 .
3.如图，在中，，，D为边AC上一动点，将沿BD折叠得到，BE与AC交于点F，则EF的最大值为 .
4.如图，在中，，D是边AC上一点，E，F分别是射线BA，BC上异于点B的动点，连接DB，DE，EF，若，，则的最小值为 .
5.如图，在中，，，AD是的四等分点靠近点，E是BD上一动点，连接AE，则的最小值为 .
6.如图，在中，，，，N是BC边上一点，且，点M是AC边上一个动点，连接MN，以MN为直角边，点M为直角顶点，在MN的左侧作等腰直角三角形MNQ，连接CQ，则CQ的最小值是 .
二．解答题
7．【问题情境】
某数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
（1）如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝8，BC＝6，点M是斜边AB上一动点，求线段CM的最小值．
经过组内合作交流，小明得到了如下的解决思路：
根据直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，得到：
当CM⊥AB时，线段CM取得最小值．则线段CM的最小值＝　 　 ．
【思维运用】
（2）如图2，在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，BC＝3，M为斜边AB上一动点，过点M作MD⊥AC，ME⊥BC，垂足分别为点D，E，求线段DE的最小值；
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝10，D为AC边上一动点，E为平面内一点，以点B，C，D，E为顶点的四边形为平行四边形，则DE的最小值为　 　 ．
8．【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
（1）如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝12，BC＝5，点M是斜边AB上一动点，求线段CM的最小值．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
根据直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，得到：
当CM⊥AB时，线段CM取得最小值．根据小明的思路可以求出这个最小值为　 　 ．
（2）【思维运用】如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC于点D，过M作ME⊥BC于点E，求线段DE的最小值．
（3）【问题拓展】如图3，AB＝12，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上．∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离的最小值为　 　 ．（直接写出结果，不需要写过程）
9．小亮运用AI模型和几何画板研究了动点最值问题．以下为研究笔记的部分内容：AI模型梳理了初中常见的动点最值问题，从“距离”这一核心概念出发整理出下列表格，请阅读材料并完成下列问题．
分类 点到点的距离 点到直线的距离 点到圆的距离
基本原理 两点之间，线段最短 直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短 点P到⊙O的距离为l，则有PO﹣r≤l≤PO+r
基本图形
【直接应用】
（1）已知在Rt△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，点P为边BC上一动点．
①线段AP的最小值为　 　 ；
②若点F为AC的中点，则线段AF绕点A顺时针旋转，PF的最小值为　 　 ；
【迁移运用】
（2）如图1，一次函数y1＝x﹣3和二次函数，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B，点C．若P为二次函数图象上的一个动点，过点P作直线BC的垂线，垂足为点A，求PA最小值．
类型三：代数方法解决几何最值问题
一、选择题
1.如图，已知在中，，BC边上的高，D为BC上一点，，交AB于点E，交AC于点F，则面积的最大值为( )
A. B. 3 C. 5 D.
2.如图，C是线段AB上的一个动点，和都是等边三角形，M，N分别是CD，BE的中点，若，则线段MN的最小值为( )
A. B. C. D. 3
3.如图，已知矩形ABCD，，射线BP与边AD交于点P，过点A，C，D分别作射线BP的垂线，垂足分别为，，，设，若，则m的值一定大于( )
A. B. C. D. 4
二、填空题（本大题共1小题，共3.0分）
4.如图，在矩形ABCD中，，，点E在射线AD上运动，以BE为直角边向右作，使得，，连接
当点F恰好落在CD边上时， ;
当 时，CF取得最小值.
三、解答题（本大题共2小题，共16.0分）
5.如图，在菱形ABCD中，两条对角线AC，BD交于点O，，，P是线段AO上一点不与A，O重合，Q是线段CO上一点，且，分别将和折叠，使A，C两点都在对角线AC上，折痕分别是EH和FG，EH过P点，FG过Q点，连接EF，HG，再把折叠部分铺平.设，四边形EFGH的面积为y，求y与x之间的函数表达式及y的最大值.
