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人教A版高二数学下学期期末模拟试卷（二）
（答案附后）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数满足，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
2．设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
3．设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
4．若曲线上存在两点到直线的距离为6，则n的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知定义域为的函数满足，且对任意，，当时，都有，则（ ）
A． B．
C． D．
7．某船行驶到甲地看号灯塔时，号灯塔在甲地的北偏东方向上，相距；在甲地看号灯塔时，号灯塔在甲地的南偏西方向上，相距．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看号灯塔，则号灯塔在乙地的北偏东方向上，则号灯塔与乙地之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数在区间上存在唯一的极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．若函数导函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．是的一个极大值点
B．是的一个零点
C．不是的一个极小值点
D．是的一个极大值点
10．在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（ ）
A．异面直线与所成角的余弦值为
B．直线与平面所成角的余弦值为
C．点到平面的距离为
D．平面与平面夹角的余弦值为
11．已知数列，，（），则（ ）
A． B．数列是等差数列
C．，n为奇数 D．，n为偶数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知的外心为，，则________．
13．已知圆过抛物线的焦点，且圆心在此抛物线的准线上，若圆的圆心不在轴上，且与直线相切，则圆的方程为______．
14．已知甲盒中放有1个红球、3个白球(除颜色外，其他完全相同)，乙盒中放有2个红球、2个白球(除颜色外，其他完全相同)，每次等可能地从甲、乙两个盒子中选择一个盒子，有放回地摸1个球，若连续摸到2个红球，则停止摸球．记停止摸球时摸球的总次数为X，则E(X)=________．
四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）某工厂生产一种零件，其标准尺寸参数，计划生产每种尺寸零件的概率相等，实际生产过程中有10%的概率发生工艺缺陷，无缺陷时，生产出来的零件为标准尺寸，若发生工艺缺陷，则生产出来的零件尺寸会缩减为标准尺寸的一半，且每次生产过程独立进行．
(1)连续生产10个该种零件，记有X个零件有工艺缺陷，求X最有可能的取值；
(2)求实际生产一个零件的尺寸的分布列和期望．
16．（15分）已知正项等比数列满足（）．
(1)求数列的通项公式；
(2)设满足，求的前n项和为．
17．（15分）如图，在四棱锥中，底面，，，，是上靠近点的三等分点.

(1)证明：平面；
(2)若平面与平面的夹角为，求.
18．（17分）已知椭圆的离心率为，且的焦点与双曲线的焦点重合．
(1)求的方程；
(2)若过点且与的一条渐近线平行的直线与交于，两点，为坐标原点，求的面积．
19．（17分）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)分析的单调性；
(3)当时，恒成立，求的取值范围.
人教A版高二数学下学期期末模拟试卷（二）（详解版）
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数满足，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】根据复数的除法运算得到复数，再求模长即可．
【详解】解：，则．
2．设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ，，，解得.
∵，∴满足条件的组成的集合为．
3．设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用角的余弦值得到，从而求出，再利用椭圆的定义求出的周长为.
【详解】依题意，，，（为坐标原点），
因为，则，
所以，，所以，所以，
解得，所以，所以，
的周长, 由于，代入得：
，
根据椭圆定义，得,，
故所求的周长为.
4．若曲线上存在两点到直线的距离为6，则n的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知确定曲线的图形，数形结合并应用直线与圆的位置关系及已知条件分析临界情况，即可求范围.
【详解】由，可得，
即表示圆的上半部分（包含与x轴交点），
当圆心到直线的距离为3时，
此时曲线C上恰有一点到直线l的距离为6，
由点到直线距离公式，可得，
结合图形位置关系知，点到直线l的距离为6，
此时为曲线C上存在两点到直线的距离为6的另一临界情形，
所以，可得，
故n的取值范围为．
5．函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性、函数值等进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设，
的定义域关于原点对称，
，
所以是偶函数，图象关于轴对称，所以D选项错误.
当时，，所以BC选项错误.
综上所述，A选项正确.
6．已知定义域为的函数满足，且对任意，，当时，都有，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用函数的对称性及单调性的定义确定区间单调性，再由单调性判断函数值的大小.