6.如图①，内接于，点E为的内心，连接AE并延长交于点D，交BC于点F，连接
若，求的度数;
如图②，连接BE，若，，求BD的长;
如图③，连接OE，若的半径为4，弦，设，，求y与x之间的函数表达式及y的最大值.
7．如图1：在△ABC中，
（1）利用尺规作图，做出这个三角形的一条中位线DE，（要求：点D在AB上，点E在AC上；）
（2）直角坐标系的建立，在代数和几何之间架起了一座桥梁，用代数的方法解决几何问题：某数学小组在自主学习时了解了三角形的中位线及相关的定理，在学习了相关知识后，该小组同学深入思考，利用中点坐标公式，给出了三角形中位线定理的另外一种证明方法．该数学小组建立如图2所示的直角坐标系，已知点D，E分别是AB，AC边的中点，不妨设点A（a，b），点C（c，0）（c＞0）．请你利用该数学学习小组的思路证明DE∥BC且DEBC．（提示：中点坐标公式，A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B中点坐标为（，）
（3）如图3：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，延长AC至点D，DE⊥AD，连接EC并延长AB边于点F，若2CD+DE＝6，则EF是否存在最小值，若存在求出最小值，若不存在，请说明理由．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)答案
类型一：利用 “两点之间线段最短” 求最值
1. 2. 3. 4. 5.
6.
7.解：如图，
在OA上截取OC，使OC＝k r，连接CP，OP，
∵OP＝r，
∴，
∵∠POC＝∠AOP，
∴△COP∽△POA，
∴k，
∴PC＝k AP，
∴PB+k PA＝PB+PC，
∴当点B、P（图中P′）、C共线时，PB+PC最小为BC的长．
8. 解：（1）如图3中，
将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AFE，
∴AP＝AF，∠BAF＝∠CAE＝60°，
∴△AFP是等边三角形，∠EAB＝90°，
在Rt△EAB中，BE5，
∵PA+PB+PC＝EF+FP+PB≥BE，
∴PA+PB+PC≥5，
∴PA+PB+PC的最小值为5．
故答案为：5．
（2）如图4中，
将△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AFE，
∴AF＝AP，∠FAP＝∠BAE＝90°，
∴△AFP是等腰直角三角形，
∴∠EAB＝135°，
作EH⊥BA交BA的延长线于H．
在Rt△EAH中，∠H＝90°，∠EAH＝45°，
∴，
∴EH＝AH＝2，
在Rt△EHC中，，
∵，
∴，
∴的最小值为．
9. 解：（1）∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，
∴C′B′＝C′B，CB＝CB′，
∴AC+CB＝AC+CB′＝AB′，
∵在△AC′B′中，AB′＜AC′+B′C′，
∴AC+CB＜AC′+C′B′，
故答案为：CB′，C′B，AB′，AC+CB；
（2）通过作两点关于两直线的对称点，将折线转化为连接两对对称点的线段，利用“两点之间线段最短”确定最短路径即可，如图，AC﹣CD﹣BD即为最短路径；
（3）过点B作AC的垂线，垂足为点Q，交AD于点P，此时PC+PQ的最小值为BQ的长，
类型二：利用 “垂线段最短” 求最值
1. 4 2. 3. 4. 5. 6.
7. 解：（1）Rt△ABC中，AB10，
∵S△ABCAB CMAC BC，
∴CM4.8；
故答案为：4.8；
（2）如图2，连接CM，
∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB5，
∵MD⊥AC，ME⊥BC，
∴∠DME＝∠MEC＝∠ACB＝90°，
∴四边形DMEC是矩形，
∴CM＝DE，
∴当CM⊥AB时，CM的值最小，
此时，△ABC的面积 BC×ACCM×AB，
∴CM2.4，
∴DE的最小值为2.4；
（3）当DE是平行四边形BDCE的对角线，且DE⊥AC时，DE的长最小，BC和DE交于M，作BH⊥AC于H，连接AM，
在平行四边形BDCE中，MB＝CM，BE∥AC，
∴MBBC＝5，
∴AM，
∵△ABC的面积AC BHBC AM，
∴8 BH＝10，
∴BH，
∵四边形BEDH是矩形，
∴DE＝BH
∴DE长的最小值是．
故答案为：．
8.解：（1）当CM⊥AB时，线段CM取得最小值．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
由勾股定理得：，
∵，
∴12×513×CM，
解得：，
故CM的最小值为，
故答案为：；
（2）如图2，MD⊥AC，ME⊥BC，连接CM，
∴∠MDC＝∠MEC＝90°，
∵∠C＝90°，
∴四边形CDME是矩形，
∴DE＝CM，
在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
由勾股定理得：AB，
当CM⊥AB时，CM最短，
∵，
∴4×3＝5×CM，
解得：
∴线段DE的最小值为；
（3）MN的最小值为．理由如下：
如图3，四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP＝60°，连接DP、FP，延长AC交BE于H，连接PH，
∴PA＝PC，BP＝BF，∠APC＝120°，∠EPB＝60°，AC与DP互相垂直平分，PF与BE互相垂直平分，
∵M、N分别是对角线AC、BE的中点，
∴点M是DP的中点，点N是PF的中点，，，
∴∠MPN＝60°+30°＝90°，
又∵∠CMP＝90°，∠PNE＝90°，
∴四边形PNHM是矩形，
∴MN＝PH，∠AHB＝90°，
∴当PH⊥AB时，PH有最小值，
∵∠HAB＝30°，∠AHB＝90°，
∴，，
∵PH⊥AB，∠HAB＝30°，
∴，
∴MN的最小值为，
故答案为：．
9.解：（1）①当AP⊥BC时，AP最小，
此时S△ABCBC AP，
∴AP；
故答案为：；
②如图，
由题可知AFAC＝2，
当PF≥AP﹣AF＝AP﹣2，
由①知AP最小值为，
∴PF，即PF最小值为，
故答案为：；
（2）过点P作PG⊥x轴，交直线AC于点G，如图1，
∵一次函数y1＝x﹣3的图象与坐标轴分别交于点B，点C，
当y1＝0时，得：x﹣3＝0，
解得：x＝3；
当x＝0时，得：y1＝﹣3，
∴B（3，0），C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
∴△BOC为等腰直角三角形，
∴∠OBC＝45°，
∴∠BGP＝45°，
∴△PGA为等腰直角三角形，
∴，
设P的横坐标为t，则P（t，t2+2t），G（t，t﹣3），
∴，
∴当时，PG取最小值为，
此时，PA取最小值为．
类型三：代数方法解决几何最值问题
1. B 2. B 3. B
4. 【小题1】
【小题2】

5. y与x之间的函数表达式为，
y的最大值为

6. 【小题1】
点E为的内心，
是的平分线，
，
，，
，
，
【小题2】
点E是内心，
，BE分别是，的平分线，
，，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，，
解得
【小题3】
如图，连接OD交BC于点M，连接OB，过点O作于点N，
点E是的内心，
是的平分线，
，
，
垂直平分BC，
，
，
，
，
，
由得，，，
，
，
，
，
，
，，
，
整理，得，
，
当，即点O与点E重合时，y取得最大值，最大值为
7.（1）解：如图，DE为所求线段．
（2）证明：∵AD＝OD，AE＝EC，点A（a，b），点C（c，0）（c＞0）．
∴D（，），E（，），
∴DE∥BC，
∴DEc，
∵OC＝c，
∴DEOC．
（3）解：如图，建立如图平面直角坐标系，设DE＝x，则CD＝3x．
∵DE⊥AD，
∴E（x，x﹣3），
∴点E的运动轨迹是直线yx﹣3，设这条直线与x轴交于M，由y轴交于N．
∵A（0，3），B（﹣6，0），
∴直线AB的解析式为yx+3，
∴AB∥MN，
根据垂线段最短可知，当EF⊥AB时，EF的长最小，
作CF⊥AB于F′，交MN于E′．
∵AC＝3，BC＝6，
∴AB3，
∴CF′，
∵直线MN与直线AB关于原点O对称，
∴根据对称性可知CE′＝CF′，
∴EF的最小值＝2CF′．

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