【详解】由得函数的图象关于对称，
根据已知及单调性的定义，知在上为减函数，
所以在上为增函数，
，且，
．
7．某船行驶到甲地看号灯塔时，号灯塔在甲地的北偏东方向上，相距；在甲地看号灯塔时，号灯塔在甲地的南偏西方向上，相距．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看号灯塔，则号灯塔在乙地的北偏东方向上，则号灯塔与乙地之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在中，利用正弦定理求出，然后在中，利用余弦定理可求得.
【详解】在中，，
由正弦定理得，所以，
在中，，，
由余弦定理得，
所以．
8．已知函数在区间上存在唯一的极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对函数求导得，导数研究的区间值域，结合的区间极值点个数列不等式求参数范围.
【详解】由题设且，
令且，则，
所以在上单调递减，时，
所以，而，
要使在上存在唯一的极值点，则，即.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．若函数导函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．是的一个极大值点
B．是的一个零点
C．不是的一个极小值点
D．是的一个极大值点
【答案】ACD
【分析】根据导函数值正负，与原函数单调性之间的关系，进行逐一判断．
【详解】对于A选项，由图可知，在左右两侧，导函数左正右负，函数左增右减，是的一个极大值点，A正确；
对于B选项，由图可知，在左右两侧，导函数左负右正，函数左减右增，是的一个极小值点，不是零点，B错误；
对于C选项，由图可知，在左右两侧，导函数恒大于零，函数单调递增，不是的一个极值点，C正确；
对于D选项，由图可知，在左右两侧，导函数左正右负，函数左增右减，是的一个极大值点，D正确．
10．在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（ ）
A．异面直线与所成角的余弦值为
B．直线与平面所成角的余弦值为
C．点到平面的距离为
D．平面与平面夹角的余弦值为
【答案】ACD
【分析】运用空间向量解决立体几何中距离与夹角问题，A选项，求出即可；B选项，先求出平面法向量，设直线与平面所成角为，再求出；C选项，点到平面的距离可以利用法向量求出；D选项，求出平面法向量，再求出.
【详解】A选项， ，,正确；
B选项，设平面的法向量为，则，
取，则为平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，那么，
所以B错误；
C选项，点到平面的距离为，正确；
D选项，设平面法向量，而，
故，
取，则为平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，
，D选项正确.
11．已知数列，，（），则（ ）
A． B．数列是等差数列
C．，n为奇数 D．，n为偶数
【答案】ABD
【详解】，，则令，解得，
又，两式相减，，
即数列是等差数列，故B正确；
由，可知数列的奇数项是以为首项，3为公差的等差数列；
偶数项是以0为首项，3为公差的等差数列，
当为奇数时，设，则，故C错误；
当为偶数时，设，则，故D正确；
，故A正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知的外心为，，则________．
【答案】
【分析】设，根据数量积的运算律将平方可得，判断为锐角三角形，结合二倍角公式即可求得答案．
【详解】因为为的外心，又由，
平方可得：，
不妨设，
则，
故为锐角，
由于，或，
又由，
可得点在的内部，即为锐角三角形，

故，C为锐角，
即，故.
13．已知圆过抛物线的焦点，且圆心在此抛物线的准线上，若圆的圆心不在轴上，且与直线相切，则圆的方程为______．
【答案】
【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
因为圆的圆心在抛物线的准线上，所以设圆的圆心坐标为，
则圆的半径为，
因为圆与直线相切，所以圆心到直线的距离，
即，解得，
所以半径，
因此圆的方程为.
14．已知甲盒中放有1个红球、3个白球(除颜色外，其他完全相同)，乙盒中放有2个红球、2个白球(除颜色外，其他完全相同)，每次等可能地从甲、乙两个盒子中选择一个盒子，有放回地摸1个球，若连续摸到2个红球，则停止摸球．记停止摸球时摸球的总次数为X，则E(X)=________．
【答案】
【详解】若第一次没有摸到红球，则停止摸球时摸球的总次数为 ，此时的概率为；
若第一次摸到红球，第二次没有摸到红球，则停止摸球时摸球的总次数为 ，此时的概率为；
若第一次摸到红球，第二次也摸到红球，则停止摸球，摸球的总次数为2，此时的概率为
所以
解得.
四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）某工厂生产一种零件，其标准尺寸参数，计划生产每种尺寸零件的概率相等，实际生产过程中有10%的概率发生工艺缺陷，无缺陷时，生产出来的零件为标准尺寸，若发生工艺缺陷，则生产出来的零件尺寸会缩减为标准尺寸的一半，且每次生产过程独立进行．
(1)连续生产10个该种零件，记有X个零件有工艺缺陷，求X最有可能的取值；
(2)求实际生产一个零件的尺寸的分布列和期望．
【答案】(1)最有可能为1．
(2)
Y 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4 5
P
．
【分析】（1）根据题意随机变量服从二项分布，据此计算得解；
（2）求出随机变量的可能取值，计算对应的概率，列出分布列，求期望即可.
【详解】（1）由题意，，
故，
令其大于1，得，解得，
所以最有可能为1．
（2）设生产一个零件的尺寸为，则的可能取值有
其分布列为：
Y 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4 5
P
所以期望．
16．（15分）已知正项等比数列满足（）．
(1)求数列的通项公式；
(2)设满足，求的前n项和为．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得，，结合等比数列通项公式求，再求关系求，利用等比数列通项公式求结论；
（2）结合（1）求出的通项公式，当为偶数时，利用分组求和法结合等差数列求和公式和等比数列求和公式求，再结合所得结果及与关系求为奇数的结果即可.
【详解】（1） 设正项等比数列的公比为，则，
由已知，故，
两式相除得，结合，
解得，
又，故 ，代入可得，
所以，又，得，所以；
（2）由（1）得，
为偶数时，，
为奇数时，，
综上，．
17．（15分）如图，在四棱锥中，底面，，，，是上靠近点的三等分点.

(1)证明：平面；
(2)若平面与平面的夹角为，求.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)根据线面平行的判定定理即可得；
(2)代入面面夹角公式，逆推即可.
【详解】（1）证明：如图，连接与，交于点，连接.

因为，所以，又，所以.
因为是上靠近点的三等分点，所以，所以.
因为平面，平面，所以平面.
（2）解：由题知，，两两垂直，故以点为坐标原点，直线，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，，，，
，
.
设平面的一个法向量为，则
令，得，，故.
设平面的一个法向量为，则
令，得 ，，故.
所以，解得，
故的长为.
18．（17分）已知椭圆的离心率为，且的焦点与双曲线的焦点重合．
(1)求的方程；
(2)若过点且与的一条渐近线平行的直线与交于，两点，为坐标原点，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出双曲线的焦点坐标，结合椭圆离心率求出即可.
（2）求出双曲线渐近线的斜率，进而求出直线的方程并与椭圆方程联立求出三角形面积.
【详解】（1）双曲线的焦点坐标为，则椭圆的焦点为，
即有，由的离心率为，得，解得，
所以的方程为.
（2）依题意，双曲线的渐近线的斜率为，设，
由对称性，不妨设直线的方程为，即，
由消去，得 ，则，，
因此，
所以的面积.
19．（17分）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)分析的单调性；
(3)当时，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)当时，的单调增区间为；单调减区间为；
当时，的单调减区间为；单调增区间为；
当时，的单调增区间为，
当时，的单调增区间为；单调减区间为；
(3)
【分析】（1）求出，利用导数几何意义求得切线斜率，代入点斜式直线方程求解即可；
（2）求出导函数，按照和分类讨论求解即可；
（3）参变分离，把恒成立问题转化为恒成立问题，构造函数，利用导数求解函数最值即可求解.
【详解】（1）当时，得到，则，
，则，
所以切线方程为，即.
（2）由题意得，
可得，
当时，当时，，单调递减，
当时，，单调递增;
当时，的解为，
①当，即时，，则在上单调递增；
②当，即时，
在区间上，，在区间上，，
所以的单调增区间为；单调减区间为；
③当，即时，
在区间上，，在区间上，，
故的单调增区间为；单调减区间为.
（3）由题意得当时，恒成立，
等价于“当时，恒成立”.
即在上恒成立.
此时，所以恒成立.
设，则，
因为，所以，所以在区间上单调递增.
所以，所以.
综上所述，的取值范围是.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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